Метод до онструірованія завдань
Автор: Литвиненко Анастасія, учениця 10 "Б" класу МГ № 48
Науковий керівник:
Тріфанова Марина Анатоліївна,
вчитель МР № 48.
Норильськ, 2002 р.
ВСТУП.
Людство вже багато сотень років вирішує завдання різного плану. Завдання ставила перед людиною природа, захист власного життя, споруда житла. У залежності від рішення життя було якось легше, то важче. Багато років рішенням приділялася всю увагу, але одного разу виникло питання: як же скласти завдання. З тих пір, напевно, пройшов великий період часу, і математика просунулася далеко вперед, ставши "царицею всіх наук", а питання залишилося і зараз, як хто-то тисячоліття тому, я запитую: як скласти завдання?
Ця тема вже досить давно зацікавила мене, я намагалася знайти відповідь на своє питання в різних джерелах, але в більшості з них були представлені лише вихідна завдання, завдання, отримана на її основі, визначення способу складання і нічого більше. Тоді, вивчивши різні матеріали, я вирішила відповісти на це питання сама. У представленій роботі і міститься відповідь.
Так як завдання бувають різні: навчальні, конкурсні, олімпіадні, завдання пастки і т.д., конструювати їх можна теж по-різному: можна створювати умови задачі на основі власних спостережень, а можна - вибираючи опорою якісь дані. Саме цей вид конструювання і розглядається в даній роботі.
Рішення задачі часто вимагає нестандартного аналітичного мислення, а значить і її складання вимагає того ж. Існує кілька способів конструювання, їх п'ять: Узагальнення, Конструкція, Окремий випадок, перефразування, Варіювання умов.
До кожного з них було складено алгоритм конструювання, який спрощує складання завдання.
Дана робота складається з Вступу, п'яти розділів і Висновку. Кожна частина представляє один із способів конструювання завдань, деякі з них містять завдання, складені за даним алгоритмом.
1. Перефразування.
Цей прийом ділиться на декілька видів, перший з яких так і називається: перефразування.
1.1. Перефразування. Цей спосіб конструювання можна використовувати для самоконтролю. Якщо людина легко може перефразувати задачу, значить, він знає, що дано, і що потрібно отримати, бачить співвідношення між ними. Якщо він опанував і способом вирішення, то в подальшому без особливих зусиль зможе вирішити будь-яку подібну задачу.
Алгоритм конструювання:
1.1.1. Виділення опорних тверджень.
Завдання бувають різні: на знаходження і на доказ; в завданнях на доказ основними поняттями є умова і висновок; в задачах на знаходження - дані і шукані величини. В задачах на знаходження часто особливо виділяють завдання на побудову будь-якої геометричної фігури. Завдання на знаходження і завдання на доказ тісно пов'язані. Найчастіше, дізнавшись доказ тієї чи іншої теореми, учні вирішують завдання на знаходження, в яких теорема знаходить своє безпосереднє застосування.
1.1.2. Рішення завдання.
Це необхідно для того, що б надалі перевірити, чи не вплинула перефразування на хід розв'язання і результат завдання.
1.1.3. Вибір тверджень для перефразування і їх зміна.
Найчастіше це заміна будь-якого слова або визначення, що допомагає "завуалювати" затвердження або дію.
1.1.4. Перефразування.
1.1.5. Рішення отриманої завдання.
Приклад 1:
Завдання: "Якщо трикутник вписаний в коло, то будь-яка його сторона буде дорівнює добутку двох радіусів цієї окружності на синус кута, протилежного цій стороні". ("Геометрія 7-11" А. В. Погорєлов)
1.1.1. Основні поняття: трикутник, вписаний в коло, а = 2Rsina.
1.1.2. Дано: АС ^ ВК; окр.О; ВК - діаметр; АВС.
Довести: проекція АС дорівнює АВ.
Доказ:
Оскільки трикутник вписаний в коло, то з вершини В можна провести діаметр ВК. Поєднавши точку К з вершиною А, отримаємо ÐВАК = ÐСВА, тому що вони мають спільну хорду АВ. Нехай ЗС = а, Ð АКВ = a, тоді, тому що ВК-діаметр, АВК - прямокутний, то (по теоремі синусів) а = 2Rsina.Ч.т. д.
1.1.3. Фразу "сторона дорівнює добутку двох радіусів на синус протилежного кута" можна замінити на "проекція діаметру, перпендикулярного одній стороні на іншу сторону, дорівнює третій стороні", тому що сенс не зміниться.
1.1.4. Отримана в результаті завдання виглядає так: "Доведіть, що для вписаного в коло трикутника проекція діаметру, перпендикулярного одній стороні, на іншу сторону, дорівнює третій стороні", (ж. "Квант") У цьому завданні спеціально використовуються "зайві" дані, щоб завдання було більш красивою і ... заплутаною.
1.1.5. Вирішення цього завдання точно таке ж, як і у вихідної задачі, тому воно не наводиться.
1.2. Заміна фігури. Алгоритм конструювання:
1.2.1. Виділення основної фігури завдання.
1.2.2. Рішення завдання.
1.2.3. Заміна фігури та уточнення отриманої завдання.
Приклад 2:
Завдання: "На площині зазначено п'ять точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Побудуйте п'ятикутник, в якому дані точки є серединами сторін". ("Як задати питання?" Н. П. Тучнін).
