МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
КРИМСЬКИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ ІНСТИТУТ
КИЇВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО ЕКОНОМІЧНОГО УНІВЕРСИТЕТУ ІМ. В. ГЕТЬМАНА
РЕФЕРАТ
за темою: "Математичні методи в економіці"
Виконав
cтудент: Коваль Сергій
група: МЕ-12
Сімферополь 2010
План
Введення
1. Причини універсальності математики
2. Особливості економічних завдань, що вирішуються математичними методами
3. Застосування матричного методу для вирішення економічних завдань
4. Застосування функції для вирішення економічних завдань
Список використаної літератури
Введення
Є різні точки зору на процеси, що відбуваються в нашому суспільстві в даний момент. Але незалежно від того, як різні політичні сили сприймають ці процеси (як відкат назад або як прогрес, рух вперед), жодна з них не може заперечувати того, що економічні умови життя стали набагато складніше. Стало набагато важче прийняти рішення, як що стосується приватних інтересів, так і громадських. Ці труднощі не могли не викликати хвилі нового інтересу до математичних методів, що застосовуються в економіці; тобто до тих методів, які дозволили б вибрати найкращу стратегію як на найближче майбутнє, так і на далеку перспективу. У той же час багато людей в таких випадках краще звертатися до власної інтуїції, досвіду, або ж до чогось сверхественному. Отже, необхідно оцінити роль математичних методів в економічних дослідженнях - наскільки повно вони описують всі можливі рішення і пророкують найкраще, або навіть так: чи варто їх використовувати взагалі?
По відношенню до цього питання слід уникати двох крайніх думок: повне заперечення придатності математичних методів в економіці та фетишизація, перебільшення тієї ролі, яку математика можуть чи могли б зіграти. Обидва ці підходи засновані на незнанні реального стану речей, оскільки людина, хоча б частково знайомий з цим питанням, ніколи не поставить його руба: так чи ні, а буде говорити лише про питому вагу математичних методів у всій системі дослідження економічних проблем.
У цьому питанні є значний філософський аспект, пов'язаний з проблемою істини. Тобто наскільки математичні моделі економічних систем відображають реальні закони, за якими живе економіка. Повнота цього відображення залежить певною мірою і від мети дослідження. Для одних цілей достатньо мінімального рівня відповідності, для інших же може знадобитися більш детальний опис.
Крім того, математичні методи не можуть не розвиватися, також як і самі економічні системи. Це відбувається як внаслідок змін в економіці, так і за внутрішньою логікою розвитку. При цьому необов'язково, що нові методи з неминучістю відкидають старі, може відбуватися взаємопроникнення, включення старих теорій в нові (в якості окремого випадку).
На розвиток та застосування математичних методів величезний вплив справила і ще покаже розвиток обчислювальної техніки. Обчислювальна техніка останніх поколінь вже дозволила на практиці застосувати безліч методів, описаних раніше лише теоретично або на найпростіших прикладах.
1. Причини універсальності математики
Математику можна визначити як науку, що оперує чистими абстракціями, тобто об'єктами, відокремленими від реального світу. Але ще в давнину математика і науки про природу не розділялися. Люди сприймали числа і операції над ними як закони реального світу. Лише у Стародавній Греції вперше виникла ідея про те, що числа можна вивчати окремо (школа піфагорійців). Щоправда, погляди їх на число були майже забобонними. Але якраз вони й відкрили перші закономірності, що не мають аналогів у світі речей, хоча і обманювали їх від усього світу. Таким чином, у Стародавній Греції були закладено початки розвитку математики як самостійної науки.
У Середні віки розвиток математики як такої відбувалося в основному в Середній Азії. У Європі ж йшов процес розвитку формальної логіки всередині церковної схоластики. Це також було позитивним моментом, оскільки застосування математики передбачає певну формалізацію знання.
Починаючи з 17 століття можливості математики починають рости. Спочатку розвиток математики визначалося потребами вивчення та вираження об'єктивних законів. Згодом математика стала розвиватися, підкоряючись також внутрішній логіці розвитку і виходячи з власних потреб. Але роль математики, як апарату для вираження об'єктивних законів, аніскільки не зменшилася.
При цьому нові закономірності, виведені чисто математично, дозволяють передбачати властивості, притаманні об'єктам фізичної природи.
Математика стала широко проникати в усі сфери науки, і тут з'ясувалося, рівняння і вирази, створені для цілей однієї науки, часто застосовні, після певної підробітки, в іншій.
У чому ж причина такої універсальної застосовності математичних методів?
На думку Вігнера універсальність застосовності математики слід вважати чимось надприродним. Учені повинні просто користуватися нею, не намагаючись зрозуміти причини цього. А саму математику він розглядає як науку про хитромудрих операціях, вироблених за спеціально розробленими правилами над спеціально придуманими поняттями. Причому нові поняття виводяться для того і так, щоб над ними можна було провести які-небудь хитромудрі операції, які імпонують людського почуття прекрасного самі по собі і по отримуваних з їх допомогою результатів, що володіють великою простотою і спільністю.
