Медіани трикутника

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Гомельська науково-практична конференція школярів з математики, її додатків та інформаційних технологій «Пошук»
Реферат на тему:
«Медіани трикутника»
Учнів:
9 'класу державного
установи освіти
«Гомельська міська
Багатопрофільна гімназія № 14 »
Морозової Єлизавети
Ходосівське Олесі
Науковий керівник-
Вчитель математики вищої категорії
Сафонова Алла Вікторівна
Гомель 2009

Зміст
Введення
1. Медіани трикутника та їх властивості
2. Відкриття німецького математика Г. Лейбніца
3. Застосування медіан в математичній статистиці
4. Медіани тетраедра
5. Шість доказів теореми про медианам
Висновок
Список використаних джерел та літератури
Додаток

Введення
Геометрія починається з трикутника. Ось вже два тисячоліття трикутник є як би символом геометрії, але він не символ. Трикутник - атом геометрії.
Трикутник невичерпний - постійно відкриваються його нові властивості. Щоб розповісти про всі відомі його властивості, необхідний тому можна порівняти за обсягом з томом Великої енциклопедії. Ми хочемо розповісти про медіані трикутника і її властивості, а так само про застосування медіан.
Спочатку згадаємо, що медіана трикутника - це відрізок з'єднує вершини трикутника з серединою протилежної сторони. Медіани мають безліч властивостей. Але ми розглянемо одну властивість і 6 різних його доказів. Три медіани перетинаються в одній точці, яка називається Центроїд (центром мас) і діляться у відношенні 2:1.
Існує медіани не тільки трикутника, але і тетраедра. Відрізок, що сполучає вершину тетраедра з Центроїд (точкою перетину медіан) противолежащей межі називається медіаною тетраедра. Ми так само розглянемо властивість медіан тетраедра.
Медіани використовуються в математичній статистиці. Наприклад, для знаходження середнього значення деякого набору чисел.

1. Медіани трикутника та їх властивості
Як відомо, медианами трикутника називаються відрізки, що з'єднують його вершини з серединами протилежних сторін. Всі три медіани перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні 1:2.
Точка перетину медіан є також центром ваги трикутника. Якщо підвісити картонний трикутник в точці перетину його медіан то він буде перебувати в стані рівноваги
Цікаво, що вcе шість трикутників, на які кожен трикутник розбивається своїми медианами, мають однакові площі.
Медіани трикутника через його боку виражаються так:
,
,
.
Якщо дві медіани перпендикулярні, то сума квадратів сторін, на які вони опущені, в 5 разів більше квадрата третьої сторони.
Побудуємо трикутник, сторони якого рівні медианам даного трикутника, тоді медіани побудованого трикутника будуть рівні 3 / 4 сторін початкового трикутника.
Даний трикутник назвемо першим, трикутник з його медіан - другим, трикутник з медіан другого - третім і т. д. Тоді трикутники з непарними номерами (1,3, 5, 7 ,...) подібні між собою і трикутники з парними номерами ( 2, 4, 6, 8 ,...) також подібні між собою.
Сума квадратів довжин всіх медіан трикутника дорівнює ¾ суми квадратів довжин його сторін.

2. Відкриття німецького математика Г. Лейбніца
Знаменитий німецький математик Г. Лейбніц виявив чудовий факт: сума квадратів відстаней від довільної точки площині до вершин трикутника, що лежить у цій площині, дорівнює сумі квадратів відстаней від точки перетину медіан до його вершин, складеної з потрійним квадратом відстані від точки перетину медіан до вибраної точки.
З цієї теореми випливає, що точка на площині, для якої сума квадратів відстаней до вершин даного трикутника є мінімальною, - це точка перетину медіан цього трикутника.
У той же час мінімальна сума відстаней до вершин трикутника (а не їх квадратів) буде для точки, з якої кожна сторона трикутника видно під кутом в 120 °, якщо жоден з кутів трикутника не більше 120 ° (точка Ферма), і для вершини тупого кута, якщо він більше 120 °.
З теореми Лейбніца і попереднього твердження легко знайти відстань d від точки перетину медіан до центру описаного кола. Дійсно, це відстань по теоремі Лейбніца дорівнює кореню квадратному з однієї третини різниці між сумою квадратів відстаней від центру описаного кола до вершин трикутника і сумою
Квадратів відстаней від точки перетину медіан до вершин трикутника. Отримуємо, що
.
Точка М перетину медіан трикутника AВС є єдиною точкою трикутника, для якої сума векторів МА, MB і МС дорівнює нулю. Координати точки М (щодо довільних осей) дорівнюють середнім арифметичним відповідних координат вершин трикутника. З цих тверджень можна отримати доказ теореми про медіаною.
3. Застосування медіан в математичній статистиці
Медіани бувають не тільки в геометрії, а й в математичній статистиці. Нехай потрібно знайти середнє значення деякого набору чисел , , ..., А п. Можна, звичайно, за середнє прийняти середнє арифметичне

