Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки
Кафедра інформатики
РЕФЕРАТ
На тему:
«Матриці графів»
МІНСЬК, 2008
У теоретико-множинної і геометричної форм визначення (завдання) графів, часто використовується матрична форма їх подання. Існують різні види матриць графів, однак всі вони, як правило, повністю передають основні властивості графів. Матрична форма завдання графів володіє достатньою наочністю при будь-якого ступеня складності графа і, що найважливіше, дозволяє автоматизувати процес обробки інформації, представленої в термінах теорії графів, - будь-яка матриця графа може бути введена в ЕОМ.
При завданні графів в матричній формі можуть враховуватися або відносини смежностей (вершин чи ребер (дуг)), або відображення інцидентності (вершин і ребер (дуг)). У зв'язку з цим матриці графів діляться на два основні класи: матриці смежностей і матриці iнциденцiй.
Определеніе.1. Матрицею суміжності вершин неорієнтованого графа G називається квадратна матриця A (G) = [aij] порядку p = p (G) (p - кількість вершин графа), елементи aij якої рівні числу ребер, що з'єднують вершини xi і xj.
На рис. 1 наведено неорієнтований граф G (X, E) і справа - відповідна йому матриця смежностей вершин A (G).
З визначення 1 безпосередньо випливають основні властивості матриць цього виду.
1. Матриця смежностей вершин неорієнтованого графа A (G) є квадратною і симетричною відносно головної діагоналі.
2. Елементами матриці A (G) є цілі позитивні числа і число нуль.
3. Сума елементів матриці A (G) по i-му рядку (або по i-му стовпцю) дорівнює ступеня відповідної вершини d (xi).
З визначення матриці смежностей вершин неорієнтованого графа і її основних властивостей йдуть деякі особливості відповідності між графом G (X, E) і його матрицею A (G). На рис. 1 вказана деяка нумерація вершин графа; розташована поруч матриця відповідає саме цій нумерації. Якщо ж у графі G (X, E), наведеному на цьому малюнку, використовувати іншу нумерацію вершин (наприклад, зсунувши її відносно вершин за годинниковою стрілкою), то це призведе до того, що в матриці A (G) відбудеться перестановка окремих рядків і стовпців. Тому кажуть, що кожен неорієнтований граф має єдину з точністю до перестановки рядків і стовпців матрицю смежностей вершин. І навпаки, кожна квадратна симетрична щодо головної діагоналі матриця, елементами якої є цілі позитивні числа і число нуль, визначає єдиний з точністю до ізоморфізму неорієнтований граф, матрицею смежностей вершин якого є дана матриця.
Рекомендується самостійно побудувати матрицю смежностей вершин графа G (X, E), показаного на рис. 1, з використанням іншої нумерації вершин і порівняти отриману при цьому матрицю з матрицею смежностей вершин наведеного графа.
Визначення 2. Матрицею суміжності вершин орієнтованого графа G називається квадратна матриця A (G) = [aij] порядку n (n - число вершин графа), елементи якої aij рівні числу дуг, що виходять з вершини xi і заходять у вершину xj.
На рис. 2 показаний орієнтований граф G (X, E) і праворуч - матриця смежностей його вершин. З визначення випливає, що сума елементів i-го рядка матриці A (G) орграфа дорівнює полустепені результату d + (xi), а по i-му стовпцю - полустепені заходу d-(xi). Як і раніше елементи цієї матриці - цілі позитивні числа і число нуль. Матриця смежностей вершин орграфа може виявитися симетричною відносно головної діагоналі лише в рідкісних окремих випадках.
Як і у випадку неорієнтованих графів, кожен орграф має єдину з точністю до перестановки рядків і стовпців матрицю смежностей вершин. І навпаки, кожна квадратна матриця, елементи якої - цілі позитивні числа і число нуль, визначає єдиний з точністю до ізоморфізму орієнтований граф.
Визначення 3. Матрицею інцидентності неорієнтованого графа G називається матриця B (G) = [bij] розміром (pxq) (p і q - кількість вершин і ребер графа), елементи bij якої дорівнюють одиниці, якщо вершина xi инцидентна ребру ej і нулю, якщо відповідні вершини і ребра не iнцидентна.
Властивості матриці інцидентності неорієнтованого графа.
1. Сума елементів матриці на i-му рядку дорівнює d (xi).
2. Сума елементів матриці по i-му стовпці дорівнює 2.
