Вектор прискорення може бути представлений через його проекції на координатні осі:
,
де , , .
Модуль прискорення можна визначити наступним чином:
.
1.2. Основне завдання кінематики
Основне завдання кінематики полягає в знаходженні закону руху матеріальної точки. Для цього використовуються наступні співвідношення:
; ; ; ;
.
Окремі випадки прямолінійного руху:
1) рівномірний прямолінійний рух: ;
2) рівноприскореному русі: .
1.3. Тангенціальна і нормальна складові прискорення
Часто використовується представлення прискорення через дві складові: тангенціальне та нормальне прискорення (рис. 2):

Рис. 2

; .

Тангенціальне прискорення характеризує швидкість зміни швидкості за модулем (величиною) і направлено по дотичній до траєкторії:
,
де - Похідна модуля швидкості; - Одиничний вектор дотичної, що співпадає з напрямку зі швидкістю .
Нормальне прискорення характеризує швидкість зміни швидкості в напрямі і направлено по нормалі до траєкторії, до центру кривизни траєкторії в даній точці:
,
де R - радіус кривизни траєкторії, - Одиничний вектор нормалі.
У випадку, якщо відомі модулі складових векторів, модуль вектора прискорення може бути знайдений за формулою
.
1.4. Обертальний рух і його кінематичні характеристики
При обертальному русі всі точки тіла рухаються по колах, центри яких лежать на одній і тій же прямій, званої віссю обертання. Для характеристики обертального руху вводяться наступні кінематичні характеристики (рис. 3).
Кутове переміщення - Вектор, чисельно дорівнює куту повороту тіла за час і спрямований вздовж осі обертання так, що якщо дивитися вздовж нього, то поворот тіла спостерігається тим, що відбувається за годинниковою стрілкою.
Кутова швидкість - Характеризує швидкість і напрямок обертання тіла. Вона дорівнює похідної кута повороту за часом і спрямована вздовж осі обертання як кутове переміщення.
При обертальному русі справедливі наступні формули:
; ; .
Кутове прискорення характеризує швидкість зміни кутової швидкості з плином часу, так само
першої похідної кутовий швидкості та направлено вздовж
осі обертання:
; ; .
Залежність виражає закон обертання тіла.
При рівномірному обертанні e = 0, w = const, j = wt.
При равнопеременном обертанні e = const, , .
Для характеристики рівномірного обертального руху використовують період обертання і частоту обертання.
Період обертання Т - час одного обороту тіла, що обертається з постійною кутовою швидкості.
Частота обертання n - кількість оборотів, що здійснюються тілом за одиницю часу. Кутову швидкість можна виразити через частоту:
.
Зв'язок між кутовими і лінійними кінематичними характеристиками (рис. 4):


2. Динаміка поступального і обертального руху.

2.1. Закони Ньютона

Перший закон Ньютона: Будь-яке тіло знаходиться в стані спокою або рівномірного прямолінійного руху, поки вплив з боку інших тіл не виведе його з цього стану.

Тіла, які не піддаються зовнішнім впливам, називаються вільними тілами. Перший закон буде виконуватися тільки в інерційних системах відліку (ІСО). ІСО - система відліку, пов'язана з вільним тілом, по відношенню до неї будь-яке вільне тіло буде рухатися рівномірно і прямолінійно або знаходитися в стані спокою. З відносності руху випливає, що система відліку, що рухається рівномірно і прямолінійно по відношенню до ISO, також є ІСО. ІСО грають важливу роль у всіх розділах фізики. Це пов'язано з принципом відносності Ейнштейна, згідно з яким математична форма будь-якого фізичного закону повинна мати один і той же вид у всіх інерціальних системах відліку.
До основних понять, що використовуються в динаміці поступального руху, відносяться сила, маса тіла, імпульс тіла (системи тіл).
Силою називається векторна фізична величина, що є мірою механічної дії одного тіла на інше. Механічна дія виникає як при безпосередньому контакті взаємодіючих тіл (тертя, реакція опори, вага і т.д.), так і за допомогою силового поля, що існує в просторі (сила тяжіння, кулонівських сили і т.д.). Сила характеризується модулем, напрямком і точкою прикладання.
Одночасна дія на тіло декількох сил , ,..., може бути замінено дією результуючої (рівнодійної) сили :
= + +...+ = .
Масою тіла називається скалярна величина, що є мірою інертності тіла. Під інертністю розуміється властивість матеріальних тіл зберігати свою швидкість незмінною у відсутності зовнішніх впливів і змінювати її поступово (тобто з кінцевим прискоренням) під дією сили. Маси всіх тіл визначаються по відношенню до маси тіла, прийнятого за еталон.
Імпульсом тіла (матеріальної точки) називається векторна фізична величина, що дорівнює добутку маси тіла на його швидкість: .
Імпульс системи матеріальних точок дорівнює векторній сумі імпульсів точок, що складають систему: .
Другий закон Ньютона: швидкість зміни імпульсу тіла дорівнює діє на нього силі:
.
В окремому випадку (при постійній масі): прискорення, що купується тілом щодо інерціальної системи відліку, прямо пропорційно діє на нього силі і обернено пропорційно масі тіла:
.

 

Третій закон Ньютона: Сили, з якими діють один на одного взаємодіючі тіла, рівні за величиною і протилежні за напрямком.

,
де - Сила, діюча на 1-у точку з боку 2-ой,
- Сила, діюча на 2-у точку з боку 1-им.
З третього закону випливає, що в будь-якій механічній системі матеріальних точок геометрична сума всіх внутрішніх сил (тобто сил, з якими взаємодіють між собою матеріальні точки системи) дорівнює нулю.
2.2. Динаміка обертального руху твердого тіла.
Обертальний дію сили характеризується такою величиною, як момент сили відносно осі обертання (Рис. 5).
Нехай М - точка прикладання сили , - Радіус-вектор точки М, проведений перпендикулярно осі обертання O'O. Розкладемо на три складові:
- Осьова, паралельна осі обертання,
- Радіальна, спрямована уздовж вектора ,
- Дотична, перпендикулярна і осі обертання.
Складові і - Обертання тіла навколо осі O'O не створюють. Вращающее дію сили створюється складової . Моментом сили щодо осі обертання O'O називається векторний добуток радіуса-вектора точки прикладання сили, проведеного перпендикулярно осі обертання, на складову сили , Перпендикулярну осі обертання і радіусу вектору :
.
Вектор моменту сили спрямований вздовж осі обертання і пов'язаний з напрямком сили правилом правого гвинта.
Якщо на тіло діє кілька сил, то результуючий момент сил дорівнює векторній сумі моментів усіх сил, що діють на тіло.
Момент інерції тіла характеризує інертні властивості тіла при обертальному русі і залежить від розподілу маси тіла відносно осі обертання.
- Момент інерції матеріальної точки масою m, що знаходиться на відстані r від осі.
- Момент інерції системи матеріальних точок.
- Момент інерції тіла, де - Щільність тіла.
Момент інерції тіла відносно довільної осі може бути розрахований за
теоремі Штейнера: момент інерції тіла
щодо осі O'O дорівнює сумі моменту інерції тіла відносно осі, що проходить через центр мас і паралельної O'O, і твори маси тіла на квадрат відстані між осями (рис. 6):
.
Моментом імпульсу матеріальної точки називається векторна величина, що дорівнює векторному добутку радіуса вектора на імпульс точки (рис. 7):
.
Моментом імпульсу системи матеріальних точок називається геометрична сума моментів імпульсів точок, що складають систему:
Рис. 6
Моментом імпульсу тіла щодо осі обертання називається величина
,
де - Момент інерції тіла відносно даної осі.
Рис. 7
Основний закон динаміки обертального руху:
Швидкість зміни моменту імпульсу тіла щодо осі дорівнює результуючою моменту зовнішніх сил відносно тієї ж осі. При постійному моменті інерції кутове прискорення, що купується тілом, пропорційно моменту сил, прикладених до тіла, і обернено пропорційно моменту інерції тіла:
.
З законів динаміки поступального і обертального рухів слід умова рівноваги тел:


2.3. Деякі сили в механіці.

	- Сила тяжіння, - Прискорення вільного падіння.
N	- Реакція опори,
F тр = kN	- Сила тертя, k - коефіцієнт тертя.
F х = - kx	- Сила пружності, k - коефіцієнт жорсткості, х - деформація.
F н	- Сила натягу нитки або підвісу, чисельно рівна вазі тіла.
P P = mg P = m (g + а) P = m (g-а)	- Вага тіла, сила з якою тіло діє на опору або підвіс. - Опора спочиває. - Опора рухається з прискоренням а, направленим вгору. - Опора рухається з прискоренням а, спрямованим вниз.

3. Робота і механічна енергія.
3.1. Робота і потужність при поступальному і обертальному рухах.
У матеріальної точки (тіла) у процесі силової взаємодії з іншими тілами може змінюватися стан руху (координати і швидкість). У цьому випадку говорять, що над тілом здійснюється робота. У механіці прийнято говорити, що робота здійснюється силою. Робота - це фізична величина, що характеризує процес перетворення однієї форми руху в іншу.
Елементарної роботою сили на малому переміщенні називається величина, що дорівнює скалярному добутку сили на переміщення:
,
де - Елементарний шлях точки прикладання сили за час dt, a-кут між векторами і .
Якщо на систему діють кілька сил, то результуюча робота дорівнює алгебраїчній сумі робіт, що здійснюються кожної силою окремо.
Робота сили на кінцевій ділянці траєкторії або за кінцевий проміжок часу може бути обчислена таким чином:
.
Якщо = Const, то А = .
При обертальному русі робота визначається моментом сил:
,
якщо М = const, то А = М _j j.
Швидкість здійснення роботи характеризує потужність.
Потужністю називається скалярна величина, що дорівнює роботі, яку здійснюють в одиницю часу:
.
При обертальному русі потужність визначається наступним чином:
.
3.2. Консервативні і неконсерватівние сили.
Консервативними силами називаються сили, робота яких не залежить від шляху переходу тіла або системи з початкового стану в кінцеве. Характерна властивість таких сил - робота на замкнутій траєкторії дорівнює нулю:

До консервативним силам відносяться: сила тяжіння і сила пружності.
Неконсерватівние силами називаються сили, робота яких залежить від шляху переходу тіла або системи з початкового стану в кінцеве. Робота цих сил на замкнутій траєкторії відмінна від нуля. До неконсерватівние силам відносяться: сила тертя, сила опору і т.д.
3.3. Кінетична енергія при поступальному і обертальному рухах.
Кінетичної енергією тіла називається функція механічного стану, що залежить від маси тіла і швидкості його руху (енергія механічного руху).
Кінетична енергія поступального руху: . Кінетична енергія обертального руху: .
При складному русі твердого тіла його кінетична енергія може бути представлена ​​через енергію поступального та обертального руху:
.
Властивості кінетичної енергії:
1. Кінетична енергія є кінцевою, однозначною, неперервною функцією механічного стану системи.
2. Кінетична енергія не негативна: Є _До ³ 0.
3. Кінетична енергія системи тіл дорівнює сумі кінетичних енергій тіл, що складають систему.
4. Приріст кінетичної енергії тіла або системи дорівнює роботі всіх сил, що діють на систему або на тіло: .
3.4. Потенційна енергія.
Потенційна енергія системи - це функція механічного стану системи, що залежить від взаємного розташування всіх тіл системи і від їх положення в зовнішньому потенціальному полі сил. Спад потенційної енергії дорівнює роботі, яку здійснюють всі консервативні сили (внутрішні та зовнішні) під час переходу системи з початкового стану в кінцеве.
Е _П1 - Е _П2 =-DЕ _П = А _12конс, .
З визначення потенційної енергії випливає, що вона може бути визначена за консервативною силою, причому з точністю до довільної сталої, значення якої визначається вибором нульового рівня потенційної енергії.
.
Таким чином, потенційна енергія системи в даному стані дорівнює роботі, яку здійснюють консервативною силою при переведенні системи з цього стану на нульовий рівень.
Властивості потенційної енергії:
1. Потенційна енергія є кінцевою, однозначною, неперервною функцією механічного стану системи.
2. Чисельне значення потенційної енергії залежить від вибору рівня з нульовою потенційною енергією.
Як потенційна енергія може бути знайдена за відомою консервативної силі, так і консервативна сила може бути знайдена по потенційної енергії:
,
причому: , , .
Приклади потенційної енергії:
1) - Потенційна енергія тіла масою m, піднятого на висоту h від нульового рівня енергії в полі тяжіння Землі;
2) - Потенційна енергія пружного деформованого тіла, х - модуль деформації тіла.

4. Закони збереження в механіці.
4.1. Закон збереження повної механічної енергії.
Повна механічна енергія системи тіл дорівнює сумі їх кінетичної і потенційної енергії взаємодії цих тіл один з одним і з зовнішніми тілами:
Е = Е _до + Е _п.
Приріст механічної енергії системи визначається роботою всіх неконсервативних сил (зовнішніх і внутрішніх):
.
Закон збереження повної механічної енергії: Повна механічна енергія системи тіл, на які діють тільки консервативні сили, залишається постійною.
У замкнутій системі повна механічна енергія залишається постійною, якщо між тілами, що складають систему, діють лише консервативні сили.
4.2. Закон збереження імпульсу. Центральний удар двох тіл.
Закон збереження імпульсу: Повний імпульс замкнутої системи залишається постійним.
Для замкнутої системи будуть зберігатися і проекції імпульсу на координатні осі:
.
Якщо ¹ 0, але = 0, то буде зберігатися проекція імпульсу системи на вісь Х.
Розглянемо центральний удар двох тіл. Центральним називається удар, при якому тіла рухаються вздовж прямої, що з'єднує їх центри мас. Виділяють два граничних виду такого удару: абсолютно пружний і абсолютно непружний.
Для двох тіл масами m ₁ і m _2, що рухаються зі швидкостями і уздовж осі X назустріч один одному, швидкості їх після абсолютно пружного центрального удару можна знайти за формулами:
; .
При цьому зберігається імпульс системи тіл і повна механічна енергія.
Якщо удар абсолютно непружний, то
.
Тіла після такого удару рухаються разом. Імпульс системи тіл зберігається, а повна механічна енергія не зберігається. Частина механічної енергії переходить в енергію непружної деформації і у внутрішню енергію тіл.
4.3. Закон збереження моменту імпульсу.
Закон збереження моменту імпульсу: Момент імпульсу системи тіл зберігається, якщо результуючий момент зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю:
.
Якщо результуючий момент зовнішніх сил не дорівнює нулю, але рана нулю проекція цього моменту на деяку вісь, то проекція моменту імпульсу системи на цю вісь не змінюється.

5. Елементи спеціальної теорії відносності.
5.1. Постулати Ейнштейна. Перетворення Лоренца.

