Математична логіка і логіка здорового глузду

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

ЗМІСТ
Введення. 3
1. Математична логіка (безглузда логіка) і логіка «здорового глузду» 4
2. Математичні судження й умовиводи. 6
3.Математіческая логіка і «Здоровий глузд» у XXI столітті. 11
4. Неприродна логіка в підставах математики. 12
Висновок. 17
Список літератури .. 18

Введення
Розширення області логічних інтересів пов'язано з загальними тенденціями розвитку наукового знання. Так, виникнення математичної логіки в середині XIX століття стало підсумком багатовікових сподівань математиків і логіків про побудову універсального символічного мови, вільного від «недоліків» природної мови (насамперед його багатозначності, тобто полісемії).
Подальший розвиток логіки пов'язаний з сукупним використанням класичної та математичної логіки в прикладних областях. Некласичні логіки (деонтическая, релевантна, логіка права, логіка прийняття рішень та ін) часто мають справу з невизначеністю і нечіткістю досліджуваних об'єктів, з нелінійним характером їх розвитку. Так, при аналізі досить складних задач у системах штучного інтелекту виникає проблема синергізму різних типів міркування під час вирішення однієї і тієї ж задачі. Перспективи розвитку логіки в руслі зближення з інформатикою пов'язані зі створенням певної ієрархії можливих моделей міркування, що включають міркування на природній мові, правдоподібні міркування і формалізовані дедуктивні висновки. Це вирішується засобами класичної, математичної та некласичної логік. Таким чином, мова йде не про різні «логіках», а про різного ступеня формалізації мислення та «розмірності» логічних значень (двозначна, багатозначна і ін логіка).
Виділення основних напрямків сучасної логіки:
1. загальної, або класичної логіки;
2. символічною, або математичної логіки;
3. некласичної логіки.

1. Математична логіка (безглузда логіка) і логіка «здорового глузду»
Математична логіка поняття досить неконкретне, через те, що математичних логік також нескінченно багато. Тут будемо обговорювати деякі з них, віддаючи більше данина традиції, ніж здоровому глузду. Оскільки, цілком можливо, в цьому і укладено здоровий глузд ... Логічно?
Математична логіка вчить логічно міркувати не більше, ніж будь-який інший розділ математики. Це пов'язано з тим, що "логічність" міркувань в логіці визначається самою логікою і коректно може використовуватися тільки в самій логіці. У житті ж ми, розмірковуючи логічно, як правило використовуємо різні логіки і різні методи логічних міркувань, безбожно перемішуючи дедукцію з індукцією ... Більш того, в житті ми будуємо свої міркування виходячи із суперечливих посилок, наприклад, "Не відкладай на завтра, що можна зробити сьогодні" і "Поспішиш людей насмішиш". Нерідко буває, що не сподобався нам логічний висновок призводить до перегляду вихідних посилок (аксіом).
Мабуть, настав час сказати про логіку, можливо, найголовніше: класична логіка не займається змістом. Ні здоровим, ні яким іншим! Для вивчення здорового глузду, між іншим, існує психіатрія. Але в психіатрії логіка швидше шкідлива.
Зрозуміло, размежевивая логіку зі змістом, маємо на увазі перш за все класичну логіку і житейська розуміння здорового глузду. Немає заборонених напрямів у математиці, тому дослідження логікою сенсу, і навпаки, в різних видах присутня у ряді сучасних відгалужень логічної науки.
(Добре склалося останнє речення, хоча визначити термін "логічна наука" не візьмуся навіть приблизно). Сенсом, якщо завгодно - семантикою, займається, наприклад, теорія моделей. Та й взагалі, термін семантика часто замінюють терміном інтерпретація. І якщо ми погодимося з філософами, що інтерпретація (отображеніе!) об'єкт є осмислення його в деякому даному аспекті, то прикордонні сфери математики, які можуть залучатися для наступу на сенс в логіці, стають неохватное!
У практичному плані семантикою змушене цікавитися теоретичне програмування. А в ньому, крім просто семантики, є і операційна, і денотаціонная, і процедуральная і т.д. і т.п. семантики ...
Ще лише згадаємо апофеоз - ТЕОРІЮ КАТЕГОРІЙ, яка довела семантику до формального малозрозумілого синтаксису, де сенс вже настільки простий - розкладений по поличках, що до нього простому смертному зовсім неможливо докопатися ... Це для вибраних.
Так чим же займається логіка? Хоча б у самої класичної її частини? Логіка займається тільки тим, чим вона займається. (А це вона визначає гранично строго). Головне в логіці - це строго визначитися! Поставити аксіоматику. А далі логічні висновки повинні бути (!) В значній мірі автоматичними ...
Інша справа міркування з приводу цих висновків! Але ці міркування вже поза рамками логіки! Тому в них потрібно строгий математичний сенс! [6]
Може здатися, що це проста словесна еквілібристика. НІ! Як приклад деякої логічної (аксіоматичної) системи візьмемо відому гру 15. Задамо (перемішаємо) початкове розташування квадратних фішок. Далі грою (логічним висновком!), А конкретно - переміщенням фішок на вільне місце, може займатися якесь механічний пристрій, а ви можете терпляче дивитися і радіти, коли в результаті можливих передвіжек в коробочці складеться послідовність від 1 до 15. Але ніхто не забороняє контролювати механічний пристрій і підказувати йому, Виходячи зі здорового глузду правильні переміщення фішок, щоб прискорити процес. А може бути навіть довести, використовуючи для логічних міркувань, наприклад, такий розділ математики, як комбінаторика, що при даному початковому розташуванні фішок отримати необхідну фінальну комбінацію неможливо взагалі!
Не більше здорового глузду присутня і в тій частині логіки, яку називають ЛОГІЧНОЇ АЛГЕБРА. Тут вводяться ЛОГІЧНІ ОПЕРАЦІЇ і визначаються їх властивості. Як показала практика, в деяких випадках закони цієї алгебри можуть відповідати логіці життя, а в деяких немає. З за такого непостійності закони логіки не можна вважати законами з точки зору практики життя. Їх знання і механічне використання може не тільки допомагати, а й нашкодити. Особливо психологам та юристам. Ситуація ускладнюється тим, що поряд із законами алгебри логіки, які відають, то не відповідають життєвим міркувань, тобто логічні закони, які частину логіків категорично не визнають. Це стосується насамперед так званим законом виключеного третього і ПРОТИРІЧЧЯ.