1.2.1. Основна фігура завдання - п'ятикутник.
1.2.2. Дано: т.В1, В2, В3, В4, В5.
Знайти: т. А1, А2, А3, А4, А5.
Рішення:
Для наочності накреслимо на площині п'ятикутник і відзначимо середини сторін, як якщо б завдання було вирішено. Проведемо в п'ятикутнику діагональ і отримаємо дві фігури: чотирикутник і трикутник, середини сторін чотирьох-
кутника є вершинами паралелограма. Поєднавши точки В2, В3, В4, отримаємо трикутник і добудуємо його до паралелограма і знайдемо середину діагоналі, яка паралельна прямій В1 В5 (по теоремі про середні лініях трикутника). Таким чином, можна легко побудувати точки А1, А2 і А5, а знаючи їх і А3, А4, за допомогою паралелограма.
1.2.3. Нехай буде не п'ятикутник, семикутник. Для цього потрібно взяти не п'ять, а сім точок, будь-які три з яких не лежать на одній прямій. У результаті виходить досить важке завдання: "На площині відзначені сім точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Побудуйте семикутник, для якого ці точки є серединами сторін". (Складена самостійно).
1.3. Переклад завдання з геометричного мови на алгебраїчний.
У результаті таких перетворень зазвичай виходять гарні і цікаві завдання, які мають складне рішення. Цей спосіб перефразування ілюструє тісна взаємодія алгебри і геометрії. Звичайно, переклад можливий не тільки з геометри-кого мови на алгебраїчний, але і навпаки, хоча рішення алгебраїчних завдань на гео-метричному мові зустрічається набагато рідше, зважаючи на складність і характерності рішення, властивого таким завданням.
Алгоритм конструювання:
1.3.1. Вибір умов, які можна замінити алгебраїчними виразами.
1.3.2. Рішення завдання.
1.3.3. Зміна умов.
1.3.4. Редагування формулювання.
1.3.5. Рішення отриманої завдання.
Приклад 3:
Завдання: "Якщо трикутник вписаний в коло, то будь-яка його сторона буде дорівнює добутку двох радіусів цієї окружності на синус кута, протилежного цій стороні". ("Геометрія 7-11" А. В. Погорєлов)
1.3.1. У даному випадку перефразування зазвичай беруться не окремі фрази або терміни, а частини фігур (сторони, кути, діагоналі і т.д.).
Умови для перекладу: сторона СВ трикутника АВС, сторона АК трикутника АВК, ÐВАС, ÐАВК, радіус і діаметр.
1.3.2. Вирішення цього завдання наведено у пункті 1.1.2.
1.3.3. Нехай СВ = а, АК = в, ÐВАС = a, ÐАВК = b, ВК = х, ВІН (радіус) = у.
1.3.4. Кінцева формулювання виглядає так: "Знайти ставлення а до в системі:
а = sin a х
в = sin b у, на підставі теореми синусів ". (Складена самостійно).
1.3.5. Рішення: по теоремі синусів, а = 2 Rsina, тоді вираження а = sinaх, в = sinbу будуть окремими випадками теореми, в цьому випадку sin a = Ö3 / 2, sinb = 1 / 2, а х і в - діаметр і радіус відповідно , х = 2у, Þв = у, Þа = 2 × Ö3в / 2, Þа / в = 1/Ö3.
Відповідь: а / в = 1/Ö3.
1.4. Перехід від прямого затвердження до зворотного.
Деякі завдання і теореми мають одну цікаву особливість: вони вірні, якщо їх вирішувати від початку до кінця, і якщо логічний ланцюжок висновків рухається у зворотному напрямку, тобто дані і шукані величини можуть мінятися місцями.
Алгоритм складання:
1.4.1. Виявлення даних і шуканих величин.
1.4.2. Рішення задачі або доведення теореми.
1.4.3. Перехід даних величин в шукані і навпаки.
1.4.4. Повторне рішення у зворотному напрямку.
1.4.5. Точна формулювання завдання.
Хочеться відзначити, що далеко не кожна задача має зворотний переклад.
Приклад 4:
Завдання: "Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник - паралелограм" ("Геометрія 7-11" А. В. Погорєлов)
1.4.1. Дане: діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, шукають: паралелограм.
1.4.2. Дано: АС ^ ВК, ВО = ОК, АТ = ОС.
Довести: АВСК - паралелограм.
Доказ:
ВО = ОК (за умовою), АТ = ОС (за умовою), ÐВОС = ÐАОК (вертикальні), то ВОС = АОК, ÞАК = ВС, ÐОАК = ÐВСО, а тому це внутрішні навхрест лежачі, то АК ½ ½ ЗС, аналогічно АВ = СК і АВ ½ ½ СК, Þ АВСК - паралелограм.
1.4.3. Дані: паралелограм; шукані: діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.
1.4.4. Повторне рішення: АК ½ ½ ЗС, ÞÐКАО = ÐВСО, ÐАКО = ÐСВО і АК = ВС, Þ АОК = СОВ та АТ = ОС, а ВО = ОК.
1.4.5. Формулювання завдання: "Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл". (Складена самостійно).
2. КОНСТРУКЦІЯ.
У завданнях цього типу вибудовується споруда, в якості деталей якого беруться завдання чи теореми, але даний спосіб конструювання має і зворотний перехід: найчастіше складне завдання можна розкласти на більш прості складові, що застосовується для вирішення складних завдань і називається "Окремий випадок", який розглядається в наступному пункті.
