Міністерство освіти Російської Федерації
Тамбовський державний університет ім. Г. Р. Державіна
Реферат
На тему: «Метод Монте - Карло».
Виконала:
Студентка 308 групи
Перевірила:
Викладач
Тамбов 2008
Зміст
Введення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
Метод Монте - Карло при аналізі ризику ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4-10
Метод Монте - Карло в умовах управління
ринковими ризиками ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11 - 16
Висновок ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 17
Список літератури ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 18
Введення
Управління ризиками на сьогоднішній день є актуальною проблемою. Тому особлива увага приділяється методам управління ризиками.
Актуальність дослідження полягає у вивченні методів управління ризиками, а в чесності методу Монте - Карло.
Отже, предметом даної роботи є метод. Об'єктом написання даної роботи - метод Монте - Карло.
При написанні даної роботи були поставлені ряд завдань і цілей.
Мета: всебічно охарактеризувати застосування методу Монте - Карло в управлінні ризиками підприємства.
Виходячи з поставленої мети, було висунуто ряд завдань:
1. Метод Монте - Карло при аналізі ризику.
2. Метод Монте - Карло в умовах управління ринковими ризиками.
Досліджуючи тему даної роботи, були використовувала праці таких авторів як: Ільїн І. П. «Планування на підприємстві», «Енциклопедія фінансового ризик-менеджменту» під. ред. Лобанова А. А.
Метод Монте - Карло при аналізі ризику
Широке поширення особливо при аналізі ризику отримав метод Монте-Карло. Цей метод імітації застосуємо для рішення майже всіх завдань за умови, що альтернативи можуть бути виражені кількісно. Побудова моделі починається з визначення функціональних залежностей у реальній системі, які надалі дозволяють одержати кількісне рішення, використовуючи теорію ймовірності й таблиці випадкових чисел.
Модель Монте-Карло не настільки формалізована і є більш гнучкою, ніж інші імітують моделі. Причини тут наступні:
при моделюванні за методом Монте-Карло немає необхідності визначати, що саме оптимізується;
немає необхідності спрощувати реальність для полегшення вирішення, оскільки застосування ЕОМ дозволяє реалізувати моделі складних систем;
в програмі для ЕОМ можна передбачити випередження в часі.
Типовим прикладом задачі, яка може бути вирішена на основі моделі Монте-Карло, може бути задача на обслуговування. Наприклад, при плануванні стратегії розвитку ресторану швидкого обслуговування необхідно знати, як довго в середньому припадає відвідувачеві чекати обслуговування (середнє значення очікування). Робота ресторану характеризується наступними парами. Відвідувачі обслуговуються послідовно на одній кухні. Прибуття клієнтів носить випадковий характер. Надходження замовлень характеризується такими даними: інтервали надходження вимог до 10 хв становлять 40% випадків, від 10 до 20 хв - 60%. Тривалість обслуговування в залежності від смаків клієнтів-також величина випадкова. У 80% випадків на обслуговування потрібно 10 хв, в інших - 30 хв.
У таблиці 1 представлені результати виконання завдання на основі імітаційної моделі Монте-Карло, в якій інтервали між прибуттям клієнтів і часом обслуговування представлені послідовністю випадкових чисел.
Таблиця 1
Рішення задачі обслуговування із застосуванням методу Монте - Карло.
Примітка. Колонка 8 = колонка 5 + колонка 7, колонка 9 = колонка 5 - колонка 4, колонка 10 = колонка 5 - цифра в попередньому ряду колонки 8.
Для інтервалів між прибуттям виберемо таку випадкову послідовність: 0, 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8 або 9 - називають випадкової цифрою. Якщо обрані числа 0, 1, 2 або 3, то тривалість інтервалу між надходженням двох вимог становить 10 хв. Якщо обрані числа 4,5,6,7,8 або 9, тривалість інтервалу дорівнює 20 хв. Аналогічним чином визначається час обслуговування, яке настає після закінчення інтервалу прибуття. Для цього вибирається друге випадкове число.
Якщо обрані числа 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 або 7, час обслуговування складе 10 хв. Якщо обрані числа 8 або 9, обслуговування клієнта триває 30 хв.
З таблиці 3.2 видно, що для 10 випробувань, наведених у таблиці, сумарний час очікування складає 60 хв, або в середньому по 6 хв на клієнта. Даний приклад залишає без відповіді багато питань, і серед них питання про необхідну кількість випробувань, що дозволяє з достатньою точністю визначити час очікування.
Припустимо, що ми зробили N незалежних дослідів, в результаті яких отримали N випадкових цифр. Записавши ці цифри (у порядку їх появи) в таблицю, отримаємо те, що називається таблицею випадкових цифр може мати наступний вигляд (цифри розбиті на групи для зручності читання таблиці):
86515 90795 66155 66434 56558 12332
69186 03393 42502 99224 88955 53758
41686 42163 85181 38967 33181 72664
86522 47171 88059 89342 67248 09082
72587 93000 89688 78416 27589 99528
Випадковим числом називається випадкова величина
δ = γ 1 + γ 2 + γ s + ...,
10 100 10s
де γ 1, γ2, ..., γs ... - незалежні випадкові цифри. Іншими словами, випадкове число - це випадкова величина, рівномірно розподілена на проміжку [0, 1). В даний час існують спеціальні комп'ютерні програми для побудови випадкових чисел у будь-якій кількості. Такі програми називають генераторами випадкових чисел.
