Математичне мислення молодших школярів

Зміст

Введення

Глава 1. Теоретичні основи розвитку математичного мислення молодших школярів за допомогою нестандартних завдань

1.1 Особливості математичного мислення учнів початкових класів та можливості його розвитку на уроках

1.2 Роль нестандартних завдань у розвитку математичного мислення молодших школярів

Глава 2. Методика застосування нестандартних завдань у розвитку математичного мислення молодших школярів

2.1 Логічні задачі як засіб розвитку математичного мислення

2.2 Використання різних способів вирішення нестандартних завдань у розвитку математичного мислення молодших школярів

2.3 Зміст і організація дослідно-експериментальної роботи

Висновок

Список використаної літератури

Додаток 1

Додаток 2

Додаток 3

Додаток 4

Введення

Актуальність обраної теми підтверджується тим, що нові підходи до вдосконалення навчально-виховного процесу з метою формування всебічно розвиненої і творчо мислячої особистості молодшого школяра в чому залежить від уміння ними вирішувати нестандартні задачі. До цих пір в навчанні математиці не подолані стереотипи, які заважають досягненню поставленої перед школою цілі гармонійного розвитку особистості учня. До подібних недоробок у сфері методики навчання рішенню завдань відносяться наступні:

Стандартизація змісту і методів вирішення завдань, що виявляється у вузькому розумінні вчителями ролі математичної задачі в процесі навчання, у прагненні вирішувати зі школярами можливо більше число завдань на шкоду їх обучающему якості.

Недосконалість методики навчання рішенню завдань, яке розкривається у навчанні вирішення завдань за зразком, у відсутності цілеспрямованої роботи вчителя з формування у школярів уміння критично оцінювати хід виконання завдання і перевірити результат, у використанні завдань переважно для закріплення готових знань або їх повторення.

Невідповідність постановки завдань і їхніх рішень закономірностям розвивається математичного мислення, що виявляється у відсутності в шкільному курсі математики завдань, вирішення яких готував би школярів до діяльності творчого характеру, в нестачі завдань, формують у школярів найважливіші розумові вміння (узагальнювати, аналізувати, моделювати), в одноманітності типології завдань початкового курсу математики.

Спостерігається суперечність між вимогами науки до навчання і реальним втіленням на практиці. В результаті виникає проблема: як підвищити можливості уроків математики з точки зору розвитку мислення школярів?

Найбільш доступним засобом вирішення цієї проблеми буде введення в курс початкової математики нестандартних завдань. Нестандартні завдання формують у школярів високу математичну активність, якості, властиві творчої особистості: гнучкість, оригінальність, глибину, цілеспрямованість, критичність мислення. Нестандартні задачі завжди подаються у захоплюючій формі, вони проганяють інтелектуальну лінь, виробляють звичку до розумової праці, виховують наполегливість у подоланні труднощів.

Саме при вирішенні нестандартних завдань відточується, шліфується думку дитини, думка пов'язана, послідовна, доказова. З початку і до кінця навчання в школі математична задача незмінно допомагають учневі виробляти правильні математичні поняття, глибше з'ясувати різні сторони взаємозв'язків у навколишньому його життя, дає можливість застосовувати студійовані теоретичні положення, дозволяє встановлювати різноманітні числові співвідношення в спостережуваних явищах. Вирішуючи завдання, представлені в продуманої математичної системі, учні не тільки активно опановують змістом курсу математики, а й набувають вміння мислити творчо. Учні повинні вміти вирішувати не тільки стандартні задачі, але вимагають відомої незалежності мислення, оригінальності, винахідливості. (Л. П. Терентьєва Рішення нестандартних завдань Уч.пособие Ч.2002 стор.3)

Все це підтверджує необхідність дослідження методики навчання рішенню нестандартних завдань на уроках математики і в позаурочний час, дослідження їх ролі у розвитку математичного мислення молодших школярів.

Виходячи з цього, нами обрана наступна проблема проблема дослідження - це виявлення педагогічних умов впливу нестандартних завдань на розвиток мислення молодших школярів. Рішення даної проблеми становить мету дослідження.

Об'єктом дослідження є процес навчання математики в початкових класах.

Предметом дослідження - вплив нестандартних завдань на розвиток математичного мислення учнів початкових класів.

В якості гіпотези було висунуто припущення, згідно з яким нестандартні задачі сприятливо впливають на розвиток математичного мислення учнів початкових класів, якщо:

- Такі завдання регулярно будуть пропонуватися учням на уроках і в позанавчальний час;

- При складанні їх будуть враховані вікові особливості молодших школярів.

Відповідно до проблемою, метою, об'єктом, предметом і гіпотезою дослідження були поставлені наступні завдання:

Вивчити особливості математичного мислення молодших школярів та вплив нестандартних завдань на його розвиток.

Для організації дослідно-експериментальної роботи провести класифікацію нестандартних завдань, доступних для молодших школярів.

Скласти методичні рекомендації для вирішення основних видів нестандартних завдань молодшими школярами.

Теоретична цінність і наукова новизна нашого дослідження полягають у тому, що в ньому докладно заброньований вивчення ролі нестандартних завдань як засобу розвитку математичного мислення учнів початкових класів.

Практична значимість результатів дослідження полягає в тому, що розроблена нами методика вирішення нестандартних завдань на уроках та в позаурочний час може бути використана вчителями початкових класів та студентами в період педпрактики.

Для вирішення поставлених завдань і перевірки вихідних припущень було використано комплекс взаємопов'язаних і доповнюючих один одного методів. З організаційних методів ми застосували порівняльний метод за допомогою поперечних зрізів. З емпіричних методів дослідження, що включають всі способи отримання наукових фактів, нами були використані спостереження, бесіда і опитування, метод експертної оцінки, аналіз продуктів діяльності вчителя та учнів.

Враховуючи загальний задум і логіку дослідження, його об'єктивні наукові результати узагальнені в дипломній роботі, складається з вступу, трьох розділів, висновків, списку основної використаної літератури, додатків.

Глава I. Теоретичні основи розвитку математичного мислення молодших школярів за допомогою нестандартних завдань

1.1 Особливості математичного мислення учнів початкових класів та можливості його розвитку на уроках

Під математичним розвитком дитини молодшого шкільного віку будемо розуміти цілеспрямоване і методично організоване формування і розвиток сукупності взаємопов'язаних основних (базових) властивостей і якостей математичного мислення дитини та її здібностей до математичного пізнання дійсності.

Мета математичного розвитку дітей - це стимуляція і розвиток математичного мислення (відповідних віку компонентів і якостей цього мислення).

Головним напрямком організації математичного розвитку є цілеспрямований розвиток конструктивного та просторового мислення.

Модель досліджуваного математичного поняття або відношення грає роль універсального засобу вивчення властивостей математичних об'єктів. При такому підході до формування початкових математичних уявлень враховується не тільки специфіка математики (науки, що вивчає кількісні та просторові характеристики реальних об'єктів і процесів), а й відбувається навчання дітей загальним способом діяльності з математичними моделями реальної дійсності і способом побудови цих моделей.

Будучи загальним прийомом вивчення дійсності, моделювання дозволяє ефективно формувати такі прийоми розумової діяльності як класифікація, порівняння, аналіз і синтез, узагальнення, абстрагування, індуктивні і дедуктивні способи міркувань, що в свою чергу стимулює в перспективі інтенсивний розвиток словесно-логічного мислення.

Таким чином, можна вважати, що даний підхід буде забезпечувати формування і розвиток математичного мислення дитини, а, отже, забезпечуватиме його математичний розвиток. (Белошістая А. В. Методика навчання математики в початковій школі: курс лекцій: Учеб.пособие для студентів вищих. Пед.учеб.заведеній.-М.: Гуманітарії. Вид. Центр ВЛАДОС, 2005 .- 455с.: Іл. - ( вузівську освіту) стор.43-47

Ефективність і якість навчання математики визначаються не тільки глибиною і міцністю оволодіння школярами системою математичних знань, умінь і навичок, передбачених програмою, а й рівнем їх математичного розвитку, ступенем підготовки до самостійного оволодіння знаннями. Таким чином, у школярів повинні бути сформовані певні якості мислення, тверді навички раціонального навчальної праці, розвинений пізнавальний інтерес. Тому, природно, що серед багатьох проблем вдосконалення навчання математики в початковій школі велике значення має проблема формування в учнів математичного мислення.

Накопичення знань відіграє в процесі навчання не малу, але аж ніяк не вирішальну роль. Людина може забути багато конкретні факти, на базі яких удосконалювалися його якості. Але якщо вони досягли високого рівня, то людина впорається з найскладнішими завданнями, а це і означає, що він досяг високого рівня мислення.

Тому практика шкільного навчання вимагає від вчителя проводити конкретну роботу щодо розвитку в учнів математичного мислення.

Математична освіта являє собою складний процес, основними цільовими компонентами якого є:

а) засвоєння школярами певними математичними вміннями і навичками;

б) оволодіння школярами певними математичними вміннями і навичками;

в) розвиток мислення учнів.

Ще не так давно вважалося, що успішна реалізація першої та другої з цих цілей математичної освіти автоматично спричинить за собою успішну реалізацію та третьої мети, тобто вважалося, що розвиток математичного мислення відбувається у процесі навчання математики стихійно. Зараз встановлено, що це дійсно розвиває математичне мислення, але лише трохи.

Тому сучасне навчання прагне зробити розвиток мислення школярів керованим процесом.

У сучасній психології мислення розуміється як соціально обумовлений, нерозривно пов'язаний з мовою психологічний процес пошуків і відкриття істотно нового, процес опосередкованого узагальненого відображення дійсності в ході її аналізу і синтезу. Мислення виникає на основі практичної діяльності з чуттєвого пізнання і далеко виходить за його межі.

Чим же відрізняється математичне мислення від характеристики, яка притаманна мислення взагалі?

Математичне мислення є одним з найважливіших компонентів процесу пізнавальної діяльності учнів, без цілеспрямованого розвитку якого неможливо досягти ефективних результатів у оволодінні школярами системою математичних знань, умінь і навичок. Формування математичного мислення молодших школярів передбачає цілеспрямований розвиток на предмет математики всіх якостей, притаманних природно-наукового мислення, комплексу розумових умінь, що лежать в основі методів наукового пізнання, в органічній єдності з формами прояву мислення, зумовленими специфікою самої математики, з постійним акцентом на розвиток науково -теоретичного мислення. (Л. П. Терентьєва Рішення нестандартних завдань Уч.пособие Ч.2002 стор.5)

Ось яку концепцію пропонує колектив авторів «Методики викладання математики в середній школі» (В. А. Оганесян, Ю. М. Колягін, Г. Л. Луканкін, В. Я. Соннінскій): «Під математичним мисленням будемо розуміти, по-перше , ту форму, в якій з'являється діалектичне мислення в процесі пізнання людиною конкретної науки математики або у процесі застосування математики в інших науках, техніці, народному господарстві і т.д., по-друге, ту специфіку, яка обумовлена самою природою математичної науки, що застосовуються нею методів пізнання явищ реальної дійсності, а також тими загальними прийомами мислення, які при цьому використовуються ».