Матриця інцидентності графа, зображеного на рис. 1, а має вигляд:
Слід зазначити, що петлі ej = (xi, xi) в матрицях цього виду відповідає j-й стовпець, що складається з нулів і однієї одиниці, розташованої на i-му місці. Ребру ek = {xm, xn} відповідає в матриці інціденцій k-й стовпець, що складається з нулів і двох одиниць, розташованих на m-м і n-му місцях. Нульова рядок матриці відповідає ізольованій вершині, а нульовий стовпець - петлі. Слід мати на увазі, що нульовий стовпчик матриці інцидентності лише вказує на наявність петлі, але не містить інформації про те, з якою саме вершиною пов'язана ця петля.
Необхідно відзначити, що між рядками матриці інцидентності B (G) існує очевидна залежність. Так як кожен стовпець цієї матриці містить лише два одиничних елемента або складається тільки з нулів, якщо стовпець відповідає петлі, то сума по модулю 2 всіх рядків дорівнює нулю. Тому без втрати інформації про графа замість матриці B (G) можна розглядати скорочену матрицю Bo (G), що отримується з B (G) викреслюванням будь-якого рядка (найчастіше викреслюється останній рядок). Таким чином, з p рядків матриці B (G) зв'язкового графа (див. п. 5) один рядок завжди лінійно залежна, тобто ранг матриці B (G) не може перевищувати p-1 (ранг матриці B (G) у точності дорівнює p-1).
Будь-яка підмножина стовпців матриці B (G) можна розглядати як матрицю інцидентності B '(G) деякого суграфа G' (X, E '), що містить усі вершини вихідного графа і відповідне виділеним стовпцях підмножина E'CE його ребер. Всі стовпчики матриці B '(G) лінійно незалежні тоді і тільки тоді, коли суграф G' (X, E ') не містить циклів. Дійсно, якщо сукупність ребер утворює цикл, то кожна вершина інциденту четному числа ребер цього циклу. Отже, сума по модулю 2 відповідних стовпців дає нульовий стовпець, що означає з залежність. Якщо ж суграф не містить циклів, то він має щонайменше дві (взагалі, парне число) кінцевих вершин, кожна з инцидентна яких тільки одному ребру, що є кінцевих. Тому сума по модулю 2 відповідних стовпців буде містити два (або парне число) одиничних елемента і, отже, сукупність цих стовпців незалежна.
У зв'язному графі з p вершинами завжди можна виділити p-1 ребер так, щоб вони утворили суграф без циклів, що представляє собою дерево графа, що є каркасом. Тому матриця інцидентності містить не менш p-1 незалежних стовпців. У той же час будь-суграф, що має більш p-1 ребер, обов'язково містить цикл, тобто в матриці інціденцій не може бути більше p-1 незалежних стовпців. Звідси випливає, що матриця інцидентності зв'язного графа містить в точності p-1 незалежних стовпців, і тому її ранг дорівнює p-1. Число n = p-1 і визначає ранг графа.
Визначення 4. Матрицею інцидентності орграфа G з p вершинами і q ребрами називається матриця B (G) = [bij] розміром (p 'q), елементи якої визначаються наступним чином:
ì1, якщо вершина xi є початком дуги ej
bij = í -1, якщо вершина xi є кінцем дуги ej;
î 0, якщо вершина xi не iнцидентна дугу ej.
Нижче наведена матриця інцидентності графа, зображеного на рис. 2:
Матриця інцидентності орграфа G має такі властивості.
Сума рядків матриці B (G) є нульовою рядком.
Будь-яка рядок матриці B (G) є лінійною комбінацією інших рядків.
Ранг матриці B (G) дорівнює p-1.
Визначення 5. Матрицею суміжності ребер неорієнтованого графа G називається квадратна матриця A * (G) = [a * ij] порядку q, елементи a * ij якої рівні одиниці, якщо ребра ei і ej суміжні, і нулю - в іншому випадку.
Для графа, зображеного на рис. 1, матриця суміжності ребер має вигляд
Очевидно, що матриця A * (G) суміжності ребер неорієнтованого графа має ті ж властивості, що й матриця A (G) суміжності вершин графа G. Таким чином, можна знайти граф G *, матриця суміжності вершин якого дорівнює матриці A * (G) суміжності ребер графа G.
G (X, E) ® A * (G) º A (G *) ® G *.
Такий граф називається реберним, або зв'язаних графом G. На рис. 3 наведено реберний граф (для неорієнтованого графа, показаного на мал.1).