Розглянемо тепер дискретну випадкову величину ξ, розподіл якої має вигляд:
Для моделювання випадкової величини ξ проміжок [0, 1) розділимо на ділянки Δ i так, щоб довжина проміжку Δ i дорівнювала Рi, i = 1, 2, ... , П. Нова
випадкова величина ξ ^ обумовлена рівністю:
ξ ^ = Х I, якщо δ Є Δ I, I - 1, 2, ..., п,
де δ - випадкове число, має такий же розподіл, що і випадкова величина ξ.
Попереднє рівність дозволяє кожному випадковому числу приписати певне значення випадкової величини ξ. Такий процес приписування значень випадкової величини ξ часто називають розігруванням цієї випадкової величини.
Припустимо, що дано дві випадкові величини ξ та η спільний розподіл яких має вигляд:
Для моделювання пари випадкових величин ξ і η проміжок [0, 1) розділимо на частини Δ ij так, щоб довжина полуінтервала Δ ij дорівнювала Р ij, I = 1, 2 ..., m; j = 1, 2, ... , n.
У цьому випадку пара випадкових величин ξ ^, η ^, де
ξ ^ = Х i, η ^ = yj, при δ Є Δ ij.
має такий же розподіл, що і пара ξ і η.
Попереднє рівність дозволяє кожному випадковому числу приписати певну пару значень випадкових величин ξ і η. Такий процес приписування значень парі випадкових величин ξ і η азивают розігруванням цієї пари.
Якщо випадкові величини ξ та η незалежні, то для розігрування пари ξ і η досить розіграти кожну випадкову величину окремо. Для розігрування неперервної випадкової величини можна спочатку знайти дискретну випадкову величину, близьку до даної випадкової величиною, а потім розіграти цю дискретну випадкову величину.
Метод Монте-Карло дозволяє чисельно знаходити різні імовірнісні характеристики випадкової величини η, що залежить від великого числа інших випадкових величин ξ1, ξ2, ..., ξ n. Цей метод зводиться до наступного: розігрується послідовність випадкових величин ξ1, ξ2, ..., ξ n для кожного розіграшу визначається відповідне значення випадкової величини η, а по знайденим значенням будується емпіричне розподіл ймовірностей цієї випадкової величини.
Розглянемо приклад. Інвестор володіє портфелем, що складається з однієї казначейської облігації і двох корпоративних облігацій одного і того ж кредитного рейтингу. Основні параметри портфеля вказані в таблиці:
Таблиця 2
Інвестора цікавить реалізована дохідність портфеля облігацій за 6 місяців. На його думку, реалізована дохідність портфеля буде визначатися наступними двома факторами: кривий доходностей казначейських облігацій через 6 місяців і спредом між доходностями корпоративних і казначейських облігацій. Припустимо, що інвестор має в своєму розпорядженні ще й наступною інформацією:
Для визначення реалізованої дохідності портфеля облігацій можна використовувати метод Монте-Карло. Перша ітерація (випадкові числа: 0,91 для кривої прибутковості і 0,12 для спреду між доходностями). У цьому випадку прибутковості казначейських облігацій з терміном до погашення 5, 15 і 25 років складуть відповідно 10, 8 і 8%, а прибутковості корпоративних облігацій з терміном до погашення 15 і 25 років - 9 і 9%.
Тоді ціни облігацій (на номінал в 100 дол) через 6 місяців визначаються наступним чином:
P1 = 6 / 0, 1 (1 - 1 / (1 +0,05) 10) +100 / (1 +0,05) 10 = 84,55653
P2 = 100 (купонна ставка співпадає з прибутковістю).
P3 = 10,5 / 0,09 (1 - 1 / (1,045) 50) + 100 / (1,045) 50 = 114,82151
Значить, реалізована дохідність портфеля облігацій складе:
P1 * 5 * 104 + P2 * 4 * 104 + P3 * 6 * 104 +15 * 104 +18 * 104 +315 * 103-15 * 106 = 0,1016
15 * 106
Тобто 10,16%
Припустимо, що було проведено 100 ітерацій. При цьому виявилося, що найменша реалізована дохідність портфеля дорівнює -3,905%, а найбільша реалізована дохідність становить 24,97%.
Розділивши відрізок (-3,905%; 24,97%) на достатньо велику кількість частин, підрахуємо для кожної частини число ітерацій, що дають реалізовану прибутковість з цієї частини.
Таким чином, буде побудовано емпіричне розподіл ймовірностей реалізованої дохідності портфеля облігацій. Після чого можна отримати різні числові характеристики цієї реалізованої дохідності: середнє значення, стандартне відхилення і т. д.
2. Метод Монте-Карло в умовах управління ринковими ризиками.