Але такий підхід ненауковий. Причина такої універсальності математики криється у високому рівнем абстрагування математичної мови. Вже введення поняття числа було переходом на більш високий рівень абстрагування. Числа не мають смаку, запаху, ваги та інших емпіричних характеристик, будучи лише суб'єктивним судженням про кількість якого-небудь предмета, явища. У той же час вони дозволяють визначити кількісні характеристики і відносини практично будь-якого об'єкта. Єдина складність полягає лише у виборі одиниці вимірювання. Тобто вимірявши об'єкт, висловивши його кількісно, можна потім відволіктися від його змісту і оперувати отриманими даними за всіма правилами математичної мови. Отримані таким чином результати можна і потрібно перевіряти емпірично.
Взагалі, мова математики має певні переваги перед природними мовами. Він мінімально надлишковий, моносемантічен і містить у собі правила перетворення. Все це дозволяє порівняно легко оперувати елементами мови: об'єднувати фрагменти в блоки, застосовувати алгоритми до блоків, а потім розгортати результат через систему підстановок і т.д.
Застосування математичної мови, в свою чергу вимагає певного рівня формалізації. Введення одиниць виміру - вже часткова формалізація. Але одиниці виміру формалізують лише кількісну сторону явищ і процесів, не дозволяючи створити нові методи для вирішення нових завдань.
Формалізація якісних характеристик об'єктів відбувається двома шляхами:
1) створення формалізованих аксіоматичних систем;
2) алгоритмізація.
Аксіоматична система - це один із способів побудови теорії на основі базових положень (аксіом), з яких потім виводиться основний зміст теорії. Аксіоматичні системи в ході еволюції пройшли три етапи, яким відповідають три типи аксіоматичних систем:
а) Змістовні аксіоматичні системи - коли на основі основних уявлень за допомогою інтуїції описуються змістовно ясні об'єкти. Тобто та об'єкти і аксіоми мають свої аналоги в світі речей. Hа початкових етапах розвитку науки всі теорії представляли із себе такі аксіоматичні системи. Такі системи не представляють цінності в сенсі універсальності їх застосування.
б) напівформалізоване аксіоматична система припускає завдання абстрактних об'єктів, для яких описуються змістовно ясні аксіоми. Такі системи вже в досить великій мірі універсальні, оскільки часто буває, що подібність початкових умов дозволяє застосовувати стару теорію для вивчення нових об'єктів (звичайно ж, з відомою часткою скептицизму).
в) Повністю формалізовані системи. У цьому випадку спочатку задаються і алфавіт системи і аксіоми і правила перетворення знаків алфавіту, зберігають істинність аксіом. Такі системи можуть розвиватися за своїми внутрішніми законами. Але теорії і методи створені в рамках таких формалізованих систем можуть знайти несподіване застосування в різних галузях наукового знання.
Але головним критерієм застосовності того чи іншого методу є перевірка результатів дослідження на досвіді, на практиці.
Алгоритмізація, другий вид повної формалізації, припускає створення алгоритмів - єдиних методів для вирішення цілого ряду завдань. При цьому метод рішення полягає в здійсненні якоїсь послідовності заздалегідь певних дій. При цьому створення алгоритму вже передбачає універсальність. Певний час навіть намагалися створити єдиний алгоритм для вирішення будь-яких завдань.
Універсальність алгоритмів має певні обмеження. По-перше, це їх дискретність, тобто розбивка на кроки, які не можна пропускати, по-друге, для ряду завдань взагалі немає алгоритму рішення.
Тобто слід зауважити, що математика універсальна не абсолютно. При застосуванні математичних методів в різних науках спостерігається певна специфіка.
2. Особливості економічних завдань, що вирішуються математичними методами
Економічна наука, як і будь-яка інша має свою специфіку. Специфіка її визначається загальною специфікою наук про людину. Всі суспільні науки вивчають найскладнішу і високоорганізовану форму руху - соціальну. Як вже згадувалося вище, на цьому рівні організації матерії доводиться враховувати зворотний зв'язок між суб'єктом і зовнішнім середовищем. При цьому зв'язок ця представляє суперечливе єдність інтересів і цілей окремих організмів, що беруть участь в тому чи іншому процесі. Економічна наука вивчає великий пласт процесів, як прямо мають місце між суб'єктами при обміні різними продуктами, так і мають до цього якесь відношення. До того, як люди стали обмінюватися продуктами своєї праці, відносини між ними ніяк не можна було назвати економічними. Виникнення економічних відносин поклало початок спеціалізації праці і відповідно, всьому соціально-економічному прогресу.
На сучасному етапі економічні взаємовідносини між суб'єктами утворюють економічні системи зі складною структурою, великою кількістю елементів і зв'язків між ними, які і є причиною майже всіх особливостей економічних завдань.