Перетворення завдань одного типу в задачі іншого типу - одне з найпростіших творчих вправ і часто рекомендується для самостійної роботи.
Деякі завдання конструюються авторами під вподобану ідею рішення. Так само можна сконструювати завдання "під відповідь".
Алгоритм конструювання:
2.1. Вибір завдання, тверджень рішень або результатів для створення конструкції.
2.2. Рішення задач або доказ тверджень (якщо завдання конструюється під відповідь або спосіб рішення цей пункт можна виключити).
2.3. Вибір "деталей" для майбутньої конструкції (даний пункт також необхідний лише в тому випадку, коли використовуються завдання чи теореми).
2.4. З'єднання або коригування вибраних даних.
2.5. Уточнення формулювання.
2.6. Рішення вийшла завдання.
Приклад 5:
В якості ілюстрації цього способу конструювання обрана досить рідко зустрічається завдання-пастка, яка буде сконструйована під спеціально підібрані дані.
2.1. У даному випадку основою завдання виступає опуклий чотирикутник з заданими сторонами, дві з яких дорівнюють одному числу, а дві - іншому.
2.4. Нехай цей чотирикутник буде мати довжини сторін 6 і 10, і бути в основі чотирикутної піраміди, висота якої дорівнює 7, а грані нахилені до площини під кутом 60 °.
2.5. Уточнення формулювання: "В основі чотирикутної піраміди лежить опуклий чотирикутник, дві сторони якого рівні 6, а дві - 10, висота піраміди дорівнює 7, бічні грані нахилені до площини під кутом 60 °. Знайдіть об'єм піраміди", (ж. "Квант" ).
2.6. Дано: АВ = ВС = 6, АК = КС = 10, h = 7, кут до площини 60, ОАВСК - піраміда, АВСК - чотирикутник.
Знайти: V АВСКО.
Рішення:
Двогранні кути при основі рівні або 60 ° або 120 ° (за умовою, але не обов'язково 60 °, в чому і полягає пастка), вершина Про проектується в точку, рівновіддаленість від прямих, що утворюють чотирикутник, Þ АВСК - не паралелограм, значить, дві сусідні сторони рівні 6, а дві інші, також сусідні, 10.
Якщо у чотирикутника АВСК АВ = ВС = 10, АК = КС = 6, то існують дві однаково - віддалені від його сторін точки (О1 і О2). Відстані від проекції вершини Про до сторін піраміди рівні 7/Ö3 (наслідок з умови). Якщо проекція вершини - точка О1 (центр вписаною в АВСК кола), то S АВСК = 16 × 7/Ö3, але це неможливо, тому що S АВСК £ 60
(Найбільша площа досягається, якщо кути ÐКАВ і ÐВСК прямі, тоді
S АВСК = 1/2d1 × d2 × sin (d1d2) = 1 / 2 × 8 × 15 × sin 90 ° = 60, Þвершіна Про проектується в точку О2, відстані від якої до сторін рівні 7/Ö3, тоді S АВСК = = (10 - 6) 7/Ö3 = 28/Ö3, а V АВСКО = 64/Ö3.
Відповідь: V АВСКО = 64/Ö3.
3. ПРИВАТНИЙ ВИПАДОК.
Іноді поставлена задача виявляється настільки важкою, що не піддається вирішенню, тоді використовується наступний спосіб: вирішується частина завдання або розглядається кілька завдань, аналогічних даної, що і називається використанням "окремого випадку". Буває, що викладачеві не вистачає якоїсь простої задачі для ілюстрації нової теореми, тоді теж може допомогти "окремий випадок".
В історії є приклади того, що узагальнені теореми не знаходять застосування, а їх "окремі випадки" отримують широке поширення і є одними з найважливіших серед інших теорем математики (прикладом подібної ситуації може послужити теорема Паппа і її "окремий випадок" теорема Піфагора).
Алгоритм конструювання:
3.1. Рішення складної конструкції
3.2. Деталізованість завдання.
3.3. Зміна умов.
3.4. Пояснення можливої зміни рішення.
3.5. З'єднання та уточнення умов.
3.6. Рішення отриманої завдання.
Приклад 6: Завдання: "Твір діагоналей вписаного чотирикутника дорівнює сумі творів його протилежних сторін. (Теорема Птолемея)" (ж. "Квант" № 4 1991р. ") 3.1. Дано: окр., АВСК - вписаний чотирикутник, АС і ВК - діагоналі.
Довести: ВК × АС = СК × АВ + НД × АК.
Доказ:
Візьмемо на діагоналі АС точку М таку, що ÐАВМ = ÐСВК. Оскільки
кут ÐСКВ = ÐМАВ (як вписані), ТСК подібний АВМ, тому ВК: АВ = СК: АМ Û АВ × СК = АМ × ВК (1). З того, що ÐАВК = ÐМВС (з побудови), а Ð ВСМ = ÐАКВ (вписані), випливає, що АВК подібний МВС, ÞАК: СМ = ВК: ВСÛ АК × ЗС = ВК × СМ (2).
Склавши почленно (1) і (2), отримуємо ВК × АС = СК × АВ + НД × АК, що й потрібно було довести.
3.2. Отже, теорему можна поділити на групу термінів: "твір діагоналей", "вписаний чотирикутник" і "сума творів протилежних сторін".