Метод Монте-Карло, або метод стохастичного моделювання (Monte Carlo simulation), заснований на моделюванні випадкових процесів із заданими характеристиками. На відміну від методу історичного моделювання, в методі Монте-Карло зміни цін активів генеруються псевдовипадковим чином у відповідності з заданими параметрами розподілу, наприклад математичним очікуванням μ і волатильністю σ. Імітується, розподіл може бути, в принципі, будь-яким, а кількість сценаріїв - дуже великим (до декількох десятків тисяч). Виділяють:
метод Монте-Карло для одного фактора ризику;
метод Монте-Карло для портфеля активів.
Розглянемо Метод Монте-Карло для одного фактора ризику. Моделювання траєкторії цін здійснюється за різними моделями. Наприклад, поширена модель геометричного броунівського руху дає в результаті такі вирази для моделювання цін S на кожному кроці процесу, що складається з дуже великої кількості кроків, що охоплюють період Т:
dSt = St (μdt + σdzt), (1)
, Де dzt - винеровский випадковий процес.
Скориставшись визначенням винеровского процесу, рівняння (1) можна записати в дискретної формі:
σσΔSt = St-1 (μΔt + σε √ Δt), (2)
т. е.
St +1 = St + St (μΔt + σε1 √ Δt), (3)
St +1 = St +1 + St +1 (μΔt + σε2 √ Δt), (4)
ST = St + n.
Якщо траєкторія цін складається з n рівних кроків (наприклад, n днів), то один крок Δt = 1 / n, а випадкова величина ε підпорядковується стандартному нормальному розподілу (μ = 0, σ = 1). Можна використовувати і інші моделі еволюції цін, наприклад експоненційну.
Траєкторія цін - це послідовність псевдовипадкових чином змодельованих цін, починаючи від поточної ціни і закінчуючи ціною на деякому кінцевому кроці, наприклад на тисячному або десятитисячний. Чим більше число кроків, тим вище точність методу.
Кожна траєкторія являє собою сценарій, за яким визначається ціна на останньому кроці виходячи з поточної ціни. Потім проводиться повна переоцінка портфеля за ціною останнього кроку і розрахунок зміни його вартості для кожного сценарію. Оцінка VaR проводиться з розподілу змін вартості портфеля.
Генерація випадкових чисел в методі Монте-Карло складається з двох кроків. Спочатку можна скористатися генератором випадкових чисел, рівномірно розподілених на інтервалі між 0 і 1 (розглянуто вище). Потім, використовуючи як аргументи отримані випадкові числа, обчислюють значення функцій модельованих розподілів.
Однак слід пам'ятати, що генератори випадкових чисел працюють на детермінованих алгоритмах і відтворюють так звані «псевдовипадкові числа», оскільки з певного моменту послідовності цих псевдовипадкових чисел починають повторюватися, тобто вони не є незалежними. У найпростіших генераторах це відбувається вже через кілька тисяч генерацій, а в більш складних-через мільярди генерацій. Якщо масив випадкових чисел починає повторюватися занадто швидко, то метод Монте-Карло перестає моделювати випадкові, незалежні сценарії і оцінка VaR починає відображати обмеженість генератора, а не властивості портфеля. Оптимальна кількість кроків у процесі залежить від обсягу вибірки, складу портфеля та складності складових його інструментів і ін
Розглянемо приклад: елементи розрахунку VaR методом Монте-Карло на сучасному російському ринку. Для розрахунку VaR можна використовувати різні модифікації методу Монте-Карло, у даному випадку метод описується наступним чином:
За ретроспективним даними розраховуються оцінки математичного очікування х і волатильності σ.
За допомогою датчика випадкових чисел генеруються нормально розподілені випадкові числа ε з математичним очікуванням, рівним х, і стандартним відхиленням σ.
Отриманими на попередньому кроці випадковими числами ε заповнюється таблиця розмірністю 500 стовпців на 1000 рядків (взагалі кажучи, розмірність таблиці довільна і залежить, наприклад, від наявних обчислювальних потужностей, але, щоб метод забезпечував прийнятну точність, вона повинна бути досить великий).
Обчислюється траєкторія модельованих цін аж до S1000 за формулою St = St-1e εt-1, де е - основа натурального логарифма, St-поточна ціна (курс) активу.
Проводиться переоцінка вартості портфеля (що складається в даному прикладі з одного активу) за формулою: ΔV = Q (S1000 - S0), де Q - кількість одиниць активу.
Кроки 4 та 5 виконуються 500 разів для заповнення таблиці 500 х 1000. Отримані 500 значень ΔV сортуються за спаданням (від найбільшого приросту до самого великого збитку). Ці сільгоспкооперативи зміни можна пронумерувати від 1 до 500. Відповідно до бажаним рівнем довіри (1 - α) ризик-менеджер може визначити VaR як такий максимальний збиток, який не перевищується у 500 (1 - α) випадках, тобто VaR дорівнює абсолютній величині зміни з номером, рівним 500 (1 - α).
Кроки 1-6 повторюються для кожного розрахунку кожного денного VaR.
В якості об'єкта дослідження був обраний індекс РТС. Генерація випадкових чисел проводилася за допомогою вбудованого генератора МS Ехсеl.