Математичне мислення має свої специфічні риси й особливості, які обумовлені специфікою досліджуваних при цьому об'єктів, а також специфікою методів їхнього вивчення. Математичне мислення характеризують появою певних якостей мислення. До них відносяться: гнучкість, оригінальність, глибина, цілеспрямованість, раціональність, широта, активність, критичність, доказовість мислення, організованість пам'яті, чіткість і лаконічність мови і запису.

Гнучкість мислення виявляється в умінні змінювати способи вирішення завдання, виходити за межі звичного способу дії, знаходити нові способи вирішення проблем при зміні задаються умов. А. Ейнштейн вказував на гнучкість мислення як на характерну рису творчості.

Антиподом гнучкості мислення є шаблонність мислення. Це бажання слідувати відомій системі правил в процесі виконання завдання. Шаблонність мислення нерідко є наслідком «натаскування» учнів за певними видами типових завдань. Часто, наприклад, школярі починають вирішувати незнайому їм завдання тим способом, який їм «перший прийшов в голову». Саме на подолання цієї якості мислення спрямовані нестандартні задачі. Інша якість математичного мислення - активність Вона характеризується сталістю зусиль, спрямованих на вирішення деякої проблеми, бажанням обов'язково вирішити цю проблему, вивчити різні підходи до її вирішення.

Розвитку цієї якості в учнів сприяє розгляд різних способів вирішення однієї і тієї ж задачі.

Наступне якість - цілеспрямованість мислення, яка включає прагнення здійснювати розумний вибір дій при вирішенні будь-якої проблеми, а також прагненням до пошуку найліпших шляхів її вирішення.

Цілеспрямованість мислення дає можливість більш економічного вирішення багатьох завдань, які звичайним способом вирішуються якщо не складно, то занадто довго.

Така, наприклад, завдання про обчислення суми 1 +2 +3 + ... +97 +98 +99 +100. Поставивши метою спростити обчислення за допомогою застосування будь-яких законів складання, школяр без праці встановить відомий спосіб обчислення цієї суми: 1 +2 +3 + ... +97 +98 +99 +100 = (1 +99) + (2 +98) + ... + (49 +51) +5 +100 = 5050.

Цілеспрямованість мислення сприяє прояву раціональності мислення, яка характеризується схильністю до економії часу і засобів для виконання завдання, прагнення відшукати оптимально просте в даних умовах рішення, використовувати в ході вирішення схеми, умовні позначення.

Раціональність мислення часто виявляється при наявності широти мислення, яка характеризується, як здатність формувати узагальнені способи дій, що мають широкий діапазон перенесення і застосування до приватних, вміння охопити проблему в цілому, не втрачаючи при цьому мають значення деталей; узагальнити проблему, розширити область застосування результатів, отриманих в процесі її дозволу.

Ця якість мислення проявляється в готовності школярів взяти до уваги нові для них факти в процесі вже знайомій їм діяльності. Так, наприклад, вивчивши розподільний закон множення відносно додавання, записаний у формі а * (в + с) = ав + ас, учні виявлять широту мислення, якщо відразу зуміють застосувати цей закон в обчисленні: 2,5 * 73,7 + 26, 3 * 2,5.

Глибина мислення характеризується вмінням виявляти, сутність якого з досліджуваних фактів у їх взаємозв'язку з іншими фактами.

Відомо, що пізнання відбувається двояко: у свідомості відбивається не тільки сам об'єкт пізнання, але і його фон, який представляє сукупність пов'язаних з цим об'єктом різних властивостей його самого та інших, пов'язаних з ним об'єктів.

Процес відділення фону від самого об'єкта - складний процес. Величина фону залежить від умінь вивчити цей об'єкт в його істотних властивостях досить глибоко.

Таким чином, глибина мислення проявляється, насамперед, в умінні відділити головне від другорядного, виявити логічну структуру міркування, відокремити те, що строго доведено, від того, що прийнято «на віру». Глибина мислення особливо яскраво проявляється при вирішенні такого виду нестандартних завдань, як математичні софізми.

Усі розглянуті вище якості можуть розвинутися лише при наявності активності мислення, яка характеризується сталістю зусиль, спрямовані на рішення деякої задачі, бажанням обов'язково вирішити поставлену проблему, вивчити різні підходи до її вирішення, досліджувати різні варіанти постановки цієї проблеми в залежності від зміни умов.

Активність мислення в учнів проявляється також у бажанні розглянути різні способи вирішення однієї і тієї ж задачі, звернеться до дослідження отриманого результату.

Так, наприклад, учні виявлять певну активність мислення, якщо запитають вчителя: «Чому на нуль ділити не можна?».

Учитель буде сприяти розвитку у школярів активності мислення, якщо зуміє переконати їх у тому, що прийняте в математиці умову про неможливість поділу на нуль розумно. Справді, перевірка дії ділення множенням говорить про те, що при розподілі на нуль ми не отримуємо ніякого результату (нехай а = 0 і 0: 0 = n, де n - будь-яке число, тому що n * 0 = 0).

Якість мислення, протилежне даній якості, є пасивність мислення. Воно виникає в результаті формального засвоєння математичних знань.

У числі якостей математичного мислення важливе місце займає критичність мислення, яка характеризується вмінням оцінити правильність обраних шляхів вирішення поставленої проблеми, одержувані при цьому результати з точки зору їх достовірності, значимості.

У процесі навчання математиці це якість мислення проявляється схильністю до різного виду перевірок, грубим прикидками знайденого результату, а також до перевірки умовиводів, зроблених за допомогою індукції, аналогії і інтуїції.

Критичність мислення школярів проявляється також в умінні знайти і виправити власну помилку, простежити заново весь хід міркування, щоб натрапити на протиріччя.

З критичністю мислення тісно пов'язана доказовість мислення, що характеризується вмінням терпляче й скрупульозно ставитися до збирання фактів, достатніх для винесення якого-небудь судження; прагненням до обгрунтування кожного кроку розв'язання задачі, вмінням відрізняти результати достовірні від правдоподібних (розкривається при вирішенні математичних софізмів); розкривати справжню причинність зв'язку посилки і укладання.

Нарешті, до числа важливих якостей мислення відноситься організованість пам'яті. Пам'ять кожного школяра є необхідною ланкою в його пізнавальної діяльності, залежить від її характеру, цілей, мотивів і конкретного змісту.

Організованість пам'яті означає здатність до запам'ятовування, довготривалого збереження, швидкого і правильного відтворення основної навчальної інформації та впорядкованого досвіду.

Зрозуміло, що у навчанні математики слід розвивати у школярів як оперативну, так і довготривалу пам'ять; навчати їх запам'ятовування найбільш суттєвого, загальних методів і прийомів рішення задач; формувати вміння систематизувати свої знання і досвід.

Організованість пам'яті дає можливість дотримуватися принцип економії в мисленні. Тому недоцільно завантажувати пам'ять учнів непотрібною або незначною інформацією, не накопичувати у них досвід навчальної діяльності, марною для подальшого. Так, наприклад, до недавнього часу школярі «розучували» рішення типових текстових задач, не мають великого пізнавального значення; це дуже негативно позначалося і на розвитку їх пам'яті.

У процесі навчання математиці розвитку і зміцненню пам'яті школярів сприяють:

а) мотивація вивчення;

б) складання плану навчального матеріалу, який підлягає запам'ятовуванню;

в) широке використання в процесі запам'ятовування порівняння, аналогії, класифікації.

Всі перераховані якості математичного мислення сильно взаємопов'язані і виявляються у навчальній математичної діяльності школярів не ізольовано.

Специфіка математичного мислення проявляється не тільки в особливих якостях мислення, а й у тому, що для них характерні особливі форми мислення: конкретне, абстрактне, функціональне, інтуїтивне мислення.

Конкретне (предметне) мислення - це мислення в тісній взаємодії з конкретною моделлю об'єкта. Розрізняються дві форми конкретного мислення:

1) неоперативне (спостереження, чуттєве сприйняття);

2) оперативне (безпосередні дії з конкретною моделлю об'єкта).

Неоперативне, конкретне мислення найчастіше проявляється у дошкільнят і молодших школярів, які мислять лише наочними образами, сприймаючи світ лише на рівні уявлень. Те, що школярі на цьому рівні розвитку не володіють поняттями, яскраво ілюструється дослідами психологів школи Ж. Піаже. Розглянемо один з них.

Дітям демонструються дві посудини однакової форми і розмірів, що містять порівну темну рідину. Діти легко встановлюють рівність рідин в першому і другому посудині. Далі, на очах у дітей рідину з однієї судини переливають у інший більш високий і вузький та пропонують порівняти кількість рідини в цій посудині і залишився недоторканим. Діти стверджують, що в новому посудині рідини стало більше.

Справа в тому, що неоперативне мислення дітей ще безпосередньо і повністю підпорядковане їх сприйняття і тому вони поки не можуть відволіктися, абстрагуватися за допомогою понять від деяких найбільш кидаються в очі властивостей розглянутого предмета. Зокрема, думаючи про перший посудині, діти дивляться на новий посудину і їм видається, що рідина в ньому займає більше місця, ніж раніше, тому що рівень рідини став вище. Їх мислення, що протікає у формі наочних образів, призводить до висновку, слідуючи за сприйняттям, що рідина в судинах стало не порівну

Сам Піаже пояснює помилкові відповіді дітей відсутністю у них здібностей до особливих розумових операцій (сталість цілого, стійке ставлення частини до цілого), без формування яких неможливо оволодіння поняттям натурального числа.

Разом з тим Ж. Піаже стверджує, що оперативне конкретне мислення є більш дієвим для підготовки дітей до оволодіння абстрактними поняттями. Самостійна розумова діяльність виділяється саме в міру розвитку практичної діяльності, що лежить в основі розвивається психіки дитини.

Конкретне мислення відіграє велику роль в утворенні абстрактних понять, в конструюванні особливих властивостей математичного мислення, розвиток яких сприяє пізнанню математичних абстракцій.

Абстрактне мислення був із мисленнєвої операцією, званої абстрагуванням. Абстрагування має двоїстий характер: негативний (відволікаються від деяких сторін чи властивостей досліджуваного об'єкта) і позитивною (виділяють певні сторони чи властивості цього ж об'єкта, підлягають вивченню).

Тому, «абстрактним мисленням називають мислення, яке характеризується умінням подумки відволіктися від конкретного змісту досліджуваного об'єкта на користь його загальних властивостей, що підлягають вивченню» ¹

Абстрактне мислення може виявлятися в процесі вивчення математики:

а) в явному вигляді. Наприклад, розглядаючи в курсі геометрії поняття геометричного тіла, ми відволікаємося від всіх властивостей реальних тіл, крім форми, розмірів;

б) в неявному вигляді. Наприклад, при рахунку предметів конкретного безлічі ми неявно відволікаємося від властивостей кожного окремого предмета, вважаючи, що всі предмети однакові.

Абстрактне мислення можна підрозділити на:

аналітичне мислення;

логічне мислення;

просторове мислення.

