Метод кінцевих різниць або метод сіток

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Метод кінцевих різниць, або метод сіток

Розглянемо лінійну крайову задачу

(2.24)

(2.25)

,



де , , і безупинні на [a,   b].

Розіб'ємо відрізок [a,   b] на n рівних частин довжини, або кроку



.



Точки розбиття  



,  



називаються вузлами, а їх сукупність -   сіткою   на відрізку [a,   b]. Значення у вузлах шуканої функції   і її похідних     позначимо відповідно   через



.

Введемо позначення





Замінимо похідні   так званими   односторонніми кінцево-різницевими відносинами:



(2.26)



Формули (2.26) наближено виражають значення похідних у внутрішніх точках інтервалу [A,   b].

Для граничних точок покладемо



.   (2.27)



Використовуючи формули (2.26), диференціальне рівняння (2.24) при   , (I = 1, 2 ,...,   n -1) наближено можна замінити лінійною системою рівнянь



(2.28)

Крім того, в силу формул (2.27) крайові умови (2.25) додатково дають ще два рівняння:



. (2.29)



Таким чином, отримана лінійна система n + 1 рівнянь з n + 1 невідомими   , Що представляють собою значення шуканої функції     у вузлах сітки. Система рівнянь (2.28), (2.29), що замінює наближено диференціальну крайову задачу (2.24), (2.25) зазвичай називається   різницевої схеми. Вирішити цю систему можна будь-яким загальним чисельним методом. Однак схема (2.28), (2.29) має специфічний вид і її можна ефективно вирішити спеціальним методом, званим методом прогонки. Специфічність системи полягає в тому, що рівняння її містять три сусідні невідомих і матриця цієї системи є трехдіагональной.

Перетворимо рівняння (2.28):



. (2.30)



Ввівши позначення





одержимо

, (I = 0, 1 ,...,   n -2). (2.31)



Крайові умови як і раніше запишемо у вигляді



. (2.32)



Метод прогонки полягає в наступному.

Дозволимо рівняння (2.31) відносно   :



. (2.33)



Припустимо, що за допомогою повної системи (2.31) з рівняння виключений член, що містить . Тоді рівняння (2.33) може бути записано у вигляді



, (2.34)



де   і   повинні бути визначені. Знайдемо формули для цих коефіцієнтів. При i = 0 з формули (2.33) і крайових умов (2.32) випливає, що



Виключаючи   з   цих двох рівнянь   , Знайдемо



.



Висловимо тепер звідси   :



(2.35)



Але, згідно з формулою (2.34),



(2.36)



Порівнюючи тепер (2.35) і (2.36), знайдемо, що



(2.37)

Нехай тепер i   > 0, тобто   i = 1, 2 ,...,   n - 2. Висловлюючи     за формулою (2.34), отримаємо:



.



Підставляючи це в формулу (2.33), матимемо



.



Вирішуючи отримане рівняння щодо , Знаходимо



, Або

. (2.38)



Звідси, порівнюючи формули (2.34) і (2.38), отримуємо для коефіцієнтів і рекурентні формули:

(2.39)

Так як   і   вже визначені за формулами (2.37), то, використовуючи формули (2.39), можна послідовно визначити коефіцієнти   і   до   і   включно. Ці обчислення називаються   прямим ходом   методу прогонки.

З формули (2.33) при i = n - 2 і другого крайового умови (2.32) отримуємо





Вирішуючи цю систему відносно , Будемо мати



. (2.40)



Тепер, використовуючи (2.34) і перше крайове умова (2.32), ми можемо послідовно знайти . Це -   зворотний хід методу прогонки.

Отже, отримуємо наступний ланцюжок:



(2.41)

Для найпростіших крайових умов    

формули   для і     спрощуються. Вважаючи в цьому випадку з формул (2.37), (2.40), (2.41) будемо мати





Розглянутий нами підхід зводить лінійну крайову задачу до системи лінійних алгебраїчних рівнянь. При цьому виникає три запитання.

1) Чи існує рішення алгебри типу (2.31)?

2) Як фактично знаходити це рішення?

3) Сходиться чи різницеве ​​рішення до   точному   при прагненні кроку сітки до 0?

Можна довести, що якщо крайова задача має вигляд





причому р (x)> 0, то рішення системи (2.31), (2.32) існує і єдино. Фактичне відшукання рішення можна провести, наприклад, методом прогонки. На третє запитання дає відповідь наступна

Теорема

Якщо   і     двічі безперервно   діфференцируєми, то різницеве ​​рішення, відповідне схемою з заміною

рівномірно сходиться до   точному   з похибкою   при



Таким чином, схема (2.28), (2.29) дає наближене рішення крайової задачі, але точність її дуже мала. Це пов'язано з тим, що апроксимація похідної





має низький порядок точності - похибка цієї апроксимації





Більш точну різницеву схему можна отримати, якщо при переході від лінійної крайової задачі до кінцево-різницевим рівнянням скористатися центральними формулами для похідних:



, (2.42)

, (2.43)

i = 1, 2 ,...,   n.



Похибка формули (2.42) виражається так:





тобто формула (2.42) має другий порядок точності щодо кроку сітки h. Підставляючи вирази (2.42), (2.43) в задачу (2.24), (2.25) і виконуючи деякі перетворення, отримаємо наступну систему:



(2.44)



Де .



Система (2.44) знову трехдіагональная і її рішення також можна отримати методом прогонки. Його алгоритм тут буде виглядати так. Спочатку знаходять коефіцієнти

(2.45)



Потім визначають коефіцієнти     за наступними рекурентним формулами:



(2.46)



Зворотний хід починається із знаходження   :



(2.47)



Після цього знаходимо за формулами:



, (2.48)

. (2.49)

Щодо схеми (2.44) можна також довести, що вона має єдине рішення   при



і ,



і це рішення може бути знайдене описаним методом прогонки. Крім того, для схеми (2.44) має місце



Теорема

Нехай рішення граничної задачі   (2.24), (2.25)   єдино і безперервно диференціюється на [a,   b] до четвертого порядку точності включно. Якщо виконуються умови

,   ,  



то схема   (2.44)   буде рівномірно сходитися до вирішення завдання   (2.24), (2.25)   з похибкою .



Зауважимо, що умови, які приводяться в теоремах, є достатніми, а аж ніяк не необхідними. Тому в практиці чисельних розрахунків порушення цих умов зазвичай не викликає помітного погіршення розрахункових схем.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Лекція
49.4кб. | скачати


Схожі роботи:
Метод кінцевих різниць
Метод скінчених різниць в обчислювальній математиці
Метод лінгвістичної географії Зіставний метод Структурний метод у лінгвістичних дослідженнях
Метод лінгвістичної географії Зіставний метод Структурний метод у л
Умовний екстремум Метод множників Лагранжа Метод найменших квадратів
Різницевий метод розв язування звичайних диференціальних рівнянь Апроксимація Метод прогонки
Якісний метод дослідження із застосуванням індикаторів Ваговий метод вимірювання швидкості корозії
Метод безперервних випробувань Графічний метод Випробування на ремонтопридатність
© Усі права захищені
написати до нас