Методичні вказівки і контрольні завдання для студентів-заочників

МІНІСТЕРСТВО рибальства

Федеральне державне освітня установа вищої професійної освіти

МУРМАНСЬК ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Мончегорский філія

ВИЩА МАТЕМАТИКА.

Методичні вказівки і контрольні завдання для студентів-заочників спеціальності 061100 «Менеджмент організації»

Мончегорськ 2005р.

Загальні організаційно-методичні вказівки

Основні завдання при вивченні курсу «Вища математика»:

• освоєння найбільш уживаних понять і визначень математики;

• вивчення основ лінійної алгебри, математичного аналізу, диференціальних рівнянь;

• придбання практичних навичок у вирішенні завдань.

Навчальними планами для студентів-заочників передбачені лекції, практичні заняття з викладачами, самостійна робота та виконання контрольних робіт. При вивченні теоретичного матеріалу рекомендується складати стислі конспекти тим і відповісти на питання для самоперевірки, наведені в кінці кожної теми.

Програма курсу розрахована на два семестри. У кожному семестрі необхідно виконати дві контрольні роботи. У кінці кожного семестру проводиться іспит.

Тематичний план осіннього семестру

1. Множини. Числа.

2. Лінійна алгебра.

3. Аналітична геометрія.

4. Опції.

5. Комплексні числа. Многочлени.

6. Межа і неперервність функції.

7. Диференціальне числення.

Тематичний план весняного семестру.

1. Невизначений інтеграл.

2. Визначений інтеграл.

3. Ряди.

4. Функції багатьох змінних.

5. Диференціальні рівняння.

Рекомендовано література

1. Кремер Н.Ш,. Та ін Вища математика для економістів / Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин І.М., Фрідман М.Н. - М.: Банки і біржі, 1997. - 439с.

2. Маркович Е.С. Курс вищої математики з елементами теорії ймовірностей і математичної статистики: Учеб. посібник для вузів. - 2-е вид., Перераб. і доп., - Вища. шк., 1972. - 480 с.

3. Шипачьов В.С. Основи вищої математики. М.: Вища школа, 1989.

4. 4.Красс М.С. Математика для економічних спеціальностей: Підручник. - М.: ИНФРА-М, 1998. - 464с. - (Серія "Вища освіта").

5. Додаткова

6. Івашев-Мусатов О.С. Почала математичного аналізу: Учеб. посібник для вузів. - 4-е изд., Испр. - М.: Наука, 1981. - 159с.

7. Піскунов Н.С. Диференціальне та інтегральне числення: У 2 т.: Учеб. посібник для втузів. - М.: Наука, 1978. Т.1-453с., Т.2 - 575с ..

6. Мордкович А.Г., Смишляєв В.К.. Алгебра та початок аналізу. М.: Просвещение, 1987

8. Фіхтенгольц Г.М. Основи математичного аналізу М. Наука 1968

9. Віленкін І.В. Гробер В.М. Вища математика Ростов-на-Дону "Фенікс" 2002

10. Єрмаков В.І. Загальний курс вищої математики для економістів М. ИНФРА - М 2003

11. Письмовий Д.Т. Конспект лекцій з вищої математики М. Айріс ПРЕС 2004

12. Данко П.Є. Попов А.Г. Вища математика у вправах і завданнях М. Вища школа 1999.

ТЕМА 1. БЕЗЛІЧІ, ЧИСЛА

Поняття множини. Підмножина, об'єднання, перетин, доповнення. Числові множини: натуральні, цілі, раціональні, дійсні числа. Модуль числа. Інтервал, околиця, відрізок. Числова вісь.

КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ.

Безліччю називається сукупність будь-яких об'єктів, що мають спільний для них характеристичним властивістю. Ці об'єкти називаються елементами множини. Якщо елемент а належить множині А, то пишуть а Î А, якщо не належить, а Ï А. безліч може складатися як з кінцевого, так і нескінченного числа елементів. безліч, не містить жодного елементи, називається порожнім і позначається О. Якщо кожен елемент множини А є одночасно елементом безлічі В, то безліч а називається підмножиною множини В. Безліч С, складається з елементів, кожен з яких належить одночасно безлічі А і безлічі В , називається перетинанням множин А і В, позначається С = А ∩ В. Безліч С, складається з елементів, кожен з яких належить хоча б одному з множин А і В, називається об'єднанням А і В (позначається А U В).

якщо безліч А є підмножиною В, то доповненням підмножини А до безлічі В називається безліч D, що складається з елементів, що належать В, але не належать А (позначається D = В \ А). N - безліч натуральних чисел. Z-безліч цілих чисел. N підмножина Z: N Ì Z. Q: m / n-безліч раціональних чисел. I-безліч ірраціональних чисел. Q U I = R, R - множина дійсних чисел. Геометричне зображення R - це безліч точок числової прямої. [А, в] - відрізок: а £ '£ в.

(А, в) - інтервал: а <'<в.

а Î R, в Î R.

Питання для самоперевірки.

1. Наведіть приклади множин, що складаються з кінцевого і з нескінченного числа елементів.

2. Скільки підмножин можна утворити з безлічі Х = {х _1, х _2, х _3}?

3. Зобразіть на папір дві множини у вигляді двох частково перекриваються геометричних фігур (кожне безліч складається з точок, розташованих усередині відповідної фігури). Заштрихуйте об'єднання і припинення множин.

4. Наведіть приклад числового безлічі, що складається з кінцевого числа елементів.

5. Яке з чисел больше6 -5 або 3? У якого з цих чисел більше модуль?

6. Наведіть приклади інтервалу і відрізка. Чим відрізняється отрезоу від інтервалу?

7. Зобразіть на числової осі числа 2, ½, -1.

8. За яких х справедливо рівність | x ³ | = - x ³?

ТЕМА 2. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Вектори в n-мірної системі координат. Матриці. Визначник. Ранг матриці. Додавання матриць. Множення матриці на вектор. Множення матриці на матрицю, комутативність. Діагональна і одинична матриці, транспонована матриця. Трикутна матриця. Зворотній матриця. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Умови існування і єдиності рішення. Формула Крамера. Метод Гаусса.

КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ.

У деяких додатках вживається n-мірна прямокутна система координат, в якій формально введені Не2 або 3, а n взаємно перпендикулярних координатних осей. Вектор в такій системі - це набір з n упорядкованих чисел - координат вектора.

Базис і координати вектора.

. Лінійної комбінацією векторів а _1, а _2, ..., а _n називається вираз виду: k ₁ a ₁ + k ₂ a ₂ + ... + k _n a _n, де k _i - числа.

Вектори а _1, а _2, ..., а _n називаються лінійно залежними, якщо знайдуться такі числа k _1, k _2, ..., k _n, не всі рівні нулю, що відповідна лінійна комбінація векторів дорівнює нулю, тобто k ₁ a ₁ + k ₂ a ₂ + ... + k _n a _n = 0. Якщо ж рівність можливо тільки при всіх k _i = 0, вектори називаються лінійно незалежними.

Зауваження 1. Якщо система векторів містить нульовий вектор, то вона лінійно залежна.

Зауваження 2. Якщо серед n векторів будь-які (n -1) лінійно залежні, то і всі n векторів лінійно залежні.

Зауваження 3. Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності двох векторів є їх коллінеарність.

Розглянемо декартову систему координат, базис якої утворюють в просторі три попарно ортогональних одиничних вектора i, j, k. Тоді будь-який вектор d може бути представлений у вигляді їх лінійної комбінації:

d = Xi + Yj + Zk.

Числа X, Y, Z називаються декартовими координатами вектора d.

Зауваження. Декартові координати вектора дорівнюють його проекціями на осі Ох, Оу і О z декартової системи координат.

Матрицею А = | | a _ij | | розміру n 'm називається прямокутна таблиця чисел.

Позначення: А - матриця, - Елемент матриці, номер рядка, в якій стоїть даний елемент, номер відповідного стовпця; m - число рядків матриці, n - число її шпальт.

Числа m і n називаються розмірностями матриці.