Принцип відносності: Ніякими фізичними дослідами, виробленими всередині інерціальної системи відліку, неможливо установити, спочиває чи ця система щодо іншої інерціальної системи відліку або рухається прямолінійно і рівномірно.

Принцип постійності швидкості світла: Швидкість світла у вакуумі однакова в усіх інерціальних системах відліку і не залежить від руху джерел і приймачів світла.
Розглянемо дві системи відліку S і S ¢ (рис. 8). Систему S будемо вважати умовно нерухомою. Система рухається щодо зі швидкістю уздовж осі X системи . Для переходу від однієї системи відліку до іншої в спеціальній теорії відносності використовуються перетворення Лоренца.

Нехай в початковий момент часу початку координат обох систем і спрямування відповідних осей збігаються.

Рис. 8

Тоді: .

Тут - Швидкість світла у вакуумі.

5.2. Наслідки з перетворень Лоренца.
Будемо розглядати системи і (Рис. 8).
Відносність проміжків часу між подіями.

де - Проміжок часу між подіями, виміряний у системі відліку , Щодо якої події відбуваються в одній точці простору ( відлічується по годинах, які знаходяться в системі ); - Проміжок часу між цими подіям, відрахований по годинах, які знаходяться в системі .
Зміна розмірів рухомих тіл.

де L'-довжина стержня, розташованого вздовж осі і спочиває в системі S '(відраховується в системі відліку S'); L - довжина цього ж стержня, виміряна в системі відліку .
Релятивістський закон додавання швидкостей.
Нехай деяке тіло рухається вздовж осі x `в системі відліку зі швидкістю щодо останньої. Знайдемо проекцію швидкості цього тіла в системі відліку на вісь x цієї системи:
.
5.3. Релятивістські маса та імпульс. Взаємозв'язок маси і енергії.
Ейнштейн показав, що маса тіла залежить від його швидкості:

де m ₀ - маса тіла в тій системі відліку, де тіло спочиває (маса спокою);
m - маса тіла в тій системі, щодо якої тіло рухається;
u - швидкість тіла відносно системи відліку, в якій визначається маса m.
Релятивістський імпульс:
,
де m - релятивістська маса.
Закон взаємозв'язку маси та енергії:
,
де m - релятивістська маса;
E - повна енергія матеріального об'єкта.
Кінетична енергія об'єкта:
,
де - Повна енергія; - Енергія спокою.
Із закону взаємозв'язку маси і енергії випливає, що всяка зміна маси тіла на Dm супроводжується зміною його енергії на DE:
DE = Dm × c ^2.
Приклади розв'язання задач
Задача 1 Рівняння руху точки по прямій має вигляд:
x = A + Bt + Ct ^3, де А = 4 м, В = 2 м / c, С = 0,2 м / с ^3. Знайти: 1) положення точки в моменти часу t = 2 c і t = 5 с; 2) середню швидкість за час, що минув між цими моментами; 3) миттєві швидкості в зазначені моменти часу; 4) середнє прискорення за вказаний проміжок часу, 5 ) миттєві прискорення в зазначені моменти часу.
Дано:

x = A + Bt + Ct 3 A = 4 м B = 2 м / c C = 0,2 м / c 3 t 1 = 2 c; t 2 = 5 c	Рішення 1. Щоб знайти координати точки, треба в рівняння руху підставити значення t 1 і t 2: x 1 = (4 +2 × 2 +0,2 × 2 3) м = 9,6 м, x 2 = (4 +2 × 5 +0,2 × 5 3) м = 39 м.
x 1, x 2 <u> -? u 1, u 2 -? <a> a 1, a 2 -?	2. Середня швидкість ,

м / с = 9,8 м / с.
3. Миттєві швидкості знайдемо, продифференцировав за часом рівняння руху:
u ₁ = (2 +3 × 0,2 × ² 2) м / с = 4,4 м / c;
u ₂ = (2 +3 × 0,2 × 5 ²⁾ м / с = 17 м / с.
4. Середнє прискорення ,
м / c ² = 4,2 м / с ^2.
5. Миттєве прискорення отримаємо, якщо продиференціюємо по часу вираз для швидкості: a = 2 × 3 × Ct = 6Ct.
a ₁ = 6 × 0,2 × 2 м / c ² = 2,4 м / с ^2;
a ₂ = 6 × 0,2 × 5 м / с ² = 6 м / с ^2.
Задача 2 Маховик обертається рівноприскореному. Знайти кут a, який складає вектор повного прискорення будь-якої точки маховика з радіусом в той момент, коли маховик здійснить перші N = 2 обороту.

Дано:

w 0 = 0. N = 2 e = const	Рішення Розклавши вектор точки М на тангенціальне і нормальне прискорення, бачимо, що шуканий кут визначається співвідношенням tga = a t / a n. Оскільки в умові дано лише число оборотів, перейдемо до кутових величин. Застосувавши формули:
a -?

                             a _t = ER, a _n = w ² R, де R - радіус маховика, отримаємо

\ S

tga =
так як маховик обертається рівноприскореному, знайдемо зв'язок між величинами e і w;
;
Оскільки w ₀ = _0; j = 2pN, то w ² = 2e × 2pN = 4pNe.
Підставимо це значення у формулу, отримаємо:
a »2,3 °.
Відповідь: a »2,3 °.
Задача 3 Дві гирі з масами m ₁ = 2 кг і m ₂ = 1 кг з'єднані ниткою, перекинутою через невагомий блок. Знайти прискорення a, з яких рухаються гирі, і силу натягу нитки . Тертям в блоці знехтувати.

Дано:

m 1 = 2 кг m 2 = 1 кг	Рішення Скористаємося для вирішення завдання основним законом динаміки де - Рівнодійна всіх сил, що діють на тіло.
a, F Н -?

На тіло 1 і тіло 2 діють лише дві сили - сила тяжіння і сила
натягу нитки. Для першого тіла маємо:
(1)

для другого тіла:
. (2)
Тому що сила тертя в блоці відсутня,
.
Прискорення тіл а ₁ і а ₂ рівні по модулю і спрямовані в протилежні сторони
.
Отримуємо з (1) і (2) систему рівнянь.
Виберемо вісь Х, як показано на малюнку і запишемо отриману систему рівнянь
в проекціях на вісь Х
Вирішуючи цю систему щодо а і F _Н, отримуємо:
= 3,3 м / с ^2; = 13 Н.
Відповідь: a = 3,3 м / c ^2; F _H = 13 Н.
Задача 4 До ободу однорідного диска радіусом R = 0,2 м прикладена дотична сила F = 98,1 Н. При обертанні на диск діє момент сил тертя
М _ТР = 4,9 Н × м. Знайти масу m диска, якщо відомо, що диск обертається з кутовим прискоренням e = 100 рад / с ^2.
Дано:

R = 0,2 м F = 98,1 Н M ТР = 4,3 Н × м e = 100 рад / c 2	Рішення Скористаємося основним законом динаміки обертального руху: або в скалярної формі , Де - Момент сил, прикладених до тіла (M F - момент сили F, M тр - момент сил тертя);
m -?

- Момент інерції диска.
Враховуючи, що M _F = F × R, отримуємо: .
Звідси
m = 7,7 кг.
Відповідь: m = 7,7 кг.
Задача 5
Вагон масою 20 т, що рухається равнозамедленно, під дією сили тертя в 6 кН через деякий час зупиняється. Початкова швидкість вагона дорівнює 54 км / ч. Знайти роботу сил тертя і відстань, яку вагон пройде до зупинки.
Дано:

m = 20 × 10 3 кг F тр = 6 × 10 3 Н u = 15 м / c	Рішення За законом збереження механічної енергії зміна повної механічної енергії буде визначаться роботою неконсервативних сил, тобто .
A ТР -? r -?	Так як механічна енергія вагона дорівнює його кінетичній енергії, як неконсервативної сили виступає сила

тертя, в кінці шляху швидкість вагона дорівнює нулю, то
.
Отже:
За визначенням для роботи, що здійснюється постійною силою тертя:
м.
Відповідь: r = 375 м.
Задача 6 При пружному ударі нейтрона про ядро атома вуглецю він рухається після удару в напрямку, перпендикулярному початкового. Вважаючи, що маса М ядра вуглецю в n = 12 разів більша за масу m нейтрона, визначити, у скільки разів зменшується енергія нейтрона в результаті удару.
Дано:

	Рішення Ведемо позначення: u 1 - швидкість нейтрона до удару, u 1 '- після удару; u 2 - швидкість ядра вуглецю після удару (до удару вона дорівнює нулю). За законами збереження імпульсу і енергії відповідно маємо:
a -?

За умовою задачі потрібно знайти ставлення

З трикутника імпульсів (див. малюнок) маємо:
(Mu ₁₎ ² + (mu ¢ ₁₎ ² = (Mu _{²⁾ 2.}
З урахуванням записаних виразів, а також співвідношення n = M / m, отримаємо:
u ₁ ^2-u ¢ _{¹ лютого} = nu _{² лютого;}
u ₁ ² + u ¢ _{¹ лютого} = n ² u _{² 2.}
Розділивши почленно останні рівності, отримуємо:
.
Звідси = 1,18.
Відповідь: a = 1,18.
Задача 7 Кругла платформа радіусом R = 1,0 м, момент інерції якої I = 130 кг × м ^2, обертається за інерцією навколо вертикальної осі, роблячи n ₁ = 1,0 об / с. На краю платформи стоїть людина, маса якого m = 70 кг. Скільки обертів на секунду n ₂ буде здійснювати платформа, якщо людина перейде в її центр? Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.
Дано:

R = 1м I = 130 кг × м 2 n 1 = 1c -1 m = 70 кг	Рішення Згідно з умовою задачі, платформа з людиною обертається за інерцією. Це означає, що результуючий момент всіх зовнішніх сил, прикладених до, що обертається, дорівнює нулю. Отже, для системи "платформа - людина" виконується закон збереження моменту імпульсу, який запишемо у скалярній формі: L 1 = L 2, (1)
n 2 -?

де L ₁ - імпульс системи з людиною, яка стоїть на краю платформи, L ₂ - імпульс системи з людиною, яка стоїть в центрі платформи.
L ₁ = I ₁ w ₁ = (I + mR ²⁾ × 2pn _1, (2)
L ₂ = I ₂ w ₂ = I × 2pn _2, (3)
де mR ² - момент інерції людини, I ₁ = I + mR ² - початковий момент інерції
системи, I ₂ - кінцевий момент інерції системи, w ₁ і w ₂ - початкова і кінцева кутові швидкості системи. Вирішуючи систему рівнянь (1) - (3), отримуємо:
n ₂ = n ₁ (I + mR ²⁾ / I = 1,5 об / с.
Відповідь: n ₂ = 1,5 с ^-1.
Задача 8
Визначити кінетичну енергію (у Електронвольт) і релятивістський імпульс електрона, що рухається зі швидкістю u = 0,9 c ( -Швидкість світла у вакуумі).
Дано:

u = 0,9 c	Рішення Оскільки швидкість частинки можна порівняти за значенням з швидкістю світла у вакуумі, то частку не можна вважати класичною. Для знаходження кінетичної енергії скористаємося формулою:
Е К, р -?

.
- Маса спокою електрона.
Так як , То
Можна було знайти значення кінетичної енергії відразу в електрон вольтах, враховуючи, що енергія спокою електрона
Релятивістський імпульс знаходимо за формулою
,
.
Відповідь: E _K »0,66 МеВ; р» 5,6 × 10 ^-22 кг × м / c.

Завдання для самостійного вирішення

1. Поїзд рухається прямолінійно зі швидкістю u ₀ ​​= 180 км / ч. Раптово на шляху виникає перешкода, і машиніст включає гальмівний механізм. З цього моменту швидкість поїзда змінюється за законом u = u _0-at ^2, де а = 1 м / с ^3. Який гальмівний шлях поїзда? Через якийсь час після початку гальмування він зупиниться?
Відповідь: х »235 м, t» 7 з
2. Колесо радіусом R = 0,1 м обертається так, що залежність кута повороту радіуса колеса від часу дається рівнянням j = A + Bt + Ct ^3, де А, В, С - постійні; У = 2 рад / с і С = 1 рад / з ^3. Для точок, що лежать на ободі колеса, знайти через 2 с після початку руху такі величини: 1) кутову швидкість; 2) лінійну швидкість; 3) кутове прискорення; 4) тангенціальне прискорення; 5) нормальне прискорення.
Відповідь: w = 14 рад / с; u = 1,4 м / с; e = 12 рад / с ^2; a _t = 1,2 м / с ^2; a _n = 19,6 м / с ^2.
3. По похилій площині, що утворює кут a з горизонтом, ковзає тіло. Коефіцієнт тертя тіла з площиною m. Визначити прискорення, з яким рухається тіло.
Відповідь: a = g (sina - m × cosa)
4.Тонкій однорідний стрижень довжиною L = 50 см і масою m = 400 г обертається з кутовим прискоренням навколо осі, що проходить перпендикулярно стрижню через його середину. Визначити момент сили, під дією якої обертається стрижень.
Відповідь: M = 0,025 Н × м
5. Камінь кинули під кутом 60 ⁰ до поверхні землі. Кінетична енергія каменя в початковий момент дорівнює 20 Дж. Визначити кінетичну і потенційну енергії каменю в найвищій точці його траєкторії. Опором повітря знехтувати.
Відповідь: 5 Дж, 15 Дж.

6. Два кулі підвішені на паралельних нитках однакової довжини, так, що вони стикаються. Маса першої кулі 0,2 кг, маса другого 100 р. Перша куля відхиляють так, що його центр ваги піднімається на висоту 4,5 см, і відпускають. На яку висоту піднімуться кулі після зіткнення, якщо удар непружний?
Відповідь: H »2см
7. Тонкий однорідний стрижень довжиною L може обертатися навколо горизонтальної осі, що проходить через кінець стержня перпендикулярно йому. Стрижень відхилили на 90 ° від положення рівноваги і відпустили. Визначити швидкість u нижнього кінця стержня в момент проходження положення рівноваги.
Відповідь:
8. Кінетична енергія електрона дорівнює 1МеВ. Визначити швидкість електрона.
Відповідь:
Контрольне завдання № 1
101. Пасажир електропоїзди, що рухається зі швидкістю 15 м / с, зауважив, що зустрічний поїзд довжиною 210 м пройшов повз нього за 6,0 з. Визначити швидкість зустрічного поїзда.
102. При нерухомому ескалаторі метрополітену пасажир піднімається за t ₁ = 120 с, а по рухомому при тій же швидкості відносно сходинок - за t ₂ = 30 с. Визначити час підйому пасажира, нерухомо стоїть на рухомому ескалаторі.
103. Визначити швидкість моторного човна відносно води, якщо при русі за течією річки її швидкість 10 м / с, а при русі проти течії - 6,0 м / с. Чому дорівнює швидкість течії води в річці?
104. Швидкість поїзда, при гальмуванні рухається равнозамедленно, зменшується протягом 1 хв від 40 км / год до 28 км / ч. Знайти прискорення поїзда і відстань, пройдену ним за час гальмування.
105. Рух матеріальної точки задано рівнянням x = at + bt ² + ct ^3, де
a = 5 м / с, b = 0,2 м / с ^2, с = 0,1 м / с ^3. Визначити швидкість точки в момент часу t ₁ = 2 с, t ₂ = 4 с, а також середню швидкість в інтервалі часу від t ₁ до t _2.
106. Швидкість матеріальної точки, що рухається уздовж осі X, визначається рівнянням u _X = 0,2-0,1 t. Знайти координату точки в момент часу t = 10 с, якщо в початковий момент часу вона перебувала в точці x ₀ = 1 м.
107. Літак для зльоту повинен мати швидкість 100 м / с. Визначити час розбігу і прискорення, якщо довжина розбігу 600 м; рух літака при цьому вважати рівноприскореним.
108. Автомобіль рухається зі швидкістю u ₁ = 25 м / с. На шляху S = 40 м здійснюється гальмування, після чого швидкість зменшується до u ₂ = 15 м / с. Вважаючи рух автомобіля равнозамедленним, знайти модуль прискорення і час гальмування.

