Методика навчання школярів основам комбінаторики теорії ймовірностей і математичної статистики

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Зміст

Глава 1. Теоретичні аспекти навчання основам комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики в рамках профільної школи.

1.1. Особливості навчання математики в рамках профільної школи.
1.1.1. Профільна школа як складова модернізації російської освіти.
1.1.2. Роль і місце математики в профілях різних напрямків.
1.2. Структура та зміст елективного курсу «Основи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики» у профілях різних напрямків.
1.2.1. Аналіз змісту навчальних посібників для середньої школи за темою «Основи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики».
1.2.2. Зміст елективного курсу «Основи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики» у профілях різних напрямків.
1.2.3. Структура елективного курсу «Основи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики» у профілях різних напрямків.
Висновки на чолі 1

Глава 2. Методика навчання школярів основам комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики в рамках профільної школи.

2.1. Особливості формування основних дидактичних одиниць при вивченні основ комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики в профілях різних напрямків.
2.1.1. Формування основних дидактичних одиниць у фізико-математичному профілі.
2.1.2. Формування основних дидактичних одиниць в природничо профілях.
2.1.3. Формування основних дидактичних одиниць в гуманітарних профілях.
2.2. Організація та аналіз дослідно-експериментальної роботи.
2.2.1. Організація дослідно-експериментальної роботи.
2.2.2. Аналіз дослідно-експериментальної роботи.
Висновки на чолі 2

Висновок

Основні висновки та отримані результати. Перспективи подальшої роботи над темою.

Бібліографічний список

Програми


Глава 1 Теоретичні аспекти навчання основам комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики в рамках профільної школи

1.1. Особливості навчання математики в рамках профільної школи

1.1.1. Профільна школа як складова модернізації російської освіти

Відповідно до наказу Міністерства освіти і науки Російської Федерації від 18.07.2002 р. № 2783 «Про затвердження Концепції профільного навчання на старшій ступені загальної освіти» в старших класах загальноосвітніх установ передбачається профільне навчання. Воно є найважливішим засобом диференціації та індивідуалізації навчання, що дозволяє за рахунок змін у структурі, змісті та організації освітнього процесу більш повно враховувати інтереси, схильності і здібності учнів, створювати умови для навчання старшокласників відповідно до їх професійними інтересами та намірами щодо продовження освіти з урахуванням реальних потреб ринку праці. Профільне освіта спрямована на реалізацію особистісно-орієнтованого навчального процесу, що розширює можливості вибудовування учнем індивідуальної освітньої траєкторії [електронний ресурс].
Проте спроби такої організації освіти приймалися в Росії і раніше - принаймні, з середини XIX століття.
Функціонально найбільш вдалим виявився самий простий і самий перший проект, в ході якого в 1864 році відбулося диференціювання середньої освіти. Саме тоді з'являється класична гімназія та реальна школа. Перша цілеспрямовано готувала до вступу в університет, друга - орієнтувала на практичну діяльність і надходження в спеціалізовані навчальні заклади. Спеціалізація учнів починалася дуже рано - в першому класі, що було з часом визнано помилковим, оскільки за даними соціологічних опитувань, проведених Центром соціологічних досліджень Міносвіти Росії, професійне самовизначення в основному складається в 9 класі.
Новий імпульс ідея профільного навчання отримала в процесі підготовки реформи освіти в 1915-1916 рр.., Що здійснювалася під керівництвом міністра освіти П. М. Ігнатьєва. За запропонованою структурою 4-7 класи гімназії поділялися на три гілки: новогуманітарную, гуманітарно-класичну, реальну. Однак у зв'язку з відставкою міністра реформа не була проведена.
У 1918 році радянським урядом було прийнято «Положення про єдину трудову школу», серед іншого передбачають профілізацію змісту навчання на старшій ступені школи. Були виділені три напрямки: гуманітарний, природничо-математичне та технічне. Після довгих педагогічних експериментів, які не виправдали покладених на них надій, було вирішено повернутися до загальноосвітньої школи і класно-урочної системи занять.
У 1958 році на засіданні Академії педагогічних наук з доповіддю «Про введення фуркації в старших класах середньої школи» виступив професор Н.К. Гончаров. Він відзначив недоліки сформованої системи навчання і запропонував організувати диференційоване навчання старшокласників. Передбачалося створення наступних чотирьох відділень: фізико-технічного, хіміко-технічного, природно-агрономічного та гуманітарного. Однак проект здійснено не було.
У 1966 році були введені дві форми диференціації змісту освіти за інтересами школярів: факультативні заняття 8-10-х класах і школи (класи) з поглибленим вивченням окремих предметів. Факультативні заняття на якийсь час прижилися в школі, хоча їх введення супроводжувалося певними труднощами.
В кінці 1980-х - на початку 1990-х років в країні з'явилися нові види загальноосвітніх установ (ліцеї і гімназії), орієнтовані на поглиблене навчання школярів за обирається ними освітнім областей з метою подальшого навчання у вузі. Також багато років успішно існували й розвивалися спеціалізовані (профільні) художні, спортивні, музичні та інші школи.
Таким чином, вітчизняна школа має деякий досвід масового диференційованого навчання, а також вельми багаті традиції «елітарного» профільного навчання - орієнтованого на невелику за чисельністю групу здатних учнів [МШ № 14, 2006].
Перехід до профільного навчання переслідує наступні основні цілі:
· Забезпечити поглиблене вивчення окремих предметів програми повної загальної освіти;
· Створити умови для істотної диференціації змісту навчання старшокласників з широкими і глибокими можливостями побудови школярами індивідуальних освітніх програм;
· Сприяти встановленню рівного доступу до повноцінної освіти різним категоріям учнів відповідно до їх здібностей, індивідуальними схильностями і потребами;
· Розширити можливості соціалізації учнів, забезпечити наступність між загальним і професійною освітою, більш ефективно підготувати випускників школи до освоєння програм вищої професійної освіти [МШ № 14, 2006].
Модель загальноосвітнього закладу з профільним навчанням на старшому ступені передбачає можливість різноманітних комбінацій навчальних предметів, що і буде забезпечувати гнучку систему профільного навчання. Ця система включає в себе курси наступних типів: базові загальноосвітні, профільні загальноосвітні та елективні курси.
Базові загальноосвітні курси - курси федерального і регіонального компоненту, обов'язкові для всіх учнів у всіх профілях навчання. Набір цих курсів повинен бути функціонально повним (з точки зору реалізації завдань загальної освіти), але мінімальним. Безумовно, набір базових загальноосвітніх курсів, що забезпечують мінімальний рівень загальної освіти для кожного старшокласника повинен відображати найбільш значимі цілі, завдання, функції загальної освіти.
У «Концепції профільного навчання на старшій ступені загальної освіти» пропонується наступний набір обов'язкових загальноосвітніх курсів (освітніх галузей): математика, російська мова та література, іноземна мова, історія, фізична культура, а також інтегровані курси суспільствознавства для природно-математичного, технологічного профілів, природознавства - для гуманітарного, філологічного, соціально-економічного профілів.
При визначенні змісту базових загальноосвітніх курсів має в рівній мірі враховуватися думка фахівців з цього навчального предмета і думка фахівців з інших предметів (міжпредметні зв'язки, оцінка загальноосвітньої значущості навчального матеріалу з позицій змісту освіти в цілому, а не тільки потреб, внутрішньої логіки побудови кожного окремого навчального предмета).
Профільні загальноосвітні курси - курси підвищеного рівня (фактично поглиблені курси для старшої ступені школи), що визначають спрямованість кожного конкретного профілю навчання. Наприклад, фізика, хімія, біологія - профільні курси в природничо профілі; література, російська й іноземні мови - у філологічному профілі; право, економіка та інші - у соціально-економічному профілі і т.д.
Досягнення випускниками рівня вимог державного освітнього стандарту з базових загальноосвітніх та профільних предметів визначається за результатами єдиного державного іспиту.
Курси за вибором - обов'язкові для відвідування курси за вибором учнів, що входять до складу профілю навчання на старшій ступені школи. Саме вони по суті і є найважливішим засобом побудови індивідуальних освітніх програм, так як в найбільшою мірою пов'язані з вибором кожним школярем змісту освіти в залежності від його інтересів, здібностей, наступних життєвих планів. Курси за вибором «компенсують» багато в чому досить обмежені можливості базових та профільних курсів задоволення різноманітних освітніх потреб старшокласників. Ця роль елективних курсів у системі профільного навчання визначає широкий спектр їх функцій і завдань.
За призначенням можна виділити кілька типів елективних курсів.
Електіви першого типу можуть бути «надбудовою» профільних курсів і забезпечити для найбільш здібних школярів підвищений рівень вивчення того чи іншого навчального предмета.
Курси за вибором другого типу повинні забезпечити міжпредметні зв'язки і дати можливість вивчати суміжні навчальні предмети на профільному рівні. Прикладом таких елективних курсів можуть бути курси: «Основи теорії ймовірностей і математичної статистики» для школярів, які обрали економічний профіль, «Комп'ютерна графіка» для індустріально-технологічного профілю або «Геометрія архітектурної гармонії» для гуманітарного профілю.
Третій тип елективних курсів допоможе школяру, що навчається у профільному класі, де один з навчальних предметів вивчається на базовому рівні, підготувати до здачі ЄДІ з цього предмета на підвищеному рівні.
Четвертий тип елективних курсів може бути орієнтований на набуття школярами освітніх результатів для успішного просування на ринку праці, наприклад: «Діловодство», курси з підготовки до роботи у сфері обслуговування і т.п. У свою чергу, пізнавальні інтереси в багатьох старшокласників часто можуть виходити за рамки традиційних шкільних предметів, поширюватися на області діяльності людини поза колом обраного ними профілю навчання. Це визначає появу в старших класах елективних курсів, що носять «внепредметний» або «надпредметні» характер. Прикладом подібних курсів можуть бути такі елективні курси, як «Основи правильного харчування», «Початкові курси автолюбителя» і т.п.
До теперішнього часу вже склалися чотири основні моделі організації профільного навчання.
1) У рамках одного загальноосвітнього установи діють кілька профільних класів. Ця модель почала складатися ще в 1990-і рр..
2) Організація однопрофільних шкіл старшій ступені, тобто учні 10-11-х класів готуються по одному і єдиному для всіх профілю. Поступово формуються нові типи освітніх установ - школи третин щаблі.
3) Профільне навчання на основі індивідуальних навчальних планів учнів. На старшому ступені учням пропонується кілька навчальних курсів незалежно від того, чи пов'язані вони загальною спрямованістю. Можна вибрати і математику, і літературу одночасно, що дозволяє під одне визначення підвести назву профілю для такого учня. Ці школи працюють за складним розкладом.
4) Мережеве взаємодія шкіл. Цей варіант найбільш характерний для сільських освітніх установ. Учням пропонується вибрати навчальний курс не лише в школі, а й за її межами. Іншими словами, учень здобуває освіту фактично в декількох навчальних закладах, а частина курсів освоює дистанційно.
Загалом перехід на профільне навчання - процес тривалий і займає на рівні освітнього навчання близько трьох, а на муніципальному рівні в мережевому варіанті - близько п'яти років.

