Метод простих ітерацій з поперемінно чергуються кроком

Заклад освіти

«Брестський державний університет імені А.С. Пушкіна »

Кафедра інформатики та прикладної математики

Курсова робота

Брест 2010

Зміст

Апріорний вибір числа ітерацій у методі простих ітерацій з поперемінно чергуються кроком для рівнянь I роду

Постановка завдання

Збіжність при точній правій частині

Збіжність при наближеною правій частині

Оцінка похибки

Апріорний вибір числа ітерацій у методі простих ітерацій з поперемінно чергуються кроком для рівнянь I роду

Як відомо, похибка методу простих ітерацій з постійним або змінним кроком залежить від суми ітераційних кроків до того ж так, що для скорочення числа ітерацій бажано, щоб ітераційні кроки були якомога більшими. Однак на ці кроки накладаються обмеження зверху. Виникає ідея спробувати послабити ці обмеження. Це вдається зробити, вибираючи для кроку два значення і поперемінно, де вже не зобов'язана задовольняти колишнім вимогам.

Постановка завдання

В гільбертовому просторі вирішується рівняння I роду з позитивним обмеженим самосопряженним оператором , Для якого нуль не є власним значенням. Використовується ітераційний метод

(4.1)

Припускаючи існування єдиного точного рішення рівняння при точній правій частині , Шукаємо його наближення при наближеною правій частині . У цьому випадку метод набуде вигляду

(4.2)

Збіжність при точній правій частині

Вважаємо . Тоді, скориставшись інтегральним поданням самосопряженним оператора, отримаємо

Так як

Тому

Якщо , То

при ,

Те

Тут ─ натуральні показники, або . Зажадаємо, щоб тут і всюди нижче для , Що задовольняють умові , Для було

(4.3)

для будь-якого , Тобто . Праве нерівність дає . Так як , То

(4.4)

Ліве нерівність дає

Звідси ,

(4.5)

З (4.4) і (4.5), рухаючись у зворотному порядку, легко отримати (4.3). Отже, умова (4.3) рівносильно сукупності умов (4.4) і (4.5). З (4.4) і (4.5) отримуємо наслідок:

(4.6)

Доведемо збіжність процесу (4.1) при точній правій частині. Справедлива наступна теорема.

Теорема: Ітераційний процес (4.1) за умов , і (4.3) сходиться у вихідній нормі гильбертова простору.

Доказ:

За умов , і (4.3) другий інтеграл сходиться, так як

Тут .

так як сильно прагне до нуля при . Таким чином, . Теорема доведена.

Збіжність при наближеною правій частині

Доведемо збіжність процесу (4.2) при наближеною правій частині рівняння . Справедлива наступна теорема.

Теорема: При умовах , і (4.3) ітераційний процес (4.2) сходиться, якщо вибирати число ітерацій з умови .

Доказ: Розглянемо

Оцінимо , Де

Знайдемо на максимум подинтегральной функції

Так як

Якщо , То

при ,

тому . Звідси отримаємо . Оскільки і , То для збіжності методу (4.2) досить вимагати, щоб . Таким чином, достатньо, щоб . Теорема доведена.

Оцінка похибки

Для оцінки швидкості збіжності припустимо істокопредставімость точного рішення, тобто . Тоді

Для спрощення будемо вважати число парних, тобто і знайдемо оцінку для . З цією метою оцінимо модуль подинтегральной функції

. Перший співмножник для . Другий співмножник для малих близький до одиниці, тобто теж позитивний. Тому принаймні для всіх , Що не перевершують перший стаціонарний точки. Знайдемо стаціонарні точки функції .

Перші два співмножники не рівні нулю, в противному разі . Отже, ─ повне квадратне рівняння. Звідси одержимо, що

─ стаціонарні точки функції . Розглянемо :

де

Маємо

так як перші два співмножники за умови (4.3) є позитивними. Значить, ─ точка максимуму функції . Оцінимо в точці .

Покажемо, що

. (4.7)

Припустимо, що (4.7) справедливо. Воно рівносильна нерівності

яке, в свою чергу, рівносильне такому

(4.8)

Зведення в квадрат обох частин нерівності (4.8) дасть еквівалентну нерівність, якщо ліва частина неотрицательна. Встановимо, за яких це буде.