109. Першу половину шляху тіло рухалося зі швидкістю u ₁ = 2 м / с, другу половину шляху - зі швидкістю u ₂ = 8 м / с. Визначити середню швидкість руху.
110.Точка пройшла половину шляху зі швидкістю 10 км / ч. Частину, що залишилася шляху вона половину часу рухалася зі швидкістю 18 км / год, а остання ділянка - зі швидкістю 25,2 км / ч. Знайти середню швидкість руху точки.

111. Визначити кутове прискорення маховика, частота обертання якого за час N = 20 повних обертів зросла рівномірно від n ₀ = 1 об / c до n = 5 об / с.
112. Визначити залежність кутової швидкості та кутового прискорення від часу для твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі z за законом j = at-bt ^2, де a = 20 рад / с, b = 1 рад / с ^2. Який характер руху цього тіла? Побудувати графіки залежності кутової швидкості та кутового прискорення від часу.
113. Колесо радіусом R = 10 см обертається з постійним кутовим прискоренням e = 3,14 рад / с ^2. Знайти для точок на ободі колеса до кінця першої секунди після початку руху: 1) кутову швидкість; 2) лінійну швидкість; 3) тангенціальне прискорення; 4) нормальне прискорення; 5) повне прискорення.

114. Тверде тіло обертається навколо нерухомої осі за законом
j = 6,0 t -2,0 t ^3. Знайти середні значення кутової швидкості та кутового прискорення за проміжок часу від t = 0 до зупинки.
115. Вентилятор обертається з частотою 600 об / хв. Після виключення вентилятор, обертаючись равнозамедленно, зробив до зупинки 75 оборотів. Який час пройшло з моменту вимикання вентилятора до його повної зупинки?

116. Колесо обертається з кутовим прискоренням 2 ​​рад / с ^2. Через час 0,5 с після початку руху повне прискорення точок на ободі колеса одно 0,15 м / с ^2. Знайти радіус колеса.

117. Велосипедне колесо обертається з частотою n = 5 c ^-1. Під дією сил тертя воно зупинилося через Dt = 1 хв. Визначити кутове прискорення і число оборотів, яке зробило колесо за цей час.

118. Вісь з двома паралельними паперовими дисками, розташованими на відстані 0,5 м один від одного, обертається з частотою 1200 об / хв. Куля, що летить уздовж осі, пробиває обидва диски; пробоїни в дисках зміщені один щодо одного на кут 15 ^о. Знайти швидкість кулі. Силою тяжкості, що діє на кулю знехтувати.

119. Рух точки по колу радіусом 4 м задано рівнянням
S = 10 - 2 t + t ^2. Знайти тангенціальне, нормальне і повне прискорення точки в момент часу 2 с.
120. Точка рухається по колу радіусом 2 м згідно з рівнянням S = 2 t ^3. У який момент часу нормальне прискорення точки дорівнюватиме тангенціальному? Чому буде одно повне прискорення точки в цей момент часу?

121. Тіло ковзає по похилій площині, що складає з горизонтом кут a = 45 °. Залежність пройденого тілом шляху S від часу t задана рівнянням S = Ct ^2, де С = 1,73 м / с ^2. Знайти коефіцієнт тертя k тіла об площину.
122. Тіло масою m = 0,5 кг рухається так, що залежність координати тіла від часу t дається рівнянням X = Asin (wt), де А = 5 см і w = p рад / с. Знайти силу F, що діє на тіло через час t = (1 / 6) с після початку руху.

123. Невагомий блок укріплений у вершині двох похилих площин, складових з горизонтом кути a = 30 ° і b = 45 °. Гирі 1 і 2 однакової маси m ₁ = m ₂ = 1 кг з'єднані ниткою і перекинуті через блок. Знайти прискорення а, з яких рухаються гирі, і силу натягу нитки Т. Тертям гир 1 і 2 про похилі площини, а також тертям в блоці знехтувати.
124. Літак робить «мертву петлю» радіусом 500 м з постійною швидкістю 360 км / ч. Знайти вага льотчика масою 70 кг в нижній, верхній і середній точках петлі.
125. До пружинним ваг підвішений блок. Через блок перекинули шнур, до кінців якого прив'язали вантажі масою 1,5 кг і 3 кг. Яке буде показання ваг під час руху вантажів? Масою блоку і шнура знехтувати.
126. Похила площина, що утворює кут 25 ^про з площиною горизонту, має довжину 2 м. Тіло, рухаючись рівноприскореному, зісковзнула з цієї площини за час 2 с. Визначити коефіцієнт тертя тіла об площину.
127. На автомобіль масою 1т під час руху діє сила тертя, дорівнює 0,1 діючого на нього сили тяжіння. Знайти силу тяги, що розвивається мотором автомобіля, якщо автомобіль рухається з постійною швидкістю:
а) на гору з ухилом 1 м на кожні 25 м шляху; б) під гору з тим же ухилом.
128. На столі стоїть візок масою m ₁ = 4 кг. До візку прив'язаний один кінець шнура, перекинутого через блок. З яким прискоренням буде рухатися візок, якщо до іншого кінця шнура прив'язати гирю масою m ₂ = 1 кг?
129. Аеростат масою m почав опускатися з постійним прискоренням а. Визначити масу баласту, який потрібно скинути за борт, щоб аеростат отримав таке ж прискорення, але спрямоване вгору. Опором повітря знехтувати.
130. Невелике тіло пустили знизу вгору по похилій площині, що становить кут 15 ^о с горизонтом. Знайти коефіцієнт тертя, якщо час підйому тіла виявилося в 2 рази менше часу спуску.
131. Дві гирі з різними масами з'єднані ниткою, перекинутою через блок, момент інерції якого J = 50 кг × м ² і радіус R = 20 см. Момент сил тертя обертового блоку M _ТР = 98,1 Н × м. Знайти різницю сил натягу нитки Т _{1-Т 2} по обидві сторони блоку, якщо відомо, що блок обертається з кутовим прискоренням
e = 2,36 рад / с. Блок вважати однорідним диском.
132. На барабан масою m ₀ = 9 кг намотаний шнур, до кінця якого прив'язаний вантаж масою m = 2 кг. Знайти прискорення a вантажу. Барабан вважати однорідним циліндром. Тертям знехтувати.
133. Маховик радіусом R = 0,2 м і масою m = 10 кг з'єднаний з мотором за допомогою приводного ременя. Сила натягу ременя, що йде без ковзання,
Т = 14,7 Н. Яку частоту обертання буде мати маховик через час t = 10 с після початку руху? Маховик вважати однорідним диском. Тертям знехтувати.
134. Однорідний диск радіусом 0,2 м і масою 5 кг обертається навколо осі, що проходить через його центр перпендикулярно до його площини. Залежність кутовий швидкості обертання диска від часу дається рівнянням w = А + 8 t, де А = const. Знайти дотичну силу, прикладену в обода диска. Тертям знехтувати.
135. Махове колесо, момент інерції якого 245 кг × м ^2, обертається з частотою 20 об / с. Через 1 хвилину після того, як на колесо перестав діяти момент сил, воно зупинилося. Знайти момент сил тертя і число оборотів, яке зробило колесо до повної зупинки після припинення дії сил. Колесо вважати однорідним диском.
136. Однорідний стрижень довжиною 1м і вагою 0,5 Н обертається у вертикальній площині навколо горизонтальної осі, що проходить через середину стрижня. З яким кутовим прискоренням обертається стрижень, якщо обертаючий момент дорівнює 9,8 × 10 ^-2 Н × м?
137. Автомобіль йде по закругленню шосе, радіус кривизни якого дорівнює 200 м. Коефіцієнт тертя коліс об покриття дороги дорівнює 0,1. При якій швидкості автомобіля почнеться його занесення?
138. Однорідний диск радіусом R = 0,2 м і масою 0,5 кг обертається навколо осі, що проходить через його центр. Залежність кутовий швидкості обертання диска від часу дається рівнянням w = A + Bt, де . Знайти величину дотичній сили, прикладеної до обода диска. Тертям знехтувати.

139. Знайти момент імпульсу земної кулі відносно осі обертання.

140. Грузик, прив'язаний до шнура довжиною L = 50см, описує коло у горизонтальній площині. Який кут (в градусах) утворює шнур з вертикаллю, якщо частота обертання n = 1c ^-1?
141. Під дією постійної сили вагонетка пройшла шлях 5 м і придбала швидкість 2 м / с. Визначити роботу сили, якщо маса вагонетки 400 кг і коефіцієнт тертя дорівнює 0,01.
142. Обчислити роботу, що здійснюються при рівноприскореному підйомі вантажу масою 100 кг на висоту 4 м за час 2 с.

143. На тіло, що рухалося зі швидкістю 2 м / с, подіяла сила 2 Н в напрямку швидкості. Через 10 с після початку дії сили кінетична енергія тіла виявилася рівною 100 Дж. Знайти масу тіла, вважаючи його матеріальною точкою.
144. Знайти роботу, яку треба зробити, щоб збільшити швидкість руху тіла від 2 м / с до 6 м / с на шляху до 10 м. На всьому шляху діє постійна сила тертя, що дорівнює 2 Н. Маса тіла дорівнює 1 кг.
145. Знайти, яку потужність розвиває двигун автомобіля масою в
1000 кг, якщо відомо, що автомобіль їде з постійною швидкістю 36 км / год:
1) по горизонтальній дорозі, 2) на гору з ухилом 5 м на кожні 100 м колії, 3) під гору з тим же ухилом. Коефіцієнт тертя 0,07.
146. Маховик обертається за законом, що виражається рівнянням
j = 2 +16 t-2t ^2. Момент інерції маховика дорівнює 50 кг × м ^2. Знайти закон, за яким змінюється обертаючий момент сил і потужність. Чому дорівнює потужність у момент часу 3 с?
147. Якір мотора обертається з частотою 1500 об / хв. Визначити обертаючий момент сил, якщо мотор розвиває потужність 500 Вт.
148. Ремінна передача передає потужність 9 кВт. Шків передачі має діаметр 0,48 м і обертається з частотою 240 об / хв. Натяг провідною галузі ременя в два рази більше натягу веденої гілки. Знайти натяг обох гілок ременя.
149. Диск масою 1 кг і діаметром 0,6 м обертається навколо осі, що проходить через центр перпендикулярно його площині, роблячи 20 об / с. Яку роботу треба зробити, щоб зупинити диск?
150. Камінь, пущений по поверхні льоду зі швидкістю u = 2м / с, пройшов до повної зупинки відстань S = 20,4 м. Знайти коефіцієнт тертя каменя по льоду, вважаючи його постійним.
151. Людина, вагою 60 кг, що біжить зі швидкістю 8 км / год, доганяє візок вагою 80 кг, що рухається зі швидкістю 2,9 км / год, і схоплюється на неї. З якою швидкістю стане рухатися візок? З якою швидкістю буде рухатися візок, якщо людина біг їй назустріч?
152. Куля, що летить горизонтально зі швидкістю u = 400 м / c, потрапляє в брусок, підвішений на нитці довжиною L = 4м, і застряє в ньому. Визначити кут a, на який відхилився брусок, якщо маса кулі m ₁ = 20 г, а бруска m ₂ = 5кг.
153. Куля масою 1 кг, що котиться без ковзання, вдаряється об стінку, відкочується від неї. Швидкість кулі до удару 10 см / с, після удару 8 см / с. Знайти кількість тепла, що виділилася при ударі.
154. Ковзаняр масою 70 кг, стоячи на ковзанах на льоду, кидає в горизонтальному напрямку камінь масою 3 кг зі швидкістю 8 м / с. Знайти, на яку відстань відкотиться при цьому ковзаняр, якщо відомо, що коефіцієнт тертя ковзанів об лід дорівнює 0,02.
155. Тіло масою 2 кг рухається назустріч другому тілу масою 1,5 кг і неупругом стикається з ним. Швидкості тіл перед зіткненням 1 м / с і 2 м / с відповідно. Скільки часу будуть рухатися ці тіла після зіткнення, якщо коефіцієнт тертя дорівнює 0,1.

156. Кулька масою 200 г вдарився об стінку зі швидкістю 10 м / с і відскочив від неї з такою ж за модулем швидкістю. Визначити імпульс, отриманий стінкою, якщо до удару кулька рухався під кутом 30 ° до площини стінки.
157. Два кульки масами 2 і 4 кг рухаються зі швидкостями 5 м / с і 7 м / с відповідно. Визначити швидкість куль після прямого непружного удару, якщо велика куля наздоганяє менший.
158. Абсолютно пружний куля масою 1,8 кг стикається з почилих пружним кулею більшої маси. У результаті центрального прямого удару куля втратив 36% своєї кінетичної енергії. Визначити масу більшої кулі.
159. Стрижень довжиною L = 1,5 м і масою M = 10 кг може обертатися навколо нерухомої осі, що проходить через верхній кінець стрижня. У середину стрижня вдаряє куля масою m = 10 г, що летить у горизонтальному напрямку зі швидкістю u ₀ ​​= 500 м / c, і застряє в стержні. На який кут a відхилиться стрижень після удару?
160. На спочивають куля масою М = 1 кг, підвішений на довгому жорсткому стрижні, потрапляє куля m = 1910 Кут між напрямком польоту кулі і лінією стрижня a = 45 °. Удар центральний. Після удару куля застрягає в кулі і куля разом з кулею, відхилившись, піднімається на висоту h = 0,12 м відносно початкового положення. Знайти швидкість u кулі. Масою стрижня знехтувати.
161. Знайти роботу підйому вантажу по похилій площині, якщо маса вантажу 100 кг, довжина похилої площини 2 м, кут нахилу 30 ^0, коефіцієнт тертя 0,1 і вантаж рухається з прискоренням 1м / с ^2.
162. До ободу диска масою m = 5 кг прикладена постійна дотична сила F = 2 Н. Яку кінетичну енергію буде мати диск через t = 5 с після початку дії сили?
163. На краю горизонтальної платформи, що має форму диска радіусом 2 м, стоїть людина. Маса платформи 200 кг, маса людини 80 кг. Платформа може обертатися навколо вертикальної осі, що проходить через її центр. Нехтуючи тертям, знайти, з якою кутовою швидкістю буде обертатися платформа, якщо людина буде йти вздовж її краю зі швидкістю 2 м / с відносно платформи.
164. Платформа, що має форму диска, може обертатися навколо вертикальної осі. На краю платформи стоїть людина. На який кут повернеться платформа, якщо людина піде уздовж краю платформи з постійною швидкістю і, обійшовши її, повернеться у вихідну точку? Маса платформи 240 кг, маса людини 60 кг. Момент інерції людини розраховувати як для матеріальної точки.

