Занадто поспішне введення понять синуса і косинуса «по колу» призводить до труднощів при подальшому навчанні: багато учні відчувають труднощі з геометричним тлумаченням «тригонометричного мови». Таким чином, не виходить створити надійний фундамент для успішного вивчення матеріалу.

У підручнику [16] на роботу з числовою окружністю відводиться 5 годин, що становить майже 20% від 28 запланованих годин на вивчення всієї теми «Тригонометричні функції». Взагалі кажучи, тут розглядаються дві математичні моделі: «числова окружність» і «числова окружність на координатній площині». Тобто учні навчаються працювати одночасно в двох системах координат: в прямокутній декартовій і криволінійної. Це допоможе їм надалі, коли поняття синуса і косинуса кута будуть вводитися через координати.
Тут не тільки чітко виділяється алгоритм побудови точки на числовій кола, а й проводиться аналогія з числовою прямою, із зазначенням основних подібностей та відмінностей в побудові точки на колі і на прямій. Непогано в підручнику [16] мотивується і саме введення числової колу: «У реальному житті рухатися доводиться не тільки по прямій, але і по колу. Будемо вважати бігову доріжку стадіону окружністю ... ». До того ж, вже на етапі вивчення числової окружності в неявному вигляді відбувається підготовка до вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь і нерівностей.
Наприклад, розглядаються завдання типу: «Знайти на числовій окружності точки з ординатою у = 1 / 2 і записати, яких числах t вони відповідають», «Знайти на числовій окружності точки з абсцисою х <1 / 2 і записати, яких числах t вони відповідають ».
Отже, в підручнику [16], на відміну від інших підручників, проводиться досить хороша Пропедевтична робота для введення тригонометричних функцій.
У підручнику [3] також присутні елементи роботи з числовою колом, але не в такій кількості як в [16]. Тут виділяється окремий параграф «Обертальний рух і його властивості», в якому розглядаються такі питання як побудова точки за заданою мірою кута і властивості обертального руху.
У підручнику [11] в якості підготовчої роботи для введення тригонометричних функцій виступає лише повторення таких питань:
- Радіанна міра кута (вимірювання кутів у радіанах, таблиця значень тригонометричних функцій (розглядається виходячи з геометричних міркувань)),
- Основні формули тригонометрії (основне тригонометрическое тотожність, формули суми і різниці двох аргументів, формули приведення, формули суми і різниці синусів і косинусів, формули подвійного і половинного аргументів).
Взагалі питання тригонометрії в цьому підручнику розглядаються в такому порядку: тригонометричні перетворення - тригонометричні функції - тригонометричні рівняння і нерівності, на відміну від підручника [16], за яким спочатку вивчаються функції, потім рівняння і нерівності, а тільки потім перетворення (як властивості функцій) .
Навчання ж за підручниками [2] та [3] припускає вивчення тригонометричних функцій не на початку 10 класу (як це представлено в підручниках [11] і [16]), а в кінці його. Автори підручника [2] пропонують приступити до ізученіію тригонометрії після вивчення показовою і логарифмічною функцій. Причому, спочатку вивчаються тригонометричні перетворення, потім - тригонометричні рівняння і тільки після цього - тригонометричні функції. Таке розташування теми має ряд особливостей:
- Вивчення тригонометричних рівнянь має на увазі вивчення зворотних тригонометричних функцій. Таким чином, спочатку учні детально опрацьовують поняття арксинуса, арккосинуса і арктангенс, а потім тільки приступають до роботи з синусом, косинусом і тангенсом, хоча з точки зору логіки, доцільніше зробити навпаки;
- Вивчення тригонометричних функцій після тригонометричних рівнянь викидає з розгляду один з важливих методів розв'язання тригонометричних рівнянь - а саме графічний метод (на той час ми ще не вміємо будувати графіки тригонометричних функцій).
У підручнику ж [3] ж взагалі пропонується вивчати тригонометрію вже після вивчення похідної. Це дозволяє обчислювати наближені значення тригонометричних функцій у точках, тим самим полегшуючи їх дослідження, допомагаючи при побудові графіків і вирішенні тригонометричних рівнянь.
Що стосується введення самих тригонометричних функцій, то й тут кожен з підручників має свої особливості. Почнемо з визначення синуса і косинуса. У підручнику [2] дається таке визначення: «сos х - це абсциса точки одиничної окружності, отриманої поворотом точки Р (1; 0) навколо початку координат на кут х, а sin х - її ордината». В [16]: «Якщо точка М числової окружності відповідає числу t, то абсцису точки М називають косинусом числа t, а ординату точки М називають синусом числа t». Ці два визначення, в общем-то, принципово не розрізняються, за винятком лише того, що в підручнику [2] тригонометричні функції визначаються як функції кутового аргументу, а в [16] як функції числового аргументу, та ще присутні відмінності в позначенні змінної ( зауважимо, що при роботі з числовою окружністю краще вживати символи sin t, cos t, tg t, ctg t, враховуючи, що знак х у свідомості дітей асоціюється з абсцисою в декартовій прямокутній системі координат, а не з довжиною пройденого за числової окружності шляху) .
У підручнику ж [11] як таких визначень синуса і косинуса немає, а замість них присутня фраза «... неважко зрозуміти, що ордината точки Р _a - це синус кута a, а абсциса цієї точки - косинус кута a», а потім наведено геометричне підтвердження цього факту. Завдяки цьому, в учнів не виникає здивування з приводу того, чому раніше синусом називали відношення довжин катета і гіпотенузи, а зараз звідкись виплили якісь абсциси і ординати. У підручнику [16] цей факт теж досить непогано пояснений, але із запізненням на 3 параграфа, а в підручнику [3] пояснення відсутня зовсім.
Тангенс ж у всіх підручниках, за винятком [11], визначається як відношення синуса до косинусу. У підручнику ж [11] знову не дається чіткого визначення тангенса, а наводиться лише геометрична інтерпретація «ордината точки перетину прямої ОР _a (Р _a - точка на одиничному колі) і дотичної до кола в точці (1; 0) дорівнює тангенсу кута a» .
Визначення котангенс автори дають аналогічно визначень тангенса за винятком підручника [2], в якому котангенс чомусь зовсім ігнорується і не розглядається як функція.
Зупинимося докладніше на питаннях дослідження та побудови графіків тригонометричних функцій.
У підручнику [16] процес побудови графіка і дослідження функції відбувається наступним чином: вже відомі хлопцям факти узагальнюються і формулюються як властивості функцій. Спочатку розглядаються такі властивості функції y = sin (x), як область визначення, область значень, непарність, зростання на відрізку [0; p / 2] і спадання на відрізку [p / 2; 3p / 2], обмеженість зверху і знизу, найбільше і найменше значення. Потім складається таблиця основних значень функції на відрізку [0; p], будуються відповідні точки і плавно з'єднуються.
Використовуючи властивість непарності синуса, отриманий графік відображається щодо початку координат на відрізок [-p; 0], використовуючи властивість періодичності, графік функції добудовується на інших відрізках довжиною 2p. З опорою на побудований графік, виділяється властивість безперервності функції синус і область її значень. Дослідження функції cos х і побудова її графіка як і у всіх інших підручниках грунтується на тому факті, що cos х = sin (x + p / 2).
У підручнику [3] побудова синусоїди відбувається за допомогою одиничної окружності перенесенням значення синуса до відповідних точок осі ОХ. А потім, після побудови графіка, ще раз відбувається повернення до властивостей і до того, як вони проявляються на графіку. У підручнику [11] синусоїда будується подібно до того, як вона будується в [3], але всі властивості функцій за винятком області визначення і множини значень розглядаються в наступній темі «Основні властивості функцій», а потім тільки переносяться на тригонометричні.
