Метод Монте-Карло

І. Волков, М. Грачова

Імітаційне моделювання по методу Монте-Карло (Monte-Carlo Simulation) дозволяє побудувати математичну модель для проекту з невизначеними значеннями параметрів, і, знаючи ймовірнісні розподілу параметрів проекту, а також зв'язок між змінами параметрів (кореляцію) отримати розподіл прибутковості проекту.

Блок-схема, представлена ​​на малюнку відображає укрупнену схему роботи з моделлю.

Застосування методу імітації Монте-Карло вимагає використання спеціальних математичних пакетів (наприклад, спеціалізованого програмного пакету Гарвардського університету під назвою Risk-Master), в той час, як метод сценаріїв може бути реалізований навіть за допомогою звичайного калькулятора.

Як вже зазначалося, аналіз ризиків з використанням методу імітаційного моделювання Монте-Карло є "возз'єднання" методів аналізу чутливості та аналізу сценаріїв на базі теорії ймовірностей.

Результатом такого комплексного аналізу виступає розподіл ймовірностей можливих результатів проекту (наприклад, ймовірність отримання NPV <0).

Згадуваний раніше програмний пакет Risk-Master дозволяє в діалоговому режимі здійснити процедуру підготовки інформації до аналізу ризиків інвестиційного проекту за методом Монте-Карло і провести самі розрахунки.

Перший крок при застосуванні методу імітації полягає у визначенні функції розподілу кожної змінної, яка впливає на формування потоку готівки. Як правило, передбачається, що функція розподілу є нормальною, і, отже, для того, щоб задати її необхідно визначити тільки два моменти (математичне очікування і дисперсію).

Як тільки функція розподілу визначена, можна застосовувати процедуру Монте-Карло.

Алгоритм методу імітації Монте-Карло

Крок 1.Опіраясь на використання статистичного пакету, випадковим чином вибираємо, грунтуючись на ймовірнісної функції розподілу значення змінної, яка є одним з параметрів визначення потоку готівки.

Крок 2. Вибране значення випадкової величини поряд зі значеннями змінних, які є екзогенними змінними використовується при підрахунку чистої приведеної вартості проекту.

Кроки 1 і 2 повторюються багато разів, наприклад 1000, і отримані 1000 значень чистої приведеної вартості проекту використовуються для побудови щільності розподілу величини чистої приведеної вартості зі своїм власним математичним очікуванням і стандартним відхиленням.

Використовуючи значення математичного очікування і стандартного відхилення, можна обчислити коефіцієнт варіації чистої приведеної вартості проекту і потім оцінити індивідуальний ризик проекту, як і в аналізі методом сценаріїв.

Тепер необхідно визначити мінімальне і максимальне значення критичної змінної, а для змінної з покроковим розподілом крім цих двох ще і інші значення, що приймаються нею. Межі варіювання змінною визначаються, просто виходячи з всього спектра можливих значень.

За минулим спостереженнями за змінною можна встановити частоту, з якою та приймає відповідні значення. У цьому випадку ймовірнісний розподіл є той же саме частотний розподіл, що показує частоту зустрічальності значення, правда, у відносному масштабі (від 0 до 1). Ймовірнісний розподіл регулює імовірність вибору значень з певного інтервалу. Відповідно до заданим розподілом модель оцінки ризиків буде вибирати довільні значення змінної. До розгляду ризиків ми мали на увазі, що змінна приймає одне певне нами значення з імовірністю 1. І через єдину ітерацію розрахунків ми отримували однозначно певний результат. У рамках моделі ймовірнісного аналізу ризиків проводиться велике число ітерацій, що дозволяють встановити, як поводиться результативний показник (в яких межах коливається, як розподілений) при підстановці в модель різних значень змінної відповідно до заданого розподілом.

Завдання аналітика, що займається аналізом ризику, полягає в тому, щоб хоча б приблизно визначити для досліджуваної змінної (фактора) вид імовірнісного розподілу. При цьому основні імовірнісні розподілу, використовувані в аналізі ризиків, можуть бути наступними: нормальне, постійне, трикутне, покрокове. Експерт присвоює змінної імовірнісний розподіл, виходячи зі своїх кількісних очікувань і робить вибір з двох категорій розподілів: симетричних (наприклад, нормальне, постійне, трикутне) і несиметричних (наприклад, покрокове розподіл).