Аналітичне мислення характеризується чіткістю окремих етапів в пізнанні, повним усвідомленням, як його змісту, так і вживаних операцій. Аналітичне мислення не виступає ізольовано від інших видів абстрактного мислення. Цей вид мислення тісно пов'язаний з розумовою операцією аналізу.

Логічне мислення характеризується умінням виводити наслідки з даних передумов, умінням визначатиму окремі випадки з деякого загального положення, умінням теоретично передбачати конкретні результати. Розвитку логічного мислення сприяє рішення логічних нестандартних завдань.

Просторове мислення характеризується умінням подумки конструювати просторові образи або схематичні конструкції досліджуваних об'єктів і виконувати над ними операції, що відповідають тим, які повинні були бути виконані над самими об'єктами.

З цим типом мислення тісно пов'язане здатність учнів виразити за допомогою схеми умова або рішенням текстовій завдання.

«Інтуїція - особливий спосіб пізнання, що характеризується безпосереднім осягненням істини. До області інтуїції прийнято відносити раптово знайдене рішення задачі, довго не піддавалася логічним зусиллям ».

Функціональне мислення, що характеризується усвідомленням динаміки загальних і приватних співвідношень між математичними об'єктами або їх властивостями, яскраво проявляється у зв'язку з вивченням функції. Сюди належить:

подання математичних об'єктів у русі, зміні;

підвищену увагу до прикладних аспектів математики, до причинно-наслідковим зв'язкам.

У психології до теперішнього часу широко поширені уявлення про вікові особливості математичного мислення школяра, що виходять з ранніх досліджень Ж. Піаже. На думку Піаже, дитина до 12 років мислить наочно-конкретним чином і тільки до 12 років стає здатним до абстрактного мислення. Але дослідження Д. Б. Ельконіна, В. В. Давидова, Л. В. Занкова, А. В. Скрипченко та інших показали, що при зміні змісту і методики викладання можливі серйозні зрушення особливостей розвитку математичного мислення в більш молодший вік.

Розглянемо вікові особливості математичного мислення учнів початкових класів.

Під впливом навчання в школі у дітей цього віку виникає здатність оглядати в конкретній математичної задачі її формальну структуру. Учнів вже у другому класі починають цікавити в задачі не просто окремі величини, а саме відносини величин. Якщо менш здібні учні сприймають окремі, конкретні елементи завдання, як не пов'язані один з одним, і відразу після читання завдання починають робити різні операції з усіма даними числами, не замислюючись над сенсом завдання і не намагаючись вичленувати основні відносини, то у більш здатних проявляється своєрідна потреба при сприйнятті умов завдання розкривати ці відносини, пов'язувати окремі показники і величини. Сильні учні часто не надають великого значення тому, про які конкретні предмети йдеться в задачі. Вони часом навіть плутають назви предметів, про які йдеться в задачі. Менш здібні учні тримаються за точну назву предметів. У задачі вони бачать не якісь математичні відносини, а лише конкретний перелік предметів, з якими потрібно щось робити. Менш здатні починають складати завдання предметного змісту («буду складати задачу про яблука»), а потім вже насилу вводимо відносини, більше здатні починають з відносин («буду складати завдання« більше - менше »»), а потім вже «опредмечівает їх» .

Вичленовуючи відносини, більш здібні й багато середніх учні починають диференціювати дані - виділяти саме ті, які необхідні для вирішення, усвідомлювати, яких величин бракує, які є зайвими.

Здатність до узагальнення математичного матеріалу як здатність вловлювати загальне в задачах і відповідно бачити різне в загальному починає складатися раніше всіх інших компонентів математичного мислення. У молодшому шкільному віці спостерігається такий вид узагальнення - руху від приватного до невідомого загального, тобто вміння підвести окремий випадок під загальне правило.

Гнучкість розумових процесів в ході пошуків інших рішень учні демонструють вже в 3 класі. Але в цьому віці є учні, менш здібні до математики, які насилу переключаються з однієї розумової операції на іншу, вони зазвичай дуже скуті спочатку знайденим способом вирішення, схильні до шаблонним і трафаретним ходів думки. У подібних випадках справа полягає в тому, що важко переключитися з простого на більш складний спосіб вирішення. Найчастіше важко переключитися і з більш важкого на більш легкий спосіб, якщо перший є звичним, знайомим, а другий - новим і незнайомим. Один спосіб розв'язання гальмується з іншим. У більш здатних до математики учнів ломка і перебудова сформованих способів мислення відбуваються швидше.

У молодшому шкільному віці вже проявляється тенденція до оцінки ряду можливих способів рішення і вибору з них найбільш ясного, простого та економного, найбільш раціонального рішення. Учні оцінюють різні рішення як «більш просте» і «більш складне», «краще» і «гірше» виходячи з кількості вироблених операцій.

Як же розвивається математичне мислення у школярів? Чи забезпечується математичний розвиток тренуванням у вирішенні типових завдань, які займають, як правило, значну частку шкільних математичних вправ?

Спробуємо відповісти на ці питання з точки зору психології. Припустимо, вивчена деяка група правил. Вивчення супроводжувалося рішенням тільки типових завдань, тобто таких завдань, вирішення яких грунтується переважно на застосуванні щойно вивченої теорії. Придбано знання, виробився навик в застосуванні цих знань до вирішення відповідних завдань, схожих на розв'язувані. У термінах психології: «в корі головного мозку утворився кущ асоціацій, або інакше - система асоціацій».

Покладемо, далі, що вивчення іншої групи теорем або правил супроводжувалося знову-таки рішенням тільки відносяться до неї типових завдань. Утворився новий «кущ асоціацій».

В результаті такого вивчення програми виробляється деяке різноманіття асоціацій в учнів, але це різноманіття носить «кущової» характер і не утворює цільної, єдиної «системи зв'язків». Якщо знання та навички учня носять «кущової» характер, то такий учень розвинений недостатньо, і рішення задач підвищеної труднощі йому недоступно.

Для успішного вирішення завдань підвищеної труднощі потрібна легкість переходу від асоціацій одного «куща» до асоціацій іншого, тобто, потрібні розвинені «межкустовие» або «міжсистемні асоціації». Так називають асоціації, що з'єднують окремі розділи програми, які об'єднують розрізнені кущі асоціацій в єдине ціле.

Якщо в практиці математичних вправ переважає розв'язання типових задач, то міцних міжсистемних асоціацій у учнів при цьому не утворюється; учні не помічають зв'язків між окремими знайомими їм теоремами або розділами програми, необхідних для вирішення скільки-небудь не трафаретних завдань.

Тільки систематична робота з розвитку міжсистемних асоціацій створює передумови для більш легкої вироблення нових міжсистемних асоціацій і водночас є одним з важливих процесів математичного розвитку школяра.

З цієї точки зору стає очевидним один істотний недолік шкільних задачників: дуже мало завдань, які передбачають взаємозв'язок між розділами курсу.

Такі вимоги психології, виконання яких сприяє розвитку математичного мислення школяра. Учитель початкових класів, природно, має враховувати їх в практиці організації уроку, домашнє завдання, а також в організації поза навчальних занять і дозвілля учнів. Він повинен не натаскувати дітей на різних таблицях додавання, віднімання, множення, на механічному запам'ятовуванні різних правил, а, перш за все, повинен привчати охоче і свідомо мислити. «Не треба мучити учнів довгі і нудні механічними обчисленнями і вправами. Коли вони знадобляться будь-кому в житті, він їх виконає сам, - так на це є всілякі обчислювальні машини », - так писав Є. І. Ігнатьєв ще на початку нашого століття.

Ще одна характерна особливість нестандартних математичних задач полягає в тому, що вони здатні викликати інтерес до результату рішення, а принадність отримання результату надихає на подолання труднощів процесу вирішення завдань і тим самим сприяє вихованню розумової активності. Захоплюючі вправи женуть геть інтелектуальну і вольову лінь, тренують мислення, виробляють звичку до розумової праці, потреба в ньому, виховують наполегливість у подоланні труднощів, викликають благотворно діє на організм радісне свідомість успіху в разі самостійно знайденого рішення.

Включаючи нестандартні завдання в арсенал розвиваючих засобів, вчитель набуває чудовий посібник не тільки для розумного заповнення дозвілля учнів, для гри, а й для щоденної розумової гімнастики.

1.2 Роль нестандартних завдань у розвитку математичного мислення молодших школярів

Рішення завдань є основним видом математичної діяльності учнів у школі.

Рішення задач - зовсім не привілей математики. Все людське пізнання є не що інше, як не припиняється процес постановки та вирішення все нових і нових завдань, питань, проблем.

Саме в ході вирішення математичних завдань самим природним способом можна формувати у школярів елементи творчого математичного мислення поряд з реалізацією безпосередніх цілей навчання математики. (Л. П. Терентьєва Рішення нестандартних завдань Уч.пособие Ч.2002 стор.6)

Традиційне навчання математиці має справу лише з завданнями, що формують у школярів певні операційні навички з даного образу-стандарту. Зустрічаючись ж з нестандартною завданням, учні часто не знають, як її вирішувати, не роблячи навіть спроб відшукати це рішення. І тільки участь у математичних олімпіадах, розуміння того факту, що нестандартна завдання не означає її недоступність для рішення; накопичення досвіду в загальних прийомах вирішення завдань дозволяє школярам вирішувати їх успішно.

Нестандартна завдання - це завдання, яке для даного учня не є відомою ланцюгом відомих дій. Тому поняття нестандартної задачі відносно. Успіх у вирішенні залежить не тільки від того, вирішувалися чи раніше подібні завдання, скільки від досвіду їх вирішення взагалі, від числа повністю розібраних рішень за допомогою вчителя з докладним аналізом всіх цікавих аспектів завдання. Невирішена задача підриває в учнів впевненість в своїх силах і негативно впливає на розвиток інтересу до вирішення завдань взагалі, тому вчитель повинен простежити за тим, щоб поставлені перед школярами нестандартні завдання були вирішені. Але разом з тим рішення нестандартних завдань за допомогою вчителя - це зовсім не те, чого варто домагатися. Мета постановки в школі нестандартних завдань - навчити школярів вирішувати їх самостійно.

Нестандартні завдання діляться на 2 категорії:

1 категорія. Завдання, що примикають до шкільного курсу математики, але підвищеної труднощі - типу завдань математичних олімпіад.

2 категорія. Завдання типу математичних розваг.

Перша категорія нестандартних завдань призначається в основному для школярів з визначеним інтересом до математики; тематично ці завдання зазвичай пов'язані з тим або іншим певним розділом шкільної програми. Відносяться сюди вправи поглиблюють навчальний матеріал, доповнюють і узагальнюють окремі положення шкільного курсу, розширюють математичний кругозір, розвивають навички у вирішенні складних завдань.

Друга категорія нестандартних завдань прямого відношення до шкільній програмі не має, і, як правило, не припускає великого математичної підготовки. Це не означає, однак, що в другу категорію завдань входять тільки легкі вправи. Тут є завдання з дуже важким рішенням і такі завдання, вирішення яких до цих пір не отримано.