За Гатауліна основою економічної системи є виробництво, отже, економічну систему можна розглядати як сукупність керованої (виробництво) і керуючої систем. З цього випливають такі особливості:
1) масштаби виробництва як керованої системи незрівнянно більше ніж будь-якої технічної керованої системи;
2) виробництво, як система, що постійно вдосконалюється, і управління ним включає управління процесами вдосконалення;
3) у зв'язку з науково-технічним прогресом і розвитком продуктивних сил змінюються параметри системи, що зумовлює необхідність дослідження нових закономірностей розвитку виробництва та їх використання в управлінні;
4) з ускладненням виробництва підвищуються вимоги до методів збору, накопичення, переробки інформації, її диференціації за рівнями ієрархії з урахуванням суттєвості з точки зору прийняття управлінських рішень;
5) участь людини у виробництві як невід'ємної частини продуктивних сил суспільства обумовлює необхідність врахування комплексу соціальних, біотичних, екологічних та інших факторів;
6) участь у сільськогосподарському виробництві біологічних систем як засобів виробництва, їх істотна залежність від випадкових природних чинників зумовлюють імовірнісний характер багатьох виробничих процесів, що необхідно враховувати в управлінні виробництвом.
Але крім виробничих систем до складу економічних систем входить також сфера обігу та невиробнича сфера, які також мають свою специфіку. Вона полягає в тому, що участь у процесах обігу безлічі покупців і продавців передбачає необхідність обліку таких чинників як конкуренція, закони попиту і пропозиції, а також те, що більшість умов тут також має імовірнісний характер.
Зі сказаного випливає, що економічні завдання, це завдання з великим числом невідомих, які мають різні динамічні зв'язки і взаємини. Тобто економічні завдання багатомірні, і навіть будучи представлені у формі системи нерівностей та рівнянь, не можуть бути вирішені звичайними математичними методами.
Ще однією характерною рисою планово-економічних та інших економічних завдань є множинність можливих рішень; певну продукцію можна отримати різними способами, по різному вибираючи сировину, обладнання, що застосовується, технологію та організацію виробничого процесу. У той же час для управління потрібно по можливості мінімальну кількість варіантів і бажано найкращі. Тому другою особливістю економічних завдань є те, що це завдання екстремальні, що у свою чергу передбачає наявність цільової функції.
Говорячи про критерії оптимальності, слід згадати, що в ряді випадків може виникнути ситуація, коли доводиться приймати до уваги одночасно ряд показників ефективності (наприклад, максимум рентабельності і прибутку, товарної продукції, кінцевої продукції і т.д.). Це пов'язано не тільки з формальними труднощами вибору та обгрунтування єдиного критерію, а й багатоцільовим характером розвитку систем. У цьому випадку буде потрібно кілька цільових функцій і відповідно якийсь компроміс між ними.
Близько до багатоцільовим завданням лежать завдання з дробово-лінійною функцією, коли цільова функція виражається відносними показниками ефективності виробництва (рентабельність, собівартість продукції, продуктивність праці тощо)
Крім усього вищевикладеного, треба враховувати, що вхідними величинами виробничих систем є матеріальні ресурси (природні, засоби виробництва), трудові ресурси, капіталовкладення, інформаційні ресурси (відомості про ціни, технології та ін.) З цього випливає ще одна особливість економічних завдань: наявність обмежень на ресурси. Тобто це передбачає вираження економічної задачі у вигляді системи нерівностей.
Випадковий характер чинників, що впливають на економічну систему, припускає імовірнісний (стохастичний) характер техніко-економічних коефіцієнтів, коефіцієнтів цільової функції, що також є особливістю економічних завдань.
У той же час нерідко зустрічаються умови, коли залежності між різними чинниками або в цільовій функції нелінійні. Наприклад, це має місце в залежностях між витратами ресурсів і виходом кінцевого продукту. Але основна частина таких завдань зустрічається при моделюванні ринкової поведінки, коли слід враховувати фактори еластичності попиту і пропозиції, тобто нелінійний характер змін цих величин від рівня цін.
При моделюванні ринкової поведінки крім нелінійності залежностей, зустрічається така особливість, як вимога враховувати поведінку конкурентів. Навіть радянські економісти визнавали, що дія об'єктивних економічних законів здійснюється через діяльність безлічі господарських підрозділів. У той же час, реалізація рішення, прийнятого в одному з цих підрозділів, може мати значний вплив на ті чи інші характеристики економічної ситуації, в якій приймають рішення інші підрозділи (змінюються кількість сировини, ціни на вироби та ін.) Виникає, отже, комплекс оптимізаційних завдань, у кожній з яких якісь змінні величини залежать від обраних управлінь в інших завданнях.
Ще однією загальною особливістю економічних завдань є дискретність (або об'єктів планування, або цільової функції). Ця целочисленость випливає із самої природи речей, предметів, якими оперує економічна наука. Тобто не може бути дробовим кількість підприємств, кількість робітників і т.д. При цьому дискретний характер мають не тільки об'єкти планування, але і часові проміжки, усередині яких здійснюється планування. Це означає, що при плануванні будь-які дії завжди слід визначити, на який термін воно здійснюється, в які терміни може бути здійснено, і коли будуть результати. Таким чином, вводиться ще одна дискретна змінна - тимчасова.