Відзначимо, що в підручниках [16] і [11] не обгрунтований той факт, що областю визначення функцій sin та cos є безліч всіх дійсних чисел. Звичайно, цей факт досить очевидний, але тим не менш підручник пишеться не для вчителя, а для учнів, а «міра очевидності», як відомо, у всіх різна. Тому не варто забувати про обгрунтування навіть очевидних фактів, адже це привчає дітей до такої необхідної при вивченні математики логічної чіткості й акуратності думки.
Що стосується області значень тригонометричний функцій, то ні в одному з підручників немає чіткого обгрунтування даної властивості. Всі «спроби» обгрунтування цієї властивості зводяться до розгляду подвійних нерівностей: -1 £ sin х £ 1 і -1 £ соs х £ 1, які виконуються для всіх значень х. Проте, звідси зовсім не випливає те, що в область значень даних функцій входять всі крапки відрізка [-1; 1]. ^*
При обгрунтуванні властивостей парності і непарності тригонометричних функцій доказ тотожності sin (-х) =-sin (х) зводиться в основному до симетричності точок х і-х, яка також чітко не обгрунтована ні в одному з підручників. *
Монотонність ж тригонометричних функцій у всіх підручниках, за винятком [11], ілюструється за допомогою числової окружності. У підручнику [11] в силу того, що тригонометричні перетворення вивчаються перед тригонометричними функціями, монотонність функції у = sin (х) обгрунтована більш доказово, але все-таки деякі недоліки є. ^*
При вивченні властивості періодичності автори підручників [16], [2] і [11] дають таке визначення періодичності: «Функція f (x) називається періодичною, якщо існує таке число Т ¹ 0, що для будь-якого х з області визначення цієї функції виконується рівність f ( x-T) = f (x) = f (x + T). Число Т називається періодом функції f (x) ». У підручнику [3] рівність f (x-T) = f (x) = f (x + T) замінюється менш сильним рівністю f (x) = f (x + T), але зате знімаються обмеження на х. Тут х може бути будь-яким, а не тільки з області визначення. Зауважимо, що для функцій, областю визначення яких є все безліч R, ці два визначення будуть не тільки рівносильними, але і однаково коректними (див. [23] (стор. 108 № 145)). Але якщо застосовувати друге визначення до функції у = sinÖх, то в учнів може викликати труднощі порівняння значень даної функції в точках, наприклад,-p і p. Тому більш доцільним є використання першого визначення.
Проаналізуємо тепер системи завдань, спрямовані на відпрацювання умінь і навичок, які передбачені програмою за темою «Тригонометричні функції».
Система завдань у підручнику [3] містить в собі завдання на переклад з градусної міри в радіанне і навпаки, побудова кутів на одиничному колі, рух точки по колу, визначення тригонометричних функцій, дослідження та побудова графіків комбінацій тригонометричних функцій, знаходження значень тригонометричних функцій у деяких точках і їх знаків на деяких проміжках, знаходження похідних комбінацій тригонометричних функцій та обчислення наближених значень тригонометричних функцій.
У підручниках [2] і [11] роботі з властивостями комбінацій тригонометричних функцій приділяється вже набагато більшу увагу, ніж у підручнику [3], присутні завдання теоретичного плану, наприклад, «Доведіть, що якщо функція y = f (x) є періодичною, то й y = k * f (x) + b теж періодична », не залишаються без практичного відпрацювання та гармонійні коливання. У підручнику [2] є ще одна особливість: тут підібрано велику кількість завдань з обмеженням на змінну х, що допомагає учням в усвідомленні того факту, що «не всякі властивості функції, що розглядається на множині всіх дійсних чисел, зберігаються при накладенні обмежень на область визначення цієї функції ».
Найбільш ж повноцінної з усіх є система завдань у підручнику [16]. Тут, крім усього, уже перерахованого вище, велику увагу приділено відпрацюванню навиків і умінь роботи з числовою окружністю, присутні завдання для роботи з тригонометричними функціями як числового, так і кутового аргументів, використовуються функції, задані кусково, відпрацьовуються вміння розв'язувати рівняння, що містять тригонометричні функції, графічним методом.
Взагалі, говорячи про систему завдань цих підручників, слід відзначити деякі недоліки підручника [3]. В ідеалі, рішення кожної наступної завдання має не тільки спиратися на попередню, але й містити якісь додаткові ідеї. Тут же не скрізь чітко простежується система, та й за рівнем складності завдання не настільки вже різноманітні.
Зате наявність окремого задачника до підручника [16] дозволило дати в ньому повноцінну за обсягом систему вправ, достатню для роботи в класі, для домашніх завдань і повторення. Усі завдання диференційовані по блоках, окремо виділені навіть усні і полуустние вправи, що дає можливість більш раціонального використання навчального часу.
Таким чином, найбільш вдалим навчальним посібником у плані вивчення теми «Тригонометричні функції» в курсі алгебри і початки аналізу є навчально-методичний комплект під редакцією А.Г. Мордкович, хоча залишати без уваги інші підручники теж не варто.
§ 3. Методика викладання теми «Тригонометричні функції» в курсі алгебри і початків аналізу
У вивченні тригонометричних функцій у школі можна виділити два основних етапи:
ü Початковий ознайомлення з тригонометричними функціями кутового аргументу в курсі геометрії (8-9 клас).
ü Систематизація і розширення знань про тригонометричні функції в курсі алгебри і початків аналізу (10-11 клас).
На першому етапі не доводиться і не уточнюється, що досліджувані залежності є функціями. Зміна синуса і косинуса при зміні кута доводяться на основі властивостей похилій. Ці поняття досить абстрактні для курсу геометрії, тому засвоюються досить погано. Але ще більші труднощі викликає перехід до аргументу, більшого 90 ^0. Адже ми визначали тригонометричні функції через ставлення сторін прямокутного трикутника, а, як відомо, в прямокутному трикутнику не може бути кута з градусної мірою, більшою 90 ^0. Для пояснення цього факту вже на цьому етапі доводиться розглядати коло, і це є своєрідною пропедевтичної роботою для введення тригонометричних функцій числового аргументу за допомогою окружності в курсі алгебри і початків аналізу.
На другому етапі відбувається перехід від кутового аргументу до числового. З самого початку курсу ми повинні розглядати тригонометричні функції кутів будь-якої величини - значить попередньо потрібно познайомити учнів з кутом як з величиною, здатної зміняться від - ¥ до + ¥. У курсі геометрії таке поняття не фігурувало, отже, це необхідно заповнити на другому етапі. Таким чином, виникає необхідність введення числової окружності, роботу з якою доцільно провести також на другому етапі.
В якості пропедевтичної роботи для вивчення моделі числової окружності бажано розглянути геометричні задачі на знаходження довжини дуг чверті кола даного радіуса, її третини і половини. Узагальнюючи отримані результати, необхідно підвести учнів до того факту, що для подальшої роботи вигідніше вибирати окружності саме одиничного, а не довільного радіуса.
У процесі роботи з числовою окружністю в учнів повинні бути сформовані такі вміння:
- Знаходити на числовій окружності точки, відповідні заданим числах, вираженим в долях числа p і вираженим не в частках числа p;
- Складати аналітичні записи для дуг числової кола;
- Визначати приналежність точки будь-якої координатної чверті;
- Працювати одночасно в двох системах координат - в криволінійній і прямокутно-декартовій і здійснювати перехід від однієї системи координат до іншої;
- Знаходити координати точок числової окружності і відшукувати на числовій окружності точки за заданими координатами;
Для цього доцільно розглядати завдання наступних типів:
1) Знайти на числовій окружності точки p / 2, 9p, 26p / 3,-5p / 4,-7p / 6 ... ..
2) Знайти на числовій окружності точки 1, 2, -7, 4.5, -31 ....
3) Визначити, яким чвертям належать точки 21p / 4,-37p / 6, 10, -95.
4) Відзначити на числовий окружності точки t, задовольняють нерівностям: а) p / 6 +2 pк £ t £ 2p / 3 +2 pк, кÎZ