Існування корельованих змінних в проектному аналізі викликає деколи проблему, не розглянути яку означало б заздалегідь приректи себе на невірні результати. Адже без урахування корельованості, скажімо, двох змінних - комп'ютер, вважаючи їх повністю незалежними, генерує нереалістичні проектні сценарії. Припустимо ціна і кількість проданого продукту є дві негативно корельовані змінні. Якщо не буде уточнена зв'язок між змінними (коефіцієнт кореляції), то можливі сценарії, випадково вироблювані комп'ютером, де ціна і кількість проданої продукції будуть разом або високі, або низькі, що природно негативно позначиться на результаті.

Проведення розрахункових ітерацій є повністю комп'ютеризована частина аналізу ризиків проекту. 200-500 ітерацій зазвичай достатньо для гарної репрезентативної вибірки. У процесі кожної ітерації відбувається випадковий вибір значень ключових змінних з специфікованого інтервалу відповідно до імовірнісними розподілами та умовами кореляції. Потім розраховуються й зберігаються результативні показники (наприклад, NPV). І так далі, від ітерації до ітерації.

Завершальна стадія аналізу проектних ризиків - інтерпретація результатів, зібраних в процесі ітераційних розрахунків. Результати аналізу ризиків, можна представити у вигляді профілю ризику. На ньому графічно показується ймовірність кожного можливого випадку (маються на увазі ймовірності можливих значень результативного показника).

Часто при порівнянні варіантів капіталовкладень зручніше користуватися кривою, побудованою на основі суми ймовірностей (кумулятивний профіль ризику). Така крива показує ймовірності того, що результативний показник проекту буде більше або менше певного значення. Проектний ризик, таким чином, описується становищем і нахилом кумулятивного профілю ризику.

Кумулятивний (інтегральний, накопичений) профіль ризику, показує кумулятивне імовірнісний розподіл чистої поточної вартості (NPV) з точки зору банкіра, підприємця і економіста на певний проект. Імовірність того, що NPV <0 з точки зору економіста - близько 0.4, в той час як для підприємця ця ймовірність менше 0.2. З точки зору банкіра проект здається зовсім безпечним, тому що ймовірність того, що NPV> 0, близько 95%.

Будемо виходити з того, що проект підлягає розгляду і вважається вигідним, у разі, якщо NPV> 0. При порівнянні декількох одноцільових проектів вибирається той, у якого NPV більше при дотриманні сказаного в попередньому реченні.

Розглянемо 5 ілюстративних випадків на Рис.3 прийняття рішень (див. навчальні матеріали Інституту економічного розвитку Світового банку). Випадки 1-3 мають справу з рішенням інвестувати в окремо взятий проект, тоді як два останніх випадки (4, 5) ставляться до вирішення-вибору з альтернативних проектів. У кожному випадку розглядається як кумулятивний, так і некумулятивні профілі ризику для порівняльних цілей. Кумулятивний профіль ризику більш корисний у разі вибору найкращого проекту з представлених альтернатив, в той час як некумулятивні профіль ризику краще індукує вид розподілу і показовий для розуміння концепцій, пов'язаних з визначенням математичного сподівання. Аналіз базується на показнику чистої поточної вартості.

Випадок 1: Мінімальна можливе значення NPV вище, ніж нульове (див. рис.3, крива 1).

Імовірність негативного NPV дорівнює 0, тому що нижній кінець кумулятивного профілю ризику лежить праворуч від нульового значення NPV. Оскільки даний проект має позитивне значення NPV у всіх випадках, ясно, що проект приймається.

Випадок 2: Максимальне можливе значення NPV нижче нульового (див. рис.3, крива 2).

Вірогідність позитивного NPV дорівнює 0 (див. наступний малюнок)., Оскільки верхній кінець кумулятивного профілю ризику лежить зліва від нульового значення NPV. Оскільки даний проект має негативне значення NPV у всіх випадках, ясно, що проект не приймається.