Матриця називається квадратною, якщо m = n. Число n в цьому випадку називають порядком квадратної матриці. Кожній квадратної матриці можна поставити у відповідність число, яке визначається єдиним чином з використанням усіх елементів матриці. Це число називається визначником.

Визначником другого порядку називається число, отримане за допомогою елементів квадратної матриці 2-го порядку наступним чином:

.

При цьому з твору елементів, що стоять на так званої головної діагоналі матриці (що йде з лівого верхнього в правий нижній кут) віднімається твір елементів, що знаходяться на другий, або побічної, діагоналі.

Приклади.

1. 2.

Визначником третього порядку називається число, яке визначається за допомогою елементів квадратної матриці 3-го порядку наступним чином:

Зауваження. Для того, щоб легше запам'ятати цю формулу, можна використовувати так зване правило трикутників. Воно полягає в наступному: елементи, твори яких входять до визначник зі знаком «+», розташовуються так:

утворюючи два трикутники, симетричних відносно головної діагоналі. Елементи, твори яких входять до визначник зі знаком «-», розташовуються аналогічним чином щодо побічної діагоналі:

Матриці однакової розмірності називаються рівними, якщо у них відповідно рівні елементи, які стоять на однакових місцях.

Матриця називається нульовою, якщо всі її елементи рівні 0.

Квадратна матриця називається одиничною, якщо елементи, які стоять на її головної діагоналі, дорівнюють 1, а інші рівні 0.

Лінійні операції над матрицями.

1. Додавання матриць.

Сумою матриць А і В однакової розмірності m n називається матриця З тієї ж розмірності, кожен елемент якої дорівнює сумі елементів матриць А і В, що стоять на тих же місцях:

Властивості додавання:

1. А + В = В + А.

2. (А + В) + С = А + (В + С).

3. Якщо О - нульова матриця, то А + О = О + А = А

Зауваження 1. Справедливість цих властивостей випливає з визначення операції додавання матриць.

Зауваження 2. Відзначимо ще раз, що складати можна тільки матриці однакової розмірності.

Приклад.

2. Множення матриці на число.

Твором матриці на число називається матриця тієї ж розмірності, що і початкова, всі елементи якої рівні елементам вихідної матриці, помноженим на дане число.

Властивості множення матриці на число:

1. (Km) A = k (mA).

2. k (A + B) = kA + kB.

3. (K + m) A = kA + mA.

Зауваження 1. Справедливість властивостей випливає з визначень 3.4 і 3.5.

Зауваження 2. Назвемо різницею матриць А і В матрицю С, для якої С + В = А, тобто С = А + (-1) В.

Приклад.

. Тоді

Перемноження матриць.

Вище було зазначено, що складання матриць накладає умови на розмірності доданків. Множення матриці на матрицю теж вимагає виконання певних умов для розмірностей співмножників, а саме: число стовпців першого множника повинна дорівнювати числу рядків другого.

Твором матриці А розмірності m p і матриці В розмірності називається матриця С розмірності , Кожен елемент якої визначається формулою: Таким чином, елемент являє собою суму добутків елементів i-й c Трокі матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В.

Приклад.

. При цьому існує твір АВ, але не існує твір ВА. Розмірність матриці С = АВ становить Знайдемо елементи матриці С:

Отже,

Зворотній матриця.

Квадратна матриця А називається виродженою, якщо , І невиродженої, якщо .

Квадратна матриця В називається оберненою до квадратної матриці А такого ж порядку, якщо АВ = ВА = Е. При цьому В позначається .

Cпособ обчислення зворотної матриці: її елементами є алгебраїчні доповнення до елементів транспонованої матриці А, поділені на її визначник.

Лінійними операціями над будь-якими об'єктами називаються їх додавання і множення на число.

Лінійної комбінацією змінних називається результат застосування до них лінійних операцій, тобто де числа, змінні.

Лінійним рівнянням називається рівняння виду

де і b - числа, - Невідомі.

Таким чином, в лівій частині лінійного рівняння стоїть лінійна комбінація невідомих, а в правій - число.

Лінійне рівняння називається однорідним, якщо b = 0. В іншому випадку рівняння називається неоднорідним.

Системою лінійних рівнянь (лінійною системою) називається система виду

де , - Числа, - Невідомі, n - число невідомих, m - число рівнянь.

Рішенням лінійної системи (2) називається набір чисел

які при підстановці замість невідомих звертають кожне рівняння системи у вірне рівність.

Метод Гаусса рішення лінійних систем.

Зауваження. Лінійна система може мати єдине рішення, нескінченно багато рішень або не мати жодного рішення.

Способи знаходження єдиного рішення системи,

в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих:

Нехай (Цього завжди можна добитися, помінявши рівняння місцями). Розділимо обидві частини першого рівняння на і віднімемо одержане рівняння з кожного з решти рівнянь системи, помноживши його попередньо на де i - номер чергового рівняння. Коефіцієнти при у всіх рівняннях цієї системи, починаючи з другого, будуть рівні 0, тобто система виглядає так:

.

Якщо нові коефіцієнти при х ₂ не всі рівні нулю, можна таким же чином виключити з третього і наступних рівнянь. Продовжуючи цю операцію для наступних невідомих, приведемо систему до так званого трикутного вигляду:

.

Тут символами і позначені змінилися в результаті перетворень числові коефіцієнти і вільні члени.

З останнього рівняння системи єдиним чином визначається , А потім послідовною підстановкою - інші невідомі.

Зауваження. Іноді в результаті перетворень в якому-небудь з рівнянь звертаються в 0 всі коефіцієнти і права частина, тобто воно перетворюється в тотожність 0 = 0. Виключивши його із системи, ми зменшимо число рівнянь в порівнянні з числом невідомих. Така система не може мати єдиного рішення.

Якщо ж у процесі застосування методу Гауса яке-небудь рівняння перетвориться на рівність вигляду 0 = 1 (коефіцієнти при невідомих звернулися до 0, а права частина прийняла ненульове значення), то вихідна система не має розв'язку, так як подібне рівність є невірним за будь-яких значеннях невідомих.

Правило Крамера.

Розглянемо систему (2.3). Назвемо головним визначником цієї системи визначник , Елементами якого є коефіцієнти при невідомих:

.

Правило Крамера дозволяє знайти єдине рішення системи або зробити висновок про існування нескінченного числа рішень або про їх відсутність:

2. Якщо система (2.3) має єдине рішення, яке визначається за формулами: .

3. Якщо = = 0, система має нескінченно багато рішень.

4. Якщо = 0, а хоча б один з система не має рішень.

Спільність лінійних систем.

Лінійна система називається спільної, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною, якщо вона не має рішень.

Спільна лінійна система називається визначеною, якщо вона має єдине рішення, і невизначеною, якщо вона має більше одного рішення.

Питання для самоперевірки.

1. Як характеризується вектор в n-мірної прямокутній системі координат?

2. Чому дорівнює скалярний добуток двох векторів?

3. Як визначається місце розташування елемента в матриці?

4. Що таке одинична матриця?

5. Що таке транспонована матриця?

6. Яким вимогам повинні задовольняти перемножуєте матриці?

7. Що таке зворотна матриця?

8. Як знаходити рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою формули Крамера?

9. Як знаходити рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса?

ТЕМА 3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

Поняття скаляра і вектора. Модуль вектора. Операції зі скалярами і векторами. Скалярний твір. Прямокутна система координат на площині і в просторі. Відстань між точками. Рівняння прямої на площині. Перетин прямих. Пряма, через дві дані точки. Пряма, паралельна і препендікулярная даної прямої. Рівняння площини. Криві другого порядку: еліпс, гіпербола, парабола.

КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ.

Скаляром називається величина, повністю характеризується своїм чисельним значенням. Вектором називається спрямований відрізок прямої. Позначається , . Відрізок має початок і кінець, напрям вектора вказується стрілкою. Величина, що дорівнює довжині вектора, називається модулем (абсолютною величиною вектора) вектора а і позначається | а |. Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Вектор називається нульовим, якщо його початкова та кінцева точки збігаються. Нульовий вектор не має певного напряму.

