МЕТОД А. Ф. СМИРНОВА ДЛЯ ВИЗНАЧЕННЯ КРИТИЧНИХ НАВАНТАЖЕНЬ У стрижнева система
1. ОСНОВНІ ПЕРЕДУМОВИ
1) Навантаження прикладена тільки у вузлах стрижневої системи і до втрати стійкості не викликає вигину стрижнів.
2) Матеріал працює в пружній стадії.
3) Переміщення при втраті стійкості малі в порівнянні з розмірами конструкції
4) При визначенні переміщень враховуються поздовжні сили тільки в тих стрижнях, в яких вони виникали до втрати стійкості.
Примітка: Якщо критичні навантаження визначаються статично невизначеної системі, то її статичної невизначеності розкривається методом сил.
Основна система вибирається в момент втрати стійкості.
Основна система-це статично визначні і геометрично незмінна система, отримана із заданої шляхом видалення зайвих зв'язків у деформованому стані.
Основну систему рекомендується вибирати таким чином, щоб стисло-вигнуті елементи не мали зсувів вздовж своїх осей.
1.2.Алгорітм розрахунку за методом А. Ф. Смирнова
Розглянемо пружну систему, завантажену вузловими навантаженнями.
У момент втрати стійкості система характеризується наявністю стиснуто-зігнутих і вигнутих елементів.
Деформований стан системи характеризується вектором відхилень Y, які мають розмір (m × 1):
Y 1
Y 2
Y 3
= ...
(M × 1) ...
Y n,
де m-число ненульових координат вектора відхилень, які задаються тільки для стиснуто-зігнутих стрижнів.
Вектор відхилень можна визначити за формулою Мора, яка в матричній формі має вигляд
(1.1)
При визначенні переміщень система розбивається на ділянки. У межах кожної ділянки намічаються розрахункові перерізу по кінцях кожної ділянки і в тих точках стиснуто-зігнутих стрижнів, переміщення яких підлягає визначенню.
Позначимо: μ-число розрахункових перерізів
Для складання M y необхідно в основний системі побудувати епюри моментів від одиничних сил прикладених в напрямку шуканих переміщень Y 1, Y 2, Y 3 ... Y n.
Матриця М у має розмір (μ × m)
Епюра епюра епюра ... епюра
=
(Μ × m)
G-розміром (μ × μ)-матриця податливості всієї системи.
Вона формується з матриць податливості окремих ділянок.
М р - матриця-стовпець, елементами якої є ординати епюр згинальних моментів на той період часу, коли задана система перебуває в критичному стані.
Для статично-невизначених систем при визначенні М р використовується матричний алгоритм методу сил:
(1.2),
де (1.3)-матриця, яка розкриває статичної невизначеності системи.
Якщо задана система статично визначні, то матриця перетворюється на одиничну матрицю (μ × μ):
= Е (1.4)
Структура матриці
Епюра епюра епюра ... епюра
=
(Μ × m)
-Матриця стовпець, елементами якої є ординати епюри моментів , Побудованої від дії зовнішніх вузлових сил в основний системі, з урахуванням її деформованого стану.
Ординати еп. залежать від вектора переміщень y
Отримаємо матрицю у вигляді:
(1.5),
де: H-числова матриця розміром (μ × m), перетворююча вектор відхилень у в епюру моментів вантажного стану
Тоді (1.6)
Підставляючи (1.6) в (1.1) отримаємо вектор переміщень
(1.7)
Позначимо: = K ∙ c (1.8),
Де k-загальний множник, отриманий із множників при перемножуваних матрицях Н і G
Тоді: або , Позначимо (1.9),
де: λ-власне число матриці ; -Власний вектор матриці
Перетворимо (1.9)
(1.10)-РІВНЯННЯ СТІЙКОСТІ МЕТОДУ СМИРНОВА,
де ; .
Вираз (1.10) являє собою систему однорідних рівнянь відносно , Де матриця складена з коефіцієнтів при невідомих Y 1, Y 2, Y 3 ... Y N.