Метод Монте-Карло є найбільш технічно складним з усіх описаних методів розрахунку VaR. Крім того, для виконання розрахунків у повному обсязі необхідні значні обчислювальні потужності і тимчасові ресурси. Сучасні комп'ютери поки ще не дозволяють обробляти інформацію в режимі реального часу, як цього вимагають трейдери, якщо ризик-менеджери хочуть встановлювати VaR-ліміти на величину відкритих позицій за допомогою методу Монте-Карло.
Існує варіант методу Монте-Карло, згідно з яким можна не задавати будь-яке конкретне розподіл для моделювання цін, а використовувати безпосередньо історичні дані. Подібно методу історичного моделювання, на основі ретроспективи моделюються гіпотетичні ціни, але їх послідовність не є єдиною і не обмежена глибиною періоду ретроспективи, оскільки вибірка проводиться з поверненням (bootstrap), тобто обурення з історичних даних вибирається випадковим чином, і кожен раз на виборі беруть участь всі дані. Така побудова вибірки історичних даних дозволяє врахувати ефект «товстих хвостів" і скачки цін, не будуючи припущень про вид розподілу. Це безперечні переваги методу, який, на відміну від методу історичного моделювання, дозволяє розглянути не яку-небудь одну траєкторію цін (сценарій), а скільки завгодно багато, що, як правило, підвищує точність оцінок. Недоліками даної методики є низька точність при малих обсягах вибірки та використання припущення про незалежність доходностей в часі.
Тепер розглянемо метод Монте-Карло для портфеля активів. Щоб проводити моделювання по Монте-Карло для багатофакторного процесу, можна точно так само моделювати кожен з к розглянутих факторів виходячи з згенерованих випадкових чисел:
dSt, j = μt, j St, j dt + σt, j St, j Sdzt, j, j = 1,2, ..., k, (5)
або для дискретного часу:
ΔSt, j = St-1, j (μjΔt + σjεj √ Δt), j = 1,2, ..., k. (6)
З метою врахування кореляції між факторами необхідно, щоб випадкові величини εi і εj точно так само корелювали між собою. Для цього використовується розкладання Холецкого, суть якого полягає в розкладанні кореляційної матриці на дві (множники Холецкого) та використання їх для обчислення корельованих випадкових чисел.
Кореляційна матриця є симетричною і може бути представлена твором трикутної матриці нижчого порядку з нулями у верхньому правому кутку на таку ж транспоновану матрицю. Наприклад, для випадку двох факторів маємо:
Звідси
Корельовані випадкові числа ε1 і ε2 виходять шляхом перемноження множника Холецкого та вектора незалежних випадкових чисел η:
При розрахунках необхідно правильно вибрати кількість множників,
щоб вийшла позитивно певна матриця.
Переваги методу Монте-Карло:
висока точність розрахунків;
висока точність стосовно до інструментів з нелінійними ціновими характеристиками;
можливість моделювання будь-яких історичних і гіпотетичних розподілів, облік ефекту «товстих хвостів» і стрибків цін (вегаріска).
Недоліки методу Монте-Карло:
висока складність моделей та відповідно високий ризик неадекватності моделей;
високі вимоги до обчислювальної потужності і значні витрати часу на проведення розрахунків.
Висновок
У цій роботі розглянуто метод Монте - Карло. Цей метод імітації застосуємо для рішення майже всіх завдань за умови, що альтернативи можуть бути виражені кількісно. Побудова моделі починається з визначення функціональних залежностей у реальній системі, які надалі дозволяють одержати кількісне рішення, використовуючи теорію ймовірності й таблиці випадкових чисел.
Модель Монте-Карло не настільки формалізована і є більш гнучкою, ніж інші імітують моделі. Причини тут наступні:
при моделюванні за методом Монте-Карло немає необхідності визначати, що саме оптимізується;
немає необхідності спрощувати реальність для полегшення вирішення, оскільки застосування ЕОМ дозволяє реалізувати моделі складних систем;
в програмі для ЕОМ можна передбачити випередження в часі.
Даний метод є загальновизнаним і найкращим, тому що має ряд непереборних достоїнств, зокрема використовує гіпотезу про нормальний розподіл доходностей, показує високу точність для нелінійних інструментів і стійкий до вибір ретроспективи. До недоліків можна віднести технічну складність розрахунків і модельний ризик.
Список літератури
1. Ільїн І. П. «Планування на підприємстві». М: 2002.
2. «Енциклопедія фінансового ризик-менеджменту» під. ред. Лобанова А. А. М: 2005.
Тамбовський державний університет ім. Г. Р. Державіна
Реферат
На тему: «Метод Монте - Карло».
Виконала:
Студентка 308 групи
Перевірила:
Викладач
Тамбов 2008
Зміст
Введення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 3
Метод Монте - Карло при аналізі ризику ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4-10
Метод Монте - Карло в умовах управління
ринковими ризиками ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11 - 16
Висновок ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 17
Список літератури ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 18
Введення
Управління ризиками на сьогоднішній день є актуальною проблемою. Тому особлива увага приділяється методам управління ризиками.