1.1.2. Роль і місце математики в профілях різних напрямків
Математика об'єктивно є однією з найбільш складних шкільних дисциплін і викликає труднощі у багатьох школярів. У той же час є велика кількість учнів з явно вираженими здібностями до цього предмету. Розрив у можливостях сприйняття курсу учнями, які перебувають на двох «полюсах», досить великий.
У викладанні математики накопичено певний досвід диференційованого навчання. Він відноситься в основному до навчання сильних школярів. Однак диференціацію навчання не можна розглядати виключно з позицій цікавляться математикою учнів і по відношенні лише до старшого ланці школи. Орієнтація на особистість учня вимагає, щоб диференціація навчання математики враховувала потреби всіх школярів - не тільки сильних, а й тих, кому цей предмет дається з труднощами або чиї інтереси лежать в інших областях.
Диференціація зачіпає всі компоненти методичної системи навчання і всі ступені школи. Вона може проявлятися у двох основних видах: рівнева і профільна диференціація. Перший виражається в тому, що, навчаючись в одному класі, за однією програмою і підручником, школярі можуть засвоювати матеріал на різних рівнях. Другий вид диференціації - це диференціація за змістом. Вона пропонує навчання різних груп школярів за програмами, що відрізняється глибиною викладу матеріалу, обсягом відомостей і навіть номенклатурою включених питань. В основній школі провідним напрямом диференціації є рівнева, хоча вона не втрачає свого значення і в старших класах. На старшій ступені школи пріоритет віддається різноманітним формам профільного вивчення предметів. Основна школа є обов'язковою, старша школа - профільною.
Останнім часом привертає увагу методистів та вчителів ідея становлення вітчизняної профільної школи. Профільна школа не є професійною, її завдання - дати загальну середню освіту з орієнтацією на деяку сферу діяльності, до якої дані групи учнів мають велику схильність.
Теоретичні та експериментальні дослідження дозволили сформулювати загальні вимоги до формування змісту математичної освіти та побудові навчально-методичного комплексу, що реалізує профільну диференціацію навчання математики в загальноосвітній школі:
· Вивчення математики є обов'язковим для профільної середньої школи будь-якого напрямку;
· До програми з математики повинні включатися додаткові розділи, корисні для застосування в майбутній професії;
· Зміст математики має деяке загальне ядро;
· Всі види посібників з математики для учнів різних напрямів повинні мати якісні відмінності за методичним підходам, мови, систем вправ.
У 10-11-х класах диференціація освіти набуває систематичного характеру. Математика входить до числа обов'язкових навчальних предметів, проте вона може мати різний питома вага в загальноосвітній підготовці учня за часом, що відводиться на її вивчення, а також за глибиною та охопленням розглянутого матеріалу. У відповідності до цілей навчання математики виділяються розділи, загальні для всіх профілів навчання: числа, рівняння, функції та їх графіки, геометричні величини та їх вимірювання, початок теорій ймовірностей і статистики.
Залежно від тієї ролі, яку математика може грати в освіті людини, виділяють два типи шкільних курсів для завершального ступені школи: курс загальнокультурної орієнтації (курс А), розрахований на учнів, схильних розглядати математики лише як елемент загальної освіти і не передбачають використовувати її безпосередньо в своїй майбутній професійній діяльності, і курси підвищеного типу, які забезпечують подальше вивчення математики та її застосування як елемента професійної підготовки.
Доцільно виділити два основних курсу підвищеного типу. Перший з них (курс В) призначений для учнів, що вибрали для себе ті галузі діяльності, в яких математика відіграє роль апарату, специфічного засобу для вивчення закономірності навколишнього світу. Другий (курс С) орієнтований на тих учнів, для яких математика є однією з основних цілей пізнань.
Таким чином, для старшої ступені школи доцільно наявність трьох основних математичних курсів - А, В, С, які покликані надати кожному учневі можливість вивчати математику на рівні, відповідному його інтересам, здібностям, схильностям. Цих трьох курсів достатньо для викладання математики за профілем будь-якого напрямку.
Курс А може бути обраний тими учнями, яких цікавить, наприклад, мови, мистецтво, художня творчість, спорт або предметно-практична діяльність, тобто робота перукаря, кухаря, косметолога. Вони розглядають математику як елемент загальної освіти і не передбачають використовувати її безпосередньо у своїй діяльності. Специфічною особливістю курсу А повинна бути явно виражена гуманітарна спрямованість, тобто спеціальна орієнтація на розумовий розвиток людини, на знайомство з математикою як з областю людської діяльності, формування тих знань і вмінь, які необхідні для вільної орієнтації в сучасному світі.
Однак при цьому курс А не повинен зводитися до «прогулянкам по саду математики». Викладання за курсом А має спиратися на традиційні для шкільного курсу розділи. Обов'язкові вимоги по засвоєнню курсу А фактично повинні збігатися з базовим рівнем математичної підготовки випускників середньої школи.
Не можна погодитися з тією точкою зору, згідно з якою викладання математики в нематематичних класах відводиться лише другорядна роль. Навпаки, значення математичної освіти в цих класу має бути не тільки не менше, але навіть і більше, ніж у класах математичних. Адже учні гуманітарних класів завершують в середній школі свою математичну освіту. Вони не зможуть у майбутньому усвідомити філософію математики, побачити її історію, як це зробить інша частина молоді, вивчаючи математику у вузах. У програмах з математики для гуманітарних класів більше місця повинні займати питання світоглядного характеру, факти з історії математики, опису її додатків в різних областях її діяльності. Адже математика за своєю суттю є гуманітарним предметом, покликаним всебічно розвивати особистість учня, відшліфовувати логіку його міркувань і навчити правильно орієнтуватися в навколишньому середовищі. Використання гуманітарного потенціалу математики, її міжпредметних зв'язків з профільними предметами дозволить школярам глибше усвідомити зміст останніх, а тим самим перетворити її з другорядного в істотно важливий і корисний предмет.
Курс У орієнтований на учнів з науковим стилем мислення, які обрали для себе профілі природничо-наукових і науково-гуманітарних напрямів: хімічний, біологічний, географічний, історичний, соціологічний, економічний та інші. Зауважимо, що математизація відповідних наук стосується лише окремих їх областей, в основному найбільш сучасних, тоді як інші області практично не використовують математичних знань. Тому курс В повинен бути побудований з урахуванням того, що математика для учнів зазначеної категорії є хоча б за необхідне, але і не найважливішим предметом. Цей курс має забезпечувати оволодіння конкретними математичними знаннями, що дозволяють, зокрема, виробити уявлення про застосування в математиці в профілюючої науці і достатніми для вивчення математики у вузі відповідного спрямування.
Зауважимо, що можна було б ставити питання про поділ курсу У на два відповідно до особливостей процесу математизації в природно-наукових і науково-гуманітарних галузях знань. Сутністю математизації природничих і гуманітарних наук є математичне моделювання. У природних науках головну роль грають у цей час кількісні опису реальних процесів і відповідні кількісні моделі, для дослідження яких необхідні традиційні розділи математики, поряд з початками математичного аналізу і елементами теорії ймовірностей і математичної статистики. У гуманітарних науках значення мають структурні моделі, побудова та дослідження яких вимагає залучення розділів математики, більш сучасних і дуже далеких від нинішнього курсу математики, і, перш за все, дискретної математики (наприклад, створення інформаційних систем в додатках різних гуманітарних наук).
В усякому разі, в даний час виділення науково-гуманітарного напрямку недоцільно і математичні потреби в конкретній профілюючої науці повинні задовольнятися в основному в рамках позакласної роботи. Вирішувати одночасно два завдання - освоєння і традиційних, і спеціалізованих розділів математики - навряд чи можливо.
Курс С - найбільш строгий і повний курс математики - орієнтований на учнів, що вибрали для себе діяльність, безпосередньо пов'язану з математикою, і якийсь профіль з групи профілів «математичного спрямування». У цю групу разом з математичним профілем об'єднуються такі профілі, як фізичний та комп'ютерний. Справа в тому, що процес математизації знань історично почався з математизації фізики, а сучасний розвиток і стан фізики, як і всього фізичного циклу наук, нерозривно пов'язане з математичним апаратом і математичним мисленням. Сучасна наука інформатика, зобов'язана своїм походженням обчислювальної математики і математичної логіки, цілком заснована на математичному стилі мислення, в тому числі й у розділах, які змістовно з математикою не пов'язані. Ці особливості фізики та інформатики і дозволяють об'єднати їх в одну групу з математичним профілем з точки зору навчання математики.
Основою навчально-методичного забезпечення з математики цієї групи профілів і повинен бути курс С, орієнтований на оволодіння учнями необхідних обсягів конкретних математичних знань і формування в цьому процесі інтелектуальної культури особистості. Практика поглибленого вивчення математики та фізики показує, що гуманітарне вплив математики виявляється автоматично, що випливає із самої природи математичної діяльності.
Особливості конкретного профілю можуть зажадати включення у відповідний курс матеріалу, що розширює основний курс і заглибленого його. Наприклад, для розвитку абстрактного та логічного мислення учнів будь-якого профілю науково-гуманітарного напрямку доцільно підвищена увага до аксіоматичного методу, для потреб технічного та архітектурного профілів, може бути, слід посилити увагу до стереометрії або навіть передбачити знайомство з елементами нарисної геометрії.
Якщо вивчення математики в профілі чисто математичному є фактично самоціллю, то в профілі фізичному вивчення математики проводиться, перш за все, з метою створення необхідного для фізики апарату, а у профілі з ухилом в інформатику математика формується як основа вирішення специфічних завдань цієї галузі знань. Тому, наприклад, вивчення основ теорії ймовірностей і математичної статистики, складаючи специфічну область математичних знань, є обов'язковим у фізичному профілі. Навряд чи їх вивчення необхідне в математичному профілі, оскільки основи відповідної науки є більшою мірою функцією вищої освіти. Аналогічно основи математичної логіки, не будучи такою істотною частиною математичної науки, щоб її вивчення в школі могло вважатися обов'язковим, природно розглядати як необхідні у профілі з ухилом в інформатику.
Курс загальнокультурної орієнтації (курс А) розрахований на 4-6 уроків на тиждень, викладається в рамках єдиного курсу математики і не ставить завдання підготовки учнів до вступу у вузи з підвищеними вимогами до математичної підготовки. Курс підвищеного типу розрахований на 5-6 уроків математики на тиждень для соціально-економічного, природного, технічного напрямів профілів і сім уроків для фізико-математичного. Основними завданнями цього курсу є підготовка до вступу та продовження освіти вузу, де математика є одним з базових предметів.

1.2. Структура та зміст елективного курсу «Основи комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики»

Вивчення ймовірнісно-статистичного матеріалу продиктовано самим життям. Сучасній Росії потрібні люди, здатні приймати нестандартні рішення, які вміють творчо мислити, добре орієнтуватися у звичайних життєвих ситуаціях і виробничої діяльності. Імовірнісний характер багатьох явищ дійсності багато в чому визначає поведінку людини, і курс має формувати відповідні практичні орієнтири, озброювати учнів, як загальної ймовірнісної інтуїцією, так і конкретними способами оцінки даних. Діти повинні навчитися витягати, аналізувати й обробляти різноманітну, часом суперечливу інформацію, приймати обгрунтовані рішення в ситуаціях з випадковими наслідками, оцінювати ступінь ризику і шанси на успіх. Необхідність формування імовірнісного мислення зумовлена ​​й тим, що імовірнісні закономірності універсальні: сучасна фізика, хімія, біологія, демографія, соціологія, лінгвістика, весь комплекс соціально-економічних наук розвивається на базі ймовірнісно-статистичної математики.
Ймовірносно-статистичний матеріал володіє величезним потенціалом виховують, його вивчення впливає на розвиток інтелектуальних здібностей, посилює прикладний аспект курсу математики, сприяє розвитку інтересу до предмета.
Запровадження елементів статистики та теорії ймовірностей у зміст математичної освіти є одним з найважливіших аспектів модернізації змісту освіти, тому що роль цих знань в сучасному світі підвищується.
Основними цілями вивчення курсу є наступні.
- Сприяти формуванню та розвитку умінь рішення комбінаторних завдань, що дозволяють учням розумно організувати перебір обмеженого числа даних, підрахувати всілякі комбінації елементів, складених за певним правилом.
- Сприяти формуванню та розвитку імовірнісного мислення, ймовірнісної інтуїції.
- Сприяти розвитку творчих здібностей та обдарувань.
- Створити умови для розвитку умінь самостійно здобувати і застосовувати знання.
- Створити умови для розквіту особистості школяра з урахуванням його вікових особливостей.

1.2.2. Структура та зміст елективного курсу

Відповідно до цілей вивчення даного елективного курсу був проведений відбір змісту.
Розділ 1. Елементи комбінаторики.
Історичні та цікаві комбінаторні задачі (фігурні числа, магічні і латинські квадрати). Основні комбінаторні методи: перебір всіх можливих варіантів (систематичний перебір, перебір з обмеженнями), повний граф, дерево варіантів (граф-дерево), таблиця варіантів, правила твори і суми. Факторіал. Перестановки. Розміщення. Поєднання. Формули для підрахунку числа перестановок, розміщень і сполучень. Трикутник Паскаля. Біном Ньютона. Комбіновані завдання.
Учнівські проекти:
· «З історії комбінаторики».
· «Завдання для одного» (за бесформульним методам).
· «Біном Ньютона».
· «Комбінаторика навколо нас».
Розділ 2. Елементи теорії ймовірностей.
Випробування і події. Неможливі, достовірні та випадкові події. Види випадкових подій (спільні і несумісні, рівноможливими і неравновозможние, протилежні, незалежні), дії над випадковими подіями (сума, добуток). Повна група. Експерименти та його результати. Класичне визначення ймовірності. Рішення імовірнісних задач за допомогою формул комбінаторики. Відносна частота. Статистична ймовірність. Геометричні ймовірності. Теореми додавання і множення ймовірностей. Формула повної ймовірності. Можливість гіпотез, формула Бейеса. Формула Бернуллі. Закон великих чисел.
Учнівські проекти:
· Доповіді про вчених, що стоять біля витоків теорії ймовірності.
· «Парадокси».
· «Кому потрібна теорія ймовірностей?».
Розділ 3. Випадкові величини.
Випадкова величина. Дискретна і безперервна випадкові величини. Закон розподілу ймовірностей ДСВ. Математичне сподівання ДСВ. Дисперсія ДСВ. Середнє квадратичне відхилення. Метод найменших квадратів.
Учнівські проекти:
· «Сучасні азартні ігри».
· «Моделювання методом Монте-Карло».
Розділ 4. Елементи математичної статистики.
Предмет статистики. Основне завдання і основний метод статистики. Статистична інформація та способи її подання: простий статистичний ряд (вибірка), таблиці частот, таблиці відносних частот, стовпчасті діаграми, полігони частот, кругові діаграми, гістограми. Найпростіші статистичні дослідження. Етапи статистичних досліджень. Опитування громадської думки як приклад збору, обробки, представлення та інтерпретації даних. Статистичні характеристики: середнє значення, мода, медіана, розмах, вибіркова дисперсія, вибіркове середнє квадратичне відхилення. Визначення ліній регресії методом найменших квадратів для двовимірних вибірок.
Учнівські проекти:
· «Розвиток математичної статистики».
· Статистичне дослідження на задану тему.
У процесі навчання учні набувають вміння:
· Підрахувати кількість всіляких комбінацій елементів, утворених певним правилом;
· Вирішувати завдання за допомогою графів;
· Визначати типи випадкових подій;
· Обчислювати ймовірність події, користуючись найпростішими властивостями ймовірності;
· П нення експерименти з випадковими наслідками;
· І звлекать інформацію з таблиць і діаграм, аналізувати її;
· З апісивать вихідні дані в таблицю, використовуючи їх складати діаграми;
· Р егістріровать результати спостережень і робити висновки;
· У иполнять математичні, відсоткові розрахунки.
Враховуючи значимість і призначення курсу в кожному з профілів визначимо структуру курсу і складемо навчальний план.

РОЗДІЛ

ТЕМА ЗАНЯТТЯ
КІЛЬКІСТЬ ГОДИН
Матема-тичні профіль
Гуманітарних тарний профіль
Економ-ний профіль
1
Елементи комбінати-Ріки
1. Комбінаторні задачі. Перебір всіх можливих варіантів.
2. Підрахунок варіантів за допомогою графів, таблиця варіантів.
3. Кортежі. Правила твори і суми.
4. Перестановки.
5. Розміщення.
6. Поєднання.
7. Самостійна робота
8. Деякі властивості поєднань.
9. Властивість поєднань = + і трикутник Паскаля.
10. Біном Ньютона.
11. Рішення задач.
12. «Комбінаторика навколо нас» (підсумкове).
1
2
2
2
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
Всього
19
12
14
2
Елементи теорії ве-роятность
1. Предмет теорії ймовірностей. Події.
2. Види випадкових подій.
3. Експерименти та його результати.
4. Класичне визначення ймовірності.
5. Рішення імовірнісних задач за допомогою формул комбінаторики.
6. Статистична ймовірність.
7. Геометрична ймовірність.
8. Теорема додавання ймовірностей.
9. Теорема множення ймовірностей.
10. Наслідки теорем додавання і множення.
11. Формула Бернуллі. Закон великих чисел.
12. Рішення задач.
13. Самостійна робота.
14. «Кому потрібна теорія ймовірностей?» (Підсумкове).
2
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
Всього
20
13
18
18
3
Випадкові величини
1. Поняття випадкової величини. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.
2 Математичні операції над випадковими величинами.
3 Числові характеристики ДСВ. Математичне сподівання.
4 Дисперсія ДСВ. Середнє квадратичне відхилення.
5 Метод найменших квадратів.
6. Залік.
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
Всього
10
4
7
4
Елементи математичної статистики
1. Вибірковий метод.
2. Числові характеристики статистичних рядів.
3. Статистичні дослідження. Етапи статистичного дослідження.
4. Визначення ліній регресії методом найменших квадратів для двовимірних вибірок.
5. Дослідницькі проекти та їх захист.
3
2
1
2
2
2
1
1
1
3
2
1
2
2
Всього
10
5
10
Разом
60
34


Глава 2 Методика навчання школярів основам комбінаторики, теорії ймовірностей і математичної статистики в рамках профільної школи

2.1. Організація при формуванні просторового образу, c використанням комп'ютерної анімації, доцільно виділити наступні кроки, на кожному з яких використовуються свої моделі реального об'єкта:

Заняття № 1. Комбінаторні задачі. Перебір всіх можливих варіантів.
На початку заняття учням необхідно дати поняття про такий розділі математики, як комбінаторика, і навести приклади декількох комбінаторних завдань для прищеплення інтересу до цього розділу.
У науці та практиці часто зустрічаються задачі, розв'язуючи які доводиться складати різні комбінації з кінцевого числа елементів і підраховувати кількість комбінацій. Такі завдання отримали назву комбінаторних завдань, а розділ математики, в якому розглядаються подібні завдання, називають комбінаторика. Слово «комбінаторика» походить від латинського слова combinare, яке означає «сполучати, поєднувати». Методи комбінаторики знаходять широке застосування у фізиці, хімії, біології, економіці, теорії ймовірностей та інших галузях знань.
Наведемо приклади деяких комбінаторних задач.
1) Скількома способами можна розташувати в електричному ланцюзі 7 різних приладів?
2) Скільки словників треба видати, щоб можна було безпосередньо виконувати переклади з будь-якого з 5 мов: російської, англійської, французької, німецької, італійської, на будь-який інший з цих 5 мов?
3) Вова точно пам'ятає, що у формулі азотної кислоти поспіль йдуть літери H, N, O і що є один нижній індекс - чи то двійка, чи то трійка. Скільки є варіантів, у яких індекс стоїть не на другому місці?
4) Скільки різних типів гамет може дати гібрид, гетерозиготний по 3 незалежним ознаками?
5) Перерахувати всі тризначні числа, у запису яких зустрічаються тільки цифри 1 і 2.
6) Три друга - Антон, Борис і Віктор - придбали два квитки на футбольний матч. Скільки різних варіантів відвідування футбольного матчу для трьох друзів?
Таким чином, розрізняють такі типи комбінаторних завдань:
· Завдання, в яких потрібно перерахувати всі рішення (приклад 5).
· Завдання, що складаються у вимозі виділити з усіх можливих рішень таке, яке задовольняє заданому додатковій вимозі (приклад 3).
· Завдання, в яких потрібно підрахувати число рішень (приклад 1, 2, 6, 4).
Процес навичок підрахунку комбінаторних об'єктів можна розчленувати на три етапи в залежності від часу навчання та методів підрахунку:
- Підрахунок методом безпосереднього перебору;
- Підрахунок з використанням комбінаторних принципів;
- Підрахунок з використанням формул комбінаторики.
Кожен з цих етапів готує грунт для формування навичок наступних етапів. Тому на початковому етапі з учнями потрібно обов'язково розглянути бесформульние методи.
Розглянемо основні методи, використовувані в рішенні комбінаторних задач.
Перебір всіх можливих варіантів
Операція перебору розкриває ідею комбінування, служить основою для формування комбінаторних понять, тому на першому місці має стояти завдання з формування навичок систематичного перебору.
Приклад 1. З групи тенісистів, до якої входять чотири людини - Антонов, Григор'єв, Сергєєв і Федоров, тренер виділяє пару для участі у змаганнях. Скільки існує варіантів вибору такої пари?
Складемо спочатку всі пари, в які входить Антонов (для стислості будемо писати перші літери прізвищ). Отримаємо три пари: АГ, АС, АФ.
Випишемо тепер пари, в які входить Григор'єв, але не входить Антонов. Таких пар дві: ГС, ГФ.
Далі складемо пари, в які входить Сергєєв, але не входить Антонов і Григор'єв. Така пара тільки одна: СФ.
Інших варіантів складання пар немає, так як всі пари, в які входить Федоров, вже складені.
Отже, ми отримали 6 пар: АГ, АС, АФ, ГС, ГФ, СФ. Значить, всього існує 6 варіантів вибору тренером пари тенісистів з даної групи.
Спосіб міркувань, яким ми скористалися при вирішенні завдання, називають перебором можливих варіантів.
Тут же необхідно пояснити учням, що в даному прикладі нам не важливий порядок вибору пари: Антонов і Григор'єв або Григор'єв і Антонов, і привести приклад задачі, де враховується порядок елементів у комбінації.
Приклад 2. Три друга - Антон, Борис і Віктор - придбали два квитки на футбольний матч на 1-е і 2-е місця першого ряду стадіону. Скільки у друзів є варіантів зайняти ці два місця на стадіоні?
Якщо на матч підуть Антон і Борис, то вони можуть зайняти місця двома способами: 1-е місце - Антон, 2-е - Борис, або навпаки. Аналогічно Антон і Віктор, Борис і Віктор. Таким чином, ми отримали 6 варіантів: АБ, БА, АВ, ВА, БВ, СБ.
Наступна система завдань спрямована на формування вмінь учнів систематичного перебору, складання комбінацій з урахуванням і без урахування порядку.
Завдання:
1. Перерахувати знайомі види чотирикутників.
2. У кафе пропонують два перші страви: борщ і розсольник - і чотири друге страви: гуляш, котлети, сосиски, пельмені. Вкажіть всі обіди з двох страв, які може замовити відвідувач.
3. Скільки двозначних чисел можна скласти, використовуючи цифри 1, 2, 3, за умови, що цифра в числі не може повторюватися? (Перебір з обмеженням).
4. (Усно) Важливий чи ні порядок у наступних вибірках (комбінаціях):
а) капітан волейбольної команди та його заступник;
б) три ноти в акорді;
в) «шість людей залишаться прибирати клас!»;
г) дві серії для перегляду з нового багатосерійного фільму.
5. Придумайте самі чотири різні ситуації, у двох з яких порядок вибору важливий, а в двох - ні.
6. Стадіон має 4 входи: A, B, C, D. Вкажіть всі можливі способи, якими відвідувач може увійти через один вхід, а вийти через інший. Скільки таких способів?
7. У магазині продають кепки трьох кольорів: білі, червоні і сині. Кіра і Олена купують собі по одній кепці. Скільки існує різних варіантів покупок для цих дівчаток? Перерахуйте їх.
В якості домашнього завдання можна запропонувати учням написати роботу (повідомлення, реферат, доповідь) на тему «З історії комбінаторики».
Заняття № 2. Підрахунок варіантів за допомогою графів. Таблиця варіантів.
Ефективним прийомом, організуючим підрахунок, є складання учнями таблиць, побудова графів. Графи, таблиці дозволяють у наочній формі представити ідею комбінування і процес підрахунку комбінаторних об'єктів. Тому використання цих методів у навчанні комбінаториці в школі не може бути виправдана тільки пізнавальними, але й педагогічними міркуваннями.
Варіанти
2
2
1
3
3
2
1
3
2
1
1
2
3
2
1
1
3
3
2
1
3
2
1
1
2
3
2
3
1
3
3
2
1
3
2
1
1
2
3

Для підведення учнів до наступних комбінаторним методам доцільно розглянути завдання, в якій кількість всіляких комбінацій з цих елементів велика і процес їх підрахунку скрутний.
Приклад 1. Скільки різних тризначних чисел можна записати за допомогою цифр 1, 2, 3 за умови, що цифри в числі можуть повторюватися?
Перебір варіантів можна організувати таким чином. Виписати всі числа, що починаються з цифри 1 в порядку їх зростання; потім - починаються з цифри 2; після чого - починаються з цифри 3. Таких комбінацій отримаємо 27. При переборі легко було упустити яку-небудь з них.
Нерідко підрахунок варіантів полегшують графи. Так називають геометричні фігури, які складаються з точок (їх називають вершинами) і з'єднують їх відрізків (званих ребрами графа). При цьому за допомогою вершин зображують елементи деякої множини (предметів, людей, числових і буквених кодів і т.д.), а за допомогою ребер - певні зв'язки між цими елементами.
Розглянемо два види графів:
1. Граф-дерево (називають за зовнішню схожість з деревом).
За допомогою дерева проілюструємо проведений перебір варіантів у прикладі 1.
На першому місці в тризначному числі може стояти одна з цифр 1, 2 або 3, на другому і третьому місцях - (за умови, що цифри можуть повторюватися) також будь-яка з трьох цифр.
Таким чином, за допомогою графа-дерева підрахунок варіантів набагато легше виробляти. Також викреслювати дерево варіантів корисно, коли потрібно записати всі існуючі комбінації елементів.
2. Повний граф. Використовується для вирішення завдань, в яких всі елементи множини взаємопов'язані.
1
2
4
3
Приклад 2. При зустрічі кожен з друзів потиснув руку іншому (кожен потиснув кожному). Скільки рукостискань було зроблено, якщо друзів було четверо?
Чотирьох друзів помістимо у вершини графа і проведемо всі можливі ребра. У даному випадку відрізки-ребра позначають рукостискання кожної пари друзів.
З малюнка видно, що граф має 6 ребер, значить, і рукостискань було зроблено 6.
Ще одним методом підрахунку числа комбінацій є таблиця варіантів. Її можна використовувати, коли складаються комбінації складаються з двох елементів.
Приклад 3. Записати всілякі двозначні числа, використовуючи при цьому цифри 0, 1, 2 і 3. Підрахувати їх кількість N.
Для підрахунку утворюють чисел складемо таблицю:
1-а
цифра
2-а цифра
0
1
2
3
1
10
11
12
13
2
20
21
22
23
3
30
31
32
33
N = 3 · 4 = 12
Завдання:
1. Після закінчення ділової зустрічі фахівці обмінялися візитними картками (кожен вручив свою картку кожному). Скільки всього візитних карток було роздано, якщо у зустрічі брало участь 5 осіб?
2. Перелічити всі можливі колірні поєднання штанів, светри і черевиків, якщо в гардеробі є штани трьох кольорів: сірі, бежеві і зелені; светри двох кольорів: пісочний і малиновий; черевики двох кольорів: чорні та коричневі.
3. Одночасно відбуваються вибори мера міста і префекта округу. На посаду мера виставили свої кандидатури Алкін, Балкін, Валкін, а на посаду префекта - Ешкін, Юшкін, Яшкін.
а) Намалюйте дерево можливих варіантів голосування і визначте з його допомогою число різних випадків.
б) У скількох варіантах буде кандидатура Ешкіна?
в) У скількох варіантах прізвища кандидатів на посаду мера і на посаду префекта складаються з різної кількості літер?
г) Як зміняться відповіді в пунктах а) і б), якщо врахувати ще кандидата «проти всіх»?
4. Група туристів планує здійснити похід за маршрутом Антоново - Борисово - Власова - Грибова. З Антонова в Борисово можна сплавитися по річці або дійти пішки. З Борисова під Власова можна дійти пішки або доїхати на велосипедах. З Власова у Грибова можна доплисти по річці, доїхати на велосипедах або дійти пішки.
а) Намалюйте дерево можливих варіантів походу.
б) Скільки всього варіантів походу можуть вибрати туристи?
в) Скільки є повністю не піших варіантів?
г) Скільки варіантів походу можуть вибрати туристи за умови, що хоча б на одну з ділянок маршруту вони повинні використовувати велосипеди?
5. За допомогою таблиці варіантів перерахувати всі можливі дволітерні коди (букви в коді можуть повторюватися), в яких використовуються букви а, б, в.
6. Складаючи розклад уроків на понеділок для 10А класу, завуч хоче першим уроком поставити або фізику, або алгебру, а другим - або російська мова, або літературу, або історію. Скільки існує варіантів складання розкладу на перші два уроки?
Визначитися в успішності засвоєння даної теми допоможе самостійне складання учнями завдань. Можна запропонувати їм придумати так зване «завдання для одного» з використанням кожного з трьох методів.
Заняття № 3. Кортежі. Правило твори.
Другий етап формування обчислювальних навичок у вирішенні комбінаторних завдань пов'язаний з формуванням правил суми і твори. Запропонована методика формування правил суми і твори і наступних основних комбінаторних понять базується на таких теоретико-множинних поняттях, як безліч, елемент множини, підмножина, впорядкована множина. Тому з учнями необхідно повторити ці поняття.
Розглянемо завдання про «марновірних голови».
«Знову вісімка», - гірко вигукнув голова клубу велосипедистів, глянувши на прогнутої колесо свого велосипеда. «А все чому? Та тому, що в мене членський квиток № 888 - цілих три вісімки. І тепер не проходить і місяця, щоб то на одному, то на іншому колесі не з'явилася вісімка. Треба міняти номер квитка! А щоб мене не звинуватили в марновірстві, проведу но я перереєстрацію всіх членів клубу і буду видавати тільки квитки з номерами, в які не входить жодна вісімка. Не знаю тільки, чи вистачить на всіх номерів - адже у нас в клубі майже 600 членів. Невже доведеться спочатку виписати всі номери від 000 до 999, а потім викреслювати з них усі номери з вісімками? »Щоб допомогти голові, нам потрібно вирішити таку комбінаторну завдання (учням можна запропонувати її сформулювати):
Скільки існує тризначних номерів, що не містять цифри 8?
Далі учні повинні відповісти на питання (Як би ви вирішили таке завдання? За допомогою якого методу? Які ще методи рішення застосовні до даної задачі?) І разом з учителем розібрати рішення даного завдання.
Спочатку знайдемо кількість однозначних номерів, відмінних від 8. Ясно, що таких номерів дев'ять: 0,1,2,3,4,5,6,7,9. А тепер знайдемо всі двозначні номери, що не містять вісімок. Їх можна скласти так: взяти будь-який із знайдених однозначних номерів і написати після нього будь-яку з дев'яти допустимих цифр. У результаті з кожного однозначного номери вийде 9 двозначних. А так як двозначних номерів було 9, то вийде 9 · 9 = 9 лютому двозначних номерів.
Отже, існує 9 2 = 81 двозначний номер без цифри 8. Але до кожного з цих номерів можна приписати праворуч будь-яку з цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,9 і отримати тризначний номер, який не містить цифру 8. При цьому виходять всі тризначні номери з необхідною властивістю. У результаті ми знайшли 2 вересня · 9 = 9 3 = 729 тризначних номерів без вісімок.
Якщо б голова клубу був ще забобонні і відмовився і від цифри 0, оскільки вона походить на витягнуте колесо, то він зміг би скласти лише 8 3 = 512 тризначних номерів і їх уже не вистачило б на всіх членів клубу.
За допомогою цього прикладу вводяться поняття кортежу і правило твори.
Кортежі. Номери, складені з трьох цифр, не можна розглядати як безліч елементів. По-перше, в номерах цифри можуть повторюватися (наприклад, 775), а в множинах елементи не повторюються, по-друге, в номерах важливий порядок цифр (175 і 571 - зовсім різні номери), а в множинах порядок елементів ролі не грає. Тому, якщо ми хочемо вивчати такі об'єкти, як номери, або слова (у них теж можуть букви повторюватися, від перестановки літер слово змінюється), потрібно ввести нове математичне поняття, відмінне від поняття безліч.
Це нове поняття математики назвали кортежем (поряд зі словом «кортеж» застосовують назви «слово», «набір», «вектор», «кінцева послідовність» і т.д.). Кортеж - французьке слово, що означає урочистий хід. І в нас іноді говорять «кортеж автомашин», «весільний кортеж» і т.д. При цьому кортеж автомашин може складатися з кількох «Волг», кількох «БМВ» і кількох «Ауді». Якщо вважати машини однієї і тієї ж марки нерозрізненними, то отримаємо, що в кортежі автомашин один і той же елемент може повторюватися кілька разів.
У математиці кортеж визначають так. Нехай є кілька множин X 1, ..., X k. Уявімо собі, що їх елементи складені у мішки, а мішки перенумеровані. Витягнемо з першого мішка який-небудь елемент (тобто візьмемо який-небудь елемент а 1 множини Х 1), потім витягнемо елемент а 2 з мішка Х 2 і будемо продовжувати цей процес до тек пір, поки з мішка Х k не буде витягнутий елемент а k. Після цього розставимо отримані елементи в тому порядку, в якому вони з'явилися з мішків (а 1, а 2, ..., а k). Це і буде кортежем довжини k, складеним з елементів множин X 1, ..., X k. Елементи а 1, а 2, ..., а k називають компонентами кортежу.
Два кортежу називають рівними в тому і тільки в тому випадку, коли вони мають однакову довжину, а на відповідних місцях стоять одні й ті ж елементи.
Тут учням можна дати індивідуальне завдання: взяти будь-яка множина і скласти з його елементів кортеж, при цьому запитати їх, чому він є кортежем, і скільки кортежів можна скласти з цієї множини?
При великих значеннях n (n - це кількість елементів у множині, з якого складається кортеж) і k (k - це кількість елементів в кортежі) перебір варіантів ставати дуже громіздким, тому обмежуються тільки підрахунком загального числа можливих варіантів побудови кортежів. Для найпростіших комбінаторних задач формули для підрахунку числа можливих кортежів виходять за допомогою двох основних правил комбінаторики.
Правило суми. Якщо елемент а можна вибрати m способами, а елемент b можна вибрати n способами, причому будь-який вибір елемента a відмінний від будь-якого вибору елемента b, то вибір «a або b» можна зробити m + n способами. (Наприклад, якщо на блюді лежать 7 яблук і 4 груші, то вибрати один плід можна 7 +4 = 11 способами).
Мовою теорії множин це правило формулюється наступним чином: Якщо перетин множин A і B порожньо, A ∩ B = Ø, то число елементів у їх об'єднанні дорівнює сумі чисел елементів множин A і B: A ∩ B = Ø =>
Тут доцільно поставити учням запитання: А як буде сформульовано правило суми для пересічних множин A і B? в загальному випадку для кінцевого числа множин?
Правило суми застосовується для вирішення комбінаторних завдань. Саме, часто доводиться розбивати все безліч перераховуються комбінацій, підраховувати кількість елементів у кожній групі і потім складати отримані відповіді.
Правило твори. Візьмемо кілька кінцевих множин X 1, ..., X k, що складаються відповідно з n 1, ..., n k елементів, і знайдемо, скільки кортежів довжини k можна скласти з елементів цих множин. Спосіб, яким ми вирішимо це завдання по суті справи буде тим же самим, яким було знайдено число тризначних номерів без вісімок. Спочатку знайдемо число кортежів довжини 1, складених з елементів множини Х 1. Ясно, що їх число дорівнює n 1. Візьмемо тепер один з цих кортежів (а 1) і припишемо до елемента а 1 справа по черзі всі елементи множини х 2. Вийде n 2 кортежів довжини 2, у яких перша координата дорівнює а 1. Але замість а 1 можна було б взяти будь-який інший елемент з Х 1. Тому виходить n 1 раз по n 2 кортежу, а всього n 1 ∙ n 2 кортежів довжини 2 або, як частіше говорять пар. З кожної такої пари отримаємо n 3 трійок, приписавши до неї по черзі всі елементи множини Х 3, а всього n 1 ∙ n 2 ∙ n 3 трійок. Продовжуючи цей процес, отримаємо, врешті-решт, n 1 ∙ n 2 ∙ ... ∙ n k кортежів довжини k, складених з елементів наших множин.
Отриманий результат є одним з найважливіших у комбінаториці. На ньому заснований висновок багатьох формул комбінаторики. Його називають «правилом твори». Сформулюємо це правило так. Якщо елемент а 1 можна вибрати n 1 способами, після кожного вибору цього елемента наступний за ним елемент а 2 можна вибрати n 2 способами ... після вибору елементів а 1, а 2, ..., а k -1 елемент а k вибирається n k способами, то кортеж (а 1, а 2, ..., а k) можна вибрати n 1 ∙ n 2 ∙ ... ∙ n k.
Підрахуємо, наприклад, скільки слів, що містять 6 букв, можна скласти з 33 букв російського алфавіту за умови, що будь-які два що стоять поруч літери різні (наприклад, слово «корова» допускається, а слово «колос» немає). При цьому, зрозуміло можна писати безглузді слова. У цьому випадку на перше місце у нас 33 кандидати. Але після того, як перша літера обрана, другу можна вибрати лише 32 способами - адже повторювати першу літеру не можна. На третє місце теж 32 кандидати - першу букву вже можна повторити, а другу - не можна. Також переконуємося, що на всі місця, крім першого, є 32 кандидати. А так як число цих місць дорівнює 5, то отримуємо відповідь 33 ∙ 32 ∙ 32 ∙ 32 ∙ 32 ∙ 32 = 1107396236.
Завдання на безпосереднє застосування комбінаторних правил твори та суми:
1. У відділі науково-дослідного інституту працюють кілька людей, причому кожен з них знає хоча б одну іноземну мову, 6 осіб знають англійську, 6 - німецьку, 7 - французький, 4 знають англійську і німецьку, 3 - німецький і французький, 2 - французький і англійська, 1 людина знає всі три мови. Скільки людей працює у відділі? Скільки з них знають тільки англійську мову? Скільки людей знають лише одну мову?
2. Скільки чисел серед перших 100 натуральних чисел не діляться ні на 2, ні на 3, ні на 5?
3. Є 5 видів конвертів і 4 види марок. Скількома способами можна вибрати конверт і марку для посилки листи?
4. Скількома способами можна вибрати на шаховій дошці чорний і білий квадрати, що не лежать на одній горизонталі або однієї вертикалі?
5. Є 20 зошитів в лінійку і 30 зошитів у клітинку. Необхідно вибрати два зошити одного виду. Скільки способів вибору двох зошитів можливо, якщо враховується порядок вибору зошитів?
Заняття № 4, 5, 6. Розміщення. Перестановки. Поєднання.
Ці заняття можна побудувати з використанням презентації (див. Додаток 1) за єдиною схемою: визначення → виведення формули (доказ) → приклад. У міру розгляду кожного з комбінаторних понять доцільно відпрацювати з учнями ці поняття на символічному матеріалі. Для засвоєння змісту поняття треба розглянути вправи зі складання об'єктів, що відносяться до певного комбінаторному поняттю. Ці вправи повинні носити внутрішньомодельна характер. Вправи краще давати на картках. Систему вправ і завдань можна підібрати з.
Заняття № 7. Самостійна робота.
На початку заняття учні повинні самостійно заповнити таблицю, представлену у презентації (слайд 23), що сприятиме систематизації та актуалізації знань, отриманих на попередньому занятті.
Варіант 1
1. Скількома способами можна позначити вершини даного трикутника, використовуючи букви A, B, C, D, E і F?
2. Кур'єр повинен рознести пакети в 7 різних установ. Скільки маршрутів може він вибрати?
3. Скількома способами можна розділити 6 різних цукерок між трьома друзями?
4. Скільки різних маршрутів може обрати пішохід, вирішивши пройти 9 кварталів, з них 5 на захід і 4 на південь?
5. У магазині продають кепки трьох кольорів: білі, червоні і сині. Наташа і Олена купують собі по одній кепці. Скільки існує різних варіантів покупок для цих дівчаток?
6. Кожна з 5 подруг збирається ввечері піти або в кіно, або на каток. Скількома різними способами ці п'ять подруг змогли б провести вечір?
Варіант 2
1. Скількома способами можна позначити вершини куба літерами A, B, C, D, E, F, G, K?
2. Скількома способами можна розкласти 12 різних деталей по трьох скриньок?
3. Скількома способами можуть бути розподілені перша, друга і третя премії між 13 учасниками конкурсу?
4. У бібліотеці Каті запропонували на вибір з нових надходжень 10 книг і 4 журналу. Скількома способами вона може вибрати з них 3 книги і 2 журналу?
5. Знайти кількість різних способів, якими можна записати в один ряд 6 плюсів і 4 мінуса.
6. У списку класу для вивчення англійської мови 15 осіб. Скільки існує варіантів присутності (відсутності) цих людей на занятті?
Заняття № 8. Деякі властивості поєднань.
Це питання можна запропонувати учням в якості самостійної роботи.
I.
а) Складіть усілякі сполучення по 2 елементи без повторень з елементів множини М = {а, б, в, г, д}. Для кожного з складених підмножин випишіть доповнення - Трьохелементний підмножини елементів, що залишилися - і порівняйте кількість тих і інших. Який висновок можна зробити про числах і ?
б) З n елементів деякої множини складені всілякі k-елементні підмножини і відповідні їм доповнення - (nk) - елементні підмножини елементів, що залишилися. Який висновок можна зробити про порівняльну величиною чисел і ?
в) Скористайтесь формулою підрахунку кількості сполучень без повторень і доведіть рівність = . Це рівність висловлює одне з важливих властивостей поєднань. Їм зручно користуватися для обчислення у разі k> n.
г) Не виробляючи обчислень, виберіть рівні з наступних чисел: , , , , , , , , , , , , , .
д) Обчисліть , , .
е) Безліч М = {а, б, в, г, д, е} розбийте всіма можливими способами на дві підмножини так, щоб в один з них входило 2 елементи, а в інший - 4.
ж) З 12 чоловік потрібно скласти 2 волейбольні команди по 6 чоловік у кожній. Скількома способами це може бути зроблено?
II. Доведіть наступне властивість сполучень:
+ + + ... + = 2 n.
а) Візьміть безліч М = {а, b, з} з трьох елементів і складіть k-елементні підмножини М / k = 0, 1, 2, 3 /.
Кожному підмножині поставте у відповідність послідовність з трьох цифр - одиниць і нулів - наступним чином: кожному з трьох елементів а, b, з поставте у відповідність 1, якщо він входить в підмножина, 0 - якщо він у підмножина не входить. Розгляньте таблицю
Таблиця 1.
Види підмножин
Число подмнож.
Підмножини
Послідовності з 1 і 0
Порожні

