Математичні пропозиції та методика їх вивчення

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Міністерство освіти Республіки Білорусь
«Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини »
Математичний факультет
Кафедра МПМ
Реферат
Математичні пропозиції та методика їх вивчення
Виконавець:
Студентка групи М-31
Селіканова А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент
Лебедєва М.Т.
Гомель 2007

Введення

Процес доведення теорем і геометрії виражає зв'язок одиничних суджень (креслення) і загальних (використання загальних властивостей фігур) тому при навчанні доказам для формування правильного уявлення про проблематичному характер того чи іншого судження слід застосовувати на кожному кроці питання "Чому?", "На якій підставі ? "
У курсі планіметрії навчання доказам проводиться конкретно-індуктивним методом. Так як учні в курсі геометрії, на думку Шохор-Троцького, займаються переважно вирішенням завдань. Теореми вони доводять тільки такі, які не належать до числа очевидних для них і які не вимагають занадто тонких міркувань. Тому доцільно в деяких випадках пропонувати учням для виконання завдання абстрактного характеру, що готують самостійне формування або доказ теорем.

1. Судження, умовивід, вислів

Судження - це така форма мислення, в якій відображається наявність або відсутність самого об'єкта, наявність або відсутність його властивостей, зв'язків.
Судження - це форма зв'язків понять один з одним, яка володіє двома властивостями: 1) що-небудь стверджує або заперечує, 2) є або істинним, або хибним.
Наприклад: 1) будь паралелограм є ромб - помилково; 2) будь-який ромб є паралелограм - істинно, 3) " є функція "- судження виражає зв'язок понять за обсягом, тобто - Складова частина класу функцій; разом з тим їй притаманне все те, що властиво функцій; 4) многочлен безперервний при всіх значеннях незалежної змінної - істинно.
Кожна наука є певна система суджень про об'єкти, які є предметом її вивчення.
Наприклад: "Сума кутів кожного трикутника дорівнює 180 градусів" - це судження сформульовано у вигляді геометричного пропозиції, що належить евклідової геометрії, т. к. а) складається з геометричних (сума кутів, трикутник 180 градусів) і логічних (всякого, дорівнює) термінів або символів, б) істинно тому доводиться в рамках евклідової геометрії.
Судження утворюються в мисленні 2 способами: безпосередньо і опосередковано.
Наприклад: 1. Ця фігура - коло - судження виражає результат сприйняття.
2. x 2 =- 2 - не має дійсних коренів суджень опосередковане, воно виникло в результаті особливої ​​розумової діяльності, званої висновком.
Умовивід - процес отримання нового судження - виведення з одного або кількох даних суджень.
Наприклад:
1) x 2 =- 2 - рівняння;
2) квадрат дійсного числа більше або дорівнює нулю;
3) корінь звертає рівняння в правильне числове рівність.
З цих трьох суджень отримуємо нове: рівняння x 2 =- 2 не має дійсних коренів.
У математичній логіці використовують термін "висловлення", що має сенс, близький до поняття "судження". Під висловлюваннями проводяться наступні операції: а) заперечення висловлювання, б) кон'юнкція; в) диз'юнкція; г) імплікація.
Математична логіка, виходячи з основних законів формальної логіки, досліджує закономірності логічних процесів на основі застосування математичних методів.
Для неї характерна формалізація логічних операцій, повне абстрагування від конкретного змісту пропозицій.
Наприклад: (всі рослини червоні) '(всі собаки - рослини) => (всі собаки червоні).