Але іноді це незручно. Припустимо, що потрібно визначити середнє зростання другокласників Москви. Опитаємо навмання 100 школярів і запишемо їх зростання. Якщо один з хлопців жартома скаже, що його зростання дорівнює кілометру, то середнє арифметичне записаних чисел надто довгим. Набагато краще в якості середнього взяти медіану чисел , ..., А п.
Припустимо, що чисел - непарна кількість, і розставимо їх у неспадними порядку. Число, яке опинилося на середньому місці, називається медіаною набору. Наприклад, медіана набору чисел 1, 2, 5, 30, 1, 1, 2 дорівнює 2 (а середнє арифметичне значно більше - воно дорівнює 6).
4. Медіани тетраедра
Виявляється, можна говорити про медианам не тільки для трикутника, але і для тетраедра. Відрізок, що сполучає вершину тетраедра з Центроїд (точкою перетину медіан) противолежащей грані, називається медіаною тетраедра. Як і медіани трикутника, медіани тетраедра перетинаються в одній точці, центрі мас або центроїда тетраедра, але ставлення, в якому вони діляться в цій точці, інше - 3:1, рахуючи від вершин. Ця ж точка лежить і на всіх відрізках, що з'єднують середини протилежних ребер тетраедра, його бімедіаною, і ділить їх навпіл. Це можна довести, наприклад, з механічних міркувань, помістивши в кожну з чотирьох вершин тетраедра важки одиничної маси.
5. Шість доказів теореми про медианам
Давно помічено, що познайомитися з різними рішеннями однієї задачі буває корисніше, ніж з однотипними рішеннями різних завдань. Однією з теорем, що допускають, як і багато інших класичні теореми елементарної геометрії, кілька повчальних доказів, є
Теорема про медианам трикутника. Медіани , У і С трикутника ABC перетинаються в деякій точці М, причому кожна з них ділиться цією точкою у відношенні 2:1, рахуючи від вершини: AM: M = BM: M = CM: M = 2. (1)
У всіх наведених далі доказах, крім шостого, ми встановлюємо тільки, що медіана У проходить через точку М, яка ділить медіану А у відношенні 2:1. Якщо у відповідному міркуванні замінити відрізок В на відрізок З , То ми отримаємо, що і С проходить через М. Цим буде доведено, що всі три медіани перетинаються в деякій точці М, причому АМ: М - 2. Оскільки всі медіани рівноправні, можна замінити А на В або СС 1 звідси випливає (1).
Перший доказ (8 клас).
Нехай К - середина відрізка AM, В '- точка перетину прямої ВМ зі стороною АС. Нам достатньо довести, що АВ' = В'С. Через точки К і   паралельно прямий ВМ проведемо відрізки KL і N (Рис. 1). Оскільки АК - КМ = М і С = В, по теоремі Фалеса отримуємо

AL = LB '= B' N =; NC.
АВ '= В'С.
Друге доказ (8 клас).
Розглянемо гомотетія з центром М і коефіцієнтом -1 / 2. Точка А переходить при цій гомотетии в . Нехай У переходить у В '(рис. 2). Тоді = - АВ. З іншого боку, середня лінія   виходить з боку ВА при гомотетии з центром С і коефіцієнтом 1 / 2; таким чином:
=
Отже, , Отже, В '= . Таким чином, трикутники ABC і   гомотетічни, причому центр гомотетии лежить в точці М. За визначенням гомотетии, точки В, М і В '= лежать на одній прямій.
Третє доказ (9 клас).
Розглянемо трикутники MAC і М С (рис. 3). Їх висоти, опущені з вершини С, збігаються, а довжини протилежних цій вершині сторін відносяться як 2:1, тому , Де S позначає площу. Аналогічно, . Але . Отже,
. Таким чином, трикутники МАВ, МВС та МСА рівновеликі. Нехай В '- точка перетину прямих ВМ і АС. Доведемо, що АВ' = В'С. З одного боку,

