Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
"Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини"
Математичний факультет
Кафедра МПМ
Методика вивчення функцій у шкільному курсі математики
Реферат
Виконавець:
Студентка групи М-33 Грабовець А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент Лебедєва М.Т.
Гомель 2007

Зміст
Введення
1. Різні підходи до трактування поняття функції в курсі математики в середній школі
2. Основні напрямки введення поняття функції в шкільному курсі математики
3. Методика формування понять загальних властивостей функцій
4. Методична схема вивчення функцій. Вивчення функцій в класі функцій
Висновок
Література

Введення

Функціональна лінія шкільного курсу математики - одна з провідних, визначальна стиль вивчення тем у курсах алгебри і початки аналізу. Її особливість полягає в представленні можливості встановлення різноманітних зв'язків у навчанні.
У сучасному шкільному курсі математики провідним підходом вважається генетичний з додаванням елементів логічного. Формування понять і уявлень, методів і прийомів у складі функціональної лінії в системі навчання будується так, щоб увага учнів зосереджувалась на:
1) виділених і досить чітко розмежованих уявленнях, пов'язаних з функцією;
2) встановленні їх взаємодії при розгортанні навчального матеріалу.

1. Різні підходи до трактування поняття функції в курсі математики в середній школі

Завдання. При яких значеннях параметра а рівняння має рівно чотири кореня?

Будуємо графіки функцій і в одній системі координат, сприймаючи рівність як рівність значень вибраних функцій.

Побудуємо графік чотири точки перетину отримуємо для . При (Координати точки максимуму (1,2)) отримуємо верхнє обмеження. Другий період значень для : Від точки мінімуму функції, тобто . Основа рішення - використання функціональних та графічному вигляді, а саме рішення - перехід від дослідження даного в рівнянні до дослідження функції. При побудові графіка цієї функції за допомогою елементарних перетворень графіків найбільш важким є оцінювання значення виразу . Як підказки можна скористатися нерівністю:

Показаний метод називається функціонально-графічним моделюванням. Освоєння його і з формальної, і з прикладної сторони значною мірою підпорядковане вивчення всієї функціональної лінії курсів алгебри та початку аналізу.
Розрізняють дві основні математичні трактування поняття функції:
1) генетичну;
2) логічний.
Основні поняття, використовувані при генетичній трактуванні: змінна величина, функціональна залежність змінних величин, формула (виражає одну змінну через деяку комбінацію інших змінних), декартова система координат на площині. Гідність такого підходу полягає в тому, підкреслюючи динамічний характер поняття функціональної залежності, виявляється модельний аспект поняття функції щодо вивчення явищ природи. Наприклад, загальна схема застосування функції для опису результатів досвіду має вигляд:
1) провести експеримент;
2) скласти за результатами експерименту таблицю значень пов'язаних один з одним величин;
3) побудувати з табличних даними графік;
4) підібрати емпіричним шляхом формулу для даної функції;
5) дати розгорнуту характеристику властивостей функції;
6) витлумачити встановлені властивості функції на мові експерименту.
Однак обмежувальна риска в цьому підході в тому, що змінна завжди неявно передбачається пробігають безперервний ряд числових значень. Тому поняття пов'язується з числовими функціями чісловог8о аргументу.
Логічна трактування: навчання функціональним уявленням слід будувати на основі методичного аналізу поняття функції в пошуках поняття алгебраїчної системи. Тут функція - відношення спеціального виду між двома множинами, яке задовольняє умова функціональності. Початковий етап вивчення - поняття відносини. Реалізація логічного підходу викликає необхідність ілюструвати поняття функції за допомогою різноманітних засобів: формули, таблиці, завдання функції стрілками, перерахуванням пар, використанням не тільки числового, але і геометричного матеріалу (тепер і геометричне перетворення можна розглядати як функцію). Однак напрацьовані таким чином загальні поняття надалі зв'язуються тільки з числовими функціями одного числового аргументу, тому при такому підході спостерігається певна надмірність у формуванні функції як узагальненого поняття.

2. Основні напрямки введення поняття функції в шкільному курсі математики

У сучасному шкільному курсі математики провідним підходом вважається генетичний з додаванням елементів логічного. Формування понять і уявлень, методів і прийомів у складі функціональної лінії в системі навчання будується так, щоб увага учнів зосереджувалась на:
1) виділених і досить чітко розмежованих уявленнях, пов'язаних з функцією;
2) встановленні їх взаємодії при розгортанні навчального матеріалу.
Виділено системи компонентів і встановлено зв'язок між ними. У систему входять такі компоненти: 1) уявлення про функціональну залежність змінних величин в реальних процесах та математики; 2) уявлення про функції як про відповідність; 3) побудова і використання графіків функцій, використання графіків функцій; 4) обчислення значень функцій, визначених різними способами ;
Введення поняття ведеться за трьома основними напрямками: 1) упорядкування основних уявлень про функції; розгортання системи понять, характерних для функціональних ліній (способи завдання і загальні властивості функцій, графічне тлумачення області визначення, області значення, зростання і т. д. на основі методу координат ), 2) глибоке вивчення окремих функцій та їх класів; 3) розширення галузі застосування алгебри за рахунок включення до нею ідеї функції і розгалуженої системи дій з функцією.
Перший напрямок з'являється в алгебрі раніше інших. Основний акцент - засвоєння учнями однозначності відповідності аргументу і визначається по ньому значення функції. З різноманітних способів завдання функції найчастіше використовується як засіб побудови функції формулою інші способи завдання - підлеглі. Зіставлення різних способів завдання викликане практичною потребою і важливо для засвоєння всього різноманіття поняття функції.
Використання перекладу завдання функції з однієї форми подання в іншу - необхідний методичний прийом приведення поняття функції. Реалізація - система завдань, в яких представлені всі випадки такого переведення. Наприклад, при відпрацюванні форми подання можна розглянути задачі:
1. зобразити графік функції у = 4х +1 на ;
2. перевірити, на скільки точна таблиця квадратів чисел, взявши кілька значень для аргументу провівши розрахунок: х = 1.35; 2.44; 9,4; 7; 6,25;
3. по заданих точках побудувати графік залежності.
У першому завданні побудова йде по точках, тому що спочатку учні не знають виду графіка лінійної функції. Спосіб побудови графіка функції по точках ілюструє завдання три, друге завдання ілюструє зв'язок функціональних уявлень з числовою системою. Другий тип завдань - оптимізація представлення функції без зміни засобів уявлень. Типові завдання: спростити формулу, задану функцію. Мета таких завдання - показати, що одна і та ж функція може визначатися різними формулами. Зв'язок функціональної лінії з числовою системою при введенні поняття функції здійснюється при обчисленні її значення за формулою або словесному опису. Учні повинні розуміти, що якщо про деякої функції відомо, що вона визначена на множині , То це означає, що для кожного можна знайти відповідне значення .
Наприклад: Функція задана формулою: . Знайти її значення при . Поряд з розкриттям визначення поняття уточнення загальних функціональних уявлень введення поняття функції вимагає розгляду декількох конкретних прикладів функцій.

3. Методика формування понять загальних властивостей функцій

У шкільній математиці функції утворюють класи, що володіють спільністю аналітичного способу завдання, подібними особливостями графіків, областей застосування. У курсі алгебри відбувається вживлення основних понять функціональної лінії. Кожна функція представлена ​​у вигляді об'єкта, і її освоєння відбувається в зіставленні рис, специфічних для неї. Переходячи до вивчення класу функцій (наприклад, лінійних) необхідно досліджувати дану функцію, як член класу і вивчити властивості всього класу на прикладі типової функції.
Зв'язки всередині функціональної лінії при вивченні функцій:
1). Індивідуально-задана функція
Загальне поняття функції дана функція характерні прийоми вивчення і дослідження даної функції
2). Функція, що входить в клас
Загальне поняття функції дана функція загальні властивості класу функцій характерні прийоми вивчення і дослідження функцій даного класу провідні приклади функцій даного класу.
Методика вивчення загальних функціональних понять.
Поняття функції вводиться в 7 класі, багато загальні функціональні поняття вводяться в темі "Числові функції" в 4 класі. Тільки поняття періодичності вводиться в 10 класі і в 11 - поняття функції, зворотного даної.
Методична схема введення поняття функції:
1. Поняття функції вводиться конкретно-індуктивним способом;
2. На підставі конкретної формули встановлюються характеристичні властивості загального поняття функції: області визначення, значення, залежність: кожному - Єдине значення .
3. Формулюються визначення функції, повідомляється вчителем область визначення і область значення.
4. Проілюструвати сказане малюнком.
5. Привести контр приклад поняття функції: ; Область визначення ; Область значень .
6. Розглянути вправи.
7. Закріпити формулювання поняття функції.
За цією ж схемою можна вивчати і інші загальні функціональні властивості: парність, монотонність, періодичність і т.д.