3.3. Для того щоб отримати окремий випадок теореми Птолемея, обраний термін "вписаний чотирикутник", який змінюється на "вписаний квадрат".
3.4. У результаті зміни умов, змінюється і рішення: точка М переноситься в центр кола, який є і точкою перетину діагоналей квадрата.
3.5. Отримана завдання виглядає так: "Доведіть, що квадрат боку вписаного квадрата дорівнює двом площам цього квадрата". (Складена самостійно).
3.6. Рішення:
Дано: АВСК - вписаний квадрат, АС і ВК - діагоналі, О - центр кола.
Довести: ВК × ВК = 2 S АВСК.
Доказ:
Оскільки ÐАВО = ÐСВК (діагональ квадрата є бісектрисою),
ÐСКВ = ÐОАВ (вписані), ТСК подібний АВК, Þ АВ × АВ = АТ × ВК (1).
Т.к.ÐАВК = ÐОВС (аналогічно ÐАВО = ÐСВК), ÐВСО = ÐАОВ (вписані), АВК подібний ОВС, Þ ВА × ВА = ВК × СВ (2).
Склавши (1) і (2), отримуємо: ВК × ВК = ВА × ВА, тому що ВА × ВА = 2 S АВСК, ВК × ВК = 2 S АВСК, що й потрібно було довести.
Хочеться відзначити, що "Окремий випадок" завжди вирішується простіше образовавшей його завдання.
У деяких випадках між даними і шуканими величинами в задачі загального характеру існує складна залежність, і вирішити це завдання елементарними методами не вдається, в той час як приватна завдання цього типу має цілком просте і красиве рішення.
4. Варіювання умов.
Варіювання умов - спосіб конструювання завдань, який може змінити рішення і результат завдання шляхом заміни лише одного слова, наприклад, завдання на побудову трикутника за трьома сторонами має елементарне рішення, а якщо замінити "сторони" на "бісектриси", рішення багаторазово ускладнюється. Варіювання умов часто призводить до утворення цілих циклів завдань, дуже схожих один на одного за звучанням, але зовсім різних за типом і складності рішення. Варіювання буває різним: в першому випадку змінюється визначення або термін, у другому - рівність чи нерівність, причому ці два способи досить сильно відрізняються на практиці, хоча і схожі в теорії.
Алгоритм конструювання:
4.1. Виділення умов для зміни.
4.2. Зміна вибраних умов.
4.3. Уточнення формулювання.
Приклад 7:
Завдання: "На площині дано дві точки: А і В. Знайдіть геометричне місце точок площини З таких, що для трикутника АВС має місце рівність: ah а = вh в (де h а і h в - висоти, опущені на сторони а і в ). (ж. "Квант" № 9, 1991р.)
4.1. Так як в завданні використовується рівність, то для зміни вибрані його члени: а і в.
4.2. Нехай а чи зміниться на проведену до неї медіану ма, а в - на медіану мв.
4.3. Підсумкова формулювання: "На площині дано дві точки: А і В, знайдіть геометричне місце точок З таких, що для трикутника має місце рівність:
м у × h а = h в × м а ", (ж." Квант ").
5. УЗАГАЛЬНЕННЯ.
Узагальнення - один з перших способів отримання нових завдань і теорем, хоча далеко не кожне завдання або теорему можна узагальнити. Бурхливий процес узагальнення математичних знань і створення все більш і більш абстрактних теорій почалися в дев'ятнадцятому столітті, і продовжується до цих пір.
У процесі розвитку математики багато математичні поняття зазнавали значних змін у бік узагальнення. Деякі початкові визначення з більш загальної точки зору виявлялися невдалими, і їх доводилося змінювати, давати нові найменування.
Алгоритм конструювання:
5.1. Виявлення можливості узагальнення.
5.2. Узагальнення обраного факту.
5.3. Уточнення формулювання.
Узагальнення - дуже ємне поняття, це і отримання більш абстрактних понять, і перенесення затвердження на більш широке безліч об'єктів, і отримання нових інтерпретацій, і перенесення затвердження завдання з площини у простір. З одним з найпростіших узагальнень є перетворення числової завдання, шляхом заміни числових даних літерами-символами. Як не елементарно подібне узагальнення, воно може привести до цікавих висновків, а іноді і до створення нових формул.
Приклад 8:
Теорема: "Заснування хоча б однієї висоти трикутника лежить на відповідній стороні, а не на її продовження", (ж. "Квант" № 9, 1991р.)
5.1. Можливо перенести затвердження теореми з площини у простір, а конкретніше: змінити плоску фігуру на об'ємну.
5.2. Термін "Трикутник" у разі виходу до простір трансформується в "тетраедр"
5.3. Нова теорема виглядає так: "Для будь-якого тетраедра підставу хоча б однієї висоти належить відповідної грані тетраедра". (Ж. "Квант").
Висновок.
Матеріал, представлений в даній роботі, має значення як для вчителів, так і для учнів. Своє застосування для педагогів він може знайти як посібник для складання завдань конкретно до кожного уроку, якщо в підручниках і різних методичних посібниках не знайдеться необхідних відомостей. Учням дана робота допоможе не розгубитися перед складною або об'ємної завданням, тому що, знаючи як завдання була складена, знайти рішення набагато простіше.