Актуальність дослідження полягає у вивченні методів управління ризиками, а в чесності методу Монте - Карло.
Отже, предметом даної роботи є метод. Об'єктом написання даної роботи - метод Монте - Карло.
При написанні даної роботи були поставлені ряд завдань і цілей.
Мета: всебічно охарактеризувати застосування методу Монте - Карло в управлінні ризиками підприємства.
Виходячи з поставленої мети, було висунуто ряд завдань:
1. Метод Монте - Карло при аналізі ризику.
2. Метод Монте - Карло в умовах управління ринковими ризиками.
Досліджуючи тему даної роботи, були використовувала праці таких авторів як: Ільїн І. П. «Планування на підприємстві», «Енциклопедія фінансового ризик-менеджменту» під. ред. Лобанова А. А.
Метод Монте - Карло при аналізі ризику
Широке поширення особливо при аналізі ризику отримав метод Монте-Карло. Цей метод імітації застосуємо для рішення майже всіх завдань за умови, що альтернативи можуть бути виражені кількісно. Побудова моделі починається з визначення функціональних залежностей у реальній системі, які надалі дозволяють одержати кількісне рішення, використовуючи теорію ймовірності й таблиці випадкових чисел.
Модель Монте-Карло не настільки формалізована і є більш гнучкою, ніж інші імітують моделі. Причини тут наступні:
при моделюванні за методом Монте-Карло немає необхідності визначати, що саме оптимізується;
немає необхідності спрощувати реальність для полегшення вирішення, оскільки застосування ЕОМ дозволяє реалізувати моделі складних систем;
в програмі для ЕОМ можна передбачити випередження в часі.
Типовим прикладом задачі, яка може бути вирішена на основі моделі Монте-Карло, може бути задача на обслуговування. Наприклад, при плануванні стратегії розвитку ресторану швидкого обслуговування необхідно знати, як довго в середньому припадає відвідувачеві чекати обслуговування (середнє значення очікування). Робота ресторану характеризується наступними парами. Відвідувачі обслуговуються послідовно на одній кухні. Прибуття клієнтів носить випадковий характер. Надходження замовлень характеризується такими даними: інтервали надходження вимог до 10 хв становлять 40% випадків, від 10 до 20 хв - 60%. Тривалість обслуговування в залежності від смаків клієнтів-також величина випадкова. У 80% випадків на обслуговування потрібно 10 хв, в інших - 30 хв.
У таблиці 1 представлені результати виконання завдання на основі імітаційної моделі Монте-Карло, в якій інтервали між прибуттям клієнтів і часом обслуговування представлені послідовністю випадкових чисел.
Таблиця 1
Рішення задачі обслуговування із застосуванням методу Монте - Карло.
| Номер зразка | Перша випадкова цифра | Інтервал до прибуття, хв. | Час прибуття | Час початку обслуговування | Друга випадкова цифра | Час до обслуговування хв. | Час закінчення обслуговування | Час очікування, хв | Час простою, хв |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | - 1 9 8 8 2 0 7 4 9 | - 10 20 20 20 10 10 20 20 20 | 0 10 30 50 70 80 90 110 130 150 | 0 10 40 50 70 100 110 120 130 150 | 2 8 6 7 9 4 1 3 4 9 | 10 30 10 10 30 10 10 10 10 30 | 10 40 50 60 100 110 120 130 140 180 | 0 0 10 0 0 20 20 10 0 0 | 0 0 0 0 10 0 0 0 0 10 |
Для інтервалів між прибуттям виберемо таку випадкову послідовність: 0, 1,2, 3,4, 5, 6, 7, 8 або 9 - називають випадкової цифрою. Якщо обрані числа 0, 1, 2 або 3, то тривалість інтервалу між надходженням двох вимог становить 10 хв. Якщо обрані числа 4,5,6,7,8 або 9, тривалість інтервалу дорівнює 20 хв. Аналогічним чином визначається час обслуговування, яке настає після закінчення інтервалу прибуття. Для цього вибирається друге випадкове число.
Якщо обрані числа 0, 1,2, 3, 4, 5, 6 або 7, час обслуговування складе 10 хв. Якщо обрані числа 8 або 9, обслуговування клієнта триває 30 хв.
З таблиці 3.2 видно, що для 10 випробувань, наведених у таблиці, сумарний час очікування складає 60 хв, або в середньому по 6 хв на клієнта. Даний приклад залишає без відповіді багато питань, і серед них питання про необхідну кількість випробувань, що дозволяє з достатньою точністю визначити час очікування.
Припустимо, що ми зробили N незалежних дослідів, в результаті яких отримали N випадкових цифр. Записавши ці цифри (у порядку їх появи) в таблицю, отримаємо те, що називається таблицею випадкових цифр може мати наступний вигляд (цифри розбиті на групи для зручності читання таблиці):
86515 90795 66155 66434 56558 12332
69186 03393 42502 99224 88955 53758
41686 42163 85181 38967 33181 72664
86522 47171 88059 89342 67248 09082
72587 93000 89688 78416 27589 99528
Випадковим числом називається випадкова величина
δ = γ 1 + γ 2 + γ s + ...,
10 100 10s
де γ 1, γ2, ..., γs ... - незалежні випадкові цифри. Іншими словами, випадкове число - це випадкова величина, рівномірно розподілена на проміжку [0, 1). В даний час існують спеціальні комп'ютерні програми для побудови випадкових чисел у будь-якій кількості. Такі програми називають генераторами випадкових чисел.