б)-p / 3 +2 pк £ t £ 3p / 4 +2 pк, кÎZ
5) Знайти декартові координати точок, відповідних числах p / 4,-3p / 2, 23p / 6,-13p / 3 ... ..
6) Знайти позитивні і негативні числа, яким відповідають точки з координатами (1 / 2; Ö3 / 2), (-Ö2 / 2; Ö2 / 2); (Ö3 / 2; -1 / 2), (-1,0 ) ....
7) Знайти на числовій окружності точки з ординатами (абсциссами) рівними-Ö3 / 2, 1 / 2,-Ö2 / 2, 0, -1, абсциси (ординати) яких негативні, і записати, яких числах вони відповідають.
8) Знайти на числовій окружності точки з ординатою (абсцисою)>-Ö2 / 2 і записати, яких числах вони відповідають.
У процесі роботи з числовою окружністю слід звернути увагу на наступні моменти.
В арсеналі вчителя повинно знаходитися як мінімум два макети з числовими колами. На першому з них відлік ведеться в позитивному напрямку з зазначенням розташування точок 0, p / 6, p / 4, p / 3, p / 2, 2p / 3 .... , На другому - в негативному із зазначенням точок -0,-p / 6,-p / 4,-p / 3,-p / 2,-2p / 3 ...., Причому другий макет бажано вивісити після того, як учні дадуть відповідь або спробують відповісти на питання: «Що буде, якщо точка буде рухатися не позитивному, а в негативному напрямку?».
Ця мотиваційна завдання дозволяє ще раз провести зв'язок між числової окружністю і числовій прямій. Адже на числовій прямій можна було відкладати не тільки позитивні, але і негативні значення, причому як завгодно великі. На числової окружності можна робити те ж саме, але слід враховувати той факт, що на пряме відповідність між точками і числами взаємно-однозначна, а на окружності у кожної точки нескінченно багато імен, що відрізняються один від одного на 2pк, де кÎZ.
Це головна відмінність учні повинні чітко розуміти і усвідомлювати. Для цього числову окружність можна порівняти з колесом, а числову пряму з нескінченної ниткою, на якій відзначені крапки. Намотуючи нитку на колесо, попередньо поєднавши відповідні нульові точки, можна помітити, що точки, які відрізняються на 2p, потраплять в один і теж місце на колесі, завдяки тому, що довжина числової окружності одиничного радіуса становить саме 2p.
Найбільше проблем, пов'язаних з неоднозначністю відповідності між точками і числами на колі виникає при вирішенні завдань такого типу: «Знайти на числовій окружності точки з ординатою (абсцисою) більшої Ö3 / 2 і записати, яких числах вони відповідають».
Такі нерівності, що характеризують дугу, рекомендується на початковому етапі становитиме в два кроки. На першому кроці скласти так зване «ядро» аналітичної запису p / 3 <t <2p / 3, і лише на другому скласти загальну запис p / 3 +2 pk <t <2p / 3 +2 pk, де до Î Z.
З цього приводу насмілюся не погодитися з статтею [10], в якій автор пише, що уточнення «де до Î Z» можна опускати, записуючи його тільки в парадних випадках - на контрольних чи екзаменаційних роботах. У більшості випадків це дійсно можна робити абсолютно безболісно, ​​але як бути, якщо при відборі коренів рівняння або нерівності, або при накладенні певних обмежень на функцію, параметр до зможе приймати не все а, наприклад, тільки позитивні або тільки парні значення?
Учні, які звикли писати +2 pk, не замислюючись над тим, які значення може приймати параметр до, і в цьому випадку напишуть +2 pk, що автоматично зробить їх рішення невірним.
Це призведе і до нерозуміння того факту, що, наприклад, безлічі «4pk, де до Î Z» і «2pk, де до Î 2Z» збігаються. Це, у свою чергу, може породити труднощі при розгляді функцій з періодом, рівним 4p. Але ж таких функцій приділяється чимало часу при вивченні теми «Тригонометричні функції».
Таким чином, не можна залишати недопрацьованими ніякі, навіть найменші деталі, адже незначні на вигляд недоробки, що виникають при вивченні числової кола, в процесі вивчення самих тригонометричних функцій можуть стати причиною виникнення великих прогалин в знаннях.
Тепер, коли ми навчилися працювати з числовою окружністю як самостійним об'єктом, можна приступати до введення самих тригонометричних функцій.
Не варто забувати, що визначення тригонометричних функцій за допомогою числової кола погано вкладаються у свідомості хлопців з однієї простої причини: на першому етапі визначення були дані в геометричній трактуванні - як відносини сторін прямокутного трикутника.
З психології відомо: «якщо яке-небудь важливе поняття вводиться в перший раз, то асоціації, супутні йому, врізаються в свідомість учня надзвичайно міцно. Наступні враження бувають слабкіші і не можуть стерти того обличия, в якому це поняття з'явилося вперше ». [5]
Незважаючи на те, що ми вже використали окружність для введення «нових» визначень синуса і косинуса на етапі розширення множини значень, прийнятих кутом необхідно ще раз провести взаємозв'язок між прямокутним трикутником і числовий колом.
Нагадаємо, що в шкільних підручниках цим фактом чомусь не приділяється належної уваги (див. розділ «Аналіз викладу теми« Тригонометричні функції »в різних шкільних підручниках»), тому вчителю варто звернути увагу на те, щоб при введенні тригонометричних функцій на цьому етапі були озвучені наступні моменти.
Розглянемо числову окружність одиничного радіуса, розташовану в прямокутно декартових координатах. Рис.1
У позитивному напрямку від осі ОХ відкладемо кут a такий, що 0 <a <90 ^0. Позначимо отриману на колі точку як Р _a. Опустимо з точки Р _a перпендикуляр на вісь ОХ, отримаємо точку М. Розглянемо вийшов прямокутний трикутник ОМР _a. Sina з визначення дорівнює відношенню МР _a / ОР _a, але радіус окружності ОР _a дорівнює одиниці, отже, Sina = МР _a. Аналогічним чином, cosa = ОМ. Зауважимо, що довжина ОМ - це абсциса точки Р _a в прямокутно-декартовій системі координат, а довжина МР _a - її ордината. Таким чином, синус і косинус кута a визначаються через ординату і абсцису точки Р _a, що є більш зручним при роботі в прямокутно-декартовій системі координат.
Працюючи з числовою окружністю, ми вже засвоїли той факт, що так як довжина дуги одиничному колі легко виражається через центральний кут, на неї спирається, то точку Р _a, можна побудувати й іншим способом - відкладаючи дугу заданої довжини. А так як довжина дуги - завжди дійсне число, значить, від тригонометричних функцій кутового аргументу легко можна перейти до тригонометричним функціям числового аргументу.
Зараз повернемося до накладених на кут a обмеженням. Кут a належить проміжку від ⁰ 0 до 90 ^0, а значить і довжина дуги лежить між нулем і p / 2. Використовуючи все ту ж геометричну інтерпретацію, легко показати, що ці визначення можна поширити і на будь-які кути і числа.
Поняття тангенса і котангенс можна вводити двояко: як відношення синуса до косинусу (косинуса до синусу) і як ординату (абсцису) точки перетину дотичної до кола в точці (1, 0) ((0; 1)) і прямий ОР _a.
Рис.2
Взагалі кажучи, визначивши функції синус і косинус, ми вже не потребуємо числової кола як засіб для введення понять тангенса і котангенс. Але раз вже ми взялися працювати з цією моделлю, то непогано б показати, як визначити функції тангенс і котангенс, використовуючи тільки їх геометричне визначення (зауважимо, що вирази «тангенс кута a - це відношення синуса a до косинусу a» і «котангенс кута a - це відношення косинуса a до синусу a »не є визначеннями - це вже властивості).
Використання другого підходу допоможе нам не тільки на етапі вивчення самих тригонометричних функцій, але і на етапі вирішення тригонометричних рівнянь і нерівностей. Тому доцільніше використовувати саме другий підхід, а визначення тангенса a як відношення синуса a до косинусу a розглядати як властивість.
Отже, ми ввели поняття всіх тригонометричних функцій (які передбачені програмою). Але перед тим, як перейти до їх дослідження і побудови графіків, необхідно простежити, щоб в учнів були відпрацьовані наступні навички:
ü Знаходження значень всіх тригонометричних функцій в «головних» точках.
(Для кращого запам'ятовування значень тригонометричних функцій можна використовувати наступну допоміжну таблицю:

a	0	p / 6	p / 4	p / 3	p / 2
sina
cosa

Тут значення синуса і косинуса представлені в найбільш зручною для сприйняття і запам'ятовування формі.)
ü Рішення найпростіших тригонометричних рівнянь і нерівностей.
ü Визначення знаків тригонометричних функцій у заданих точках.
ü Спрощення виразів з використанням основного тригонометричного тотожності і формул приведення.
ü Знаходження по заданому значенню однієї з тригонометричних функцій значень всіх інших тригонометричних функцій.
Купуючи вищеперелічені навички, учні тим самим отримують арсенал засобів, достатній для більш грунтовного дослідження та побудови графіків тригонометричних функцій.
Робота з побудови графіків і дослідження функцій може проводитися двома способами:
1) Спочатку по точках будується графік, а потім за допомогою графічної інтерпретації досліджуються всі властивості функції
2) Побудова графіка відбувається після дослідження функції, а наочні уявлення про властивості учні отримують, аналізуючи поведінку функцій на числовій окружності.
Найбільш доцільно застосовувати другий підхід, оскільки при цьому підході, по-перше, всі властивості тригонометричних функцій ілюструються на обох моделях (на числовій окружності і на графіку), а, по-друге, це є хорошою підготовчою роботою для подальшого навчання дослідженню функцій і побудови графіків за допомогою похідної.
Незважаючи на те, що аналізуючи поведінку функції на числовій кола, ми всього лише ілюструємо деяка властивість, не варто забувати, що іноді «доказ» за допомогою кола є єдиним доступним для школярів способом обгрунтування деяких фактів. Хоча деякі випадки все-таки вимагають більш чіткого обгрунтування сформульованих тверджень.
Зупинимося докладніше на дослідженні тригонометричних функцій.
1) Область визначення.
«Областю визначення функції дійсної змінної називається безліч дійсних значень аргументу, при яких функція приймає дійсні ж значення».
Область визначення функцій у = sin x і в = соs x - безліч всіх дійсних чисел. Цей факт досить легко обгрунтовується за допомогою кола: кожному дійсному числу х відповідає крапка на окружності Р _х. Кожній точці Р _х відповідають її абсциса і ордината, кожна з них - це дійсне число. Значить, значення функцій у = sin x і в = соs x для будь-якого дійсного х будуть дійсними числами.
У функцій у = tg х і у = сtg х область визначення має деякі обмеження. Обгрунтувати це властивість можна виходячи з того факту, що
tg х = sin x / соs x. Тоді областю визначення функції у = tg х будуть всі дійсні числа, за винятком нулів функції у = соs x. Цей же самий факт можна обгрунтувати і з допомогою окружності:
рис.3
будь-якому дійсному числу х відповідає крапка на окружності Р _х. Якщо х ¹ p / 2 + pк, кÎZ, то ця точка має координати, відмінні від (0; 1) і (0; -1), тоді через точки О і Р _{х .} можна провести пряму, яка перетинає дотичну до кола, що проходить через точку (1; 0), в деякій точці Т _х. Ця точка має ординату, яка є дійсним числом. Тобто в таких точках функція у = tg х буде приймати дійсні значення. Якщо ж х = p / 2 + pк, кÎZ, то пряма ОР _х. Буде збігатися з віссю ОУ, а, отже, буде паралельна дотичної до кола. У цьому випадку ми не зможемо знайти точку Т _х і її ординату, а, значить, в цих точках функція у = tg х буде не визначена. Таким чином, робимо висновок, що Д _{tg x} = R / {p / 2 + pк}, кÎZ. Для функції у = сtg х міркування аналогічні, а, значить, учні цілком можуть провести їх самостійно.
Область визначення як властивість функцій є до часу вивчення тригонометрії вже досить добре вивченим, а процес її знаходження вже перейшло з розряду умінь в розряд навичок. Проте при вивченні тригонометричних функцій варто ще раз звернути увагу на відшукання області визначення в особливості функцій типу: у = сtg х * tg х; у = (sin х * соs х) / сtg х, а також кусково-заданих функцій
сtg (х + p / 2), х <p sin х, х <-p / 2
у = у =
1 / (sin х +1), х ³ p tg х / (х-7) ³ 2p
2) Область значень функції.
«Областю значень функції f називається множина, яка складається з усіх чисел f (х), таких, що х належить області визначення функції f». Чіткого обгрунтування того факту, що областю значень функцій у = sin х і у = соs х є відрізок [-1; 1] ні в одному з діючих шкільних підручників не наводиться, а замість цього розглядаються нерівності -1 £ sin х £ 1 і - 1 £ соs х £ 1, які виконуються для всіх значень х. Проте, звідси зовсім не випливає те, що в область значень даних функцій входять всі крапки відрізка [-1; 1]. На цей момент варто звернути особливу увагу, щоб розмежувати в умах учнів два абсолютно різних властивості: обмеженість і область значень. Розглянемо приклад.
Рис.4
Функція f (x) в даному випадку є обмеженою (виконуються нерівності -1 £ f (x) £ 1), але відрізок [-1; 1] не є множиною значень даної функції. Тому необхідно все-таки показати той факт, що будь-яке число з відрізка [-1; 1] є значенням функції у = sin х (у = соs х) в деякій точці. Показати це можна хоча б таким чином.
Візьмемо довільне дійсне число х ₁ таке, що
-1 £ х ₁ £ 1. Розглянемо відрізок [-1; 1] належить осі ОХ і візьмемо точку цього відрізка відповідну х _1, відновимо з неї перпендикуляр до осі ОХ. Він перетне одиничну окружність в деякій точці Р _х1 Зауважимо, що х ₁ - це абсциса точки Р _х1, а, значить, число х ₁ є значенням функції у = соs х для точки Р _х1. (Аналогічно для функції у = sin х.)
рис.5
Після вивчення області значень доцільно розглянути властивість обмеженості функцій у = соs х і у = sin х і провести взаємозв'язок між цими властивостями не тільки для тригонометричних, але і для інших класів функцій.
3) Парність і непарність.
При вивченні властивостей парності і непарності тригонометричних функцій необхідно чітко обгрунтувати той факт, що sin (-х) =-sin (х), a cos (-х) = cos (х) для будь-яких дійсних значень х. Найчастіше обгрунтування цього факту зводиться до симетричності точок кола, відповідних числах або кутках t і - t в залежності від того, на якому етапі відбувається обгрунтування. «Якщо числа t відповідає точка М числової кола, то числа-t відповідає точка Р, симетрична точці М щодо горизонтального діаметра кола (тобто щодо осі абсцис). У таких точок одна і та ж абсциса, а ординати рівні за модулем, але відрізняються знаком. Отже, sin (-t) =-sin (t), a cos (-t) = cos (t) »(див. [16]).