2. Основні види математичних пропозицій

Математичне судження прийнято називати пропозицією.
Наприклад: "S є P" - S - логічне підмет або суб'єкт думки (те, про що йде мова у реченні); Р - логічний присудок або предикат думки. Судження часто даються в умовній формі: "якщо є А, то є і В".
Розкрити логічну структуру складеного пропозиції, - значить, показати, з яких елементарних пропозицій сконструйовано дане складене пропозицію і як воно складено з них, тобто за допомогою яких й у якому порядку застосовуються логічних зв'язок "не", "і", "або", "якщо ..., то ...", "тоді, і тільки тоді", "для всякого", "існує", що позначають логічні операції , за допомогою яких з одних пропозицій утворюються інші. Наприклад:
Елементарні пропозиції:
дан DАВС; (x) АВ = ВС; (y) АТ = ДС; (z) ВД ДС.
Складові пропозиції:
1. Якщо АВ = ВС і АД = ДС, то ВД ДС - істинне.
2. Якщо АВ = НД, те АД = ДС і ВД ДС - ложное.А
3. Якщо ДВ = ВС і ВД не перпендикулярно АС,
то АТ ДС - істинне.
Логічні структури для 1. і 3. виглядають так: 1) Якщо x та y, то z. 3) Якщо x і не z, то не y.
Наприклад:
1. Якщо число ціле і позитивне, то воно натуральне;
2. Якщо число ціле і не натуральне, то воно не позитивне.
Аксіома - пропозиція, прийняте без доказу. Певне число аксіом утворює систему вихідних положень деякої наукової теорії, що лежить в основі доказів інших положень (теорем) цієї теорії, в межах якої кожна аксіома приймається без доведення.
Постулат - це пропозиція, в якому висловлюється деякий вимога (умова), якій має задовольняти деяке поняття або деяке відношення між поняттями.
Наприклад, поняття а | | b визначається двома постулатами:
1. (A ) (B );
2. (A = b) (A b = 0).
Теорема - математичне пропозицію, істинність якого встановлюється за допомогою докази (міркування), логічного слідства інших пропозицій, прийнятих за достовірні.
Можна відзначити два підходи до розуміння теореми:
А.В. Погорєлов (геометрія "7-11") "Правильність твердження про властивості тієї чи іншої геометричної фігури встановлював шляхом міркування. Це міркування називається доказом. А саме твердження, яке доводиться, називається теоремою. ... Формулювання теореми зазвичай складається з двох частин. В одній частині йдеться про те, що дано. Це частина називається умовою теореми. В іншій частині йдеться про те, що повинно бути доведено. Ця частина називається висновком теореми ".
Структура теореми, передбачувана В.П. Болтянською: а) роз'яснювальна частина; б) умова; в) укладення.
Наприклад, "якщо сума цифр числа n ділиться на 3, то саме число n ділиться на 3".
Умова: сума цифр числа n ділиться на 3
Висновок: саме число ділиться на 3.
Роз'яснювальна частина: n - будь-яке натуральне число.
Використовуючи логічну символіку, теорема представляється так:
- Імплікація (якщо ..., то ...).
Маючи пряму теорему ( ), Можна утворити нові теореми:
1. - Зворотна;
2. - Протилежна;
3. -Зворотна протилежної чи контрапозітівная.
Ці теореми мають наступні властивості:
а) ( ) І ( ) - Одночасно істинними чи хибні;
б) ( ) І ( ) - Одночасно істинні або помилкові.
Висловлення p називається необхідною умовою для q, якщо імплікація ( ) Є справжнє слідство. Наприклад, щоб число ділилося на 6, необхідно (не недостатньо), щоб воно було парним.
p - парне число, q - число кратно 6. Þ ( ) - В.
Висловлення p називається достатньою умовою для q, якщо імплікація ( ) Є справжнє слідство. Наприклад, щоб число було кратне 5, достатньо, щоб воно було кратно 25. (Р: кратно 25; q: кратно 5) Þ (pÞq)
Зауваження: Для визначення необхідно умова слід підібрати контр приклад, спростування цього твердження.
Умова р називається необхідним і достатнім для q, якщо істини одночасно обидві імплікації: (pÞq) і (qÞp), тобто має місце еквівалентність.
Характеристичне властивість найбільш повно визначає об'єкт, виділяючи його з деякого безлічі подібних об'єктів, дозволяє його сконструювати.
Наприклад, характеристичне властивість арифметичної прогресії:
починаючи з другого члена, всі члени прогресії задовольняють властивості: - Бути середнім арифметичним двох сусідніх з ним членів (або відстояти від нього на рівних відстанях)
Приклад необхідного і достатнього умови:

3 Методика вивчення теорем

Процес доведення теорем і геометрії виражає зв'язок одиничних суджень (креслення) і загальних (використання загальних властивостей фігур) тому при навчанні доказам для формування правильного уявлення про проблематичному характер того чи іншого судження слід застосовувати на кожному кроці питання "Чому?", "На якій підставі ? "
У курсі планіметрії навчання доказам проводиться конкретно-індуктивним методом. Так як учні в курсі геометрії, на думку Шохор-Троцького, займаються переважно вирішенням завдань. Теореми вони доводять тільки такі, які не належать до числа очевидних для них і які не вимагають занадто тонких міркувань. Тому доцільно в деяких випадках пропонувати учням для виконання завдання абстрактного характеру, що готують самостійне формування або доказ теорем.
Наприклад: встановити залежність між сторонами у трикутнику; або властивості бісектриси кута при вершині рівнобедреного трикутника емпірично.
У процесі навчання у школярів повинно бути сформовано таке розуміння терміну "доказ":
1) допускаються істинними деякі відносини і факти (які складають умова теорем);
2) від умови до висновку будується логічна послідовна ланцюжок пропозицій, кожне з них має бути обгрунтовано за допомогою суджень, виражених в умові, визначень відомих понять, аксіом або раніше доведених тверджень;
3) висновок є останньою ланкою в ланцюжку цих логічно розташованих пропозицій.
Наприклад: у курсі математики 5-6 класів цьому сприяють завдання з таким змістом: "Доповнити наведене доказ математичних тверджень, виконуючи зазначені вище вимоги, пропоновані до математичних доказів".
"Якщо a: b = c, то a = bc. Довести "
Умова: a: b = c. Висновок: a = bc.
Пропозиція
обгрунтування
1) a: b = c
2) a = bc
1) умова
2) чому?