Дискретність багатьох економічних показників не віддільна від позитивності значень (реальних предметів чи відрізків часу не може бути менше нуля).
Не слід забувати і про те, що економічна система - не застигла, статична сукупність елементів, а що розвивається, змінюється під дію зовнішніх та внутрішніх факторів механізм. При це виникає ситуація, коли рішення, прийняті раніше, детермінують частково або повністю рішення, прийняті пізніше.
Таким чином, легко помітити, що економічні завдання, які вирішуються математичними методами, мають специфіку, яка визначається особливостями економічних систем, як більш високих форм руху в порівнянні з технічними чи біологічними системами. Ці особливості економічних систем зробили недостатніми ті математичні методи, які виросли з потреб інших наук. Тобто знадобився новий математичний апарат, причому не стільки більш складний, скільки просто враховує особливості економічних систем на базі вже існуючих математичних методів.
Крім того, економічні системи розвиваються і ускладнюються самі, змінюється їх структура, а іноді і зміст, обумовлене науково-технічним прогресом. Це робить застарілими багато методи, які застосовувалися раніше, або вимагає їх коригування. У той же час науково-технічний прогрес впливає і на самі математичні методи, оскільки поява та удосконалення електронно-обчислювальних машин зробило можливим широке використання методів, раніше описаних лише теоретично, або застосовувалися лише для невеликих прикладних завдань.
3. Застосування матричного методу для вирішення економічних завдань
Нехай aij - кількість продукції j, виробленої підприємством i, а bi - вартість всієї продукції підприємства i досліджуваної галузі. Значення aij і bi задані матрицями A і В відповідно. Потрібно визначити ціну одиниці продукції кожного виду, виробленої підприємствами галузі. У ході виконання завдання необхідно скласти систему рівнянь, відповідну умовам, і вирішити її трьома способами (матричний метод, метод Крамера, метод Гаусса).
Рішення:
Складемо систему рівнянь:
Матричне рівняння виглядає наступним чином:
A · X = B
Домножимо зліва кожну з частин рівняння на матрицю A-1
A-1 · A · X = A-1 · B;
E · X = A-1 · B;
X = A-1 · B
Знайдемо обернену матрицю A-1
Δ = 4 * 12 * 4 + 12 * 7 * 13 + 14 * 7 * 9 - 9 * 12 * 7 - 12 * 14 * 4 - 4 * 7 * 13 = 374
X =
Вирішимо систему методом Крамера
Δ = 374
Δ1 =
Δ2 =
Δ3 =
x1 = Δ1 / Δ = 1870/374 = 5, x2 = Δ2 / Δ = 1496/374 = 4
x3 = Δ3 / Δ = 1122/374 = 3
Вирішимо систему методом Гауса
=>
4. Застосування функції для вирішення економічних завдань
Задано функція попиту
Грунтуючись на властивостях функції попиту, визначити: який товар є досліджуваним, а який альтернативним і еластичність попиту за цінами досліджуваного і альтернативного товарів.
У процесі рішення відзначити, якими є дані товари - взаємозамінними або взаємодоповнюючими.
Рішення:
Еластичність попиту за ціною дорівнює першої похідної від функції попиту:
еластичність негативна, отже, перший товар - досліджуваний.
еластичність негативна.
Товари є товарами дополнители, т.к зростання цін на другий товар, як і зростання цін на перший товар призводить до зниження попиту.
Список використаної літератури
1. Беллмана Р. Динамічне програмування. Пер. з англ. І.М. Андрєєвої [и др.]. Під ред. М.М. Воробйова. М., Вид. Иностр. лит., 1960. 400 с.
2. Беллмана Р., Дрейфус С. Прикладні задачі динамічного програмування. Пер. з англ. Н.М. Митрофанової [и др.] Під ред. А.А. Первозванский. М., "Наука", 1965. 458 с.
3. Гатауліна О.М., Гаврилов Г.В., Сорокіна Т.M. та ін Математичне моделювання економічних процесів у сільському господарстві. - М., Агропромиздат, 1990. +432 C.
4. Канторович Л.В., жменька А.Б. Оптимальні рішення в економіці. М., "Наука", 1972. 232 c.
5. Кравченко Р.Г., Попов І.В., Толпекін С.З. Економіко-математичні методи в організації та плануванні сільськогосподарського виробництва. М., "Колос", 1973. 528с.
6. Мойсеєв М.М. Людина, середовище, суспільство. Проблеми формалізованого опису. - М., "Наука", 1982. 240 с.
7. Мойсеєв М.М. Математик задає питання. (Запрошення до діалогу). М., "Знання", 1975. 191 с.
8. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теорія ігор і економічна поведінка. Пер. з англ. Під ред. і з доб. М.М. Воробйова. М., "Наука", 1970. 707 с.
9. Немчінов В.С. Вибрані твори. Том 3.Економіка та математичні методи. М., "Наука", 1967. 490 с.
КРИМСЬКИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ ІНСТИТУТ
КИЇВСЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО ЕКОНОМІЧНОГО УНІВЕРСИТЕТУ ІМ. В. ГЕТЬМАНА
РЕФЕРАТ
за темою: "Математичні методи в економіці"
Виконав
cтудент: Коваль Сергій
група: МЕ-12
Сімферополь 2010
План
Введення
1. Причини універсальності математики
2. Особливості економічних завдань, що вирішуються математичними методами
3. Застосування матричного методу для вирішення економічних завдань
4. Застосування функції для вирішення економічних завдань
Список використаної літератури
Введення
Є різні точки зору на процеси, що відбуваються в нашому суспільстві в даний момент. Але незалежно від того, як різні політичні сили сприймають ці процеси (як відкат назад або як прогрес, рух вперед), жодна з них не може заперечувати того, що економічні умови життя стали набагато складніше. Стало набагато важче прийняти рішення, як що стосується приватних інтересів, так і громадських. Ці труднощі не могли не викликати хвилі нового інтересу до математичних методів, що застосовуються в економіці; тобто до тих методів, які дозволили б вибрати найкращу стратегію як на найближче майбутнє, так і на далеку перспективу. У той же час багато людей в таких випадках краще звертатися до власної інтуїції, досвіду, або ж до чогось сверхественному. Отже, необхідно оцінити роль математичних методів в економічних дослідженнях - наскільки повно вони описують всі можливі рішення і пророкують найкраще, або навіть так: чи варто їх використовувати взагалі?
По відношенню до цього питання слід уникати двох крайніх думок: повне заперечення придатності математичних методів в економіці та фетишизація, перебільшення тієї ролі, яку математика можуть чи могли б зіграти. Обидва ці підходи засновані на незнанні реального стану речей, оскільки людина, хоча б частково знайомий з цим питанням, ніколи не поставить його руба: так чи ні, а буде говорити лише про питому вагу математичних методів у всій системі дослідження економічних проблем.
У цьому питанні є значний філософський аспект, пов'язаний з проблемою істини. Тобто наскільки математичні моделі економічних систем відображають реальні закони, за якими живе економіка. Повнота цього відображення залежить певною мірою і від мети дослідження. Для одних цілей достатньо мінімального рівня відповідності, для інших же може знадобитися більш детальний опис.
Крім того, математичні методи не можуть не розвиватися, також як і самі економічні системи. Це відбувається як внаслідок змін в економіці, так і за внутрішньою логікою розвитку. При цьому необов'язково, що нові методи з неминучістю відкидають старі, може відбуватися взаємопроникнення, включення старих теорій в нові (в якості окремого випадку).
На розвиток та застосування математичних методів величезний вплив справила і ще покаже розвиток обчислювальної техніки. Обчислювальна техніка останніх поколінь вже дозволила на практиці застосувати безліч методів, описаних раніше лише теоретично або на найпростіших прикладах.
1. Причини універсальності математики
Математику можна визначити як науку, що оперує чистими абстракціями, тобто об'єктами, відокремленими від реального світу. Але ще в давнину математика і науки про природу не розділялися. Люди сприймали числа і операції над ними як закони реального світу. Лише у Стародавній Греції вперше виникла ідея про те, що числа можна вивчати окремо (школа піфагорійців). Щоправда, погляди їх на число були майже забобонними. Але якраз вони й відкрили перші закономірності, що не мають аналогів у світі речей, хоча і обманювали їх від усього світу. Таким чином, у Стародавній Греції були закладено початки розвитку математики як самостійної науки.
У Середні віки розвиток математики як такої відбувалося в основному в Середній Азії. У Європі ж йшов процес розвитку формальної логіки всередині церковної схоластики. Це також було позитивним моментом, оскільки застосування математики передбачає певну формалізацію знання.
Починаючи з 17 століття можливості математики починають рости. Спочатку розвиток математики визначалося потребами вивчення та вираження об'єктивних законів. Згодом математика стала розвиватися, підкоряючись також внутрішній логіці розвитку і виходячи з власних потреб. Але роль математики, як апарату для вираження об'єктивних законів, аніскільки не зменшилася.
При цьому нові закономірності, виведені чисто математично, дозволяють передбачати властивості, притаманні об'єктам фізичної природи.
Математика стала широко проникати в усі сфери науки, і тут з'ясувалося, рівняння і вирази, створені для цілей однієї науки, часто застосовні, після певної підробітки, в іншій.
У чому ж причина такої універсальної застосовності математичних методів?
На думку Вігнера універсальність застосовності математики слід вважати чимось надприродним. Учені повинні просто користуватися нею, не намагаючись зрозуміти причини цього. А саму математику він розглядає як науку про хитромудрих операціях, вироблених за спеціально розробленими правилами над спеціально придуманими поняттями. Причому нові поняття виводяться для того і так, щоб над ними можна було провести які-небудь хитромудрі операції, які імпонують людського почуття прекрасного самі по собі і по отримуваних з їх допомогою результатів, що володіють великою простотою і спільністю.
