Завдання № 1
Визначте, до якого типу вимірювань і до якої шкалою відносяться наступні дані:
a) Числа, що кодують темперамент людини.
b) Академічний ранг (асистент, доцент, професор) як міра просування по службі.
c) Числа, що показують вираженість екстра - интраверсии, нейротизму, психотизма, отримані за методикою PEN Г. і С. Айзенк.
d) Метрична система вимірювання відстаней.
e) Номери історії хвороби.
f) Латентний період вирішення перцептивної задачі.
Рішення:
a) Числа, що кодують темперамент людини.
Ці числа за типом вимірювань відносяться до номінальної шкалою.
Номінальна шкала дозволяє підраховувати частоти зустрічальності різних найменувань або значень ознаки і потім працювати з цими частотами. Одиниця виміру, якою ми йдемо - це одне спостереження.
b) Академічний ранг (асистент, доцент, професор) як міра просування по службі.
У даному випадку має місце вживання порядкової шкали. Порядкова шкала - це шкала, що класифікує за принципом «більше - менше».
Якщо в шкалі найменувань було байдуже, в якому порядку розташовані класифікаційні осередку, то в порядкової шкалою вони утворюють послідовність від осередку «найменше значення» до осередку «найбільше значення» (або навпаки).
Це повністю упорядкована шкала найменувань, вона встановлює відносини рівності між явищами в кожному класі і відносини послідовності в поняттях більше, менше між усіма без винятку класами.
Впорядковані номінальні шкали загальновживаним при опитуваннях громадської думки. З їх допомогою вимірюють інтенсивність оцінок якихось психологічних властивостей, суджень, подій, ступеня згоди або незгоди із запропонованими твердженнями. Дуже часто вживається різновид шкал цього типу - рангові [1]. Вони припускають повне впорядкування якихось об'єктів.
з) Числа, що показують вираженість екстра - интраверсии, нейротизму, психотизма, отримані за методикою PEN Г. і С. Айзенк.
Інтервальна шкала - це шкала, що класифікує за принципом «більше на певну кількість одиниць - менше на певну кількість одиниць». Кожне з можливих значень ознаки відстоїть від іншого на рівній відстані [2].
Шкала інтервалів являє собою повністю упорядкований ряд з виміряними інтервалами між пунктами, причому відлік починається з довільно від обраної величини (немає абсолютного нуля) [3].
d) Метрична система вимірювання відстаней.
У даному випадку також має місце інтервальна шкала.
Інтервальна шкала - це шкала, що класифікує за принципом «більше на певну кількість одиниць - менше на певну кількість одиниць». Кожне з можливих значень ознаки відстоїть від іншого на рівній відстані.
Шкала інтервалів являє собою повністю упорядкований ряд з виміряними інтервалами між пунктами, причому відлік починається з довільно від обраної величини (немає абсолютного нуля).
e) Номери історії хвороби.
Ці числа за типом вимірювань відносяться до номінальної шкалою.
Номінальна шкала дозволяє підраховувати частоти зустрічальності різних найменувань або значень ознаки і потім працювати з цими частотами. Одиниця виміру, якою ми йдемо - це одне спостереження.
f) Латентний період вирішення перцептивної задачі.
У даному випадку також має місце інтервальна шкала.
Інтервальна шкала - це шкала, що класифікує за принципом «більше на певну кількість одиниць - менше на певну кількість одиниць». Кожне з можливих значень ознаки відстоїть від іншого на рівній відстані.
Шкала інтервалів являє собою повністю упорядкований ряд з виміряними інтервалами між пунктами, причому відлік починається з довільно від обраної величини (немає абсолютного нуля).
Завдання № 2
У результаті дослідження розуміння прочитаного в учнів 7-х,
8-х та 9-х класів були отримані наступні розподілу тестових оцінок:
Необхідно:
1. Визначити заходи положення для кожного розподілу.
2. Побудувавши за наведеними даними полігони частот диференціального й інтегрального розподілів для кожного класу, вирішити, який з двох типів графіків наочніше відбиває розходження між розподілами оцінок в кожному класі.
Рішення:
1. Перший стовпець інтервал оцінок, решта - бал за виразність якості (реалізована шкала інтервалів).