165. Яку роботу здійснить людина, якщо він від краю обертової платформи перейде в її центр? Маса платформи 100 кг, маса людини 80 кг, первісна частота обертання 10 об / хв, радіус платформи 2 м.
166. Диск радіусом 20 см і масою 5 кг обертався, роблячи 8 об / с. При гальмуванні він зупинився через 4 секунди. Визначити гальмуючий момент.
167. Маховик обертається з частотою n = 10 об / с. Його кінетична енергія W _К = 7,85 кДж. За який час t момент сил М = 50 Н × м, прикладений до маховика, збільшить кутову швидкість маховика вдвічі?
168. Вентилятор обертається з частотою n = 900 об / хв. Після виключення вентилятор, обертаючись равнозамедленно, зробив до зупинки N = 75 об. Робота сил гальмування А = 44,4 Дж. Знайти момент інерції J вентилятора і момент сил гальмування М.

169. Махове колесо починає обертатися з кутовим прискоренням e = 0,5 рад / с ² і через час t ₁ = 15 с після початку руху набуває момент імпульсу
L = 73,5 (кг × м ²⁾ / с. Знайти кінетичну енергію W _До колеса через час t ₂ = 20 с після початку руху.
170. Хлопчик котить обруч по горизонтальній дорозі зі швидкістю 7,2 км / ч. На яку відстань може вкотитися обруч на гірку за рахунок його кінетичної енергії? Ухил гірки дорівнює 10 м на кожні 100 м колії.
171. Знайти швидкість релятивістської частинки маси m = 0,91 × 10 ^-30 кг (маса електрона), імпульс якої р = 1,58 × 10 ^-22 кг × м / с.
172. Яку роботу необхідно зробити, щоб збільшити швидкість частинки з масою спокою m ₀ від 0,6 з до 0,8 с?

173. Сонце щохвилини випускає енергію, що дорівнює 6,5 × 10 ²¹ кВт × год Вважаючи випромінювання сонця постійним, знайти, за який час маса Сонця зменшиться в
2 рази.
174. Частка рухається зі швидкістю u = 0,5 × с. У скільки разів маса частинки більше маси спокою?
175. Кінетична енергія протона 10 МеВ. Визначити його імпульс.
176. При якій швидкості руху релятивістське скорочення довжини тіла, що рухається становить 25%.
177. Мезон рухається зі швидкістю 0,96 с. Який проміжок часу щогодини спостерігача відповідає одній секунді "власного" часу мезона?
178. C якою швидкістю рухається частка, якщо її маса в 4 рази більше маси спокою?
179. Визначити швидкість тіла, при якій його щільність зростає в 2 рази.
180. Знайти відносну швидкість руху двох часток, що рухаються назустріч один одному зі швидкостями u ₁ = 0,6 × c і u ₂ = 0,9 × c.

II. ОСНОВИ МОЛЕКУЛЯРНОЇ ФІЗИКИ І термодинаміки
Молекулярна фізика і термодинаміка - розділи фізики, в яких вивчаються макроскопічні процеси в тілах, пов'язані з величезною кількістю містяться в них атомів і молекул (макроскопічні системи). Для дослідження цих процесів застосовуються два якісно різних методи: статистичний і термодинамічний. Перший лежить в основі молекулярної фізики, другий - термодинаміки.
Молекулярна фізика вивчає макроскопічні процеси виходячи з уявлень про атомно-молекулярну природу речовини, і розглядає теплоту як безладне (теплове) рух атомів і молекул. Тепловий рух визначає внутрішній стан будь-якого макроскопічного тіла (системи).
Термодинаміка є аксіоматичної наукою, вона не вводить яких-небудь конкретних уявлень про будову речовини і фізичну природу теплоти. Її висновки засновані на загальних принципах або засадах, які є узагальненням дослідних фактів. Теплота розглядається як якийсь внутрішній рух без його конкретизації.
Важливою властивістю теплового руху є його здатність «примушувати» макроскопічну систему «забувати» своє початковий стан, якщо виключені заходи, що підтримують початковий стан. Якщо систему помістити в незмінні зовнішні умови, то незалежно від початкового стану системи вона перейде у стаціонарний стан (з часом не змінюється). За відсутності руху через кордони системи речовини, енергії, імпульсу, електричного заряду, такий стан називається станом теплового або термодинамічної рівноваги (рівноважний стан).
Властивості рівноважного стану не залежать від деталей руху окремих частинок, а визначаються поведінкою всій їх сукупності. Це поведінка характеризується невеликим числом величин, званих термодинамічними параметрами. Рівноважний стан системи характеризується сталістю в часі її параметрів. Термодинамічні параметри визначають якусь усереднену картину руху частинок системи, тому вони мають сенс середніх значень фізичних величин, що описують поведінку окремих частинок системи. Це проявляється в існуванні статистичних флуктуацій значень термодинамічних параметрів, які в рівноважному стані дуже малі.
Процес самовільного переходу системи в рівноважний стан називається релаксацією, а час цього процесу - часом релаксації. До закінчення часу релаксації стан системи залишається нерівноважних, а сам процес релаксації є нерівноважним.
При зміні зовнішніх умов або впливі на систему, параметри стану будуть змінюватися, і система перейде в новий стан. Цей процес переходу називається термодинамічним процесом, він може бути рівноважним або нерівноважним. Процес називається рівноважним, якщо в ході його система проходить послідовність рівноважних станів. Рівноважними процесами є нескінченно повільно протікають (гарним наближенням є процеси, час протікання яких багато більше часу температурної релаксації). Рівноважний стан і рівноважний процес зображуються на діаграмі станів відповідно точкою і лінією.
Розглянемо основні термодинамічні параметри: V - об'єм системи або тіла, Р - тиск (абсолютне значення середньої сили, що діє з боку речовини рідини чи газу на кожну з поверхонь вміщеної в них одиничної площадки); Т - абсолютна температура, характеризує інтенсивність теплового руху частинок системи . У випадку класичного характеру руху частинок системи середня кінетична енергія поступального руху однієї частинки пропорційна температурі
,
де m - маса однієї частинки, v - її швидкість, v _кв - середня квадратична швидкість руху молекул, k = 1.38 × 10 ^-23 Дж / ​​К - постійна Больцмана.
1. Молекуляр - кінетична теорія ідеальних газів
1.1. Рівняння стану
У стані термодинамічної рівноваги об'єм V, тиск Р і температура Т знаходяться у функціональній залежності, яку можна виразити рівнянням
F (P, V, T) = 0.
Це співвідношення називається рівнянням стану тіла (системи). Вид функції F (P, V, T) різний для різних тіл і точно встановлений тільки в одному випадку, а саме, для ідеального газу. Ідеальним називається газ, в якому
,
де t ^¢ - середній час зіткнення частинок, t - середній час вільного пробігу частинок. При цьому середня довжина вільного пробігу частинок повинна бути набагато меншою розмірів посудини, в якому поміщений газ. Дані умови виконуються досить добре для газів, молекули яких мають просту будову, навіть при тисках близьких до атмосферного.
Рівняння стану ідеального газу можна отримати, розглянувши тиск, що створюється газом на стінку посудини. Воно виникає в результаті передачі імпульсу ділянці стінки при зіткненнях з ним молекул газу. Враховуючи, що в рівноважному стані зіткнення молекул в середньому носять пружний характер, тиск ідеального газу виявляється пропорційним середньої енергії поступального руху частинок, укладених в одиниці об'єму
,
де n - густина (концентрація) часток, n = N / V, N - число частинок.
Використовуючи зв'язок кінетичної енергії молекул і температури, отримуємо
P = nkT.
Існує кілька форм запису цього рівняння
PV = NkT
PV = N _A kT = nRT.
У ній n = - Число молей газу, R = N _A k = 8.31 Дж / ​​моль × К - універсальна газова стала. Використовуючи вираз для кількості речовини через масу і молярну масу газу можна отримати відоме рівняння Клапейрона - Менделєєва
PV = RT.
З останнього рівняння стану можна отримати відомий закон Дальтона та рівняння ізопроцессов:
а) тиск механічної суміші газів дорівнює сумі парціальних тисків газів, що входять до складу
PV = ( ) RT
б) ізотермічний - Т = const, PV = const, P ₁ V ₁ = P ₂ V _2;
изобарических - P = const, ;
Ізохоричний - V = const, .
1.3 Рівняння стану Ван-дер-Ваальса
При збільшенні щільності (тиску) поведінка газу все сильніше відрізняється від поведінки ідеального газу. Це пояснюється тим, що при малих середніх відстанях між молекулами, все більшого значення набувають сили міжмолекулярної взаємодії. На малих відстанях ці сили є силами відштовхування, а на великих - силами тяжіння. Вплив цих сил на вигляд рівняння стану можна наближено врахувати наступним чином. Для реальних газів тиск повинен різко зростати при кінцевому обсязі, рівному по порядку величини обсягу усіх часток газу. Позначимо цей кінцевий об'єм для одного моля через - b, тоді тиск газу може бути записано у вигляді

Дія сил притягання між молекулами проявляється у зменшенні тиску газу в порівнянні з наведеною величиною. Зменшення тиску пов'язане з тим, що на молекулу, що знаходиться біля стінки судини, діє сила спрямована всередину судини. Вона обумовлена ​​тяжінням з боку молекул газу, що знаходяться в його об'ємі. У першому наближенні її величина пропорційна концентрації молекул n = , А, враховуючи, що тиск сам пропорційно концентрації, поправка на зменшення тиску буде пропорційна n ² = . З огляду на це можна прийти до співвідношення
P = ,
яке у формі
називається рівнянням Ван-дер-Ваальса (для одного моля газу). Поправки a і b-постійні Ван-дер-Ваальса, що враховують, відповідно, дію сил тяжіння і відштовхування між молекулами газу.
1.4. Внутрішня енергія
Важливою характеристикою стану системи є її внутрішня енергія. Вона визначається як середнє значення повної енергії її частинок. У внутрішній енергії можна виділити наступні складові:
· Енергія поступального, обертального і коливального рухів атомів і молекул;
· Енергія міжмолекулярної взаємодії;
· Енергія зв'язку атомів у молекулах (хімічна енергія);
· Енергія зв'язку електронів в атомах;
· Енергія зв'язку атомних ядер і ін
При різних процесах, що відбуваються в системі, відбуваються зміни внутрішньої енергії. Як правило, це відбувається через зміну однієї або декількох складових внутрішньої енергії, тому і в самій внутрішньої енергії слід враховувати тільки ті складові, які змінюються в ході процесу. Зазначимо загальні властивості внутрішньої енергії:
1. у стані теплової рівноваги рух частинок системи такий, що в будь-який момент часу повна енергія часток з високим ступенем точності дорівнює внутрішній енергії (статистичні флуктуації дуже малі);
2. внутрішня енергія системи є функцією її термодинамічних параметрів;
3. внутрішня енергія володіє властивістю адитивності, тобто внутрішня енергія системи дорівнює сумі внутрішніх енергій частин (макроскопічних), що складають дану систему.
Визначимо внутрішню енергію ідеального газу в рівноважному стані - це енергія поступального, обертального і коливального рухів атомів і молекул. Поступальний рух частинок газу носить класичний характер, а обертовий і коливальний рух - квантовий, тобто такі рухи виникають тільки про повідомленні молекулам кінцевої порції енергії DЕ. Для більшості газів DЕ ^к ~ 10 ^-20 Дж, що відповідає температурі Т ^кол ~ 10 ³ До, DЕ ^вр ~ 10 ^-21 Дж, а температура Т ^вр ~ 10 К. Загальна закономірність квантових рухів наступна: зі зростанням температури квантове рух швидко набуває класичний характер. Тому при звичайних умовах можна рух молекул вважати класичним і для обчислення внутрішньої енергії скористатися законом равнораспределенія енергії за класичним ступенями свободи.
«У стані теплової рівноваги на кожну поступальну і обертальну ступінь свободи доводиться в середньому енергія рівна кТ / 2. а на коливальну - кТ ».
Числом ступенів свободи називається мінімальна кількість координат, однозначно визначають положення тіла (системи) в просторі, або кількість незалежних рухів, завдяки яким тіло володіє енергією. У атомарному газі кожен атом має три поступальних ступеня свободи, в газі з двохатомними молекулами - кожна молекула має три поступальних і дві обертальних ступеня свободи, в газі з багатоатомними молекулами, в загальному випадку, - три поступальних і три обертальних. Тоді внутрішня енергія газ має вигляд
U = N = ,
де i - число ступенів свободи молекул газу.
1.4. Статистичні розподілу.
При тепловому русі положення частинок, величина і напрямок їх швидкостей змінюються випадковим чином. Внаслідок гігантського числа частинок, випадковий характер їх руху, проявляється в існуванні певних статистичних закономірностей у розподілі часток системи за координатами, значенням швидкостей і т.д. Подібні розподілу характеризуються відповідними функціями розподілу. Функція розподілу (щільність імовірності) характеризує розподілу часток по відповідній змінній (координати, величини швидкостей і т.д). В основі класичної статистики лежать наступні положення:
· Всі частинки класичної системи помітні (тобто їх можна пронумерувати і стежити за кожною частинкою);
· Всі динамічні змінні, що характеризують стан частки, змінюються безперервно;
· В заданому стані може знаходитися необмежена кількість частинок.
1.4.1. Розподіл Максвелла.
У стані теплової рівноваги як би не змінювалися швидкості молекул при зіткненнях, середня квадратична швидкість молекул у газі, при Т = cоnst, залишається постійною і рівною . Це пояснюється тим, що в газі, встановлюється деякий стаціонарне статистичний розподіл молекул за значеннями швидкостей, зване розподілом Максвелла. Розподіл Максвелла описується деякою функцією f (u), званою функцією розподілу молекул за швидкостями.
,
де N - загальне число молекул, dN (u) - число молекул, швидкості яких належать інтервалу швидкостей від u до u + du.
Таким чином, функція Максвелла f (u) дорівнює ймовірності того, що величина швидкості навмання вибраної молекули належить одиничному інтервалу швидкостей поблизу значення u. Або вона дорівнює частці молекул, швидкості яких належать одиничному інтервалу швидкостей поблизу значення u.