2. Математичні судження і умовиводи

У мисленні поняття не виступають розрізнено, вони певним способом пов'язуються між собою. Формою зв'язку понять один з одним є судження. У кожному судженні встановлюється певний зв'язок або деякий взаємовідношення між поняттями, і цим самим стверджується наявність зв'язку або взаємовідносин між об'єктами, визначеними відповідними поняттями. Якщо судження правильно відображають ці об'єктивно існуючі залежності між речами, то ми такі судження називаємо істинними, у противному випадку судження будуть помилковими. Так, наприклад, судження "всякий ромб є параллелограммом" - істинне судження; судження "всякий паралелограм є ромбом" - помилкове судження.
Таким чином, судження - це така форма мислення, в якій відображається наявність або відсутність самого об'єкта (наявність або відсутність яких-небудь його ознак і зв'язків).
Мислити - значить висловлювати судження. За допомогою суджень думка, поняття отримують свій подальший розвиток.
Так як у всякому понятті відображається певний клас об'єктів, явищ або взаємовідносин між ними, то всяке судження можна розглядати як включення або невключення (часткове або повне) одного поняття в клас іншого поняття. Наприклад, судження "всякий квадрат є ромб" вказує, що поняття "квадрат" включається в поняття "ромб"; судження "пересічні прямі не є паралельними" вказує, що пересічні прямі не належать безлічі прямих, званих паралельними.
Судження має свою мовну оболонку - пропозиція, проте не всяке пропозицію є судженням.
Характерною ознакою судження є обов'язкова наявність істинності чи хибності в виражає його пропозицію.
Наприклад, пропозиція "трикутник АВС рівнобедрений" виражає деяке судження; пропозицію "Чи буде АВС рівнобедреним?" не виражає судження.
Кожна наука по суті являє собою певну систему суджень про об'єкти, які є предметом її вивчення. Кожне з суджень оформляється у вигляді деякого пропозиції, вираженого в термінах і символах, які притаманні цій науці. Математика також представляє собою певну систему суджень, виражених у математичних пропозиціях допомогою математичних або логічних термінів або відповідних їм символів. Математичні терміни (або символи) позначають ті поняття, які складають зміст математичної теорії, логічні терміни (або символи) позначають логічні операції, за допомогою яких з одних математичних пропозицій будуються інші математичні пропозиції, з одних суджень утворюються інші судження, вся сукупність яких і становить математику як науку.
Взагалі кажучи, судження утворюються в мисленні двома основними способами: безпосередньо і опосередковано. У першому випадку за допомогою судження виражається результат сприйняття, наприклад "ця фігура-т-коло". У другому випадку судження виникає в результаті особливої ​​розумової діяльності, званої висновком. Наприклад, "безліч даних точок площини таке, що їх відстань від однієї точки однаково, значить, ця фігура - коло".
У процесі цієї розумової діяльності зазвичай здійснюється перехід від одного або декількох пов'язаних між собою суджень до нового судженню, в якому міститься нове знання про об'єкт вивчення. Цей перехід і є умовиводом, яке являє собою вищу форму мислення.
Отже, умовиводом називається процес отримання нового судження виведення з одного або кількох даних суджень. Наприклад, діагональ паралелограма ділить його на два конгруентних трикутника (перше судження).
Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 2d (друге судження).
Сума внутрішніх кутів паралелограма дорівнює 4d (нове судження-висновок).
Пізнавальне значення математичних умовиводів надзвичайно велике. Він "розширюють межі наших знань про об'єкти і явища реального світу в силу того, що більша частина математичних пропозицій є виведенням з порівняно невеликого числа основнихo суджень, які отримані, як правило, шляхом безпосереднього досвіду і в яких відображені наші найбільш прості і загальні знання про його об'єктах.
Умовивід відрізняється (як форма мислення) від поняття і судження тим, що воно являє собою логічну операцію над окремими думками.