«Нестандартні завдання, подані в захоплюючій формі, вносять емоційний момент в розумові заняття. Але пов'язані з необхідністю щоразу застосовувати для їх вирішення завчені правила і прийоми, вони вимагають мобілізації всіх накопичених знань, привчають до пошуків своєрідних, не шаблонних способів вирішення, збагачують мистецтво рішення красивими прикладами, змушують захоплюватися силою розуму ^»1.

До розглянутого типу завдань належать:

різноманітні числові ребуси і головоломки на кмітливість;

логічні завдання, вирішення яких не вимагає обчислень, але грунтується на побудові ланцюжка точних міркувань;

завдання, вирішення яких грунтується на поєднанні математичного розвитку та практичної кмітливості: зважування та переливання при скрутних умовах;

математичні софізми - це умисне, помилкове умовивід, яке має видимість правильного;

завдання-жарти;

комбінаторні задачі, в яких розглядаються різні комбінації із заданих об'єктів, що задовольняють певним умовам.

Проводячи дослідно-експериментальну роботу протягом 4 років з одним і тим же континентом учнів, у нас з'явилася можливість простежити тенденцію розвитку здібностей до вирішення нестандартних завдань визначених видів. Ця тенденція наочно демонструється в таблиці 1.

Таблиця 1.

Вирішили вірно (у%)

Вид завдання

1класс

4класс

Логічні

Ребуси, головоломки

Зважування, переливання

Софізми

Завдання-жарти

Комбінаторні

У середньому

З цієї таблиці можна зробити висновок про те, що учні оволоділи на високому рівні прийомами вирішення логічних завдань і задач-жартів. У той же час спостерігаються дуже низькі результати вирішення математичних софізмів, що говорить про недостатню сформованості таких якостей мислення, як гнучкість і критичність і, можливо, ще про те, що дітям цього віку поки не доступно рішення задач подібної складності. Не дуже високі дані про вірного рішення головоломок, задач на вимірі (зважування, переливання) свідчать не про невміння вирішувати ці нестандартні задачі, а про те, що на їх рішення потрібно затратити дитині більше часу, але такими можливостями має не всякий урок математики, тому число учнів, досягало від 2 до 12 осіб. Підсумки вирішення подібних завдань будинку під час виконання домашнього завдання, ми визнали недостатньо достовірними і тому не включили ці дані в загальний результат.

Але все ж спостерігається загальна тенденція до підвищення рівня математичного мислення школярів, оволодіння ними основними способами вирішення нестандартних завдань різних видів, що свідчить про підтвердження нашої гіпотези про те, що нестандартні задачі розвивають математичне мислення в цілому.

Глава 2. Методика застосування нестандартних завдань у розвитку математичного мислення молодших школярів

2.1 Логічні задачі як засіб розвитку математичного мислення

Під логічними задачами звичайно розуміють такі завдання, які вирішуються за допомогою одних лише логічних операцій. Логічні завдання можуть вирішуватися фактично і фактично вирішуються звичайними міркуваннями. Іноді вирішення їх вимагає тривалих міркувань, необхідний напрям яких заздалегідь не можна передбачити. Ці труднощі долаються, якщо для вирішення цих завдань використовувати апарат алгебри, висловлювань. Правда, в цьому випадку виникають інші труднощі, пов'язані з переведенням умов завдань на мову алгебри висловлювань і з використанням апарату цієї алгебри. Уміння вирішувати завдання засобами звичайної алгебри (складання і рішення рівнянь) допомагає їм долати ці труднощі. (Л. П. Терентьєва Рішення нестандартних завдань Уч.пособие Ч.2002 стор.12)

«Логічне мислення при вирішенні завдань виявляється в тому, що дитина співвідносить судження про предмети, відволікаючись від особливостей їх наочних образів, міркує, робить висновки. Уміння мислити логічно, зіставляти судження за правилами - необхідна умова засвоєння навчального матеріалу ^»1.

Сучасні дослідження показали, що саме в початковій школі закладаються основи доказового мислення. На даному етапі шкільного навчання головна мета роботи полягає в тому, щоб діти навчилися робити висновки з тих суджень, які пропонуються їм як вихідних, щоб вони змогли обмежитися змістом цих суджень, не залучаючи інших знань. Деякі діти, наприклад, розмірковуючи про те, хто з хлопців найсильніший, якщо Вова сильніше Марини, а Марина слабкіше Каті, роблять висновок, що Вова сильніше за всіх, тому що хлопчики завжди сильніше дівчаток.

Розвитку логічного мислення можуть сприяти такі завдання.

Завдання. Було три фігурки: трикутник, коло і квадрат (вчитель одночасно зображує це в лівій частині дошки). Кожна з них жила в одному з трьох будинків: перший будиночок був з високим дахом і маленьким вікном, другий з високим дахом і великим вікном, третій з низьким дахом і великим вікном (кажучи це, вчитель малює будиночки).

Трикутник і коло жили в будиночках з великим вікном, а коло і квадрат в будиночках з високим дахом (у міру оповідання вчитель дає схематичне зображення цих суджень праворуч від їх зображення будиночків). Потрібно відгадати, в якому будиночку живе кожна фігурка (зображення питання завдання ще правіше).

Розбір задачі здійснюється за допомогою наступних питань.

Що нам відомо про фігурки? (Нам відомо, що трикутник і коло живуть в будиночках з великим вікном, а коло і квадрат в будиночках з високим дахом).

Про яку фігурку відомо найбільше? (Про круг).

Що відомо? (Відомо, що коло живе в будиночку з високим дахом і з великим вікном).

Чи є у нас такий будиночок? Так, це будиночок 2. Напишемо цифру 2 у відповідь поруч з колом.

Що тепер можна дізнатися? (Можна дізнатися, де живе трикутник. Він живе в будиночку 3). Чому? (Тому що в задачі сказано, що трикутник живе в будиночку з великим вікном. А так як в одному такому будиночку живе коло, то в іншому живе трикутник). Напишемо у відповіді поруч з трикутником цифру 3.

А де живе квадрат? (Квадрат живе у будиночку 1, тому що цей будиночок залишився вільним). Напишемо у відповіді поруч з квадратом цифру 1.

Рішення більшості логічних завдань можна підпорядкувати таким планом:

виділити в умові те, що відноситься до судження про пари предметів;

визначити предмет, про який відомо найбільше;

зробити висновок про цей предмет;

зробити висновки про інших предметах.

У тих випадках, коли діти зазнають труднощів при вирішенні логічних завдань, з ними потрібно проводити роботу на матеріалі спрощених завдань. Так, спочатку потрібно запропонувати завдання, на матеріалі якої можна чітко уявити сенс міркування при виборі ознак предметів.

Наприклад: Було дві фігурки: коло і квадрат і два будиночки з вікном. Коло жив у будиночку з вікном, квадрат жив у будиночку 2. Де жив коло?

На матеріалі задач такого типу дитина вчиться вирішувати більш складні завдання, а головне - робити альтернативний висновок, який виступає важливою ланкою в міркуванні при вирішенні логічних завдань.

Після вирішення завдань на логічне мислення з опорою на наочно представлене умова доцільно проводити роботу тільки з текстовою частиною умов цих завдань (тобто без зображення суджень), щоб діти практикувалися міркувати. Поряд з цим корисно також пропонувати дітям самостійно складати подібні завдання. Тут можливі два етапи. На першому етапі вчитель пропонує дві ланки умови, де йдеться про предмети та їх ознаки, а судження, що характеризують зв'язку предметів і ознак, діти вигадують самі. На другому етапі діти самі складають всю задачу.

Особливо подобаються учням початкових класів логічні задачі з казковим сюжетом. Будучи цікавим за формою, вони підсилюють інтерес до самої задачі, спонукають дитину вирішувати проблему, викликають бажання допомогти улюбленим героям. Краса рішення, несподіваний поворот думки, логіка міркувань, все це підсилює емоційне сприйняття дітей.

Дуже важливо підібрати посильні для учнів завдання, відповідні їх можливостям, розвитку. Корисно і дати перший поштовх для спонукання дитини зайнятися рішенням, а потім посилити його опірність перед встають труднощами. Адже часто буває, що навіть здібний учень не хоче просто прочитати завдання, не те що вирішувати її, а тому доцільно використовувати зовнішню цікавість текстів. Мета може бути досягнута, якщо умова завдання буде схоже на казку.

Здавалося б, казка і математика - поняття несумісні. Свіжий казковий образ і суха абстрактна думка! Однак нерідко саме така форма дозволяє вдало ввести дітей у світ математики, причому за посередництвом захоплюючих ситуацій. Таке поєднання сприятливо для навчання, оскільки через казкові елементи вчитель може знайти шлях до сфери емоцій дитини. Бажання допомогти потрапив у біду улюбленому герою, прагнення розібратися в казковій ситуації - все це стимулює розумову діяльність дитини.

У той же час важлива і зворотний зв'язок: у ряді випадків зустріч з казковими героями в світі математики спонукає учня ще раз прочитати літературний твір, поміркувати, глибше заглянути в нього.

При складанні завдань треба домагатися, щоб поведінка казкових героїв відповідало духу самої казки: боротьба за справедливість Івана-царевича і підступність Кащея Безсмертного, вірність дружбі безжурного Буратіно і бажання поживитися за чужий рахунок лисиці Аліси та кота Базиліо і т.д. Симпатії дітей на стороні позитивних героїв. Ласкаво торжествує, зло покаране, негативні якості висміюються. Казки та через завдання продовжують виховувати дітей.

Умови завдання з казковими сюжетами в багатьох випадках громіздкі. Обрана форма казки тягне за собою відносно великий її обсяг - адже при складанні завдання доводиться слідувати літературному тексту казки. Зате в такому випадку діти з великим задоволенням читають умову, вникають в його зміст - а робота з текстом є суттєвою частиною психологічної підготовки школяра до вирішення завдання.

Щоб не бути голослівним, наведемо приклад такого завдання.

Іван проти Кащея Безсмертного.

Допоможу тобі, Іване, визволити Василину Прекрасну, - сказала Баба Яга.

До душі ти мені припав. Та й від Кащеєва підступності багато я страждала, вже дуже хочеться його провчити.

Ось тобі, Іване, клубок. Призведе він тебе прямо до Кащею Безсмертному. В одній з них нудиться Василиса Прекрасна, в інший перебуває Змій Горинич, а третя темниця - порожня. Врахуй, що всі написи на дверях темниці невірні.

Кинув Іван клубок на землю. Покотився клубок, а Іван - за ним. Довго чи коротко, він дійшов до Кащея Безсмертного. Зажадав Іван у нього Василину Прекрасну.

Повів Кащей Івана в підземеллі. Показав там три в'язниці, на дверях яких написано:

темниця 1 - "Тут Василиса Прекрасна»;

темниця 2 - «Темниця 3 не порожня»;

темниця 3 - «Тут Змій Горинич».

Відпущу, Іван, з тобою Василину Прекрасну, якщо вгадаєш, в якій вона темниці. Покажеш на двері, за якими Змій Горинич, - бути тобі їм роздертим. Покажеш на порожню темницю - бути тобі в ній в'язнем до кінця днів своїх.

Задумався Іван ... Хлопці, порадьте Івану, на які двері показати.