Рівняння стійкості (1.10) має два рішення
1) Вектор переміщень дорівнює 0
Y 1 0
Y 2 0
Y 3 0
= ... = ... (1.11)-початкова форма рівноваги
... ...
Y n 0
2) Визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих дорівнює 0.
= 0 (1.12)-характеристичне рівняння
Якщо розкрити визначник, то отримаємо рівняння m 10 порядку, де невідомим буде λ.
Рішення цього рівняння дає значення λ, λ 1, λ 2, λ 3 ... λ m.
Мінімальне значення Р кр становить λ max ( )
minP кр = (1.13),
де -Найбільше власне число характеристичної матриці .
Власний вектор характеристичної матриці дає форму втрати стійкості.
2. ПОРЯДОК РОЗРАХУНКУ СИСТЕМ НА СТІЙКІСТЬ МЕТОДОМ А. Ф. СМИРНОВА
1.Заданная система зображується у критичному деформованому стані.
Виявляються стиснуто-зігнуті і вигнуті елементи, призначається число ненульових координат вектора відхилень для стиснуто-зігнутих елементів.
2.Ось системи розбивається на ділянки. Призначаються розрахункові перетину і правило знаків для епюр згинаючих моментів.
3.Определяется ступінь статичної невизначеності n і, якщо n> 0 вибирається основна система методу сил.
4.Форміруются необхідні матриці .
5.Вичісляется характеристична матриця
,
де -Для статично невизначених систем;
= Е-для статично визначених систем
6.Решается характеристичне рівняння = 0 →
7.Определяется значення критичного навантаження:
minP кр =
3. ФОРМУВАННЯ МАТРИЦІ податливим для стрижневих систем ПРИ РОЗРАХУНКУ НА СТІЙКІСТЬ
Матриця податливості всієї системи формується з матриць податливості окремих ділянок і має таку структуру
0
G = G k
(Μ × μ) G k-матриця податливості ділянки k
Вид матриці G k залежить від типу ділянки (яку деформацію він відчуває).
1) Ділянка, що зазнає тільки згин
G ,
де: l 0-довжина будь-якої ділянки, прийнятого за основний
B 0-жорсткість будь-якої ділянки, прийнятого за основну
;
2) Ділянки, які відчувають деформацію стиснення з вигином. Для такої ділянки вигляд матриці G k залежить від того, на скільки панелей розбита його довжина
а) Довжина ділянки розбита на дві панелі:
-Довжина ділянки
-Довжина панелі
;
б) Довжина ділянки розбита на три панелі:
; ;
в) Довжина ділянки розбита на чотири і більше панелей:
У цьому випадку загальна довжина стиснуто-зігнутого елемента компонується з подучастков з двома або трьома панелями. Відповідно і компонується матриця податливості.
G Ι
G k = G Ι Ι
4. ФОРМУВАННЯ МАТРИЦІ H
Матриця H-числова матриця розміром (μ × m), перетворююча вектор переміщень в епюру моментів вантажного стану.
;
Для побудови матриці H необхідно визначити згинальні моменти у всіх розрахункових перерізах основної системи від вузлових навантажень і побудувати епюру М 0
Епюра М 0 будується з боку розтягнутих волокон з урахуванням деформованого стану системи.
М 0 =
У матрицю H вписуються коефіцієнти при переміщеннях з кожного рівняння.
5. РІШЕННЯ Характеристичне рівняння
Існує кілька методів рішення характеристичного рівняння. Всі методи поділяються на дві групи:
1) Перша-дозволяє обчислити всі власні числа (метод Крилова-Лузіна та ін)
2) Друга-дозволяє обчислити найбільшу власне число (і відповідно найменше значення критичного навантаження)
До цієї групи відноситься метод послідовних наближень
Метод ітерацій дозволяє обчислити найбільшу власне число характеристичної матриці . Разом з визначенням власного числа одночасно проводиться визначення власного вектора, що відповідає цьому числу і задовольняє рівності:
,
де -Характеристична матриця
-Для статично невизначених систем
= Е-для статично визначених
- Власне число характеристичної матриці
-Власний вектор матриці
Порядок вирішення:
1) Задаємося наближеним вектором переміщень -Перше наближення;
2) Обчислюється: ,
де -Друге наближення власного вектора; -Перше наближення власного числа.