Æ
000
Одноелементні

{A}, {b}, {c}
100, 010, 001
Двохелементний

{Ab}, {ac}, {bc}
110, 101, 011
Трьохелементний

{A, b, c} |
111
Число всіх підмножин множини М одно + + + і дорівнює числу всіх послідовностей довжини три з одиниць і нулів. Число таких послідовностей неважко підрахувати: кожне з трьох місць у послідовності може бути зайнято 1 або 0, тобто двома способами, а всі три місця - за принципом множення - 2 × 2 × 2 = 2 3 способами. Це число можна отримати і за формулою підрахунку числа розміщень з повторенням, таким чином, + + + = 2 3.
б) Проведіть аналогічні міркування для безлічі з n елементів. Тоді які зміни слід внести в таблицю? Зробіть висновок, результат запишіть.
Заняття № 9. Властивість поєднань = + і трикутник Паскаля.
I. Для вивчення наступного властивості поєднань попередньо складемо Трьохелементний підмножини множини М = {а, б, в, г, д}. Потім виберемо з безлічі М будь-який елемент, наприклад, «а» і розіб'ємо всі підмножини на два класи: не містять «а» і містять «а».
I клас: {б, в, г}, {б, в, д}, {б, г, д}, {в, г, д}
II клас: {а, б, в}, {а, б, г}, {а, б, д}, {а, в, г},
{А, в, д}, {а, г, д}.
Перший клас складається з різноманітних поєднань без повторень по три елементи з наступних чотирьох: б, в, г, д. Таких сполучень . Кожна підмножина другого класу складається з елементу «а» і двох елементів, обираних з безлічі наступних елементів: б, в, г, д. Очевидно, число таких підмножин одно .
Підмножини I і II класів вичерпують всі Трьохелементний підмножини множини М, що означає:
= + .
Аналогічними міркуваннями отримаєте рівність:
= + .
Переконайтеся в справедливості останнього рівності, скориставшись формулою підрахунку кількості сполучень без повторень.
II. Складемо таблицю значень при різних значеннях n і k. У таблицю 2 занесемо значення = 1, = 1, = 1, = 1, = 2, = 1. Заповніть інші рядки таблиці, використовуючи властивість поєднань.
Займемося вивченням таблиці 2.
Перші і останні елементи будь-якого рядка рівні 1, так як = = 1. Це рівність будемо вважати вірним і при n = 0 (порожня множина своїм єдиним підмножиною має саме себе).
Будь-який інший елемент таблиці 2 відповідно до властивості поєднань, на підставі якого складена таблиця, дорівнює сумі двох елементів попередньої рядки: стоїть безпосередньо над ним і що стоїть над ним зліва.
Часто числа розташовують у таблиці інакше, так, що кожен елемент таблиці дорівнює сумі двох чисел попередньої рядка, що стоять безпосередньо над ним зліва і справа. Тоді таблиця приймає форму рівнобедреного трикутника.
Дослідженням властивостей такої трикутної таблиці і застосуваннями її займався видатний вчений Франції Блез Паскаль (1623 -1662). Тому аналізовану таблицю часто називають трикутником Паскаля. Хоча задовго до Паскаля цей трикутник зустрічався в роботах італійських і арабських математиків.
Відзначимо деякі з властивостей трикутника Паскаля.
1. Сума чисел k-того рядка дорівнює 2 k: раніше було доведено, що + + + ... + = 2 k.
Таблиця 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
0
1
...
1
1
1
...
2
1
2
1
...
3
1
3
3
1
...
4
1
4
6
4
1
...
5
1
5
10
10
5
1
...
6
1
6
15
20
15
6
1
...
7
1
7
21
35
35
21
7
1
...
8
1
8
28
56
70
56
28
8
1
...
9
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
...
10
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2. Числа кожного рядка трикутника, рівновіддалені від її кінців, рівні між собою. Обгрунтуванням цієї властивості служить рівність = .
2. Члени будь-якого рядка трикутника Паскаля до середини рядка зростають, а потім зменшуються.
Завдання:
1. Скільки різних підмножин має безліч всіх цифр?
2. Скільки різних дільників, включаючи 1, має число а) 2 ∙ 3 ​​∙ 5 ∙ 7 ∙ 11? б) 195?
3. Скільки різних творів, кратних 10, можна скласти з множників 2, 7, 11, 9, 3, 5?
4. За допомогою властивості поєднань = + доведіть рівність: + + + ... + = .
5. Користуючись трикутником Паскаля, знайдіть числа , .
6. Напишіть 11 рядок трикутника Паскаля.
Заняття № 10. Біном Ньютона.
Це заняття можна побудувати на підготовлених учнями раніше в якості домашнього завдання доповідях з даної теми.
У процесі самостійної підготовки доповідей учні опановують навичками роботи з науково-популярною і довідковою літературою.
Заняття № 11. Рішення задач.
Блок завдань повинен містити завдання на просте однократне застосування якоїсь формули, задачі, які вирішуються бесформульнимі методами, комбіновані задачі.
1. Є 5 видів конвертів без марок і 4 види марок. Скількома способами можна вибрати конверт з маркою для посилки й листи?
2. Скількома способами можна вибрати голосну і приголосну літери зі слова «будинок»?
3. Скількома способами можна вибрати на шаховій дошці білий і чорний квадрати, що не лежать на одній горизонталі або однієї вертикалі?
4. Скільки можна скласти пятібуквенних слів з 7 голосних і 25 приголосних букв, якщо голосні і приголосні повинні чергуватися?
5. Скільки існує п'ятизначних парних чисел, в яких жодна цифра не повторюється двічі?
6. Скільки чотирибуквені слів можна скласти з літер слова «кибитка»?
7. Скількома способами можна посадити за круглий стіл 5 чоловіків та 5 жінок так, щоб ніякі дві особи однієї статі не сиділи поруч?
8. Скількома способами можна вибрати 3 фарби з наявних 5 різних фарб?
9. На шкільному вечорі присутні 12 дівчат і 15 юнаків. Скількома способами можна вибрати з них 4 пари для танцю?
10.Во скількох дев'ятизначних числах всі цифри різні?
11.Сколько чотиризначних чисел можна скласти з цифр числа 123153?
12.Сколько існує семизначних телефонних номерів, у перших трьох цифрах яких не зустрічаються 0 і 9?
13.Сколькімі способами можна вибрати з натуральних чисел від 1 до 30 три натуральних числа так, щоб їх сума була парному?
14.На прямий взято p - точок, а на паралельній їй пряме ще g - точок. Скільки існує трикутників, вершинами яких є ці точки?
15.У кімнаті n лампочок. Скільки всього різних способів освітлення кімнати, при яких горить рівно k лампочок?
16.Сколько є чотиризначних чисел, у яких кожна наступна цифра менша за попередню?
17.Сколькімі способами можна розсадити n гостей за круглим столом?
18.Імеется 10 різних книг і 15 різних журналів. Скількома способами можна скласти посилку з 3 книг і 5 журналів?
19.Сколько тризначних чисел, які цифрою 3?
20.Сколько намист можна скласти з 7 різних намистин?
21.Сколькімі способами можна розбити безліч з 20 елементів на дві підмножини так, щоб одне містило 3 елементи, а інше - 17?
22.Сколькімі способами можна розкласти на шаховій дошці дві тури так, щоб вони не били один одного?
23.Сколько різних двозначних чисел можна скласти з цифр 1, 3, 5, якщо цифри в числі можуть повторюватися?
24.Сколько різних прогнозів про розподіл 3 трудових місць можна зробити, якщо в змаганні беруть участь 10 чоловік?
25.Сколькімі способами можна вибрати 4 числа з 10?
26.В турнірі з шахів кожен учасник зіграв з кожним по одній партії, всього було зіграно 36 партій. Визначте число учасників турніру.
27.В класі є 6 сильних математиків. Скількома способами з них можна скласти команду на районну олімпіаду з математики, якщо від класу можна послати команду від 2 до 4 чоловік?
28.Сколько різних напрямків задають на площині вершини трикутника?
29.Із колоди в 36 карт навмання вибирають 2 карти. Скільки можливо випадків, у яких обидві карти виявляться тузами?
Заняття № 12. Комбінаторика навколо нас.
До даного підсумкового заняття кожен з учнів має підготувати проект на тему «Програми комбінаторики» (в хімії, астрономії, геометрії, фізики, біології, теорії ймовірності, логіки, програмуванні). Це можуть бути доповіді, повідомлення, що супроводжуються наочністю, презентації та інші. Учні можуть користуватися будь-якими ресурсами, у тому числі електронними. Можна їм порекомендувати книгу.
Розділ 2. Елементи теорії ймовірності.
Цей розділ елективного курсу являє собою надзвичайно яскраву, цікаву і своєрідну область математики.
Вивчення матеріалу супроводжується розглядом різноманітних ігрових і життєво цікавих прикладів з непередбачуваним однозначним результатом. Розгляд випадкових подій, деякі труднощі психологічного характеру, що викликаються незвичністю об'єктів вивчення, роблять курс непростим для засвоєння.
Заняття № 1. Предмет теорії ймовірностей. Події.
На вступному занятті треба розповісти учням про виникнення теорії ймовірності, про вчених, що стоять біля її витоків. Причому, в міру розповіді вчителя, учні можуть робити доповіді з біографії згаданих вчених. Теми доповіді потрібно розподілити заздалегідь.
У повсякденному житті, даючи будь-які прогнози, ми нерідко вживаємо висловлювання «ймовірність», «мабуть». Наприклад, ми говоримо: «Ймовірно, сьогодні ввечері буде дощ». Причому ми віддаємо собі звіт, в яких подіях «мало» ймовірності, в яких - «багато».
Французький натураліст Ж.Л.Л. Бюффон в XVIII столітті підкидав монету 4040 разів - герб випав 2048 разів. Математик К. Пірсон в нале минулого століття підкидав її 24000 разів - герб випав 12012 разів. У 70-х р.р. XX століття американські натуралісти повторили досвід. При 10000 підкидання герб випав 4979 разів. Значить, результати кидання монети, хоча кожне з них і є випадковою подією, при неодноразовому повторенні підвладні об'єктивного закону.
Теорія ймовірностей і вивчає закономірності, що управляють масовими випадковими подіями.
З випадковими подіями (або явищами), тобто з такими, які можуть або відбутися, або не відбутися в результаті якогось випробування, ми зустрічаємося в житті дуже часто.
Учень витягує квиток - це випробування. Поява при цьому квитка № 13 - випадкова подія, квитка № 5 - інше випадкова подія. Вибір навмання якийсь сторінки в книзі - це випробування. Те, що першою буквою на цій сторінці виявиться «м» - це випадкова подія.
Наприклад, розглянемо наступні події:
№ №
Умова
Вихід
А 1
При нагріванні дроту
її довжина збільшиться
А 2
При киданні гральної кістки
випадуть 4 очки
А 3
При киданні монети
випаде герб
А 4
При огляді поштової скриньки
знайдені три листи
А 5
При низькій температурі
вода перетворилася на лід
Події А 1, А 5 відбудуться закономірно, А 2, А 3, А 4 - випадкові.
Подія, що в даному випробуванні неминуче настане, називається достовірною, а подія, яка в даному випробуванні ніколи не з'явиться - неможливим.
Які з наступних подій достовірні:
А
Два влучення при трьох пострілах
+
У
Виплата рубля сім'ю монетами
+
З
Навмання вибраного випадкове число не більше 1000
+
D
Навмання вибране число, складене з цифр 1,2,3 без повторень, менше 400
+
E
Випадання семи очок при киданні гральної кістки
-
F
Отримання п'ятірки на іспиті
+
Назвіть неможливі події:
А
Вода в річці замерзла при температурі +25 ° С
+
У
Поява слова «мама» при випадковому наборі букв м, м, а, а
-
З
Поява відразу трьох лайнерів над аеропортом
+
D
Складання тризначного числа, що складається з цифр 1,2,3 і кратного 5
+
E
Поява 17 очок при киданні трьох гральних кісток
-
Вправи:
Для кожного з цих подій визначити, яким воно є: неможливим, достовірним або випадковим.
1. З 26 учнів класу двоє справляють свій день народження: 1) 25 січня; 2) 31 червня.
2. Випадковим чином відкривається художній твір і знаходиться друге слово на лівій сторінці. Це слово починається: 1) з літери М, 2) з літери видання.
3. Зі списку журналу 9 класу (в якому є і хлопчики, і дівчатка) випадковим чином обраний учень: 1) це хлопчик, 2) обраний учень, якому 15 років, 3) обраному учневі 15 місяців; 4) цього учневі більше двох років.
4. Сьогодні в Кірові барометр показує нормальний атмосферний тиск. При цьому: 1) вода в каструлі закипить при температурі 70 ° С; 2) коли температура впала до -3 ° С, вода в калюжі замерзла.
5. У нашій школі навчаються 758 учнів. Подія А = {в школі є учні з збігаються днями народження} є випадковим чи достовірним. З'ясуйте, чи відбулося це подія у вашому класі?
6. Серед 150 квитків шкільної благодійної лотереї 30 виграшних. Скільки квитків треба купити, щоб подія А = {ви нічого не виграєте} був неможливим?
7. У 10 «Г» класі навчається 16 хлопчиків і 10 дівчаток. Які з наступних подій є неможливими, які випадковими, які - достовірними:
А = {в класі є дві людини, що народилися в різні місяці};
В = {в класі є дві людини, що народилися в одному місяці};
С = {в класі є два хлопчики, які народилися в одному місяці};
D = {в класі є дві дівчинки, що народилися в одному місяці};
Е = {всі хлопчики народилися в різні місяці};
F = {всі дівчатка народилися в різні місяці};
К = {є хлопчик і дівчинка, що народилися в одному місяці};
М = {є хлопчик і дівчинка, що народилися в різні місяці}.
8. Біля школи зупиняються автобуси трьох маршрутів, які йдуть у бік лісозаводу: № 5, № 13 і № 23. Інтервал в русі автобусів кожного маршруту коливається від 8 до 10 хвилин. Коли Саша, Маша, Христина та Катя підійшли до зупинки, від неї відійшов автобус № 13, а ще через 6 хвилин підійшов автобус № 5. Після цього кожен з хлопців висловив свою думку про те, автобус якого маршруту буде наступним:
Саша: Наступним обов'язково буде № 23.
Маша: Можливо, що наступним буде № 23.
Христина: Можливо, що наступним буде № 13.
Катя: Неможливо, що наступним буде № 5.
З ким із хлопців ви згодні, а з ким ні? Поясніть зроблений вибір.
9. На дорогу від дому до школи Михайло витрачає від 10 до 15 хвилин, якщо йде пішки, і від 2 до 3 хвилин, якщо їде на автобусі. За яких інтервалах руху автобусів подія А == {по дорозі в школу Мішу обжене хоча б один автобус} буде неможливим, при яких - випадковим, при яких - достовірним?
Після знайомства з поняттям «випадкове подія» учні повинні вміти наводити приклади таких подій з життя і відрізняти їх від невипадкових.
Заняття № 2. Види випадкових подій.
Події називають несумісними, якщо поява одного з них виключає появу інших подій в одному і тому ж випробуванні. В іншому випадку події називаються спільними.
Наприклад, події «пішов дощ» і «настав ранок» є спільними, а події «настав ранок» і «настала ніч» - несумісними.
Завдання:
1. У зіграної Катею і Ларисою партії в шахи визначити спільні і несумісні події, якщо: 1) Катя виграла, Лариса програла, 2) Катя програла, Лариса програла.
2. З подій: 1) «йде дощ», 2) «на небі немає ні хмари»; 3) «настало літо» - скласти всілякі пари і виявити серед них пари спільних і пари несумісних подій.
3. З подій: 1) «настав ранок», 2) «сьогодні за розкладом 6 уроків»; 3) «сьогодні 1 січня», 4) «температура повітря в Маріїнську +30 ° С» - скласти всілякі пари і виявити серед них пари спільних і пари несумісних подій.
Події називають рівноможливими, якщо є підстави вважати, що жодне з них не є більш можливим, ніж інше.
Наприклад, «випадання герба» і «випадання цифри» при киданні монети - рівноможливими події. «Вилучення з набору доміно дубля» і «вилучення з набору доміно кісточки з різними очками» - неравновозможние події, так як дублів в наборі доміно всього 7, а решту кісточок 21.
Кілька подій утворюють повну групу, якщо в результаті випробування з'явиться хоча б одне з них.
Наприклад, влучення і промах при пострілі; поява 1, 2, 3, 4, 5, 6 очок при киданні гральної кістки.
Якщо два єдино можливих події утворюють повну групу, то їх називають протилежними (виграш і не виграш, влучення і промах). Якщо одне з двох протилежних подій позначене через А, то інше прийнято позначати .
Завдання:
1. Нижче перераховані різні події. Вкажіть протилежні їм події.
а) Мою нову сусідку по парті звуть чи Таня, або Аня.
б) З п'яти пострілів в ціль потрапили хоча б два.
в) На контрольній роботі я не вирішив, як мінімум, три завдання з п'яти.
2. Назвіть подія, для якого протилежним є така подія:
а) на контрольній роботі більше половини класу отримали п'ятірки;
б) всі сім кульок у тирі в мене потрапили мимо цілі;
в) у нашому класі всі розумні і красиві;
г) в гаманці у мене є три карбованці однією монетою, чи три долари одним папірцем.
Розглядаючи події як множини, можна визначити дії над подіями. (Введення понять суми і твори подій дозволяє підготувати дії над ймовірностями).
a) Об'єднання подій або сума подій - AÈB або А + В - подія, що містить всі елементи А і В.
Приклад 1.
Випробування: кидаємо гральну кістку.
Подія А: випало парне число очок.
Подія B: випало число очок менше, ніж 4.
Подія A + B: випало 1, 2, 3, 4 або 6 очок.
Малюнок до прикладу 4 Приклад 2.
Подія А: коло.
Подія B: квадрат.
Подія A + B: заштриховано.
b) Перетин подій або твір подій - AÇB або АВ - подія, що містить лише загальні елементи А і В.
Приклад 3.
Випробування: кидаємо гральну кістку.
Подія А: випало парне число очок.
Подія B: випало число очок менше, ніж 4.
Малюнок до прикладів 6 і 8 Подія AB: випало 2 очка.
Приклад 4.
Подія А: коло.
Подія B: квадрат.
Подія AB: заштриховано.
Якими є події C, D, E?
Завдання:
1. Подія А - «потрапляння в мішень першим пострілом», подія В - «потрапляння в мішень другим пострілом». У чому полягає подія А + В?
2. Подія А - «учень навчається без трійок», подія В - «учень навчається без двійок», подія С - "учень не відмінник». Сформулюйте: А + В + С.
3. Подія А - «лотерейний виграш 10 руб.», Подія В - «лотерейний виграш 20 руб.», Подія С - «лотерейний виграш 30 руб.», Подія D - «лотерейний виграш 40 руб.». У чому полягає подія А + В + С + D?
4. Подія А - «поява непарного числа очок при киданні гральної кістки», подія В - «поява 3 очок при киданні гральної кістки», подія С - «поява 5 очок при киданні гральної кістки». У чому полягають події АВС, АВ, АС, ВС?
5. Проводяться дві лотереї. Якщо подія А 1 - «виграш по квитку першої лотереї» та подія А 2 - «виграш по квитку другий лотереї», то що означають події: А 1 А 2 + А 2, А 1 + А 2 + А 1 А 2?
6. Відомо, що події А і В сталися, а подія С не настав. Визначте, чи наступили такі події: А + ВС, (А + В) С, АВ + С, АВС.
7. Турист із пункту А в пункт В може потрапити двома шляхами. позначимо події: А 1 - «він пішов перший дорогою», А 2 - «він пішов другий дорогою».
З пункту В в пункт З ведуть три дороги. Позначимо події: У 1 - «він пішов перший дорогою», У 2 - «він пішов другий дорогою», В 3 - «він пішов третій дорогою».
Застосовуючи поняття суми і твори, а також протилежної події, побудуйте події, що складаються в тому, що:
- Від А до В він обрав дорогу навмання, а від В до С пішов третій дорогою;
- Від А до В він пішов перший дорогою, а від В до С - дорогий, обраної навмання;
- Від А до В він пішов не першої дорогою, а від В до С - не третій;
- Він дійшов від А до С.
Заняття № 3. Експерименти та його результати.
Перший крок на шляху ознайомлення учнів з поняттям ймовірність полягає в тривалому експериментуванні, тобто в численних маніпуляціях з різнорідними предметами (гральними кістками, вовчками, монетами, кульками та іншими).
Для проведення експериментів учнів краще розбити на групи по 2-3 людини, один з яких буде фіксувати результати експерименту, а інші проводити його.
Можуть бути запропоновані такі завдання-експерименти:
Завдання № 1. 100 разів підкинути монету і зафіксувати кількість випадань «орла» і «решки».
Завдання № 2. 100 разів підкинути кнопку і зафіксувати кількість разів, коли кнопка впала вістрям вниз і кількість разів, коли кнопка впала вістрям вгору.
Завдання № 3. Виберіть який-небудь текст, що містить 150 слів. Підрахуйте кількість слів, складених з 6 букв.
Завдання № 4. Виберіть 7 рядків довільного тексту. Підрахуйте, скільки разів зустрічаються в тексті букви о, е, а, ю.
Завдання № 5. 100 разів підкинути гральну кістку і зафіксувати кількість випадань 6.
Після проведення експериментів доцільно ввести поняття експерименту і його результату. Чітке визначення та розмежування при проведенні реальних фізичних експериментів таких понять, як результат експерименту і подія, можливе в експерименті, в подальшому допоможе уникнути багатьох труднощів при введенні поняття ймовірності випадкової події.

Заняття № 4. Класичне визначення ймовірності.
Імовірність - одне з основних понять теорії ймовірностей. Існує кілька визначень цього поняття. Наведемо визначення, яке називають класичним. Далі вкажемо слабкі сторони цього визначення і приведемо інші визначення, що дозволяють подолати недоліки класичного визначення.
Розглянемо приклад. Нехай в урні міститься 6 однакових, ретельно перемішаних куль, причому 2 з них - червоні, 3 - сині та 1 - білий. Очевидно, можливість вийняти навмання з урни кольорова куля більше, ніж можливість отримати біла куля. Чи можна охарактеризувати цю можливість числом? Виявляється, можна. Це число і називають ймовірністю події. Таким чином, вірогідність є число, що характеризує ступінь можливості появи події.
Поставимо перед собою завдання дати кількісну оцінку можливості того, що взяті навмання кулю кольоровий. Поява кольорового кулі будемо розглядати як подія А. Кожен з можливих результатів випробування (випробування полягає в добуванні кулі з урни) назвемо елементарним результатом (елементарним подією). Легко бачити, що ці результати утворюють повну групу попарно несумісних подій (обов'язково з'явиться тільки одна куля) і вони рівноможливими (куля виймають навмання, кулі однакові і ретельно перемішані).
Ті елементарні результати, в яких цікавить нас настає, назвемо придатними цій події.
Необхідно пояснити учням різницю між подією і елементарним подією.
Відношення числа благоприятствующих події А елементарних фіналів до їх загального числа, називають ймовірністю події А і позначають Р (А). У розглянутому прикладі всього елементарних фіналів 6; з них 5 сприяють події А. Отже, ймовірність того, що взятий куля виявиться кольоровим, дорівнює Р (А) = 5/6.Ето число і дає ту кількісну оцінку ступеня можливості появи кольорового кулі, яку ми хотіли знайти. Дамо тепер визначення ймовірності.
Ймовірністю події А називають відношення числа сприятливих цій події результатів до загального числа всіх равновозможних несумісних елементарних фіналів, що утворюють повну групу.
, Де m - число елементарних результатів, що сприяють А; n - число всіх можливих елементарних результатів випробування.
m
P (A) =
n
m
n

Корисно формулою ймовірності події надати наочну ілюстрацію.