рис.12 рис. 13
Явний вигляд функції f (u) був отриманий теоретично Максвеллом
.
Графік функції розподілу наведено на рис.12. З графіка випливає, що функція розподілу прагне до нуля при u ® 0 і u ® ¥ і проходить через максимум при деякій швидкості u _В, званої найбільш вірогідною швидкістю. Цією швидкістю і близькою до неї має найбільше число молекул. Крива несиметрична щодо u _В.
Значення найбільш вірогідною швидкості можна знайти, використовуючи умову для максимуму функції f (u).
.
На рис. 13 показано зміщення u _У зі зміною температури, при цьому площа під графіком залишається постійною і рівною 1, що випливає з умови нормування функції Максвелла
.
Умова нормування випливає з сенсу даного інтеграла - він визначає ймовірність того, що швидкість молекули потрапляє в інтервал швидкостей від 0 до ¥. Це достовірна подія, його ймовірність, за визначенням, приймається рівною 1. Знання функції розподілу молекул газу за швидкостями дозволяє обчислювати середні значення будь-яких функцій швидкості, зокрема середньої арифметичної швидкості <u>.
.
По функції Максвелла можна визначити частку молекул, швидкості яких належать заданому інтервалу швидкостей або перевищують деяке значення швидкості, наприклад, другу космічну, що визначає розсіювання атмосфери.
.
1.4.2. Розподіл Больцмана
Тепловий рух частинок тіла призводить до того, що положення їх у просторі змінюється випадковим чином. Тому можна ввести функцію розподілу частинок за координатами, визначальну ймовірність виявлення частки в тому чи іншому місці простору.

де -Щільність ймовірності тобто ймовірність виявлення частки в одиничному об'ємі поблизу точки з радіус-вектором r.
При відсутності зовнішніх силових полів існує рівномірний розподіл часток ідеального газу за координатами, при цьому функція розподілу
,
де n-концентрація часток, N-повне число частинок газу.
Зовнішнє силове поле змінює просторовий розподіл частинок, при цьому концентрація часток і функція розподілу залежать від координат. Якщо зовнішнє силове поле є потенційним, то концентрація часток поблизу точки простору з радіус-вектором r, залежить від потенційної енергії частинок у даному місці.

де n _{o-концентрація} часток у тому місці, де E _p = 0.
У цьому випадку ймовірність знайти частку в обсязі dV, поблизу точки з радіус-вектором r, визначається виразом
.
Цей закон називається розподілом Больцмана.
Для ідеального газу тиск пов'язано з концентрацією співвідношенням Р = nkT. У полі земного тяжіння концентрація змінюється з висотою над поверхнею Землі і, якщо газ знаходиться в рівноважному стані при температурі Т, то зміна тиску з висотою відбувається за законом
.
Останнє співвідношення називається барометричною формулою.
У дійсності земна атмосфера не знаходиться в стані рівноваги, її температура змінюється з висотою, і барометрическую формулу слід застосовувати до ділянок атмосфери, в межах яких зміною температури можна знехтувати. З барометричної формули випливає, що тиск різних газів змінюється з висотою по різному.
На рис.14 показано зміну тиску газу з висотою для різних газів при T = const, а на рис. 15 - зміна концентрації молекул газу (m = const) при різних температурах.

1

m 1> m 2

h

Рис.14

T 2> T 1

n

Рис.15

h

n 01 n 02

1.5. Середнє число зіткнень і середня довжина вільного пробігу молекул
Молекули газу, перебуваючи в стані хаотичного руху, постійно стикаються один з одним. Відстані, які проходять молекули між двома послідовними зіткненнями, змінюються випадковим чином. Тому можна говорити про середній довжині вільного пробігу молекул <l>.
Мінімальна відстань, на яку зближуються центри молекул, називається ефективним діаметром молекули d. Він залежить від швидкості зіштовхуються молекул, тобто від температури. За 1 з молекула проходить шлях, рівний <u>, і, якщо <z> - середнє число зіткнень за одиницю часу, то
.
Молекула, яка рухається по центру циліндра (рис. 16), стикається тільки з тими молекулами, центри яких знаходяться всередині циліндра радіусом 2r = d.
,
більш точно - При обліку руху інших молекул.

Рис. 16
.

1.6. Явища переносу в газах.
У газі, що знаходиться в нерівноважному стані, виникають незворотні процеси, звані явищами переносу. У ході цих процесів відбувається просторовий перенесення речовини (дифузія), енергії (теплопровідність), імпульсу спрямованого руху (в'язке тертя). Якщо протягом процесу не змінюється з часом, то такий процес називається стаціонарним. В іншому випадку це нестаціонарний процес. Стаціонарні процеси можливі лише в стаціонарних зовнішніх умовах. У термодинамічно ізольованій системі можуть виникати тільки нестаціонарні явища переносу, спрямовані на встановлення рівноважного стану.
Дифузія, теплопровідність, в'язкість є незворотними процесами, які виникають спонтанно внаслідок теплового руху при відхиленні речовини (газу) від рівноважного стану. Це відхилення полягає, відповідно, в неоднорідному розподілі речовини, його температури, у відмінності швидкостей спрямованого руху макроскопічних частин середовища.
Дифузія
Під дифузією зазвичай розуміється взаємопроникнення речовини в різних сумішах, що супроводжується спрямованим переносом маси речовини з місць з високою щільністю в місця з меншою щільністю. Перенесення маси речовини підкоряється закону Фіка «щільність потоку речовини (маса, що переноситься за одиницю часу через одиничну площадку) прямо пропорційна градієнту щільності»:

де D - коефіцієнт дифузії. Знак мінус показує, що перенесення маси відбувається в напрямі зменшення щільності.
Маса М речовини, перенесена в результаті стаціонарної дифузії через площу S за час t:
.
Згідно кінетичної теорії газів,

Теплопровідність
Якщо в одній області газу середня кінетична енергія молекул більше, ніж в іншій, то з плином часу внаслідок постійних зіткнень молекул температура вирівнюється. Процес передачі енергії у формі тепла підкоряється закону Фур'є «щільність потоку тепла (кількість теплоти, переноситься за одиницю часу через одиничну площадку) прямо пропорційно градієнту температури».
,
де k - коефіцієнт теплопровідності. Знак мінус показує, що при теплопровідності енергія переноситься у бік зменшення температури. Кількість тепла, переноситься в стаціонарному процесі теплопровідності (стаціонарне просторовий розподіл температури) через площу S за час t
.
Для ідеального газу

де c _v - питома теплоємність газу при постійному обсязі, r - щільність газу.
В'язкість
В'язке тертя в газі або рідини це результат перенесення імпульсу спрямованого руху. Механізм виникнення внутрішнього тертя між шарами газу (рідини), що рухаються з різними швидкостями, полягає в тому, що через хаотичного теплового руху відбувається обмін молекулами між шарами, в результаті чого імпульс шару, що рухається швидше, зменшується, що рухається повільніше - збільшується, що призводить до появи сил в'язкого тертя. Внутрішнє тертя підкоряється закону Ньютона «щільність потоку імпульсу спрямованого руху (рівна силі в'язкого тертя, що діє на одиничну площадку, перпендикулярну напрямку перенесення) пропорційна градієнту швидкості спрямованого руху
,
де h - динамічна в'язкість (коефіцієнт в'язкості), - Градієнт швидкості направленого руху. Знак мінус вказує, що сила тертя спрямована проти швидкості u. Коефіцієнт в'язкості для ідеального газу
.
Сила F, що діє на площу S, пропорційна цій площі і градієнту швидкості
.
Коефіцієнти переносу пов'язані між собою простими співвідношеннями

1. Основи термодинаміки
2.1. Перший початок термодинаміки
Внутрішня енергія макроскопічної системи якісно відрізняється від механічної енергії, що утворюють систему частинок. Це проявляється в існуванні двох форм зміни внутрішньої енергії - роботи і теплопередачі (теплообміну). Робота відбувається в тих випадках, коли при взаємодії системи з оточуючими тілами, виникає будь - яку впорядкований рух. В, зокрема, газ здійснює роботу тільки при зміні його об'єму. У процесі теплопередачі також може відбуватися зміна внутрішньої енергії, обумовлене зміною енергії, що утворюють систему частинок, і не пов'язане з вчиненням роботи. Зміна внутрішньої енергії в цьому випадку вимірюється кількістю тепла.
Закон збереження енергії, в якому враховується особлива форма передачі енергії шляхом теплопередачі, є фундаментальним законом фізики і називається першим початком термодинаміки.
«Кількість тепла, отримане системою, витрачається на приріст внутрішньої енергії системи і на вчинення системою роботи над зовнішніми тілами (системами)»

Перший початок сформульовано на підставі узагальнення дослідних фактів і справедливо для всіх теплових процесів. Останнє співвідношення є термодинамічним визначенням внутрішньої енергії системи.

«Внутрішня енергія системи є функцією її стану, визначеній з точністю до довільної сталої, приріст якої дорівнює різниці між кількістю тепла, отриманим системою і роботою, досконалою системою в ході теплового процесу».
Зміна внутрішньої енергії залежить тільки від початкового і кінцевого станів системи. Робота і кількість тепла залежать від виду процесу, який переводить систему з початкового стану в кінцеве, тобто вони не є функціями стану системи.
Якщо система періодично повертається в початковий стан, DU = 0 і A = Q, тобто не можна побудувати вічний двигун, який здійснював би більшу за величиною роботу, ніж кількість повідомленої йому ззовні енергії.
За формою обміну енергією можна виділити три види систем:
1) ізольовані (dQ = 0, dA = 0),
2) теплоізольовані (адіабатичні) (dQ = 0, dA ¹ 0),
3) теплові резервуари (dA = 0, dQ ¹ 0).
2.2. Робота газу при зміні його об'єму
Знайдемо роботу, чинену газом при зміні його об'єму. Розглянемо газ, що знаходиться під поршнем у циліндричній посудині (рис. 17).

p e

dx

p

S

Рис.17

Якщо газ, розширюючись, пересуває поршень на відстань dx, то він виробляє роботу проти сил зовнішнього тиску р _е
,
де S - площа поршня, dV - зміна обсягу газу. Повна робота А _12, чинена газом при зміні його об'єму від V ₁ до V ₂
.

V 1

V 2

V

P

A 12

Рис.18

Якщо процес розширення газу є рівноважним, тобто що йде без перепадів тисків і температур, то робота може бути обчислена через тиск самого газу (р _е = р). Графічно робота газу дорівнює площі під кривою процесу в діаграмі PV (рис.18). Якщо газ здійснює круговий процес (цикл), то робота буде дорівнює площі циклу.
Робота газу при ізопроцессах:
1. Ізохоричний
V = const, dV = 0, A ₁₂ = 0.
2. Ізотермічний
T = const, .
3. Изобарических
P = const,
2.3. Теплоємність
Теплоємність тіла або системи - скалярна фізична величина, що характеризує процес теплообміну і рівна кількості тіла, отриманому системою при зміні його температури на один кельвін.

Теплоємність можна віднести до одного молю або до одиниці маси речовини. Відповідні теплоємності називаються молярної З _m або питомої с. Одиницями виміру теплоємностей є: повної-Дж / К, молярної - Дж / (моль) × К, питомої - Дж / кг × К. Знаючи теплоємності можна обчислити кількість тепла, отримане системою:
Q = CDT, Q = nC _m DT, Q = cMDT.
Теплоємність, як і кількість тепла, залежить від виду теплового процесу. Розрізняють теплоємності при постійному тиску і постійному обсязі, якщо в процесі нагрівання речовини підтримуються постійними відповідно тиск і об'єм. Якщо газ нагрівається при постійному об'ємі, то робота зовнішніх сил дорівнює нулю і повідомлена газу ззовні теплота йде на збільшення внутрішньої енергії

Використовуючи перший початок термодинаміки можна показати, що молярна теплоємність газу при постійному обсязі C _{m V} і молярна теплоємність газу при постійному тиску C _{m P} зв'язані співвідношенням: . Це співвідношення називається рівнянням Майєра.
При розгляді теплових процесів важливо знати характерне для кожного газу ставлення C _P до C _V:
.
З останніх формул випливає, що молярні теплоємності не залежать від температури в тих областях, де g = const.
2.4. Застосування першого початку термодинаміки до ізопроцессам
Ізохоричний процес. (V = const). Газ не здійснює роботу, тобто dA = 0. З першого початку термодинаміки випливає, що вся теплота, що повідомляється газу, йде на збільшення його внутрішньої енергії:
.
Изобарических процес (p = const). Теплота, повідомлена газу, йде на прирощення внутрішньої енергії і на здійснення роботи над зовнішніми тілами
.
Ізотермічний процес (T = const). Внутрішня енергія газу не змінюється і вся кількість тепла, що повідомляється газу, витрачається на здійснення ним роботи проти зовнішніх сил:
.
2.5. Адіабатичний процес

Адіабатичним називається процес, при якому відсутня теплообмін
(DQ = 0) між фізичною системою і навколишнім середовищем. Близькими до адіабатичним є всі швидкоплинучими процеси. З першого початку термодинаміки для адіабатичного процесу випливає, що , Тобто робота здійснюється за рахунок убутку внутрішньої енергії системи. Використовуючи перший початок термодінаміні і співвідношення (44) можна отримати рівняння адіабатичного процесу

.
Обчислимо роботу, що здійснюються газом в адіабатичному процесі. Якщо газ розширюється від об'єму V ₁ до V _2, то його температура падає від T ₁ до T ₂ і робота розширення ідеального газу
.
Це вираз для роботи при адіабатичному процесі можна перетворити до виду
.

2.6. Зворотні і незворотні процеси. Коефіцієнт корисної дії теплового двигуна.
До оборотним процесів відносяться процеси, після проведення яких у прямому і зворотному напрямках у навколишніх систему тілах не залишається ніяких змін. Для оборотних процесів характерне наступне: якщо в ході прямого процесу система отримала кількість тепла Q і зробила роботу А, то в ході зворотного процесу система віддає кількість тепла Q ^¢ =- Q і над нею відбувається робота А ^¢ =- А. До оборотним процесів відносяться всі рівноважні процеси. У випадку незворотного процесу, після повернення системи в початковий стан, у навколишніх систему тілах залишаються зміни (змінюються положення тіл і їх температури). Усі реальні процеси в більшій чи меншій мірі необоротні.
У процесі перетворення тепла в роботу використовується тепловий двигун, що працює по якому або круговому процесу (циклу). Коефіцієнт корисної дії такого двигуна (термічний К.П.Д.) визначає частку тепла, перетворювану в роботу.
,
де А - робота, здійснена двигуном за цикл, Q ₁ - кількість тепла, отриманого двигуном, Q ^¢ ₂ - кількість тепла, відданого двигуном в навколишнє середовище.
Роботу теплового двигуна можна представити на діаграмі станів у вигляді деякого теплового кругового процесу (рис.19).

