Завдання 1
Обчисліть і
послідовності
.
Рішення.
Розглянемо послідовність .
для будь-якого натурального
Отже, безліч є обмеженим зверху. Це означає, що послідовність
має верхню точну грань:
.
Отже, безліч не є обмеженим знизу. Це означає, що нижня межа
послідовності
не існує.
Відповідь. не існує
Завдання 2
Користуючись визначенням границі послідовності, доведіть, що .
Доказ.
Число називається межею послідовності
, Якщо для будь-якого позитивного числа
існує номер
такий, що при
виконується нерівність
.
Використовуючи визначення границі послідовності, доведемо, що .
Візьмемо будь-яке число .
Якщо взяти , То для всіх
буде виконуватися нерівність
. Отже,
.
Доведено
Завдання 3
Користуючись визначенням меж функції, доведіть, що .
Доказ
Число називається межею функції
при
, Якщо для будь-якого числа
існує число
таке, що для всіх
, Що задовольняють нерівності
, Виконується нерівність
.
Використовуючи визначення границі функції, доведемо, що .
Візьмемо будь .
Покладемо .
Якщо взяти , То для всіх
, Що задовольняють нерівності
, Виконується нерівність
. Отже,
.
Доведено.
Завдання 4
Обчисліть межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 5
Обчисліть межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 6
Обчислити межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 7
Обчислити межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 8
Обчислити межа .
Рішення
Відповідь.
Завдання 9
Обчислити межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 10
Обчислити межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 11
Обчислити межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 12
Обчислити межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 13
Обчислити межа .
Рішення.
Відповідь.
Завдання 14
Обчислити межа .
Рішення.
при
функція
є нескінченно малою
для будь-якого
функція
є обмеженою.
Відомо, що твір нескінченно малою функції і обмеженої функції є нескінченно мала функція. Отже, функція є нескінченно малою при
. Це означає, що
.
Відповідь.