Матриці суміжності вершин і суміжності ребер неорієнтованого графа можуть бути отримані з матриці інцидентності наступним чином.
Позначимо через BT (G) матрицю, отриману транспонування матриці інцидентності B (G). Квадратна матриця A = B (G) × BT (G) порядку p буде дорівнює матриці суміжності вершин графа, а квадратна матриця А * = BT (G) × B (G) порядку q - матриці суміжності ребер.
По матриці суміжності ребер графа (орграфа) завжди можна визначити ребра графа (дуги орграфа) як пари інцидентних ним вершин, а для графів з паралельними ребрами (дугами), крім того, і кратності ребер (дуг).
Однак якщо ребра (дуги) були пронумеровані, то відновити їх номери по матриці суміжності неможливо. У цьому сенсі матриця інцидентності виявляється більш інформативною, ніж матриця суміжності, оскільки дозволяє отримати повну інформацію про ребрах (дугах), включаючи їх нумерацію.
Розглянуті в цьому параграфі матриці графів грають велику роль в теорії графів. Існують і інші матриці графів, проте їх роль менш значна.
ЛІТЕРАТУРА
1. Бєлоусов А.І., Ткачов С.Б. Дискретна математика: Підручник для вузів / Під ред. В.С. Зарубіна, А.П. Крищенко .- М.: изд-во МГТУ ім. Н.Е. Баумана, 2001 .- 744 с. (Сер. Математика в технічному університеті; Вип XIX).
2. Горбатов В.А. Фундаментальні основи дискретної математики. Інформаційна математика .- М.: Наука, Фізматліт, 2000 .- 544 с .- ISBN 5-02-015238-2.
3. Петрова В.Т. Алгебра та геометрія. Підручник для ВУЗів: в 2 ч. - К.: Гуманит. вид. центр ВЛАДОС .- ч. 1 - 312 с., ч. 2 - 344 с. ISBN 5-691-00077-2. ISBN 5-691-00238-4 (I), ISBN 5-691-00239-2 (II).
4. Зарубін В.С. Математичне моделювання в техніці: Учеб. для вузів / Під ред. В.С. Зарубіна, А.П. Крищенко .- М.: Із МГТУ ім. Н.Е. Баумана, 2001 .- 496 с. (Сер. Математика в технічному університеті; вип. XXI, заключний).
Кафедра інформатики
РЕФЕРАТ
На тему:
«Матриці графів»
МІНСЬК, 2008
У теоретико-множинної і геометричної форм визначення (завдання) графів, часто використовується матрична форма їх подання. Існують різні види матриць графів, однак всі вони, як правило, повністю передають основні властивості графів. Матрична форма завдання графів володіє достатньою наочністю при будь-якого ступеня складності графа і, що найважливіше, дозволяє автоматизувати процес обробки інформації, представленої в термінах теорії графів, - будь-яка матриця графа може бути введена в ЕОМ.
При завданні графів в матричній формі можуть враховуватися або відносини смежностей (вершин чи ребер (дуг)), або відображення інцидентності (вершин і ребер (дуг)). У зв'язку з цим матриці графів діляться на два основні класи: матриці смежностей і матриці iнциденцiй.
Определеніе.1. Матрицею суміжності вершин неорієнтованого графа G називається квадратна матриця A (G) = [aij] порядку p = p (G) (p - кількість вершин графа), елементи aij якої рівні числу ребер, що з'єднують вершини xi і xj.
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | |||
| x1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | ||
| x2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||
| x3 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | ||
| A (G) | = | x4 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| x5 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||
| x6 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| x7 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| x8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
З визначення 1 безпосередньо випливають основні властивості матриць цього виду.
1. Матриця смежностей вершин неорієнтованого графа A (G) є квадратною і симетричною відносно головної діагоналі.
2. Елементами матриці A (G) є цілі позитивні числа і число нуль.
3. Сума елементів матриці A (G) по i-му рядку (або по i-му стовпцю) дорівнює ступеня відповідної вершини d (xi).