4 Методична схема вивчення функцій. Вивчення функцій в класі функцій

Методичні схема вивчення функції.
1. Розглянути подводящую завдання, за допомогою якої мотивується вивчення нової функції.
2. На основі математизації емпіричного матеріалу сформулювати визначення функції (повідомити формулу).
3. Скласти таблицю значень функції і побудувати "по точках" її графік.
4. Провести дослідження основних властивостей функції (переважно за графіком)
5. Розглянути завдання і вправи на застосування вивчених властивостей функції.
Особливість схеми-дослідження функції має наочно-геометричний підхід, аналітичне дослідження має обмежений характер. Схема застосовна у вивченні лінійної, квадратичної, степеневої та інших функцій, з якими учні знайомляться в курсі алгебри.
Вивчення функцій в класі функцій. Клас лінійних функцій.
Типовий для математики клас функцій - лінійні. Перше уявлення зв'язується з рівномірним прямолінійним рухом або з побудовою графіка деякої лінійної функції. Розглядаючи друге джерело можна переконатися в тому, що графік окремо взятої лінійної функції не може привести до формулювання уявлень про основні властивості графіків всіх лінійних функцій.
Перший спосіб: використання загущення точок на графіку. а) нанесення декількох точок; б) спостереження - всі побудовані точки розташовані на одній прямій; в) перевірка - беремо довільне значення аргументу і обчислюємо по ньому значення функції; г) наносимо точку на координатну площину - вона належить побудованої прямій. Такий прийом призведе до розуміння того, що графік будь-якої лінійної функції - пряма (виділення одного з властивостей лінійної функції), на його проведення зажадає дуже багато часу і загальні властивості формулюється на ізольованих прикладах.
Другий спосіб: по двох точках. Цей спосіб передбачає знання відповідного властивості графіків лінійних функцій, виявлення нових властивостей не відбувається.
При навчанні відбувається послідовна схема цих способів.
Для вивчення класу лінійних функцій в сукупності його загальних властивостей перед учнями ставиться пізнавальна завдання дослідити клас функцій в залежності від параметрів, тут краще за все розглянути декілька функцій з різними параметрами,
Наприклад: Побудуйте графіки функцій у = 0.5х; у = 0.5х + 0.5; у = 1.5х; у = 1.5х +0.5.
Далі необхідно їх порівняти, звертаючи увагу на особливості, пов'язані з числовими значенням коефіцієнтів.
Наприклад, вивчаючи геометричний сенс коефіцієнтів при змінній, відрізняємо однаковість кутів нахилів до осі , Чим менше цей коефіцієнт, тим менший кут нахилу утворює пряма з віссю. Після цього формулюється висновок про залежність розглянутого кута від коефіцієнта і вводиться поняття "кутовий коефіцієнт". Закріплюють вправи: на одному і тому ж кресленні зображені графіки функцій у = 3х +2; у = 3 \ 4х +2. Побудувати на цьому кресленні графіки функцій у = 3х-1; у = 3 \ 4х -1; пояснити побудова.
Клас квадратичних функцій.
Вивчення класу квадратичних функцій засноване на перетворенні до виду: a (xb) + С, використанні геометричних для побудови графіка довільної квадратичної функції з параболи стандартного положення - графіка функції . Квадратична функція вводиться і вивчається в тісному зв'язку з квадратичними рівняннями і нерівностями.
Перша функція цього класу - . Ця функція не монотонна на області визначення. Якщо учням запропонувати знайти область значення функції на , То в більшості випадків вони записують . Усунення помилки - побудова графіка.
Характер зміни значень функції нерівномірний, що можна показати при побудові графіків: а) у великому масштабі на , Б) в дрібному масштабі на . Важливо відзначити властивість параболи - симетричність відносно осі ординат. Застосування функції - Введення ірраціонального числа - графічне рішення рівняння .
Клас квадратичних функцій починається з вивчення функції і з'ясування сенсу коефіцієнта а (геометричного). Потім вводяться функції виду і з'ясовується зміст другого коефіцієнта (наприклад, як перенесення по осі у).
Наприклад: заданий графік функції . Побудувати на цьому кресленні графік функції .
Досить порівняти значення цих функцій при одних і тих же значеннях аргументу. Надалі ця властивість можна узагальнити: щоб побудувати графік функції за відомим графіком функції , Можна провести паралельний перенесення другого графіка на одиниць вздовж осі ординат. Отже, перший коефіцієнт при впливає на напрям гілок, вільний член - означає паралельний перенос, з'ясування значення коефіцієнта при х утруднено, тому використовують обхідний маневр: і розглядають: .
При вивченні функцій можна використовувати системи завдань, що мають мету - дати уявлення про ті чи інші рисах даної функції або цілого числа без вказівки точного значення величин, пов'язаних з даним питанням.