Розібрана тема необхідна для вивчення історії виникнення завдань, для складання і рішення як простих, так і складних як математичних, але і життєвих завдань. Можливо, її значення для великої науки не так уже й великий, але на прикладі розібраних в ній прийомів конструювання можна навчиться виділяти опорні пункти в задачі, або ж навпаки, узагальнювати. Важливо те, що дана тема - шлях до нескінченного творчості, а який його вид вибере людина - вирішувати тільки йому.
ЛІТЕРАТУРА:
1. Н.П. Тучнін "Як задати питання?"
2. І. Шаригін "Звідки беруться завдання?"
3. А.В. Погорєлов "Геометрія 7-11"
4. Журнали "Квант"
5. М.І. Сканаві "Збірник завдань з математики для вступників у
ВНЗ "
6. В.М. Фінкельштейн "Коли завдання не виходить".
Автор: Литвиненко Анастасія, учениця 10 "Б" класу МГ № 48
Науковий керівник:
Тріфанова Марина Анатоліївна,
вчитель МР № 48.
Норильськ, 2002 р.
ВСТУП.
Людство вже багато сотень років вирішує завдання різного плану. Завдання ставила перед людиною природа, захист власного життя, споруда житла. У залежності від рішення життя було якось легше, то важче. Багато років рішенням приділялася всю увагу, але одного разу виникло питання: як же скласти завдання. З тих пір, напевно, пройшов великий період часу, і математика просунулася далеко вперед, ставши "царицею всіх наук", а питання залишилося і зараз, як хто-то тисячоліття тому, я запитую: як скласти завдання?
Ця тема вже досить давно зацікавила мене, я намагалася знайти відповідь на своє питання в різних джерелах, але в більшості з них були представлені лише вихідна завдання, завдання, отримана на її основі, визначення способу складання і нічого більше. Тоді, вивчивши різні матеріали, я вирішила відповісти на це питання сама. У представленій роботі і міститься відповідь.
Так як завдання бувають різні: навчальні, конкурсні, олімпіадні, завдання пастки і т.д., конструювати їх можна теж по-різному: можна створювати умови задачі на основі власних спостережень, а можна - вибираючи опорою якісь дані. Саме цей вид конструювання і розглядається в даній роботі.
Рішення задачі часто вимагає нестандартного аналітичного мислення, а значить і її складання вимагає того ж. Існує кілька способів конструювання, їх п'ять: Узагальнення, Конструкція, Окремий випадок, перефразування, Варіювання умов.
До кожного з них було складено алгоритм конструювання, який спрощує складання завдання.
Дана робота складається з Вступу, п'яти розділів і Висновку. Кожна частина представляє один із способів конструювання завдань, деякі з них містять завдання, складені за даним алгоритмом.
1. Перефразування.
Цей прийом ділиться на декілька видів, перший з яких так і називається: перефразування.
1.1. Перефразування. Цей спосіб конструювання можна використовувати для самоконтролю. Якщо людина легко може перефразувати задачу, значить, він знає, що дано, і що потрібно отримати, бачить співвідношення між ними. Якщо він опанував і способом вирішення, то в подальшому без особливих зусиль зможе вирішити будь-яку подібну задачу.
Алгоритм конструювання:
1.1.1. Виділення опорних тверджень.
Завдання бувають різні: на знаходження і на доказ; в завданнях на доказ основними поняттями є умова і висновок; в задачах на знаходження - дані і шукані величини. В задачах на знаходження часто особливо виділяють завдання на побудову будь-якої геометричної фігури. Завдання на знаходження і завдання на доказ тісно пов'язані. Найчастіше, дізнавшись доказ тієї чи іншої теореми, учні вирішують завдання на знаходження, в яких теорема знаходить своє безпосереднє застосування.
1.1.2. Рішення завдання.
Це необхідно для того, що б надалі перевірити, чи не вплинула перефразування на хід розв'язання і результат завдання.
1.1.3. Вибір тверджень для перефразування і їх зміна.
Найчастіше це заміна будь-якого слова або визначення, що допомагає "завуалювати" затвердження або дію.
1.1.4. Перефразування.
1.1.5. Рішення отриманої завдання.
Приклад 1:
Завдання: "Якщо трикутник вписаний в коло, то будь-яка його сторона буде дорівнює добутку двох радіусів цієї окружності на синус кута, протилежного цій стороні". ("Геометрія 7-11" А. В. Погорєлов)
1.1.1. Основні поняття: трикутник, вписаний в коло, а = 2Rsina.
Довести: проекція АС дорівнює АВ.
Доказ:
Оскільки трикутник вписаний в коло, то з вершини В можна провести діаметр ВК. Поєднавши точку К з вершиною А, отримаємо ÐВАК = ÐСВА, тому що вони мають спільну хорду АВ. Нехай ЗС = а, Ð АКВ = a, тоді, тому що ВК-діаметр, АВК - прямокутний, то (по теоремі синусів) а = 2Rsina.Ч.т. д.
1.1.3. Фразу "сторона дорівнює добутку двох радіусів на синус протилежного кута" можна замінити на "проекція діаметру, перпендикулярного одній стороні на іншу сторону, дорівнює третій стороні", тому що сенс не зміниться.
1.1.4. Отримана в результаті завдання виглядає так: "Доведіть, що для вписаного в коло трикутника проекція діаметру, перпендикулярного одній стороні, на іншу сторону, дорівнює третій стороні", (ж. "Квант") У цьому завданні спеціально використовуються "зайві" дані, щоб завдання було більш красивою і ... заплутаною.