Очевидно, при , .

Будемо вважати і зведемо обидві частини нерівності (4.8) в квадрат. Після приведення подібних членів отримаємо

або

тобто .

При остання нерівність справедливо і, отже, в силу равносильности нерівностей, справедливо нерівність (4.7). Звідси

Оцінимо тепер . Покажемо, що

, (4.9)

тобто , Тобто

Перетворивши остання нерівність, отримаємо

Після зведення обох частин нерівності в квадрат і приведення подібних членів, отримаємо очевидне нерівність

В силу равносильности нерівностей справедливо нерівність (4.9), так що

Таким чином, для справедлива оцінка

Оцінимо в точці

Спочатку зажадаємо, щоб , Тобто

Посилимо нерівність

Звідси . При , Причому, при . Нехай , Тоді за умови

(4.10)

маємо , Тобто . В іншому випадку , І воно нас не цікавить. Оцінимо за умови (4.10) функцію .

Для цього спочатку оцінимо , Так як в точці функція . Знайдемо, за яких умов виконується нерівність

(4.11)

Підставивши в (4.11), одержимо

що після спрощення дає

Зведемо обидві частини нерівності в квадрат, одержимо

1 випадок:

2 випадок:

Отже:

Очевидно, що за умови (4.5) це нерівність справедливо і, отже, справедливо (4.11). Отже, за умов (4.5) і (4.10) справедлива оцінка

На кінцях відрізка маємо . Таким чином, отримаємо такі оцінки для :

в точці ;
в точці за умови (4.5) і (4.11) ;
в точці .

Знайдемо умови, за яких , Тобто . Це рівносильно умові

. (4.12)

Таким чином, якщо вибирати і з умови (4.12), то .

Оскільки геометрична прогресія убуває швидше, ніж , То для досить великих . Тому для таких справедлива оцінка .

Так як , То за умов , (4.4), (4.5), (4.10) і (4.12) має місце наступна оцінка похибки ітераційного методу (4.2)

. (4.13)

Неважко бачити, що умова (4.12) сильніше умови (4.4). Для знаходження оптимальної за оцінки похибки похідну за від правої частини виразу (4.13) прирівняємо до нуля. Тоді оптимальна по оцінка похибки має вигляд

(4.14)

і виходить при

. (4.15)

Отже, доведено

Теорема: При умовах , , , (4.10), (4.5), (4.12) оцінка похибки методу (4.2) має вигляд (4.13) при досить великих . За цих же умов оптимальна оцінка має вигляд (4.14) і виходить при з (4.15).

Таким чином, оптимальна оцінка методу (4.2) при неточності в правій частині рівняння виявляється такою ж, як і оцінка для методу простих ітерацій. Як видно, метод (4.2) не дає переваги в мажорантних оцінках порівняно з методом простих ітерацій. Але він дає виграш в наступному. У методі простих ітерацій з постійним кроком (2) потрібно умова , В цьому ж методі зі змінним кроком допускається більш широкий діапазон для великих . У методі (4.2) . Отже, вибираючи і відповідним чином, можна вважати в методі (4.2) приблизно втричі меншим, ніж для методу простих ітерацій з постійним кроком, і вдвічі меншим, ніж для того методу із змінним кроком. Таким чином, використовуючи метод (4.2), для досягнення оптимальної точності достатньо зробити ітерацій відповідно в три рази або два рази менше. Наведемо декілька відповідних значень , Що задовольняють необхідним умовам:

α	0,8	0,9	1,0	1,1	1,15	1,17	1,3
β	4,4	5,0	5,5	6,1	6,4	6,5	4,1

Найбільшу суму і, отже, найбільший виграш в обсязі обчислень дають значення і . Оскільки у виділеному випадку , То умова (4.6) показує, що досягнутий практично максимальний можливий виграш.

Зауваження: Оцінки збіжності були отримані для випадку, коли . У випадку, коли , У всіх оцінках слід замінити на .

Зауваження: Вважаємо, що . Насправді всі результати легко переносяться на випадок, коли .

Література

В.Ф. Савчук, О.В. Матисік «Регуляризація операторних рівнянь у гільбертовому просторі», Брест, 2008, 195 стор