Методика рішення ірраціональних рівнянь і нерівностей в шкільному курсі математики

¨ равносильность рівнянь, равносильность нерівностей;
¨ наслідок рівняння, слідство нерівності;
¨ равносильное перетворення рівняння, нерівності;
¨ сторонні корені (для рівнянь);
¨ перевірка коренів (для рівнянь).
Сформульовано теореми:
¨ про рівносильність рівнянь;
¨ про рівносильність нерівностей.
Дано відповіді на чотири головних питання, пов'язаних з рішенням рівнянь:
1) Як дізнатися, чи є перехід від одного рівняння до іншого рівносильним перетворенням;
2) які перетворення переводять дане рівняння в рівняння-наслідок;
3) як зробити перевірку, якщо вона пов'язана зі значними труднощами в обчисленнях;
4) у яких випадках при переході від одного рівняння до іншого може відбутися втрата коренів і як цього не допустити?
Перераховано можливі причини розширення області визначення рівняння, одна з яких - звільнення в процесі рішення рівняння від знаків коренів парному ступеня; вказані причини, за якими може відбутися втрата коренів при розв'язуванні рівнянь.
Виділено чотири загальні методу рішення рівнянь:
1) заміна рівняння h (f (x)) = h (g (x)) рівнянням f (x) = g (x);
2) метод розкладання на множники;
3) метод введення нових змінних;
4) функціонально-графічний метод.
Що стосується ірраціональних рівнянь, то їм у даному навчальному посібнику приділено достатньо велику увагу.
На прикладі ірраціонального рівняння показано як рішення будь-якого рівняння здійснюється в три етапи: технічний, аналіз рішення, перевірка.
Також на прикладі ірраціонального рівняння показано, як зробити перевірку, якщо перевірка коренів за допомогою їх підстановки у вихідне рівняння пов'язана зі значними обчислювальними труднощами.
Метод заміни рівняння h (f (x)) = h (g (x)) рівнянням f (x) = g (x) застосовується при вирішенні ірраціональних рівнянь для переходу від рівняння до рівняння .
Метод введення нової змінної також розібраний і на прикладі рішення ірраціонального рівняння.
Окремий пункт присвячений ірраціональним нерівностям. Тут з теоретичним обгрунтуванням розглядається рішення нерівностей виду , . У першому випадку ірраціональне нерівність замінюється рівносильній системою нерівностей у другому - рівносильній сукупністю систем нерівностей
Система завдань у II частини даного навчального посібника викладена в тій же послідовності, що і відповідний матеріал в I частини. У § 55 «Равносильность рівнянь» викладено різні типи завдань на равносильность і наслідок рівнянь, в тому числі і ірраціональних. У § 56 «Загальні методи рішення рівнянь» розміщено завдання для використання чотирьох методів, викладених у I частини даного навчального посібника, для вирішення рівнянь. Усі завдання відповідно до них розбиті на чотири блоки, в кожному з яких зустрічаються ірраціональні рівняння. У § 57 «Рішення нерівностей з однією змінною» викладено різні типи завдань на равносильность і наслідок нерівностей, в тому числі і ірраціональних.
У № 1673 потрібно вирішити найпростіші ірраціональні рівняння. № № 1674, 1675, 1712-1719 - вправи вище середнього рівня для вирішення ірраціональних рівнянь, № № 1790, 1791 - нерівностей. № 1792 - вправа підвищеної труднощі для розв'язання ірраціональних нерівностей.
Багато завдань, в яких потрібно вирішити «змішане» рівняння або нерівність, тобто логарифмічне, показове або тригонометрическое рівняння або нерівність, до якого входили і ірраціональні вирази. Серед цих завдань є завдання як базового, так і підвищеного рівня.
У I частині підручника багато уваги приділено равносильности рівнянь і нерівностей, досить суворо розглянуто загальні методи розв'язання рівнянь, із застереженням про втрату коренів і придбанні сторонніх. II частина підручника відрізняється великою кількістю і різноманітністю завдань. Досить багато завдань на равносильность і наслідок рівнянь і нерівностей.
1.6. «Збірник задач з алгебри, 8-9», авт. М. Л. Галицький, А. М. Гольдман, Л. І. Звавіч [5].
Дана книга являє собою збірник задач з курсу алгебри, призначений для учнів 8-9 класів з поглибленим вивченням математики.
На початку параграфа «Степінь з раціональним показником» поміщений довідковий матеріал теоретичного характеру, присвячений ірраціональним рівнянь і нерівностей. Описано такі шляхи вирішення ірраціональних рівнянь, як:
· Зведення обох частин рівняння в натуральну ступінь з подальшою перевіркою знайдених коренів;
· Перехід до рівносильним системам, в яких враховується область визначення рівняння і вимога того, що б були невід'ємними обидві частини рівняння, що зводяться в парну ступінь.
При вирішенні ірраціональних нерівностей або використовується метод інтервалів, або за допомогою рівносильних перетворень замінюється дане ірраціональне нерівність системою (або сукупністю систем) раціональних нерівностей.
У параграфі розглянуто три способи вирішення ірраціонального рівняння виду :
1) перехід до рівносильній системі;
2) введення нової змінної;
3) використання властивості монотонності функцій.
Серед вправ, вміщених у цьому параграфі, є вправи для закріплення умінь і навичок вирішувати ірраціональні рівняння і нерівності. В № № 115-117 необхідно довести, що рівняння не має рішення, у № № 118-119 - відповісти на питання: рівносильні чи рівняння. № № 120-144 пропонуються для вирішення ірраціональних рівнянь, № № 145-155 - для вирішення нерівностей описаними вище способами.
1.7. «Алгебра і математичний аналіз, 11», авт. Н. Я. Віленкін, О.С. Івашев-Мусатов, С. І. Шварцбурд [4].
Даний навчальний посібник являє собою продовження книги «Алгебра і початки аналізу» для 10 класу і призначено як для загальноосвітньої школи, так і класів і шкіл з поглибленим вивченням курсу математики.
Ірраціональні рівняння і нерівності вивчаються в параграфі «Степенева функція. Ірраціональні вирази, рівняння і нерівності »VIII глави« Показова, логарифмічна і статечні функції ».
Пункт «Ірраціональні рівняння» починається з визначення ірраціонального рівняння і прикладів таких рівнянь. Далі сформульована і доведена теорема про рівносильні рівняннях, на якій грунтується рішення ірраціональних рівнянь. З теореми випливає, що якщо в ході вирішення ірраціонального рівняння доводилося зводити обидві його частини до степеня з парних показником, то можуть з'явитися сторонні корені. Тому, щоб не було необхідності підставляти знайдені коріння в дане рівняння, сформульоване ще два твердження про рівносильно переході від рівнянь виду і до систем, що складається з рівняння і нерівності. Далі на прикладах розв'язання ірраціональних рівнянь демонструються дані рівносильні переходи. Також автор рекомендує перед зведенням обох частин рівняння в деяку ступінь «усамітнитися радикал», тобто представити рівняння у вигляді . Далі даний метод застосовується для вирішення ірраціональних рівнянь
Після цього пункту вміщено вправи для закріплення умінь розв'язувати ірраціональні рівняння описаними вище методами - № 216. У № 215 необхідно довести, що дані ірраціональні рівняння не мають рішень.
У наступному пункті «Ірраціональні нерівності» сформульовані прийоми рішення ірраціональних нерівностей виду і за допомогою рівносильно переходу до системи нерівностей у першому випадку і сукупності систем нерівностей - у другому. Розглядається рішення ірраціонального нерівності виду за допомогою рівносильно переходу до нерівності . Рішення кожного з видів нерівностей демонструється на прикладах.
Після цього пункту вміщено вправи (№ 217) для закріплення вміння вирішувати ірраціональні нерівності з допомогою рівносильних переходів, описаних вище.
Усі твердження, сформульовані в даному навчальному посібнику, викладені із суворим обгрунтуванням. Описано корисний метод при вирішенні ірраціональних рівнянь - метод «усамітнення радикала». Не дивлячись на те, що підручник не відрізняється великою кількістю вправ, запропоновані завдання різноманітні, різного ступеня складності
Проведений аналіз дозволяє зробити наступні висновки:
1) У підручнику [1] матеріалу за методами вирішення ірраціональних рівнянь немає. У підручниках [13] та [4] матеріалу з теорії способів вирішення ірраціональних рівнянь достатньо. У великому обсязі теорія по загальним методам вирішення розглянута підручнику [2] і [10].
2) У кожному підручнику розглянуто два основних способи рішення: зведення обох частин рівняння до степеня, з подальшою підстановкою отриманих коренів у вихідне рівняння, а також рішення рівнянь за допомогою рівносильних переходів до системи, що складається з рівняння і нерівності. У підручниках [2] і [10] розглянуті такі загальні методи розв'язання рівнянь як метод розкладання на множники, метод введення нових змінних, функціонально-графічний метод; деякі з них продемонстровані на прикладах розв'язання ірраціонального рівняння.
3) У підручниках [1] і [13] не розглянуто рішення ірраціональних нерівностей. У підручнику [2] матеріалу за рішенням ірраціональних нерівностей не достатньо. У підручниках [4] та [10] докладно і з теоретичним обгрунтуванням розглянуто рішення ірраціональних нерівностей виду , за допомогою рівносильно переходу до системи (чи сукупності систем). Тільки в підручнику [4] розглядається рішення ірраціонального нерівності виду .
4) Найбільш великий обсяг вправ для вирішення ірраціональних рівнянь і нерівностей представлений у підручниках [11] та [5]. У підручнику [4] вправ небагато, але вони різноманітні.

