Матриці і визначники

Дисципліна: Вища математика
Тема: Матриці та визначники

Поняття матриці
При вивченні питань, пов'язаних з дією над векторами, а також при вивченні систем лінійних рівнянь доводиться мати справу з таблицями з чисел, які називаються матрицями.
Визначення. Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить рядків і стовпців.
Числа і називаються порядками матриці. Якщо , То матриця називається квадратної. Для позначення матриці користуються або вертикальними подвійними рисками, або круглими дужками:
або .
Для короткого позначення матриці може бути використана і одна буква, наприклад, . Крім того, замість всієї таблиці може бути написано: , Де ; .
Числа називаються елементами матриці, - Номер рядка, - Номер стовпця.
Для квадратної матриці вводиться поняття головної та побічної діагоналі: головна діагональ йде з верхнього лівого кута в нижній правий; побічна - з верхнього правого в нижній лівий.
Ранг матриці. Еквівалентні матриці
Дана прямокутна матриця:

Виділимо в цій матриці k довільних рядків і k довільних стовпців (k Ј m, k Ј n).
Визначення. Визначник k-го порядку, складений з елементів матриці A, розташованих на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінором k-го порядку матриці A. Матриця A має C ^k _m * C ^k _n миноров k-го порядку.
Визначення. Розглянемо всілякі мінори матриці A, відмінні від нуля. Рангом матриці A називається найбільший порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці. Якщо всі елементи матриці дорівнюють нулю, то ранг цієї матриці приймають рівним нулю.
Визначення. Всякий відмінний від нуля мінор матриці, порядок якого дорівнює рангу цієї матриці, називається базисним мінором матриці.
Ранг матриці A будемо позначати через r (A). Якщо r (A) = r (B), то матриці A і B називаються еквівалентними.
Корисно мати на увазі, що ранг матриці не змінюється від елементарних перетворень. Під елементарними перетвореннями розуміються:
1) заміна рядків стовпцями, а стовпців відповідними строками;
2) перестановка рядків матриці;
3) викреслення рядка, всі елементи якої дорівнюють нулю;
4) множення будь-якого рядка на число, відмінне від нуля;
5) додаток до елементів одного рядка відповідних елементів іншого рядка.

Дії над матрицями
Визначення. Дві матриці називаються рівними, якщо вони мають однакові порядки і всі їх відповідні елементи збігаються.
Визначення. Сумою двох матриць ( ) І ( ) Однакових порядків називається матриця ( ) Того ж порядку, елементи якої дорівнюють .
На листі ця дія може бути записано так: . Операція складання володіє, очевидно, звичайними властивостями: переставних ; Сполучним .
Визначення. Твором матриці на число називається матриця , Елементи якої дорівнюють .
Множення матриці на число може бути записано: або .
Ця операція має такі властивості: сполучним щодо числового множника ; Розподільчим щодо суми матриць ; Розподільчим щодо суми чисел .
Після перших двох дій необхідно відзначити, що віднімання матриць проводиться аналогічно складанню, а розподіл матриці на число може бути визначене як множення на зворотне число.
Визначення. Твором матриці ( ), Що має порядок , На матрицю ( ), Що має порядок , Називається матриця ( ), Що має порядок , Елементи якої дорівнюють , Де .
Записується цю дію так . Зі сказаного вище випливає, що для знаходження елемента , У творі необхідно попарно перемножити всі відповідні елементи -Го рядка матриці на елементи -Го стовпця матриці , А потім все це скласти. З визначення також випливає, що для множення двох матриць необхідно, щоб число стовпців матриці було рівне числу рядків матриці . Звідси випливає, що одночасно твір і існує лише в тому випадку, коли число стовпців дорівнює числу рядків , А число стовпців дорівнює числу рядків . У цьому випадку і будуть квадратними матрицями, але різних порядків. Щоб обидва твори були однакового порядку, необхідно, щоб і були квадратними матрицями однакового порядку.
Твір матриць має властивості: сочетательное ; Розподільне . Переставних властивістю в загальному випадку твір матриць не володіє. Воно виконується лише в деяких випадках.
Серед квадратних матриць необхідно виділити важливий клас діагональних матриць.
Визначення. Діагональної називається квадратна матриця, всі елементи якої, розташовані поза головної діагоналі, дорівнюють 0:
.
У тому випадку, якщо , То для будь-квадратної матриці порядку справедливо . Дійсно, для отримуємо . Для - . Звідси, .
Серед діагональних матриць з рівними один одному елементами особливе місце займають дві матриці: одинична і нульова. У одиничної матриці , Позначається вона - , Біля нульової , Позначається вона - .
Як було показано , . Перемноживши ці матриці, можна переконатися, що ; . Таким чином, матриці і виконують ту ж роль, що й 1 і 0 серед чисел. Взагалі нульової називають будь-яку матрицю, елементи якої дорівнюють нулю.
Поняття визначника
Вище було показано, що матриця - це прямокутна таблиця, складена з чисел. Особливе місце серед матриць займають квадратні матриці. Розглянемо довільну квадратну матрицю порядку або просто :

