Метод комплексних чисел в планіметрії

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Передмова

У даній роботі розглянуто метод комплексних чисел в планіметрії, застосування його критеріїв в задачах елементарного характеру на теми - «Паралельність, колінеарність, перпендикулярність», «Кути і площі», «Многокутники», «Пряма і коло».
Метод комплексних чисел в іноземній літературі використовується досить широко. Однак у вітчизняній літературі цей метод не отримав широкого розповсюдження. Є окремі фрагменти в книзі З. А. Скопець. Систематичне виклад цього методу даний в книзі Я. П. Понаріна «Алгебра комплексних чисел в геометричних задач». Нами обрані й вирішені на наш погляд найбільш цікаві завдання, що виконуються цим методом.
Метод комплексних чисел дозволяє вирішувати планіметричних завдання прямим обчисленням по готових формулами. Вибір цих формул з очевидністю диктується умовою задачі та її вимогою. У цьому полягає надзвичайна простота цього методу в порівнянні з векторним і координатним методами, методом геометричних перетворень, конструктивно-синтетичним методом, що вимагають від вирішального часом чималому кмітливості і тривалих пошуків, хоча при цьому готове рішення може бути коротким.

§ 1 Паралельність, колінеарність, перпендикулярність.

1.1. Колінеарність векторів.
(1.2)
1.2. Колінеарність трьох точок.
                                      (1.3)
Це - критерій приналежності точок А, В, С одній прямій.
(1.5)
визначає пряму, яка містить хорду АВ одиничному колі.
1.3. Перпендикулярність відрізків (векторів).
(1.7)
Рівняння дотичної
(1.8)
(1.9)
Рис.1

З а д а ч а 1. Довести, що точки перетину прямих, що містять сторони трикутника, з дотичними до описаної окружності в протилежних їм вершинах колінеарні.

§ 2 Кути та площі

Рис. 2
2.1. Кут між векторами.
(2.1)

(2.2)
2.2. Площа трикутника
(2.3)
Рис. 3

З а д а ч а 2. Підстава D висоти CD трикутника ABC ділить сторону AB у відношенні 3:1. Кут ACD вдвічі більше кута BCD. Обчислити кути трикутника ABC.

§ 3 Багатокутники

3.1. Подібні трикутники.
(3.1)
де - Комплексне число, - Коефіцієнт подібності.
(3.2)
де - Комплексне число, - Коефіцієнт подібності.
Якщо , То трикутники і рівні. Тоді співвідношення (3.1) - ознака рівності однаково орієнтованих трикутників, а співвідношення (3.2) - ознака рівності протилежно орієнтованих трикутників.
3.2. Критерій правильного трикутника.
Трикутник орієнтований позитивно:
(3.4)
Трикутник орієнтований негативно:
(3.5)

3.3 Правильні многокутники.

де k приймає значення . Всі n значень мають один і той же модуль


Коріння рівняння
Рис. 5

відповідають вершини .
Рис. 6
З а д а ч а 3. Точки симетричні точці Р, що лежить в площині трикутника ABC, відносно, відповідно, прямих AB, BC, CA. Точки - Середини відрізків Доведіть, що трикутники і подібні і протилежно орієнтовані (рис. 5).

З а д а ч а 4. На сторони і опуклого чотирикутника поза його побудовано правильні трикутники і а на сторонах і побудовані правильні трикутники і лежать з чотирикутником в одній півплощині щодо прямих і відповідно. Доведіть, що -Паралелограм (рис. 6).
Рис. 7

З а д а ч а 5. Точка ділить сторону правильного трикутника у відношенні 3:2 рахуючи від точки . Точка ділить сторону у відношенні 3:14, рахуючи від точки . Відрізки і перетинаються в точці . Доведіть, що прямі і перпендикулярні.
Рис. 8

З а д а ч а 6. Через центр правильного трикутника проведена пряма. Довести, що сума квадратів відстаней від вершин трикутника до прямої не залежить від вибору прямої.
Рис. 9

З а д а ч а 7. Нехай d - діаметр окружності, і
- Сторони вписаного в неї і описаного близько
неї правильних n-кутників. Доведіть, що
(Рис. 9).

§ 4 Пряма і коло

4.1. Рівняння прямої.
(4.1)

Нехай коефіцієнти a і b не звертаються в нуль одночасно. Приходимо до рівняння: яке а) має єдине рішення при б) має нескінченну безліч рішень при
Звідси і на підставі попередніх досліджень отримуємо, що рівняння (4.1) визначає а) єдину точку при б) пряму при в) порожня множина при
4.3. Загальне рівняння кола в сполучених комлексний координатах. Окружність з центром S (s) і радіусом R має рівняння
(4.2)
де z - координата змінної точки окружності.
(4.4)
Порівнюючи рівняння (4.3) з рівнянням (4.2) приходимо до висновку, що рівняння (4.3) і (4.2) задають окружність тоді і тільки тоді, коли і ab - C - Дійсне число. Звідси , А значить, з має бути дійсним числом. Отже, рівняння
(4.5)
є рівняння кола з центром і радіусом
4.4. Рівняння кола по трьох даними точками. Нехай окружність проходить через точки A, B, C. Тоді однорідна лінійна система

щодо має ненульовий рішення (так як кола визначаються трьома неколінеарних точками), тому її визначник дорівнює нулю:
(4.6)
Це рівняння являє собою рівняння кола по трьох даними точками.
4.5. Ортогональні окружності. Дві пересічні окружності називаються ортогональними, якщо дотичні до них в їх спільної точки перпендикулярні. Очевидно, що дотична до однієї з кіл у їх спільній точці містить центр іншого кола.
Дано дві окружності (A, R) і (B, r), задані відповідно рівняннями: де і де Для того, щоб ці кола були ортогональні, необхідно і достатньо, щоб або
(4.7)
або
(4.8)
Рис.10
З а д а ч а 7. У площині дано два відрізки AB і CD. Знайдіть безліч точок М, для кожної з яких площі трикутників MAB і MDC рівні (рис. 10).
З а д а ч а 9.   На гіпотенузі AB прямокутного трикутника   ABC дана довільна точка P. Доведіть, що кола, описані навколо трикутників   APC і BPC, ортогональні.
Рис. 11
Д о к о з а т е л ь с т в о. Приймемо вершину З даного трикутника за початкову точку. Нехай крапок А, В, P відповідають комплексні числа 1, b, p, а центрам кіл РАС і РВС числа (Рис. 11). За умовою або . Переходячи до комплексних числах, отримуємо: звідки .
Керуючись (4.6), складемо рівняння кола РВС:

або

Після розкриття визначника отримуємо:

або

звідки

З рівняння знаходимо:
Аналогічно, для кола Р A З маємо:

і

звідси
Згідно з критерієм (4.8) для того, щоб окружності РАС і РВС були ортогональні необхідно і достатньо, щоб Враховуючи попередні результати, перевіримо здійснимість даного критерію:


Таким чином, окружності РАС і РВС є ортогональними.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Курсова
49.6кб. | скачати


Схожі роботи:
Генерування псевдовипадкових чисел Метод середини квадрата
Закономірність розподілу простих чисел в ряду натуральних чисел
Властивості чисел Періодична система чисел
Аксіоми планіметрії
Метод лінгвістичної географії Зіставний метод Структурний метод у лінгвістичних дослідженнях
Почала систематичного курсу планіметрії у середній школі
Методика навчання школярів планіметрії з використанням об`єктних моделей
Метод лінгвістичної географії Зіставний метод Структурний метод у л
Теорія молекулярних орбіталей в комплексних сполуках
© Усі права захищені
написати до нас