§ 2. Методика вивчення ірраціональних рівнянь
2.1. Теоретичні основи рішення рівнянь
2.1.1. Основні поняття, пов'язані з рівнянням
Рівність виду
, (1)
де і - Деякі функції, називають рівнянням з одним невідомим x (з однією змінною x). Це рівність може виявитися вірним при одних значеннях x і невірним при інших значеннях x.
Число a називається коренем (або рішенням) рівняння (1), якщо обидві частини рівняння (1) визначені при і рівність є вірним. Отже, кожен корінь рівняння (1) належить безлічі, яке є перетином (загальною частиною) областей визначення функцій і і називається областю допустимих значень (ОДЗ) рівняння (1).
Розв'язати рівняння - означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає.
Якщо в умовах задачі не зазначено, на якому безлічі потрібно вирішити рівняння, то рішення слід шукати в ОДЗ цього рівняння.
У процесі рішення часто доводиться перетворювати рівняння, замінюючи його більш простим (з точки зору знаходження коренів). Є одне правило, яке не слід забувати при перетворенні рівнянь: не можна виконувати перетворення, які можуть призвести до втрати коренів.
Назвемо перетворення рівняння (1) допустимим, якщо при цьому перетворенні не відбувається втрати коренів, тобто виходить рівняння
, (2)
яке або має те ж коріння, що і рівняння (1), або, крім всіх коренів рівняння (1), має хоча б один корінь, який не є коренем рівняння (1), сторонній для рівняння (1) корінь. У зв'язку з цим використовують такі поняття.
Рівняння (2) називається наслідком рівняння (1), якщо кожен корінь рівняння (1) є коренем рівняння (2).
Рівняння (1) і (2) називаються рівносильними (еквівалентними), якщо кожне з цих рівнянь є наслідком іншого. Іншими словами, рівняння (1) і (2) рівносильні, якщо кожен корінь рівняння (1) є коренем рівняння (2) і навпаки, кожен корінь рівняння (2) є коренем рівняння (1). Рівняння, не мають коренів, вважаються рівносильними.
Якщо рівняння (1) і (2) рівносильні, то пишуть
або (1) (2),
а якщо рівняння (2) є наслідком рівняння (1), то пишуть
або (1) (2).
Відзначимо, що якщо вихідне рівняння з допомогою допустимих перетворень замінено іншим, причому в процесі перетворення хоча б один раз рівняння замінювалося нерівносильні йому наслідком, то перевірка знайдених коренів шляхом підстановки у вихідне рівняння є обов'язковою.
Якщо ж при кожному перетворенні рівняння замінювалося рівносильним, то перевірка не потрібна (не слід плутати перевірку з контролем обчислень).
Розглянемо ще одне поняття, пов'язане з рішенням рівнянь. Будемо говорити, що рівняння (1) рівносильно сукупності рівнянь
, (3)
якщо виконані наступні умови:
1) кожен корінь рівняння (1) є коренем, принаймні, одного з рівнянь (3);
2) будь-який корінь кожного з рівнянь (3) є коренем рівняння (1).
Якщо зазначені умови виконані, то безліч коренів рівняння (1) є об'єднанням множин коренів рівнянь (3).
Якщо рівняння записано у вигляді
, (4)
то кожне рішення цього рівняння є рішенням, принаймні, одного з рівнянь
(5)
Однак не можна стверджувати, що будь-який корінь кожного з рівнянь (5) є корінь рівняння (4).
Наприклад, якщо , То - Корінь рівняння , Але число 3 не є коренем рівняння (4), так як функція не визначена при .
Таким чином, у загальному випадку не можна стверджувати, що рівняння (4) рівносильно сукупності рівнянь (5). Щоб розв'язати рівняння (4), досить знайти корені рівнянь і , А потім відкинути ті, які не входять до ОДЗ рівняння (4), тобто не належать безлічі, на якому визначені функції і . У ОДЗ рівняння (4) це рівняння рівносильне сукупності рівнянь (5). Справедливо більш загальне твердження: якщо функція визначена при всіх x таких, що , А функція визначена при всіх x таких, що , То рівняння (4) рівносильно сукупності рівнянь (5). [18]
2.1.2. Найбільш важливі прийоми перетворення рівнянь
Усі перетворення рівнянь можна розділити на два типи: [15]
1) Рівносильні, тобто перетворення, після застосування будь-яких з яких вийде рівняння, рівносильне вихідному.
2) нерівносильні, тобто перетворення, після застосування яких може відбутися втрата або придбання сторонніх коренів.
Розглянемо деякі види перетворень рівнянь і проаналізуємо, до яких типів вони відносяться.
1. Перенесення членів рівняння з однієї частини в іншу, тобто перехід від рівняння
(1)
до рівняння
. (2)
Зазначене перетворення призводить до рівносильне рівнянню, тобто (1) (2).
Зокрема, . Зауважимо, що тут мова йде тільки про перенесення членів рівняння з однієї його частини в іншу без подальшого приведення подібних членів (якщо такі є). [18]
2. Приведення подібних членів, тобто перехід від рівняння
(3)
до рівняння
. (4)
Справедливо наступне твердження: для будь-яких функцій , , рівняння (4) є наслідком рівняння (3), тобто (3) (4).
Перехід від рівняння (3) до рівняння (4) є допустимим перетворенням, при якому втрата коренів неможлива, але можуть з'явитися сторонні корені.
Таким чином, при приведенні подібних членів, а також при відкиданні однакових доданків у лівій і правій частинах рівняння виходить рівняння, що є наслідком вихідного рівняння. [18]
Наприклад, якщо в рівнянні

викреслити в лівій і правій його частинах доданок , То вийде рівняння
,
що є наслідком вихідного: друге рівняння має , , А перше - єдиний корінь .
Відзначимо ще, що якщо ОДЗ рівняння (4) міститься в області визначення функції , То рівняння (3) і (4) рівносильні.
3. Множення обох частин рівняння на одну й ту ж функцію, тобто перехід від рівняння (4) до рівняння
. (5)
Справедливі наступні твердження:
1) якщо ОДЗ рівняння (4), тобто перетин областей визначення функцій і , Міститься в області визначення функції , То рівняння (5) є наслідком рівняння (4);
2) якщо функція визначена і відмінна від нуля в ОДЗ рівняння (4), то рівняння (4) і (5) рівносильні. [18]
Зауважимо, що в загальному випадку перехід від рівняння (5) до рівняння (4) недопустимий, оскільки це може призвести до втрати коренів.
При вирішенні рівнянь виду (5) зазвичай заміняють його рівносильним рівнянням
,
потім знаходять все корені рівнянь
і
і, нарешті, перевіряють, які з цих коренів задовольняють рівнянню (5).
4. Зведення обох частин рівняння в натуральну ступінь, тобто перехід від рівняння
(6)
до рівняння
. (7)
Справедливі наступні твердження:
1) при будь-якому рівняння (7) є наслідком рівняння (6);
2) якщо (N - непарне число), то рівняння (6) і (7) рівносильні;
3) якщо (N - парне число), то рівняння (7) рівносильне рівнянню
, (8)
а рівняння (8) рівносильно сукупності рівнянь
. (9)
Зокрема, рівняння
(10)
рівносильно сукупності рівнянь (9). [18]
Отже, виходячи з тверджень 1 і 2, зведення обох частин рівняння в непарну ступінь і витяг з обох частин рівняння кореня непарної мірою є рівносильним перетворенням.
Виходячи з твердження 1 і 3, зведення обох частин рівняння в парну ступінь і витяг з обох частин рівняння кореня парному мірою є нерівносильні перетворенням, при цьому виходить рівняння, що є наслідком вихідного.
5. Застосування формули при є рівносильним перетворенням, при - Нерівносильні. [15], [18]
Перетворення рівнянь, розглянуті в пунктах 3, 4 і 5 будуть продемонстровані на прикладах нижче.
2.2. Методи рішення ірраціональних рівнянь
У роботі будемо дотримуватися наступного визначення ірраціонального рівняння:
Ірраціональним рівнянням називається рівняння, що містить невідоме під знаком кореня.
Перш ніж приступити до вирішення складних рівнянь учні повинні навчитися вирішувати найпростіші ірраціональні рівняння. До простих ірраціональним рівнянням відносяться рівняння виду: .
Основна ідея рішення ірраціонального рівняння полягає у зведенні його до раціонального алгебраическому рівнянню, яке або рівносильно вихідного ірраціонального рівняння, або є його наслідком.
Головний спосіб позбутися від кореня і отримати раціональне рівняння - зведення обох частин рівняння в одну й ту ж ступінь, яку має корінь, що містить невідоме, і подальше «визволення» від радикалів за формулою . [6]
Якщо обидві частини ірраціонального рівняння звести в одну і ту ж непарну ступінь і звільнитися від радикалів, то вийде рівняння, рівносильне вихідному. [6]
При зведенні рівняння в парну ступінь виходить рівняння, що є наслідком вихідного. Тому можлива поява сторонніх рішень рівняння, але не можлива втрата коренів. Причина придбання коренів полягає в тому, що при зведенні в парну ступінь чисел, рівних за абсолютною величиною, але різних за знаком, виходить один і той самий результат.
Так як можуть з'явитися сторонні корені, то необхідно робити перевірку, підставляючи знайдені значення невідомої тільки в початкове рівняння, а не в якісь проміжні.
Розглянемо застосування даного методу для вирішення ірраціональних рівнянь виду . [7]
Приклад 1. Розв'язати рівняння .
Рішення. Зведемо обидві частини цього рівняння в квадрат і отримаємо , Звідки випливає, що або .
Перевірка. : . Це невірне числове рівність, значить, число не є коренем даного рівняння.
: . Це правильне числове рівність, значить, число є коренем даного рівняння.
Відповідь. .
Приклад 2. Розв'язати рівняння .
Рішення. Після зведення в квадрат отримуємо рівняння , Звідки випливає що або .
Перевірка. : . Це правильне числове рівність, значить, число є коренем даного рівняння.
: . Це невірне числове рівність, значить, число не є коренем даного рівняння.
Відповідь. .
2.2.1. Метод зведення до еквівалентної системі рівнянь і нерівностей
Перевірка, що здійснюється підстановкою знайденого рішення у вихідне рівняння, може бути легко реалізована, якщо перевіряються коріння - «хороші» числа, а для «громіздких» коренів перевірка може бути пов'язана зі значними обчислювальними труднощами. Тому кожна освічена школяр повинен вміти вирішувати ірраціональні рівняння з допомогою рівносильних перетворень, так як, виконуючи рівносильні перетворення, можна не побоюватися ні втрати коренів, ні придбання сторонніх рішень. [17]
Акуратне зведення в парну ступінь рівняння виду полягає в переході до рівносильній йому системі:

Нерівність в цій системі висловлює умова, при якому рівняння можна зводити в парну ступінь, відсікає сторонні рішення і дозволяє обходитися без перевірки. [17]
Школярі досить часто додають до цієї системи нерівність . Однак цього робити не потрібно і навіть небезпечно, оскільки умова автоматично виконується для коренів рівняння , У правій частині якого стоїть невід'ємне вираз. [9]
Приклад 3. Розв'язати рівняння .
Рішення. Це рівняння рівносильне системі

Вирішуючи перше рівняння цієї системи, рівносильну рівнянню , Отримаємо коріння і .
Другий корінь не задовольняє нерівності системи і, отже, є стороннім коренем вихідного рівняння.
Відповідь. .
Корисно запам'ятати схему вирішення ще одного виду ірраціональних рівнянь . Таке рівняння рівносильно кожної з двох систем


Оскільки після зведення в парну ступінь отримуємо рівняння-наслідок . Ми повинні, вирішивши його, з'ясувати, чи належать знайдені коріння ОДЗ вихідного рівняння, тобто чи виконується нерівність (Або ). На практиці з цих систем вибирають для вирішення ту, в якій нерівність простіше. [9]
Приклад 4. Розв'язати рівняння .
Рішення. Це рівняння рівносильне системі

Вирішуючи перше рівняння цієї системи, рівносильну рівнянню , Отримаємо коріння і . Однак при цих значеннях x не виконується нерівність , І тому дане рівняння не має коренів.
Відповідь. Корній немає.
2.2.2. Метод усамітнення радикала
При вирішенні ірраціональних рівнянь корисно перед зведенням обох частин рівняння в деяку ступінь «усамітнитися радикал», тобто представити рівняння у вигляді . Тоді після зведення обох частин рівняння в n - ую ступінь радикал праворуч зникне. [4]
Приклад 5. Розв'язати рівняння
Рішення. Метод усамітнення радикала призводить до рівняння . Це рівняння рівносильне системі

Вирішуючи перше рівняння цієї системи, отримаємо коріння і , Але умова виконується тільки для .
Відповідь. .
Приклад 6. Розв'язати рівняння .
Рішення. Сховавшись перший радикал, отримуємо рівняння
,
равносильное вихідному.
Зводячи обидві частини цього рівняння в квадрат, отримуємо рівняння
,
.
Останнє рівняння є наслідком вихідного рівняння. Зводячи обидві частини цього рівняння в квадрат, приходимо до рівняння
, .
Це рівняння є наслідком рівняння вихідного рівняння і має коріння , . Перший корінь задовольняє початковому рівнянню, а другий - не задовольняє.
Відповідь. .
2.2.3. Метод введення нової змінної.
Потужним засобом вирішення ірраціональних рівнянь є метод введення нової змінної, або «метод заміни». Метод зазвичай застосовується у разі, якщо в рівнянні неодноразово зустрічається деякий вираз, залежне від невідомої величини. Тоді має сенс позначити цей вираз якої-небудь нової буквою і спробувати вирішити рівняння спочатку щодо введеної невідомою, а потім вже знайти вихідну невідому. У ряді випадків вдало введені нові невідомі іноді дозволяють отримати рішення швидше і простіше, іноді ж без заміни вирішити завдання взагалі неможливо. [6], [17]
Приклад 7. Розв'язати рівняння .
Рішення. Поклавши , Отримаємо істотно більш просте ірраціональне рівняння . Зведемо обидві частини рівняння в квадрат: .
Далі послідовно отримуємо:
;
;
;
;
, .
Перевірка знайдених значень їх підстановкою в рівняння показує, що - Корінь рівняння, а - Сторонній корінь.
Повертаючись до початкової змінної x, одержуємо рівняння , Тобто квадратне рівняння , Вирішивши яке знаходимо два кореня: , . Обидва кореня, як показує перевірка, задовольняють вихідному рівнянню.
Відповідь: , .
Заміна особливо корисна, якщо в результаті досягається нова якість, наприклад, ірраціональне рівняння перетворюється на квадратний.
Приклад 8. Розв'язати рівняння .
Рішення. Перепишемо рівняння так: .
Видно, що якщо ввести нову змінну , То рівняння прийме вигляд , Звідки , .
Тепер завдання зводиться до розв'язання рівняння та рівняння . Перше з цих рішень не має, а з другого отримуємо , . Обидва кореня, як показує перевірка, задовольняють вихідному рівнянню.
Відповідь. , .
Відзначимо, що «бездумне» застосування в Примері 8 методу «усамітнення радикала» і зведення в квадрат призвело б до рівняння четвертого ступеня, рішення якого є у випадку надзвичайно складне завдання.
Приклад 9. Розв'язати рівняння .
Введемо нову змінну
, .
У результаті вихідне ірраціональне рівняння набуває вигляду квадратного
,
звідки враховуючи обмеження , Отримуємо . Вирішуючи рівняння , Одержуємо корінь . Як показує перевірка, задовольняє вихідному рівнянню.
Відповідь. .
Іноді за допомогою деякої підстановки вдається привести ірраціональне рівняння до раціонального увазі, як розглянутих прикладах 8, 9. У такому випадку говорять, що ця підстановка раціоналізує розглядається ірраціональне рівняння, і називають її рационализирующее., Заснований на застосуванні раціоналізують підстановок, називається способом раціоналізації.
З усіма учнями на уроці цей спосіб вирішення ірраціональних рівнянь розбирати не потрібно, але він може бути розглянутий у рамках факультативних або гурткових занять з математики з учнями, які виявляють підвищений інтерес до математики.
2.2.4. Метод зведення до еквівалентним системам раціональних рівнянь
Рівняння виду (Тут a, b, c, d - деякі числа, m, n - натуральні числа) і ряд інших рівнянь часто вдається вирішити за допомогою введення двох допоміжних невідомих: і , Де і подальшого переходу до еквівалентної системі раціональних рівнянь. [17]
Приклад 1 6. Розв'язати рівняння .
Рішення. Введемо нові змінні
і , Де .
Тоді вихідне рівняння приймає вигляд: . Отримане рівняння має один суттєвий недолік: в ньому дві невідомих. Але зауважимо, що величини y і z не є незалежними змінними - вони залежать одна від іншої за допомогою старої змінної x. Висловимо x через y і z: і . Тепер, можна помітити, що якщо перше рівняння помножити на два і потім відняти з нього друге, то змінна x виключається, і залишається зв'язок тільки між y і z
.
У результаті отримуємо систему двох рівнянь відносно двох невідомих y і z

Вирішуючи цю систему методом підстановки, приходимо до рівняння , Корінням якого є числа і . Корінь сторонній, оскільки . Залишилося вирішити рівняння , Звідки знаходимо .
Відповідь. .
Приклад 1 7. Розв'язати рівняння . [6]
Рішення. Зведення обох частин цього рівняння в четверту ступінь не обіцяє нічого хорошого. Якщо ж покласти , , То вихідне рівняння листується так: . Оскільки ми ввели дві нові невідомі, треба знайти ще одне рівняння, що зв'язує y і z. Для цього зведемо рівності , у четверту ступінь і зауважимо, що .
Отже, треба розв'язати систему рівнянь

вона має два (дійсних) рішення: , ; , .
Залишається вирішити систему двох рівнянь з одним невідомим

і систему

перша з них дає , Друга дає .
Відповідь: , .
Не завжди після введення нових змінних вдається виключити невідому x, як це було в розглянутих прикладах 15, 16. Проте, як можна переконатися з такого прикладу, перехід від рівняння до системи може допомогти і в такому випадку. [17]
Приклад 1 8. Розв'язати рівняння .
Рішення. Введемо нові змінні
і , Де .
За стандартною схемою отримаємо наступну систему рівнянь:

звідки випливає, що
.
Так як , То y і z повинні задовольняти системі

Зведемо обидва рівняння цієї системи в квадрат, після чого, склавши їх, отримуємо рівняння .
Також збудуємо рівності , в квадрат і зауважимо, що .
Отримуємо таку систему рівнянь:

з якої отримуємо рівняння .
Зауважимо, що це рівняння має корінь . Тоді, розділивши многочлен на , Отримуємо розкладання лівої частини рівняння на множники
.
Звідси випливає, що - Єдине рішення цього рівняння. Після перевірки записуємо це рішення у відповідь.
Відповідь: .