При розподілі випробовуваних за класами в один клас потрапляють сильно розрізняються за первинними оцінками випробовувані. Ми розглянули різні прийоми перекладу якісних психологічних ознак у кількісні вирази. Слід зазначити, що при описі психологічних явищ необхідно завжди віддавати собі звіт в тому, яка саме шкала використовується, оскільки кожен спосіб обробки експериментальних даних розрахований на певний тип шкал.
Застосування математичних методів до неадекватних даними призводить до дивних, а часто і помилковим результатами. Квантифікація складних і далеко не однозначних психологічних характеристик накладає чимало обмежень на математичні операції з їх вимірами.
Математик працює з простими числами, психолог зобов'язаний пам'ятати, що насправді ховається за величинами, якими він оперує.
1) Перше обмеження - співмірність кількісних показників, фіксованих різними шкалами в рамках одного дослідження. Більш сильна шкала відрізняється від слабкої тим, що допускає більш широкий діапазон математичних операцій з числами. Все, що припустимо для слабкої шкали допустимо і для більш сильною, але не навпаки. Тому, змішання в аналізі міряльний еталонів різних типів призводить до того, що не використовуються можливості сильних шкал.
2) Друге обмеження пов'язане з формою розподілу величини фіксованих описаними вище шкалами, яке передбачається нормальним. Для нормального розподілу оцінки міри розсіювання збігаються: Мо = Ме = М, в скошеному хвости розподілу не впливають на середню (М).
Таким чином, необхідно уважно вивчати форму розподілу з точки зору його відхилення від нормального.
II. Використовуючи поняття інтегральної функції розподілу і певного інтеграла можна записати
| (X) = F ¢ (x) або F (x) = p (x 1 <X <x 2) =
Якщо
p (х <Х <х + D х) »| (х) D х.
Це співвідношення можна представити у вигляді простого геометричного тлумачення для кожного класу.
Рис. 1 Графік диференціального розподілу результатів перевірки техніки читання в 7 класі
Рис. 2 Результати диференціального розподілу результатів перевірки техніки читання в 8 класі
Рис. 3 Результати диференціального розподілу результатів перевірки техніки читання в 9 класі.
Для дискретної випадкової величини справедливо рівність:
F (x) = P (X <x) = P (- ¥ <X <x) =
де підсумовування поширюється на х i <х.
У проміжку між двома послідовними значеннями Х функція F (х) постійна. При переході аргументу х через значення х i F (х) стрибком зростає на величину p (Х = х i).
Розглянемо p (х 1 £ Х <х 2). Якщо х 2> х 1, то очевидно, що
p (Х <х 2) = p (Х <х 1) + p (х 1 £ Х <х 2).
Тоді
p (х 1 £ Х <х 2) = p (Х <х 2) - p (Х <х 1) = F (х 2) - F (х 1),
тобто ймовірність попадання випадкової величини в інтервал [х 1; х 2) дорівнює різниці значень інтегральної функції граничних точок.
Остання умова можна використовувати для знаходження ймовірності p (Х = х 1) для неперервної випадкової величини. Для цього розглянемо межа
p (X = x 1) =
тобто якщо закон розподілу випадкової величини є функція безперервна, то ймовірність того, що випадкова величина прийме заздалегідь задане значення, дорівнює нулю.
Тут видно відмінність між дискретними і безперервними випадковими величинами. Для дискретних випадкових величин, для кожного значення випадкової величини існує своя ймовірність. І для нього справедливе твердження: подія, ймовірність якої дорівнює нулю, неможливо. Для неперервної випадкової величини це твердження не так. Як показано, ймовірність того, що Х = х 1 (де х 1 - заздалегідь вибране число) дорівнює нулю, ця подія не є неможливим.
У зв'язку з цим неможлива побудова графіка інтегрального розподілу тому нами буде побудована крива інтегрального розподілу для 7,8, 9 класів.
Рис. 4 Графік інтегрального розподілу результатів техніки читання для 7,8, 9 класу.
Таким чином, можна зробити наступний висновок, що найбільш вірогідна диференціальне розподіл отриманих результатів.
Завдання № 3.
Вибірка обсягом 30 осіб, розбита на дві рівні групи за ознакою статі, пройшла функціональну діагностику мозкової активності, в результаті якої у 13 жінок і 4 чоловіків було виявлено домінування правої півкулі, а у 2 жінок і 11 чоловіків - домінування лівої півкулі. Перевірте гіпотезу про зв'язок функціональної асиметрії головного мозку з підлогою.