Але такий підхід ненауковий. Причина такої універсальності математики криється у високому рівнем абстрагування математичної мови. Вже введення поняття числа було переходом на більш високий рівень абстрагування. Числа не мають смаку, запаху, ваги та інших емпіричних характеристик, будучи лише суб'єктивним судженням про кількість якого-небудь предмета, явища. У той же час вони дозволяють визначити кількісні характеристики і відносини практично будь-якого об'єкта. Єдина складність полягає лише у виборі одиниці вимірювання. Тобто вимірявши об'єкт, висловивши його кількісно, можна потім відволіктися від його змісту і оперувати отриманими даними за всіма правилами математичної мови. Отримані таким чином результати можна і потрібно перевіряти емпірично.
Взагалі, мова математики має певні переваги перед природними мовами. Він мінімально надлишковий, моносемантічен і містить у собі правила перетворення. Все це дозволяє порівняно легко оперувати елементами мови: об'єднувати фрагменти в блоки, застосовувати алгоритми до блоків, а потім розгортати результат через систему підстановок і т.д.
Застосування математичної мови, в свою чергу вимагає певного рівня формалізації. Введення одиниць виміру - вже часткова формалізація. Але одиниці виміру формалізують лише кількісну сторону явищ і процесів, не дозволяючи створити нові методи для вирішення нових завдань.
Формалізація якісних характеристик об'єктів відбувається двома шляхами:
1) створення формалізованих аксіоматичних систем;
2) алгоритмізація.
Аксіоматична система - це один із способів побудови теорії на основі базових положень (аксіом), з яких потім виводиться основний зміст теорії. Аксіоматичні системи в ході еволюції пройшли три етапи, яким відповідають три типи аксіоматичних систем:
а) Змістовні аксіоматичні системи - коли на основі основних уявлень за допомогою інтуїції описуються змістовно ясні об'єкти. Тобто та об'єкти і аксіоми мають свої аналоги в світі речей. Hа початкових етапах розвитку науки всі теорії представляли із себе такі аксіоматичні системи. Такі системи не представляють цінності в сенсі універсальності їх застосування.
б) напівформалізоване аксіоматична система припускає завдання абстрактних об'єктів, для яких описуються змістовно ясні аксіоми. Такі системи вже в досить великій мірі універсальні, оскільки часто буває, що подібність початкових умов дозволяє застосовувати стару теорію для вивчення нових об'єктів (звичайно ж, з відомою часткою скептицизму).
в) Повністю формалізовані системи. У цьому випадку спочатку задаються і алфавіт системи і аксіоми і правила перетворення знаків алфавіту, зберігають істинність аксіом. Такі системи можуть розвиватися за своїми внутрішніми законами. Але теорії і методи створені в рамках таких формалізованих систем можуть знайти несподіване застосування в різних галузях наукового знання.
Але головним критерієм застосовності того чи іншого методу є перевірка результатів дослідження на досвіді, на практиці.
Алгоритмізація, другий вид повної формалізації, припускає створення алгоритмів - єдиних методів для вирішення цілого ряду завдань. При цьому метод рішення полягає в здійсненні якоїсь послідовності заздалегідь певних дій. При цьому створення алгоритму вже передбачає універсальність. Певний час навіть намагалися створити єдиний алгоритм для вирішення будь-яких завдань.
Універсальність алгоритмів має певні обмеження. По-перше, це їх дискретність, тобто розбивка на кроки, які не можна пропускати, по-друге, для ряду завдань взагалі немає алгоритму рішення.
Тобто слід зауважити, що математика універсальна не абсолютно. При застосуванні математичних методів в різних науках спостерігається певна специфіка.
2. Особливості економічних завдань, що вирішуються математичними методами
Економічна наука, як і будь-яка інша має свою специфіку. Специфіка її визначається загальною специфікою наук про людину. Всі суспільні науки вивчають найскладнішу і високоорганізовану форму руху - соціальну. Як вже згадувалося вище, на цьому рівні організації матерії доводиться враховувати зворотний зв'язок між суб'єктом і зовнішнім середовищем. При цьому зв'язок ця представляє суперечливе єдність інтересів і цілей окремих організмів, що беруть участь в тому чи іншому процесі. Економічна наука вивчає великий пласт процесів, як прямо мають місце між суб'єктами при обміні різними продуктами, так і мають до цього якесь відношення. До того, як люди стали обмінюватися продуктами своєї праці, відносини між ними ніяк не можна було назвати економічними. Виникнення економічних відносин поклало початок спеціалізації праці і відповідно, всьому соціально-економічному прогресу.
На сучасному етапі економічні взаємовідносини між суб'єктами утворюють економічні системи зі складною структурою, великою кількістю елементів і зв'язків між ними, які і є причиною майже всіх особливостей економічних завдань.