Р

V

1

2

а

б

V 1

V 2

Рис.19

Загальна робота А визначається площею циклу 1а2в1. Якщо за цикл відбувається А> 0, то цикл називається прямим, і якщо А <0, - зворотним.
Прямий цикл використовується в тепловому двигуні, що здійснює роботу за рахунок одержання ззовні теплоти. Зворотний цикл використовується в холодильних машинах, в яких за рахунок роботи зовнішніх сил теплота переноситься до тіла з високою температурою (рис.20).
Важливим завданням термодинаміки є вивчення процесів перетворення тепла в роботу і встановлення можливих меж підвищення термічного К.П.Д.
2.7. Другий закон термодинаміки
Аналіз виразу для П.Д. показує, що максимальний К.П.Д. рівний 1 можливий, якщо двигун все одержуване кількість тепла буде перетворювати в роботу. Усі досвідчені факти свідчать про неможливість створення такого двигуна (вічний двигун другого роду) і це було сформульовано у вигляді другого початку термодинаміки.
«Неможливий кругової процес, єдиним результатом якого було б виробництво роботи за рахунок охолодження теплового резервуара»
Вільям Томсон (лорд Кельвін).
«Теплота не може мимовільно переходити від тіла менш нагрітого до тіла більш нагрітого»
Рудольф Клаузіус.
Другий закон термодинаміки не тільки встановило кордону перетворення тепла в роботу, але і дозволило побудувати раціональну шкалу температур (термодинамічна шкала температур) і встановити напрям процесів, що відбуваються в теплоізольованих системах.
2.8. Цикл Карно і теорема Карно.
У 1824 р. С. Карно запропонував і досліджував ідеальний тепловий цикл, названий надалі циклом Карно. Цей цикл складається з двох ізотерм і двох адіабати (рис.21). Карно також сформулював дві теореми, що визначають максимальне значення К.П.Д. теплового двигуна.
«Коефіцієнт корисної дії теплової машини, що працює за циклом Карно, залежить тільки від температур Т ₁ і Т ₂ нагрівача і холодильника, але не залежить від будови машини, а також від виду використовуваного робочої речовини».
«Коефіцієнт корисної дії будь-якої теплової машини не може перевершувати коефіцієнта корисної дії ідеальної машини, що працює за циклом Карно з тими ж самими температурами нагрівача і холодильника».

Рис. 21

1 ® 2, 3 ® 4, - ізотермічні розширення і стиснення, 2 ® 3, 4-1 - адіабатичні розширення і стиснення. У процесі 1 ® 2 , Тому Q 1 = . У процесі 3 ® 4 U = const, тому .

Використовуючи співвідношення (48) можна показати, що . Тоді
.
2.9. Термодинамічне нерівність Клаузіуса. Ентропія
Розглядаючи процеси перетворення тепла в роботу, Р. Клаузіус сформулював термодинамічну нерівність, що носить його ім'я.
«Зазначена кількість тепла, отримане системою в ході довільного кругового процесу, не може бути більше нуля»

де dQ - кількість тепла, отриманого системою при температурі Т, dQ ₁ - кількість тепла, що отримується системою від ділянок навколишнього середовища з температурою Т _1, dQ ^¢ ₂ - кількість тепла, що віддається системою ділянкам навколишнього середовища при температурі Т _2. Нерівність Клаузіуса дозволяє встановити верхню межу термічного К.П.Д. при змінних температурах нагрівача і холодильника.
,
де Т _{1 макс} - максимальна температура ділянки середовища, від якого система отримує тепло; Т _{2 хв} - мінімальна температура ділянки середовища, якому система віддає тепло.
З виразу для оборотного циклу Карно випливає, що або , Тобто для оборотного циклу нерівність Клаузіуса переходить в рівність. Це означає, що наведене кількість тепла, отриманого системою в ході оборотного процесу, не залежить від виду процесу, а визначається тільки початковим і кінцевим станами системи. Тому наведене кількість тепла, отримане системою в ході оборотного процесу, служить мірою зміни функції стану системи, яку називають ентропією.
Ентропія системи - функція її стану, визначена з точністю до довільної сталої. Приріст ентропії одно наведеному кількості тепла, яке потрібно повідомити системі, щоб перевести її з початкового стану в кінцеве за будь оборотного процесу.
, .
Важливою особливістю ентропії є її зростання в ізольованих системах (закон зростання ентропії).
«Ентропія теплоізольованої (адіабатичне) системи не може зменшуватися; вона зростає, якщо в системі йде незворотний процес, і залишається постійною при оборотному процесі в системі».
Необоротні процеси в системі призводять до встановлення рівноважного стану. У цьому стані ентропія ізольованої системи досягає максимуму і надалі ніякі макроскопічні процеси в системі неможливі.
Зміна ентропії при наявності теплообміну з навколишнім середовищем, може бути яким завгодно, як більше нуля, так і менше нуля.
Отримаємо вираз для збільшення ентропії ідеального газу, при переході зі стану з параметрами T _1, V _1, в стан з параметрами T _2, V _2.
.
З виразу для збільшення ентропії газу випливає, що ентропія є функцією двох параметрів - температури та об'єму S = S (T, V).
Введення ентропії дозволяє поєднати перше і друге початку термодинаміки у виді термодинамічної нерівності
,
де знак = відноситься до оборотних процесів, знак> - до необоротних.
Ентропія, як і внутрішня енергія, пов'язана з мікроскопічним будовою системи і статистичним характером теплового руху частинок системи.
2.10. Фазовий простір. Мікро-і макро-стану системи.
Статистичний аналіз поведінки системи свідчить про те, що ймовірність стану і ентропія поводяться схожим чином, а, саме, під час переходу системи до рівноважного стану і ентропія, і ймовірність зростають. Для встановлення точного співвідношення між ними необхідно ввести статистичний опис системи з мікроскопічної та макроскопічної точок зору. Це можливо шляхом введення фазового простору, у якому рухаються частинки системи. Фазовий простір - шестімерное простір, по осях якого відкладаються значення координат та проекцій імпульсів частинок (x, y, z, p _x, p _y, p _z). Враховуючи, що динамічні змінні змінюються безперервно, вести опис станів з вказівкою точних значень координат і імпульсів для кожної частинки неможливо. Тому всі фазовий простір розбивається на фазові осередку, об'ємом DV = DxDyDzDp _x Dp _y Dp _z. Тепер стан кожної частки може бути визначено зазначенням того, в якій фазової осередку вона знаходиться.
Стан системи, заданий зазначенням того, які частки знаходяться в кожній фазової комірці, називається мікростану системи.
З макроскопічної точки зору стан системи залежить від того, скільки частинок мають те чи інше значення енергії або скільки частинок знаходиться поблизу даної точки системи, але не які саме це частинки. Тому
Стан системи, заданий зазначенням того, скільки частинок знаходиться в кожній фазової комірці, називається макросостояніем системи.
При подібному описі стану системи, переміщення часток у межах фазової осередку не змінюють ні мікро-ні макро-стан. Переходи частинок з однієї комірки в іншу при незмінному їх числі в кожній фазової осередку змінюють мікростану, але залишають колишнє макросостояніе. Таким чином, одне і теж макроскопічне стан може бути реалізовано при самих різних мікростану. Це призводить до того, що ймовірність виникнення того чи іншого макросостоянія системи залежить від числа мікростану, що реалізують даний макросостояніе.
2.11. Статистичний вага (термодинамічна вірогідність) макросостоянія та його зв'язок з ентропією.
«Кількість різних мікростану, що реалізують даний макросостояніе системи, називається статистичним вагою або термодинамічної ймовірністю макросостоянія».
Всі мікростану системи різновірогідні, а ймовірність (математична) макросостоянія визначається її статистичними вагою. Аналіз значень статистичних ваг різних макросостояній показує, що в рівноважному стані статистичний вага максимальний. Це означає, що всі макроскопічні процеси мають односторонньою спрямованістю. Перехід між двома макроскопічними станами можливий тільки в тому випадку, якщо кінцевий стан є більш ймовірним, ніж початкова. У цьому полягає механізм незворотності теплових процесів, що виявляється в прагненні всіх макроскопічних тіл перейти в рівноважний стан. З іншого боку, статистика не виключає самовільних переходів у нерівноважні стани, просто ці переходи малоймовірні (статистичні флуктуації).
Отримаємо вираз для статистичної ваги макросостоянія. Нехай в системі є N частинок, а всі фазовий простір (область можливих значень координат і імпульсів) розбито на m осередків. Розрахуємо статистичний вага стану при якому: в 1 ^ой комірці знаходиться N ₁ частинок, по 2 ^ий комірці - N ₂ частинок, і т.д.; в m ^ої комірці - N _m частинок. Для цього достатньо розрахувати число можливих перестановок частинок між осередкам (вони не змінюють числа частинок в осередках). Це можна зробити, якщо із загального числа перестановок N частинок N! , Виключити перестановки в межах кожного осередку N _i! (Вони нічого не змінюють).
.
Якщо в системі створити штучно нерівноважний стан, то в переважній більшості випадків система мимовільно буде переходити в стан з більшою ймовірністю. З іншого боку, згідно термодинаміки, всі самовільні процеси в замкнутій системі, супроводжуються зростанням ентропії. Тому слід очікувати, що між ентропією системи S у кожному стані і ймовірністю W того ж стану повинна існувати однозначна зв'язок. Цей зв'язок була встановлена ​​Больцманом (формула Больцмана)
,
де k - постійна Больцмана.
Останнє співвідношення можна розглядати як визначення ентропії. При такому розумінні ентропії закон її зростання втрачає свою абсолютність і стає статистичними законом. Ентропія замкнутої системи може не тільки зростати, але й спадати. Це можна трактувати наступним чином: якщо система знаходиться в нерівноважному стані, то перехід її в більш ймовірне стан буде відбуватися в переважній більшості випадків, переходи ж у менш імовірні стану (з меншою ентропією) настільки малоймовірні, що практично не мають ніякого значення. Тоді закон зростання ентропії виправдовується на практиці з абсолютною достовірністю.

Приклади розв'язання задач

Задача 1 Суміш азоту і гелію при температурі 27 ⁰ С перебуває під тиском р = 1,3 × 10 ² Па. Маса азоту складає 70% від загальної маси суміші. Знайти концентрацію молекул кожного з газів.

T = 300 К p = 1,3 × 10 2 Па M 1 = 0,7 M	Рішення При даному тиску газ можна вважати ідеальним. Згідно основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії: р = nkT, звідки n = p / kT. З одного боку, маса кожного з газів: M 1 = c 1 M, (1)
n 1 -? n 2 -?

M ₂ = c ₂ M,
де M - маса суміші;
з ₁ і з ₂ - процентний вміст азоту і гелію.
З іншого боку, маса кожного з газів:
(2)
де V - об'єм газу;
m - молярна маса газу;
m _i / N _А - маса молекули.
Прирівнюючи праві частини рівнянь (1) і (2), отримаємо:
c ₁ M = ; C ₂ M = ;
звідки n ₁ / n ₂ = = 1 / 3. Так як n ₁ + n ₂ = n,
то n ₁ = = 0,8 × 10 ²² м ^-3, n _{2 =} = 2,4 × 10 ²² м ^-3.
Відповідь: n ₁ = = 0,8 × 10 ²² м ^-3, n _{2 =} = 2,4 × 10 ²² м ^-3.
Задача 2 Знайти середню квадратичну швидкість, середню кінетичну енергію поступального руху і середню повну кінетичну енергію молекул азоту і гелію при температурі 27 ⁰ С. Визначити повну енергію всіх молекул 100 г кожного з газів.

T = 300 К M 1 = 0,1 кг m Чи не = 4 × 10 -3 кг / моль m N 2 = 28 × 10 -3 кг / моль	Рішення Середня кінетична енергія поступального руху однієї молекули ідеального газу визначається як <Е> = kT. <E> = 6,2 × 10 -21 Дж, причому середні енергії поступального руху однієї молекули азоту і гелію однакові. Середня квадратична швидкість молекул газу залежить від маси його молекул:
<u кв> -? E -? W -?

<u _кв> = . (1)

Для розрахунку середньої квадратичної швидкості вираз (1) зручно перетворити, помноживши чисельник і знаменник на N _A.

<u _кв> = ;
<u _кв> = 13,7 × 10 ² м / с - для гелію;
<u _кв> = 5,17 × 10 ² м / с - для азоту.
Середня повна енергія молекули залежить від числа ступенів свободи молекули:
<E _0> = .
Повна кінетична енергія всіх молекул, рівна для ідеального газу його внутрішньої енергії, може бути знайдена як твір Е ₀ на число всіх молекул:
Е = U = Е ₀ × N, N = .
Гелій - одноатомний газ Þ i = 3, тоді <E _0> = 6,2 × 10 ^-21 Дж.
Азот - двоатомний газ Þ i = 5, тоді <E _0> = 10,4 × 10 ^-21 Дж.
Повна енергія всіх молекул
Е = .
Для гелію W = 93,5 × 10 ³ Дж; для азоту W = 22,3 × 10 ³ Дж.
Відповідь: для гелію W = 93,5 × 10 ³ Дж; для азоту W = 22,3 × 10 ³ Дж
Задача 3 Розрахувати середню довжину вільного пробігу молекул азоту, коефіцієнт дифузії і в'язкість при тиску р = 10 ⁵ Па і температурі 17 ⁰ С. Як зміняться знайдені величини в результаті двократного збільшення обсягу газу: 1) при постійному тиску; 2) при постійній температурі? Ефективний діаметр молекул азоту d = 3,7 × 10 ^-8 см.

p = 5 жовтня Па T = 300К V 2 = 2V 1 1) p - const 2) T - const d = 3,7 × 10 -10 м	Рішення Середня довжина вільного пробігу і коефіцієнти переносу можуть бути розраховані за наступними формулами: ; (1) , (2) , (3) де n - концентрація молекул газу; <u> - середня швидкість молекули; m 0 - маса однієї молекули;
l -? D -? h -?