Зауважимо, що факт симетричності точок t і - t не є очевидним, а значить, сам потребує обгрунтування, провести яке можна, наприклад, розглянувши трикутник МОР. Позначимо точку перетину відрізка МР з віссю ОХ за В. Тоді трикутник МОР рівнобедрений (ОМ = ОР як радіуси одному колі), промінь ОВ є бісектрисою кута МОР, а, отже, і висотою і медіаною трикутника МОР. Тоді точки М і Р дійсно будуть симетричними відносно осі ОХ за визначенням. Це і дозволяє зробити висновок про значення синуса і косинуса протилежних кутів. Після цього обгрунтування рівностей tg (-t) =- tg (t) і ctg (-t) =-ctg (t) не складе ніякої труднощі.
Далі слід ще раз звернути увагу учнів на наступний факт. У визначеннях парних і непарних функцій у явному вигляді не зазначено те, що такі функції мають область визначення, симетричну відносно початку координат, але цей факт часто виявляється корисним при вирішенні завдань типу «Доведіть, що функція у = sin Öx, не є ні парною, ні непарної ». Використовуючи цей факт і визначивши, що область визначення даної функції не є симетричною щодо початку координат, відразу можна зробити висновок про те, що функція у = sinÖx, дійсно, не є ні парною, ні непарною, не розглядаючи відповідних рівнянь.
Так само корисно визначати парність функцій, заданих кусково. Наприклад, визначити чи є такі функції парними або непарними:
Sin (x), якщо х ³ 0 соs (x / 2), якщо х ³ p
f (x) = f (x) = p ² + х ^2, якщо-p <х <p
Соs (x), якщо х <0 соs (x / 2), якщо х £ p
4) Монотонність.
При розгляді властивості монотонності тригонометричних функцій у більшості діючих підручників (крім [11]) не наводиться чіткого докази зростання функцій y = sin x і y = соs x на проміжках [-p / 2; p / 2] і [-p; 0] відповідно, а обгрунтування цих фактів проводиться з опорою на числову окружність: «При русі точки по четвертій і по першій чвертям окружності в позитивному напрямі (від-p / 2 до p / 2) її ордината поступово збільшується (від -1 до 1), значить функція y = sin x є зростаючою на цьому проміжку »(див. [16]). Більш строгий доказ цього факту наводиться з опорою на формулу різниці синусів і застосовується в разі, коли тригонометричні перетворення вивчаються раніше тригонометричних функцій, тобто коли формула різниці синусів до моменту дослідження тригонометричних функцій є вже відомою (див. [11]). «Нехай
- P / 2 £ х ₁ <х ₂ £ p / 2,
застосовуючи формулу різниці синусів знаходимо
                           sin х ₂ - sin х ₁ = 2 з s [(х ₁ + х ₂₎ / _2] * sin [(х ₂ - х ₁₎ / 2].
З нерівності - p / 2 £ х ₁ <х ₂ £ p / 2 випливає, що
- P / 2 <(х ₁ + х ₂₎ / ₂ <p / 2 і 0 <(х ₂ - х ₁₎ / 2 <p / 2,
тому з s (х ₁ + х ₂₎ / _2> 0 і sin (х _{2-х 1)} / 2> 0, а отже, sin х ₂ - sin х _1> 0 тобто sin х _2> sin х ₁ » (див. [11]). При цьому вчителю слід звернути увагу на пояснення того, як з нерівності - p / 2 £ х ₁ <х ₂ £ p / 2 виходять нерівності - p / 2 <(х ₁ + х ₂₎ / ₂ <p / 2 і 0 < (х _{2-х 1)} / 2 <p / 2.
Це доцільно проілюструвати, зобразивши відрізок [-p / 2; p / 2]. Зауважимо, що (х ₁ + х ₂₎ / ₂ не що інше, як середнє арифметичне чисел х ₁ і х _2, а, отже, належить відрізку [х _1; х _2], який, у свою чергу, цілком лежить на відрізку [-p / 2; p / 2], тобто перше нерівність має місце. Набагато більшу складність викликає обгрунтування другого нерівності. Зауважимо, що модуль різниці | х _{2-х 1} | - це відстань між точками х ₁ і х _2, а так як обидві точки належать одному відрізку [-p / 2; p / 2], то відстань між ними не може перевищувати довжини цього відрізка, тобто p. З іншого боку модуль - функція неотрицательная, більше того, в даному випадку позитивна, тому що х ₁ і х ₂ різні. Маємо 0 <| х _{2-х 1} | £ p, але так як х ₁ <х _2, то | х _{2-х 1} | = (х _{2-х 1).} Розділивши всі частини нерівності на 2, отримаємо доказуване нерівність.
Доказ зростання функції y = tg x на інтервалі (-p / 2; p / 2), найдоцільніше проводити аналогічним чином, використовуючи формулу різниці тангенсів (см [11]). У випадку ж, коли викладання ведеться за підручниками, в яких тригонометричні перетворення вивчаються після функцій, тобто формула різниці тангенсів до моменту дослідження функцій ще не відома, доказ краще проводити, розбивши інтервал (-p / 2; p / 2) на два полуінтервала [0; p / 2) і (-p / 2; 0]. Обгрунтування зростання функції y = tg x на полуінтервале [0; p / 2) не складно і приведено у всіх підручниках, а доказ монотонності на другому інтервалі автори підручників [ 16] та [2] чомусь вважають складним і опускають зовсім. Тому вчителю слід звернутися до підручника [3], в якому дано досить суворе, але разом з тим нескладне доказ:
Нехай - p / 2 <х ₁ <х ₂ £ 0, тоді 0 £-х ₂ <-х ₁ <p / 2. Тепер числа-х ₁ і-х ₂ лежать в першій чверті, в якій тангенс зростає, отже tg (-х ₂₎ <tg (-х _1). Так як y = tg x непарна функція, то
                                 tg (-х ₂₎ <tg (-х ₁₎ Û - tg (х ₂₎ <- tg (х _1),
а отже tg (х ₁₎ <tg (х _2). Що й означає, що функція y = tg x зростає на проміжку (-p / 2; 0], а значить і на інтервалі (-p / 2; p / 2). Доказ монотонності функції y = сtg x доцільно запропонувати як завдання для самостійного виконання.
5) Нулі функції і проміжки знакопостоянства.
Знаходження нулів функцій і проміжків знакопостоянства зводиться до вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь і нерівностей, які учні розглядали при вивченні числової окружності і не викликає ускладнень.
6) Періодичність.
Вивченню цієї властивості необхідно приділити особливу увагу, оскільки учні вперше стикаються з періодичними функціями. Для відпрацювання поняття періодичності функції доцільно використовувати такі вправи.
1. На малюнку зображена частина графіка періодичної функції на відрізку [-2, 2], довжина якого дорівнює періоду функції. Побудуйте графік функції на відрізках [-6; -2], [2, 3].
2. Побудуйте графік періодичної функції y = f (x), з періодом, що дорівнює 2, якщо відомо, що f (x) = х ² / ² на відрізку [-1; 1].
3. Чи є число 16p періодом функції y = sin x? А її основним періодом?
4. Знайти основні періоди функцій y = sin (6x), y = соs (x / 2), y = sin (кx).
5. Доведіть, що якщо функція y = f (x) є періодичною, то й y = k * f (x) + b теж періодична.
6. Нехай функція f періодична, Т ₁ і Т ₂ - її періоди. Доведіть, що будь-яке число виду nТ ₁ + mТ2, де n, mÎN, також є періодом функції f.
7. Доведіть, що функції f (x) = sin x ² і cos (x) * cos Öx не є періодичними.
8. Доведіть, що зростаюча функція не може бути періодичною. І т.п.
Слід звернути увагу учнів на той факт, що періодична функція має нескінченну безліч періодів, серед яких намагаються виділити, якщо це можливо, найменший позитивний період, який називають основним.
Після цього всі властивості тригонометричних функцій бажано проілюструвати на графіку і звести в одну таблицю.

Властивості	у = sin (x)	у = cos (x)	у = tg (x)	y = ctg (x)
Область визначення
Область значень
Нулі функції
...