За Гатауліна основою економічної системи є виробництво, отже, економічну систему можна розглядати як сукупність керованої (виробництво) і керуючої систем. З цього випливають такі особливості:
1) масштаби виробництва як керованої системи незрівнянно більше ніж будь-якої технічної керованої системи;
2) виробництво, як система, що постійно вдосконалюється, і управління ним включає управління процесами вдосконалення;
3) у зв'язку з науково-технічним прогресом і розвитком продуктивних сил змінюються параметри системи, що зумовлює необхідність дослідження нових закономірностей розвитку виробництва та їх використання в управлінні;
4) з ускладненням виробництва підвищуються вимоги до методів збору, накопичення, переробки інформації, її диференціації за рівнями ієрархії з урахуванням суттєвості з точки зору прийняття управлінських рішень;
5) участь людини у виробництві як невід'ємної частини продуктивних сил суспільства обумовлює необхідність врахування комплексу соціальних, біотичних, екологічних та інших факторів;
6) участь у сільськогосподарському виробництві біологічних систем як засобів виробництва, їх істотна залежність від випадкових природних чинників зумовлюють імовірнісний характер багатьох виробничих процесів, що необхідно враховувати в управлінні виробництвом.
Але крім виробничих систем до складу економічних систем входить також сфера обігу та невиробнича сфера, які також мають свою специфіку. Вона полягає в тому, що участь у процесах обігу безлічі покупців і продавців передбачає необхідність обліку таких чинників як конкуренція, закони попиту і пропозиції, а також те, що більшість умов тут також має імовірнісний характер.
Зі сказаного випливає, що економічні завдання, це завдання з великим числом невідомих, які мають різні динамічні зв'язки і взаємини. Тобто економічні завдання багатомірні, і навіть будучи представлені у формі системи нерівностей та рівнянь, не можуть бути вирішені звичайними математичними методами.
Ще однією характерною рисою планово-економічних та інших економічних завдань є множинність можливих рішень; певну продукцію можна отримати різними способами, по різному вибираючи сировину, обладнання, що застосовується, технологію та організацію виробничого процесу. У той же час для управління потрібно по можливості мінімальну кількість варіантів і бажано найкращі. Тому другою особливістю економічних завдань є те, що це завдання екстремальні, що у свою чергу передбачає наявність цільової функції.
Говорячи про критерії оптимальності, слід згадати, що в ряді випадків може виникнути ситуація, коли доводиться приймати до уваги одночасно ряд показників ефективності (наприклад, максимум рентабельності і прибутку, товарної продукції, кінцевої продукції і т.д.). Це пов'язано не тільки з формальними труднощами вибору та обгрунтування єдиного критерію, а й багатоцільовим характером розвитку систем. У цьому випадку буде потрібно кілька цільових функцій і відповідно якийсь компроміс між ними.
Близько до багатоцільовим завданням лежать завдання з дробово-лінійною функцією, коли цільова функція виражається відносними показниками ефективності виробництва (рентабельність, собівартість продукції, продуктивність праці тощо)
Крім усього вищевикладеного, треба враховувати, що вхідними величинами виробничих систем є матеріальні ресурси (природні, засоби виробництва), трудові ресурси, капіталовкладення, інформаційні ресурси (відомості про ціни, технології та ін.) З цього випливає ще одна особливість економічних завдань: наявність обмежень на ресурси. Тобто це передбачає вираження економічної задачі у вигляді системи нерівностей.
Випадковий характер чинників, що впливають на економічну систему, припускає імовірнісний (стохастичний) характер техніко-економічних коефіцієнтів, коефіцієнтів цільової функції, що також є особливістю економічних завдань.
У той же час нерідко зустрічаються умови, коли залежності між різними чинниками або в цільовій функції нелінійні. Наприклад, це має місце в залежностях між витратами ресурсів і виходом кінцевого продукту. Але основна частина таких завдань зустрічається при моделюванні ринкової поведінки, коли слід враховувати фактори еластичності попиту і пропозиції, тобто нелінійний характер змін цих величин від рівня цін.
При моделюванні ринкової поведінки крім нелінійності залежностей, зустрічається така особливість, як вимога враховувати поведінку конкурентів. Навіть радянські економісти визнавали, що дія об'єктивних економічних законів здійснюється через діяльність безлічі господарських підрозділів. У той же час, реалізація рішення, прийнятого в одному з цих підрозділів, може мати значний вплив на ті чи інші характеристики економічної ситуації, в якій приймають рішення інші підрозділи (змінюються кількість сировини, ціни на вироби та ін.) Виникає, отже, комплекс оптимізаційних завдань, у кожній з яких якісь змінні величини залежать від обраних управлінь в інших завданнях.
Ще однією загальною особливістю економічних завдань є дискретність (або об'єктів планування, або цільової функції). Ця целочисленость випливає із самої природи речей, предметів, якими оперує економічна наука. Тобто не може бути дробовим кількість підприємств, кількість робітників і т.д. При цьому дискретний характер мають не тільки об'єкти планування, але і часові проміжки, усередині яких здійснюється планування. Це означає, що при плануванні будь-які дії завжди слід визначити, на який термін воно здійснюється, в які терміни може бути здійснено, і коли будуть результати. Таким чином, вводиться ще одна дискретна змінна - тимчасова.