Концентрацію молекул можна визначити з рівняння p = nkT:
n = p / kT підставимо в рівняння (1):
6,5 × 10 ^-8 м.
Середня швидкість <u> = = 470 м / с;
Тоді D = 1 × 10 ^-5 м ² / с.
Для розрахунку h підставимо (1) в (3):
1,2 × 10 ^-5 .
Як видно з виразу (1), довжина вільного пробігу залежить тільки від концентрації молекул. При дворазовому збільшенні обсягу концентрація зменшиться вдвічі. Отже, при будь-якому процесі l ₂ / l ₁ = 2.
У вираз для коефіцієнта дифузії входить не тільки довжина вільного пробігу, але і середня швидкість. Тоді:

При р = const обсяг прямо пропорційний температурі: Т ₂ / Т ₁ = V ₂ / V ₁ = 2, тоді D ₂ / D ₁ = .
При Т = const D ₂ / D ₁ = l ₂ / l ₁ = 2.
В'язкість залежить від швидкості молекул, отже, і від температури, тобто
,
при р = const ;
при Т = const .
Відповідь: l = 6,5 × 10 ^-8 м; D = 1 × 10 ^-5 м ² / с; h = 1,2 × 10 ^-5 .
Задача 4 Порошинки масою 10 ^-18 р. зважені в повітрі. Визначити товщину шару повітря, в межах якого концентрація пилинок розрізняється не більше ніж на 1%. Температура повітря у всьому обсязі однакова: Т = 300 К.

m 1 = 10 -21 кг T = 300 К	Рішення При рівноважному розподілі пилинок їх концентрація залежить тільки від координати z по осі, спрямованої вертикально. За розподілом Больцмана: n = n 0 × e - u / kT = n 0 × e - mgz / kT. (1)
DZ -?

Диференціюючи вираз (1) по z, отримаємо
dn =- n _{0 ×} × e ^{- mgz / kT} × dz.
Так як n _{0 ×} e ^{- mgz / kT} = n, то dn =- × n × dz. Звідси dz = .
Знак «-» показує, що позитивним змінам координати (dz> 0) відповідає зменшення відносної концентрації (dn <0). Знак «-» опускаємо і замінюємо dz і dn кінцевими приростами Dz і Dn:
.
Dn / n = 0,01 за умовою задачі. Підставляючи значення, отримаємо Dz = 4,23 мм.
Відповідь: Dz = 4,23 мм
Задача 5 Обчислити питомі теплоємності з _v і з _p суміші неону і водню. Масові частки газів w ₁ = 0,8 і w ₂ = 0,2. Значення питомих теплоємностей газів - неон: з _v = 6,24 ; C _p = 1,04 ; Водень: з _v = 10,4 ; З _p = 14,6 .

w 1 = 0,8 w 2 = 0,2 c V ​​1 = 6,24 кДж / кг × К c p 1 = 1,04 кДж / кг × К c V ​​2 = 10,4 кДж / кг × К c p 2 = 14,6 кДж / кг × К	Рішення Теплоту, необхідну для нагрівання суміші на DТ, висловимо двома співвідношеннями: , (1) де з v - питома теплоємність суміші, M 1 - маса неону, M 2 - маса водню, і , (2) де c v 1 і з v 2 - питомі теплоємності неону і водню відповідно.
c p -? c v -?	Прирівнявши праві частини виразів (1) і (2) і розділивши обидві частини отриманого рівності на DТ, знайдемо:

,
звідки .
Відносини і висловлюють масові частки неону і водню відповідно. З урахуванням цих позначень остання формула прийме вигляд:
,
Підставляючи значення, отримаємо з _v = 2,58 × 10 ³ .
Таким же чином отримаємо формулу для обчислення питомої теплоємності суміші при постійному тиску:

Підставляючи значення, отримаємо з _р = 3,7310 ³ .
Відповідь: з _v = 2,58 × 10 ³ ; З _р = 3,7310 ^{березні} .
Задача 6 Кисень масою M = 2 кг займає обсяг v ₁ = ₁ м ³ і знаходиться під тиском p ₁ = 2атм = 2,02 × 10 ⁵ Па. Газ був нагрітий спочатку при постійному тиску до об'єму V ₂ = 3 м ^3, а потім при постійному обсязі до тиску
p ₂ = 5атм = 5,05 × 10 ⁵ Па. Знайти зміну внутрішньої енергії газу DU, досконалу їм роботу А і теплоту, передану газу. Побудувати графік процесу.

M = 2 кг V 1 = 1 м 3 p 1 = 2,02 × 10 5 Па p - const V 2 = 3 м 3 V - const p 2 = 5,05 × 10 5 Па	Рішення Зміна внутрішньої енергії газу визначається за формулою . (1) З рівняння Менделєєва - Клапейрона , Висловимо температуру: . (2) Підставляючи в формулу (2) значення тиску і об'єму, отримаємо значення температури: Т 1 = 389 К, Т 2 = 1167 К. З рівняння (1) DU = 3,28 × 10 6 Дж. Робота розраховується за формулою при p = const А 1 = 0,404 × 10 6 Дж;
D U -? A -? Q -?

V = const А ₂ = 0.
Повна робота, яка виконується газом: А = А ₁ + А ₂ = 0,404 × 10 ⁶ Дж.

На підставі першого початку термодинаміки

отримуємо теплоту, передану газу: Q = 3,68 × 10 ⁶ Дж.
Графік процесу зображений на малюнку: p
p _{2 березня}

p _{1 1} 2
v
v ₁ v ₂
Відповідь: DU = 3,28 × 10 ⁶ Дж; А = 0,404 × 10 ⁶ Дж; Q = 3,68 × 10 ⁶ Дж.
Задача 7 Ідеальна теплова машина працює за циклом Карно нагрітим повітрям, взятому при початковому тиску 7 × 10 ⁵ Па і температури 127 ⁰ С. Початковий обсяг повітря 2 × 10 ^-3 м ^3. Після першого ізотермічного розширення повітря зайняв обсяг 5 л, після адіабатичного розширення обсяг став дорівнює 8 л. Знайти координати перетину ізотерм і адіабати.

p 1 = 7 × 10 5 Па T 1 = 400К V 1 = 2 × 10 -3 м 3 T - const V 2 = 5 × 10 -3 м 3 Q - const V 3 = 8 × 10 -3 м 3	Рішення Рівняння ізотерми АВ має ві . (1)
V 1 -?, Р 1 -?, V 2 -?, Р 2 -?, V 3 -?, Р 3 -?, V 4 -?, Р 4 -?.

Для точки А , Звідки , = 0,427 молей, тоді рівняння (1) прийме вигляд:
pV = 0,427 × 8,31 × 400 = 1420 Дж.
Для точки В = 284 × 10 ³ Па.

Так як координати точок В і С задовольняють адіабати ЗС, то

, Звідки = 1,44 × 10 ⁵ Па.
Рівняння ізотерми DС = 1,44 × 1,05 × 10 ⁵ × 8 × 10 ^-3 = 1170 Дж. Звідси Т ₂ = 330 К.
Так як координати точок Д і А повинні задовольняти рівнянню адіабати, то
,
звідси V ₄ = 3,22 × 10 ^-3 м ³ та ¹⁰ травня = 3,6 × 10 ⁵ Па.
Таким чином: V ₁ = 2 × 10 ^-3 м ^3, р ₁ = 7 × 10 ⁵ Па,
V ₂ = 5 × 10 ^-3 м ^3, р ₂ = 2,8 × 10 ⁵ Па,
V ₃ = 8 × 10 ^-3 м ^3, р ₃ = 1,44 × 10 ⁵ Па,
V ₄ = 3,22 × 10 ^-3 м ^3, р ₄ = 3,6 × 10 ⁵ Па.
Задача 8 Знайти зміна ентропії при нагріванні води масою M = 100 г від температури t ₁ = ⁰ 0 С до температури t ₂ = 100 ⁰ С і наступному перетворення води в пару тієї ж температури.

M = 0,1 кг t 1 = 0 ° C t 2 = 100 ° C	Рішення Знайдемо окремо зміна ентропії DS / при нагріванні води і зміна ентропії DS / / при перетворенні води на пару. Повна зміна ентропії виразиться сумою DS / і DS / /. Зміна ентропії виражається формулою
DS -?

(1)
При нескінченно малій зміні dT температури тіла, що нагрівається витрачається кількість теплоти dQ = McdT, де M - маса тіла, с - його питома теплоємність. Підставивши dQ у формулу (1), отримаємо формулу для обчислення зміни ентропії при нагріванні води:
;
;
DS ^/ = 132 Дж / ​​К.
При обчисленні за формулою (1) зміни ентропії під час перетворення води в пару тієї ж температури T = const, і тоді
, (2)
де Q - кількість теплоти, передане при перетворенні нагрітої води в пару тієї ж температури.
Підставивши в рівність (2) вираження кількості теплоти , Де
l - питома теплота пароутворення, отримаємо:
;
DS ^{/ /} = 605 Дж / ​​К.
Повна зміна ентропії при нагріванні і наступному перетворенні її на пару DS = DS ^/ + DS ^{/ /} = 737 Дж / ​​К.
Відповідь: DS ^/ = 132 Дж / ​​К; DS ^{/ /} = 605 Дж / ​​К.
Завдання, що рекомендуються для самостійного вирішення
1. Посудина ємністю V = 10 ^-2 м ³ розділений навпіл полунепроніцаемой перегородкою. В одну половину судини введено 2 г водню та 4 г гелію. Через перегородку може дифундувати тільки водень. Під час процесу підтримується температура 100 ⁰ С. Вважаючи гази ідеальними, визначити стале тиск в обох частинах посудини.
Відповідь: p = 9,6 × 10 ⁵ Па
2. Вважаючи температуру повітря і прискорення вільного падіння не залежними від висоти, визначити, на якій висоті h над рівнем моря густина повітря менше свого значення на рівні моря в 2 рази. Температура повітря t = ⁰ 0 С.
Відповідь: h = 5,5 км
3. Температура окису азоту NO Т = 300 К. Визначити частку молекул, швидкість яких знаходиться в інтервалі від u ₁ = 820 м / с до u ₂ = 830 м / с.
Відповідь: DN / N = 0,4%
4. У балоні місткістю 10 дм ³ знаходиться гелій масою 2 г. Визначити середню довжину вільного пробігу молекул гелію.
Відповідь: l = 0,21 × 10 ^-6 м
5. Обчислити питомі теплоємності неону і водню при постійному обсязі з _v і тиску з _p, приймаючи ці гази за ідеальні.
Відповідь: з _{v 1} = 624 , C _{p 1} = 1,04 × 10 ³ , C _{v 2} = 10,4 × 10 ³ , C _{p 2} = 14,6 × 10 ³ .
6. Двоатомних газу повідомлено 500 кал тепла. При цьому газ розширюється при постійному тиску. Знайти роботу розширення газу.
Відповідь: А = 600
7. Ідеальна теплова машина працює за циклом Карно. При цьому 80% тепла, одержуваного від нагрівача, передається холодильника. Кількість теплоти, що отримується від нагрівача, так само 6,3 × 10 ⁶ . Знайти ККД циклу.
Відповідь: h = 20%
8. Визначити зміну DS ентропії при ізотермічному розширенні кисню масою m = 10 г від об'єму V ₁ = 25 л до об'єму V ₂ = 100 л.
Відповідь: DS = 3,6

Контрольне завдання № 2

201. Маса m кожної з пилинок, зважених у повітрі, дорівнює 1 × 10 ^-18 р. Відношення концентрації пилинок n ₁ на висоті h ₁ = ₁ м до їх концентрації n ₀ на висоті h ₀ = ₀ одно 0,787. Температура повітря Т = 300 К. Знайти за цими даними значення постійної Авогадро N _А.
202. На скільки зменшиться атмосферний тиск р = 100 кПа при підйомі спостерігача над поверхнею Землі на висоту h = 100 м? Вважати, що температура повітря дорівнює 290 К і не змінюється з висотою.
203. Порошинки, зважені в повітрі, мають масу m = 10 ^-18 м. У скільки разів зменшиться їх концентрація n при збільшенні висоти на Dh = 10 м? Температура повітря Т = 300 К.
204. На якій висоті тиск повітря складає 75% від тиску на рівні моря? Температуру вважати постійною і рівною ⁰ 0 С.
205. Пасажирський літак здійснює польоти на висоті 8300 м. Щоб не постачати пасажирів кисневими масками, в кабінах за допомогою компресора підтримується тиск, що відповідає висоті 2700 м. Знайти різниця тисків всередині і зовні кабіни. Середню температуру зовнішнього повітря вважати рівною ⁰ 0 С.
206. На якій висоті щільність повітря становить 50% від щільності його на рівні моря. Температуру вважати постійною і рівною ⁰ 0 С.
207. На якій висоті тиск повітря складає 55% від тиску на рівні моря? Температуру вважати постійною і рівною ⁰ 0 С.
208. На поверхні Землі барометр показує 101 кПа. Яке буде тиск при підйомі барометра на висоту 540 м. Температуру вважати однаковою і рівною 7 ⁰ С.