Для подальшої відпрацювання навичок по дослідженню тригонометричних функцій і побудови їх графіків використовують гармонійні коливання, які мають вигляд y = Asin (wt + a) і y = Acos (wt + a). Основною метою запровадження гармонійних коливань є наочна демонстрація того, як змінюються властивості функцій залежно від значення коефіцієнтів A, w та a. При цьому доцільно використовувати завдання виду:

1.По графіком функцій визначте задаючу її формулу:
Рис.6

2. Якими властивостями володіють дані функції на відрізку [-p / 2; p / 2], а на відрізку [0; p]?

	Зростає	Має рівно один корінь	Пробігає вся безліч значень	Зменшується	Не міняє знак
Y = cos (x)
Y = cos (x / 2)
Y = 3cos (2x)
Y = cos (x + p / 4)
Y = 2cos (p/2-x)

Якими властивостями володіють дані функції на даних проміжках?

	[-P / 2; p / 2]	[0; p]	[-2p; 0]	[-3 P / 2; - p]	[-P; p]
Y = cos (x)
Y = cos (2x)
Y = 2cos (x / 2)
Y = cos (x + p / 2)
Y = 3cos (p/4-x)

Після того, як ми в достатній мірі добре навчилися оперувати властивостями тригонометричних функцій, можна переходити до вирішення тригонометричних рівнянь і до тригонометричним перетворенням. Але не варто центр ваги при вивченні тригонометричних функцій зміщувати в бік алгебри, тобто не потрібно висувати на перше місце вміння, пов'язані з виконанням тригонометричних перетворень. Ці вміння, безумовно, важливі і розвивають в учнів комбінаторні, логічні та алгоритмічні навички, проте головне у вивченні тригонометричних функцій йде при цьому в тінь. Таким чином, не слід забувати, що основне завдання вчителя математики - все-таки розвиток розумових здібностей дитини.
§ 4 Дослідне викладання.
Дослідне викладання здійснювалося мною під час проходження педагогічної практики на випускному курсі. Дослідно-експериментальною базою був 11б клас школи № 10 міста Кірова. У цей час мною було проведено кілька уроків з теми «Тригонометричні функції».
Так як викладання алгебри і початків аналізу в даному класі велося за підручником [2], тому до моменту вивчення тригонометричних функцій учні вже вміли вирішувати тригонометричні рівняння і нерівності, а також виконувати тригонометричні перетворення (див. § 2). Незважаючи на це, в учнів до цих пір виникали проблеми при роботі з тригонометричної колом. Багато хто забув як знайти точку на числовій окружності, яка відповідає деякому числу (особливо не висловленим у частках числа p), або знайти числа, які відповідають точці з заданими координатами. Це можна пояснити, на мій погляд, кількома причинами. Перша - недостатня робота з числовою окружністю на початковому етапі вивчення тригонометрії в курсі алгебри і початків аналізу. Друга - досить великий часовий розрив між введенням тригонометричної кола та вивченням тригонометричних функцій [1]. Крім того, якщо вивчення тригонометричних рівнянь відбувається після вивчення тригонометричних перетворень, то часто рішення перших просто зводиться до «метушні» з другими, а робота з тригонометричної окружністю як з самостійним об'єктом відходить на другий план. Тому було прийнято рішення - провести урок повторення по даній темі.
Урок № 1. «Числова окружність на координатній площині»
Освітні цілі уроку:
- Узагальнити наявні в учнів знання про числовий окружності як про самостійне об'єкт вивчення.
- Згадати основні принципи роботи в двох системах координат - в криволінійній і прямокутної декартової.
- Повторити властивості синуса і косинуса, формули приведення.
Хід основної частини уроку.
Даний урок був побудований у формі бесіди вчителя й учнів, у процесі якої були озвучені відповіді на наступні питання:
Що таке коло? А її дуга?
Як знайти довжину дуги кола?
Що таке одиничне коло? Чому зручніше використовувати саме її?
Що таке числова коло?
Як знайти на числовій окружності точки, відповідні даними числами?
Чим відрізняється побудова точки на числовій прямій і на числовий кола?
Як скласти аналітичну запис дуги числової кола?
Як розташовується числова окружність на координатній площині?
Як знайти декартові координати точки числової кола?
Як визначити синус і косинус (кута і числа) за допомогою координат?
Які властивості синуса і косинуса добре ілюструються на числовій кола?
Як проілюструвати основне тригонометрическое тотожність за допомогою числової кола? А формули приведення?
В якості ілюстрації відповідей на вищевикладені питання були розглянуті рішення наступних вправ.
1) На одиничному колі відзначені точки А (1; 0), В (0; 1), С (-1; 0) і Д (0; -1). Друга чверть розділена навпіл точкою М, а третя - на три рівні частини точками Р і К. Чому рівні довжини дуг АМ, ВК, ДС, ВР, СВ, ВС?
2) Знайдіть на числовій окружності точку, яка відповідає заданому числу а, якщо а = π, π-/ 2, π / 3,-5π, 25π / 4, 1, -5, 13.
3) Знайдіть декартові координати наступних точок числової окружності: М (π / 4), З (-3π / 2), А (23π / 6), В (-31π / 4).
4) На числової окружності вкажіть точку М, координати якої задовольняють даним умовам, і знайдіть всі числа, яким відповідає дана точка: а) у =- 1 / 2, х <0 б) х =- Ö3 / 2, у> 0
5) Знайдіть на числовій окружності точки з абсцисою або ординатою, що задовольняє заданому нерівності і запишіть (за допомогою подвійного нерівності), яких числах t вони відповідають. а) х <1 / 2 б) х ³-Ö3 / 2 в) у> Ö2 / 2 г) у £ 0.
6) Обчисліть синус t і косинус t, якщо t = 0, π / 2,-π / 4,-5π / 3, 23π / 6.
7) Визначте знак числа а) sin (4π / 7) б) cos (-3π / 8) в) sin (-12) г) cos5 д) sin (-14π / 9) * cos (π / 8).
8) Порівняйте: а) sin 2 і cos 2 б) sin 3 та sin (-3) в) cos 6 і sin 1.
9) Обчисліть: cos (π + a) * cos (-a-π / 2)
(Sin (-a) * sin (π/2-a))
Короткий аналіз уроку.
Незважаючи на те, що відповіді на багато питань були відомі учням, активність виявляли не все. Багато хто був невпевнені у правильності своїх думок, тому деяких учнів доводилося запитувати поіменно. Тим не менше, до кінця уроку активність зросла, та й кількість правильних відповідей теж збільшилася. Результати невеликий перевірочної роботи, проведеної на наступному уроці говорять самі за себе: з 23 учнів, які були присутні на уроці, 18 отримали 4 і 5. Тому я вважаю, що дане заняття пройшло досить непогано.
Урок № 2. Функція у = sin х, її властивості і графік.
Освітні цілі уроку:
1) Вивчити властивості функції у = sin х.
2) Сформувати в учнів уміння зображати графік цієї функції і за графіком знаходити область визначення і область значень, проміжки зростання та спадання, нулі, найбільше і найменше значення.
Форма заняття.
Так як багато властивостей синуса учням відомі, то краще за все в якості форми даного уроку обрати бесіду.
Зміст основної частини уроку.
1) Ввести функцію у = sin х. Обгрунтувати, що це дійсно функція.
2) Встановити її область визначення і область значень. Обгрунтувати.
(Докладніше про обгрунтування всіх властивостей див § 3. «Методика викладання теми:« Тригонометричні функції »в курсі алгебри і початків аналізу»)
3) Сформулювати та обгрунтувати з допомогою тригонометричної окружності такі властивості функції у = sinх як проміжки зростання та спадання, нулі, непарність, обмеженість, а також найбільше і найменше значення.
4) Скориставшись даними властивостями та рівністю sin (x +2 p) = sin (x), побудувати графік і повідомити, що він називається синусоїдою.
5) Ще раз проілюструвати всі властивості даної функції, але вже за допомогою графіка.
Практична частина.
1) Не виконуючи побудови, дайте відповідь на питання, чи належить графіку функції у = sin х точка з координатами: а) (-π / 2; 1) б) (π / 2; 1 / 2) в) (π; 1) г) (0; 0)?
2) Використовуючи графік функції f (х), де f (х) = sin х, знайдіть: а) f (π) б) f (3π / 2) в) f (-π / 2) г) f (23π) д) f (-15π / 2).
3) Позначте на графіку функції у = sin х і назвіть всі точки, в яких значення функції одно а) Ѕ б)-Ö3 / 2 в) Ö2 / 2 г) -1 д) 10.
4) Знайдіть всі значення змінної х і відзначте їх на числовій прямій, при яких функція у = sin х приймає значення: а) великі Ѕ б) менші Ö2 / 2 в) великі 0, але менші Ö3 / 2 г) менші -1, але великі -2.
5) Знайдіть найбільше та найменше значення функції у = sin х а) на відрізку [π / 4, 2π / 3]; б) на промені [π / 3, + ¥]; в) на інтервалі (-3π / 2,3 π / 4).
6) Порівняйте а) sin 0 і sin (-3), б) sin 2 і sin е; в) sin (-4) і sin 5; г) sin 8,3 і sin 9 д) sin 315 і sin 317 е ) sin (-630) та sin (-631).
Короткий аналіз уроку.