З визначення матриці смежностей вершин неорієнтованого графа і її основних властивостей йдуть деякі особливості відповідності між графом G (X, E) і його матрицею A (G). На рис. 1 вказана деяка нумерація вершин графа; розташована поруч матриця відповідає саме цій нумерації. Якщо ж у графі G (X, E), наведеному на цьому малюнку, використовувати іншу нумерацію вершин (наприклад, зсунувши її відносно вершин за годинниковою стрілкою), то це призведе до того, що в матриці A (G) відбудеться перестановка окремих рядків і стовпців. Тому кажуть, що кожен неорієнтований граф має єдину з точністю до перестановки рядків і стовпців матрицю смежностей вершин. І навпаки, кожна квадратна симетрична щодо головної діагоналі матриця, елементами якої є цілі позитивні числа і число нуль, визначає єдиний з точністю до ізоморфізму неорієнтований граф, матрицею смежностей вершин якого є дана матриця.
Рекомендується самостійно побудувати матрицю смежностей вершин графа G (X, E), показаного на рис. 1, з використанням іншої нумерації вершин і порівняти отриману при цьому матрицю з матрицею смежностей вершин наведеного графа.
Визначення 2. Матрицею суміжності вершин орієнтованого графа G називається квадратна матриця A (G) = [aij] порядку n (n - число вершин графа), елементи якої aij рівні числу дуг, що виходять з вершини xi і заходять у вершину xj.
| x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | |||
| x1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| x2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | ||
| x3 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | ||
| A (G) | = | x4 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| x5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | ||
| x6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||
| x7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | ||
| x8 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Як і у випадку неорієнтованих графів, кожен орграф має єдину з точністю до перестановки рядків і стовпців матрицю смежностей вершин. І навпаки, кожна квадратна матриця, елементи якої - цілі позитивні числа і число нуль, визначає єдиний з точністю до ізоморфізму орієнтований граф.
Визначення 3. Матрицею інцидентності неорієнтованого графа G називається матриця B (G) = [bij] розміром (pxq) (p і q - кількість вершин і ребер графа), елементи bij якої дорівнюють одиниці, якщо вершина xi инцидентна ребру ej і нулю, якщо відповідні вершини і ребра не iнцидентна.
Властивості матриці інцидентності неорієнтованого графа.
1. Сума елементів матриці на i-му рядку дорівнює d (xi).
2. Сума елементів матриці по i-му стовпці дорівнює 2.
Матриця інцидентності графа, зображеного на рис. 1, а має вигляд:
| e1 | E2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 | e8 | e9 | e10 | |||
| x1 | 1 | 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| x2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| x3 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | ||
| B (G) | = | x4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| x5 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | ||
| x6 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||
| x7 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| x8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||
Необхідно відзначити, що між рядками матриці інцидентності B (G) існує очевидна залежність. Так як кожен стовпець цієї матриці містить лише два одиничних елемента або складається тільки з нулів, якщо стовпець відповідає петлі, то сума по модулю 2 всіх рядків дорівнює нулю. Тому без втрати інформації про графа замість матриці B (G) можна розглядати скорочену матрицю Bo (G), що отримується з B (G) викреслюванням будь-якого рядка (найчастіше викреслюється останній рядок). Таким чином, з p рядків матриці B (G) зв'язкового графа (див. п. 5) один рядок завжди лінійно залежна, тобто ранг матриці B (G) не може перевищувати p-1 (ранг матриці B (G) у точності дорівнює p-1).
Будь-яка підмножина стовпців матриці B (G) можна розглядати як матрицю інцидентності B '(G) деякого суграфа G' (X, E '), що містить усі вершини вихідного графа і відповідне виділеним стовпцях підмножина E'CE його ребер. Всі стовпчики матриці B '(G) лінійно незалежні тоді і тільки тоді, коли суграф G' (X, E ') не містить циклів. Дійсно, якщо сукупність ребер утворює цикл, то кожна вершина інциденту четному числа ребер цього циклу. Отже, сума по модулю 2 відповідних стовпців дає нульовий стовпець, що означає з залежність. Якщо ж суграф не містить циклів, то він має щонайменше дві (взагалі, парне число) кінцевих вершин, кожна з инцидентна яких тільки одному ребру, що є кінцевих. Тому сума по модулю 2 відповідних стовпців буде містити два (або парне число) одиничних елемента і, отже, сукупність цих стовпців незалежна.
У зв'язному графі з p вершинами завжди можна виділити p-1 ребер так, щоб вони утворили суграф без циклів, що представляє собою дерево графа, що є каркасом. Тому матриця інцидентності містить не менш p-1 незалежних стовпців. У той же час будь-суграф, що має більш p-1 ребер, обов'язково містить цикл, тобто в матриці інціденцій не може бути більше p-1 незалежних стовпців. Звідси випливає, що матриця інцидентності зв'язного графа містить в точності p-1 незалежних стовпців, і тому її ранг дорівнює p-1. Число n = p-1 і визначає ранг графа.
