Передмова
У даній роботі розглянуто метод комплексних чисел в планіметрії, застосування його критеріїв в задачах елементарного характеру на теми - «Паралельність, колінеарність, перпендикулярність», «Кути і площі», «Многокутники», «Пряма і коло».Метод комплексних чисел в іноземній літературі використовується досить широко. Однак у вітчизняній літературі цей метод не отримав широкого розповсюдження. Є окремі фрагменти в книзі З. А. Скопець. Систематичне виклад цього методу даний в книзі Я. П. Понаріна «Алгебра комплексних чисел в геометричних задач». Нами обрані й вирішені на наш погляд найбільш цікаві завдання, що виконуються цим методом.
Метод комплексних чисел дозволяє вирішувати планіметричних завдання прямим обчисленням по готових формулами. Вибір цих формул з очевидністю диктується умовою задачі та її вимогою. У цьому полягає надзвичайна простота цього методу в порівнянні з векторним і координатним методами, методом геометричних перетворень, конструктивно-синтетичним методом, що вимагають від вирішального часом чималому кмітливості і тривалих пошуків, хоча при цьому готове рішення може бути коротким.
§ 1 Паралельність, колінеарність, перпендикулярність.
1.1. Колінеарність векторів.1.2. Колінеарність трьох точок.
Це - критерій приналежності точок А, В, С одній прямій.
визначає пряму, яка містить хорду АВ одиничному колі.
1.3. Перпендикулярність відрізків (векторів).
Рівняння дотичної
Рис.1 |
З а д а ч а 1. Довести, що точки перетину прямих, що містять сторони трикутника, з дотичними до описаної окружності в протилежних їм вершинах колінеарні.
§ 2 Кути та площі
Рис. 2 |
(2.1)
(2.2)
2.2. Площа трикутника
Рис. 3 |
З а д а ч а 2. Підстава D висоти CD трикутника ABC ділить сторону AB у відношенні 3:1. Кут ACD вдвічі більше кута BCD. Обчислити кути трикутника ABC.
§ 3 Багатокутники
3.1. Подібні трикутники.де
де
Якщо
3.2. Критерій правильного трикутника.
Трикутник орієнтований позитивно:
Трикутник орієнтований негативно:
3.3 Правильні многокутники.
де k приймає значення
Коріння рівняння
Рис. 5 |
відповідають вершини
Рис. 6 |
З а д а ч а 4. На сторони
Рис. 7 |
З а д а ч а 5. Точка
Рис. 8 |
З а д а ч а 6. Через центр правильного трикутника проведена пряма. Довести, що сума квадратів відстаней від вершин трикутника до прямої не залежить від вибору прямої.
Рис. 9 |
З а д а ч а 7. Нехай d - діаметр окружності,
неї правильних n-кутників. Доведіть, що
§ 4 Пряма і коло
4.1. Рівняння прямої.Нехай коефіцієнти a і b не звертаються в нуль одночасно. Приходимо до рівняння:
Звідси і на підставі попередніх досліджень отримуємо, що рівняння (4.1) визначає а) єдину точку при
4.3. Загальне рівняння кола в сполучених комлексний координатах. Окружність з центром S (s) і радіусом R має рівняння
де z - координата змінної точки окружності.
Порівнюючи рівняння (4.3) з рівнянням (4.2) приходимо до висновку, що рівняння (4.3) і (4.2) задають окружність тоді і тільки тоді, коли
є рівняння кола з центром
4.4. Рівняння кола по трьох даними точками. Нехай окружність
щодо
Це рівняння являє собою рівняння кола по трьох даними точками.
4.5. Ортогональні окружності. Дві пересічні окружності називаються ортогональними, якщо дотичні до них в їх спільної точки перпендикулярні. Очевидно, що дотична до однієї з кіл у їх спільній точці містить центр іншого кола.
Дано дві окружності (A, R) і (B, r), задані відповідно рівняннями:
або
Рис.10 |
З а д а ч а 9. На гіпотенузі AB прямокутного трикутника ABC дана довільна точка P. Доведіть, що кола, описані навколо трикутників APC і BPC, ортогональні.
Рис. 11 |
Керуючись (4.6), складемо рівняння кола РВС:
або
Після розкриття визначника отримуємо:
або
звідки
З рівняння знаходимо:
Аналогічно, для кола Р A З маємо:
і
звідси
Згідно з критерієм (4.8) для того, щоб окружності РАС і РВС були ортогональні необхідно і достатньо, щоб
Таким чином, окружності РАС і РВС є ортогональними.