(3.1.1)

Виявляється, що з такою матрицею завжди можна зв'язати цілком певну чисельну характеристику.
Визначення. Чисельна характеристика квадратної матриці називається її визначником.
Розглянемо матрицю першого порядку .
Визначення. Чисельної характеристики матриці першого порядку, тобто визначником першого порядку, називається величина її елемента .
Позначається визначник одним із символів .
Розглянемо матрицю другого порядку .
Визначення. Визначником другого порядку, відповідним матриці другого порядку, називається число, рівне .
Позначається визначник одним із символів

(3.1.2)

Очевидно, що для складання визначника другого порядку, необхідно знайти різницю твори елементів, що стоять на головній діагоналі матриці, і твори елементів, що стоять на побічної діагоналі цієї матриці.
Оскільки одна з форм позначення визначника і позначення матриці мають багато спільного (записується таблиця з чисел), то так само, як і в матриці, говорять про стовпцях, рядках і елементах визначника.
Після того як розглянуті визначники 1-го і 2-го порядків, можна перейти до поняття визначника будь-якого порядку. Але перед цим введемо поняття мінору.
Визначення. Мінором будь-якого елементу квадратної матриці порядку називається визначник порядку , Відповідний тієї матриці, яка виходить з первісної в результаті викреслювання -Го рядка і -Го стовпця, на перетині яких стоїть елемент .
Зазвичай мінор елемента позначається .
Визначення. Визначником порядку , Відповідним матриці порядку , Називається число, рівне .
Позначається визначник одним із символів

(3.1.3)

Наведене вираз являє собою правило обчислення визначника -Го порядку за елементами першого рядка відповідної йому матриці і по мінору елементів цього рядка, які є визначниками порядку . Для це правило дає:
.
У наведеному правилі обчислення визначника фігурує лише перший рядок. Виникає питання, а чи не можна обчислити визначник, використовуючи елементи інших рядків?
Теорема. Який би не був номер рядка ( ), Для визначника -Го порядку справедлива формула , Звана розкладанням цього визначника по -Ої рядку.
Неважко помітити, що в цьому формулюванні ступінь за (-1) дорівнює сумі номерів рядка та стовпця, на перетині яких стоїть елемент .
Доведемо цю теорему для . У цьому випадку може бути одно тільки 2, так як входить в основне визначення величини визначника. Отже:
.
Отримане вираження збігається з тим, яке було надане у визначенні, отже, для визначника 2-го порядку теорема доведена.
Для довільного дана теорема доводиться методом математичної індукції.
Отже, показано, що визначник може бути розкладений по будь-якому рядку. Виникає питання, а чи не можна зробити те ж саме, використавши довільний стовпець.
Теорема. Який би не був номер стовпця ( ), Для визначника -Го порядку справедлива формула , Звана розкладанням цього визначника по -Му стовпцю.
Доведемо теорему для :
.
Цей вираз дорівнює величині визначника, введеної за визначенням.
Отже, на підставі теорем можна сказати, що для обчислення визначника -Го порядку необхідно його розкласти по довільному рядку або стовпцю.
На закінчення введемо ще одне визначення.
Визначення. Алгебраїчні доповнення даного елемента визначника -Го порядку називається число, рівне , Яке позначається .
Значить, алгебраїчне доповнення відрізняється від відповідного мінору тільки лише знаком. Тепер величину визначника можна обчислити за допомогою формул:
.

Література
1. Лобоцький Н.Л. Основи вищої математики. Мінськ, "Вища школа", 1973.
2. Мінорскій В.П. Збірник задач з вищої математики.
3. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Короткий курс вищої математики. М., "Наука", 1986.
4. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. М., "Вища школа" вид. 5, 1977.
5. Гмурман В.Є. Керівництво вирішення задач з теорії ймовірностей і математичній статистиці. М., "Вища школа" вид. 2.
6. Баврін І.І. Вища математика - 1980 р .3
7. Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричні обчислення. - М.: Світ, 1999.
8. Беллмана Р. Введення в теорію матриць. - М.: Світ, 1969.
9. Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць (2-е видання). - М.: Наука, 1966.
10. Ланкастер П. Теорія матриць. - М.: Наука, 1973.
11. Соколов М. П. Просторові матриці та їх застосування. - М.: ГІФМЛ, 1960.