Відповідь. Василиса Прекрасна в 2 темниці.

Напис на двері в'язниці 2 невірна, тобто темниця 3 порожніх. Значить, 1 і 2 темниці не порожні. Напис на двері 1 темниці теж невірна. Значить, там Змій Горинич. Тоді в 2 темниці Василиса Прекрасна.

Логічні завдання є до того ж хорошим індикатором математичних здібностей саме тому, що не вимагають ніяких математичних знань і вмінь, окрім елементарних. Тому спочатку логічні завдання доступні вже першокласникам, вчителю лише необхідно зацікавити рішенням завдання, надати їй цікавість.

Доступність логічного завдання не означає легкість її рішення. Щоб її вирішити, потрібно докласти значні розумові зусилля. І тим вагомішим буде з точки зору самооцінки учнів її правильне рішення.

Таким чином, логічні завдання є прекрасним засобом розвитку математичного мислення. Вони розвивають вміння логічно міркувати, виводити одне з іншого, підвищують активність думки.

Рішення нестандартних завдань складанням рівняння.

Для цього необхідно:

провести розбір завдання з метою вибору основного невідомого та виявлення залежності між величинами, а також вираження цих залежностей на математичній мові у формі двох алгебраїчних виразів;

знайти підставу для з'єднання цих висловів знаком «=» і скласти рівняння;

знайти рішення отриманого рівняння, організувати перевірку рішень рівняння.

Всі ці етапи виконання завдання логічно пов'язані між собою. Наприклад, про пошуки підстави для з'єднання двох алгебраїчних виразів знаком рівності ми згадуємо як про особливе етапі, але ясно, що на попередньому етапі зазначені висловлювання утворюються не довільно, а з урахуванням можливості поєднати їх знаком «=».

Як виявлення залежностей між величинами, так і переклад цих залежностей на математичну мову вимагає напруженої аналітико-синтетичної розумової діяльності. Успіх у цій діяльності залежить, зокрема від того, чи знають учні, в яких відносинах взагалі можуть знаходитися ці величини, і чи розуміють вони реальний зміст цих відносин (наприклад, відносин, виражених термінами «пізніше на ...», «старше в ... раз »і т.п.). Далі потрібно розуміння, яким саме математичним дією або, властивістю дії або який зв'язком (залежністю) між компонентами і результатом дії може бути описано те чи інше конкретне відношення.

Наведемо приклад оформлення записи розбору нестандартної задачі, розв'язуваної складанням рівняння.

Завдання. Рибак зловив рибу. Коли у нього запитали: «Яка її маса?», Він відповів: «Маса хвоста - 1кг, маса голови така ж, як маса хвоста і половини тулуба. А маса тулуба така, як маса голови і хвоста разом ». Яка маса риби?

х кг - маса тулуба;

(1 +1 / 2х) кг - маса голови;

Оскільки за умовою маса тулуба дорівнює сумі мас голови і хвоста, складаємо рівняння:

Х = 1 +1 / 2х +1

Х - 1/2х = 2

Х / 2 = 2

Х = 4

4 кг - маса тулуба;

1 +1 / 2 * 4 = 3 (кг) - маса голови;

3 +4 +1 = 8 (кг) - маса всієї риби;

Відповідь: 8 кг.

Чисельне рішення нестандартних завдань можна отримати графічним способом. Цей метод наочний і досить простий. Розглянемо методику його проведення на конкретному прикладі.

Завдання. У двох рибалок запитали: «Скільки риби в ваших кошиках?»

«У моїй кошику половина того, що в кошику у нього, та ще 10», - відповів перший.

«А у мене в кошику стільки, скільки у нього, та ще 20», - підрахував другий.

Я порахував, а тепер порахуйте ви.

Рішення:

Скільки риби в кошик Перша рибалки? Як позначимо цю умову на кресленні?

Зазначимо на кресленні, скільки риби було у 2 рибалок.

Чи можемо ми дізнатися, скільки риби становить половину кошика 2 рибалок? Звідки це випливає?

Скільки всього було риби у 2 рибалок? А скільки у 1 рибалки?

Способи вирішення комбінаторних задач.

Включення комбінаторних задач в початковий курс математики надає позитивний вплив на розвиток молодших школярів. «Цілеспрямоване навчання рішенню комбінаторних задач сприяє розвитку такої якості математичного мислення, як варіативність. Під варіативністю мислення ми розуміємо спрямованість розумової діяльності учня на пошук різних рішень завдання у випадку, коли немає спеціальних вказівок на це ».

Комбінаторні задачі можна вирішувати різними методами. Умовно ці методи можна розділити на «формальні» і «неформальні». При «формальному» методі рішення потрібно визначити характер вибору, вибрати відповідну формулу або комбінаторне правило (існують правила суми і твори), підставити числа і обчислити результат. Результат - це кількість можливих варіантів, самі ж варіанти у цьому випадку не утворюються.

При «неформальному» ж методі рішення на перший план виходить сам процес складання різних варіантів ... І головне вже не скільки, а які варіанти можуть вийти. До таких методів відноситься метод перебору. Цей метод не тільки доступний молодшим школярам, але і дозволяє накопичувати досвід практичного вирішення комбінаторних завдань, що служить основою для введення надалі комбінаторних принципів і формул. Крім того, в житті людині доводиться не тільки визначати число можливих варіантів, але і безпосередньо складати всі ці варіанти, а, володіючи прийомами систематичного перебору, це можна зробити більш раціонально.

Завдання по складності здійснення перебору діляться на три групи:

Завдання, в яких потрібно провести повний перебір всіх можливих варіантів.

Завдання, в яких використовувати прийом повного перебору не доцільно і потрібно відразу виключити деякі варіанти, не розглядаючи їх (тобто здійснити скорочений перебір).

Завдання, в яких операція перебору проводиться кілька разів і по відношенню до різного роду об'єктів.

Наведемо відповідні приклади завдань:

Розставляючи знаки «+» і «-« між даними числами 9 ... 2 ... 4, склади всі можливі вираження.

Проводиться повний перебір варіантів:

два знаки у виразі можуть бути однаковими, тоді отримуємо 9 +2 +4, 9-2-4;

два знаки можуть бути різними, тоді отримуємо 9 +2-4, 9-2 +4.

Учитель каже, що він намалював в ряд 4 фігури: великий і маленький квадрати, великий і маленький кола так, що на першому місці знаходиться коло і однакові за формою фігури не стоять поруч, і пропонує учням відгадати, в якій послідовності розставлені ці фігури.

Всього існує 24 різних розташування цих фігур. І складати їх усі, а потім вибирати відповідні даній умові не доцільно, тому проводиться скорочений перебір.

На першому місці може стояти велике коло, тоді маленький може бути тільки на третьому місці, при цьому великий і маленький квадрати можна поставити двома способами - на друге і четверте місце.

Аналогічне міркування проводиться, якщо на першому місці стоїть маленьке коло, і також складаються два варіанти.

Три компаньйона однієї фірми зберігають цінні папери в сейфі, на якому 3 Замку. Компаньйони хочуть розподілити між собою ключі від замків так, щоб сейф міг відкриватися тільки у присутності хоча б двох компаньйонів, але не одного. Як це можна зробити?

Спочатку перебираються всі можливі випадки розподілу ключів. Кожному компаньйонові можна дати по одному ключу або по два різних ключі, або по три.

Припустимо, що у кожного компаньйона по три різних ключі. Тоді сейф зможе відкрити один компаньйон, а це не відповідає умові.

Припустимо, що у кожного компаньйона по одному ключу. Тоді, якщо прийдуть двоє з них, то вони не зможуть відкрити сейф.

Дамо кожному компаньйонові по два різних ключі. Першому - 1 і 2 ключі, другому - 1 і 3 ключі, третьому - 2 і 3 ключі. Перевіримо, коли прийдуть будь-які два компаньйона, чи зможуть вони відкрити сейф.

Можуть прийти перший і другий компаньйони, у них будуть всі ключі (1 і 2, 1 і 3). Можуть прийти перший і третій компаньйони, у них також будуть всі ключі (1 і 2, 2 і 3). Нарешті, можуть прийти другий і третій компаньйони, у них теж будуть всі ключі (1 і 3, 2 і 3).

Таким чином, щоб знайти відповідь у цій задачі, потрібно виконати операцію перебору кілька разів.

«При відборі комбінаторних задач потрібно звертати увагу на тематику і форму представлення цих завдань. Ми намагалися, щоб завдання не виглядали штучним, а були зрозумілі і цікаві дітям, викликали в них позитивні емоції. Бажано, для складання задач використовувати практичний матеріал з життя ».

Способи вирішення математичних софізмів.

Софізм - доказ помилкового твердження, причому помилка в доказі майстерно замаскована. Софізм в перекладі з грецького означає хитромудру вигадку, хитрощі, головоломку.

Помилки, допущені в софізм звичайно зводяться до наступних: виконанню «заборонених» дій, використання помилкових креслень, невірного вживання слів, неточності формулювань, «незаконним» узагальнень, неправильним застосуванням теорем.

Розкрити софізм - це, значить, вказати помилку в міркуванні, грунтуючись на якій була створена зовнішня видимість докази.

Розбір софізмів, перш за все, розвиває логічне мислення, прищеплює навички правильного мислення.

Виявити помилку в софізм - це, значить, усвідомити її, а усвідомлення помилки попереджає від повторення її в інших математичних міркуваннях.

Крім критичності математичного мислення цей вид нестандартних завдань виявляє гнучкість мислення. Чи зуміє учень «вирватися з лещат» цього строго логічного на перший погляд шляху, розірвати ланцюг умовиводів у тому самому ланці, яке є помилковим і робить помилковим всі подальші міркування?

Розбір софізмів допомагає також свідомому засвоєнню досліджуваного матеріалу, розвиває спостережливість і критичне ставлення до того, що вивчається.

Ось, наприклад, софізм з неправильним застосуванням теореми.

Доведемо, що 2 * 2 = 5.

Візьмемо як вихідного співвідношення наступне очевидне рівність:

4:4 = 5:5 (1)

Перепишемо його у такому вигляді:

1 * (1:1) = 5 * (1:1) (2)

Числа в дужках рівні, значить, 4 = 5 або 2 * 2 = 5.

Рішення: у міркуванні при переході від рівності (1) до рівності (2) створена ілюзія правдоподібності на основі неправдивої аналогією з розподільним властивістю множення щодо складання.

Або інший софізм з використанням «незаконних» узагальнення.

Є дві сім'ї - Іванових і Петрових. Кожна складається з 3 чоловік - батька, матері і сина. Батько Іванов не знає батька Петрова. Мати Іванова не знає матері Петрової. Єдиний син Іванових не знає єдиного сина Петрових. Висновок: жоден член сім'ї Іванових не знає жодного члена сім'ї Петрових. Чи правда це?

Рішення: якщо член сім'ї Іванових не знає рівного собі за сімейним статусом члена сім'ї Петрових, то це не означає, що він не знає всю сім'ю. Наприклад, батько Іванов може знати матір і сина Петрових (як зауважив учень експериментального класу Морозов Саша).