Вектор слід зробити нормованим, тобто його найбільшу координату треба винести за знак матриці у вигляді множника .
3) Далі знову підраховується:
і т.д.
4) Повторення процесу продовжується до тих пір, поки значення координат векторів двох останніх наближень не співпадуть.
Величина знайдена в останньому наближенні приймається за шукане
6. ПРИКЛАД.
Визначити критичну силу методом А. Ф. Смирнова
; = Е-т.к. система статично визначна
= ; ;
;
;
;
= 0
= 0
= 108,62
у =
minP кр = ;
1. ОСНОВНІ ПЕРЕДУМОВИ
1) Навантаження прикладена тільки у вузлах стрижневої системи і до втрати стійкості не викликає вигину стрижнів.
2) Матеріал працює в пружній стадії.
3) Переміщення при втраті стійкості малі в порівнянні з розмірами конструкції
4) При визначенні переміщень враховуються поздовжні сили тільки в тих стрижнях, в яких вони виникали до втрати стійкості.
Примітка: Якщо критичні навантаження визначаються статично невизначеної системі, то її статичної невизначеності розкривається методом сил.
Основна система вибирається в момент втрати стійкості.
Основна система-це статично визначні і геометрично незмінна система, отримана із заданої шляхом видалення зайвих зв'язків у деформованому стані.
Основну систему рекомендується вибирати таким чином, щоб стисло-вигнуті елементи не мали зсувів вздовж своїх осей.
1.2.Алгорітм розрахунку за методом А. Ф. Смирнова
Розглянемо пружну систему, завантажену вузловими навантаженнями.
У момент втрати стійкості система характеризується наявністю стиснуто-зігнутих і вигнутих елементів.
Деформований стан системи характеризується вектором відхилень Y, які мають розмір (m × 1):
Y 1
Y 2
Y 3
(M × 1) ...
Y n,
де m-число ненульових координат вектора відхилень, які задаються тільки для стиснуто-зігнутих стрижнів.
Вектор відхилень можна визначити за формулою Мора, яка в матричній формі має вигляд
При визначенні переміщень система розбивається на ділянки. У межах кожної ділянки намічаються розрахункові перерізу по кінцях кожної ділянки і в тих точках стиснуто-зігнутих стрижнів, переміщення яких підлягає визначенню.
Позначимо: μ-число розрахункових перерізів
Для складання M y необхідно в основний системі побудувати епюри моментів від одиничних сил прикладених в напрямку шуканих переміщень Y 1, Y 2, Y 3 ... Y n.
Матриця М у має розмір (μ × m)
Епюра епюра епюра ... епюра
(Μ × m)
G-розміром (μ × μ)-матриця податливості всієї системи.
Вона формується з матриць податливості окремих ділянок.
М р - матриця-стовпець, елементами якої є ординати епюр згинальних моментів на той період часу, коли задана система перебуває в критичному стані.
Для статично-невизначених систем при визначенні М р використовується матричний алгоритм методу сил:
де
Якщо задана система статично визначні, то матриця
Структура матриці
Епюра епюра епюра ... епюра
(Μ × m)
Ординати еп.
Отримаємо матрицю
де: H-числова матриця розміром (μ × m), перетворююча вектор відхилень у в епюру моментів вантажного стану
Тоді
Підставляючи (1.6) в (1.1) отримаємо вектор переміщень
Позначимо:
Де k-загальний множник, отриманий із множників при перемножуваних матрицях Н і G
Тоді:
де: λ-власне число матриці
Перетворимо (1.9)
де
Вираз (1.10) являє собою систему однорідних рівнянь відносно
Рівняння стійкості (1.10) має два рішення
1) Вектор переміщень
Y 1 0
Y 2 0
Y 3 0
... ...