2.2.5. Множення обох частин рівняння на функцію.
Іноді ірраціональне рівняння вдається вирішити досить швидко, якщо обидві його частини помножити на вдало підібрану функцію. Звичайно, при множенні обох частин рівняння на деяку функцію можуть з'явитися сторонні рішення, ними можуть виявитися нулі самої цієї функції. Тому запропонований метод вимагає обов'язкового дослідження виходять значень. [6]
Приклад 19. Розв'язати рівняння .
Рішення. Помножимо обидві частини рівняння на одну й ту ж функцію . Вираз називається зв'язаним для вираження . Мета такого множення ясна: використовувати той факт, що твір двох сполучених виразів вже не містить радикалів.
У результаті цього множення і очевидних перетворень приходимо до рівняння
,
і остаточно сукупності рівнянь

Сховавшись перший радикал другого рівняння сукупності, зведемо їх у квадрат і отримаємо

Якщо уважно подивитися на нерівності останньої системи, можна помітити, що перетин множин і порожньо. Отже, рівняння рішень не має. Значить, рівняння має єдиний корінь .
Підстановка у вихідне рівняння показує, що - Корінь.
Відповідь: .
Втім, тут можна було обійтися і без заміни: функція ніде в нуль не звертається, і тому множення обох частин рівняння на цю функцію не призводить до появи сторонніх рішень.
Приклад 20. Розв'язати рівняння . [9]
Рішення. Помножимо обидві частини рівняння на функцію . Після перетворень отримаємо рівняння
.
Воно має два кореня: . Перевірка показує, що - Сторонній корінь (не важко бачити, - Корінь функції ). Таким чином, рівняння має єдиний корінь .
Відповідь: .
2.2.6. Рішення ірраціональних рівнянь з використанням властивостей входять до них функцій
У шкільному курсі математики вивчаються властивості багатьох елементарних функцій. Їх іноді з успіхом можна застосовувати і при вирішенні ірраціональних рівнянь. Розглянемо кілька прикладів.
1. Використання монотонності функції.
Якщо рівняння має вигляд

де зростає (убуває), або

де і «Зустрічно монотонні», тобто зростає, а убуває і навпаки, то таке рівняння має не більше одного кореня. Якщо вдається помітити це чи привести рівняння до такого виду і при цьому неважко вгадати корінь, то він і буде вирішенням даного рівняння. [9]
Приклад 21. .
Рішення. Це рівняння можна спробувати вирішити зведенням в квадрат (тричі!). Однак при цьому вийде рівняння четвертого ступеня. Спробуємо вгадати корінь. Це зробити неважко: . Тепер зауважимо, що ліва частина рівняння - зростаюча функція, а права - спадна. Але це означає, що більше одного кореня таке рівняння мати не може. Отже, - Єдиний корінь.
Відповідь: .
Приклад 22. Розв'язати рівняння .
Рішення. Традиційний метод розв'язання рівнянь такого виду добре відомий. Втім, легко помітити, що - Корінь. Ліва частина рівняння задає зростаючу функцію, права - константу. Отже, дане рівняння може мати не більше одного кореня. Отже, - Єдиний корінь.
Відповідь: .
Приклад 23. Розв'язати рівняння .
Рішення. Знову-таки маємо стандартне ірраціональне рівняння. Тим не менш, не будемо поспішати зводити в квадрат. Так, , , Значить (Функція зростаюча), і ліва частина вихідного рівняння не менше 2. Отже, дане рівняння коренів не має.
Відповідь. Корній немає.
Приклад 24. Розв'язати рівняння .
Рішення. Оскільки і функція зростаюча, то . Отже, ліва частина даного нерівності області визначення приймає тільки негативні значення, тобто вихідне рівняння коренів не має.
Відповідь: Корній немає.
Приклад 25. Розв'язати рівняння .
Рішення. Як і в попередніх прикладах, нескладно виявити, що - Корінь. ОДЗ вихідного рівняння - проміжок . Але тепер вже, на відміну від раніше розглянутих завдань, ліва частина рівняння не задає монотонну функцію. Однак знову легко помітити, що на зазначена функція зростає, причому корінь належить цьому проміжку. Значить, на дане рівняння має єдиний корінь. Залишилося дослідити поведінку функції на відрізку . Очевидно, що при , А . Отже, на вихідне рівняння коренів не має.
Відповідь. .
2. Використання ОДЗ
Іноді знання ОДЗ дозволяє довести, що рівняння не має рішень, а іноді дозволяє знайти рішення рівняння безпосередній підстановкою чисел з ОДЗ.
Приклад 26. Розв'язати рівняння .
Рішення. ОДЗ цього рівняння складається з усіх , Одночасно задовольняють умови і , Тобто ОДЗ є порожня множина. Цим рішення рівняння завершується, оскільки встановлено, що жодне число не може бути рішенням, тобто рівняння не має коренів.
Відповідь: Корній немає.
Приклад 27. Розв'язати рівняння .
Рішення. Звичайно, це ірраціональне рівняння можна вирішити шляхом традиційного зведення обох частин у квадрат. Однак, знайшовши ОДЗ цього рівняння, приходимо до висновку, що ОДЗ вихідного рівняння - одноелементні безліч {2}. Підставивши в дане рівняння, приходимо до висновку, що - Корінь вихідного рівняння.
Відповідь: .
3. Використання графіків функцій
При вирішенні рівнянь або нерівностей іноді корисно розглянути ескіз графіків їх правої і лівої частин в одній і тій же системі координат. Тоді цей ескіз графіків допоможе з'ясувати, на які безлічі треба розбити числову вісь, щоб на кожному з них рішення рівняння (або нерівності) було очевидно.
Звернемо увагу, що ескіз графіка лише допомагає знайти рішення, але писати, що з графіка слід відповідь, не можна, відповідь ще треба обгрунтувати.
Приклад 28. Розв'язати рівняння .

Рис. 1

Рішення. ОДЗ даного рівняння є всі з проміжку . Ескізи графіків функцій і представлені на малюнку 1.
Проведемо пряму . З малюнка слід, що графік функції лежить не нижче цієї прямої, а графік функції не вище. При цьому ці графіки стосуються прямий в різних точках. Отже, рівняння не має рішень. Доведемо це. Для кожного маємо , А . При цьому тільки для , А тільки для . Це означає, що вихідне рівняння не має коренів.
Відповідь: Корній немає.
Приклад 29. Розв'язати рівняння .
Рішення. Ескізи графіків функцій і представлені на малюнку 2.

Рис. 2

Легко перевіряється, що точка є точкою перетину графіків функцій і , Тобто - Рішення рівняння. Проведемо пряму . З малюнка слід, що вона розташована між графіками функцій і . Це спостереження і допомагає довести, що інших рішень дане рівняння не має.
Для цього доведемо, що для з проміжку справедливі нерівності і , А для проміжку справедливі нерівності і . Очевидно, що нерівність справедливо для , А нерівність для . Вирішимо нерівність . Це нерівність рівносильно нерівності , Яке можна переписати у вигляді . Рішеннями цієї нерівності є всі . Точно також показується, що рішеннями нерівності є всі .
Отже, необхідне твердження доведено, і вихідне рівняння має єдиний корінь .
Відповідь: .
Крім розглянутих типів ірраціональних рівнянь існують ще й рівняння змішаного типу. До цієї групи відносяться ірраціональні рівняння, що містять крім знака радикалу та інші висловлювання (логарифмічний, показове, тригонометрическое), а також знак модуля і параметр. Рівняння даного типу також найчастіше включаються в завдання ЄДІ і програму вступних іспитів до ВНЗ.
З усіма учнями на уроці такі рівняння розбирати не потрібно, але вони можуть бути розглянуті в рамках факультативних або гурткових занять з математики з учнями, підвищений інтерес до математики. Приклади рішення рівнянь змішаного типу перебувають у додатку А.
3. Тотожні перетворення при рішенні ірраціональних рівнянь
При вирішенні ірраціональних рівнянь і нерівностей часто доводиться застосовувати тотожні перетворення, пов'язані з використанням відомих формул. На жаль, ці дії іноді настільки ж небезпечні, як вже розглянутий зведення в парну ступінь, - можуть купуватися чи губитися рішення. [17]
Розглянемо декілька ситуацій, в яких ці проблеми наступають, і навчимося їх розпізнати і запобігати.
I. Приклад 30. Розв'язати рівняння .
Рішення. При першому ж погляді на це рівняння виникає думка позбутися від кореня за допомогою «перетворення» . Але це невірно, тому що при негативних значеннях x виявлялося б, що . Тут необхідно застосувати формулу . Рівняння тепер легко вирішується
.
Відповідь. .
Розглянемо «протилежне» перетворення.
Приклад 31. Розв'язати рівняння .
Рішення. Тут застосовна формула
.
Тільки необхідно задуматися про безпеку її застосування. Неважко бачити, що її ліва і права частини мають різні області визначення і що це рівність вірно лише за умови . Тому вихідне рівняння рівносильне системі

Вирішуючи рівняння цієї системи, отримаємо коріння і . Другий корінь не задовольняє сукупності нерівностей системи і, отже, є стороннім коренем вихідного рівняння.
Відповідь. .
II. Наступне небезпечне перетворення при рішенні ірраціональних рівнянь, визначається формулою
.
Якщо користуватися цією формулою зліва направо, розширюється ОДЗ і можна придбати сторонні рішення. Дійсно, в лівій частині обидві функції і повинні бути ненегативні; а в правій ненегативним має бути їхнє твір. [17]
Приклад 32. Розв'язати рівняння .
Рішення. Зведемо обидві частини рівняння в квадрат і зробимо приведення подібних членів, перенесення доданків з однієї частини рівності в іншу і множення обох частин на . У результаті отримаємо рівняння
,
що є наслідком вихідного. Знову зведемо обидві частини рівняння в квадрат. Отримаємо рівняння
,
який приводиться до виду
.
Це рівняння (також є наслідком вихідного) має коріння , . Обидва кореня, як показує перевірка, задовольняють вихідному рівнянню.
Відповідь. , .
Зауваження. При зведенні рівняння в квадрат учні нерідко в рівнянні типу з Прімера 32 виробляють перемножування подкоренное виразів, тобто замість такого рівняння пишуть рівняння
.
Таке «склеювання» не призводить до помилок, оскільки таке рівняння є наслідком рівняння . Слід, однак, мати на увазі, що в загальному випадку таке перемножування подкоренное виразів дає нерівносильні рівняння. Тому в розглянутому вище прикладі можна було спочатку перенести один з радикалів в праву частину рівняння, тобто усамітнитися один радикал. Тоді в лівій частині рівняння залишиться один радикал, і після зведення обох частин рівняння в квадрат у лівій частині рівняння вийде раціональний вираз. [3]
Розглянемо приклад, де реалізується проблема з використанням формули .
Приклад 33. Розв'язати рівняння .
Рішення. Спробуємо вирішити це рівняння розкладанням на множники
.
Зауважимо, що при цій дії виявилося втраченим рішення , Так як воно підходить до вихідного рівняння і вже не підходить до отриманого: не має сенсу при . Тому це рівняння краще вирішувати звичайним зведенням в квадрат