Два вектора називаються рівними, якщо вони колінеарні, мають однакову довжину (модуль) і однаковий напрямок.

Вектори називаються компланарними, якщо вони лежать або в одній площині, або в паралельних площинах.

Лінійні операції над векторами.

Сумою a + b векторів a і b називається вектор, що йде з початку вектора а в кінець вектора b, якщо початок вектора b співпадає з кінцем вектора а

Властивості додавання:

Властивість 1. A + b = b + a.

Властивість 2. (A + b) + c = a + (b + c). b

Властивість 3. Для будь-якого вектора a існує нульовий вектор Про таку, що a + О = а.

Властивість 4. Для кожного вектора a існує протилежний йому вектор a ^/ такий, що а + а ^/ = О.

Різницею а - b векторів а і b називається такий вектор с, який в сумі з вектором дає вектор b а.

Твором ka вектора а на число k називається вектор b, колінеарний вектору а, що має модуль, рівний | k | | a |, і напрямок, що збігається з напрямом а при k> 0 і протилежне а при k <0.

Властивості множення вектора на число:

Властивість 1. K (a + b) = ka + kb.

Властивість 2. (K + m) a = ka + ma.

Властивість 3. K (ma) = (km) a.

Слідство. Якщо ненульові вектори чи b колінеарні, то існує таке число k, що b = ka.

Скалярний добуток векторів.

Скалярним добутком двох векторів називається добуток їхніх модулів на косинус кута між ними:

ab = | a | | b | cosφ. Позначення скалярного твори: ab, (ab), a · b.

Якщо вектори чи b визначені своїми декартовими координатами

a = {X _1, Y _1, Z _1}, b = {X _2, Y _2, Z _2},

то ab = X ₁ X ₂ + Y ₁ Y ₂ + Z ₁ Z _2.

Нехай на площині задана декартова система координат і деяка лінія L.

Рівняння Ф (х, у) = 0 називається рівнянням лінії L, якщо цього рівняння задовольняють координати х і у будь-якої точки, що лежить на лінії L, і не задовольняють координати жодної точки, не лежить на лінії L.

Пряма на площині.

,

канонічне рівняння прямої.

-

рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Позначивши за t значення рівних дробів, що стоять в лівій і правій частинах рівняння

можна перетворити це рівняння до виду:

x = x ₀ + lt, y = y ₀ + mt -

параметричні рівняння прямої.

Для прямої l, не паралельної осі Оу, можна ввести так званий кутовий коефіцієнт k - тангенс кута, утвореного прямий і віссю Ох, і записати рівняння

прямій у вигляді:

у = kx + b -

рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом.

Дійсно, всі точки прямої l _1, паралельної l і проходить

через початок координат, задовольняють рівнянню у = k х, а ординати відповідних точок на прямій l відрізняються від них на постійну величину b.

Неповні рівняння прямої.

1. С = 0 - пряма Ах + Ву = 0 проходить через початок координат.

2. В = 0 - пряма Ах + С = 0 паралельна осі Оу (так як нормаль до прямої {A, 0} перпендикулярна осі Оу).

3. А = 0 - пряма Ву + С = 0 паралельна осі Ох.

4. В = С = 0 - рівняння Ах = 0 визначає вісь Оу.

5. А = С = 0 - рівняння Ву = 0 визначає вісь Ох.

де і дорівнюють величинам відрізків, що відсікаються прямій на осях Ох і Оу. Рівняння прямої у відрізках.

Кут між прямими. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.

1. Якщо прямі L ₁ і L ₂ задані загальними рівняннями

А ₁ х + В ₁ у + С ₁ = 0 і А ₂ х + В ₂ у + С ₂ = 0,

то

.

2. Якщо прямі задані канонічними рівняннями, за аналогією з пунктом 1 отримаємо:

,

- Умова паралельності,

- Умова перпендикулярності.

Тут і - Напрямні вектори прямих.

3. Нехай прямі L ₁ і L ₂ задані рівняннями з кутовими коефіцієнтами

у = k ₁ x + b ₁ і y = k ₂ x + b _2, де , А α ₁ і α ₂ - кути нахилу прямих до осі Ох, то для кута φ між прямими справедливо рівність: φ = α ₂ - α _1. Тоді

.

Умова паралельності має вигляд: k ₁ = k _2,

умова перпендикулярності - k ₂ =- 1 / k _1, оскільки при цьому tgφ не існує.

Відстань від точки до прямої.

Розглянемо пряму L і проведемо перпендикуляр ОР до неї з початку координат (припускаємо, що пряма не проходить через початок координат).

Відстань від точки до прямої визначається так:

Зауваження. Для того, щоб привести загальне рівняння прямої до нормального вигляду, потрібно помножити його на число , Причому знак вибирається протилежним знаку вільного члена С в загальному рівнянні прямої. Це число називається нормує множником.

Приклад. Знайдемо відстань від точки А (7, -3) до прямої, заданої рівнянням

3х + 4у + 15 = 0. А ² + B ² = 9 +16 = 25, C = 15> 0, тому нормуючий множник дорівнює

-1 / 5, і нормальне рівняння прямої має вигляд: Підставивши в його ліву частину замість х і у координати точки А, отримаємо, що її відхилення від прямої одно

Отже, відстань від точки А до даної прямої одно 4,8.

Відстань між двома точками М (х, у, z) і N (х _1, у _1, z ₁₎ виражається формулою

d (MN) = (х ₁ - x) ² + (у ₁ - y) ² + (z ₁ - z) ²

Площина в просторі.

A (x - x ₀₎ + B (y - y ₀₎ + C (z - z ₀₎ = 0.

рівняння площини, що проходить через дану точку перпендикулярно даному вектору.

Після приведення подібних можна записати рівняння у вигляді:

Ax + By + Cz + D = 0,

де D =-Ax ₀ - By ₀ - Cz _0. Це лінійне рівняння відносно трьох змінних називають загальним рівнянням площини.

рівняння площини у відрізках .. Параметри а, b і з дорівнюють величинам відрізків, що відсікаються площиною на координатних осях.

Кут між площинами. Умови паралельності і перпендикулярності площин.

Косинус кута між площинами α ₁ і α ₂ дорівнює

Умова паралельності площин полягає в паралельності нормалей:

а умова перпендикулярності площин - в перпендикулярності нормалей або рівність нулю їх скалярного твори:

A ₁ A ₂ + B ₁ B ₂ + C ₁ C ₂ = 0

Пряма у просторі.

Зауваження. Пряму в просторі неможливо поставити одним рівнянням. Для цього потрібна система двох або більше рівнянь.

Перша можливість скласти рівняння прямої в просторі - представити цю пряму як перетин двох непаралельних площин, заданих рівняннями

A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0 і A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0, де коефіцієнти A _1, B _1, C ₁ і A _2, B ₂ , C ₂ не пропорційні:

A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0 A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0.

Однак при вирішенні багатьох завдань зручніше користуватися іншими рівняннями прямої, що містять в явній формі деякі її геометричні характеристики.

Складемо рівняння прямої, що проходить через точку М ₀ (x _0, y _0, z ₀₎ паралельно вектору a = {l, m, n}.

Будь ненульовий вектор, паралельний даної прямої, називається її направляють вектором.

Для будь-якої точки М (x, y, z), що лежить на даній прямій, вектор М ₀ М = {x - x _0, y - y _0, z - z ₀₎ коллінеарен направляючому вектору а. Тому мають місце рівності:

звані канонічними рівняннями прямої в просторі.

Зокрема, якщо потрібно отримати рівняння прямої, що проходить через дві точки:

М ₁ (х _1, у _1, z ₁₎ і M ₂ (x _2, y _2, z _2), напрямних вектором такої прямої можна вважати вектор М ₁ М ₂ = {x ₂ - x _1, y ₂ - y ₁ , z ₂ - z _1}, і рівняння (8.11) приймають вигляд:

-

• рівняння прямої, що проходить через дві дані точки.