Y n 0
2) Визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих
Якщо розкрити визначник, то отримаємо рівняння m 10 порядку, де невідомим буде λ.
Рішення цього рівняння дає значення λ, λ 1, λ 2, λ 3 ... λ m.
Мінімальне значення Р кр становить λ max (
minP кр =
де
Власний вектор характеристичної матриці
2. ПОРЯДОК РОЗРАХУНКУ СИСТЕМ НА СТІЙКІСТЬ МЕТОДОМ А. Ф. СМИРНОВА
1.Заданная система зображується у критичному деформованому стані.
Виявляються стиснуто-зігнуті і вигнуті елементи, призначається число ненульових координат вектора відхилень для стиснуто-зігнутих елементів.
2.Ось системи розбивається на ділянки. Призначаються розрахункові перетину і правило знаків для епюр згинаючих моментів.
3.Определяется ступінь статичної невизначеності n і, якщо n> 0 вибирається основна система методу сил.
4.Форміруются необхідні матриці
5.Вичісляется характеристична матриця
де
6.Решается характеристичне рівняння
7.Определяется значення критичного навантаження:
minP кр =
3. ФОРМУВАННЯ МАТРИЦІ податливим для стрижневих систем ПРИ РОЗРАХУНКУ НА СТІЙКІСТЬ
Матриця податливості всієї системи формується з матриць податливості окремих ділянок і має таку структуру
0
G = G k
(Μ × μ) G k-матриця податливості ділянки k
Вид матриці G k залежить від типу ділянки (яку деформацію він відчуває).
1) Ділянка, що зазнає тільки згин
G
де: l 0-довжина будь-якої ділянки, прийнятого за основний
B 0-жорсткість будь-якої ділянки, прийнятого за основну
2) Ділянки, які відчувають деформацію стиснення з вигином. Для такої ділянки вигляд матриці G k залежить від того, на скільки панелей розбита його довжина
а) Довжина ділянки розбита на дві панелі:
б) Довжина ділянки розбита на три панелі:
в) Довжина ділянки розбита на чотири і більше панелей:
У цьому випадку загальна довжина стиснуто-зігнутого елемента компонується з подучастков з двома або трьома панелями. Відповідно і компонується матриця податливості.
G Ι
G k = G Ι Ι
4. ФОРМУВАННЯ МАТРИЦІ H
Матриця H-числова матриця розміром (μ × m), перетворююча вектор переміщень
Для побудови матриці H необхідно визначити згинальні моменти у всіх розрахункових перерізах основної системи від вузлових навантажень і побудувати епюру М 0
Епюра М 0 будується з боку розтягнутих волокон з урахуванням деформованого стану системи.
М 0 =
У матрицю H вписуються коефіцієнти при переміщеннях з кожного рівняння.
5. РІШЕННЯ Характеристичне рівняння
Існує кілька методів рішення характеристичного рівняння. Всі методи поділяються на дві групи:
1) Перша-дозволяє обчислити всі власні числа (метод Крилова-Лузіна та ін)
2) Друга-дозволяє обчислити найбільшу власне число (і відповідно найменше значення критичного навантаження)
До цієї групи відноситься метод послідовних наближень
Метод ітерацій дозволяє обчислити найбільшу власне число характеристичної матриці
де
Порядок вирішення:
1) Задаємося наближеним вектором переміщень
2) Обчислюється:
де
Вектор
3) Далі знову підраховується:
4) Повторення процесу продовжується до тих пір, поки значення координат векторів двох останніх наближень не співпадуть.
Величина
6. ПРИКЛАД.
Визначити критичну силу методом А. Ф. Смирнова
З | С = |
у 1 | 1 | 0,5 | |
Су 1 | 118,5 | 30,5 | |
у 2 | 1 | 0,257 | |
Су 2 | 109,75 | 25,15 | |
у 3 | 1 | 0,229 | |
Су 3 | 108,74 | 24,54 | |
у 4 | 1 | 0,2257 | |
Су 4 | 108,62 | 24,46 | |
у 5 | 1 | 0,225 |
у =
minP кр =