Вирішуючи рівняння цієї системи, отримаємо коріння і . Обидва кореня задовольняють нерівності системи
Відповідь. , .
Висновок. Є два шляхи. Або акуратно зводити рівняння в квадрат, або безпомилково визначати, які рішення могли бути втрачені, і перевірити, чи не сталося цього насправді.
III. Існує ще більш небезпечне діяння - скорочення на спільний множник. [17]
Приклад 34. Розв'язати рівняння .
Неправильне міркування: Сократ обидві частини рівняння на , Отримаємо
.
Немає нічого небезпечнішого і неправильного, ніж це дію. По-перше, відповідне рішення вихідного рівняння було втрачено, по-друге, було придбано два сторонніх рішення . Виходить, що нове рівняння не має нічого спільного з вихідним! Наведемо правильне рішення.
Рішення. Перенесемо всі члени в ліву частину рівняння і розкладемо її на множники
.
Це рівняння рівносильне системі

яка має єдине рішення .
Відповідь. .

§ 3. Методика рішення ірраціональних нерівностей
Ірраціональні нерівності - досить складний розділ шкільного курсу математики, а якщо врахувати, що на його вивчення відведено вкрай мало часу, то стає ясно, що учні як правило це розділ не засвоюють. Навіть у тих учнів, що успішно вирішують ірраціональні рівняння, часто виникають проблеми при вирішенні ірраціональних нерівностей. Рішення ірраціональних нерівностей ускладнюється тією обставиною, що тут, як правило, виключена можливість перевірки, тому треба намагатися робити все перетворення рівносильними.
3.1. Теоретичні основи рішення ірраціональних нерівностей
Якщо в будь-якому ірраціональному рівнянні замінити знак рівності на один зі знаків нерівності:>, , <, , То отримаємо ірраціональне нерівність. [19] Тому під ірраціональним нерівністю будемо розуміти нерівність, в якому невідомі величини перебувають під знаком кореня. [16]
Спосіб вирішення таких нерівностей полягає в перетворенні їх до раціональних нерівностей шляхом зведення обох частин нерівності в ступінь.
Щоб уникнути помилок при вирішенні ірраціональних нерівностей, слід розглядати лише ті значення змінної, при яких всі вхідні в нерівність функції визначені, тобто знайти ОДЗ цієї нерівності, а потім обгрунтовано здійснювати рівносильний перехід на всій ОДЗ або її частинах.
При вирішенні ірраціональних нерівностей слід запам'ятати правило: при зведенні обох частин нерівності в непарну ступінь завжди виходить нерівність, рівносильну даному нерівності. [16]
Але якщо при вирішенні рівнянь у результаті зведення парну ступінь ми могли отримати сторонні корені (які, як правило легко перевірити) і не могли втратити коріння, то коріння нерівності при бездумному зведенні в парну ступінь можуть одночасно і губитися, і купуватися. [8]
Наприклад, звівши в квадрат:
- Вірне нерівність , Ми отримаємо вірне нерівність ;
- Вірне нерівність , Ми отримаємо невірне нерівність ;
- Невірне нерівність , Ми отримаємо вірне нерівність ;
- Невірне нерівність , Ми отримаємо невірне нерівність .
Ви бачите, що можливі всі комбінації вірних і невірних нерівностей.
Однак вірно основне використовуване тут твердження: якщо обидві частини нерівності зводять в парну ступінь, то вийде нерівність, рівносильну вихідного тільки в тому випадку, якщо обидві частини вихідного нерівності ненегативні. [16]
3.2. Методи рішення ірраціональних нерівностей
3.2.1. Метод зведення до еквівалентної системі або сукупності раціональних нерівностей
Основним методом вирішення ірраціональних нерівностей є зведення вихідного нерівності до рівносильній системі або сукупності систем раціональних нерівностей. [17]
Найбільш прості ірраціональні нерівності мають вигляд:
1) або ;
2) або ;
3) або .
Ірраціональне нерівність або рівносильно системі нерівностей
або . (1)
Перше нерівність у системі (1) є результатом зведення вихідного нерівності в ступінь, друга нерівність є умова існування кореня у вихідному нерівності, а третє нерівність системи висловлює умова, при якому ця нерівність можна зводити в квадрат.
Ірраціональне нерівність або рівносильно сукупності двох систем нерівностей
або . (2)
Звернемося до першої системі схеми (2). Перше нерівність цієї системи є результатом зведення вихідного нерівності в квадрат, друге - умова, при якому це можна робити.
Друга система схеми (2) відповідає випадку, коли права частина негативна, і зводити в квадрат не можна. Але в цьому й немає необхідності: ліва частина вихідного нерівності - арифметичний корінь - неотрицательна при всіх x, при яких вона визначена. Тому вихідне нерівність виконується при всіх x, при яких існує ліва частина. Перше нерівність другої системи і є умова існування лівій частині.
Ірраціональне нерівність або рівносильно системі нерівностей
або . (3)
Оскільки обидві частини вихідного нерівності ненегативні при всіх x, при яких вони визначені, тому його можна звести в квадрат. Перше нерівність у системі (3) є результатом зведення вихідного нерівності в ступінь. Друге нерівність є умова існування кореня у вихідному нерівності, зрозуміло, що нерівність виконується при цьому автоматично.
Схеми (1) - (3) - наш основний інструмент при вирішенні ірраціональних нерівностей, до них зводиться рішення практично будь-якої задачі. Розберемо декілька прикладів. [8]
Приклад 1. Вирішити нерівність .
Рішення. Зауважимо, що права часто цієї нерівності негативна, в той час як ліва частина неотрицательна при всіх значеннях x, при яких вона визначена. Тому нерівність рішень не має.
Відповідь. Рішень немає.
Приклад 2. Вирішити нерівність .
Рішення. Як і в попередньому прикладі, зауважимо, що права частина даного нерівності негативна, а ліва частина вихідного нерівності неотрицательна при всіх значеннях x, при яких вона визначена. Це означає, що ліва частина більше правої частини при всіх значеннях x, що задовольняють умові .
Відповідь. .
Приклад 3. Вирішити нерівність .
Рішення. Відповідно до схеми (1) рішення нерівностей цього типу, запишемо рівносильну йому систему раціональних нерівностей

Умова виконано при всіх x, і немає необхідності додавати його до виписаної системі.
Відповідь. .
Приклад 4. Вирішити нерівність .
Рішення. Це нерівність вирішується за допомогою схеми (2). У даному випадку , Тому можна відразу записати нерівність, рівносильну вихідного
.
Відповідь. .
Приклад 5. Вирішити нерівність .
Рішення. Ця нерівність може бути вирішено за допомогою схеми (1). Система, рівносильна вихідного нерівності, має вигляд
.
Відповідь. .
Приклад 6. Вирішити нерівність .
Рішення. Дане нерівність можна вирішувати з допомогою схеми (2). Воно рівносильно сукупності двох систем

Відповідь. .
Приклад 7. Розв'язати нерівність .
Рішення. Згідно зі схемою (3), таку нерівність рівносильно системі

Відповідь.
Розглянемо рішення ірраціональних нерівностей такого вигляду
.
Оскільки , , То повинні виконуватися умови , , (Відповідно ). На безлічі, де ці умови виконуються, таку нерівність рівносильно нерівності

(Відповідно нерівності ), Яке зводиться до розібраним вище типам нерівностей. [4]
Приклад 8. Вирішити нерівність .
Рішення. Дане нерівність рівносильно наступній системі нерівностей:

Рішення вихідного нерівності є спільною частиною рішень всіх нерівностей системи, тобто має вигляд .
Відповідь. .
Тепер перейдемо до вирішення складніших завдань, намагаючись звести їх рішення до стандартних ситуацій - до найпростіших нерівностей, розглянутим вище. Прийоми відомості багато в чому аналогічні прийомам, що застосовуються при вирішенні ірраціональних рівнянь.
Якщо у нерівності зустрічаються два квадратних радикала, зазвичай доводиться нерівність зводити в квадрат двічі, забезпечуючи при цьому необхідні для цієї операції умови.
Приклад 9. Вирішити нерівність .
Рішення. Перенесемо другий радикал в праву частину, щоб обидві частини нерівності стали невід'ємними, і його можна було звести в квадрат:

Ми прийшли до найпростішого стандартному нерівності, яке згідно зі схемою (1) рівносильно системі:

Відповідь. .
Зауваження. При отриманні нерівності ми не виписували допустимі значення невідомого, так як там фігурував , Який існує при , Але при цих значеннях існує і .
Приклад 10. Вирішити нерівність .
Рішення. Почнемо з відшукання допустимих значень невідомого:

Зауважимо, що для позбавлення від радикала досить звести таку нерівність в квадрат. Але для цього необхідно, щоб обидві частини його були ненегативні, що виконується лише при виконанні умови (Так як всі інші вирази, що входять у нерівність, ненегативні). Але за цієї умови можна помножити таку нерівність на позитивне вираження .
Отже, якщо , Таку нерівність перетвориться і вирішується так:
У тому випадку, коли , Таку нерівність буде виконуватися, тому що його негативна ліва частина стане менше позитивної правою.
Відповідь: .
Зауваження. При вирішенні останнього завдання ми фактично отримали такі нові схеми, легко виводяться з схем (1) і (2):
(4)