Випадок 3: Максимальне значення NPV більше, а мінімальне менше нульового (див. Рис3, крива 3).

Імовірність нульового NPV більше, ніж 0, але менше, ніж 1, так як вертикаль нульового NPV перетинає кумулятивний профіль ризиків. Так як NPV може бути як негативним, так і позитивним, рішення буде залежати від схильності до ризику інвестора. Мабуть, якщо математичне сподівання NPV менше або дорівнює 0 (пік профілю ризиків зліва від вертикалі або вертикаль точно проходить по піку) проект повинен відхилятися від подальшого розгляду.

Випадок 4: непересічні кумулятивні профілі ризиків альтернативних (взаємовиключних) проектів (див. Ріс.3б).

При фіксованій ймовірності віддача проекту В завжди вище, ніж у проекту А. Профіль ризиків також говорить про те, що при фіксованій NPV ймовірність, з якою та буде досягнута, починаючи з деякого рівня буде вище для проекту В, ніж для проекту А. Таким чином , ми підійшли до правила 1.

Правило 1: Якщо кумулятивні профілі ризиків двох альтернативних проектів не перетинаються ні в одній точці, тоді слід вибирати той проект, чий профіль ризиків розташований правіше.

Випадок 5: Пересічні кумулятивні профілі ризиків альтернативних проектів. (Див. Ріс.3в).

Схильні до ризику інвестори віддадуть перевагу можливість отримання високого прибутку і, таким чином, виберуть проект А. несхильними до ризику інвестори віддадуть перевагу можливість нести низькі втрати і, ймовірно, оберуть проект В.

Правило 2: Якщо кумулятивні профілі ризику альтернативних проектів перетинаються в будь-якій точці, то рішення про інвестування залежить від схильності до ризику інвестора.

Очікувана вартість агрегує інформацію, що міститься в ймовірносно розподілі. Вона виходить множенням кожного значення результативного показника на відповідну імовірність і наступного підсумовування результатів. Сума всіх негативних значень показника, перемножування на відповідні ймовірності є очікуваний збиток. Очікуваний виграш - сума всіх позитивних значень показника, перемножування на відповідні ймовірності. Очікувана вартість є, звичайно, їх сума.

В якості індикатора ризику очікувана вартість може виступати як надійна оцінка тільки в ситуаціях, де операція, пов'язана з даним ризиком, може бути повторена багато разів. Гарним прикладом такого ризику служить ризик, що страхуються страховими компаніями, коли останні пропонують зазвичай однакові контракти великому числу клієнтів. В інвестиційному проектуванні міра очікуваної вартості повинна завжди застосовуватися в комбінації з мірою варіації, такий як стандартне відхилення.

Інвестиційне рішення не повинно базуватися лише на одному значенні очікуваної вартості, тому що індивід не може бути байдужим до різних комбінацій значення показника віддачі і відповідної ймовірності, з яких складається очікувана вартість.

2. Витрати невизначеності

Витрати невизначеності або цінність інформації, як вони іноді називаються, - корисне поняття, що допомагає визначити максимально можливу плату за отримання інформації, що скорочує невизначеність проекту. Ці витрати можна визначити як очікувану вартість можливого виграшу при вирішенні відхилити проект або як очікувану вартість можливого збитку при вирішенні прийняти проект.

Очікувана вартість можливого виграшу при вирішенні відхилити проект ілюструється на Рис.4 і дорівнює сумі можливих позитивних значень NPV, перемножування на відповідні ймовірності.

Очікувана вартість можливого збитку при вирішенні прийняти проект, показана у вигляді заштрихованої площі на Рис.5, і дорівнює сумі можливих негативних значень NPV, перемножування на відповідні ймовірності.

Оцінивши можливе скорочення витрат невизначеності при придбанні додаткової інформації, інвестор вирішує, відкласти рішення прийняти або відхилити проект і шукати додаткову інформацію або приймати рішення негайно. Загальне правило таке: інвестору слід відкласти рішення, якщо можливе скорочення у витратах невизначеності перевершує витрати добування додаткової інформації.