З іншого боку,


.
Користуючись теоремою
,
звідси отримуємо
.
Четвертий доказ (9 клас).
ВМ = ВС + СА + АМ = ВС + СА +
Отже, точка М лежить на медіані .
П'яте доказ (9 клас).
Знову розглянемо точку В 'перетину прямих ВМ і АС (рис. 3). Застосовуючи теорему синусів спочатку до трикутниках АВ'В і СВ'В, а потім - до трикутниках АВМ та ВМ і враховуючи, що sin AB 'B = sin CB 'B, sin AMB = = sin MB, BC = 2 B і МА = 2M , Отримаємо
.

Шосте доказ (10 клас).
Проведемо через точки А і В площину а, що не містить С, і побудуємо в цій площині правильний трикутник ABC (Рис. 5). Із загальних властивостей паралельної проекції випливає, що паралельна проекція уздовж прямої З переводить трикутник АВС у трикутник АВ , Причому медіани трикутника ABC проектуються в медіани трикутника AB . Але в правильному трикутнику медіани є і биссектрисами, а отже, перетинаються в одній точці. Легко довести також (докажіте!), що для трикутника AB справедливі рівності (1).
Звідси випливає, що наша теорема вірна і для трикутника АВС.
Згадаємо ще одне, можливо, саме просте і природне доказ теореми про медианам: якщо помістити в вершини трикутника рівні маси і по черзі групувати їх парами, ми отримаємо, що центр всіх трьох мас лежить на кожній з медіан. Центр системи рівних мас, поміщених до деяких точки, називається Центроїд цього набору крапок, тому і точку перетину медіан трикутника часто називають його Центроїд.

Висновок
Виходячи з виконаної роботи можна зробити наступні висновки:
1. Одну теорему можна довести різними способами. Це набагато корисніше. Адже її можна вивчити з різних боків, використовуючи різні методи та теми курсу 8-10 класів.
2. Медіана була вивчена багатьма вченими, але особливий внесок у її розвиток вніс німецький вчений Г. Лейбніц. Він виявив чудовий факт: сума квадратів відстаней від довільної точки площині до вершин трикутника, що лежить у цій площині, дорівнює сумі квадратів відстаней від точки перетину медіан до його вершин, складеної з потрійним квадратом відстані від точки перетину медіан до вибраної точки.
З цієї теореми випливає, що точка на площині для якої сума квадратів відстаней до вершин даного трикутника є мінімальною, - це точка перетину медіан цього трикутника.
3. Медіани використовуються не тільки в геометрії, а й у фізиці, і в статичній математики. Для обчислення середнього арифметичного і ін

Список використаних джерел та літератури
1. І.Л. Нікольська. Факультативний курс з математики. Навчальний посібник для 7-9 класів середньої школи. Москва "Просвіта" 1991 р. с. 92-93.
2. Т.Л. Рибакова, І.В. Суслова. Шкільний довідник "МАТЕМАТИКА". Ярославль "Академія розвитку" 1997 р. с. 113.
3. Щомісячний науково-популярний фізико-математичний журнал Академії наук СРСР і Академії педагогічних наук літератури. "Квант № 7 1990 р. з. 40.
4. Щомісячний науково-популярний фізико-математичний журнал Академії наук СРСР і Академії педагогічних наук літератури. "Квант № 1 1990 р. з. 54.

Додаток
1. Доведіть, що точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовжень її бічних сторін і середини підстав лежать на одній прямій. Вивести звідси теорему про медіаною.
2. Дан трикутник ABC. Вкажіть всі такі точки P, що S PAB = S PBC = S PCA.
3. Кожна з вершин п'ятикутника з'єднана з серединою противолежащей сторони. Доведіть, що якщо чотири з отриманих прямих перетинаються в одній точці, то і п'ята пряма проходить через цю точку.
4. Через кожну з ребер тригранного кута і бісектрису протилежної плоского кута проведена площину. Доведіть, що три отримані площині мають загальну пряму.
5. Точки A 1, B 1, C 1 лежать відповідно на сторонах BC, CA і AB трикутника ABC. Відомо, що відрізки AA 1, BB 1, CC 1 перетинаються в точці P, причому

Доведіть, що P - Центроид трикутника ABC.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
38.5кб. | скачати


Схожі роботи:
Площа трикутника
Загадка Бермудського трикутника
Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника
© Усі права захищені
написати до нас