1.1.5. Вирішення цього завдання точно таке ж, як і у вихідної задачі, тому воно не наводиться.
1.2. Заміна фігури. Алгоритм конструювання:
1.2.1. Виділення основної фігури завдання.
1.2.2. Рішення завдання.
1.2.3. Заміна фігури та уточнення отриманої завдання.
Приклад 2:
Завдання: "На площині зазначено п'ять точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Побудуйте п'ятикутник, в якому дані точки є серединами сторін". ("Як задати питання?" Н. П. Тучнін).
1.2.1. Основна фігура завдання - п'ятикутник.
1.2.2. Дано: т.В1, В2, В3, В4, В5.
Знайти: т. А1, А2, А3, А4, А5.
Рішення:
Для наочності накреслимо на площині п'ятикутник і відзначимо середини сторін, як якщо б завдання було вирішено. Проведемо в п'ятикутнику діагональ і отримаємо дві фігури: чотирикутник і трикутник, середини сторін чотирьох-
кутника є вершинами паралелограма. Поєднавши точки В2, В3, В4, отримаємо трикутник і добудуємо його до паралелограма і знайдемо середину діагоналі, яка паралельна прямій В1 В5 (по теоремі про середні лініях трикутника). Таким чином, можна легко побудувати точки А1, А2 і А5, а знаючи їх і А3, А4, за допомогою паралелограма.
1.2.3. Нехай буде не п'ятикутник, семикутник. Для цього потрібно взяти не п'ять, а сім точок, будь-які три з яких не лежать на одній прямій. У результаті виходить досить важке завдання: "На площині відзначені сім точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій. Побудуйте семикутник, для якого ці точки є серединами сторін". (Складена самостійно).
1.3. Переклад завдання з геометричного мови на алгебраїчний.
У результаті таких перетворень зазвичай виходять гарні і цікаві завдання, які мають складне рішення. Цей спосіб перефразування ілюструє тісна взаємодія алгебри і геометрії. Звичайно, переклад можливий не тільки з геометри-кого мови на алгебраїчний, але і навпаки, хоча рішення алгебраїчних завдань на гео-метричному мові зустрічається набагато рідше, зважаючи на складність і характерності рішення, властивого таким завданням.
Алгоритм конструювання:
1.3.1. Вибір умов, які можна замінити алгебраїчними виразами.
1.3.2. Рішення завдання.
1.3.3. Зміна умов.
1.3.4. Редагування формулювання.
1.3.5. Рішення отриманої завдання.
Приклад 3:
Завдання: "Якщо трикутник вписаний в коло, то будь-яка його сторона буде дорівнює добутку двох радіусів цієї окружності на синус кута, протилежного цій стороні". ("Геометрія 7-11" А. В. Погорєлов)
1.3.1. У даному випадку перефразування зазвичай беруться не окремі фрази або терміни, а частини фігур (сторони, кути, діагоналі і т.д.).
Умови для перекладу: сторона СВ трикутника АВС, сторона АК трикутника АВК, ÐВАС, ÐАВК, радіус і діаметр.
1.3.2. Вирішення цього завдання наведено у пункті 1.1.2.
1.3.3. Нехай СВ = а, АК = в, ÐВАС = a, ÐАВК = b, ВК = х, ВІН (радіус) = у.
1.3.4. Кінцева формулювання виглядає так: "Знайти ставлення а до в системі:
в = sin b у, на підставі теореми синусів ". (Складена самостійно).
1.3.5. Рішення: по теоремі синусів, а = 2 Rsina, тоді вираження а = sinaх, в = sinbу будуть окремими випадками теореми, в цьому випадку sin a = Ö3 / 2, sinb = 1 / 2, а х і в - діаметр і радіус відповідно , х = 2у, Þв = у, Þа = 2 × Ö3в / 2, Þа / в = 1/Ö3.
Відповідь: а / в = 1/Ö3.
1.4. Перехід від прямого затвердження до зворотного.
Деякі завдання і теореми мають одну цікаву особливість: вони вірні, якщо їх вирішувати від початку до кінця, і якщо логічний ланцюжок висновків рухається у зворотному напрямку, тобто дані і шукані величини можуть мінятися місцями.
Алгоритм складання:
1.4.1. Виявлення даних і шуканих величин.
1.4.2. Рішення задачі або доведення теореми.
1.4.3. Перехід даних величин в шукані і навпаки.
1.4.4. Повторне рішення у зворотному напрямку.
1.4.5. Точна формулювання завдання.
Хочеться відзначити, що далеко не кожна задача має зворотний переклад.
Приклад 4:
Завдання: "Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник - паралелограм" ("Геометрія 7-11" А. В. Погорєлов)
1.4.1. Дане: діагоналі чотирикутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл, шукають: паралелограм.
1.4.2. Дано: АС ^ ВК, ВО = ОК, АТ = ОС.
Довести: АВСК - паралелограм.
Доказ:
1.4.3. Дані: паралелограм; шукані: діагоналі перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.
1.4.5. Формулювання завдання: "Діагоналі паралелограма перетинаються і точкою перетину діляться навпіл". (Складена самостійно).
2. КОНСТРУКЦІЯ.
У завданнях цього типу вибудовується споруда, в якості деталей якого беруться завдання чи теореми, але даний спосіб конструювання має і зворотний перехід: найчастіше складне завдання можна розкласти на більш прості складові, що застосовується для вирішення складних завдань і називається "Окремий випадок", який розглядається в наступному пункті.