Якщо ж взяти кожну з рівних дробів в рівняннях (8.11) за деякий параметр t, можна отримати так звані параметричні рівняння прямої:

.

Кут між прямими. Кут між прямою і площиною.

Кут між прямими у просторі дорівнює куту між їх напрямними векторами. Тому, якщо дві прямі задані канонічними рівняннями виду

і косинус кута між ними можна знайти за формулою:

. (8.14)

Умови паралельності і перпендикулярності прямих теж зводяться до відповідних умов для їх направляють векторів:

- Умова паралельності прямих, (8.15)

- Умова перпендикулярності прямих. (8.16)

Кут φ між прямою, заданої канонічними рівняннями

і площиною, яка визначається загальним рівнянням

Ax + By + Cz + D = 0, можна розглядати як додатковий до кута ψ між направляючим вектором прямої і нормаллю до площини. Тоді

Умовою паралельності прямої і площини є при цьому умова перпендикулярності векторів n і а:

Al + Bm + Cn = 0,

а умовою перпендикулярності прямої і площини - умова паралельності цих векторів: A / l = B / m = C / n.

Кривими другого порядку на площині називаються лінії перетину кругового конуса з площинами, не проходять через його вершину.

Якщо така площину перетинає всі утворюють однієї порожнини конуса, то в перерізі виходить еліпс, при перетині утворюють обох порожнин - гіпербола, а якщо січна площина паралельна будь-якої утворює, то перетином конуса є парабола.

Зауваження. Всі криві другого порядку задаються рівняннями другого ступеня від двох змінних.

Еліпс.

Еліпсом називається множина точок площини, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок F ₁ і F ₂ цієї площини, які називаються фокусами, є величина постійна.

Зауваження. При збігу точок F ₁ і F ₂ еліпс перетворюється в коло.

канонічне рівняння еліпса:

Ексцентриситетом еліпса називається величина е = с / а

b ² = a ² - c ²

Директоркою D _i еліпса, що відповідає фокусу F _i, називається пряма, розташована в одній півплощині з F _i щодо осі Оу перпендикулярно осі Ох на відстані а / е від початку координат.

Зауваження. При іншому виборі системи координат еліпс може задаватися не канонічним рівнянням, а рівнянням другого ступеня іншого.

Властивості еліпса:

1. Еліпс має дві взаємно перпендикулярні осі симетрії (головні осі еліпса) і центр симетрії (центр еліпса). Якщо еліпс заданий канонічним рівнянням, то його головними осями є осі координат, а центром - початок координат. Оскільки довжини відрізків, утворених перетином еліпса з головними осями, рівні 2а і 2 b (2a> 2b), то головна вісь, що проходить через фокуси, називається великою віссю еліпса, а друга головна вісь - малої віссю.

2. Весь еліпс міститься усередині прямокутника

3. Ексцентриситет еліпса e <1.

Дійсно,

4) Директриса еліпса розташовані поза еліпса (так як відстань від центру еліпса до директорки одно а / е, а е <1, отже, а / е> a, а весь еліпс лежить в прямокутнику )

5) Ставлення відстані r _i від точки еліпса до фокуса F _i до відстані d _i від цієї точки до директриси відповідає фокусу одно ексцентриситету еліпса.

Гіпербола.

Гіперболою називається безліч точок площини, для яких модуль різниці відстаней до двох фіксованих точок F ₁ і F ₂ цієї площини, які називаються фокусами, є величина постійна.

- Канонічне рівняння гіперболи.

Ексцентриситетом гіперболи називається величина е = с / а.

Директоркою D _i гіперболи, що відповідає фокусу F _i, називається пряма, розташована в одній півплощині з F _i щодо осі Оу перпендикулярно осі Ох на відстані а / е від початку координат.

Властивості гіперболи:

1. Гіпербола має дві осі симетрії (головні осі гіперболи) і центр симетрії (центр гіперболи). При цьому одна з цих осей перетинається з гіперболою в двох точках, які називаються вершинами гіперболи. Вона називається дійсною віссю гіперболи (вісь Ох для канонічного вибору координатної системи). Інша вісь не має спільних точок з гіперболою і називається її уявної віссю (в канонічних координатах - вісь Оу). По обидві сторони від неї розташовані права і ліва галузі гіперболи. Фокуси гіперболи розташовуються на її дійсної осі.

2. Гілки гіперболи мають дві асимптоти, що визначаються рівняннями

і .

3) Поряд з гіперболою (11.3) можна розглянути так звану сполучену гіперболу, обумовлену канонічним рівнянням

,

для якої міняються місцями дійсна і уявна вісь із збереженням тих же асимптот.

4) Ексцентриситет гіперболи e> 1.

5) Ставлення відстані r _i від точки гіперболи до фокуса F _i до відстані d _i від цієї точки до директриси відповідає фокусу одно ексцентриситету гіперболи.

Доказ можна провести так само, як і для еліпса.

Парабола.

Параболою називається множина точок площини, для яких відстань до деякої фіксованої точки F цій площині дорівнює відстані до деякої фіксованої прямої. Точка F називається фокусом параболи, а пряма - її директоркою.

y ² = 2 px,

канонічне рівняння параболи. Величина р називається параметром параболи.

Властивості параболи:

1. Парабола має вісь симетрії (вісь параболи). Точка перетину параболи з віссю називається вершиною параболи. Якщо парабола задана канонічним рівнянням, то її віссю є вісь Ох, а вершиною - початок координат.

2. Вся парабола розташована в правій півплощині площині Оху.

Зауваження. Використовуючи властивості директриса еліпса і гіперболи і визначення параболи, можна довести наступне твердження:

Безліч точок площини, для яких відношення е відстані до деякої фіксованої точки до відстані до деякої прямої є величина постійна, являє собою еліпс (при e <1), гіперболу (при e> 1) або параболу (при е = 1).

Приведення рівняння другого порядку до канонічного виду.

Лінія, яка визначається загальним рівнянням другого порядку

,

називається алгебраїчної лінією другого порядку.

Для того, щоб перейти до нової системи координат, в якій рівняння лінії матиме канонічний вигляд, необхідно провести два перетворення:

1. поворот координатних осей на такий кут, щоб їх напрям співпало з напрямком осей симетрії кривої (якщо вона має дві осі);

2. паралельний перенос, при якому початок координат поєднується з центром симетрії кривої (якщо він існує).

Зауваження. Для параболи нові осі координат повинні розташовуватися паралельно і перпендикулярно директрисі, а початок координат - збігтися з вершиною пара

Класифікація кривих другого порядку.

Розглянемо загальне рівняння другого порядку

і з'ясуємо, які геометричні образи на площині можуть задаватися цим рівнянням.

- Канонічне рівняння еліпса.

або , Залежно від знака . Обидва цих рівняння визначають гіперболу.

б) При = 0 одержуємо рівняння , Еквівалентну двом лінійним рівнянням: і , Що задає пару пересічних прямих.

а) до рівняння (11.8): , Що визначає параболу;

б) до рівняння , Або , Що задає пару паралельних прямих;

в) до рівняння , Що визначає одну пряму (або пару співпадаючих прямих);

г) до рівняння , Який не має рішень і, отже, не визначає ніякого геометричного образу.

Питання для самоперевірки.

1. Що називається спрямованим відрізком і його довжиною?

2. Який вектор дорівнює сумі двох взаємно протилежних векторів з рівними модулями?

3. Чому дорівнює скалярний добуток двох взаємно перпендикулярних векторів? паралельних векторів?

1. Чому дорівнює скалярний твір ортов координатних осей?

2. Виведіть формулу для визначення відстані між точками на площині.

3. Виведіть із загального рівняння прямої рівняння з кутовим коефіцієнтом.

Чому дорівнює коефіцієнт при х у цьому рівнянні?

7. Сформулюйте умову паралельності і перпендикулярності двох прямих для загального рівняння прямої.

8. яким властивістю володіє пряма у = k х + b при b = 0?

9. як знаходять точку перетину двох прямих? Сформулюйте умову, при якому дві прямі не мають жодної спільної точки перетину.