Розглянемо тепер дискретну випадкову величину ξ, розподіл якої має вигляд:
| Х 1 Х 2 ... Хп |
| Р1 Р2 ... Х п |
випадкова величина ξ ^ обумовлена рівністю:
ξ ^ = Х I, якщо δ Є Δ I, I - 1, 2, ..., п,
де δ - випадкове число, має такий же розподіл, що і випадкова величина ξ.
Попереднє рівність дозволяє кожному випадковому числу приписати певне значення випадкової величини ξ. Такий процес приписування значень випадкової величини ξ часто називають розігруванням цієї випадкової величини.
Припустимо, що дано дві випадкові величини ξ та η спільний розподіл яких має вигляд:
| η ξ | Y1 | ... | Yi | ... | Yn |
| Х1 | Р11 | ... | Р1j | ... | Р1n |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| X i | Р i1 | ... | Рij | РIN | |
| ... | ... | ||||
| P m | P mi | ... | Рmj | Рmn |
У цьому випадку пара випадкових величин ξ ^, η ^, де
ξ ^ = Х i, η ^ = yj, при δ Є Δ ij.
має такий же розподіл, що і пара ξ і η.
Попереднє рівність дозволяє кожному випадковому числу приписати певну пару значень випадкових величин ξ і η. Такий процес приписування значень парі випадкових величин ξ і η азивают розігруванням цієї пари.
Якщо випадкові величини ξ та η незалежні, то для розігрування пари ξ і η досить розіграти кожну випадкову величину окремо. Для розігрування неперервної випадкової величини можна спочатку знайти дискретну випадкову величину, близьку до даної випадкової величиною, а потім розіграти цю дискретну випадкову величину.
Метод Монте-Карло дозволяє чисельно знаходити різні імовірнісні характеристики випадкової величини η, що залежить від великого числа інших випадкових величин ξ1, ξ2, ..., ξ n. Цей метод зводиться до наступного: розігрується послідовність випадкових величин ξ1, ξ2, ..., ξ n для кожного розіграшу визначається відповідне значення випадкової величини η, а по знайденим значенням будується емпіричне розподіл ймовірностей цієї випадкової величини.
Розглянемо приклад. Інвестор володіє портфелем, що складається з однієї казначейської облігації і двох корпоративних облігацій одного і того ж кредитного рейтингу. Основні параметри портфеля вказані в таблиці:
Таблиця 2
| Облігація | Термін до погашення, років | Купонна ставка,% | Номінал, млн. дол | Доходність до погашення,% |
| Казначейська | 5,5 | 6,0 | 5 | 6,0 |
| Корпоративна | 15,5 | 9,0 | 4 | 9,0 |
| Корпоративна | 25,5 | 10,5 | 6 | 10,5 |
| Прибутковості казначейських облігацій,% | Імовірність | Розбиття проміжку [0,1) | |||||
| 5 років | 15 років | 25 років | |||||
| 4 | 6 | 7 | 0,20 | [0; 0,20) | |||
| 5 | 8 | 9 | 0,15 | [0,20; 0,35) | |||
| 6 | 7 | 7 | 0,10 | [0,35; 0,45) | |||
| 7 | 8 | 8 | 0,10 | [0,45; 0,55) | |||
| 9 | 9 | 9 | 0,20 | [0,55; 0,75) | |||
| 10 | 8 | 8 | 0,25 | [0,75; 1,00) | |||
| Величина спреда між доходностями, б, п. * | Імовірність | Розбиття проміжку [0,1) | |||||
| 75 | 0,10 | [0; 0,10) | |||||
| 100 | 0,20 | [0,10; 0,30) | |||||
| 125 | 0,25 | [0,30; 0,55) | |||||
| 150 | 0,25 | [0,55; 0,80) | |||||
| 175 | 0,15 | [0,80; 0,95) | |||||
| 200 | 0,05 | [0,95; 1,00) | |||||
Тоді ціни облігацій (на номінал в 100 дол) через 6 місяців визначаються наступним чином:
P1 = 6 / 0, 1 (1 - 1 / (1 +0,05) 10) +100 / (1 +0,05) 10 = 84,55653
P2 = 100 (купонна ставка співпадає з прибутковістю).
P3 = 10,5 / 0,09 (1 - 1 / (1,045) 50) + 100 / (1,045) 50 = 114,82151
Значить, реалізована дохідність портфеля облігацій складе:
P1 * 5 * 104 + P2 * 4 * 104 + P3 * 6 * 104 +15 * 104 +18 * 104 +315 * 103-15 * 106 = 0,1016
15 * 106
Тобто 10,16%
Припустимо, що було проведено 100 ітерацій. При цьому виявилося, що найменша реалізована дохідність портфеля дорівнює -3,905%, а найбільша реалізована дохідність становить 24,97%.