Перетворення завдань одного типу в задачі іншого типу - одне з найпростіших творчих вправ і часто рекомендується для самостійної роботи.
Деякі завдання конструюються авторами під вподобану ідею рішення. Так само можна сконструювати завдання "під відповідь".
Алгоритм конструювання:
2.1. Вибір завдання, тверджень рішень або результатів для створення конструкції.
2.2. Рішення задач або доказ тверджень (якщо завдання конструюється під відповідь або спосіб рішення цей пункт можна виключити).
2.3. Вибір "деталей" для майбутньої конструкції (даний пункт також необхідний лише в тому випадку, коли використовуються завдання чи теореми).
2.4. З'єднання або коригування вибраних даних.
2.5. Уточнення формулювання.
2.6. Рішення вийшла завдання.
Приклад 5:
В якості ілюстрації цього способу конструювання обрана досить рідко зустрічається завдання-пастка, яка буде сконструйована під спеціально підібрані дані.
2.1. У даному випадку основою завдання виступає опуклий чотирикутник з заданими сторонами, дві з яких дорівнюють одному числу, а дві - іншому.
2.4. Нехай цей чотирикутник буде мати довжини сторін 6 і 10, і бути в основі чотирикутної піраміди, висота якої дорівнює 7, а грані нахилені до площини під кутом 60 °.
2.5. Уточнення формулювання: "В основі чотирикутної піраміди лежить опуклий чотирикутник, дві сторони якого рівні 6, а дві - 10, висота піраміди дорівнює 7, бічні грані нахилені до площини під кутом 60 °. Знайдіть об'єм піраміди", (ж. "Квант" ).
2.6. Дано: АВ = ВС = 6, АК = КС = 10, h = 7, кут до площини 60, ОАВСК - піраміда, АВСК - чотирикутник.
Знайти: V АВСКО.
Рішення:
Двогранні кути при основі рівні або 60 ° або 120 ° (за умовою, але не обов'язково 60 °, в чому і полягає пастка), вершина Про проектується в точку, рівновіддаленість від прямих, що утворюють чотирикутник, Þ АВСК - не паралелограм, значить, дві сусідні сторони рівні 6, а дві інші, також сусідні, 10.
Якщо у чотирикутника АВСК АВ = ВС = 10, АК = КС = 6, то існують дві однаково - віддалені від його сторін точки (О1 і О2). Відстані від проекції вершини Про до сторін піраміди рівні 7/Ö3 (наслідок з умови). Якщо проекція вершини - точка О1 (центр вписаною в АВСК кола), то S АВСК = 16 × 7/Ö3, але це неможливо, тому що S АВСК £ 60
(Найбільша площа досягається, якщо кути ÐКАВ і ÐВСК прямі, тоді
S АВСК = 1/2d1 × d2 × sin (d1d2) = 1 / 2 × 8 × 15 × sin 90 ° = 60, Þвершіна Про проектується в точку О2, відстані від якої до сторін рівні 7/Ö3, тоді S АВСК = = (10 - 6) 7/Ö3 = 28/Ö3, а V АВСКО = 64/Ö3.
Відповідь: V АВСКО = 64/Ö3.
3. ПРИВАТНИЙ ВИПАДОК.
Іноді поставлена задача виявляється настільки важкою, що не піддається вирішенню, тоді використовується наступний спосіб: вирішується частина завдання або розглядається кілька завдань, аналогічних даної, що і називається використанням "окремого випадку". Буває, що викладачеві не вистачає якоїсь простої задачі для ілюстрації нової теореми, тоді теж може допомогти "окремий випадок".
В історії є приклади того, що узагальнені теореми не знаходять застосування, а їх "окремі випадки" отримують широке поширення і є одними з найважливіших серед інших теорем математики (прикладом подібної ситуації може послужити теорема Паппа і її "окремий випадок" теорема Піфагора).
Алгоритм конструювання:
3.1. Рішення складної конструкції
3.2. Деталізованість завдання.
3.3. Зміна умов.
3.4. Пояснення можливої зміни рішення.
3.5. З'єднання та уточнення умов.
3.6. Рішення отриманої завдання.
Приклад 6: Завдання: "Твір діагоналей вписаного чотирикутника дорівнює сумі творів його протилежних сторін. (Теорема Птолемея)" (ж. "Квант" № 4 1991р. ") 3.1. Дано: окр., АВСК - вписаний чотирикутник, АС і ВК - діагоналі.
Довести: ВК × АС = СК × АВ + НД × АК.
Доказ:
Візьмемо на діагоналі АС точку М таку, що ÐАВМ = ÐСВК. Оскільки
Склавши почленно (1) і (2), отримуємо ВК × АС = СК × АВ + НД × АК, що й потрібно було довести.
3.2. Отже, теорему можна поділити на групу термінів: "твір діагоналей", "вписаний чотирикутник" і "сума творів протилежних сторін".
3.3. Для того щоб отримати окремий випадок теореми Птолемея, обраний термін "вписаний чотирикутник", який змінюється на "вписаний квадрат".
3.4. У результаті зміни умов, змінюється і рішення: точка М переноситься в центр кола, який є і точкою перетину діагоналей квадрата.