Урок пройшов добре. Хлопці працювали активно, тому що практично всі завдання вирішувалися фронтально та полуустно за винятком 4 в) і 6 г), д) і е). Цілі, поставлені на даний урок, були реалізовані. За результатами 7-хвилинної перевірочної роботи, яка проводилася на наступному уроці, можна зробити наступні висновки: 1. Учні навчилися будувати графік функції у = sin х. 2. Більшість з них, користуючись схемою аналізу, могли вільно перерахувати всі властивості цієї функції. Непогано вирішували завдання, подібні до тих, що були розібрані. Найбільше утруднення викликали завдання подібні 5 в) і 6 е) і д). Хоча, загалом, з роботою впоралися не погано.
Урок № 3. Функція у = sin х, її властивості і графік.
Освітні цілі уроку:
1) Сприяти формуванню навичок застосування властивостей функції у = sin х при дослідженні функцій, для яких вона є однією зі складових.
2) Навчити застосовувати відомі раніше правила перетворення графіків функцій до функції у = sin х.
3) Виробити в учнів навички вирішення деяких рівнянь, що містять синус, графічним способом.
Форма заняття.
Фронтальне колективне і самостійне рішення завдань.
Зміст основної частини уроку.
1) Побудуйте і прочитайте графік функції у = f (х), де
х ^2, якщо х <0,
f (х) =
sin х, якщо х ³ 0.
Обчисліть f (p), f (p / 3), f (-2), f (-p / 2), f (3,14).
2) Побудуйте графік функції у = f (х), де
х -2p, якщо х <0,
f (х) = sin х, якщо-2p <х <0,
Öх, якщо х ³ 0.
Для даної функції знайдіть область визначення, область значень, проміжки зростання та спадання, нулі і проміжки знакопостоянства.
3) (Для самостійно рішення з подальшою перевіркою.)
Побудуйте графік функції у = f (х), де
- (Х + P) ^2, якщо х <0,
f (х) = sin х, якщо-p <х <p,
(Х -P) ^2, якщо х ³ 0.
Запишіть всі відомі вам властивості даної функції.
4) Побудуйте графік функції у = sin (x + p / 4). За графіком визначте нулі даної функції і проміжки знакопостоянства.
5) Побудуйте графік функції у = sin (х-2p / 3) +2. За графіком визначте всі відомі вам властивості цієї функції.
6) Вирішіть графічно рівняння а) sin (х) = p + х б) sin (х) = 3х в) sin (х) + (x + p / ²⁾ 2 +1 = 0
7) (Для самостійно рішення з подальшою перевіркою)
а) sin (х +4 p / 3) -1 = (х-p) ² б)-sin (х-p / 6) +1,5 - ((х-4p / 6) ² +0,5) = 0
Короткий аналіз уроку.
На даному уроці учні навчилися досліджувати кусково-задані функції, що містять функцію у = sin х як одну зі своїх складових, навчилися застосовувати відомі раніше правила перетворення графіків функцій до функції у = sinх, а також графічно вирішувати деякі тригонометричні рівняння. Про це можна судити виходячи з результатів виконаної учнями домашньої роботи, а також щодо подальшого застосування отриманих умінь при вирішенні подібних завдань для функції у = соs х. Тому можна зробити висновок про те, що цілі даного уроку були реалізовані. Що стосується труднощів, то найбільші труднощі викликали завдання, пов'язані з перетворенням графіків. Часто учні плуталися в питанні - коли в який бік переносити графік. Але в цілому урок пройшов непогано.
Висновок.
Отже, прийнявши до уваги описані в першому параграфі загальні положення, що стосуються вивчення тригонометричних функцій, ми проаналізували найбільш поширені підручники з точки зору викладу даної теми (див. § 2) і узагальнили отримані результати в § 3. Використовуючи досвід практичного викладання, описаний в § 4 можна зробити наступні висновки:
1. Тригонометричні функції є найбільш зручним і наочний засобом для навчання учнів дослідженню функцій.
2. Викладання теми «Тригонометричні функції» вимагає ретельного підбору змісту, засобів і методів навчання, тобто розробки ефективної методики.
3. Вивчення тригонометричних функцій буде більш ефективним, в тому випадку коли:
ü перед введенням тригонометричних функцій проведена досить широка Пропедевтична робота з числовою колом;
ü числова окружність розглядається не тільки як самостійний об'єкт, але і як елемент декартової системи координат;
ü побудова графіків здійснюється після дослідження властивостей тригонометричних функцій, виходячи з аналізу поведінки функції на числовій кола;
ü кожна властивість функцій чітко обгрунтовано і всі вони зведені в систему.
4. Найбільш вдалим як з методичної, так і з змістовної точок зору є підручник [16].
Бібліографічний список:
1. Алексєєв, А. Тригонометричні підстановки [Текст] / Алєксєєв А., Курляндчик Л. / / Квант. - 1995. - № 2. -З. 40 - 42.
2. Алімов, Ш.А. Алгебра і початки аналізу 10-11 [Текст] / Ш.А. Алімов / / Підручник - Москва: Просвещение, 2001.
3. Башмаков, і початки аналізу 10-11 [Текст] / Башмаков / / Підручник - Москва: Просвещение, 1992.
4. Бескін, Н.М. Питання тригонометрії та її викладання [Текст] / Бескін Н.М. - Москва: Учпедгиз, 1950.
5. Гілемханов, Р.Г. Про викладання тригонометрії в 10 класі за курсом В [Текст] / Гілемханов Р.Г. / / Математика в школі. 2001 - № 6-с. 26-28.
6. Горнштейн, П.І. Тригонометрія допомагає алгебри [Текст] / Горнштейн П.І. / / Квант. 1989 - № 5 - с. 68-70.
7. Дорофєєв, Г. Періодичність і не періодичність функцій [Текст] / Дорофєєв Г., Розов М. / / Квант. 1977 - № 1 - с.43-48.
8. Зарецький, В.І. Вивчення тригонометричних функцій в середній школі [Текст] / Зарецький В.І. - Мінськ: Народна асвета, 1970.
9. Земляков, А. Періодичні функції [Текст] / Земляков А., Івлєв Б. / / Квант. 1976 - № 12 - с. 34-39.
10. Калінін, С.І. Завдання і вправи з початків математичного аналізу [Текст] / Калінін С.І., Канін Є.С., Маянская Г.М., Ончукова Л.В., Підгірна І.І., Фалелеева С.А. - К.: ВДПУ, 1997.
11. Колмогоров, О.М. Алгебра і початки аналізу 10-11 [Текст] / О.М. Колмогоров / / Підручник - Москва: Просвещение, 1999.
12. Крамор, В.С. Тригонометричні функції [Текст] / Крамор В.С., Михайлов П.А. - Москва: Просвещение, 1979.
13. Лященко, Є.І. Лабораторні та практичні роботи з методики викладання математики [Текст] / Лященко Є.І. - Москва: Просвещение, 1988.
14. Мішин, В.І. Методика викладання математики в середній школі (Приватна методика). [Текст] / Мішин, В.І. - Москва: Просвещение, 1987.
15. Мордкович, А.Г. Методичні проблеми вивчення тригонометрії в загальноосвітній школі [Текст] / Мордкович А.Г. / / Математика в школі. 2002 - № 6 - с.32-38.
16. Мордкович, А.Г. Алгебра і початки аналізу 10-11 [Текст] / О.Г. Мордкович / / Підручник-Москва: Мнемозина, 2003.
17. Панчішкін, А.А. Тригонометричні функції в задачах [Текст] / Панчішкін А.А., Шавгулідзе Є.Т. - Москва: Наука, 1986.
18. Раббота, Ж. Тригонометричні функції [Текст] / Раббота Ж. / / Квант. 1972 - № 5 - с. 36-38.
19. Сінакевіч, С.В. Тригонометричні функції [Текст] / Сінакевіч С.В. - Москва: Учпедгиз, 1959.
20. Смирнова, І.М. Незвичайний спосіб отримання синусоїди [Текст] / Смирнова І.М. / / Математика в школі. 1993 - № 3 - с.56-58.
21. Цукарь, А.Я. Вправи практичного характеру з тригонометрії [Текст] / Цукарь А.Я. / / Математика в школі. 1993 - № 3 - з 12-15.
22. Шаталов, В.Ф. Методичні рекомендації для роботи з опорними сигналами з тригонометрії [Текст] / Шаталов В.Ф. - Москва: Нова школа, 1993.
23. Шенфельд, Х. Що спільного між заходом сонця і функцією y = sin х [Текст] / Шенфельд Х. / / Математика в школі. 1993 - № 2 - с.75-77.
Додаток
Факультатив «Тригонометрія допомагає алгебри».
Відомо, що «той чи інший матеріал засвоюється школярами не тоді, коли цей матеріал є метою навчання, а тоді, коли він стає засобом для вирішення інших завдань» [10]. Тому доцільно показати учням те, як можна застосовувати властивості тригонометричних функцій та тригонометричні тотожності при вирішенні, наприклад, алгебраїчних задач.
Цілі:
1) Провести міжпредметні зв'язки між тригонометрією і алгеброю.
2) Сприяти формуванню умінь вирішувати деякі види рівнянь алгебри за допомогою тригонометричних підстановок.
Місце вивчення.
Цей факультатив бажано проводити після того, як вивчені всі розділи тригонометрії.
Хід факультативу:
Учням пропонується спробувати вирішити рівняння самостійно. Спробувавши виконати стандартне зведення в квадрат обох частин, учні натикаються на рівняння другого ступеня, вирішення яких в шкільному курсі не розглядається. Звернувши увагу учнів, на те, що областю допустимих значень змінної даного рівняння є відрізок [-1; 1], вчитель пропонує згадати вивчені функції, областю значень яких є даний відрізок. Після чого робиться висновок: якщо з умови задачі випливає, що допустимі значення змінної x визначаються нерівністю | x | ≤ 1, то зручні заміни х = sinα, α , Або х = cosα, α , Причому яку з них вибрати, залежить від конкретного завдання.
Учні спільно з учителем прорешівают дане рівняння.
«Оскільки функція 4х ^3-3х існує при будь-яких значеннях х, знайдемо область визначення функції f (x) = : 1 - х ² ≥ 0, значить х . Введемо заміну х = cosα. Нас цікавлять всі значення цієї функції. Виберемо для зручності будь-який відрізок, на якому функція косинус приймає всі свої значення, наприклад відрізок .