Визначення 4. Матрицею інцидентності орграфа G з p вершинами і q ребрами називається матриця B (G) = [bij] розміром (p 'q), елементи якої визначаються наступним чином:
ì1, якщо вершина xi є початком дуги ej
bij = í -1, якщо вершина xi є кінцем дуги ej;
î 0, якщо вершина xi не iнцидентна дугу ej.
Нижче наведена матриця інцидентності графа, зображеного на рис. 2:
| e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 | e8 | e9 | e10 | e11 | ||||
| x1 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | |||
| x2 | 1 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| x3 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| B (G) | = | x4 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| x5 | 0 | 0 | 0 | -1 | 0 | ± 1 | 1 | 0 | 0 | -1 | 0 | |||
| x6 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 1 | -1 | 0 | 0 | |||
| x7 | 0 | 0 | -1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | |||
| x8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | -1 | 0 | 1 | 1 | |||
Сума рядків матриці B (G) є нульовою рядком.
Будь-яка рядок матриці B (G) є лінійною комбінацією інших рядків.
Ранг матриці B (G) дорівнює p-1.
Визначення 5. Матрицею суміжності ребер неорієнтованого графа G називається квадратна матриця A * (G) = [a * ij] порядку q, елементи a * ij якої рівні одиниці, якщо ребра ei і ej суміжні, і нулю - в іншому випадку.
Для графа, зображеного на рис. 1, матриця суміжності ребер має вигляд
| e1 | e2 | e3 | e4 | e5 | e6 | e7 | e8 | e9 | e10 | |||
| e1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | ||
| e2 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| e3 | 1 | 1 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| e4 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| e5 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | ||
| A * (G) | = | e6 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| e7 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | ||
| e8 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | ||
| e9 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | ||
| e10 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | ||
G (X, E) ® A * (G) º A (G *) ® G *.
Такий граф називається реберним, або зв'язаних графом G. На рис. 3 наведено реберний граф (для неорієнтованого графа, показаного на мал.1).
Матриці суміжності вершин і суміжності ребер неорієнтованого графа можуть бути отримані з матриці інцидентності наступним чином.
Позначимо через BT (G) матрицю, отриману транспонування матриці інцидентності B (G). Квадратна матриця A = B (G) × BT (G) порядку p буде дорівнює матриці суміжності вершин графа, а квадратна матриця А * = BT (G) × B (G) порядку q - матриці суміжності ребер.
По матриці суміжності ребер графа (орграфа) завжди можна визначити ребра графа (дуги орграфа) як пари інцидентних ним вершин, а для графів з паралельними ребрами (дугами), крім того, і кратності ребер (дуг).
Однак якщо ребра (дуги) були пронумеровані, то відновити їх номери по матриці суміжності неможливо. У цьому сенсі матриця інцидентності виявляється більш інформативною, ніж матриця суміжності, оскільки дозволяє отримати повну інформацію про ребрах (дугах), включаючи їх нумерацію.
Розглянуті в цьому параграфі матриці графів грають велику роль в теорії графів. Існують і інші матриці графів, проте їх роль менш значна.
ЛІТЕРАТУРА
1. Бєлоусов А.І., Ткачов С.Б. Дискретна математика: Підручник для вузів / Під ред. В.С. Зарубіна, А.П. Крищенко .- М.: изд-во МГТУ ім. Н.Е. Баумана, 2001 .- 744 с. (Сер. Математика в технічному університеті; Вип XIX).
2. Горбатов В.А. Фундаментальні основи дискретної математики. Інформаційна математика .- М.: Наука, Фізматліт, 2000 .- 544 с .- ISBN 5-02-015238-2.
3. Петрова В.Т. Алгебра та геометрія. Підручник для ВУЗів: в 2 ч. - К.: Гуманит. вид. центр ВЛАДОС .- ч. 1 - 312 с., ч. 2 - 344 с. ISBN 5-691-00077-2. ISBN 5-691-00238-4 (I), ISBN 5-691-00239-2 (II).
4. Зарубін В.С. Математичне моделювання в техніці: Учеб. для вузів / Під ред. В.С. Зарубіна, А.П. Крищенко .- М.: Із МГТУ ім. Н.Е. Баумана, 2001 .- 496 с. (Сер. Математика в технічному університеті; вип. XXI, заключний).