Рішення:
Оскільки в обох вибірках n 1 і n 2> 11 і діапазони розкиду значень у двох вибірках не збігаються між собою, ми можемо скористатися самим простим критерієм для зіставлення двох вибірок - критерієм Q Розенбаума. Обсяги вибірок різняться менш ніж на 10 чоловік, так, що обмеження про примірному рівність вибірок також не перешкоджає нам.
Таблиця 1. Показники вираженості функціональної асиметрії у чоловіків і жінок
Дані в таблиці 1 розташовані за ступенем домінування тієї чи іншої півкулі в чоловічій або жіночої вибірці. Першим вищим є ряд значень в жіночій вибірці.
Середня величина в чоловічій і жіночій вибірці ідентична і дорівнює 7,5.
Сформулюємо гіпотези.
Формулювання гіпотез систематизує припущення дослідника й представляє їх у чіткому й лаконічному вигляді [5; с. 24]. Статистичні гіпотези підрозділяються на нульові і альтернативні.
Нульова гіпотеза - це гіпотеза про відсутність розходжень. Вона позначається як Н 0 і називається нульовою тому, що містить число 0:
X 1-X 2 = 0, де X 1, X 2 - зіставлення значення ознак. Таким чином, нульова гіпотеза - це те, що ми хочемо спростувати, якщо перед нами стоїть завдання довести значимість розходжень.
Альтернативна гіпотеза - це гіпотеза про значимість розходжень. Вона позначається як Н 1. Альтернативна гіпотеза - це те, що ми хочемо довести, тому іноді її називають експериментальної гіпотезою.
Сформулюємо основні гіпотези:
Н 0: Функціональна асиметрія головного мозку у чоловіків не виражена більшою мірою, ніж у жінок.
Н 1: Функціональна асиметрія головного мозку у чоловіків виражена більшою мірою, ніж у жінок.
Зіставимо ряди значень для визначення S 1 і S 2.
max 2 = 13
S 1 = 0
min 1 = 4
S 2 = 1
Виробляємо підрахунок емпіричного значення Q ЕМП = S 1 + S 2 = 0 +1 = 1
По таблиці 1 Додатку I [5; с. 316] визначаємо критичне значення Q для даних n 1 і n 2. Якщо Q ЕМП одно Q 0,05 або перевищує його, Н 0 відкидається.
У даному випадку Q кр = 6
6 (p ≤ 0,01)
Q ЕМП <Q кр
Отже приймається гіпотеза Н 0 і відкидається гіпотеза Н 1.
Функціональна асиметрія головного мозку у чоловіків не виражена більшою мірою, ніж у жінок, отже, функціональна асиметрія головного мозку не залежить від ознаки статі.
Список використаної літератури
1. Єрмолаєв О.Ю. Математична статистика для психологів / О.Ю. Єрмолаєв .- М.: МПСІ, Флінта, 2002. - 336 с.
2. Кутейников О.М., Математичні методи в психології / О.М. Кутейников .- М.: Мова, 2008. - 172 с.
3. Мітіна О.В., Математичні методи в психології. Практикум: Навчальний посібник / О.В. Мітіна .- М.: Видавництво Аспект - прес, 2008. - 238 с.
4. Спадщина А.Д., Математичні методи в психології: Навчальний посібник / А.Д. Спадщина .- Спб: Мова, 2004. - 232 с.
5. Сидоренко Є.В., Методи математичної обробки в психології / Є.В. Сидоренко .- М.: Мова, 2006. - 350 с.
6. Суходольський Г.В., Математичні методи в психології: Навчальний посібник / Г.В. Суходольський .- М.: Гуманітарний центр, 2008. - 284 с.
7. Тіткова Л.С., Математичні методи в психології / Л.С. Тіткова .- Владивосток: Видавництво ДВГУ, 2002. - 140 с.
Визначте, до якого типу вимірювань і до якої шкалою відносяться наступні дані:
a) Числа, що кодують темперамент людини.
b) Академічний ранг (асистент, доцент, професор) як міра просування по службі.
c) Числа, що показують вираженість екстра - интраверсии, нейротизму, психотизма, отримані за методикою PEN Г. і С. Айзенк.
d) Метрична система вимірювання відстаней.
e) Номери історії хвороби.
f) Латентний період вирішення перцептивної задачі.