Не всяке поєднання суджень між собою являє собою умовивід: між судженнями повинна існувати певна логічна зв'язок, що відображає об'єктивну зв'язок, який існує в реальній дійсності.
Наприклад, з суджень "сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 2d" і "2 * 2 = 4" не можна зробити висновок.
Зрозуміло, яке значення в системі наших математичних знань має вміння правильно будувати різні математичні пропозиції або робити висновки в процесі міркування. Розмовна мова погано пристосований для вираження тих чи інших суджень, а тим більше для виявлення логічної структури міркувань. Тому природно, що виникла необхідність удосконалення мови, використовуваного в процесі міркування. Математичний (а точніше, символічний) мова виявилася для цього найбільш підходящим. Виникла "в XIX ст. Спеціальна галузь науки - математична логіка не тільки повністю вирішила проблему створення теорії математичного докази, але і зробила великий вплив на розвиток математики в цілому.
Формальну логіку (що виникла ще в глибоку давнину в працях Аристотеля) не ототожнюють з математичною логікою (що виникла в XIX ст. В роботах англійського математика Дж. Буля). Предметом формальної логіки є вивчення законів взаємозв'язку суджень і понять в умовиводах і правилах докази. Математична логіка відрізняється від формальної логіки тим, що вона, виходячи з основних законів формальної логіки, досліджує закономірності логічних процесів на основі застосування математичних методів: "Логічні зв'язки, які існують між судженнями, поняттями і т. д., знаходять своє вираження у формулах, тлумачення яких вільно від неясностей, які легко могли б виникнути при словесному вираженні. Таким чином, для математичної логіки характерна формалізація логічних операцій, повніше абстрагування від конкретного змісту пропозицій (виражають будь-яке судження).
Проілюструємо сказане одним прикладом. Розглянемо наступне умовивід: "Якщо всі рослини червоні і всі собаки - рослини, то всі собаки червоні".
Кожне з використовуваних тут суджень і те судження, яке ми отримали в результаті стриманого умовиводи, здається явною нісенітницею. Однак з точки зору математичної логіки ми маємо тут справу з вірним пропозицією, так як в математичній логіці істинність або хибність умовиводи залежить тільки від істинності чи хибності складових його посилок, а не від їх конкретного змісту. Тому якщо одним з основних понять формальної логіки є судження, то аналогічним йому поняттям математичної логіки є поняття висловлювання-твердження, для якого має сенс лише говорити, істинно воно або помилково. Не слід думати, що для кожного висловлення характерна відсутність "здорового глузду" в його змісті. Просто змістовна частина пропозиції, що становить те чи інше висловлювання, в математичній логіці відходить на другий план, несуттєва для логічного побудови або аналізу того чи іншого висновку. (Хоча, звичайно істотна для. Розуміння змісту того, про що йде мова при розгляді o даного питання.)
Зрозуміло, що в самій математиці розглядаються змістовні висловлювання. Встановлюючи різні зв'язки і відносини між поняттями, математичні судження стверджують або заперечують будь-які відносини між об'єктами і явищами реальної дійсності.

3.Математіческая логіка і «Здоровий глузд» у XXI столітті.

Логіка - не тільки суто математична, але також і філософська наука. У XX столітті ці дві взаємопов'язані іпостасі логіки виявилися розведеними в різні боки. З одного боку логіка розуміється як наука про закони правильного мислення, а з іншого - вона підноситься як сукупність слабо пов'язаних один з одним штучних мов, які називаються формальними логічними системами.
Для багатьох очевидно, що мислення - це якийсь складний процес, за допомогою якого вирішуються життєві, наукові або філософські проблеми і народжуються геніальні ідеї чи фатальні помилки. Мова ж розуміється багатьма просто як засіб, за допомогою якого результати мислення можна передати сучасникам або залишити нащадкам. