МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ГОУ ВПО Омський державний технічний університетКафедра «Економіка та організація праці»
Контрольна робота
з дисципліни «Методи і моделі в економіці»
Варіант 28
Виконав:
студент гр. Зут-217
Чупраков Д. А.
Перевірила:
__________ Є. Н. Казанцева
«___» ___________ 2009
Омськ 2009
ЗМІСТ
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Завдання № 1
1. Скласти математичну модель задачі.
Сільськогосподарське підприємство зобов'язалося поставити в два магазини 25 і 35 т картоплі відповідно. Підприємство в своєму розпорядженні три складами з запасами картоплі 15, 20 і 30 т відповідно. Витрати на постачання 1 т картоплі з кожного зі складів у обидва магазини дані в таблиці.
Магазини Склади | № 1 | № 2 |
№ 1 | 20 руб. | 45 крб. |
№ 2 | 30 руб. | 20 руб. |
№ 3 | 40 руб. | 35 руб. |
Рішення
Введемо змінні
Оскільки сумарні запаси
Таблиця 1 - Загальний вид транспортної матриці
Пункти виробництва, i | Пункти споживання, j | Обсяг виробництва | ||
1 | 2 | 3 | ||
1 | 20 | 45 | 0 | 15 |
2 | 30 | 20 | 0 | 20 |
3 | 40 | 35 | 0 | 30 |
Обсяг споживання (попит) | 25 | 35 | 5 | 65 |
Знайдемо опорний план транспортної задачі методом північно-західного кута (табл. 2).
Таблиця 2 - Транспортна матриця з опорним планом північно-західного кута
Пункти виробництва, i | Пункти споживання, j | Обсяг виробництва | ||
1 | 2 | 3 | ||
1 | 20 15 | 45 - | 0 - | 15 / 0 |
2 | 30 10 | 20 10 | 0 - | 20/10/0 |
3 | 40 - | 35 25 | 0 5 | 30/5/0 |
Обсяг споживання | 25/10/0 | 35/25/0 | 5 / 0 | 65 |
Цільова функція, що виражає загальні витрати на перевезення, буде мати вигляд:
Ітерація 1.
Крок 1.1. Обчислення потенціалів
20 15 | 45 - | 0 - | u 1 = 0 | |
30 10 | 20 10 | 0 - | u 2 =- 10 | |
40 - | 35 25 | 0 5 | u 3 =- 25 | |
v 1 = 20 | v 2 = 10 | v 3 =- 25 |
Вважаючи u 1 = 0, знаходимо значення всіх потенціалів: v 1 = 20, v 2 = 10, u 2 =- 10, v 3 = - 25, u 3 = - 25, тобто (0; - 10; -25; 20; 10; -25).
Крок 1.2. Перевірка на оптимальність. Складаємо таблицю оцінок
0 | -35 | -25 | u 1 = 0 | |
0 | 0 | -15 | u 2 =- 10 | |
Δ 1 = | 10 | -10 | -5 | u 3 =- 25 |
v 1 = 20 | v 2 = 10 | v 3 =- 25 |
Крок 1.3. Складання нового плану перевезень.
-30 | +20 10 | |
Δ 1 = | +40 - | -35 25 |
Ітерація 2.
Крок 2.1. Обчислення потенціалів
20 15 | 45 - | 0 - | u 1 = 0 | |
30 - | 20 20 | 0 - | u 2 =- 5 | |
40 10 | 35 15 | 0 5 | u 3 =- 20 | |
v 1 = 20 | v 2 = 15 | v 3 =- 20 |
Вважаючи u 1 = 0, знаходимо значення всіх потенціалів: (0; -5; -20; 20; 15; -20).
Крок 2.2. Перевірка на оптимальність. Складаємо таблицю оцінок
0 | -35 | -20 | u 1 = 0 | |
-5 | 0 | -15 | u 2 =- 5 | |
Δ 1 = | 0 | 0 | 0 | u 3 =- 20 |
v 1 = 20 | v 2 = 15 | v 3 =- 20 |
Х оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), отже, оптимальне значення цільової функції:
Відповідь: Х оптим = (0; -5; -20; 20; 15; -20), L (X) = 1625 руб.
Завдання № 2
2. Вирішити графічно завдання: знайти екстремуми функції
Вирішити симплекс-методом
РІШЕННЯ
а) Вирішимо задачу графічно при
z = 3x 1 - 2x 2 → max
Побудуємо на площині прямі обмежень, обчисливши координати точок перетину цих прямих з осями координат (рис.1).
|
про |
(II) |
(III) |
(I) |
0 1 |
x 2 8 1 0,5 |
Рис.1. Графічне рішення задачі при z = 3x 1 - 2x 2 → max
Будуємо вектор
б) Вирішимо задачу графічно при
z = 3x 1 - 2x 2 → min
Побудуємо на площині прямі обмежень, обчисливши координати точок перетину цих прямих з осями координат (рис.2).
|
про |
(II) |
(III) |
(I) |
0 1 7 8 x 1 |
x 2 8 1 Е |
Рис.2. Графічне рішення задачі при z = 3x 1 - 2x 2 → min
Будуємо вектор
Відповідь: а) Функція z = 3x 1 - 2x 2 → max і дорівнює 21 в точці (7; 0).