Розділивши відрізок (-3,905%; 24,97%) на достатньо велику кількість частин, підрахуємо для кожної частини число ітерацій, що дають реалізовану прибутковість з цієї частини.
Таким чином, буде побудовано емпіричне розподіл ймовірностей реалізованої дохідності портфеля облігацій. Після чого можна отримати різні числові характеристики цієї реалізованої дохідності: середнє значення, стандартне відхилення і т. д.
2. Метод Монте-Карло в умовах управління ринковими ризиками.
Метод Монте-Карло, або метод стохастичного моделювання (Monte Carlo simulation), заснований на моделюванні випадкових процесів із заданими характеристиками. На відміну від методу історичного моделювання, в методі Монте-Карло зміни цін активів генеруються псевдовипадковим чином у відповідності з заданими параметрами розподілу, наприклад математичним очікуванням μ і волатильністю σ. Імітується, розподіл може бути, в принципі, будь-яким, а кількість сценаріїв - дуже великим (до декількох десятків тисяч). Виділяють:
метод Монте-Карло для одного фактора ризику;
метод Монте-Карло для портфеля активів.
Розглянемо Метод Монте-Карло для одного фактора ризику. Моделювання траєкторії цін здійснюється за різними моделями. Наприклад, поширена модель геометричного броунівського руху дає в результаті такі вирази для моделювання цін S на кожному кроці процесу, що складається з дуже великої кількості кроків, що охоплюють період Т:
dSt = St (μdt + σdzt), (1)
, Де dzt - винеровский випадковий процес.
Скориставшись визначенням винеровского процесу, рівняння (1) можна записати в дискретної формі:
σσΔSt = St-1 (μΔt + σε √ Δt), (2)
т. е.
St +1 = St + St (μΔt + σε1 √ Δt), (3)
St +1 = St +1 + St +1 (μΔt + σε2 √ Δt), (4)
ST = St + n.
Якщо траєкторія цін складається з n рівних кроків (наприклад, n днів), то один крок Δt = 1 / n, а випадкова величина ε підпорядковується стандартному нормальному розподілу (μ = 0, σ = 1). Можна використовувати і інші моделі еволюції цін, наприклад експоненційну.
Траєкторія цін - це послідовність псевдовипадкових чином змодельованих цін, починаючи від поточної ціни і закінчуючи ціною на деякому кінцевому кроці, наприклад на тисячному або десятитисячний. Чим більше число кроків, тим вище точність методу.
Кожна траєкторія являє собою сценарій, за яким визначається ціна на останньому кроці виходячи з поточної ціни. Потім проводиться повна переоцінка портфеля за ціною останнього кроку і розрахунок зміни його вартості для кожного сценарію. Оцінка VaR проводиться з розподілу змін вартості портфеля.
Генерація випадкових чисел в методі Монте-Карло складається з двох кроків. Спочатку можна скористатися генератором випадкових чисел, рівномірно розподілених на інтервалі між 0 і 1 (розглянуто вище). Потім, використовуючи як аргументи отримані випадкові числа, обчислюють значення функцій модельованих розподілів.
Однак слід пам'ятати, що генератори випадкових чисел працюють на детермінованих алгоритмах і відтворюють так звані «псевдовипадкові числа», оскільки з певного моменту послідовності цих псевдовипадкових чисел починають повторюватися, тобто вони не є незалежними. У найпростіших генераторах це відбувається вже через кілька тисяч генерацій, а в більш складних-через мільярди генерацій. Якщо масив випадкових чисел починає повторюватися занадто швидко, то метод Монте-Карло перестає моделювати випадкові, незалежні сценарії і оцінка VaR починає відображати обмеженість генератора, а не властивості портфеля. Оптимальна кількість кроків у процесі залежить від обсягу вибірки, складу портфеля та складності складових його інструментів і ін
Розглянемо приклад: елементи розрахунку VaR методом Монте-Карло на сучасному російському ринку. Для розрахунку VaR можна використовувати різні модифікації методу Монте-Карло, у даному випадку метод описується наступним чином:
За ретроспективним даними розраховуються оцінки математичного очікування х і волатильності σ.
За допомогою датчика випадкових чисел генеруються нормально розподілені випадкові числа ε з математичним очікуванням, рівним х, і стандартним відхиленням σ.
Отриманими на попередньому кроці випадковими числами ε заповнюється таблиця розмірністю 500 стовпців на 1000 рядків (взагалі кажучи, розмірність таблиці довільна і залежить, наприклад, від наявних обчислювальних потужностей, але, щоб метод забезпечував прийнятну точність, вона повинна бути досить великий).
Обчислюється траєкторія модельованих цін аж до S1000 за формулою St = St-1e εt-1, де е - основа натурального логарифма, St-поточна ціна (курс) активу.
Проводиться переоцінка вартості портфеля (що складається в даному прикладі з одного активу) за формулою: ΔV = Q (S1000 - S0), де Q - кількість одиниць активу.