10. як із загального рівняння площини знайти точки її перетину з координатними осями?

11. Що таке еліпс і гіпербола? Напишіть їх канонічні рівняння.

12. Чому еліпс, гіпербола і парабола називаються кривими другого порядку?

13. У яку криву переходить еліпс при a = b? Напишіть рівняння цієї кривої.

14. Виходячи з канонічного рівняння, покажіть графік параболи. Чим ця парабола відрізняється від відомої параболи зі шкільного курсу?

ТЕМА 4. ФУНКЦІЇ

Змінні і постійні величини. Поняття функції. Область визначення. способи завдання функцій. Зростання і спадання. Неявні, складні функції. Елементарні функції.

КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ.

Якщо кожному значенню змінної величини х, що належить деякому числовому безлічі, відповідає одне певної значення іншої змінної величини в, то у називається функцією від х. Залежність змінної у від змінної х називається функціональною залежністю і позначається у = у (х) або y = f (x). сукупність значень незалежної змінної, для якої задана функціональна залежність, називається областю визначення функції.

Питання для самоперевірки

1.Сформуліруйте визначення функції. Чи є парабола, обумовлена ​​канонічним рівнянням, графіком функції?

2.Що таке область визначення функції? наведіть приклад функції, областю визначення якої є не вся числова вісь.

3.Що таке монотонно зростаюча функція?

4.Что таке графік функції? Наведіть приклад.

5.Які існують способи завдання функції?

6.Що таке складна функція? Наведіть приклад.

7.Приведите приклад неявної функції. Чому не всяку неявну функцію можна звести до явної?

8.Які функції називаються елементарними?

ТЕМА 5. КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА. Многочлен

Комплексні числа. Операції з комплексними числами. Подання в прямокутній системі координат. Многочлени. Коріння многочленів з дійсними коефіцієнтами.

КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ.

Комплексним числом z називається впорядкована пара дійсних чисел (а, b): z = (a, b) (термін «упорядкована» означає, що в записі комплексного числа важливий порядок чисел а і b: (a, b) ≠ (b, a )). При цьому перше число а називається дійсною частиною комплексного числа z і позначається a = Re z, а друге число b називається уявною частиною z: b = Im z.

Два комплексних числа z ₁ = (a _1, b ₁₎ і z ₂ = (a _2, b ₂₎ рівні тоді і тільки тоді, коли у них рівні дійсні та уявні частини, тобто a ₁ = a _2, b ₁ = b _2.

Дії над комплексними числами.

1.Суммой комплексних чисел z ₁ = (a _1, b ₁₎ і z ₂ = (a _2, b ₂₎ називається комплексне число z = (a, b) таке, що a = a ₁ + a _2, b = b ₁ + b _2.

Властивості додавання:

а) z ₁ + z ₂ = z ₂ + z _1;

б) z ₁ + (z ₂ + z ₃₎ = (z ₁ + z ₂₎ + z _3;

в) існує комплексне число 0 = (0,0): z + 0 = z для будь-якого комплексного числа z.

1. Твором комплексних чисел z ₁ = (a _1, b ₁₎ і z ₂ = (a _2, b ₂₎ називається комплексне число z = (a, b) таке, що a = a ₁ a ₂ - b ₁ b _2, b = a ₁ b ₂ + a ₂ b _1.

Властивості множення:

а) z ₁ z ₂ = z ₂ z _1;

б) z ₁ (z ₂ z ₃₎ = (z ₁ z ₂₎ z _3,

в) (z ₁ + z ₂₎ z ₃ = z ₁ z ₃ + z ₂ z _3.

Зауваження. Підмножиною множини комплексних чисел є безліч дійсних чисел, що визначаються як комплексні числа виду (а, 0). Можна переконатися, що при цьому визначення операцій над комплексними числами зберігає відомі правила відповідних операцій над дійсними числами. Крім того, дійсне число 1 = (1,0) зберігає свою властивість при множенні на будь-яке комплексне число: 1 ∙ z = z.

Комплексне число (0, b) називається чисто уявним. Зокрема, число (0,1) називають уявною одиницею і позначають символом i.

Властивості уявної одиниці:

1) i ∙ i = i ² = -1, 2) чисто уявне число (0, b) можна представити як добуток дійсного числа (b, 0) і i: (b, 0) = b ∙ i.

Отже, будь-яке комплексне число z = (a, b) можна представити у вигляді: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + ib.

Запис виду z = a + ib називають алгебраїчній формою запису комплексного числа.

Зауваження. Алгебраїчна запис комплексних чисел дозволяє проводити операції над ними за звичайними правилами алгебри.

Комплексне число називається комплексно зв'язаних числа z = a + ib.

3.Вичітаніе комплексних чисел визначається як операція, зворотна додаванню: z = (a, b) називається різницею комплексних чисел z ₁ = (a _1, b ₁₎ і z ₂ = (a _2, b _2), якщо a = a ₁ - a _2, b = b ₁ - b _2.

4.Деленіе комплексних чисел визначається як операція, зворотна множенню: число z = a + ib називається приватним від розподілу z ₁ = a ₁ + ib ₁ і z ₂ = a ₂ + ib ₂ (z ₂ ≠ 0), якщо z ₁ = z ∙ z _2. Отже, дійсну та уявну частини приватного можна знайти з рішення системи рівнянь: a ₂ a - b ₂ b = a _1, b ₂ a + a ₂ b = b _1.

Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

Комплексне число z = (a, b) можна представити у вигляді точки на площині з координатами (a, b) або вектора з початком на початку координат і кінцем у точці (a, b).

Запис виду

z = ρ (cos φ + isin φ)

називається тригонометричної формою запису комплексного числа.

У свою чергу, модуль і аргумент комплексного числа можна виразити через а і b: . Отже, аргумент комплексного числа визначений не однозначно, а з точністю до доданка, кратного 2 π.

Окремим випадком операції множення є зведення в ступінь:

формула Муавра.

Використовуючи отримані співвідношення, перерахуємо основні властивості комплексно спряжених чисел:

Витяг кореня з комплексного числа.

Комплексне число називається коренем n-го ступеня з z, якщо z = z ₁ ^n.

Приклад. Число z = 16 можна представити у тригонометричній формі таким чином: z = 16 (cos 0 + isin 0). Знайдемо всі значення :

Показова форма комплексного числа.

Введемо ще одну форму запису комплексного числа. На безлічі комплексних чисел існує зв'язок між тригонометричними і показовими функціями, що задається формулою Ейлера:

, Використовуючи цю формулу, можна отримати з ще один вид комплексного числа: який називається показовою формою запису комплексного числа.

Розглянемо в комплексній області многочлен, тобто функцію виду

, Де - Комплексні числа. Числа називаються коефіцієнтами многочлена, а натуральне число n - його ступенем.

Два многочлена P _n (z) і рівні тоді і тільки тоді, коли m = n, a ₀ = b _0, a ₁ = b _1, ..., a _n = b _n.

Число z ₀ називається коренем многочлена, якщо P _n (z ₀₎ = 0.

Теорема (теорема Безу). Залишок від ділення многочлена P _n (z) на z - z ₀ (z ₀ - не обов'язково корінь многочлена) дорівнює P (z _0).

Теорема (основна теорема алгебри). Всякий многочлен в комплексній області має корінь.

Питання для самоперевірки

1.Що таке уявна одиниця?

2. Що таке речова і уявна частини комплексного числа? Чи є вони речовими числами?

3. Що таке комплексно пов'язані числа? Чим відрізняються зображення комплексно спряжених чисел z і z * на комплексній площині?

4. Як зобразити на комплексній площині, користуючись правилами додавання векторів, суму і різниця двох комплексних чісел7

1. Чому одно твір комплексно спряжених чисел?

2. Скільки рішень має квадратне рівняння з речовими коефіцієнтами? які характерні випадки можливі?

3. У якому вигляді може бути представлений многочлен. якщо відомі його коріння?