3. Нормований очікуваний збиток

Нормований очікуваний збиток (НТУ) - відношення очікуваного збитку до очікуваної вартості:

НОУ = очікуваний збиток / (очікуваний виграш + очікуваний збиток)

Цей показник може набувати значення від 0 (відсутність очікуваного збитку) до 1 (ВІДСУТНІСТЬ очікуваного виграшу). На Рис.5 він представляється як відношення площі під профілем ризику ліворуч від нульового NPV до всієї площі під профілем ризику

Проект з імовірнісним розподілом NPV, таким, що область визначення профілю ризику NPV вище 0, має нормований очікуваний збиток, що дорівнює 0, що означає абсолютну несхильність до ризику проекту. З іншого боку, проект, область визначення профілю ризику NPV якого нижче 0, повністю схильний до ризику.

Даний показник визначає ризик як наслідок двох речей: нахилу і положення профілю ризику NPV по відношенню до розділяє вертикалі нульового NPV.

4. Коефіцієнт варіації

Він являє собою стандартне відхилення результативного показника, поділене на його очікувану вартість. При позитивній очікуваної вартості чим нижче коефіцієнт варіації, тим менше проектний ризик.

Як бачимо, два останніх розглянутих показника характеризують ризик досліджуваного проекту. Однак, якщо нормований очікуваний збиток є відносний показник і дає можливість судити про ризик окремо взятого проекту (скажімо, незадовільним вважається проект, НОУ якого більше 40%), то коефіцієнт варіації - це абсолютний показник, і тому представляється більш зручним його використовувати при порівнянні альтернативних проектів.

5. Показники граничного рівня

Ступінь стійкості проекту по відношенню до можливих змін умов реалізації, а отже і ступінь ризику може бути охарактеризована показниками граничного рівня обсягів виробництва, цін виробленої продукції та інших параметрів проекту. Граничне значення параметра проекту для деякого t-го року його реалізації визначається як таке значення цього параметра в t-му році, при якому чистий прибуток учасника в цьому році стає нульовою. Одним з найбільш важливих показників цього типу є розглянута раніше точка беззбитковості, що характеризує обсяг продажів, при якому виручка від реалізації продукції збігається з витратами виробництва. Для підтвердження працездатності проектованого виробництва (на даному кроці розрахунку) необхідно, щоб значення точки беззбитковості було менше значень номінальних обсягів виробництва і продажів (на цьому кроці). Чим далі від них значення точки беззбитковості (у процентному відношенні), тим стійкішим проект. Проект зазвичай визнається стійким, якщо значення точки беззбитковості не перевищує 75% від номінального обсягу виробництва. Докладно даний показник, а також його плюси і мінуси вже розглядалися раніше.

Як видно, цей показник ніяк не пов'язаний з імовірнісним методом і на відміну від останнього не уточнює ймовірності і спектр можливих значень для результативних показників. Крім того, кожен показник граничного рівня характеризує ступінь стійкості в залежності лише від конкретного параметра проекту (обсяг виробництва і т.д.), у той час як імовірнісний підхід проводить комплексний аналіз ризику при невизначеності одночасно всіх інтересуемой параметрів проекту, тобто в останньому випадку враховується синхронність їх зміни.

На практиці не має сенсу вважати велику кількість показників граничного рівня з надією визначити ризики, так як основна мета розрахунку такого безсумнівно важливого показника як точка беззбитковості полягає в тому, щоб визначити мінімально допустимий рівень обсягу виробництва на передінвестиційній фазі, що необхідно при описі проекту і побудові його ідеї.

Незважаючи на свої переваги, метод Монте-Карло не поширений і не використовується дуже широко в бізнесі. Одна з головних причин цього - невизначеність функцій щільності змінних, які використовуються при підрахунку потоків готівки.

Інша проблема, яка виникає як при використанні методу сценаріїв, так і при використанні методу Монте-Карло, полягає в тому, що застосування обох методів не дає однозначної відповіді на питання про те, чи слід реалізовувати даний проект або слід відкинути його.