Підставимо х = cosα в рівняння, отримаємо
Так як α , То sinα ≥ 0 і можна опустити модуль:


Умовою α задовольняють три значення α ₁ = , Α ₂ = ,   α ₃ = .
x ₁ = cos α ₁ = cos = ,
x ₂ = cos α ₂ = cos =- Sin = =
x ₃ = cos α ₃ = cos =- Cos = .
Відповідь: x ₁ = , X ₂ = , X ₃ = .
Приклад 2. Скільки коренів на відрізку [0; 1] має рівняння

При відсутності зайвого часу рішення краще винести в якості домашнього завдання. Якщо рівень підготовки класу не дуже високий, то вчитель може зробити підказку «Заміна х = cosα, α ставить у відповідність кожному значенню х на [0; 1] рівно одне значення α . Значить, число рішень вихідного рівняння на [0; 1] дорівнює числу рішень відповідного рівняння на , Причому так як х ¹ 0 і х ¹ 1, то можна взяти α ». Рівняння прийме вигляд




Умовою α задовольняють чотири значення α ₁ = , Α ₂ = , Α ₃ = , Α ₄ = .
Відповідь: рівняння на відрізку [0; 1] має рівно чотири кореня.
Приклад 3. Вирішити систему рівнянь

Уважно подивившись на перше рівняння системи, учні самі (або з допомогою вчителя) помічають, що воно дуже схоже на основне тригонометрическое тотожність і роблять висновок: якщо в задачі зустрічається рівність х ² + y ² = 1, то часто буває корисно зробити заміну х = sinα, y = cosα, α , Так як числа, сума квадратів яких дорівнює 1, це синус і косинус одного і того ж числа. Подальше рішення системи не викликає ускладнень і може бути вироблено учнями самостійно.
Нехай х = sinα, y = cosα, α Друге рівняння системи набуде вигляду

Умовою α задовольняють чотири значення α ₁ = , Α ₂ = , Α ₃ = , Α ₄ = .
х ₁ = y ₁ =
х ₂ = y ₂ =
х ₃ = y ₃ =
х ₄ = y ₄ =
Відповідь: х = , Y = ; X = , Y = ; X = ,
y = ; X = , Y = .
В якості домашнього завдання учням можна запропонувати вирішити завдання:
Числа a, b, c, d такі, що a ² + b ² = 1, c ² + d ² = 1, ac + bd = 0. Чому дорівнює ab + cd?

Рішення може виглядати наступним чином. «Нехай а = sinα, b = cosα, α , C = sinβ, d = cosβ, β . Рівняння ac + bd = 0 перепишемо у вигляді

Перетворимо вираз ab + cd:

Так як cos (α-β) = 0, то sin (α + β) * cos (α - β) = 0, a значить ab + cd = 0.
Відповідь: ab + cd = 0 »
Після цього вчитель підводить учнів до питання: «Чи можна застосовувати тригонометричні підстановки для вирішення рівнянь, в область допустимих значень яких входять всі дійсні числа?»
Можна, але у випадках, коли змінна може приймати різні значення, використовуються заміни x = tgα, α і x = ctgα, α .
Приклад 5. Довести, що при будь-яких дійсних х та у
.
Зауваження. Бажано обговорити з учнями лише необхідну заміну. Все інше вони в силах зробити самостійно.
Покладемо , Де . Тоді


Так як всі значення виразу
лежать у проміжку [-1 / 2, 1 / 2], отже, і всі значення вихідного вираження лежать у цьому ж проміжку. Що і потрібно було довести.

---

* Більш детально ці питання викладені в пункті 3

1) Нагадаємо, що навчання за підручником [2] передбачає вивчення тригонометричних рівнянь в кінці 10-го класу, а вивчення тригонометричних функцій лише на початку 11го.