ТЕМА 6. МЕЖА і безперервні функції

Поняття межі. межа суми, добутку і частки. Межа складної функції. Обчислення меж. Чудові межі. Поняття безперервності в точці і на інтервалі. Точки розриву. Геометричний зміст. Безперервність суми, добутку і частки функцій. безперервність складної функції. Безперервність елементарних функцій.

КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Число A називається границею функції y = f (x) в точці x ₀ (іноді кажуть, при x, що прагне до x _0), якщо для будь-якого позитивного числа e можна знайти таке позитивне число d, що для всіх x з d-околі точки x _{0 відповідає} значення y потрапляють в e-околиця точки y = A.

Можна сформулювати визначення межі функції по-іншому. Число A називається границею функції y = f (x) в точці x _0, якщо для будь-якого позитивного числа e можна знайти таке позитивне число d, що для всіх x, що задовольняють умові

0 <ê x - x ₀ ê <d,

виконується умова

ê y - A ê <e.

Той факт, що A є межа функції y = f (x) в точці x = x _0, записується формулою

.

Функція y = f (x) називається безперервної в точці x = x _0, якщо вона визначена в цій точці і її значення f (x ₀₎ одно межі функції в цій точці: .

Функція y = x ² неперервна в точці x = 2, як і у всіх точках числової осі. Функція не є безперервною в точці x = 2. Функція не є безперервною в точці x = 0.

Функція, безперервна в кожній точці відкритого проміжку, називається безперервної на цьому проміжку.

Властивості границі функції.

1. Функція не може мати в одній точці два різні межі.

2. , Якщо C - постійна функція.

3. Якщо існує і C - постійна функція, то

.

4. Якщо існують і , То існує , Що дорівнює , А також існує , Що дорівнює . Якщо при цьому , То існує , Що дорівнює .

Число B називається границею функції f (x) в точці a справа (це записується у вигляді формули ), Якщо для будь-якого позитивного числа e знайдеться позитивне число d, таке що з з умови 0 <x - a <d буде слідувати ê B-f (x) ê <e.

Відповідно до наведеного визначення .

Число З називається границею функції f (x) в точці b ліворуч (це записується у вигляді формули ), Якщо для будь-якого позитивного числа e знайдеться позитивне число d таке, що з умови 0 <b - x <d буде слідувати ê C - f (x) ê <e.

Функція f (x) називається безперервної в точці a справа (безперервної в точці b ліворуч), якщо

( ).

Функція безупинна справа в точці x = 0.

Функція називається безперервної на замкнутому проміжку [a, b], якщо вона неперервна на відкритому проміжку (a, b), неперервна справа в точці a і неперервна зліва в точці b.

Для того, щоб виконувалося рівність , Необхідно і достатньо, щоб одночасно виконувалися дві рівності:

;

Число А називається границею функції f (x) при х, що прямує до нескінченності:

,

якщо для будь-якого позитивного числа e можна знайти таке позитивне число M (залежне від e), що для всіх чисел х, що перевершують М, виконується умова:

½ f (x) - A ½   <   e.

Нехай тепер функція f (x) визначена на підлозі нескінченному проміжку
(- ¥; х _0). Число А називається границею функції f (x) при х, що прямує до мінус нескінченності:

,

якщо для будь-якого позитивного числа e можна знайти таке позитивне число M (залежне від e), що для всіх чисел х, менших, ніж - М, виконується умова:

½ f (x) - A ½   <   e.

Два, так званих, "чудових межі".

1. . Геометричний зміст цієї формули полягає в тому, що пряма є дотичною до графіка функції в точці .

2. . Тут e - ірраціональне число, приблизно рівне 2,72.

Питання для самоперевірки.

1.Пріведіте приклад функції, що не має межі в даній точці.

2.При яких умовах з існування меж ліворуч і праворуч слід існування границі функції в даній точці.

3.Какова зв'язок між поняттями границі функції і нескінченно малої функції?

4.Какова зв'язок між нескінченно малої і нескінченно великою функцією?

5.Пріведіте приклади нескінченно малих функцій: еквівалентних, одного порядку, різного порядку малості.

6.Чим дорівнює межа суми чотирьох функцій?

7.У чому відмінність між поняттями межі і безперервності функції в точці?

8.При яких умовах безупинна складна функція?

ТЕМА7. Диференціальне числення

Поняття похідної. Геометричний зміст. Правила обчислення похідних. Похідна складної функції. Таблиця похідних. Похідні вищих порядків. Поняття диференціала та його геометричний зміст. Застосування диференціала для наближених обчислень. Інваріантність диференціала. Формула Тейлора і залишковий член. Формула Тейлора для елементарних функцій. застосування для наближеного обчислення функцій і меж. містять невизначеність. Зростання і спадання функцій. Екстремуми. опуклість, увігнутість, точки перегину. асимптоти. Побудова графіків.

КОРОТКІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Розглянемо функцію y = f (x), безперервну в деякій околиці точки x. Нехай D x  приріст аргументу в точці x. Позначимо через D y або D f приріст функції, рівне f (x + D x) - f (x). Відзначимо тут, що функція неперервна в точці x, якщо в цій точці нескінченно малому приросту аргументу D x відповідає нескінченно малий приріст функції D f.

Відношення D f / D x, як видно з малюнка 1, так само тангенсу кута a, який становить січна MN кривої y = f (x) c позитивним напрямком горизонтальній осі координат.

Відношення D y / D x або, що те ж саме (f (x + D x)  f (x)) / D x, можна розглядати при заданому x як функцію аргументу D x. Ця функція не визначена в точці D x = 0. Однак її межу в цій точці може існувати.

Якщо існує межа відносини (f (x + D x) - f (x)) / D x в точці D x = 0, то він називається похідною функції y = f (x) в точці x і позначається y ¢ або f ¢ ( x):

.

Знаходження похідної функції y = f (x) називається диференціюванням.

Якщо для будь-якого числа x з відкритого проміжку (a, b) можна обчислити f ¢ (x), то функція f (x) називається дифференцируемой на проміжку (a, b).

Геометричний зміст похідної полягає в тому, що похідна функції f (x) в точці x дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в цій точці.

Похідна  це швидкість зміни функції в точці x. З визначення похідної випливає, що f ¢ (x) »D f / D x, причому точність цього наближеної рівності тим вище, чим менше D x. Похідна f ¢ (x) є наближеним коефіцієнтом пропорційності між D f і D x.

Таблиця похідних елементарних функцій.

Основні властивості похідної.

1. Якщо функція має похідну в точці, то вона неперервна в цій точці.

2. Якщо існує f ¢ (x), і С довільне число, то функція має похідну: (Cf (x)) ¢ = Cf ¢ (x).

3. Якщо існують f ¢ (x) і g ¢ (x), то функція S (x) = f (x) + g (x) має похідну: S ¢ (x) = f ¢ (x) + g ¢ (x) .

4. Якщо існують f ¢ (x) і g ¢ (x), то функція P (x) = f (x) g (x) має похідну: P ¢ (x) = f ¢ (x) g (x) + f ( x) g ¢ (x).

5. Якщо існують f ¢ (x) і g ¢ (x) і при цьому g (x) ¹ 0, то функція D (x) = f (x) / g (x) має похідну: D ¢ (x) = (f ¢ (x) g (x)  f (x) g ¢ (x)) / g ² (x).

Похідна складної функції.

Нехай функція g (x) має похідну в точці x, а функція f (z) має похідну в точці z = g (x). Тоді складна функція F (x) = f (g (x)) має в точці x похідну F ¢ (x) = f ¢ (z) g ¢ (x).

Нехай функції b (z) і g (z) є нескінченно малими в точці z = z ₀ .. Функція b (z) називається нескінченно малою вищого порядку, ніж функція g (z), якщо .

Величини r ₁ і r ₂ в формулах (2) є функціями аргументу D x, нескінченно малими в точці D x = 0. Можна показати, що . Це означає, що функції r ₁ (D x) і r ₂ (D x) є нескінченно малими функціями більш високого порядку, ніж D x, у точці D x = 0.