З визначення ймовірності випливають такі її властивості:
Властивість 1. Імовірність достовірного події дорівнює одиниці.
Властивість 2. Імовірність неможливого події дорівнює нулю.
Властивість 3. Імовірність випадкової події є позитивне число, укладену між нулем і одиницею.
Докази даних властивостей можуть бути запропоновані учням у якості домашнього завдання.
Завдання:
1. Для новорічної лотереї віддрукували 1500 квитків, з яких 120 виграшних. Яка ймовірність того, що куплений квиток виявиться виграшним?
2. Для іспиту підготували квитки з номерами від 1 до 25. яка ймовірність того, що взятий навмання учнем квиток має: 1) однозначний номер, 2) двозначний номер?
3. Учень при підготовці до іспиту не встиг вивчити одну із тих 25 квитків, які будуть запропоновані на іспиті. Яка ймовірність того, що учневі дістанеться на іспиті вивчений квиток?
4. Женя купив 2 лотерейних квитка, і один з них виявився виграшним. Чи можна стверджувати, що ймовірність виграшу в лотереї ?
5. Для шкільного новорічного вечора надрукували 125 пронумерованих запрошень, між якими передбачається розіграти головний приз. Яка ймовірність, що номер щасливчика буде закінчуватися: а) на трійку, б) на дев'ятку? в) Вова отримав запрошення з номером 33, а Таня - 99. Чи правда, що у Вови більше шансів отримати головний приз?
6. Двоє друзів живуть в одному будинку, а навчаються у різних класах. Уроки в школі закінчуються в інтервалі від 13 до 14 годин. Після занять вони домовляються чекати один одного на автобусній зупинці в протягом 20 хвилин. Скільки приблизно раз за рік їм вдається поїхати додому разом, якщо в році 200 навчальних днів?
Заняття № 5. Рішення імовірнісних задач за допомогою формул комбінаторики.
При вивченні цієї теми треба, щоб учні чітко уявляли собі роль сполучень, розміщень і перестановок в різних імовірнісних завданнях і навчилися з формулювань завдань визначати, який із видів з'єднань буде використаний при вирішенні того чи іншого завдання. Тут можна керуватися наступним: якщо безліч випадків складають всілякі комбінації з n елементів по k, то в задачі будуть фігурувати поєднання; якщо ж всілякі комбінації з n елементів по n, то в завданнях йдеться про перестановки; розміщення будуть тоді, коли мова йде про порядку елементів у розглянутих комбінаціях.
Завдання:
1. Набираючи номер телефону, абонент забув останні дві цифри і, пам'ятаючи лише, що ці цифри різні, набрав їх навмання. Знайти ймовірність того, що набрані потрібні цифри.
2. У класі 30 учнів. З них 12 хлопчиків, решта дівчинки. Відомо, що до дошки повинні бути викликані двоє учнів. Яка ймовірність, що це дівчатка?
3. Набираючи номер телефону, що складається з 7 цифр, Антон забув, в якій послідовності йдуть три останні цифри. Пам'ятаючи лише, що це цифри 1, 5 і 9, він набрав перші 4 цифри, які знав, і навмання комбінацію з цифр 1, 5 і 9. яка ймовірність того, що Антон набрав вірний номер?
4. У пачці знаходяться однакові за розміром 7 зошитів в лінійку та 5 в клітку. З пачки навмання беруть 3 зошити. Яка ймовірність того, що всі 3 зошити опиняться в клітку?
5. Чотири квитка на ялинку розподілили по долі між 15 хлопчиками та 12 дівчатками. Яка ймовірність того, що квитки дістануться 2 хлопчикам і 2 дівчаткам?
6. На полиці 12 книг, з яких 4 - це підручники. З полиці навмання знімають 6 книг. Яка ймовірність того, що 3 з них виявляться підручниками?
Заняття № 6. Статистична ймовірність.
Класичне визначення не вимагає, щоб випробування обов'язково проводилося в дійсності: теоретичним способом визначаються всі рівноможливими і сприятливі події наслідки. Таке визначення передбачає, що кількість елементарних фіналів випробування звичайно і виражається конкретним числом. Однак на практиці - при вивченні випадкових явищ у природознавстві, економіці, медицині, виробництві - часто зустрічаються випробування, в яких число можливих результатів неозора велике. А в ряді випадків до проведення реальних випробувань важко або не можливо встановити рівноможливими результатів випробування. Тому, поряд із класичним, на практиці використовують і так зване статистичне визначення ймовірності. Для знайомства з ним потрібно ввести поняття відносної частоти.
Відносною частотою події A називають відношення числа випробувань m, в яких подія з'явилося, до загального числа фактично вироблених випробувань n.

Таким чином, вірогідність обчислюють до досвіду, а відносну частоту після досвіду.
Тривалі спостереження показали, що якщо в однакових умовах проводять досліди, в кожному з яких число випробувань достатньо велика, то відносна частота виявляє властивість стійкості. Це властивість полягає в тому, що в різних дослідах відносна частота змінюється мало, коливаючись близько деякого постійного числа.
Наприклад, за даними шведської статистики, відносна частота народження дівчаток у 1935 р по місяцях характеризується наступними числами: 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473. відносна частота коливається близько числа 0,482, яке можна прийняти за наближене значення ймовірності народження дівчаток
Таким чином, в якості статистичної ймовірності події приймають відносну частоту або число, близьке до неї.
Властивості ймовірності, що випливають з класичного визначення, зберігаються і при статистичному визначенні ймовірності. Назвіть їх.
Завдання:
1. Під час тренування у стрільбі по цілі було зроблено 30 пострілів і зареєстровано 26 влучень. Яка відносна частота потрапляння по цілі в даній серії пострілів?
2. Відділ технічного контролю виявив п'ять бракованих книг в партії з випадково відібраних 100 книг. Знайти відносну частоту появи бракованих книг.
3. Дано розподіл днів народження старшокласників (учнів 9-11 класів) по місяцях і днях тижня
пн
вт
ср
чт
пт
сб
НД
Січень
0
1
3
4
0
0
1
Лютий
2
4
1
2
3
0
2
Березень
2
2
0
2
4
2
0
Квітень
3
2
5
8
0
3
2
Травень
4
0
2
1
1
1
2
Червень
4
2
2
1
3
2
0
Липень
0
1
4
2
1
2
0
Серпень
1
2
4
4
2
0
1
Вересень
0
1
2
1
2
3
5
Жовтень
1
2
0
0
2
1
0
Листопад
0
2
4
1
1
5
1
Грудень
2
2
3
2
0
2
2
Знайдіть відносні частоти подій:
А = {старшокласник народився в травневої неділі};
В = {старшокласник народився в зимовий четвер};
С = {старшокласник народився в понеділок};
D = {старшокласник народився навесні}.
Заняття № 7. Геометрична ймовірність.
Геометрична ймовірність - це своєрідний аналог формули класичного визначення ймовірності події: ставлення двох натуральних чисел (кількість сприятливих результатів до кількості всіляких результатів) у формулі класичного визначення ймовірності подій замінюється ставленням заходів (довжин, площ, обсягів) геометричних множин, де обидва безлічі (в загальному випадку) являють собою нескінченні безлічі випадків. Тим самим досягається можливість знайти ймовірність і у випадку нескінченної кількості випадків. У цьому - кінцеве і нескінченне безлічі результатів - і полягає основна відмінність між класичним визначенням ймовірності події та геометричним.
Розгляд геометричній ймовірності розвиває в учнів простір уяви і сприяє формуванню умінь переводити вихідну імовірнісну ситуацію на геометричний мову.
Геометричні ймовірності можна дати в ознайомчому порядку, розібравши для цього ряд завдань.
Завдання:
1. На відрізку L 20 см у довжину поміщений менший відрізок l довжини 10 см. знайти ймовірність того, що точка, навмання поставлена ​​на великий відрізок, потрапить і на менший відрізок. Передбачається, що ймовірність попадання точки на відрізок пропорційна довжині відрізка і не залежить від його розташування.
2. Усередині квадрата зі стороною 10 см виділено коло радіусом 2 см. випадковим чином усередині квадрата відзначається крапка. Яка ймовірність того, що вона потрапить у виділений коло?
3. На площині накреслені два концентричні кола, радіуси яких 5 і 10 см відповідно. Знайти ймовірність того, що точка, кинута навмання у велике коло, потрапить також і в кільце, утворене побудованими колами. Передбачається, що ймовірність попадання точки в плоску фігуру пропорційна площі цієї фігури і не залежить від її розташування.
4. Перед окопами вздовж прямої лінії через кожні 10 м встановлені протитанкові міни. Перпендикулярно цій лінії рухається танк, ширина якого 3 м. Яка ймовірність того, що танк перетне лінію установки мін неушкодженим, тобто, що міна не вибухне?
Заняття № 8. Теорема додавання ймовірностей.
З чотирьох теорем про складання ймовірностей (для двох несумісних подій, для n несумісних подій (узагальнення), для подій, що утворюють повну групу і для протилежних подій) практичний інтерес для слухачів курсу представляють лише дві теореми: перша і третя. Обидві вони часто використовуються при вирішенні імовірнісних завдань, і тому їх слід докладно з доказом розглянути на занятті. Теорему про протилежні події (як окремий випадок третій теореми) можна доручити розповісти одному з учнів.
Теорема 1. Нехай події А і В - несумісні, причому ймовірності цих подій відомі. Тоді ймовірність появи однієї з двох несумісних подій, байдуже якого, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Доказ. Введемо позначення: n - загальне число можливих елементарних результатів випробування; m 1 - загальне число випадків, що сприяють події А; m 2 - загальна кількість випадків, що сприяють події В.
Число елементарних фіналів, що сприяють настанню або події А, або події В, так само m 1 + m 2. Отже,
Р (А + В) = .
Прийнявши до уваги, що і , Остаточно отримаємо
Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Теорема 2. Імовірність появи одного з декількох попарно несумісних подій, байдуже якого, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:
Р (А 1 + А 2 + ... + А n) = Р (А 1) + Р (А 2) + ... + Р (А n).
Теорема 3. Сума ймовірностей подій А 1, А 2, ..., А n, що утворюють повну групу, дорівнює 1:
Р (А 1) + Р (А 2) + ... + Р (А n) = 1.
Доказ. Так як поява однієї з подій повної групи достовірно, а ймовірність достовірної події дорівнює одиниці, то
Р (А 1 + А 2 + ... + А n) = 1. (*)
Будь-які дві події повної групи несумісні, тому можна застосувати теорему додавання:
Р (А 1 + А 2 + ... + А n) = Р (А 1) + Р (А 2) + ... + Р (А n). (**)
Порівнюючи (*) і (**), отримаємо
Р (А 1) + Р (А 2) + ... + Р (А n) = 1.
Теорема 4. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1:
Р (А) + Р ( ) = 1.
Завдання:
1. В урні 30 куль: 10 червоних, 5 синіх і 15 білих. Знайти ймовірність появи кольорового кулі.
2. На стелажі бібліотеки в випадковому порядку розставлено 15 підручників, причому 5 з них у палітурці. Бібліотекар бере навмання три підручники. Знайти ймовірність того, що хоча б один з взятих підручників опиниться в палітурці. (Вирішити двома способами: за допомогою 1 і 4 теорем).
3. Проводиться бомбометання по трьох складах боєприпасів, причому скидається одна бомба. Ймовірність влучення в перший склад 0,01; у другій 0,008, третього 0,025. При попаданні в один зі складів вибухають всі три. Знайти ймовірність того, що склади будуть підірвані.
4. Кругова мішень складається з трьох зон: I, II, III. Вірогідність потрапляння в першу зону при одному пострілі 0,15, в другу 0,23, в третю 0,17. знайти ймовірність промаху.
Заняття № 9. Теорема множення ймовірностей.
Перед тим як викладати теорему множення ймовірностей необхідно ввести поняття умовної ймовірності. Привести учнів до цього поняття допоможе розбір прикладу.
Приклад: З ящика, в якому 3 білих і 3 чорних куль, навмання виймають послідовно один за іншим два кулі. Яка ймовірність появи білої кулі при другому випробуванні, якщо при першому випробуванні був витягнутий чорна куля?
Умовна ймовірність події В за умови, що подія А вже настав, за визначенням дорівнює
(Р (А)> 0).
Спираючись на визначення умовної ймовірності, учні без зусиль зможуть сформулювати теорему про ймовірність спільного появи двох подій.
Теорема 1. Можливість спільного появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншого, обчислену в пропозиції, що перша подія вже настав:
Р (АВ) = Р (А) Р А (В).
Нехай імовірність події В не залежить від появи події А.
Подія В називають незалежним від події А, якщо поява події А не змінює ймовірності події В, тобто
Р А (В) = Р (В) або Р В (А) = Р (А).
Теорема 2. Можливість спільного появи двох незалежних подій дорівнює добутку їх ймовірностей:
Р (АВ) = Р (А) Р (В).
На практиці про незалежність подій укладають за змістом завдання. Наприклад, ймовірності ураження цілі кожним з двох знарядь не залежать від того, вразило чи мета інше знаряддя, тому події «перше знаряддя вразило мета» і «друге знаряддя вразило мета» незалежні.
Завдання:
1. Серед ста лотерейних квитків є 5 виграшних. Знайти ймовірність того, що два навмання вибрані квитка виявляться виграшними.
2. У коробці 9 однакових радіоламп, 3 з яких були у вжитку. Протягом робочого дня майстрові для ремонту апаратури довелося взяти дві радіолампи. Яка ймовірність того, що обидві взяті лампи були у вжитку?
3. У збирача є 3 конусних і 7 еліптичних валиків. Складальник взяв один валик, а потім другий. Знайти ймовірність того, що перший з узятих валиків - конусний, а другий - еліптичний?
4. Кидають два гральних кубика. Яка ймовірність того, що на першому кубику випаде парне число очок, а на другому - число, менше 6?
5. Є 3 ящики, які містять 10 деталей. У першому ящику 8, у другому 7 і в третьому 9 стандартних деталей. З кожного ящика навмання виймають по одній деталі. Знайти ймовірність того, що всі три вийняті деталі виявляться стандартними.
Заняття № 10. Наслідки теорем додавання і множення.
Повертаючись до заняття № 8, де теорема додавання була розглянута для несумісних подій, доцільно викласти теорему додавання для спільних подій. Доказ приводити не обов'язково, треба тільки її проілюструвати.
Теорема 1. Імовірність появи хоча б одного з двох сумісних подій дорівнює сумі цих подій без ймовірності їх спільного появи:
k
m
s = m Ç k
s
P (A + B) =
m
k
+
-
n