Кроки 4 та 5 виконуються 500 разів для заповнення таблиці 500 х 1000. Отримані 500 значень ΔV сортуються за спаданням (від найбільшого приросту до самого великого збитку). Ці сільгоспкооперативи зміни можна пронумерувати від 1 до 500. Відповідно до бажаним рівнем довіри (1 - α) ризик-менеджер може визначити VaR як такий максимальний збиток, який не перевищується у 500 (1 - α) випадках, тобто VaR дорівнює абсолютній величині зміни з номером, рівним 500 (1 - α).
Кроки 1-6 повторюються для кожного розрахунку кожного денного VaR.
В якості об'єкта дослідження був обраний індекс РТС. Генерація випадкових чисел проводилася за допомогою вбудованого генератора МS Ехсеl.
Метод Монте-Карло є найбільш технічно складним з усіх описаних методів розрахунку VaR. Крім того, для виконання розрахунків у повному обсязі необхідні значні обчислювальні потужності і тимчасові ресурси. Сучасні комп'ютери поки ще не дозволяють обробляти інформацію в режимі реального часу, як цього вимагають трейдери, якщо ризик-менеджери хочуть встановлювати VaR-ліміти на величину відкритих позицій за допомогою методу Монте-Карло.
Існує варіант методу Монте-Карло, згідно з яким можна не задавати будь-яке конкретне розподіл для моделювання цін, а використовувати безпосередньо історичні дані. Подібно методу історичного моделювання, на основі ретроспективи моделюються гіпотетичні ціни, але їх послідовність не є єдиною і не обмежена глибиною періоду ретроспективи, оскільки вибірка проводиться з поверненням (bootstrap), тобто обурення з історичних даних вибирається випадковим чином, і кожен раз на виборі беруть участь всі дані. Така побудова вибірки історичних даних дозволяє врахувати ефект «товстих хвостів" і скачки цін, не будуючи припущень про вид розподілу. Це безперечні переваги методу, який, на відміну від методу історичного моделювання, дозволяє розглянути не яку-небудь одну траєкторію цін (сценарій), а скільки завгодно багато, що, як правило, підвищує точність оцінок. Недоліками даної методики є низька точність при малих обсягах вибірки та використання припущення про незалежність доходностей в часі.
Тепер розглянемо метод Монте-Карло для портфеля активів. Щоб проводити моделювання по Монте-Карло для багатофакторного процесу, можна точно так само моделювати кожен з к розглянутих факторів виходячи з згенерованих випадкових чисел:
dSt, j = μt, j St, j dt + σt, j St, j Sdzt, j, j = 1,2, ..., k, (5)
або для дискретного часу:
ΔSt, j = St-1, j (μjΔt + σjεj √ Δt), j = 1,2, ..., k. (6)
З метою врахування кореляції між факторами необхідно, щоб випадкові величини εi і εj точно так само корелювали між собою. Для цього використовується розкладання Холецкого, суть якого полягає в розкладанні кореляційної матриці на дві (множники Холецкого) та використання їх для обчислення корельованих випадкових чисел.
Кореляційна матриця є симетричною і може бути представлена твором трикутної матриці нижчого порядку з нулями у верхньому правому кутку на таку ж транспоновану матрицю. Наприклад, для випадку двох факторів маємо:
Звідси
Корельовані випадкові числа ε1 і ε2 виходять шляхом перемноження множника Холецкого та вектора незалежних випадкових чисел η:
При розрахунках необхідно правильно вибрати кількість множників,
щоб вийшла позитивно певна матриця.
Переваги методу Монте-Карло:
висока точність розрахунків;
висока точність стосовно до інструментів з нелінійними ціновими характеристиками;
можливість моделювання будь-яких історичних і гіпотетичних розподілів, облік ефекту «товстих хвостів» і стрибків цін (вегаріска).
Недоліки методу Монте-Карло:
висока складність моделей та відповідно високий ризик неадекватності моделей;
високі вимоги до обчислювальної потужності і значні витрати часу на проведення розрахунків.
Висновок
У цій роботі розглянуто метод Монте - Карло. Цей метод імітації застосуємо для рішення майже всіх завдань за умови, що альтернативи можуть бути виражені кількісно. Побудова моделі починається з визначення функціональних залежностей у реальній системі, які надалі дозволяють одержати кількісне рішення, використовуючи теорію ймовірності й таблиці випадкових чисел.
Модель Монте-Карло не настільки формалізована і є більш гнучкою, ніж інші імітують моделі. Причини тут наступні:
при моделюванні за методом Монте-Карло немає необхідності визначати, що саме оптимізується;
немає необхідності спрощувати реальність для полегшення вирішення, оскільки застосування ЕОМ дозволяє реалізувати моделі складних систем;
в програмі для ЕОМ можна передбачити випередження в часі.
Даний метод є загальновизнаним і найкращим, тому що має ряд непереборних достоїнств, зокрема використовує гіпотезу про нормальний розподіл доходностей, показує високу точність для нелінійних інструментів і стійкий до вибір ретроспективи. До недоліків можна віднести технічну складність розрахунків і модельний ризик.
Список літератури
1. Ільїн І. П. «Планування на підприємстві». М: 2002.
2. «Енциклопедія фінансового ризик-менеджменту» під. ред. Лобанова А. А. М: 2005.