Таким чином приріст функції y = f (x) в точці, в якій існує її похідна, може бути представлено у вигляді

D y = ​​f ¢ (x) D x + b (D x),

де b (D x) нескінченно мала функція вищого порядку, ніж D x, у точці D x = 0.

Головна, лінійна відносно D x, частина приросту функції y = f (x), рівна f ¢ (x) D x, називається диференціалом і позначається dy:

dy = f ¢ (x) D x.

,

тобто похідна функції f (x) дорівнює відношенню диференціала функції до диференціалу аргументу x.

Властивості диференціала.

1. dC = 0 (тут і в наступній формулою C  постійна);

2. d (Cf (x)) = Cdf (x);

3. Якщо існують df (x) і dg (x), то d (f (x) + g (x)) = df (x) + dg (x), d (f (x) g (x)) = g ( x) df (x) + f (x) dg (x). Якщо при цьому g (x) ¹ 0, то .

Нехай функція y = f (x) дифференцируема на деякому відрізку [ab]. У такому разі її похідна є теж деяку функцію х. Продифференцировав цю функцію, ми отримаємо так звану другу похідну (або похідну другого порядку) функції f (x). Продовжуючи цю операцію, можна отримати похідні третього, четвертого і вищих порядків. При цьому f `(x) будемо називати похідної першого порядку.

Похідною n-го порядку (або n-й похідної) від функції f (x) називається похідна (першого порядку) від її (n -1)-й похідної.

Позначення: у ⁽ⁿ⁾ = (y ^{(n -1))} = f ⁽ⁿ⁾ (x). Похідні 2-го і 3-го порядку позначаються відповідно y 'і y'.

Властивості похідних вищих порядків.

Основні властивості похідних вищих порядків випливають з відповідних властивостей першої похідної:

1. (Cf (x)) ⁽ⁿ⁾ = c · f ⁽ⁿ⁾ (x).

2. (F (x) + g (x)) ⁽ⁿ⁾ = f ⁽ⁿ⁾ (x) + g ⁽ⁿ⁾ (x).

3. Для y = x ^m y ⁽ⁿ⁾ = n (n-1) ... (n-m +1) x ^mn. Якщо m - натуральне число, то при n> m y ⁽ⁿ⁾ = 0.

4. Можна вивести так звану формулу Лейбніца, яка дозволить знайти похідну n-го порядку від добутку функцій f (x) g (x):

.

Диференціали вищих порядків.

Диференціал від диференціала функції називається її другим диференціалом або диференціалом другого порядку.

Позначення: d ² y = d (dy).

Диференціалом n-го порядку називається перший диференціал від диференціала (n -1)-го порядку:

d ⁿ y = d (d ^n-1 y) = (f ^(n-1) (x) d ^n-1 x) = f ⁽ⁿ⁾ (x) d ⁿ x.

Властивості диференціалів вищих порядків.

1. Похідну будь-якого порядку можна представити як відношення диференціалів відповідного порядку:

.

2. Диференціали вищих порядків не володіють властивістю інваріантності.

Точки екстремуму функції.

Точка х ₀ називається точкою максимуму (мінімуму) функції y = = f (x), якщо f (x) ≤ f (x ₀₎ (f (x) ≥ f (x ₀₎₎ для всіх х з деякої δ-околі точки х _0.

Точки максимуму і мінімуму функції називаються її точками екстремуму.

Теорема (теорема Ферма). Якщо функція y = f (x) визначена в деякій околиці точки х _0, приймає в цій точці найбільше (найменше) в аналізованої околиці значення і має в точці х ₀ похідну, то f '(x ₀₎ = 0.

Твір послідовних натуральних чисел 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ (n -1) n називається факторіалів числа n і позначається

n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... ∙ (n -1) n.

Додатково вводиться 0! = 1.

Отримане уявлення функції називається формулою Тейлора, а R _n (x) називається залишковим членом формули Тейлора.

Форми залишкового члена у формулі Тейлора.

R _n = o (x - a) ⁿ запис залишкового члена у формі Пеано.

Застосування формули Тейлора для наближених обчислень.

Замінюючи якусь функцію, для якої відомо розкладання по формулі Тейлора, многочленом Тейлора, ступінь якого вибирається так, щоб величина залишкового члена не перевищила вибране значення похибки, можна знаходити наближені значення функції із заданою точністю.

Знайдемо наближене значення числа е, обчисливши значення многочлена Тейлора (21.14) при n = 8:

При цьому

Функція y = f (x) називається зростаючою (спадною) на [ab], якщо

таких, що x ₁ <x _2, f (x ₁₎ <f (x ₂₎ (f (x _1)> f (x _2)).

Якщо функція f (x), дифференцируемая на [ab], зростає на цьому відрізку, то на [ab].

Якщо f (x) неперервна на [ab] і дифференцируема на (ab), причому для a <x <b, то ця функція зростає на відрізку [ab].

Теорема (необхідна умова екстремуму). Нехай функція f (x) задана в деякій околиці точки х _0. Якщо х ₀ є точкою екстремуму функції, то або не існує.

Якщо функція визначена в деякій околиці точки х ₀ і її похідна в цій точці дорівнює нулю або не існує, точка х ₀ називається критичною точкою функції.

Достатні умови екстремуму.

Теорема Нехай функція f (x) неперервна в деякій околиці точки х _0, дифференцируема в проколеної околиці цієї точки і з кожного боку від даної точки f '(x) зберігає постійний знак. Тоді:

1. якщо f '(x)> 0 при x <x ₀ і f' (x) <0 при x> x _0, точка х ₀ є точкою максимуму;

2. якщо f '(x) <0 при x <x ₀ і f' (x)> 0 при x> x _0, точка х ₀ є точкою мінімуму;

3. якщо f '(x) не змінює знак у точці х _0, ця точка не є точкою екстремуму.

Найбільше і найменше значення функції, що диференціюється на відрізку знаходять за схемою:

1. знайти критичні точки функції, що належать даному відрізку;

2. обчислити значення функції в точках а і b, а також у знайдених критичних точках. Найменша з отриманих чисел буде найменшим значенням функції на даному відрізку, а найбільше - її найбільшим значенням на ньому.

Асимптоти.

Пряма називається асимптотой графіка функції y = f (x), якщо відстань від зміною точки цього графіка до прямої прямує до нуля при видаленні точки в нескінченність.

Розглянемо три види асимптот і визначимо способи їх знаходження.

1. Вертикальні асимптоти - прямі, що задаються рівняннями виду х = а. У цьому випадку визначення асимптоти підтверджується, якщо хоча б один з односторонніх меж функції в точці а нескінченний. Приклад. Вертикальної асимптотой графіка функції y = 1 / x є пряма х = 0, тобто вісь ординат.

2. Горизонтальні асимптоти - прямі виду у = а. Такі асимптоти має графік функції, межа якої при або при кінцевий, тобто .

3. Похилі асимптоти - прямі виду y = kx + b. Знайдемо k і b. Оскільки при , , Якщо ця межа існує, кінцевий і не дорівнює нулю. Однак навіть при виконанні цих умов похила асимптота може не існувати. Для її існування потрібно, щоб був кінцевий межа при різниці f (x) - kx. Ця межа дорівнюватиме b, так як при .

Загальна схема дослідження функції.

1. область визначення функції і її поведінка на кордонах області визначення (знайти відповідні односторонні межі або межі на нескінченності);

2. парність і періодичність функції;

3. інтервали безперервності і точки розриву (вказавши при цьому тип розриву);

4. нулі функції (тобто значення х, при яких f (x) = 0) і області сталості знака;

1. інтервали монотонності і екстремуми;

2. інтервали опуклості і угнутості і точки перегину;

3. асимптоти графіка функції.

Питання для самоперевірки.

1.Какой геометричний сенс проізводной7

2.Какой геометричний сенс диференціала?

3.Як використовувати диференціал для наближеного обчислення функції?

4.Як знайти похідну і диференціал твори трьох функцій7

5.Пользуясь визначенням похідної, знайдіть похідну функції у = 3х.