(5)

Якщо в правій частині подібного нерівності варто не одиниця, а будь-яке інше число крім нуля, можна природно, поділити на нього обидві частини нерівності та, в залежності від знаку цього числа, перейти до нерівностей зі схем (4) або (5).
3.2.2. Множення обох частин нерівності на функцію
Вирази і називаються сполученими один одному. Зауважимо, що їхній твір вже не містить коренів з і . Тому в ряді завдань замість зведення в квадрат, що призводить до занадто громіздким виразами, розумніше помножити обидві частини нерівності на вираз, поєднане однією з них.
Приклад 11. Вирішити нерівність .
Рішення. Знайдемо ОДЗ:

Помножимо обидві частини даного нерівності на вираз, поєднане його лівій частині і, очевидно, позитивне в ОДЗ:
Подальше рішення залежить, очевидно, від знаку загального множника лівої і правої частин отриманого нерівності .
Якщо він менше нуля, тобто , Скоротивши на цей негативний множник, переходимо до нерівності:
,
з якого знаходимо прямим зведенням в квадрат (адже обидві частини цієї нерівності позитивні)
У другому випадку, якщо загальний множник позитивний (тобто при ), Після скорочення на нього отримуємо нерівність
,
з якого прямим зведенням в квадрат (адже обидві частини цієї нерівності позитивні) отримуємо, що воно справедливо при .
Залишилося вказати, що в третьому можливе випадку - якщо загальний множник дорівнює нулю, - нерівність не виконується: ми отримуємо тоді , Що не так.
Відповідь: .
3.2.3. Метод введення нової змінної
Для вирішення ірраціональних нерівностей, так само як і для вирішення ірраціональних рівнянь, з успіхом може застосовуватися метод введення нової змінної.
Іноді вдається ірраціональну функцію, що входить у нерівність, замінити нової змінної таким чином, що щодо цієї змінної нерівність стає раціональним. [24]
Приклад 12. Вирішити нерівність .
Рішення. Перепишемо вихідне рівняння .
Зробимо заміну , . Тоді отримаємо

Таким чином, для визначення отримуємо сукупність нерівностей

Відповідь. .
Приклад 13. Вирішити нерівність .
Рішення. Введемо нову змінну , .
Тоді і для змінної t отримуємо раціональне нерівність
.
Залишилося зробити зворотний заміну і знайти :

Відповідь. .
3.2.4. Рішення ірраціональних нерівностей з використанням властивостей входять до них функцій
1. Використання монотонності функції
Нехай на проміжку задана зростаюча функція і потрібно вирішити нерівність (Або ). Якщо - Корінь рівняння , Причому , То вирішення цього нерівності - весь проміжок (Відповідно проміжок ). Єдиність кореня слід з монотонності . Зрозуміло, що якщо потрібно вирішити нестрогое нерівність, то при тому ж міркуванні у відповідь увійде і число , А якщо функція задана на замкнутому або напіввідкритому проміжку, то у відповідь увійдуть відповідні кінці проміжку. [26]
Приклад 14. Вирішити нерівність .
Рішення. Зауважимо, що ліва частина даного нерівності - зростаюча функція (позначимо її через ). При ліва частина дорівнює правій. Врахуємо ОДЗ вихідного нерівності і розглянемо його на проміжку . Маємо , Тобто таку нерівність виконується. При з тієї ж причини (через зростання функції ) , Тобто таку нерівність не виконується. Оскільки дослідження проведено при всіх допустимих значеннях , Рішення закінчено.
Відповідь:
2. Використання ОДЗ
Приклад 15. Вирішити нерівність .
Рішення. ОДЗ цієї нерівності є всі , Що задовольняють умові . Ясно, що не є вирішенням даного нерівності. Для з проміжку маємо , А . Отже, всі з проміжку є рішеннями даного нерівності.
Відповідь: .
Приклад 16. Вирішити нерівність .
Рішення. ОДЗ цієї нерівності є всі з проміжку . Розіб'ємо це множина на два проміжки і .
Для з проміжку маємо , . Отже, на цьому проміжку, і тому початкове нерівність не має рішень на цьому проміжку.
Нехай належить проміжку , Тоді і . Отже, для таких , І, значить, на цьому проміжку вихідне нерівність також не має рішень.
Відповідь: Корній немає.
3. Використання графіків функцій
Приклад 17. Вирішити нерівність .

Рис. 3

Рішення. ОДЗ цієї нерівності є всі з проміжку . Ескізи графіків функцій і представлені на рисунку 3. З малюнка слід, що для все з ОДЗ таку нерівність справедливо.
Доведемо це. Для кожного з проміжку маємо , А для кожного такого маємо . Значить, для кожного маємо . Отже, рішеннями вихідного нерівності будуть всі з проміжку .
Відповідь:

§ 4. Дослідне викладання
Дослідне викладання застосовується для об'єктивної і достовірної перевірки гіпотези і передбачає одночасне використання цілої низки методів, наприклад, спостереження, що діагностують контрольні роботи, розмова та інші.
Одним із завдань досвідченого викладання була перевірка ефективності розробленого факультативного курсу з вивчення ірраціональних рівнянь, як передбачених шкільною програмою, так і не зустрічаються в шкільному курсі математики. Курс розрахований на систематизацію методів вирішення ірраціональних рівнянь. Необхідно розглянути основні види ірраціональних рівнянь найбільш часто зустрічаються на випускних та вступних іспитах.
Цілі факультативних занять:
1. Ознайомити учнів з деякими методами вирішення ірраціональних рівнянь.
2. Показати застосування різних методів при вирішенні рівнянь одного виду.
3. Формувати вміння бачити раціональний метод для вирішення конкретних видів рівнянь.
4. Формувати логічне мислення.
5. Формувати наполегливість, цілеспрямованість, працьовитість через рішення складних завдань.
6. Розвивати математичну мову з властивою їй стислістю, точністю і лаконічністю.
7. Підготувати учнів до вступу у ВНЗ.
Знання та вміння, якими повинні володіти учні перед вивченням факультативного курсу на тему «Ірраціональні рівняння і методи їх вирішення»:
1. Володіти основними поняттями, що відносяться до рівнянь і нерівностей: корінь рівняння, ОДЗ рівняння, знати, що означає вирішити рівняння.
2. Володіти визначеннями понять арифметичного квадратного кореня і арифметичного кореня -Го ступеня.
3. Знати властивості арифметичного квадратного кореня і властивості арифметичного кореня -Го ступеня.
4. Уміти розв'язувати найпростіші ірраціональні рівняння.
5. Уміти розв'язувати найпростіші тригонометричні, показові та логарифмічні рівняння.
6. Уміти розв'язувати лінійні і квадратні рівняння.
Крім того, учні повинні мати уявлення про загальні методи розв'язання рівнянь: метод заміни, метод розкладання на множники, функціонально-графічний метод.
Мета курсу: дослідження можливості вивчення додатково до навчального плану деяких типів ірраціональних рівнянь, поглиблення вже наявних знань за рішенням ірраціональних рівнянь.
Етапи курсу:
1. Розробка програми факультативних занять «Ірраціональні рівняння і методи їх вирішення» для учнів 11 класу.
2. Проведення діагностуючої контрольної роботи № 1.
3. Проведення розробленої програми факультативних занять.
4. Проведення діагностуючої контрольної роботи № 2.
5. Аналіз отриманих результатів дослідної роботи.
Етап № 1
Розробка програми факультативних занять «Ірраціональні рівняння і методи їх вирішення» для учнів 11 класу.
Факультативні заняття були розроблені на основі аналізу математичної, методичної та навчальної літератури.
Етап № 2
Проведення діагностуючої контрольної роботи № 1.
Контрольна робота була проведена перед проведенням факультативних занять з учнями 11 ^а класу школи № 37 міста Кірова. Її основне завдання: визначити рівень підготовки, знань і умінь з теми «Ірраціональні рівняння".
Учням було запропоновано 8 завдань, які було необхідно виконати протягом 1 години. У класі 25 чоловік. Зміст діагностуючої контрольної роботи № 1 представлено у додатку Б.
Завдання 1-3-з вибором відповіді, завдання 4-7 - з короткою відповіддю, завдання 8 - з розгорнутою відповіддю.
Результати діагностуючої контрольної роботи № 1 відображені в таблиці № 1:
Етап № 3
Проведення розробленої програми факультативних занять.
Розроблені завдання проводилися 2 рази на тиждень. Всього було проведено 6 занять по 2 години.
Основні завдання проведення факультативних занять:
1) перевірити правильність відбору змісту і системи вправ;
2) виявити той матеріал, який викликає в учнів найбільші труднощі;
3) визначити ефективність засвоєння матеріалу за допомогою поточної перевірки;
4) виявити зацікавленість учнів у вивченні даної теми.
Етап № 4
Проведення діагностуючої контрольної роботи № 2.
Контрольна робота була проведена після проведення факультативних занять розробленої програми. Завдання: виявлення знань та умінь вирішувати ірраціональні рівняння.
Учням було запропоновано 8 завдань, які було необхідно виконати протягом 1 години. Зміст діагностуючої контрольної роботи № 1 представлено у додатку Б.
Тематика завдань та ж, що і в контрольній роботі № 1.
Результати діагностуючої контрольної роботи № 2 відображені в таблиці № 2:
Етап № 5
Аналіз отриманих результатів дослідної роботи.