3.5. Отримана завдання виглядає так: "Доведіть, що квадрат боку вписаного квадрата дорівнює двом площам цього квадрата". (Складена самостійно).
3.6. Рішення:
Дано: АВСК - вписаний квадрат, АС і ВК - діагоналі, О - центр кола.
Довести: ВК × ВК = 2 S АВСК.
Доказ:
Оскільки ÐАВО = ÐСВК (діагональ квадрата є бісектрисою),
Склавши (1) і (2), отримуємо: ВК × ВК = ВА × ВА, тому що ВА × ВА = 2 S АВСК, ВК × ВК = 2 S АВСК, що й потрібно було довести.
Хочеться відзначити, що "Окремий випадок" завжди вирішується простіше образовавшей його завдання.
У деяких випадках між даними і шуканими величинами в задачі загального характеру існує складна залежність, і вирішити це завдання елементарними методами не вдається, в той час як приватна завдання цього типу має цілком просте і красиве рішення.
4. Варіювання умов.
Варіювання умов - спосіб конструювання завдань, який може змінити рішення і результат завдання шляхом заміни лише одного слова, наприклад, завдання на побудову трикутника за трьома сторонами має елементарне рішення, а якщо замінити "сторони" на "бісектриси", рішення багаторазово ускладнюється. Варіювання умов часто призводить до утворення цілих циклів завдань, дуже схожих один на одного за звучанням, але зовсім різних за типом і складності рішення. Варіювання буває різним: в першому випадку змінюється визначення або термін, у другому - рівність чи нерівність, причому ці два способи досить сильно відрізняються на практиці, хоча і схожі в теорії.
Алгоритм конструювання:
4.1. Виділення умов для зміни.
4.2. Зміна вибраних умов.
4.3. Уточнення формулювання.
Приклад 7:
Завдання: "На площині дано дві точки: А і В. Знайдіть геометричне місце точок площини З таких, що для трикутника АВС має місце рівність: ah а = вh в (де h а і h в - висоти, опущені на сторони а і в ). (ж. "Квант" № 9, 1991р.)
4.1. Так як в завданні використовується рівність, то для зміни вибрані його члени: а і в.
4.2. Нехай а чи зміниться на проведену до неї медіану ма, а в - на медіану мв.
4.3. Підсумкова формулювання: "На площині дано дві точки: А і В, знайдіть геометричне місце точок З таких, що для трикутника має місце рівність:
м у × h а = h в × м а ", (ж." Квант ").
5. УЗАГАЛЬНЕННЯ.
Узагальнення - один з перших способів отримання нових завдань і теорем, хоча далеко не кожне завдання або теорему можна узагальнити. Бурхливий процес узагальнення математичних знань і створення все більш і більш абстрактних теорій почалися в дев'ятнадцятому столітті, і продовжується до цих пір.
У процесі розвитку математики багато математичні поняття зазнавали значних змін у бік узагальнення. Деякі початкові визначення з більш загальної точки зору виявлялися невдалими, і їх доводилося змінювати, давати нові найменування.
Алгоритм конструювання:
5.1. Виявлення можливості узагальнення.
5.2. Узагальнення обраного факту.
5.3. Уточнення формулювання.
Узагальнення - дуже ємне поняття, це і отримання більш абстрактних понять, і перенесення затвердження на більш широке безліч об'єктів, і отримання нових інтерпретацій, і перенесення затвердження завдання з площини у простір. З одним з найпростіших узагальнень є перетворення числової завдання, шляхом заміни числових даних літерами-символами. Як не елементарно подібне узагальнення, воно може привести до цікавих висновків, а іноді і до створення нових формул.
Приклад 8:
Теорема: "Заснування хоча б однієї висоти трикутника лежить на відповідній стороні, а не на її продовження", (ж. "Квант" № 9, 1991р.)
5.1. Можливо перенести затвердження теореми з площини у простір, а конкретніше: змінити плоску фігуру на об'ємну.
5.2. Термін "Трикутник" у разі виходу до простір трансформується в "тетраедр"
5.3. Нова теорема виглядає так: "Для будь-якого тетраедра підставу хоча б однієї висоти належить відповідної грані тетраедра". (Ж. "Квант").
Висновок.
Матеріал, представлений в даній роботі, має значення як для вчителів, так і для учнів. Своє застосування для педагогів він може знайти як посібник для складання завдань конкретно до кожного уроку, якщо в підручниках і різних методичних посібниках не знайдеться необхідних відомостей. Учням дана робота допоможе не розгубитися перед складною або об'ємної завданням, тому що, знаючи як завдання була складена, знайти рішення набагато простіше.
Розібрана тема необхідна для вивчення історії виникнення завдань, для складання і рішення як простих, так і складних як математичних, але і життєвих завдань. Можливо, її значення для великої науки не так уже й великий, але на прикладі розібраних в ній прийомів конструювання можна навчиться виділяти опорні пункти в задачі, або ж навпаки, узагальнювати. Важливо те, що дана тема - шлях до нескінченного творчості, а який його вид вибере людина - вирішувати тільки йому.
ЛІТЕРАТУРА:
1. Н.П. Тучнін "Як задати питання?"
2. І. Шаригін "Звідки беруться завдання?"
3. А.В. Погорєлов "Геометрія 7-11"
4. Журнали "Квант"
5. М.І. Сканаві "Збірник завдань з математики для вступників у
ВНЗ "
6. В.М. Фінкельштейн "Коли завдання не виходить".