Р (А + В) = Р (А) + Р (В)-Р (АВ).
Нехай потрібно знайти ймовірність події А, яка може наступити за умови появи однієї з несумісних подій В 1, В 2, ..., У n, що утворюють повну групу.
Якщо А сталося разом з однією з подій В 1, В 2, ..., У n, значить, сталося одне з несумісних подій В 1 А, В 2 А, ..., У n А.
Таким чином, А = В 1 А + В 2 А + ... + В n А.
Оскільки події В 1, В 2, ..., У n взаємно несумісні, то і події В 1 А, В 2 А, ..., У n А володіють тим же властивістю. Тому
Р (А) = Р (В 1 А) + Р (В 2 А) + ... + Р (В n А).
По теоремі множення ймовірностей залежних подій маємо ; ; ...; .
Тому
.
Теорема 2. Ймовірність події А, яка може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій В 1, В 2, ..., У n, що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з цих подій на відповідну умовну ймовірність події А:
.
Цю формулу називають «формулою повної ймовірності».
За допомогою цієї формули знаходимо так звану формулу Бейеса:
при i = 1, 2, ..., n.
Особливо широко вона застосовується при вирішенні завдань, пов'язаних з ймовірнісної оцінкою гіпотез. Гіпотези - це події, про яких заздалегідь не відомо, яке з них настане.
Довести формулу Бейеса учні можуть самостійно.
Завдання:
1. Підкидаємо дві монети. Яка ймовірність випадання хоча б одного герба?
2. Вірогідність попадання в ціль при стрільбі першого і другого знарядь відповідно рівні: р 1 = 0,7; р 2 = 0,8. Знайти ймовірність влучення при одному пострілі (з обох знарядь) хоча б одним із знарядь.
3. Відділ технічного контролю перевіряє на стандартність за двома параметрами серію виробів. Було встановлено, що у 8 з 25 виробів не витриманий тільки перший параметр, у 6 виробів - тільки другий, а у 3 виробів не витримані обидва параметри. Навмання береться один з виробів. Яка ймовірність того, що воно не задовольняє стандарту?
4. У лотереї випущено n квитків, m з яких виграють. Громадянин купив k квитків. Яка ймовірність того, що один з куплених квитків виграшний?
5. У урну, яка містить 2 шари, опущений біла куля, після чого з неї навмання витягли одну кулю. Знайти ймовірність того, що витягнутий куля виявиться білою, якщо рівноможливими всі можливі припущення про початковий склад куль (за кольором).
6. З 10 учнів, які прийшли на іспит з математики, троє підготувалися відмінно, четверо - добре, двоє - задовільно, а один зовсім не готувався - понадіявся на те, що все пам'ятає. У квитках 20 питань. Дуже добре підготувалися учні можуть відповісти на всі 20 питань, добре - на 16 питань, задовільно - на 10, і не підготувалися - на 5 питань. Кожен учень отримує навмання 3 питання з 20. Запрошений перший учень відповів на всі три питання. Яка ймовірність того, що він молодець?
Заняття № 11. Формула Бернуллі. Закон великих чисел.
Формула Бернуллі набагато спрощує шлях вирішення завдань в тому випадку, коли досліди повторюються незалежно один від одного і ймовірність цікавить нас не змінюється.
Імовірність того, що при повторних випробуваннях подія А настане m раз і не настане nm раз знаходиться за формулою:
.
Обчислення за формулою Бернуллі при великих значеннях n і m скрутні. У математиці встановлені наближені формули, які дозволяють знаходити наближені значення для Р n (m) і, що ще важливіше для практики, суми значень Р n (m), таких, що дріб (Відносна частота появи події А) лежить в даних межах.
За формулою Бернуллі ймовірність того, що в серії з 100 підкидань монети всі 100 раз випаде герб, дорівнює , Тобто приблизно 10 -30. Не настільки мала, але все, же незначна ймовірність того, що цифра випаде не більше 10 разів. Найбільш ймовірно, що кількість випадань герба буде мало відрізнятися від 50.
Взагалі при великому числі випробувань відносна частота появи події, як правило, мало відрізняється від імовірності цієї події. Математичне формулювання цього якісного твердження дає належить Я. Бернуллі закон великих чисел, який в уточненій П.Л. Чебишовим говорить:
Теорема. Нехай імовірність події А у випробуванні s дорівнює р., і нехай проводяться серії, що складаються з n незалежних повторень цього випробування. Через m позначимо число випробувань, в яких відбувалася подія А. Тоді для будь-якого позитивного числа e виконується нерівність
.
Цю теорему краще давати без докази з наступних причин: по-перше, на доказ піде багато часу і, по-друге, самим доказом можна «затьмарити» ідею закону великих чисел.
Завдання:
1. Підкидаємо монету 10 разів. Яка ймовірність дворазового появи герба?
2. Імовірність того, що виріб не пройде контролю, дорівнює 0,125. яка ймовірність того, що серед 12 виробів не буде жодного забракованого контролером?
3. ймовірність того, що витрата електроенергії в продовження однієї доби не перевищить встановленої норми, дорівнює р = 0,75. Знайти ймовірність того, що в найближчі 6 діб витрата електроенергії протягом 4 діб не перевищить норми.
4. З різних позицій по мішені випускають 4 постріли. Ймовірність влучення першим пострілом приблизно 0,1, другим - 0,2, третім - 0,3 і четвертим - 0,4. Яка ймовірність того, що всі чотири постріли - промахи?
5. Ви граєте в шахи з рівним за силою партнером. Чого варто більше чекати: трьох перемог в 4 партіях або п'яти перемог у 8 партіях?
6. Скільки разів доведеться кидати гральну кістку, щоб ймовірність число появи шістки було б 32?
7. Яка ймовірність рівності з точністю до 0,1 при 100 дослідах?
Заняття № 13. Самостійна робота.
Вивчення випадкових подій бажано завершити самостійною роботою, в якій одну-дві завдання треба вирішити якомога більшою кількістю способів. Непогано включити в роботу і теоретичне питання (щоб перевірити, з одного боку, розуміння учнями теоретичної частини пройденого матеріалу і, з іншого боку, вміння учнів формулювати і викладати свої думки).
Зразковий склад самостійної роботи:
Варіант 1
1. Серед облігацій позики 25% виграшних. Знайти ймовірність того, що з трьох узятих облігацій хоча б одна виграшна.
2. Знайти ймовірність за даними ймовірностями: Р (А) = а, Р (В) = b, Р (А + В) = с.
3. Чи можуть несумісні події бути в той же час незалежними і навпаки? Привести приклади.
Варіант 2
1. При включенні запалення двигун починає працювати з ймовірністю р. Знайти ймовірність того, що для введення двигуна на роботу доведеться включити запалювання не більше двох разів.
2. Знайти ймовірність за даними ймовірностями: Р (А) = а, Р (В) = b, Р (А + В) = с.
3. Чому формула Бернуллі застосовується при незалежності дослідів?
Способи вирішення перших завдань докладно викладені в методиці.
Заняття № 14. Кому потрібна теорія ймовірностей?
Форма організації даного заняття - круглий стіл - представлення учнями індивідуальних творчих робіт за вибором:
- Невелика збірка цікавих імовірнісних задач з різних областей професійної діяльності;
- Дослідна робота в області теорії ймовірності;
- Індивідуальний проект, що відображає можливість застосування знань з теорії ймовірності в будь-якій діяльності людини або для будь-якої професії;
- Написання програм для обчислення ймовірностей на якому-небудь мові програмування.
Загальна тема творчих робіт: «Кому потрібна теорія ймовірностей?».
В якості джерел літератури можна порекомендувати такі книжки: Китайгородський, А.І. - присвячена застосуванню законів теорії ймовірностей до різних життєвих ситуацій і у різних галузях науки.

Розділ 3. Випадкові величини.
Тут учні знайомляться ще з одним видом функції - випадковою величиною. Ця специфічна числова функція доповнює і розширює уявлення школярів про функціональні залежності.
Заняття № 1. Поняття випадкової величини. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.
У теорії ймовірностей наводилися події, що складаються в появі того чи іншого числа. Наприклад, при киданні гральної кістки могли з'явитися числа 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед визначити число випали очок неможливо, оскільки вона залежить від багатьох випадкових причин, які повністю не можуть бути враховані. У цьому сенсі число очок є величина випадкова; числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 є можливі значення цієї величини.
Випадкової називають величину, яка в результаті випробування прийме одне і тільки одне можливе значення, наперед не відоме і залежне від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані.
Приклад 1. Кількість народжених хлопчиків серед 100 новонароджених є випадкова величина, яка має наступні можливі значення: 0, 1, 2, ..., 100.
Приклад 2. Відстань, яку пролетить снаряд при пострілі з гармати, є випадкова величина. Дійсно, відстань залежить не тільки від установки прицілу, але і від сили і напряму вітру, від температури та інших причин, які можуть повністю враховані. Можливі значення цієї величини належать деякому проміжку (а, b).
Випадкові величини позначають великими літерами X, Y, Z, а їх можливі значення - відповідними малими літерами x, y, z. Наприклад, якщо випадкова величина X має три можливі значення, то вони будуть позначені так: x 1, x 2,   x 3.
Види випадкових величин
Дискретної або переривчастою називають випадкову величину, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями. Число можливих значень дискретної випадкової величини (ДСВ) може бути кінцевим або нескінченним (див. приклад 1).
Безперервної називають випадкову величину, яка може приймати всі значення з деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Очевидно, число можливих значень НСВ нескінченно (див. приклад 2).
Закон розподілу ймовірностей ДСВ
На перший погляд може здатися, що для завдання ДСВ достатньо перерахувати всі її можливі значення. Насправді це не так: випадкові величини можуть мати однакові переліки можливих значень, а ймовірності їх - різні. Тому для завдання ДСВ не достатньо перерахувати всілякі її значення, потрібно ще вказати їх вірогідність.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями і їх ймовірностями; його можна задати таблично, аналітично (у вигляді формули) і графічно.
При табличному завданні закону розподілу ДСВ перший рядок таблиці містить можливі значення, а друга - їх ймовірності:
X
x 1
x 2
...
x n
p
p 1
p 2
...
p n
Прийнявши до уваги, що в одному випробуванні випадкова величина приймає одне і тільки одне можливе значення, укладаємо, що подія X = x 1, X = x 2, ..., X = x n утворюють повну групу, отже, сума ймовірностей цих подій, то тобто сума ймовірностей другого рядка таблиці, дорівнює одиниці: p 1 + p 2 + ... + p n = 1. Якщо безліч можливих значень X нескінченно (лічильно), то ряд p 1 + p 2 + ... сходиться і його сума дорівнює одиниці.
Для наочності закон розподілу ДСВ можна зобразити і графічно, для чого в прямокутній системі координат будують точки (x i, p i), а потім з'єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу.
Заняття № 2. Математичні операції над випадковими величинами.
Спочатку введемо поняття незалежності випадкових величин.
Дві випадкові величини називаються незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не змінюється від того, які можливі значення прийняла інша величина. В іншому випадку випадкові величини називаються залежними. Наприклад, якщо є квитки двох різних грошових лотерей, то випадкові величини X і Y, що виражають відповідно виграш по кожному квитку, будуть незалежними, тому що при будь-якому виграші по квитку однієї лотереї (наприклад, при X = x i) закон розподілу виграшу по іншому квитку (Y) не зміниться. Якщо ж випадкові величини X і Y висловлюють виграш по квитках однієї грошової лотереї, то в цьому випадку X і Y є залежними, бо будь-який виграш по одному квитку (X = x i) призводить до зміни ймовірності виграшу по іншому квитку (Y), то є до зміни закону розподілу Y.
Визначимо математичні операції над ДСВ.
Твором kX випадкової величини Х на постійну величину k називається випадкова величина, яка приймає значення kx i з тими ж імовірностями p i (i = 1, 2, ..., n).
m-м ступенем випадкової величини Х, тобто Х m, називається випадкова величина, яка приймає значення з тими ж імовірностями p i (i = 1, 2, ..., n).
Сумою (різницею або твором) випадкових величин Х і Y називається випадкова величина, яка приймає всі можливі значення виду x i + y j (x i-y j або x i ∙ y j), де i = 1, 2, ..., n ; j = 1, 2, ..., m, з імовірностями p ij того, що випадкова величина Х прийме значення x i, а Y - значення y j: p ij = Р [(X = x i) (Y = y j)].
Якщо випадкові величини Х і Y незалежні, тобто незалежні будь-які події X = x i, Y = y j, то згідно теореми множення ймовірностей для незалежних подій
p ij = Р (X = x i) ∙ Р (Y = y j) = p i ∙ p j.
Заняття № 3. Числові характеристики ДСВ. Математичне сподівання.
Як вже відомо, закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий і доводиться обмежуватися меншими відомостями. Іноді навіть вигідніше користуватися числами, які описують випадкову величину сумарно; такі числа називають числовими характеристиками випадкової величини. До числа важливих числових характеристик відноситься математичне сподівання.
Для вирішення багатьох завдань досить знати математичне сподівання. Наприклад, якщо відомо, що математичне сподівання кількості вибивані очок у першого стрільця більше, ніж у другого, то перший стрілок у середньому вибиває більше очок, ніж другий, і, отже, стріляє краще другого. Хоча математичне сподівання дає про випадковій величині значно менше відомостей, ніж закон її розподілу, але для вирішення завдань, подібних наведеної та багатьох інших, знання математичного очікування виявляється достатнім.