Рішення:
a) Числа, що кодують темперамент людини.
Ці числа за типом вимірювань відносяться до номінальної шкалою.
Номінальна шкала дозволяє підраховувати частоти зустрічальності різних найменувань або значень ознаки і потім працювати з цими частотами. Одиниця виміру, якою ми йдемо - це одне спостереження.
b) Академічний ранг (асистент, доцент, професор) як міра просування по службі.
У даному випадку має місце вживання порядкової шкали. Порядкова шкала - це шкала, що класифікує за принципом «більше - менше».
Якщо в шкалі найменувань було байдуже, в якому порядку розташовані класифікаційні осередку, то в порядкової шкалою вони утворюють послідовність від осередку «найменше значення» до осередку «найбільше значення» (або навпаки).
Це повністю упорядкована шкала найменувань, вона встановлює відносини рівності між явищами в кожному класі і відносини послідовності в поняттях більше, менше між усіма без винятку класами.
Впорядковані номінальні шкали загальновживаним при опитуваннях громадської думки. З їх допомогою вимірюють інтенсивність оцінок якихось психологічних властивостей, суджень, подій, ступеня згоди або незгоди із запропонованими твердженнями. Дуже часто вживається різновид шкал цього типу - рангові [1]. Вони припускають повне впорядкування якихось об'єктів.
з) Числа, що показують вираженість екстра - интраверсии, нейротизму, психотизма, отримані за методикою PEN Г. і С. Айзенк.
Інтервальна шкала - це шкала, що класифікує за принципом «більше на певну кількість одиниць - менше на певну кількість одиниць». Кожне з можливих значень ознаки відстоїть від іншого на рівній відстані [2].
Шкала інтервалів являє собою повністю упорядкований ряд з виміряними інтервалами між пунктами, причому відлік починається з довільно від обраної величини (немає абсолютного нуля) [3].
d) Метрична система вимірювання відстаней.
У даному випадку також має місце інтервальна шкала.
Інтервальна шкала - це шкала, що класифікує за принципом «більше на певну кількість одиниць - менше на певну кількість одиниць». Кожне з можливих значень ознаки відстоїть від іншого на рівній відстані.
Шкала інтервалів являє собою повністю упорядкований ряд з виміряними інтервалами між пунктами, причому відлік починається з довільно від обраної величини (немає абсолютного нуля).
e) Номери історії хвороби.
Ці числа за типом вимірювань відносяться до номінальної шкалою.
Номінальна шкала дозволяє підраховувати частоти зустрічальності різних найменувань або значень ознаки і потім працювати з цими частотами. Одиниця виміру, якою ми йдемо - це одне спостереження.
f) Латентний період вирішення перцептивної задачі.
У даному випадку також має місце інтервальна шкала.
Інтервальна шкала - це шкала, що класифікує за принципом «більше на певну кількість одиниць - менше на певну кількість одиниць». Кожне з можливих значень ознаки відстоїть від іншого на рівній відстані.
Шкала інтервалів являє собою повністю упорядкований ряд з виміряними інтервалами між пунктами, причому відлік починається з довільно від обраної величини (немає абсолютного нуля).
Завдання № 2
У результаті дослідження розуміння прочитаного в учнів 7-х,
8-х та 9-х класів були отримані наступні розподілу тестових оцінок:
| Інтервал оцінок Х i | 7 клас (N = 29) | 8 клас (N = 37) | 9 клас (N = 36) |
| f i | f i | f i | |
| 200-219 | - | - | 3 |
| 180-199 | 1 | 4 | 5 |
| 160-179 | 3 | 3 | 7 |
| 140-159 | 4 | 9 | 7 |
| 120-139 | 11 | 7 | 11 |
| 100-119 | 4 | 7 | 2 |
| 80-99 | 4 | 2 | 1 |
| 60-79 | 1 | 3 | - |
| 40-59 | - | 1 | - |
| 20-39 | 1 | 1 | - |
1. Визначити заходи положення для кожного розподілу.
2. Побудувавши за наведеними даними полігони частот диференціального й інтегрального розподілів для кожного класу, вирішити, який з двох типів графіків наочніше відбиває розходження між розподілами оцінок в кожному класі.