6.Як обчислюється похідна складної функції? наведіть приклад.

7.Что таке друга похідна?

8.Як використовувати формулу Тейлора для обчислення наближених значень функції?

9.Какови умови зростання та спадання функції?

10.Сформултруйте необхідна і достатня умова максимуму диференціюється. У чому відмінність між необхідним і достатнім умовою?

11.Что таке точка перегину?

12.Какие бувають асимптоти? Наведіть приклади.

Контрольна робота № 1

Завдання 1.

Дано вектори a і b. Знайти вектор c = a + b і скалярний твір (a · b),

де a = {1, M + 4, -1, N - 5}, b = {- M + 5, -1, 5 - N, 2}.

Завдання 2.

Дано матриця А = | | а _ij | | розмірністю 3 '3 та вектор-рядок b. Знайти твори А ^т × b ^т і b × А;

а _ij =-i - j + M - N - 4, b = {M-5, 1, 4-N} /

Завдання 3.

Дано матриці А = | | а _ij | | і В = | | b _ij | | Розмірністю 3 '3. Перевірити, чи комутативні матриці А і В, знайти визначники матриць. Елементи матриць обчислюються за формулами: а _ij = - I - j + M, b _ij = 2 i - j + N - 5.

Задача 4.

Вирішити систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса та за допомогою формул Крамера.

х + 2у + 3 z = 10,

-2х + у + (N -5) z = N -9,

x - y + 6 z = 7.

Задача 5.

Скласти систему з двох рівнянь з двома невідомими так, щоб вона:

1. мала єдине рішення;

2. не мала рішень;

3. мала нескінченно багато рішень.

Знайти визначники цих систем, враховуючи, що кожне з рівнянь системи є рівнянням прямої лінії на площині, зобразити ці прямі і пояснити, що означає кожен з трьох варіантів з точки зору взаємного розташування прямих.

Задача 6.

1. Знайти відстань між точками А (N + 2, - M - 1, M + N) і B (M, N, M - N) в тривимірному просторі.

2. Знайти точку перетину прямих у = - (N +1) x +2 і y = (M +1) x - N - M.

3. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку (M +1, N +1) і перпендикулярної до прямої у = - 2х -1.

4. яка крива описується рівнянням (N +1) x ² + (M +1) y ² = 4? Написати канонічне рівняння цієї кривої.

Завдання 7.

Знайти області визначення функцій:

а) у = 11 - N - 2 x; б) у = 1;

х ² + ² M + 3 x + M + 2

Завдання 8.

1. Знайти суму, різницю, твір і приватне комплексних чисел z ₁ = N + 1 +2 i, z ₂ = -2 + (M +1) i.

2. Розкласти на множники многочлен х ² - 2 N + 5 х + N + 6.

Контрольна робота № 2

Задача1.

1. Знайти межі:

а) lim [(N + 5) x ² + (M +2) x + (N + M)];

^{x ® 2}

б) lim {(10 - N) ln [e + tg (arcsin x)] + (10 - M) sin [M + 1) arctg e ^x]};

^{x ® 0}

в) lim (M +3) x ^{N +5} + (M +1) x ^{N +2} +1

^{x ® ¥} (2 M +2) x ^{N +5} -1

г) lim N +1 + (10 - M) x - N +1 - (2 M -9) x

^{x ® 0} x

д) lim [x ^{2 (N +1)} + (M +5) x ^{N +1} - x ^{2 (N +1)} - (M +1) x ^{N +1]}

^{х ® ¥}

е) lim sin [(10 - N) x]

^{x ® 0} ln [1 + (12-M) x]

3. У яких точках безупинні функції:

а) у = tg (M +3) x; б) y = 1;

x ² + ² Ö N + 3 x + N + 2

Завдання № 2

Знайти похідні функцій:

1) у = (M + N +5) x ^{M + N +2} 2) y = ln (x + N) cos (M +2) x - e ^{(N +1) x} tg (M +2) x

3) y = arctg9N +2) x 4) y = sin [ln (3x + N +2)]-arctg [cos (M +3) x]

ln (2 x + M +1)

Завдання 3.

Знайти другу похідну функції у = е ^{(N +2) ч} cos (М +2) х.

Задача 4.

Користуючись поняттям диференціала, обчислити наближене значення функції

у = ln [1 + (N +2) x] при х = 0,1

5

Задача 5.

Розкласти за формулою Тейлора в околиці точки х = 0 до членів порядку х ² функцію

у = cos (М +1) х + ln 1 + (N +2) х і знайти її наближене значення при х = 0,1. Чому

3. 4

це наближене значення більш точно відповідає істинному значенню функції, ніж наближене значення, отримане за допомогою першого диференціала?

Задача 6.

Користуючись формулою Тейлора, знайти межу lim tg [(N +2) x];

^{x ® 0} ln [1 - (M +3) x]

Завдання 7.

Дослідити функції і побудувати їх графіки:

а) у = (N +2) x ² + x +1 б) y = M +2

x x ² +1.

Правила виконання та оформлення контрольних робіт

У першому семестрі виконуються контрольні роботи 1 і 2. Варіант кожного завдання вибирається за останньою і передостанній цифрам номера студентського квитка (залікової книжки). Остання цифра позначається літерою N, передостання - буквою М. Наприклад, для залікової книжки № 147 N = 7, М = 4. При виконанні контрольних робіт необхідно дотримуватися таких правил. Роботи, виконані без дотримання цих правил, не зачитуються і повертаються студенту для переробки.

1. Кожна контрольна робота повинна бути виконана в окремому зошиті в клітинку чорнилом синього або чорного кольору, крім червоного. Необхідно залишати поля шириною 4-5 см для зауважень рецензента.

2. У заголовку роботи на обкладинці зошита повинні бути ясно написані прізвище студента, його ініціали, навчальний номер (номер залікової книжки), назву дисципліни, номер контрольної роботи; тут же слід вказати назву навчального закладу, дату відсилання роботи в інститут і адреса студента. В кінці роботи слід поставити дату її виконання і підпис студента.

Федеральне агентство по рибальству Федеральне державне освітня установа вищої професійної освіти Мурманський державний технічний університет Мончегорский філія Кафедра ЄП та ОПД Математика Контрольна робота № 1 Виконав: студент ................................... курсу ....................................... групи .................................... заочна форма навчання спеціальність ....................... залікова книжка № ............... Перевірив: вчений ступінь, посада Прізвище, ім'я, по батькові Мончегорськ, 2007

3. У роботу повинні бути включені всі завдання, зазначені в завданні, строго по покладеному варіанту контрольної роботи. Завдання, що містять не всі завдання, а також завдання не свого варіанту, не зачитуються.

4. Рішення задач треба розташовувати в порядку зростання їх номерів, вказаних в завданні, зберігаючи номери завдань.

5. Перед рішенням кожної задачі треба повністю виписати її умову. У тому випадку, якщо кілька завдань мають загальне формулювання, випливає, переписуючи умову задачі, замінити загальні дані конкретними, взятими з відповідного номеру.

6. Рішення задач слід викладати докладно й акуратно, пояснюючи і мотивуючи всі дії по ходу рішення і роблячи необхідні креслення.

7. Після отримання прорецензованого роботи, як не зарахованої, так і зачтенной, студент повинен виправити всі зазначені рецензентом помилки і недоліки і виконати всі рекомендації рецензента.

8. Якщо рецензент пропонує внести в рішення задач виправлення або доповнення та надіслати їх для повторної перевірки, то це слід зробити в короткий термін.

9. У разі незаліку роботи і відсутності прямої вказівки рецензента про те, що студент може обмежитися поданням виправлених рішень окремих завдань, вся робота повинна бути виконана заново.

10. При висилаються виправлення повинна обов'язково знаходитися прорецензовані робота і рецензія на неї. Тому рекомендується при виконанні контрольної роботи залишати в кінці зошита кілька чистих аркушів для всіх доповнень і виправлень у відповідності до вказівок рецензента.

11. Вносити виправлення в сам текст роботи після її рецензування забороняється.