Математичним очікуванням дискретної випадкової величини називають суму творів усіх її можливих значень на їх вірогідність.
Нехай випадкова величина Х може приймати лише значення х 1, х 2, ..., х n, ймовірності яких відповідно рівні р 1, р 2, ..., р n. Тоді математичне сподівання М (Х) випадкової величини Х визначається рівністю
М (Х) = х 1 р 1 + х 2 р 2 + ... + х n p n.
Тобто .
Властивості математичного сподівання:
1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійною:
.
2. Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання:
.
3. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань:
.
4. Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань доданків:
.
Довести наведені властивості учні можуть самостійно.
Завдання:
Заняття № 4. Дисперсія ДСВ.
Заняття № 5. Середнє квадратичне відхилення.
Заняття № 6. Метод найменших квадратів.
Заняття № 7. Залік.
Розділ 4. Елементи математичної статистики.
У рамках даного елективного курсу передбачається познайомити учнів з елементами статистики як наукового напрямку. Перш за все мова йде про елементи так званої «описової» статистики, яка займається питаннями збору та подання первинної статистичної інформації в табличній і графічній формах, обчислення числових характеристик для сукупності числових даних.
Включення в курс початкових відомостей з статистики спрямована на формування в учнів таких важливих у сучасному суспільстві умінь, як розуміння і інтерпретація результатів статистичних досліджень, широко представлених у засобах масової інформації.
Заняття № 1. Вибірковий метод.
Статистика - це науковий напрямок, що об'єднують принципи і методи роботи з числовими даними, що характеризують масові явища. Воно включає в себе математичну статистику, загальну теорію статистики і цілий ряд галузевих статистик (статистика промисловості, статистика фінансів, статистика народонаселення та інші).
Предметом математичної статистики є вивчення випадкових величин за результатами спостережень. Для отримання дослідних даних необхідно провести обстеження відповідних об'єктів. Наприклад, якщо дослідника цікавить можливість, що діаметр валика певного типорозміру після шліфування опиниться за межами технічного допуску, то треба знати закон розподілу цього діаметру, а для цього насамперед потрібно розташовувати набором можливих значень діаметра. Однак обстежити всі валики найчастіше важко, оскільки їх кількість може бути велике. Тому доводиться з усієї сукупності об'єктів для обстеження відбирати лише частина, тобто проводити вибіркове обстеження. У деяких випадках обстеження об'єктів всієї сукупності практично не має сенсу, оскільки вони руйнуються в результаті обстеження. Таким чином, основним методом статистики є вибірковий метод.
Вибірковою сукупністю або вибіркою називають сукупність випадково відібраних об'єктів.
Генеральною сукупністю називають сукупність об'єктів, з яких виробляється вибірка.
Обсягом сукупності (вибіркової чи генеральної) називають число об'єктів цієї сукупності. Наприклад, якщо з 1000 деталей відібрано для обстеження 100 деталей, то обсяг генеральної сукупності N = 1000, а обсяг вибірки n = 100.
Для того, щоб за вибіркою можна було досить впевнено судити про випадковій величині, вибірка має бути представницькою (репрезентативною). Репрезентативність вибірки означає, що об'єкти вибірки досить добре представляють генеральну сукупність. Зауважимо, що при відборі об'єктів можуть зіграти роль особисті мотиви або психологічні фактори, про які дослідник, який проводить вибірку, і не підозрює. При цьому, як правило, вибірка не буде репрезентативною.
Після того як зроблена вибірка, тобто отримана вибіркова сукупність об'єктів, всі об'єкти цієї сукупності обстежують по відношенню до певної випадкової величиною або у результаті цього отримують спостережувані дані.
Завдання математичної статистики полягає в обробці результатів спостережень.
Статистична інформація та способи її подання.
Статистична інформація - це числові дані про масові явища, це значення спостережуваних ознак об'єктів, що становлять статистичну сукупність, яка отримана в результаті статистичного спостереження. Таким чином, джерелом статистичної інформації є реальний досвід, експеримент, спостереження, вимірювання, що здійснюються над реальними об'єктами і явищами навколишнього світу. Статистика починається з реальних даних реального досвіду; цим вона відрізняється від теорії ймовірностей, яка вивчає математичні моделі реальних явищ і має справу лише з уявними (уявними) експериментами.
Статистика використовує методи дослідження, засновані на математичному апараті теорії ймовірностей, і найважливішим серед цих методів є вибірковий метод. Тому математична статистика та теорія ймовірностей нерозривно пов'язані між собою, постійно взаємодіють, і між ними не існує чіткої та загальновизнаної кордону.
Статистична інформація про результати спостережень або експериментів може бути зареєстрована і представлена ​​в різних формах.
1) Простий статистичний ряд, або ряд даних, або вибірка: х 1, х 2, х 3, ..., х n -1, х n - запис результатів в порядку їх появи (або отримання), запис у ряд. Окремі значення х i, що становлять цей ряд, називають варіантами або просто даними, або результатами спостережень. Кількість варіант в ряду n називають об'ємом ряду, або об'ємом вибірки.
Наприклад, гральний кубик кинули 12 разів і записали випали числа в порядку їх появи: 3, 4, 5, 6, 6, 6, 5, 1, 4, 6, 1, 4 (п = 12).
Недоліки: громіздкість і труднообозримой.
2) Варіаційний ряд, або впорядкований.
1, 1, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6.
Недолік: громіздкість.
3) Статистичне розподіл ряду:
x j
1
3
4
5
6
n j
2
1
3
2
4
Величини n j називаються частотами значень варіанти х j. Значення варіанти х j і варіанти х i - це не одне і те ж: кожне значення фіксується тільки один раз, а варіанти з таким значенням можуть зустрічатися в ряду багаторазово. (J = 1, 2, 3, 4, 5; i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12). j = 1, 2, ..., m, а i = 1, 2, ..., n, причому завжди m £ n (якщо m = n, то всі варіанти в ряду різні).
Поряд з частотами використовуються відносні частоти .
4) Інтервальний ряд: весь діапазон спостережуваних значень ознаки х max-x min розбивають на невелике число (k = 6 ... 10) часткових інтервалів, і підраховують кількість варіант вихідного ряду, що потрапляють в кожен частковий інтервал.
5) Графічна форма: стовпчаста діаграма, полігон частот, гістограма, кругова діаграма.
Завдання:
1. Зростання кожного з 50 одинадцятикласників занесли в таблицю:
165
170
165
165
175
160
170
170
172
170
178
170
178
174
165
165
175
175
172
160
175
172
160
170
170
178
176
176
175
172
170
170
172
170
178
176
180
174
176
181
180
170
170
174
180
175
175
174
174
172
За наявними даними скласти таблицю розподілу значень випадкової величини Х - зростання одинадцятикласників: а) за частотами (М), б) за відносними частотами (W).
2. Після групування даних експерименту вийшла така таблиця їх розподілу:
Варіанта
-3
0
4
5
9
11
12
15
20
Кратність варіанти
12
9
1
64
34
56
7
8
9
а) Визначте обсяг вибірки.
б) Знайдіть найбільш часто зустрілася варіанту.
в) Допишіть до таблиці третю і четверту рядка з частот і процентних частот варіант.
г) Знайдіть суму чисел у третій і четвертій рядках.
Зробіть висновки.
Можуть бути використані такі завдання: С10, С14, С23, С25, С34, С36, С42, ​​С49
Заняття № 2. Числові характеристики статистичних рядів.
Збір та аналіз статистичних даних не є самоціллю, а результати статистичних досліджень дозволяють приймати більш правильні управлінські рішення, виявляти закономірності і взаємозалежності, приховані за випадковими коливаннями, помилками і спотвореннями.
Нерідко виникає необхідність порівняти між собою дві або кілька сукупностей статистичних даних. Оскільки порівняння виконується за якимось певним властивості, то для проведення порівняння потрібні показники, що характеризують ту чи іншу властивість в сукупності даних одним числом. Такі показники в статистиці отримали найменування числових характеристик (статистичних характеристик).
Найпростішими числовими характеристиками є характеристики становища (середнє значення, мода, медіана) і характеристики розсіювання (розмах, вибіркова дисперсія, вибіркове середнє квадратичне відхилення).
Середнє значення ряду спостережень - Це центр розсіювання спостережуваних значень, це розрахункове значення, сума відхилень всіх варіант від якого дорівнює нулю.
Якщо варіанти в ряду х i є значеннями безпосередньо спостережуваного ознаки, то середнє значення низки знаходять за формулою середнього арифметичного:
(Формула простої середньої),
(Формула середньої зваженої).
У статистиці при обчисленні середніх ставиться завдання замінити всі індивідуальні спостережувані значення ознаки деякої узагальнюючої однаковох величиною так, щоб при цьому не змінювалася деяка підсумкова величина для всієї сукупності. Цією величиною може бути сума всіх варіант (середнє арифметичне) або їх добуток (середнє геометричне), або сума зворотних величин (середнє гармонійне), або сума квадратів варіант (середнє квадратичне) і так далі. Загальна формула ступеневій середньої:
,
при k =- 1 отримуємо середню гармонійну, при k = 1 - середню арифметичну, при k = 2 - середню квадратичну, і так далі. Окремо вводиться поняття середнього геометричного
.
Правило мажорантності середніх: гарм £ геом £ арифм £ квадр.
Вибір формули для обчислення середнього визначається розв'язуваної завданням.
Наступною числовою характеристикою статистичних рядів є мода. Мода Мо - це значення варіант, що зустрічається в ряді частіше за інших. У таблиці розподілу ряду мода - це значення х j, якому відповідає найбільше значення частоти n j. Статистичний ряд може мати одну, дві або декілька мод, може не мати моди.
Медіана Ме - це серединна у варіаційному ряду значення варіанти. Якщо число членів ряду n непарне, то
, Де - Ціла частина числа .
Якщо n парне, то .
Найпростішим характеристикою розсіювання є розмах: А = х max-x min; розмах є різниця між найбільшим і найменшим значеннями варіант в ряду.
Вибіркова дисперсія D виб (Х) є середнє значення квадратів відхилень всіх варіант від середнього значення ряду :
.
Для практичних розрахунків зручніше формула:
.
Дисперсія має розмірність квадрата спостерігається величини, тому на практиці широко використовується ще один показник розсіювання - середнє квадратичне відхилення s виб (Х):
.
Важливо пам'ятати про принципову відмінність числових характеристик в статистиці від числових характеристик в теорії ймовірностей.
Завдання:
З62, С69, С87, З 93 С95 з посібника.
Заняття № 3. Статистичні дослідження. Етапи статистичного дослідження.
Для вивчення різних громадських і соціально-економічних явищ, а також деяких процесів, що відбуваються в природі, проводять спеціальні статистичні дослідження.
Будь-яке статистичне дослідження починається з цілеспрямованого збору інформації про досліджуваному явищі чи процесі. Цей етап називається етапом статистичного спостереження.
Для узагальнення та систематизації даних, отриманих в результаті статистичного спостереження, їх за будь-якою ознакою розбивають на групи, і результати угруповання зводять у таблиці (таблиці частот, таблиці відносних частот). Таким чином, другий етап - групування і зведення даних в таблицю.
Дані потрібно представити більш наочно: або за допомогою столбчатой ​​діаграми, або полігону частот, або кругової діаграми, або гістограми. Третій етап - наочне представлення даних.
Далі переходять до аналізу даних, використовуючи для цього різні узагальнюючі показники (статистичні характеристики: середнє значення, мода, медіана, розмах, вибіркова дисперсія, вибіркове середнє квадратичне відхилення).
На підставі мети проведення статистичного дослідження та аналізу даних робиться висновок.
Розглянемо такий приклад. Адміністрація школи вирішила перевірити математичну підготовку одинадцятикласників. З цією метою було складено тест, що містить 6 завдань. Зробили вибіркове обстеження, вибрали 20 школярів, випадковий відбір забезпечує однакову ймовірність попадання у вибірку будь-якого об'єкта генеральної сукупності. Отримали наступні результати такого вибіркового обстеження:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
4
2
0
6
2
3
4
3
3
0
1
5
2
6
4
3
3
2
3
1
На підставі цього ряду важко зробити якісь певні висновки про те, як справилися школярі з роботою. Щоб зручніше було аналізувати інформацію, в подібних випадках дані ранжирують, розташовуючи їх у порядку зростання. Ряд прийме вигляд:
0011222233333344456
Кожна група представляє певний результат експерименту:
· Не вирішено ні одного завдання;
· Розв'язано 1 завдання;
· Вирішені 2 завдання і так далі.
У нашому випадку частота появи події «0 завдань» - 2, відносна частота 2 / 20 = 10%. Власна частота появи події «2 завдання» - 4, відносна частота 4 / 50 = 8% і так далі.
Складемо таблицю:
Подія
0
1
2
3
4
5
6
Частота
2
4
4
6
3
1
1
%
10
8
8
14
6
2
2