Хоча загальних правил для вирішення нестандартних завдань немає (за цим ці завдання і називаються нестандартними), проте ми постаралися дати ряд загальних вказівок - рекомендацій, якими слід керуватися при вирішенні нестандартних завдань різних видів.

Математичні ребуси, кросворди, шаради

Ребус - це загадка, але загадка не зовсім звичайна. Слова і числа в математичних ребусах зображені за допомогою малюнків, зірочок, цифр і різних знаків. Щоб прочитати те, що зашифровано в ребусі, треба правильно назвати всі зображені предмети і зрозуміти, який знак що зображує. Ребусами люди користувалися ще тоді, коли не вміли писати. Свої листи вони складали з предметів. Наприклад, вожді одного племені послали одного разу своїм сусідам замість листа птаха, мишу, жабу і п'ять стріл. Це означало: «Чи вмієте літати як птахи і ховатися в землі як миша, стрибати по болотах як жаби? Якщо не вмієте, то не пробуйте воювати з нами. Ми осипам вас стрілами, як тільки ви вступите в нашу країну ».

Числові ребуси - це приклади, в яких всі або деякі цифри замінені зірочками або буквами. При цьому однакові літери замінені зірочками або буквами. При цьому однакові літери замінюють однакові цифри, різні літери - різні цифри. (Л. П. Терентьєва Рішення нестандартних завдань Уч.пособие Ч.2002 стор.19)

2.3 Зміст і організація дослідно-експериментальної роботи

У ході дослідницької роботи нами були висунуті наступні завдання:

визначити можливості нестандартних завдань в процесі розвитку математичного мислення молодших школярів;

вивчити, як використовуються подібні завдання в практиці роботи вчителів;

розробити на основі досвіду роботи передових вчителів методику навчання учнів пошукової діяльності при вирішенні нестандартних завдань.

Керуючись переліченими завданнями, наше дослідження проходило в кілька етапів.

Перший етап був присвячений вивченню психолого-педагогічної, математичної, методичної літератури з даної теми з метою порівняння можливостей нестандартних і типових завдань як засіб розвитку математичного мислення.

На другому етапі аналізувався досвід вчителів МОУ «Смишляевская ЗОШ № 3» Волзького району Самарської області щодо практичного застосування нестандартних завдань на уроках математики в початкових класах.

На третьому етапі проводилася розробка та апробація методики навчання учнів рішенню нестандартних завдань.

У них накопичено певний досвід у складанні та використанні мініатюрних книг по цікавій математиці. Першу з них - «Десять завдань» - можна було зробити з матеріалу книги В. Н. Русанова

«Математичні олімпіади молодших школярів». Експеримент виявився плідним. Коли стали збирати і складати свої книги, то деякі з них мали вкладиші, з яких можна було зробити міні-книги. Так з «математичних скриньок» з'явилися книжечки: «Подарунок для кмітливих», «Ласощі для розуму» і ін

Такі книги призначені для захоплюючої самостійної роботи індивідуального характеру. Ось чому вони забезпечені відповідями до завдань, рішень та вказівок до них.

Книги з цієї серії використовуються у фронтальній позакласній роботі, наприклад. На заняттях гуртка, присвячених знайомству з математичною літературою.

У практиці сучасного навчання математики на вирішення завдань відводиться велика частина часу як на уроках, так і при виконанні школярами домашніх завдань. Але через використання тільки типових завдань цей навчальний час використовується неефективно, що негативно позначається на якості навчання математики в цілому.

Відомий педагог-математик Д. Пойа так висловився з цього приводу: «Що означає володіння математикою? Це є вміння розв'язувати задачі, причому не лише стандартні, а й вимагають відомої незалежності мислення, здоровим глуздом, оригінальності, винахідливості ».

Загальновизнана зв'язок мислення та процесу рішення задач: «мислення психологічно виступає як діяльність з вирішення завдань». І хоча мислення не ототожнюється процесу вирішення задачі, можна стверджувати, що формування мислення найефективніше здійснюється через рішення задач. Враховуючи, що «завдання - це осіло, на якому відточується, шліфується думку дитини, думка пов'язана, послідовна, доказова», в ході вирішення математичної задачі можна формувати у школярів елементи творчого математичного мислення разом з реалізації основних цілей навчання математики. Але здійснити це можна в тому випадку, якщо в шкільному курсі математики міститиметься методична система нестандартних завдань, процес вирішення яких формує в учнів пізнавальний інтерес, і самостійність, розвиває математичні здібності.

Для цього часу характерна тенденція до підвищення ролі проблемного навчання, тому рішення нестандартних завдань займає все більш провідне місце в навчанні математики, в якому основний акцент ставиться на самостійне і творче засвоєння школярами навчального матеріалу, на формування їх математичного розвитку.

Такий величезний і ще до кінця не вивчений потенціал нестандартних завдань вже використовується багатьма вчителями МОУ «Смишляевская ЗОШ № 3» Волзького району Самарської області. Але найчастіше у своїй діяльності вони застосовують логічні завдання і завдання-жарти не помічаючи розвиваючих властивостей інших видів нестандартних завдань: числових ребусів, головоломок на кмітливість, завдань на зважування та переливання, математичних софізмів, комбінаторних задач.

Однією з особливостей нестандартних завдань є те, що в їх вирішенні не можна «натискати» учнів, завчити з ними послідовність операцій, яка лежить в основі вирішення певних видів нестандартних завдань, що не виключається при вирішенні задач типових. Кожна нестандартна завдання оригінальна і неповторна у своєму рішенні. У зв'язку з цим розроблена нами методика навчання пошукової діяльності при вирішенні нестандартних завдань не формує навички вирішення нестандартних завдань, мова може йти лише про відпрацювання певних умінь:

вміння розуміти задачу, виділяти головні (опорні) слова;

вміння виявляти умова і питання, відоме і невідоме в задачі;

вміння знаходити зв'язок між даними і потрібним, тобто проводити аналіз тексту завдання, результатом якого є вибір арифметичної дії або логічної операції для вирішення нестандартної задачі;

вміння записувати хід рішення і відповідь завдання;

вміння проводити додаткову роботу над завданням;

вміння відбирати корисну інформацію, що міститься в самій задачі, в процесі її вирішення, систематизувати цю інформацію, співвідносячи з уже наявними знаннями.

Сформованість в учнів цих умінь забезпечує їх продуктивну роботу в ході вирішення нестандартних завдань і тим самим впливає на розвиток рівня математичного мислення.

«Рівень мислення - це складне поняття, що включає певний рівень спільності, абстракції і строгості обгрунтування і досліджуваного матеріалу, певні логічні структури».

А. А. Столяр виділив рівні математичного мислення.

1 рівень. Число невіддільне від безлічі конкретних предметів, яке воно характеризує, а операції проводяться безпосередньо над множинами предметів.

2 рівень. Числа визначені від конкретних об'єктів, які вони характеризують, при цьому оперують з числами, записаними в певній системі числення, а властивості операцій встановлюються індуктивно.

3 рівень. Перехід від конкретних чисел, які висловлюються цифрами, до абстрактних буквеним виразами. Здійснюється «локальне» логічне впорядкування властивостей чисел і операцій.

4 рівень. З'ясовується, можливість дедуктивного побудови всієї математики.

5 рівень. Відволікаються від конкретної природи об'єктів обчислення, від конкретного сенсу операцій і будують математику як абстрактну дедуктивну систему.

Раніше вважалося, що учням початкових класів доступні тільки два перші рівня розвитку математичного мислення. Але сучасні дослідження показали, що «діти цього віку мають значно ширшими можливостями в засвоєнні знань, ніж це передбачалося раніше, що у них можна сформувати більш високий рівень абстракції і узагальнення, ніж той, на який орієнтується традиційне викладання» ^1.

Отже, традиційні форми навчання не в змозі підняти математичне мислення молодших школярів на більш високий рівень. Як же вирішує цю проблему нетрадиційне навчання? Які властивості математичного мислення розвиває рішення нестандартних завдань?

По-перше, розвивається гнучкість мислення. Учень навчається орієнтуватися в нових умовах, перебудовувати систему засвоєних знань. Наприклад, необхідна гнучкість мислення при вирішенні наступного завдання: «У кімнаті чотири кути. У кожному кутку сидить кішка. Навпаки кожної кішки по три кішки. На хвості кожної кішки по одній кішці. Скільки ж усього кішок у кімнаті? ».

Учень, який мислить мляво та шаблонно буде обчислювати так: 4 кішки в кутах, по 3 кішки проти кожної - це ще 12 кішок, та на хвості кожної кішки по кішці, значить, ще 16 кішок. Всього 32 кішки. Виходить, що поки думка рухається у звичній колії, рішення буде неправильним.

Впливають нестандартні задачі і на глибину мислення, тобто на вміння виділяти суттєве в задачі, її приховані особливості.

Щоб вирішити таку задачу: Дідусь Колі святкує кожен свій день народження. У 1988 році він відсвяткував 17-й раз день свого народження. Коли народився дідусь Колі? - Потрібно здогадатися, що дідусь народився 29 лютого високосного року і лише потім виконувати обчислення.

У ході вирішення нестандартних завдань формується раціональність мислення, тому що сама умова нестандартної задачі змушує шукати оптимально просте рішення. Ось таке завдання: На сковороді поміщається 2 шматочки хліба. На підсмажування шматочка з одного боку потрібно 1 хвилина. Як підсмажити за 3 хвилини три шматочки хліба з обох сторін?

Нестандартні завдання розвивають просторове мислення, яке виражається у здатності відтворювати в розумі просторові образи об'єктів і виконувати над ними операції. Просторове мислення проявляється при вирішенні завдань типу: Зверху на кромці круглого торта поставили 5 точок з крему на однаковій відстані один від одного. Через всі пари точок зробили розрізи. Скільки всього вийшло шматочків торта?

Логічне мислення, а це вміння виводити наслідки з посилок, яке вкрай необхідне для успішного оволодіння математикою, активізується при вирішенні логічних завдань. Ось одна з них: Кажуть, що Тортіла віддала золотий ключик Буратіно не так просто, як розповів А. Н. Толстой, а зовсім інакше. Вона винесла три коробочки: червону, синю і зелену. На червоній коробочці було написано: «Тут лежить золотий ключик», а на синій - «Зелена коробочка порожня», а на зеленій - «Тут сидить змія».

Тортіла прочитала написи і сказала: «Дійсно в одній коробочці лежить золотий ключик, в іншій - змія, а третя - порожня, але всі написи невірні. Якщо відгадаєш, в якій коробочці лежить золотий ключик, він твій ». Де лежить золотий ключик?

За чотири роки експериментальної роботи нами були вивчені здібності школярів різного віку і рівнів підготовки до вирішення нестандартних завдань (з 1 по 4 класи). Можна з упевненістю зробити наступний висновок: дітям, починаючи з 6 років вже є рішення нестандартних завдань, звичайно, трохи спрощених. У першому класі краще сприймаються учнями завдання-жарти. Наприклад: На груші росло 10 груш, а на вербі на 2 менше. Скільки груш росло на вербі?

Але не слід вважати, що такі завдання носять лише розважальний характер, незважаючи на свою цікавість, вони ще й розвивають гнучкість мислення, увага, пам'ять.