б) Функція z = 3x 1 - 2x 2 → min і дорівнює - 2 у точці (0; 1).
Завдання № 3
Вирішити методом потенціалів транспортну задачу, де
Рішення
Оскільки сумарні запаси
Таблиця 1 - Загальний вид транспортної матриці
Пункти виробництва, i | Пункти споживання, j | Обсяг виробництва | |||
1 | 2 | 3 | 4 | ||
1 | 6 | 8 | 4 | 2 | 10 |
2 | 5 | 6 | 9 | 8 | 10 |
3 | 4 | 2 | 3 | 8 | 15 |
4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 13 |
Обсяг споживання (попит) | 5 | 8 | 15 | 20 | 48 |
Таблиця 2 - Транспортна матриця з опорним планом північно-західного кута
Пункти виробництва, i | Пункти споживання, j | Обсяг виробництва | |||
1 | 2 | 3 | 4 | ||
1 | 6 5 | 8 5 | 4 - | 2 - | 10/5/0 |
2 | 5 - | 6 3 | 9 7 | 8 - | 10/7/0 |
3 | 4 - | 2 - | 3 8 | 8 7 | 15/7/0 |
4 | 0 - | 0 - | 0 - | 0 13 | 13 / 0 |
Обсяг споживання | 5 / 0 | 8/3/0 | 15/8/0 | 20/13/0 | 48 |
Цільова функція, що виражає загальні витрати на перевезення, буде мати вигляд:
Ітерація 1.
Крок 1.1. Обчислення потенціалів
6 5 | 8 5 | 4 - | 2 - | u 1 = 0 | |
5 - | 6 3 | 9 7 | 8 - | u 2 = 2 | |
4 - | 2 - | 3 8 | 8 7 | u 3 = 8 | |
0 - | 0 - | 0 - | 0 13 | u 4 = 16 | |
v 1 = 6 | v 2 = 8 | v 3 = 11 | v 4 = 16 |
Вважаючи u 1 = 0, знаходимо значення всіх потенціалів: v 1 = 6, v 2 = 8, u 2 = 2, v 3 = 11, v 4 = 16, u 3 = 8, u 4 = 16, тобто (0, 2, 8, 16: 6; 8; 11; 16).
Крок 1.2. Перевірка на оптимальність. Складаємо таблицю оцінок
0 | 0 | 7 | 14 | u 1 = 0 | |
-1 | 0 | 0 | 6 | u 2 = 2 | |
Δ 1 = | -6 | -2 | 0 | 0 | u 3 = 8 |
-10 | -8 | -5 | 0 | u 4 = 16 | |
v 1 = 6 | v 2 = 8 | v 3 = 11 | v 4 = 16 |
Так як є
Крок 1.3. Складання нового плану перевезень.
- 8 | 4 - | +2 | |
+6 | - 9 | 8 - | |
Δ 1 = | 2 - | +3 | - 8 7 |
0 - | 0 - | 0 13 |
Ітерація 2.
Крок 2.1. Обчислення потенціалів
6 5 | 8 - | 4 - | 2 5 | u 1 = 0 | |
5 - | 6 8 | 9 2 | 8 - | u 2 =- 12 | |
4 - | 2 - | 3 13 | 8 2 | u 3 =- 6 | |
0 - | 0 - | 0 - | 0 13 | u 4 = 2 | |
v 1 = 6 | v 2 =- 6 | v 3 =- 3 | v 4 = 2 |
Вважаючи u 1 = 0, знаходимо значення всіх потенціалів: v 1 = 6, v 2 =- 6, u 2 =- 12, v 3 =- 3, v 4 = 2, u 3 =- 6, u 4 = 2, тобто (0; 12; -6; 2; 6; -6; -3; 2).
Крок 2.2. Перевірка на оптимальність. Складаємо таблицю оцінок
0 | -14 | -7 | 0 | u 1 = 0 | |
13 | 0 | 0 | 6 | u 2 =- 12 | |
Δ 1 = | 8 | -2 | 0 | 0 | u 3 =- 6 |
4 | -8 | -5 | 0 | u 4 = 2 | |
v 1 = 6 | v 2 =- 6 | v 3 =- 3 | v 4 = 2 |
Крок 1.3. Складання нового плану перевезень.
-6 | 8 - | 4 - | +2 | |
Δ 1 = | +5 | 6 8 | -9 | 8 - |
4 - | 2 - | +3 | -8 2 |
Ітерація 3.