209. Визначити висоту гори, якщо тиск на її вершині дорівнює половині тиску на рівні моря. Температура всюди однакова і дорівнює ⁰ 0 С.
210. Пасажирський літак здійснює польоти на висоті 8300 м. Щоб не постачати пасажирів кисневими масками, в кабінах за допомогою компресора підтримується тиск, що відповідає висоті 2700 м. Знайти, у скільки разів щільність r ₂ повітря в кабіні більше щільності r ₁ повітря поза її, якщо температура зовнішнього повітря t ₁ = -20 ⁰ С, а температура повітря в кабіні t ₂ = +20 ⁰ С.
211. Знаючи функцію розподілу молекул за швидкістю, вивести формулу найбільш вірогідною швидкості.
212. Використовуючи функцію розподілу молекул за швидкістю, отримати функцію, яка має розподіл молекул за відносними швидкостями u (u = u / u _В).
213. Визначити відносне число молекул ідеального газу, швидкості яких укладені в межах від нуля до однієї сотої найбільш вірогідною швидкості.
214. Яка частина молекул азоту при 150 ⁰ С володіє швидкостями від 300 м / с до 325 м / с?
215. Яка частина молекул кисню при ⁰ 0 С володіє швидкістю від 100 м / с до 110 м / с?
216. Яка частина молекул азоту, що знаходиться при температурі Т, має швидкості, що лежать в інтервалі від u _В до _В + u Du, де Du = 20 м / с, Т = 400 К.
217. Визначити температуру кисню, для якої функція розподілу молекул за швидкостями буде мати максимум при швидкості u = 420 м / с.
218. Визначити температуру водню, при якій середня квадратична швидкість молекул більше їх найбільш вірогідною швидкості на Du = 400 м / с.
219. У скільки разів середня квадратична швидкість молекул водню більше середньої квадратичної швидкості молекул водяної пари при тій же температурі?
220. Азот знаходиться під тиском р = 10 ⁵ Па при температурі Т = 300 К. Знайти відносне число молекул азоту, швидкості яких лежать в інтервалі від u _В до _В + u Du, де Du = 1 м / с.
221. Знайти середню довжину вільного пробігу <l> молекул водню при тиску р = 0,1 Па і температурі Т = 100 К.
222. При якому тиску р середня довжина вільного пробігу <l> молекул дорівнює 1 м, якщо температура газу дорівнює 300 К.
223. Балон місткістю V = 10 л містить водень масою 1 м. Визначити середню довжину вільного пробігу молекул <l>.
224. Знайти залежність середньої довжини вільного пробігу <l> молекул ідеального газу від тиску р при наступних процесах: 1) ізохоричному;
2) изобарических. Зобразити ці залежності на графіках.
225. Знайти середнє число <z> зіткнень, які долають протягом 1с молекулою кисню при нормальних умовах.
226. Знайти залежність середнього числа зіткнень <z> молекули ідеального газу в 1 с від температури Т при ізохоричному і изобарических процесах. Зобразити ці залежності на графіках.
227. Вуглекислий газ і азот знаходяться при однакових температурі і тиску. Знайти для цих газів ставлення коефіцієнтів дифузії.
228. Знайти коефіцієнт теплопровідності водню, в'язкість якого
h = 8,6 мкПа × с.
229. Знайти коефіцієнт теплопровідності повітря при температурі 10 ⁰ С і тиску 0,1 МПа. Діаметр молекули повітря прийняти рівним 0,3 нм.
230. Вуглекислий газ і азот знаходяться при однакових температурі і тиску. Знайти для цих газів ставлення коефіцієнтів внутрішнього тертя.
231. Який обсяг займає суміш газів - азоту масою m ₁ = ₁ кг і гелію масою m ₂ = 1 кг - при нормальних умовах?
232. Газ при температурі Т = 309 К і тиску р = 0,7 МПа має щільність r = 12 кг / м ^3. Визначити відносну молекулярну масу газу.
233. У балоні об'ємом v = 25 л знаходиться водень при температурі Т = 290 К. Після того як частина водню витратили, тиск у балоні знизився на Dр = 0,4 МПа. Визначити масу витраченого водню.
234. Балон об'ємом V = 30 л містить суміш водню і гелію при температурі Т = 300 К і тиску р = 828 кПа. Маса m суміші дорівнює 24 г. Визначити масу m ₁ водню і m ₂ гелію.
235. У балонах об'ємом V ₁ = 20 л і V ₂ = 44 л міститься газ. Тиск в першому балоні р ₁ = 2,4 МПа, в другому р ₂ = 1,6 МПа. Визначити загальний тиск р і парціальні р ₁ ^I і р ₂ ^I після з'єднання балонів, якщо температура газу залишилася незмінною.
236. Балон об'ємом 12 л містить вуглекислий газ. Тиск газу р одно
1 МПа, температура Т = 300 К. Визначити масу газу в балоні.
237. Скільки молекул газу міститься в балоні місткістю V = 30 л при температурі Т = 300 К і тиску р = 5 Мпа?
238. Тиск газу дорівнює 1 МПа, концентрація його молекул дорівнює ¹⁰ 10 см ^-3. Визначити: 1) температуру газу, 2) середню кінетичну енергію поступального руху молекул.
239. У колбі місткістю V = 240 см ³ знаходиться газ при температурі Т = 290 К і тиску 50 кПа. Визначити кількість речовини газу n і число його молекул N.
240. 12 г газу займають об'єм V = 4 × 10 ^-3 м ³ при температурі 7 ⁰ С. Після нагрівання газу при постійному тиску його щільність r = 1 × 10 ^-3 г / см ^3. До якої температури нагріли газ?
241. Які питомі теплоємності з _v і з _p суміші газів, що містить кисень m ₁ = 10 г і вуглекислий газ m ₂ = 20 г?
242. Визначити питому теплоємність з _v суміші газів, що містить V ₁ = 5 л водню і V ₂ = 3 л гелію. Гази перебувають при однакових умовах.
243. Визначити питому теплоємність з _p суміші кисню та гелію, якщо кількість речовини (n = ) Першого компонента дорівнює 2 молям, а кількість речовини другої - 4 молям.
244. Суміш газів складається з хлору і криптону, взятих при однакових умовах і в рівних обсягах. Визначити питому теплоємність з _p суміші.
245. Обчислити питомі теплоємності з _v і з _p газів: 1) гелію, 2) водню, 3) вуглекислого газу.
246. Різниця питомих теплоємностей (з _p - з _v) деякого двоатомних газу дорівнює 260 . Знайти молярну масу m газу і його питомі теплоємності з _v і з _p.
247. Дана суміш газів, що складається з неону, маса якого m ₁ = 4 кг і водню, маса якого m ₂ = 1 кг. Гази вважати ідеальними. Визначити питомі теплоємності суміші газів в процесах: p = const, V = const.
248. Приймаючи ставлення теплоємностей для двохатомних газів g = 1,4, обчислити питомі теплоємності кисню.
249. Знайти ставлення з _p / с _v для суміші газів, що складається з 10 г гелію і 4 г водню.
250. Обчислити відношення з _р / _{р v} для суміші 3 молей аргону та 5 молей кисню.
251. Водень займає об'єм V ₁ = 10 м ³ при тиску р ₁ = 100 кПа. Газ нагріли при постійному обсязі до тиску р ₂ = 300 кПа. Визначити: 1) зміна внутрішньої енергії газу, 2) роботу А, чинену газом; 3) кількість теплоти Q, повідомлене газу.
252. Азот нагрівається при постійному тиску, причому йому було повідомлено кількість теплоти Q = 21 кДж. Визначити роботу А, яку зробив при цьому газ, і зміна його внутрішньої енергії DU.
253. Водень масою m = 4 г був нагрітий на DТ = 10 К при постійному тиску. Визначити роботу розширення газу.
254. Яка робота А відбувається при ізотермічному розширенні водню масою m = 5 г, взятого при температурі 290 К, якщо обсяг збільшується в три рази?
255. Зростаючи, водень здійснив роботу А = 6 кДж. Визначити кількість теплоти Q, підведений до газу, якщо процес відбувається: 1) изобарических;
2) ізотермічні.
256. Водень при нормальних умовах мав об'єм V ₁ = 100 м ^3. Знайти зміна DU внутрішньої енергії газу при його адіабатичному розширенні до об'єму V ₂ = 150 м ^3.
257. 1 кг повітря, що знаходиться при температурі 30 ⁰ С і тиску 1,5 атм, розширюється адіабатично і тиск при цьому падає до 1 атм. Знайти:
1) кінцеву температуру, 2) роботу, здійснену газом при розширенні.
258. 1 кмоль кисню знаходиться при нормальних умовах, а потім його об'єм збільшується до V = 5V _0. Побудувати графік залежності p (V), якщо:
1) розширення відбувається ізотермічні, 2) адіабатично. Значення р знайти для обсягів: V _0, 2V _0, 3V _0, 4V _0, 5V _0.
259. Деяка маса газу, що займає об'єм V ₁ = 0,01 м ^3, знаходиться при тиску Р ₁ = 0,1 МПа і температурі Т ₁ = 300 К. Газ нагрівається спочатку при постійному обсязі до температури Т ₂ = 320 К, а потім при постійному тиску до температури Т ₃ = 350 К. Знайти роботу, чинену газом при переході зі стану 1 в стан 3.
260. 1 кмоль азоту, що знаходиться при нормальних умовах, розширюється адіабатично від об'єму V ₁ до об'єму V ₂ = 5V _1. Знайти: 1) зміна внутрішньої енергії газу, 2) роботу, зроблену при розширенні.
261. Ідеальний двоатомний газ, що містить кількість речовини n = 1 моль, що знаходиться під тиском р ₁ = 0,1 МПа при температурі Т ₁ = 300 К, нагрівають при постійному обсязі до тиску р ₂ = 0,2 МПа. Після цього газ ізотермічні розширився до початкового тиску, а потім изобарических був стиснутий до початкового об'єму V _1. Побудувати графік циклу. Визначити температуру Т газу для характерних точок циклу і ККД циклу.
262. Ідеальний багатоатомний газ робить цикл, що складається з двох ізохорами і двох ізобар, причому найбільший тиск газу у два рази більше найменшого, а найбільший обсяг у чотири рази більше найменшого. Визначити ккд циклу.
263. У результаті кругового процесу газ здійснив роботу А = 1 Дж і передав охолоджувача кількість теплоти Q ₂ = 4,2 Дж. Визначити ККД циклу.
264. Ідеальний газ робить цикл Карно. Температура охолоджувача дорівнює 290 К. У скільки разів збільшиться ККД циклу, якщо температура нагрівача підвищиться від 400 К до 600 К?
265. Ідеальний газ робить цикл Карно, отримавши від нагрівача кількість теплоти Q ₁ = 4,2 кДж, здійснив роботу А = 590 Дж. Знайти ККД циклу. У скільки разів температура Т ₁ нагрівача більше температури Т ₂ охолоджувача?
266. Ідеальний газ робить цикл Карно. Робота А ₁ ізотермічного розширення дорівнює 5 Дж. Визначити роботу А ₂ ізотермічного стиснення, якщо ККД циклу дорівнює 0,2.
267. Визначити ККД циклу, що складається з двох адіабати і двох ізохорами, скоєного ідеальним газом, якщо відомо, що в процесі адіабатні розширення абсолютна температура газу Т ₂ = 0,75 Т _1, а в процесі адіабатні стиснення Т ₃ = 0,75 Т _4.
268. Ідеальна теплова машина, що працює за циклом Карно, має температуру нагрівача 227 ⁰ С, температуру холодильника 127 ⁰ С. У скільки разів потрібно збільшити температуру нагрівача, щоб ККД машини збільшився в 3 рази?
269. Ідеальна теплова машина, що працює за циклом Карно, отримує за кожний цикл від нагрівача 2514 Дж. Температура нагрівача 400 К, холодильника - 300 К. Знайти роботу, чинену машиною за один цикл, і кількість тепла, що віддається холодильника за один цикл.
270. Ідеальна теплова машина працює за циклом Карно. Визначити ККД циклу, якщо відомо, що за один цикл була проведена робота, рівна 3000 Дж, і холодильника було передано 13,4 × 10 ³ Дж.
271. У результаті ізохоричному нагрівання водню масою m = 1 г тиск р газу збільшилася в 2 рази. Визначити зміну DS ентропії газу.
272. Знайти зміна DS ентропії при изобарических розширенні азоту масою m = 4 м від об'єму V ₁ = 5 л до об'єму V ₂ = 9 л.
273. Кисень масою m = 2 кг збільшив свій обсяг у 5 разів один раз ізотермічні, інший - адіабатично. Знайти зміна ентропії в кожному із зазначених процесів.
274. Водень масою m = 100 г був изобарических нагрітий так, що його обсяг збільшився в 3 рази, потім водень був ізохоричному охолоджений так, що тиск його зменшилася в 3 рази. Знайти зміна ентропії в ході зазначених процесів.
275. Знайти зміна ентропії при переході 8 г кисню від обсягу в 10 л при температурі 80 ⁰ С до обсягу в 40 л при температурі 300 ⁰ С.
276. 6,6 г водню розширюється изобарических до збільшення обсягу в два рази. Знайти зміна ентропії при цьому розширенні.
277. Знайти зміна ентропії DS 5 г водню, ізотермічні розширився від об'єму 10 л до об'єму 25 л.
278. Знайти приріст ентропії DS при розширенні 2 г водню від обсягу 1,5 л до об'єму 4,5 л, якщо процес розширення відбувається при постійному тиску.
279. 10 г кисню нагріваються від t ₁ = 50 ⁰ С до t ₂ = 150 ⁰ С. Знайти зміна ентропії, якщо нагрівання відбувається: 1) ізохоричному; 2) изобарических.
280. При нагріванні 1 кмоль двоатомних газу його абсолютна температура збільшується в 1,5 рази. Знайти зміна ентропії, якщо нагрівання відбувається: 1) ізохоричному; 2) изобарических.

Таблиця № 1
Варіанти для вирішення завдань по темі
"Механіка і елементи спеціальної теорії відносності"

Варіанти	Номер задачі
1	101	111	121	131	141	151	161	171
2	102	112	122	132	142	152	162	172
3	103	113	123	133	143	153	163	173
4	104	114	124	134	144	154	164	174
5	105	115	125	135	145	155	165	175
6	106	116	126	136	146	156	166	176
7	107	117	127	137	147	157	167	177
8	108	118	128	138	148	158	168	178
9	109	119	129	139	149	159	169	179
10	110	120	130	140	150	160	170	180
11	101	112	123	134	145	156	167	178
12	102	113	124	135	146	157	168	179
13	103	114	125	136	147	158	169	180
14	104	115	126	137	148	159	170	171
15	105	116	127	138	149	160	161	172
16	106	117	128	139	150	151	162	173
17	107	118	129	140	141	152	163	174
18	108	119	130	131	142	153	164	175
19	109	120	121	132	143	154	165	176
20	110	111	122	133	144	155	166	177

Таблиця № 2
Варіанти для вирішення завдань по темі
"Основи молекулярної фізики і термодинаміки"

Варіанти	Номери завдань
1	201	211	221	231	241	251	261	271
2	202	212	222	232	242	252	262	272
3	203	213	223	233	243	253	263	273
4	204	214	224	234	244	254	264	274
5	205	215	225	235	245	255	265	275
6	206	216	226	236	246	256	266	276
7	207	217	227	237	247	257	267	277
8	208	218	228	238	248	258	268	278
9	209	219	229	239	249	259	269	279
10	210	220	230	240	250	260	270	280
11	201	212	223	234	245	256	267	278
12	202	213	224	235	246	257	268	279
13	203	214	225	236	247	258	269	280
14	204	215	226	237	248	259	270	271
15	205	216	227	238	249	260	261	272
16	206	217	228	239	250	251	262	273
17	207	218	229	240	241	252	263	274
18	208	219	230	231	242	253	264	275
19	209	220	221	232	243	254	265	276
20	210	211	222	233	244	255	266	277

 

Список літератури

1. Дмитрієва В.Ф. Фізика. М.: ВШ, 1993. 415 с.
2. Савельєв І.В. Курс загальної фізики. Т.1. Механіка. Молекулярна фізика. М.: Наука, 1982. 432 с.
3. Зисман Г.А., Тодес О.М. Курс загальної фізики Т.1. Механіка, молекулярна фізика, коливання і хвилі. М.: Наука, 1969. 340 с.
4. Фірганг Є.В. Керівництво вирішення завдань з курсу загальної фізики. М.: ВШ, 1977. 351 с.
5. Чортів А.Г., Воробйов А.А. Задачник з фізики. М.: ВШ, 1988. 527 с.

Зміст

Введення

Зміст теоретичного курсу

Вимоги до оформлення контрольних завдань і з дослідження таблиць

Механіка і елементи спеціальної теорії відносності

Контрольне завдання № 1

Основи молекулярної фізики і термодинаміки

Контрольне завдання № 2

Список літератури