Приклад. На малюнку зображені графіки функцій і . Як щодо них пройде графік функції ?
Це завдання не передбачає точної побудови шуканого графіка: достатньо лише вказівку на область, де він розташований, або його ескізне побудова.
Приклад. На малюнку зображено графік функції -2 . Користуючись цим кресленням зобразити від руки графік функції . Перевірити правильність зробленого ескізу: обчислити значення функції при і відзначити ці точки графіка. Яким перетворенням можна перенести графік функції у графік функції ? Мета завдання - узгодити зоровий образ графіка, його геометричні властивості і форму.
Приклад: У таблиці наведені значення величин, рівномірно змінюється з часом. Проте за рахунок неминучих похибок у вимірах немає можливості строго витримувати заданий режим, помітні невеликі відхилення від рівномірності. Вказати закон зміни швидкості в заданому проміжку і відхилення від нього, що є в таблиці.

t, хв	2	3	4	5	6
, Км / год	20	30,1	39,8	50	60,1

Мета - пропедевтика систематичної роботи над наближеними обчисленнями, формування повноцінних уявлень про додатки математики.
Вивчення функції в класі елементарних функцій.
Елементарні функції: цілі, раціональні, статечна, показова, логарифмічна, тригонометричні та їх комбінації. У класі елементарних функцій є дві групи операцій:
1) арифметичні;
2) операції композиції й звернення функцій.
Введення арифметичних операцій над числовими функціями неявно. По суті відбувається перенесення дій з однієї області в іншу неусвідомлено. Рішення завдань на порівняння значення і або аналогічних значень для інших однойменних функціональних і числових операцій дозволить усвідомити дію операцій.
Приклад:
a) Дано многочлени і . Обчислити суму цих многочленів при x = 0,5
b) Раціональне вираз можна представити у вигляді
.
Користуючись таким поданням, знайти різницю функцій
і
в точках .
c) Обчислити значення функції при , Користуючись таблицями Брадіса (або комп'ютером).
Пряме запитання: яким із двох способів обчислення значень цього виразу простіше провести викладки?
Доцільно при вивченні графіків функцій розглянути графічну ілюстрацію функцій виду
, ,

використовуючи побудови по точках і враховуючи найпростіші особливості тих функцій, які складають формулу даної функції.
Вивчення операцій другої групи вводяться за допомогою явного визначення. Кожна з цих операцій використовується у вивченні теоретичного матеріалу: композиція функцій - складна функція.
Поняття оберненої функції, можна віднести до числа найважливіших загальних понять у складі функціональної лінії. При вивченні з'ясовується залежність її монотонності від монотонності її вихідної функції.
Поняття безперервності використовується при побудові графіків і сприяє формуванню поняття. Поняття безперервності використовується при вивченні квадратного кореня, при визначенні показовою функції, при розгляді графічного методу рішення рівнянь і нерівностей.
При вивченні функцій в X-XI класах більша перевага віддається аналітичному дослідженню, і схема вивчення функції виглядає наступним чином:
1) Розглянути подводящую завдання;
2) Сформулювати визначення функції;
3) Провести аналітичне дослідження властивостей функції;
4) Побудувати (на основі даних аналітичного дослідження) графік функції; з метою більш точного його побудови скласти таблицю "характерних" значень функції та побудувати відповідні графіки;
5) Розглянути завдання і вправи на застосування вивчених властивостей функції.
Зауваження: Знайомлячи учнів з властивостями функції, слід пам'ятати, що не всі з них є досить наочними, тому не завжди графік функції може підказати їх учневі. Наприклад, подивіться на малюнок


Графіки яких функцій тут зображені?
Графіки: і сума функцій .
Найбільш характерні випадки спрацьовування "наочності графіків":
1. корені рівняння
2. рішення
3. -Графік вище
4. зростаюча функція;
5. парність функції;
6. графіки взаємообернених функцій симетричні відносно прямої ;
7.

Висновок

Навчання функціональним уявленням слід будувати на основі методичного аналізу поняття функції в пошуках поняття алгебраїчної системи. Тут функція - відношення спеціального виду між двома множинами, яке задовольняє умова функціональності. Початковий етап вивчення - поняття відносини. Реалізація логічного підходу викликає необхідність ілюструвати поняття функції за допомогою різноманітних засобів: формули, таблиці, завдання функції стрілками, перерахуванням пар, використанням не тільки числового, але і геометричного матеріалу (тепер і геометричне перетворення можна розглядати як функцію). Однак напрацьовані таким чином загальні поняття надалі зв'язуються тільки з числовими функціями одного числового аргументу, тому при такому підході спостерігається певна надмірність у формуванні функції як узагальненого поняття

Література

1. К.О. Ананченко "Загальна методика викладання математики в школі", Мн., "Унiверсiтецкае", 1997р.
2.Н.М.Рогановскій "Методика викладання в середній школі", Мн., "Вища школа", 1990р.
3.Г.Фройденталь "Математика як педагогічна задача", М., "Просвіта", 1998р.
4.Н.Н. "Математична лабораторія", М., "Просвіта", 1997р.
5.Ю.М.Колягін "Методика викладання математики в середній школі", М., "Просвіта", 1999р.
6.А.А.Столяр "Логічні проблеми викладання математики", Мн., "Вища школа", 2000р.