Рішення:
1. Перший стовпець інтервал оцінок, решта - бал за виразність якості (реалізована шкала інтервалів).
При розподілі випробовуваних за класами в один клас потрапляють сильно розрізняються за первинними оцінками випробовувані. Ми розглянули різні прийоми перекладу якісних психологічних ознак у кількісні вирази. Слід зазначити, що при описі психологічних явищ необхідно завжди віддавати собі звіт в тому, яка саме шкала використовується, оскільки кожен спосіб обробки експериментальних даних розрахований на певний тип шкал.
Застосування математичних методів до неадекватних даними призводить до дивних, а часто і помилковим результатами. Квантифікація складних і далеко не однозначних психологічних характеристик накладає чимало обмежень на математичні операції з їх вимірами.
Математик працює з простими числами, психолог зобов'язаний пам'ятати, що насправді ховається за величинами, якими він оперує.
1) Перше обмеження - співмірність кількісних показників, фіксованих різними шкалами в рамках одного дослідження. Більш сильна шкала відрізняється від слабкої тим, що допускає більш широкий діапазон математичних операцій з числами. Все, що припустимо для слабкої шкали допустимо і для більш сильною, але не навпаки. Тому, змішання в аналізі міряльний еталонів різних типів призводить до того, що не використовуються можливості сильних шкал.
2) Друге обмеження пов'язане з формою розподілу величини фіксованих описаними вище шкалами, яке передбачається нормальним. Для нормального розподілу оцінки міри розсіювання збігаються: Мо = Ме = М, в скошеному хвости розподілу не впливають на середню (М).
Таким чином, необхідно уважно вивчати форму розподілу з точки зору його відхилення від нормального.
II. Використовуючи поняття інтегральної функції розподілу і певного інтеграла можна записати
| (X) = F ¢ (x) або F (x) = p (x 1 <X <x 2) =
Якщо
p (х <Х <х + D х) »| (х) D х.
Це співвідношення можна представити у вигляді простого геометричного тлумачення для кожного класу.
Рис. 1 Графік диференціального розподілу результатів перевірки техніки читання в 7 класі
Рис. 2 Результати диференціального розподілу результатів перевірки техніки читання в 8 класі
Рис. 3 Результати диференціального розподілу результатів перевірки техніки читання в 9 класі.
Для дискретної випадкової величини справедливо рівність:
F (x) = P (X <x) = P (- ¥ <X <x) =
де підсумовування поширюється на х i <х.
У проміжку між двома послідовними значеннями Х функція F (х) постійна. При переході аргументу х через значення х i F (х) стрибком зростає на величину p (Х = х i).
Розглянемо p (х 1 £ Х <х 2). Якщо х 2> х 1, то очевидно, що
p (Х <х 2) = p (Х <х 1) + p (х 1 £ Х <х 2).
Тоді
p (х 1 £ Х <х 2) = p (Х <х 2) - p (Х <х 1) = F (х 2) - F (х 1),
тобто ймовірність попадання випадкової величини в інтервал [х 1; х 2) дорівнює різниці значень інтегральної функції граничних точок.
Остання умова можна використовувати для знаходження ймовірності p (Х = х 1) для неперервної випадкової величини. Для цього розглянемо межа
p (X = x 1) =
тобто якщо закон розподілу випадкової величини є функція безперервна, то ймовірність того, що випадкова величина прийме заздалегідь задане значення, дорівнює нулю.
Тут видно відмінність між дискретними і безперервними випадковими величинами. Для дискретних випадкових величин, для кожного значення випадкової величини існує своя ймовірність. І для нього справедливе твердження: подія, ймовірність якої дорівнює нулю, неможливо. Для неперервної випадкової величини це твердження не так. Як показано, ймовірність того, що Х = х 1 (де х 1 - заздалегідь вибране число) дорівнює нулю, ця подія не є неможливим.
У зв'язку з цим неможлива побудова графіка інтегрального розподілу тому нами буде побудована крива інтегрального розподілу для 7,8, 9 класів.
Рис. 4 Графік інтегрального розподілу результатів техніки читання для 7,8, 9 класу.
Таким чином, можна зробити наступний висновок, що найбільш вірогідна диференціальне розподіл отриманих результатів.