У шкільному навчанні деякі фрагменти математичної теорії викладаються змістовно (неформально), тому доказ також змістовні, тобто в них використовуються звичайні міркування, а правила логічного висновку не фіксуються. Серед таких правил можна виділити:
1) правило ув'язнення: P; "якщо P, то Q" - висновок: "Q".
2) правило введення кон'юнкції: P, Q - висновок "P і Q".
3) правило силогізму: "якщо P, то Q"; "якщо Q, то R" - висновок "якщо P, то R".
4) правило заперечення: "якщо A, то B", "не B" - висновок "не А".
5) правило контрапозиции: "якщо A, то B" - висновок "якщо не B, то не A".
6) правило розширеної контрапозиции: "якщо A і B, то C" - висновок "якщо A і не С, то не B".
7) Зведення до абсурду - "якщо Г, А => B", "Г, А => не B" - висновок "Г => не А", де Г - список посилок.
Правило контрапозиции і зведення до абсурду широко застосовується у непрямих доказах, прикладом якого може служити доказ від протилежного.
Непрямий доказ деякої теореми Т полягає в тому, що виходить із заперечення Т, званого допущенням непрямого докази і виводять з нього неправдивий висновок застосуванням правила зведення до абсурду.
Наприклад: якщо а | | с, і b | | с, то a | | b. Припущення: a | | c і b | | c, але a НЕ | | b. Згідно з визначенням паралельних прямих отримуємо: якщо a НЕ | | b => $ с (сÎа Ù сÎb), тому за правилом введення кон'юнкції: з а | | c і b | | c. $ С (сÎа Ù сÎb) маємо: a | | c і b | | c і $ с (сÎа Ù сÎb). Але по аксіомі паралельних прямих (з Т) невірно, що: a | | c і b | | c і $ с (сÎа Ù сÎb), тобто з наших припущень вивели протиріччя, яке й доводить теорему.
Спеціальні форми непрямого докази:
1) доказ методом виключення: треба довести пропозиція: "якщо B, то Q 1", інакше: Г, Р => Q 1: поряд з Q 1 розглядаються всі інші можливості, які є: аксіомою, визначенням, раніше доведеною теоремою чи наслідком з них. Потім доводиться, що кожна з решти можливостей, крім Q 1, веде до протиріччя.
Наприклад: якщо кожна площину, що перетинає пряму а, перетинає і пряму b, то ці прямі паралельні.
Потрібно встановити проходження: "Г, Р" ® Q не | |; "Г" і "a (якщо a'a, a'b) Þ a | | b.
Виходимо з пропозицій: Q 1: a | | b, Q 2: a'b; Q 3: ab - схрещуються.
Допущення Q 2: a'b дає $ a (a'a і ) (Достатньо провести довільну площину α через b, відмінну від площини визначається пересічними прямими a і b) або: так як $ a (a'a і ) <=> Не для всякої площині a (якщо a'a, то a'b), отримуємо "якщо Q 2, то ": Якщо a'b, то не для всякої a якщо a'a, то a'b).
З "якщо Q 2, то "І" Р "за правилом заперечення маємо: : .
Аналогічно допущення Q 3: "ab схрещуються" призводить до не будь-якій площині a (якщо a'a, то a'b) (досить через b і яку-небудь точку прямої a провести площину). Отримуємо з: "якщо Q 3, то "І" Р "за правилом заперечення : .
Отже, отримуємо і, тобто Q 2 і Q 3 - невірно, тому вірно Q 1: a | | b.
2) Метод математичної індукції - спеціальний метод докази, застосовуваний до пропозицій типу: "" xÎN P (x) ", тобто до пропозицій, що виражає деякий властивість будь-натуральному числу.
Схематично повна логічний доказ теореми можна скласти так: 1) точне поняття, 2) включаємо всі посилки; 3) не опускають ніяких проміжних міркувань; 4) явно вказує правила виводу.
У практиці шкільного навчання математики найбільш часто використовується прямий доказ, засноване на змістовному доказі в згорнутому вигляді: 1) інтуїтивне поняття, 2) опускають деякі зокрема, загальні посилки; 3) опускають окремі кроки; 4) не фіксують використання логіки.
Наприклад: Діагоналі прямокутника рівні.
Теорему можна довести: а) за допомогою осьової симетрії, б) за допомогою рівності прямокутників. Зазначимо, що різні докази теореми відрізняються як математичними посилками, (які в них істинними пропозиціями даної теорії), так і логікою (використовуваними правилами).
Доказ 1.
"Якщо чотирикутник - прямокутник, то його діагоналі рівні" або "Якщо ABCD - прямокутник, то AC = BD".
Точка D симетрична A; B - симетрична C щодо MN (це безпосередньо випливає з раніше доведеної теореми: "Серединний перпендикуляр і сторона прямокутника є віссю симетрії). Значить, відрізок AC і DB симетричні відносно осі MN. Тому AC = BD.
Доказ 2.
, Тому що вони прямокутні ( ), AB = CD як протилежні сторони прямокутника; AD - загальна сторона. Отже, AB = CD.
Методика введення теорем передбачає підготовку учнів до сприйняття її докази.
1) Для того, щоб учні зрозуміли логічні частини докази, застосовують метод доцільних завдань.
Наприклад: При доведенні того факту, що кут між бічним ребром призми і її висотою дорівнює куту між площинами підстави і перпендикулярного перетину, необхідного попередньо вирішити за готовими кресленнями наступні завдання:

A
B
K
O
C


1. За даними на малюнку знайти і кут між прямими BO і OC.
Зауваження: кут між двома прямими (двома площинами) гострий.


B
A
O


2. Кут між площинами і дорівнює , Пряма OA перпендикулярна площині , ; Пряма OB перпендикулярна площині , . Знайти кут між прямими OA і OB.
2) Для підготовки учнів до сприйняття докази теореми можна використовувати прийом багаторазового докази (наприклад, потрійна прокручування).
а) учитель викладає схему (ідею, канву) докази. Можливо, при цьому використання евристичної бесіди, яка може бути або анаREF SHAPE \ * MERGEFORMAT литик-синтетичний або синтетичний. Питання повинні бути сформульовані чітко, відображаючи найбільш важливі логічні етапи докази. Після кожного питання необхідна пауза для того, щоб учні змогли самостійно знайти відповідь:
б) вчитель викладає доказ теореми у вигляді короткого оповідання, обгрунтовуючи кожен крок;
в) повторення докази у повному обсязі.
Ще один прийом навчання доказом - навчання учнів складеного плану докази теореми, при якому виконуються наступні етапи:
· Дається готовий план докази нової теореми і учням пропонується самим довести її за допомогою плану. Переваги: ​​1) план розбиває доказ теореми на ряд простих, елементарних завдань, які учні можуть вирішити, 2) у учнів з'являється впевненість у тому, що вони зможуть довести нову теорему, 3) план дозволяє охопити всі доказ у цілому, в учнів виникає відчуття повного розуміння;
· Учнів вчать складати план вже вивченої теореми. Спочатку ця робота виконується колективно, а потім самостійно.

Висновок

Розкрити логічну структуру складеного пропозиції, - значить, показати, з яких елементарних пропозицій сконструйовано дане складене пропозицію і як воно складено з них, тобто за допомогою яких й у якому порядку застосовуються логічних зв'язок "не", "і", "або", "якщо ..., то ...", "тоді, і тільки тоді", "для всякого", "існує", що позначають логічні операції , за допомогою яких з одних пропозицій утворюються інші.

Література

1. К.О. Ананченка «Загальна методика викладання математики у школі», Мн., «Унiверсiтецкае», 1997р.
2. Н.М. Рогановскій «Методика викладання в середній школі», Мн., «Вища школа», 1990р.
3. Г. Фройденталь «Математика як педагогічна завдання», М., «Просвещение», 1998р.
4. М.М. «Математична лабораторія», М., «Просвещение», 1997.
5. Ю.М. Колягін «Методика викладання математики в середній школі», М., «Просвещение», 1999р.
6. А.А. Столяр «Логічні проблеми викладання математики», Мн., «Вища школа», 2000р.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Педагогіка | Реферат
47.3кб. | скачати


Схожі роботи:
Закон пропозиції Еластичність пропозиції та її види
Злочинність і методика її вивчення
Методика вивчення математики
Методика вивчення нерівностей
Методика вивчення фонетики і графіки
Класифікація фірм і методика їх вивчення
Методика вивчення дієслова в початкових класах
Методика вивчення іменника у початкових класах
Методика вивчення розділу Графіка у 8 класі
© Усі права захищені
написати до нас