Крок 3.1. Обчислення потенціалів
6 3 | 8 - | 4 - | 2 7 | u 1 = 0 | |
5 2 | 6 8 | 9 0 | 8 - | u 2 = 1 | |
4 - | 2 - | 3 15 | 8 - | u 3 = 7 | |
0 - | 0 - | 0 - | 0 13 | u 4 = 2 | |
v 1 = 6 | v 2 = 7 | v 3 = 10 | v 4 = 2 |
Система для плану
Вважаючи u 1 = 0, знаходимо значення всіх потенціалів: (0; 1; 7; 2; 6; 7; 10; 2).
Крок 3.2. Перевірка на оптимальність. Складаємо таблицю оцінок
0 | -1 | 6 | 0 | u 1 = 0 | |
0 | 0 | 0 | -7 | u 2 = 1 | |
Δ 1 = | -5 | -2 | 0 | -13 | u 3 = 7 |
4 | 5 | 8 | 0 | u 4 = 2 | |
v 1 = 6 | v 2 = 7 | v 3 = 10 | v 4 = 2 |
Крок 3.3. Складання нового плану перевезень.
-6 | 8 - | 4 - | +2 | |
+5 | 6 8 | -9 | 8 - | |
Δ 1 = | 4 - | 2 - | 3 15 | 8 - |
0 - | 0 - | +0 | -0 13 |
Θ =
Ітерація 4.
Крок 4.1. Обчислення потенціалів
6 3 | 8 - | 4 - | 2 7 | u 1 = 0 | |
5 2 | 6 8 | 9 - | 8 - | u 2 = 1 | |
4 - | 2 - | 3 15 | 8 - | u 3 =- 1 | |
0 - | 0 - | 0 0 | 0 13 | u 4 = 2 | |
v 1 = 6 | v 2 = 7 | v 3 = 2 | v 4 = 2 |
Система для плану має вигляд:
Вважаючи u 1 = 0, знаходимо значення всіх потенціалів: (0; 1; -1; 2; 6; 7; 2; 2).
Крок 4.2. Перевірка на оптимальність. Складаємо таблицю оцінок .
Так як є > 0, то переходимо до кроку 3.
Крок 4.3. Складання нового плану перевезень. відповідає клітина До 32.
Θ = = 3. Складемо новий план перевезення.
Ітерація 5.
Крок 5.1. Обчислення потенціалів
Система для плану має вигляд:
Вважаючи u 1 = 0, знаходимо значення всіх потенціалів: (0; -5; -1; 2; 0; 1, 2, 2).
Крок 5.2. Перевірка на оптимальність. Складаємо таблицю оцінок .
Так як всі оцінки ≤ 0, отже, план - Оптимальний.
Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1, 2, 2), отже, оптимальне значення цільової функції: (Ден. одиниць).
Відповідь: Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1, 2, 2), L (X) = 117 гр. од.
Вважаючи u 1 = 0, знаходимо значення всіх потенціалів: (0; 1; -1; 2; 6; 7; 2; 2).
Крок 4.2. Перевірка на оптимальність. Складаємо таблицю оцінок
0 | -1 | -2 | 0 | u 1 = 0 | |
0 | 0 | -8 | -7 | u 2 = 1 | |
Δ 1 = | 3 | 6 | 0 | -5 | u 3 =- 1 |
4 | 5 | 0 | 0 | u 4 = 2 | |
v 1 = 6 | v 2 = 7 | v 3 = 2 | v 4 = 2 |
Крок 4.3. Складання нового плану перевезень.
-6 | 8 - | 4 - | +2 | |
+5 | -6 | -9 - | 8 - | |
Δ 1 = | 4 - | +2 | -3 | 8 - |
0 - | 0 - | +0 | -0 13 |
Ітерація 5.
Крок 5.1. Обчислення потенціалів
6 - | 8 - | 4 - | 2 10 | u 1 = 0 | |
5 5 | 6 5 | 9 - | 8 - | u 2 =- 5 | |
4 - | 2 3 | 3 12 | 8 - | u 3 =- 1 | |
0 - | 0 - | 0 3 | 0 10 | u 4 = 2 | |
v 1 = 0 | v 2 = 1 | v 3 = 2 | v 4 = 2 |
Вважаючи u 1 = 0, знаходимо значення всіх потенціалів: (0; -5; -1; 2; 0; 1, 2, 2).
Крок 5.2. Перевірка на оптимальність. Складаємо таблицю оцінок
-6 | -7 | -2 | 0 | u 1 = 0 | |
0 | 0 | -2 | -1 | u 2 =- 5 | |
Δ 1 = | -3 | 0 | 0 | -5 | u 3 =- 1 |
-2 | -1 | 0 | 0 | u 4 = 2 | |
v 1 = 0 | v 2 = 1 | v 3 = 2 | v 4 = 2 |
Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1, 2, 2), отже, оптимальне значення цільової функції:
Відповідь: Х оптим = (0; -5; -1; 2; 0; 1, 2, 2), L (X) = 117 гр. од.