При завершенні аналізу, проведеного методом Монте-Карло, у експерта є значення очікуваної чистої приведеної вартості проекту і щільність розподілу цієї випадкової величини. Однак наявність цих даних не забезпечує аналітика інформацією про те, чи дійсно прибутковість проекту досить велика, щоб компенсувати ризик по проекту, оцінений стандартним відхиленням і коефіцієнтом варіації.

Ряд дослідників уникає використання даного методу зважаючи на складність побудови ймовірнісної моделі і множини обчислень, однак при коректності моделі метод дає вельми надійні результати, що дозволяють судити як про прибутковість проекту, так і про його стійкості (чутливості).

У залежності від результатів завершеного аналізу ризиків, а також і від того, наскільки схильний до ризику інвестор, останній приймає рішення прийняти, змінити, або відхилити проект.

Наприклад, інвестор, виходячи зі своєї схильності до ризику, діяв би наступним чином:

1. Ризик> = 30%

У разі, якщо показник ризику, а це перш за все нормований очікуваний збиток (НТУ), дорівнює або перевищує 30%, то для прийняття проекту необхідно попередньо внести і здійснити пропозиції щодо зниження ризику. Під пропозиціями розуміються будь-які дії щодо зміни даних на вході, здатні зменшити ризик, не прирікаючи проект на збитковість.

У цих цілях використовуються:

Розроблені заздалегідь правила поведінки учасників в певних "позаштатні" ситуації (наприклад, сценарії, які передбачають відповідні дії учасників при тих чи інших змінах умов реалізації проекту).

У проектах можуть передбачатися також специфічні механізми стабілізації, що забезпечують захист інтересів учасників при несприятливій зміні умов реалізації проекту (у тому числі у випадках, коли цілі проекту будуть досягнуті не повністю або не досягнуто взагалі) і запобігають можливі дії учасників, що ставлять під загрозу його успішну реалізацію . В одному випадку може бути знижено ступінь самого ризику (за рахунок додаткових витрат на створення резервів і запасів, вдосконалення технологій, зменшення аварійності виробництва, матеріальне стимулювання підвищення якості продукції), в іншому - ризик перерозподіляється між учасниками (індексування цін, надання гарантій, різні форми страхування, застава майна, система взаємних санкцій).

Як правило, застосування в проекті стабілізаційних механізмів вимагає від учасників додаткових витрат, розмір яких залежить від умов реалізації заходу, очікувань та інтересів учасників, їх оцінок ступеня можливого ризику. Такі витрати підлягають обов'язковому обліку при визначенні ефективності проекту.

Тут працює балансування між ризиком і прибутковістю. Якщо на цьому етапі вдається знизити ризик так, що НОУ стає менше 30%, і є вибір серед такого роду варіантів проекту, то краще вибрати той з них, у якого коефіцієнт варіації менше. Якщо ж не вдається знизити ризик до вказаної відмітки, проект відхиляється.

2. Ризик <30%

Проекти з ризиком менше 30% (НОУ <30%) краще підстрахувати. Пропонується створити страховий фонд у розмірі певної частки від основної суми інвестування. Як визначити цю частку - це питання методики. Можна прийняти її рівною значенню показника ризику (нормований очікуваний збиток). Тобто, наприклад, якщо ризик дорівнює 25%, то необхідно, скажімо, передбачити відрахування від нерозподіленого прибутку в процесі здійснення проекту або укласти договір зі страховою компанією на суму в розмірі 25% від основної суми інвестування і направити ці гроші в резерв, який підлягає використанню тільки у разі настання крайніх ситуацій, пов'язаних, наприклад, з незапланованим браком вільних грошових коштів, а також іншими проблемами з метою нормалізації фінансово-економічної ситуації. Насправді, джерело оплати страхового фонду швидше за все буде залежати від періоду здійснення проекту. У найважчий у фінансовому відношенні початковий момент здійснення проекту у підприємства навряд чи знайдеться можливість обійтися без зовнішнього оточення при створенні страхового фонду, наприклад, на базі страхової компанії. Але в міру здійснення проекту у підприємства накопичується прибуток, щорічні відрахування від якої могли б скласти страховий фонд.

Проаналізуємо результативність аналізу ризиків:

Аналіз ризиків