Крім задач-жартів у першому класі можна вводити і інші види нестандартних завдань, але трохи спрощені приміром, комбінаторні завдання: Розставити знаки «+» і «-« між числами 9 ... 2 ... 4 і скласти всі можливі співвідношення. Або логічні задачі типу: Хлопці кидали м'яч. Володя кинув далі Діми, а Сергій - ближче Діми. Хто кинув м'яч далі - Володя або Сергію?

У наступних класах дані типи нестандартних завдань слід ускладнювати і вводити нові види - числові ребуси, головоломки на кмітливість, завдання на зважування та переливання, математичні софізми.

Під час дослідницької роботи нами були виділені експериментальний і контрольний класи. З учнями експериментального класу регулярно вирішувалися нестандартні задачі. Учні контрольного класу займалися за типовою програмою, без використання нестандартних завдань. У результаті намітилася наступна тенденція. Якщо протягом першого місяця експерименту помітних відмінностей між цими двома групами учнів не спостерігалося, а саме: з рішенням нестандартних завдань впоралися лише окремі учні, то до кінця року, а тим більше до кінця курсу початкових класів розбіжності помітно посилюються. В якості контрольного матеріалу тут давали нестандартні задачі (див. додаток 1).

Таблиця 2

Впоралися із завданням (у%)

Навчальний рік

Контрольний клас

Експериментальний клас

Початок року

Кінець року

Початок року

Кінець року

2000-2001, 1 клас

2001-2002, 2 клас

2002-2003, 3 клас

2003-2004, 4 клас

У середньому

Ще одним безпосереднім доказом того, що рішення нестандартних завдань впливає на розвиток математичного мислення, є оцінки за підсумкові річні контрольні роботи (див. додаток 2), проведені в експериментальному і контрольному класах.

Таблиця 3

Клас і оцінки (у%)

Навчальний рік

Контрольний клас

Експериментальний клас

2000-2001, 1 клас

2001-2002, 2 клас

2002-2003, 3 клас

2003-2004, 4 клас

У середньому

28,3

58,7

32,8

60,5

6,7

Таким чином, проведена нами експериментальна робота підтверджує необхідність введення в курс початкової математики нестандартних завдань, їх вплив на збільшення числа успішних з цього предмету учнів, на загальний розвиток математичного мислення школярів.

Висновок

Проведене дослідження по вивченню нестандартних завдань як засобу розвитку математичного мислення молодших школярів поставлених цілей і завдань досягло.

Нами було проаналізовано сучасний стан вивчення цієї проблеми, був узагальнений досвід вирішення нестандартних завдань з молодшими школярами в руслі відповідної методики. Крім аналізу вже досягнутого в цій галузі, ми внесли і свій вклад у теоретичну розробку даної теми - склали класифікацію нестандартних завдань.

Припущення про те, що нестандартні задачі розвивають математичне мислення школярів було перевірено в ході дослідно-експериментальної роботи. Це дослідження проводилося з учнями МОУ «Смишляевская ЗОШ № 3» Волзького району Самарської області. Нами були виділені експериментальний і контрольний класи, математичне мислення учнів яких ми вивчали протягом чотирьох років. Обидва класи займалися за типовою програмою початкової освіти, єдиною відмінністю було те, що учні експериментального класу регулярно на уроках математики вирішували завдання нестандартного змісту.

Результати дослідження виявлялися у двох напрямках:

як впливає рішення задач на розвиток математичного мислення школярів, яке відображається в підсумках річних контрольних робіт. Тут склалася наступна ситуація: якщо в кінці першого класу учні експериментального класу відбили у контрольній роботі знання набагато слабкіше, ніж учні контрольного класу, то вже до кінця другого класу експериментальний клас показав кращі результати, ніж контрольний. А в третьому класі в експериментальній групі не було навіть жодної оцінки «задовільно» за підсумкову контрольну роботу;

другий напрямок, по якому ми робили контрольні зрізи - це розвиток умінь вирішувати нестандартні завдання. Купуються ці вміння школярами, які вирішують нестандартні завдання регулярно, і тими школярами, які подібною діяльністю не займаються? Результати проведених зрізів показали, що, виявляється, при постійному тренуванні і з плином часу у школярів накопичується досвід вирішення нестандартних завдань і учні початкових класів вже здатні опанувати прийомами вирішення нестандартних завдань при відповідному навчанні. Тоді як контрольний клас подібними прийомами не опанував і до кінця четвертого класу показав ті самі результати, що клас експериментальний, але на другому році навчання.

Проведені дослідження дозволяють зробити висновок про те, що нестандартні задачі сприятливо впливають на розвиток математичного мислення молодших школярів.

Крім того, цікава форма даних завдань сприяє розвитку інтересу учнів початкових класів до математики, підвищенню їх активності на уроці, запобігає психічну втому одноманітною діяльністю.

Список використаної літератури

Алексєєв М. М. Логіка і педагогіка. - Народна освіта .- 1970. - № 6. - С.133 - 142.
Альперович С. А. Активізація пізнавальної діяльності учнів на уроках математики / / Початкова школа. - 1979. - № 5. - С.30 - 33.
Акімова С. Цікава математика. - Санкт-Петербург, «Тригон», 1997. - 608 с.
Арбатська Л. Ф. Рішення задач життєвого змісту / / Початкова школа. - 1977. - № 1. - С. 42.
Артемов А. К. Про розвиток математичного мислення / / Початкова школа. - 1979. - № 5. - С.36 - 38.
Байрамукова П. У. Позакласна робота з математики у початкових класах. - М.: Іздат.-школа, «Райл», 1997.
Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Методика викладання математики в початкових класах. - М. - 1976.
Белокурова Є. Є. Характеристика комбінаторних задач / / Початкова школа. - 1994. - № 1. - С.34 - 38.
Белокурова Є. Є. Деякі комбінаторні завдання у початковому курсі математики / / Початкова школа. - 1992. - № 1. - С.20 - 23.
Брадиса В. М. та ін Помилки в математичних міркуваннях. Посібник для вчителів. Изд. 3-е. - М.: Просвещение .- 1967. - 191с.
Волінова В. Свято числа. - М.: АСТ-ПРЕСС .- 1994. - 304с.
Возлінская М. В. Задачник. Нестандартна математика в школі. - М.: Лайда .- 1993. - 96с.
Вікові можливості засвоєння знань (молодші класи школи) / Под ред. Д. Б. Ельконіна, В. В. Давидова. - М.: Просвещение .- 1966.
Губанова О.В. Олімпійські ігри в навчанні молодших школярів / / Початкова школа. - 1995. - № 5. - С. 22.
Гоноблін Ф.Н., Лезендова Т.Є. Про підготовку до уроку з математики. - Л. - 1935.
Дедюхін А.М, Сухомлинський В.А. Про розвиток мислення молодших школярів / / Початкова школа. - 1984. - № 1. - С. 70 - 72.
Депман І.Я. Розповіді про математику. - Л. - 1954.
Дитяча домашня енциклопедія / За ред. Т.В. Нілова. - М.: Знание .- 1995. - С. 320 - Т. 2.
Дишинського Е.А. Ігротека математичного гуртка. - М.: Просвещение .- 1972.
Дьюдені Г.Е. 520 головоломок. - М.: Мир .- 1975.
Єленський Щ. Слідами Піфагора. - М.: Детгиз .- 1961.
Жікалкіна Т.К., Бредихина Е.М. Математика. Підручник-зошит / № № 1 - 4 /. - М.: Просвещение .- 1995.
Цікава математика / Упоряд. Л.М. Кубашіна. - Чебоксари .- 1995.
Задачник. Нестандартна математика в школі. - М.: Лайда .- 1993.
Зак А.З. Завдання для розвитку логічного мислення / / Початкова школа. - 1989. - № 6. - С. 32 - 33.
Ігнатьєв Є.І. У царстві кмітливості. - М.: Наука .- 1982.
Істоміна Н.Б. Активізація учнів на уроках математики в початкових класах. Посібники для вчителя. - М.: Просвещение .- 1985.
Козлова О.Г. Казки та підказки: Завдання для математичного гуртка. - М.: МИРОС .- 1994. - 128 с.
Колягін Ю.М., Оганесян В.А. та ін Методика викладання математики в середній школі. Загальна методика. - М. - 1980.
Комар О. Активізація пізнавальної діяльності учнів при вивченні заходів часу / / Початкова школа. - 1994. - № 6. - С. 43.
Кордемский Б.А. Математична кмітливість. - 3-е изд. - М.: Гостехиздат .- 1956. - 575 с.
Кордемский Б.А. Нариси про математичні завдання на кмітливість. - М.: Учпедгиз, 1958.
Король А.Я., Хаперская А.А. Прийоми активізації на уроках математики / / Початкова школа. - 1979. - № 10. - С. 28.
Крутецкий В.А. Психологія навчання і виховання школярів. - М.: Просвещение, 1976.
Лаврова М.М. Логічні помилки молодших школярів і деякі причини їх виникнення. - В кн.: Дидактика початкового навчання. - М., 1977. - С. 66 - 71.
Лебедєва Л.Л. Для розвитку пізнавальної активності. Завдання для 2 - 3 класу / / Початкова школа. - 1988. - № 6. - С.37 - 40.
Левенберга Л.Ш. Малюнки, схеми і креслення в початковому курсі математики. - М.: Просвещение, 1978.
Левітас Г. Нестандартні завдання на уроках математики у першому класі / / Додаток до газети «Перше вересня» .- 2001. - № 4.
Левітас Г. Нестандартні завдання на уроках математики в другому класі / / Додаток до газети «Перше вересня». - 2002. - № 12.
Левітас Г. Нестандартні завдання на уроках математики в третьому класі / / Додаток до газети «Перше вересня». - 2002. - № 22.
Левітас Г. Нестандартні завдання на уроках математики в четвертому класі / / Додаток до газети «Перше вересня». - 2002. - № 39,44
Леонтьєв А.Н. Діяльність. Свідомість. Особистість. - М.: Политиздат .- 1977.
Мазаник А.А. Виріши сам. - Мінськ: Народна асвета .- 1980.
Махмутов М.І. Проблемне навчання. - М.: Педагогіка.-1975.
Махров В.П. Рішення логічних завдань / / Початкова школа. - 1979. - № 2. - С.56.
Мельник Н. Б. Розвиток логічного мислення при вивченні математики / / Початкова школа. - 1997. - № 5. - С.63.
Михайлов І.І. Цікаві завдання / / Початкова школа. - 1986. - № 6. - С.32 - 33.
Моро М.І, Пишкало А.М. Методика навчання математики в 1 - 3 класах. - М.: Просвещение .- 1988.
Нагібін Ф.Ф., Канин О.С. Математична шкатулка: Посібник для учнів. - 5-е изд. - М.: Просвещение .- 1988. - 180с.
Ніколау Л.Л. Логічні вправи / / Початкова школа. - 1996. - № 6. - С. 25 - 26.
Основи методики початкового навчання математики / Под ред. А.С. Бджілка. - М.: Просвещение, 1965.
Павлов Ю.В. Статистична обробка результатів педагогічного експерименту. - М., 1972.
Педагогічна енциклопедія, Т. 2. - М. - 1965. - С.266.
Перельман Я.І. Веселі завдання. - М.: Пілігрим, 1997
Перельман Я.І. Жива математика. - Чебоксари: РІО тип. № 1 за замовленням ТОВ «Арта», 1994. - 200с.
Пойа Д. Як вирішувати проблему. Пер. з англ.: Посібник для вчителів / За ред. Ю. М. Гайдука. - М.: Учпедгиз, 1959.
Поляк Г.Б. Цікаві завдання. - М., 1953.
Психологічні можливості молодших школярів у засвоєнні математики / Под ред. В.В. Давидова. - М., 1969.
Русанов В.М. Математичні олімпіади молодших школярів: Кн. для вчителя. - М.: Просвещение, 1990. - 77с.
Русанов В.М. Цікаві завдання казкового характеру / / Початкова школа. - 1989. - № 5. - С.33 - 36.
Свєчніков А.А. Рішення математичних задач в 1 - 3 класах. - М.: Просвещение, 1976.
Столяр А.А. Як ми розмірковуємо? - Мінськ, 1968.
Терентьєва Л.П. Година інтелектуального розвитку молодшого школяра: Спецкурс. - Чебоксари: ЧДПУ ім. І.Я. Яковлева, 2000
Важче В.П. Методика проведення позакласної роботи з математики. Посібник для вчителів. - М.: Просвещение, 1975. - 175с.
Вважай, метикує, відгадувати / для учнів початкової школи / - СПб.: Лань, МІК, 1996. - 208с.
Шамова Т. І. Активізація навчання школярів. - М.: Знання, 1979.