Завдання № 3.
Вибірка обсягом 30 осіб, розбита на дві рівні групи за ознакою статі, пройшла функціональну діагностику мозкової активності, в результаті якої у 13 жінок і 4 чоловіків було виявлено домінування правої півкулі, а у 2 жінок і 11 чоловіків - домінування лівої півкулі. Перевірте гіпотезу про зв'язок функціональної асиметрії головного мозку з підлогою.
Рішення:
Оскільки в обох вибірках n 1 і n 2> 11 і діапазони розкиду значень у двох вибірках не збігаються між собою, ми можемо скористатися самим простим критерієм для зіставлення двох вибірок - критерієм Q Розенбаума. Обсяги вибірок різняться менш ніж на 10 чоловік, так, що обмеження про примірному рівність вибірок також не перешкоджає нам.
Таблиця 1. Показники вираженості функціональної асиметрії у чоловіків і жінок
| Група 1 - чоловіки (N = 15 осіб) | Група 2 - жінки (n = 15 осіб) | |
| Домінування правового півкулі | 4 | 13 |
| Домінування лівого півкулі | 11 | 2 |
Середня величина в чоловічій і жіночій вибірці ідентична і дорівнює 7,5.
Сформулюємо гіпотези.
Формулювання гіпотез систематизує припущення дослідника й представляє їх у чіткому й лаконічному вигляді [5; с. 24]. Статистичні гіпотези підрозділяються на нульові і альтернативні.
Нульова гіпотеза - це гіпотеза про відсутність розходжень. Вона позначається як Н 0 і називається нульовою тому, що містить число 0:
X 1-X 2 = 0, де X 1, X 2 - зіставлення значення ознак. Таким чином, нульова гіпотеза - це те, що ми хочемо спростувати, якщо перед нами стоїть завдання довести значимість розходжень.
Альтернативна гіпотеза - це гіпотеза про значимість розходжень. Вона позначається як Н 1. Альтернативна гіпотеза - це те, що ми хочемо довести, тому іноді її називають експериментальної гіпотезою.
Сформулюємо основні гіпотези:
Н 0: Функціональна асиметрія головного мозку у чоловіків не виражена більшою мірою, ніж у жінок.
Н 1: Функціональна асиметрія головного мозку у чоловіків виражена більшою мірою, ніж у жінок.
Зіставимо ряди значень для визначення S 1 і S 2.
max 2 = 13
S 1 = 0
min 1 = 4
S 2 = 1
Виробляємо підрахунок емпіричного значення Q ЕМП = S 1 + S 2 = 0 +1 = 1
У даному випадку Q кр = 6
6 (p ≤ 0,01)
Q ЕМП <Q кр
Отже приймається гіпотеза Н 0 і відкидається гіпотеза Н 1.
Функціональна асиметрія головного мозку у чоловіків не виражена більшою мірою, ніж у жінок, отже, функціональна асиметрія головного мозку не залежить від ознаки статі.
Список використаної літератури
1. Єрмолаєв О.Ю. Математична статистика для психологів / О.Ю. Єрмолаєв .- М.: МПСІ, Флінта, 2002. - 336 с.
2. Кутейников О.М., Математичні методи в психології / О.М. Кутейников .- М.: Мова, 2008. - 172 с.
3. Мітіна О.В., Математичні методи в психології. Практикум: Навчальний посібник / О.В. Мітіна .- М.: Видавництво Аспект - прес, 2008. - 238 с.
4. Спадщина А.Д., Математичні методи в психології: Навчальний посібник / А.Д. Спадщина .- Спб: Мова, 2004. - 232 с.
5. Сидоренко Є.В., Методи математичної обробки в психології / Є.В. Сидоренко .- М.: Мова, 2006. - 350 с.
6. Суходольський Г.В., Математичні методи в психології: Навчальний посібник / Г.В. Суходольський .- М.: Гуманітарний центр, 2008. - 284 с.
7. Тіткова Л.С., Математичні методи в психології / Л.С. Тіткова .- Владивосток: Видавництво ДВГУ, 2002. - 140 с.
1. Тіткова Л. С., Математичні методи в психології / Л. С. Тіткова .- Владивосток: Видавництво ДВГУ, 2002 .- с. 12.
2 Там же, с. 12
3 Там же, с. 12