Дискретність багатьох економічних показників не віддільна від позитивності значень (реальних предметів чи відрізків часу не може бути менше нуля).
Не слід забувати і про те, що економічна система - не застигла, статична сукупність елементів, а що розвивається, змінюється під дію зовнішніх та внутрішніх факторів механізм. При це виникає ситуація, коли рішення, прийняті раніше, детермінують частково або повністю рішення, прийняті пізніше.
Таким чином, легко помітити, що економічні завдання, які вирішуються математичними методами, мають специфіку, яка визначається особливостями економічних систем, як більш високих форм руху в порівнянні з технічними чи біологічними системами. Ці особливості економічних систем зробили недостатніми ті математичні методи, які виросли з потреб інших наук. Тобто знадобився новий математичний апарат, причому не стільки більш складний, скільки просто враховує особливості економічних систем на базі вже існуючих математичних методів.
Крім того, економічні системи розвиваються і ускладнюються самі, змінюється їх структура, а іноді і зміст, обумовлене науково-технічним прогресом. Це робить застарілими багато методи, які застосовувалися раніше, або вимагає їх коригування. У той же час науково-технічний прогрес впливає і на самі математичні методи, оскільки поява та удосконалення електронно-обчислювальних машин зробило можливим широке використання методів, раніше описаних лише теоретично, або застосовувалися лише для невеликих прикладних завдань.
3. Застосування матричного методу для вирішення економічних завдань
Нехай aij - кількість продукції j, виробленої підприємством i, а bi - вартість всієї продукції підприємства i досліджуваної галузі. Значення aij і bi задані матрицями A і В відповідно. Потрібно визначити ціну одиниці продукції кожного виду, виробленої підприємствами галузі. У ході виконання завдання необхідно скласти систему рівнянь, відповідну умовам, і вирішити її трьома способами (матричний метод, метод Крамера, метод Гаусса).
Рішення:
Складемо систему рівнянь:
Матричне рівняння виглядає наступним чином:
A · X = B
Домножимо зліва кожну з частин рівняння на матрицю A-1
A-1 · A · X = A-1 · B;
E · X = A-1 · B;
X = A-1 · B
Знайдемо обернену матрицю A-1
Δ = 4 * 12 * 4 + 12 * 7 * 13 + 14 * 7 * 9 - 9 * 12 * 7 - 12 * 14 * 4 - 4 * 7 * 13 = 374
X =
Вирішимо систему методом Крамера
Δ = 374
Δ1 =
Δ2 =
Δ3 =
x1 = Δ1 / Δ = 1870/374 = 5, x2 = Δ2 / Δ = 1496/374 = 4
x3 = Δ3 / Δ = 1122/374 = 3
Вирішимо систему методом Гауса
=>
4. Застосування функції для вирішення економічних завдань
Задано функція попиту
Грунтуючись на властивостях функції попиту, визначити: який товар є досліджуваним, а який альтернативним і еластичність попиту за цінами досліджуваного і альтернативного товарів.
У процесі рішення відзначити, якими є дані товари - взаємозамінними або взаємодоповнюючими.
Рішення:
Еластичність попиту за ціною дорівнює першої похідної від функції попиту:
еластичність негативна, отже, перший товар - досліджуваний.
еластичність негативна.
Товари є товарами дополнители, т.к зростання цін на другий товар, як і зростання цін на перший товар призводить до зниження попиту.
Список використаної літератури
1. Беллмана Р. Динамічне програмування. Пер. з англ. І.М. Андрєєвої [и др.]. Під ред. М.М. Воробйова. М., Вид. Иностр. лит., 1960. 400 с.
2. Беллмана Р., Дрейфус С. Прикладні задачі динамічного програмування. Пер. з англ. Н.М. Митрофанової [и др.] Під ред. А.А. Первозванский. М., "Наука", 1965. 458 с.
3. Гатауліна О.М., Гаврилов Г.В., Сорокіна Т.M. та ін Математичне моделювання економічних процесів у сільському господарстві. - М., Агропромиздат, 1990. +432 C.
4. Канторович Л.В., жменька А.Б. Оптимальні рішення в економіці. М., "Наука", 1972. 232 c.
5. Кравченко Р.Г., Попов І.В., Толпекін С.З. Економіко-математичні методи в організації та плануванні сільськогосподарського виробництва. М., "Колос", 1973. 528с.
6. Мойсеєв М.М. Людина, середовище, суспільство. Проблеми формалізованого опису. - М., "Наука", 1982. 240 с.
7. Мойсеєв М.М. Математик задає питання. (Запрошення до діалогу). М., "Знання", 1975. 191 с.
8. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теорія ігор і економічна поведінка. Пер. з англ. Під ред. і з доб. М.М. Воробйова. М., "Наука", 1970. 707 с.
9. Немчінов В.С. Вибрані твори. Том 3.Економіка та математичні методи. М., "Наука", 1967. 490 с.