З допомогою ранжирування ряду, таблиці та графічних ілюстрацій, ми вже отримали початкові відомості про закономірності даного нас ряду даних. Якщо потрібно знати найбільш типовий результат, то використовують поняття медіана, мода, розмах, вибіркова дисперсія, вибіркове середнє квадратичне відхилення.
Завдання: Провести будь-яке статистичне дослідження.
Заняття № 4. Визначення ліній регресії методом найменших квадратів для двовимірних вибірок.
Заняття № 5.


Висновок

Це дослідження присвячено вирішенню актуальної проблеми теорії і методики навчання математики - розвиток просторового мислення учнів у процесі вивчення геометрії. Основним засобом для вирішення цієї проблеми був обраний комп'ютер, який дозволив виділити новий вид навчальної наочності - комп'ютерна анімація, що реалізується за допомогою пакету прикладних програм 3D Studio MAX.
У відповідності з поставленими цілями перед даною випускний кваліфікаційної роботою та результатами, отриманими в ході дослідження, можна зробити наступні висновки:
Аналіз науково-методичної літератури, присвяченої питанням формування та розвитку просторових уявлень, дозволив виділити основні психічні та фізіологічні основи сприйняття людиною об'єктів навколишнього світу. У результаті була вироблена загальна схема сприйняття, яка лягла в основу розробленої методики формування просторових уявлень.
Була виявлена ​​можливість застосування комп'ютерної анімації в процесі формування просторових уявлень. Комп'ютерна анімація заповнила деякий пробіл у процесі формування просторового образу геометричного об'єкта, вона дозволила здійснити плавний перехід від натуральної речової моделі до умовно-графічного зображення - кресленням, що значною мірою підвищує рівень об'єктивності просторових уявлень учня.
Була розроблена відповідна методика формування просторового образу геометричного об'єкту за допомогою комп'ютерної анімації. За результатами дослідної роботи можна зробити висновок про позитивний вплив розробленої методики на формування просторових уявлень учнів. Систематизація результатів науково-методичних досліджень дозволила виявити умови формування просторових уявлень учнів: використання різних видів діяльності, в першу чергу діяльності за рішенням спеціально підібраних вправ, орієнтованих на розвиток просторових уявлень учнів; взаємозв'язок формування просторових уявлень з розвитком логічного мислення і мови учнів; використання раціональної системи засобів наочності. Як показала практика викладання, облік і використання цих умов і прийомів успішно сприяє роботі з розвитку просторових уявлень учнів. Дослідна робота щодо застосування розробленої методики показала її ефективність. Дослідна робота довела, що цілеспрямоване і раціональне впровадження в практику нової навчальної наочності - комп'ютерної анімації веде до підвищення рівня розвитку просторових уявлень учнів.
Зроблені висновки дають підставу вважати, що справедливість гіпотези дослідження експериментально підтверджено, всі поставлені завдання дослідження вирішені.

Бібліографічний список

Збірники нормативних документів
1. Збірник нормативних документів. Математика [Текст] / сост. Е. Д. Дніпров, А.Г. Аркадьєв. - М.: Дрофа, 2006. - 80 с.
2. Концепція розвитку шкільної математичної освіти [Текст] / / Математика в школі. - 1990. - № 1. - С. 2 - 14.
3. Стандарт.
Підручники для вузів і технікумів з цими розділами
4. Кремер, Н.Ш. Теорія ймовірностей і математична статистика [Текст]: підручник для вузів / Н.Ш. Кремер. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. - 543 с.
5. Курс вищої математики для гуманітарних спеціальностей [Текст]: навчальний посібник / під ред. Ю. Д. Максимова. - СПб.: Спеціальна література, 1999. - 191 с.
6. Воронов, М.В. Математика для студентів гуманітарних факультетів [Текст] / М.В. Воронов, Г.П. Мещерякова. - Ростов-на-Дону: Фенікс, 2002. - 384 с.
7. Солодовников, А.С. Теорія ймовірностей [Текст] / А.С. Солодовников. - М.: Просвещение, 1978. - 192 с.
8. Баврін, І.І. Курс вищої математики [Текст] / І.І. Баврін. - М.: Просвещение, 1992. - 400 с.
9. Гмурман, В. Є. Теорія ймовірностей і математична статистика [Текст]: навчальний посібник / В.Є. Гмурман. - М.: Вища освіта, 2006. - 479 с.
10. Гмурман, В.Є. Керівництво вирішення задач з теорії ймовірностей і математичній статистиці [Текст]: навчальний посібник / В. Є. Гмурман. - М.: Вища школа, 1999. - 400 с.
11. Вентцель, Є.С. Теорія ймовірностей [Текст] / Є.С. Вентцель. - М.: Вища школа, 2001. - 575 с.
12. Калініна, В. М. Математична статистика [Текст]: підручник для студ. середовищ. спец. навч. закладів / В.М. Калініна, В.Ф. Панкін. - М.: Дрофа, 2002. - 336 с.
Наукова та науково-популярна література
13. Віленкін Н. Я. Комбінаторика [Текст] / Н. Я. Віленкін О.М. Віленкін, П.А. Віленкін. - М.: Фіма, МЦНМО, 2006. - 400 с.
14. Китайгородський, А.І. Неймовірно - не факт [Текст] / А. І. Китайгородський. - М.: Молода гвардія, 1972. - 256 с.
15. Хургин, Я.І. Як осягнути неосяжне [Текст] / Я.І. Хургин. - М.: Знание, 1992. - 192 с.
16. Віленкін, Н. Я. Популярна комбінаторика [Текст] / Н.Я. Віленкін. - М.: Наука, 1975. - 208 с.
Методична література та посібники для учнів
17. Глеман, М. Вірогідність в іграх і розвагах. Елементи теорії ймовірностей в курсі середовищ. школи [Текст]: посібник для вчителя / М. Глеман, Т. Варга; пер. з фр. - М.: Просвещение, 1979. - 176 с.
18. Шихова, А. П. Навчання комбінаториці та її додатків в середній школі [Текст] / А. П. Шихова. - К.: ИУУ, 1994 - 63 с.
19. Афанасьєв, В.В. Школярам про ймовірність в іграх. Введення в теорію ймовірностей для учнів 8-11 класів [Текст] / В. В. Афанасьєв, М. О. Суворова. - Ярославль: Академія розвитку, 2006. - 192 с.
20. Передпрофільне підготовка учнів 9 класів з математики. Загальні положення, структура портфоліо, програми курсів, сценарії занять [Текст] / І. М. Данкова, Т. Є. Бондаренко, Л.Л. Ємеліна, О.К. Плетньова. - М.: 5 за знання, 2006. - 128 с.
21. Бунімович, Е.А. Імовірність і статистика. 5-9 кл. [Текст]: посібник для загаль. навч. закладів / Е.А. Бунімович, В.А. Буличов. - М.: Дрофа, 2002. - 160 с.
22. Збірник завдань з математики для факультативних занять у 9-10 класах [Текст] / за ред. З. А. Скопець. - М.: Просвещение, 1971. - 208 с.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Диплом
453кб. | скачати


Схожі роботи:
Елементи статистики комбінаторики та теорії ймовірностей в основній школі
Застосування методів математичної статистики і теорії ймовірностей
Загальні положення теорії ймовірностей та математичної статистики
Застосування методів математичної статистики і теорії ймовірностей у задачах теоретичної лінгвістики
Організація та утримання елективного курсу Основи теорії ймовірностей і математичної статистики
Організація та утримання елективного курсу Основи теорії ймовірностей і математичної статистики 2
Рішення задач по курсу теорії ймовірності та математичної статистики
Застосування точкових та інтервальних оцінок в теорії ймовірності та математичної статистики
Можливості використання елементів теорії ймовірностей і статистики на уроках математики в початковій
© Усі права захищені
написати до нас