На підставі таблиць № 1 і № 2 можна побудувати діаграму, що відображає порівняння результатів контрольних робіт, проведених перед відвідуванням учнями факультативних занять і після їх відвідування.
Як видно з діаграми, перед проведенням факультативних занять рівень знань учнів був середнім, а після проведення занять він підвищився. Позитивна тенденція помітна: учні навчилися вирішувати найпростіші ірраціональні рівняння і справилися з завданнями 1-3, значно краще стало вміння вирішувати більш складні рівняння. Так як восьмий завдання відноситься до високого рівня складності, з ним впорався лише 3 людини. Учні краще стали володіти методом введення нових змінних при вирішенні ірраціональних рівнянь. Важким видався матеріал, пов'язаний з раціоналізують підстановками при вирішенні ірраціональних рівнянь.
Програма факультативних занять на тему «Ірраціональні рівняння і методи їх вирішення»
Нижче пропонується програма факультативних занять на тему «Ірраціональні рівняння і методи їх вирішення». Курс краще вивчати в 11 класі, так як рівняння такого виду містяться в завданнях ЄДІ і на вступних іспитах до ВНЗ. Програма розрахована на 16 годин. Заняття проводяться по 2 години.
Заняття № 1
Тема: Рівносильні та нерівносильні перетворення рівнянь.
Цілі:
1) Ознайомити учнів з поняттям рівносильних рівнянь.
2) Показати, коли одне рівняння є наслідком іншого.
3) Сформулювати теореми про рівносильність рівнянь.
4) Ознайомити учнів з рівносильними та нерівносильні перетвореннями рівнянь.
Короткий зміст: Визначення равносильности рівнянь, слідства рівнянь, поняття стороннього кореня рівняння, перерахування та демонстрація на прикладах рівносильних та нерівносильні перетворень рівнянь.
Література для вчителя:
Література для учня:
Заняття № 2, № 3
Тема: Розв'язування найпростіших ірраціональних рівнянь
Цілі:
1) Відпрацювати в учнів уміння вирішувати найпростіші ірраціональні рівняння виду , .
2) Закріпити вивчений раніше матеріал.
3) Підготувати учнів до вивчення нового матеріалу.
Короткий зміст: Визначення ірраціонального рівняння, вирішення найпростіших ірраціональних рівнянь виду , методом зведення обох частин рівняння в одну й ту ж ступінь з подальшою перевіркою отриманих коренів, а також методом зведення до рівносильній системі рівнянь і нерівностей. Метод усамітнення радикала.
Література для вчителя:
Література для учня:
Заняття № 4
Тема: Рішення ірраціональних рівнянь методом заміни.
Мета: Навчити учнів розв'язувати ірраціональні рівняння методом заміни.
Короткий зміст: Застосування методу заміни у випадку, якщо в рівнянні неодноразово зустрічається деякий вираз. Рішення ірраціональних рівнянь методом зведення до еквівалентних систем раціональних рівнянь за допомогою введення двох допоміжних невідомих.
Література для вчителя:
Література для учня:
Заняття № 5
Тема: Застосування раціоналізують підстановок при вирішенні ірраціональних рівнянь.
Мета: Навчити учнів розв'язувати ірраціональні рівняння за допомогою раціоналізують підстановок.
Короткий зміст: Розгляд раціоналізації деяких виразів, що містять радикали, за допомогою раціоналізують підстановок і застосування цих підстановок при вирішенні ірраціональних рівнянь.
Література для вчителя:
Література для учня:
Заняття № 6
Тема: Рішення ірраціональних рівнянь функціонально-графічним методом.
Мета: Навчити учнів розв'язувати ірраціональні рівняння і нерівності, використовуючи властивості вхідних в них функцій.
Короткий зміст: Використання ОДЗ, монотонності, графіків функцій при розв'язуванні ірраціональних рівнянь.
Література для вчителя:
Література для учня:
Заняття № 7
Тема: Узагальнення та систематизація методів вирішення ірраціональних рівнянь.
Мета:
1) Показати учням, що ірраціональні рівняння можна вирішувати не одним методом.
2) Систематизувати методи вирішення ірраціональних рівнянь.
3) Навчити вибирати найбільш раціональний спосіб рішення.
Короткий зміст: Розгляд різних методів вирішення на прикладі одного ірраціонального рівняння виду .
Література для вчителя:
Література для учня:
Заняття № 8
Тема: Ірраціональні рівняння, що містять знак модуля або параметр. Рішення рівнянь змішаного типу.
Мета: Показати учням як вирішуються рівняння змішаного типу та рівняння, що містять знак модуля і параметр.
Короткий зміст: Рішення ірраціональних рівнянь з параметром і модулем, а також ірраціональні рівняння, що містять логарифмічні, показові або тригонометричні вирази.
Література для вчителя:
Література для учня:

Висновок
У даній роботі зроблена спроба розробити методику навчання розв'язуванню ірраціональних рівнянь і нерівностей в школі.
При проведенні дослідження були вирішені такі завдання:
1) Проаналізовано діючі підручники алгебри і початку математичного аналізу для виявлення представленої в них методики рішення ірраціональних рівнянь і нерівностей. Проведений аналіз дозволяє зробити наступні висновки:
· В середній школі недостатня увага приділяється методам вирішення різних ірраціональних рівнянь, в основному програмою передбачено формування в учнів вирішувати найпростіші ірраціональні рівняння і нерівності;
· У підручнику [1] матеріалу, присвяченого методам вирішення ірраціональних рівнянь немає. В інших підручниках розглянуто два основних способи рішення: зведення обох частин рівняння до степеня, з подальшою підстановкою отриманих коренів у вихідне рівняння, а також рішення рівнянь за допомогою рівносильних перетворень;
· Дуже мало матеріалу по методам вирішення ірраціональних нерівностей;
· Серед запропонованих завдань у підручниках багато однотипних;
2) Вивчено навчально-методична література з даної теми;
3) Розглянуто основні методи і прийоми вирішення різних ірраціональних рівнянь і нерівностей;
4) Розглянуті ситуації, пов'язані з втратою або придбанням сторонніх коренів у процесі вирішення, показано, як розпізнавати та запобігати їх;
5) Підібрано приклади розв'язання ірраціональних рівнянь і нерівностей для демонстрації викладається теоретичного матеріалу;
6) Розроблено

Список бібліографії
1. Алімов Ш. А. Алгебра і початки аналізу [Текст]: підручник для 10-11 класу середньої школи / Ш. А. Алімов - М.: Просвещение, 1993. - 254 с.
2. Башмаков М. І. Алгебра і початки аналізу [Текст]: підручник для 10-11 класу середньої школи / М. І. Башмаков - М.: Просвещение, 1992. - 351 с.
3. Болтянский В. Г. Математика: лекції, завдання, вирішення [Текст] / В. Г. Болтянский - Литва: Альфа, 1996. - 637 с.
4. Віленкін Н. Я. та ін Алгебра і математичний аналіз для 11 класу [Текст]: навчальний посібник для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики / Н. Я. Віленкін - М.: Просвещение, 1998. - 288 с.
5. Галицький М. Л. Збірник задач з алгебри для 8-9 класів [Текст]: навчальний посібник для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики М. Л. Галицький - М.: Просвещение, 1999. - 271с.
6. Григор'єв А. М. Ірраціональні рівняння [Текст] / А. М. Григор 'єв / / Квант. - 1972. - № 1. - С. 46-49.
7. Деніщева Л. О. Готуємося до єдиного державного іспиту. Математика. [Текст] / Л. О. Деніщева - М.: Дрофа, 2004. - 120 с.
8. Єгоров Г. Ірраціональні нерівності [Текст] / А Єгоров / / Математика. Перше вересня. - 2002. - № 15. - С. 13-14.
9. Єгоров Г. Ірраціональні рівняння [Текст] / А Єгоров / / Математика. Перше вересня - 2002. - № 5. - С. 9-13.
10. Мордкович А. Г. Алгебра і початки аналізу. 10-11 клас [Текст]: У двох частинах. Ч.1: підручник для загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.
11. Мордкович А. Г. Алгебра і початки аналізу. 10-11 клас [Текст]: У двох частинах. Ч.2: задачник для загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.
12. Мордкович А. Г. Хтось втрачає, хтось знаходить [Текст] / А. Г. Мордкович / / Квант - 1970. - № 5. - С. 48-51.
13. Колмогоров А. Н. Алгебра і початки аналізу [Текст]: підручник для 10-11 класу середньої школи / А. Н. Колмогоров - М.: Просвещение, 1991. - 320 с.
14. Кузнєцова Г. М. Програма для загальноосвітніх шкіл, гімназій, ліцеїв: Математика. 5-11 класи [Текст] / Г. М. Кузнецова - М.: Дрофа, 2004 - 320 с.
15. Потапов М. Як розв'язувати рівняння без ОДЗ [Текст] / М. Потапов / / Математика. Перше вересня - 2003. - № 21. - С. 42-43.
16. Соболь Б. В. Посібник для підготовки до єдиного державного іспиту і централізованого тестування з математики [Текст] / Б. В. Соболь - Ростов на Дону: Фенікс, 2003. - 352 с.
17. Черкасов О. Ю. Математика [Текст]: довідник для старшокласників і вступників у вузи / О. Ю. Черкасов - М.: АСТ-ПРЕСС, 2001. - 576 с.
18. Шабунін М. Лекції для абітурієнтів. Лекція 1. [Текст] / М. Шабунін / / Математика. Перше вересня - 1996. - № 24. - С. 24.
19. Шувалова Е. З. Повторимо математику [Текст]: навчальний посібник для вступників до вузів / Е. З. Шувалова - М.: Вища школа, 1974. - 519 с.
20. Моденою В. П. Рішення ірраціональних рівнянь [Текст] / В. П. Моденою / / Математика в школі - 1970. - № 6. - С. 32-35.
21. Горнштейн П. І. Іспит з математики та його підводні рифи [Текст] / П. І. Горнштейн - М.: Ілекса, Харків: Гімназія, 1998, - 236 с.
22. http://www.courier.com.ru
23. http://www.5ballov.ru.
24. Шарова Л. І. Рівняння і нерівності [Текст]: посібник для підготовчих відділень / Л. І. Шарова - Київ: Вища школа, 1981. - 280 с.
25. Олейна ...
26. Єгоров Г. Ірраціональні нерівності [Текст] / А Єгоров / / Математика. Перше вересня. - 2002. - № 17. - С. 13-14.
27. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 клас [Текст]: У двох частинах. Ч.1: підручник для загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович - М.: Мнемозина, 2004. - 315 с.
28. Мордкович А. Г. Алгебра. 8 клас [Текст]: У двох частинах. Ч.2: задачник для загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович - М.: Мнемозина, 2003. - 239 с.