Додаток 1

Орієнтовна контрольна робота з використанням нестандартних завдань за 4 клас, застосована нами в ході дослідження.

Задача 1

Три брата (Іван, Дмитро і Сергій) викладають різні дисципліни (хімію, біологію та історію) в університетах Москви, Санкт-Петербурга, Києва.

Іван працює не в Москві, а Дмитро не в Санкт-Петербурзі.

Москвич викладає не історію.

Той, хто працює в Санкт-Петербурзі, викладає хімію.

Дмитро викладає не біологію.

Спосіб рішення, запропонований учнем експериментального класу Соловйовим Дмитром.

Москва Іван хімія

Санкт-Петербург Дмитро біологія

Київ Сергій історія

Іван працює не в Москві, а Дмитро не в Санкт-Петербурзі (стрілки закреслюю).

Москвич викладає не історію.

Той, хто працює в Санкт-Петербурзі, викладає хімію.

Дмитро викладає не біологію.

Москвич викладає не історію, отже, він викладає біологію, т.к. петербуржець викладає хімію. Тоді киянин викладає історію.

Дмитро не проживає в Санкт-Петербурзі і не викладає біологію, а петербуржець викладає хімію. Отже, Дмитро викладає історію в університеті Києва.

Іван працює не в Москві. Отже, він працює в Санкт-

Петербурзі і викладає хімію.

8) Тоді Сергій викладає біологію в Москві, в університеті.

Задача 2

Три товариша, Олександр, Коля і Саша, сіли на лавку в один ряд. Скількома способами вони можуть це зробити?

Спосіб рішення, запропонований ученицею експериментального класу Пінаріной Надією.

Нехай А - Альоша, К - Коля, С - Саша. Тоді можливі варіанти: А, К, С, А, С, К; К, А, С; К, С, А; С, А, К, С, К, А.

Альоша, Коля та Саша можуть розташуватися на лавці 6 способами.

Задача 3

У Марини було ціле яблуко, дві половинки і чотири четвертинки. Скільки було в неї яблук?

Відповідь: 3 яблука.

Додаток 2

Орієнтовна річна контрольна робота для 4 класу, проведена нами під час дослідно-експериментальної роботи

1 варіант

Завдання 1.Решіть приклад:

100520-470 * 50 +13980

Завдання 2.

З двох міст виїхали одночасно назустріч один одному два мотоциклісти. Один рухався зі швидкістю 60 км / год і проїхав до зустрічі 120 км, а інший зі швидкістю 75 км / ч. Знайти відстань між містами.

Завдання 3.

7825:100 320 * 200

9256:1000 4500:500

3340:20 20760:60

Завдання 4.

Довжина прямокутника 120 мм, ширина в 2 рази менше. Знайти периметр і площу.

2 варіант

Завдання 1. Вирішити приклад:

14110 +810000:900-7604

Завдання 2.

З двох міст виїхали одночасно назустріч один одному два велосипедиста. Один з них рухався зі швидкістю 25 км / год і проїхав до зустрічі 75км, а інший рухався зі швидкістю 20 км / ч. Знайти відстань між містами.

Завдання 3.

6927:100 240 * 300

8758:1000 4200:700

6020:70 47360:80

Завдання 4.

Довжина прямокутника 140 мм, ширина на 30 мм менше. Знайти периметр і площу прямокутника.

Додаток 3

Умови та вирішення окремих завдань на міжрайонної математичній олімпіаді молодших школярів з книжки «Цікавий вінегрет для допитливих»

Три брата ділили спадщину - два однакових будинки. Щоб всі отримали порівну в грошовому вираженні, брати зробили так: два старших взяли собі по дому, а молодшому вони заплатили гроші - по 600 рублів кожен. Чи багато коштує кожен будинок?

Рішення: Молодший брат отримав 600 * 2 = 1200 (р). Така частка кожного брата. Значить, все спадщину становить 1200 * 3 = 3600 (р).

Кожен будинок стоїть 3600:2 = 1800 (р).

Відповідь: 1800 р. коштує кожен будинок.

Розшифруй приклад на складання трьох двозначних чисел:

1А + 2А + 3А = 7А. Всі чотири літери А означають одну і ту ж цифру.

Відповідь: 15 +25 +35 = 75

У магазині було шість різних ящиків з цвяхами, маси яких 6, 7, 8, 9. 10, 11 кг

П'ять з них придбали два покупці, причому кожному цвяхів по масі дісталося порівну.

Який ящик залишився в магазині? Скільки рішень має завдання?

Рішення: розглянемо шість випадків.

Нехай залишився 1-й ящик. Тоді маса цвяхів в інших ящиках 7 +8 +9 +10 +11 = 45 (кг). Але 45 не ділиться на 2. Значить, що залишилися цвяхи можна розділити навпіл, не розкриваючи ящики. Розмірковуючи аналогічно, встановлюємо, що не можуть залишитись 3-й або 5-й ящики.

Нехай залишився 2-й ящик. Тоді в решті ящиках цвяхів 6 +8 +9 +10 +11 = 44 (кг). 44:2 = 22 (кг). Однак серед чисел 6,8, 9, 10, 11 не можна підібрати такі, щоб їх сума була рівна 22.

Таким жерассужденіем встановлюємо, що не може залишитися останній ящик.

Нехай залишиться 4-й ящик. Тоді маса цвяхів в інших: 6 +7 +8 +10 +11 = 42 (кг). 42:2 = 21 (кг, 21 = 10 +11 = 6 +7 +8 (кг).)

Відповідь: залишився 4 ящик. Завдання має єдине рішення.

Примітка. Достатньо, якщо діти вирішать це завдання підбором.

Додаток 4

Нестандартний урок математики по темі «Рішення задач різними способами. Закріплення »2 клас (на передодні Дня захисника Вітчизни)

Урок проходить в ігровій формі. Учні на час уроку стають курсантами. А вчитель керівником навчальних зборів., Які проводяться на уроці математики.

На дошці позначений замаскований маршрут прямування, етапи якого відповідали етапам уроку.

Мета: 1. закріпити вміння розв'язувати задачі різними способами;

2.отработать обчислювальні навички додавання і віднімання в межах 100;

3. розвивати логічне мислення;

4. здійснювати диференційований підхід до навчання учнів;

5. виховувати інтерес до історії нашої Батьківщини, любов, повагу до захисників Вітчизни, гордість за них;

6. повторити правила дорожнього руху.

Хід уроку.

Організаційний момент.

Учитель звертається до «курсантам»:

-Рота, струнко! Товариші курсанти, напередодні Дня захисника Вітчизни ми проводимо навчальні збори.

Мета навчань: відпрацювати тактику вирішення завдань різними способами.

Для виконання поставлених цілей взводу № 1 зайняти свої позиції! Взводу № 3 зайняти свої позиції! (Взводи укомплектовані за рівнем здібностей.)

1.Мінутка чистописання.

-Кодовий номер наших навчань число 23 (воно записано на дошці.)

- Чому?

Поки діти записують число 23 в зошит, вчитель розповідає про свято, яке відзначається у нашій країні 23 лютого.

- 23 лютого 1918 року тільки що створена Робітничо-селянська Червона армія вступила в бій з німецькими окупантами і перегородила шлях до Петрограда. Цей день став народженням Червоної Армії.

Після Великої Вітчизняної війни наші збройні сили стали називатися Радянською армією, а день 23 лютого - день Радянської армії і Військово-морського флоту. З розпадом Радянського Союзу з березня 1995 року день 23 лютого став відзначатися як день захисника Вітчизни.

Усний рахунок.

Перед вами карта проходження по маршрутах з навчальними завданнями.

Мета перша - відпрацювання обчислювальних навичок.

Учитель знімає маскування з першої мети, відкриваючи запис на дошці:

63 +7

18 +9 58-5

Учні читають висловлювання, використовуючи вивчену математичну термінологію.

Наприклад, перший вираз можна прочитати так:

а) з числа 70 відняти 35, вийде 35;

б) різницю чисел 70 і 35 дорівнює 35;

в) зменшуване 70, від'ємник 35, різниця дорівнює 35;

г) чісло70 зменшити на 35, вийде 35 і т.д.

під час роботи над останнім виразом їде ускладнення завдання.

- Прочитайте новий вираз і обчисліть його значення: 58-5 +3

Як треба змінити останній вираз, щоб, щоб його значення стало дорівнює 50?

(Треба поставити дужки: 58 - (5 +3.) Прочитайте отриманий вираз.

Учитель заздалегідь виконує на дошці 3 короткі записи завдань, в яких йдеться про дві полиці з книгами:

I п. - а кн.

II п. - на b ...

2) I п. - а кн.

II п .- ...

3) I п .- ...} c кн.

II п .- ...

- Доповніть умови і питання завдань, щоб кожна задача вирішувалася відніманням.

3. Гімнастика для очей.

Далі на маршруті слідування зустрічається знак «Пункт першої медичної допомоги».

- Для кращого бачення кінцевої мети наших зборів медичної сестри (учитель називає прізвище учениці)

1 Колягін Ю.М. та ін Методика викладання математики в середній школі. - М., 1980. - С. 120.

1 Кордемский Б.А. Нариси про математичні завдання на кмітливість. - М., 1958. - С. 11.

1 Зак А.З. Завдання для розвитку логічного мислення / / Початкова школа, 1989. - № 5. - С. 32.

1 Психологічні можливості молодших школярів у засвоєнні математики / Под ред. В.В. Давидова. - М., 1969. - С. 3.