Додаток А
Рішення ірраціональних рівнянь змішаного типу
Для кожного виду рівнянь і нерівностей, в тому числі і ірраціональних, можна скласти рівняння або нерівність «з модулем» і «з параметром».
Ірраціональні рівняння, що містять знак модуля
Найпростіші рівняння з модулем мають вигляд: і ; Будемо їх вирішувати на підставі визначення модуля зведенням до сукупності систем.

+

x

-

3

Приклад 1. Розв'язати рівняння .
Рішення. ,
Дане рівняння рівносильно сукупності двох систем:

Будемо вирішувати кожну з систем по окремості.
Рішення першої системи:


Остання система не має коренів, так як дискримінант рівняння менше нуля.
Рішення другої системи:


Відповідь: .

+

x

-

Приклад 2. Розв'язати рівняння
Рішення. ,
Дане рівняння рівносильно сукупності двох систем:

Будемо вирішувати кожну з систем по окремості.
Рішення першої системи:

Якщо уважно подивитися на нерівності останньої системи, можна помітити, що перетин множин і порожньо. Отже, перша система сукупності коренів не має.
Рішення другої системи:


Відповідь: .
Ірраціональні рівняння, що містять параметр
Рівняння виду називається ірраціональним з параметром щодо невідомого , Якщо одна або обидві його частини містять висловлювання, ірраціональні щодо .
Як і раніше, будемо знаходити тільки дійсні корені.
Важко вказати який-небудь загальний і разом з тим досить простий спосіб вирішення ірраціональних рівнянь, що містять параметр.
Проілюструємо деякі способи вирішення на прикладах.
Приклад 3. Для кожного дійсного значення параметра вирішити рівняння
.
Рішення. Вихідне рівняння рівносильно змішаній системі

При ця система рішень не має.
При отримаємо рішення

Тепер необхідно знайти ті значення , При яких ця система має рішення:


Відповідь: при - Коренів немає;
при .
Для вирішення ірраціонального рівняння іноді зручно ввести допоміжну невідому величину. При цьому отримуємо квадратне рівняння з параметром, яке потрібно вирішити в межах деякого обмеженого безлічі значень нового невідомого.
Приклад 4. Розв'язати рівняння .
Рішення. Область визначення даного рівняння:

Так як і , То й .
Зробимо заміну , Тоді і вихідне рівняння можна записати у вигляді системи

яка рівносильна системі

Корені рівняння повинні задовольняти першій умові останньої системи, тобто необхідно вирішити систему


Отже, при вихідне рівняння має єдиний корінь . Звідси при маємо
,

Відповідь: при ;
при - Коренів немає.
Ірраціональні показникові рівняння
Приклад 5. Розв'язати рівняння .
Рішення. Перепишемо рівняння так:
,
Наведемо всі ступені одного підставі 7:
.
Зробимо заміну , , Тоді отримуємо рівняння , Корінням якого є
Зробимо зворотну заміну:

або - Рівняння не має рішень.

Відповідь: .
Приклад 6. Розв'язати рівняння .
Рішення. Наведемо всі ступені одного підставі:
.
звідки одержуємо рівняння яке рівносильне рівнянню:



Відповідь:
Ірраціональні логарифмічні рівняння
Приклад 7. Розв'язати рівняння .
Рішення. Перетворимо дане рівняння:
.
Враховуючи ОДЗ, дане рівняння рівносильне системі:

Відповідь:
Приклад 8. Розв'язати рівняння

Рішення. Враховуючи ОДЗ, дане рівняння рівносильне системі:



Рівняння цієї системи рівносильне сукупності рівнянь:

Останнє рівняння цієї сукупності рівносильне рівнянню:


З нерівності системи випливає, що . Отже, - Сторонній корінь.
Відповідь: ,
Скільки коренів має рівняння ?
Скільки коренів має рівняння ?

Додаток Б
Діагностує контрольна робота № 1

1. Скільки коренів має рівняння ?
А. жодного	Б. один	В. два	Г. чотири
2. Розв'яжіть рівняння , Вкажіть корінь рівняння (або сума коренів, якщо їх декілька).
А.	Б. 1	В. 2	Г. коренів немає
3. Вибрати період, якому належить корінь рівняння (Або сума коренів, якщо їх декілька).
А.	Б.	В.	Г.
4. Розв'яжіть рівняння , Вкажіть корінь рівняння (чи роботу коренів, якщо їх декілька).
5. Розв'яжіть рівняння , Вкажіть корінь рівняння.
6. Розв'яжіть рівняння , Вкажіть корінь рівняння (якщо корінь не єдиний, то найбільший)
7. Розв'яжіть рівняння , Вкажіть корінь рівняння.
8. Розв'яжіть рівняння .

Діагностує контрольна робота № 2

1. Скільки коренів має рівняння ?
А. чотири	Б. два	В. один	Г. жодного
2. Розв'яжіть рівняння , Вкажіть корінь рівняння (або сума коренів, якщо їх декілька).
А. 4	Б. 1	В.	Г. коренів немає
3. Вибрати період, якому належить корінь рівняння (Або сума коренів, якщо їх декілька).
А.	Б.	В.	Г.
4. Розв'яжіть рівняння , Вкажіть корінь рівняння (чи роботу коренів, якщо їх декілька).
5. Розв'яжіть рівняння , Вкажіть корінь рівняння.
6. Розв'яжіть рівняння , Вкажіть корінь рівняння (якщо корінь не єдиний, то найбільший).
7. Розв'яжіть рівняння , Вкажіть корінь рівняння.
8. Розв'яжіть рівняння .

Відповіді та рішення завдань діагностуючої контрольної роботи № 1
1. А.
2. А.
3. Б.
4. Сховавшись перший радикал, отримуємо рівняння , Рівносильну вихідному. Зводячи обидві частини цього рівняння в квадрат, отримуємо рівняння , . Останнє рівняння рівносильне системі Вирішуючи рівняння цієї системи, рівносильну рівнянню , Отримаємо коріння і . Перший корінь не задовольняє нерівності системи і, отже, є стороннім коренем вихідного рівняння. Відповідь: .
5. Введемо нову змінну , Тоді , Причому . У результаті вихідне ірраціональне рівняння набуває вигляду квадратного , Звідки враховуючи обмеження , Отримуємо . Вирішуючи рівняння , Одержуємо корінь . Як показує перевірка, задовольняє вихідному рівнянню. Відповідь: .
6. Введемо нову змінну . У результаті вихідне ірраціональне рівняння набуває вигляду Вирішуючи перше рівняння цієї системи, отримаємо коріння і . Другий корінь не задовольняє нерівності системи. Вирішуючи рівняння , Отримуємо коріння і . Як показує перевірка, обидва кореня задовольняють вихідному рівнянню. У відповіді потрібно вказати найбільший з коренів. Відповідь: .
7. Дане рівняння рівносильно сукупності двох систем: і Будемо вирішувати кожну з систем по окремості. Рішення першої системи: Якщо уважно подивитися на нерівності останньої системи, можна помітити, що перетин множин і порожньо. Отже, перша система сукупності коренів не має. Рішення другої системи: Вирішуючи рівняння цієї системи, рівносильну рівнянню , Отримаємо коріння і . Другий корінь не задовольняє нерівності системи і, отже, є стороннім коренем вихідного рівняння. Відповідь: .
8. Введемо нові змінні і . Тоді вихідне рівняння приймає вигляд: . Оскільки ми ввели дві нові невідомі, треба знайти ще одне рівняння, що зв'язує y і z. Для цього зведемо рівності , в третю ступінь і зауважимо, що . Отже, треба розв'язати систему рівнянь вона має два (дійсних) рішення: , ; , . Залишається вирішити систему двох рівнянь з одним невідомим і систему перша з них дає , Друга дає . Як показує перевірка, обидва кореня задовольняють вихідному рівнянню. Відповідь: , .
Відповіді та рішення завдань діагностуючої контрольної роботи № 2
1. Б.
2. В.
3. Г.
4. Сховавшись перший радикал, отримуємо рівняння , Рівносильну вихідному. Зводячи обидві частини цього рівняння в квадрат, отримуємо рівняння , . Останнє рівняння рівносильне системі Вирішуючи рівняння цієї системи, рівносильну рівнянню , Отримаємо коріння і . Обидва кореня задовольняють нерівності системи і, отже, є корінням вихідного рівняння. У відповіді потрібно вказати твір коренів. Відповідь: 48.
5. Введемо нову змінну , Тоді , Причому . У результаті вихідне ірраціональне рівняння набуває вигляду квадратного , Звідки враховуючи обмеження , Отримуємо . Вирішуючи рівняння , Одержуємо корінь . Як показує перевірка, задовольняє вихідному рівнянню. Відповідь: .
6. Введемо нову змінну . У результаті вихідне ірраціональне рівняння набуває вигляду Вирішуючи перше рівняння цієї системи, рівносильну рівнянню , Отримаємо коріння і . Перший корінь не задовольняє нерівності системи. Вирішуючи рівняння , Отримуємо коріння і . Як показує перевірка, обидва кореня задовольняють вихідному рівнянню. У відповіді потрібно вказати найбільший з коренів. Відповідь: .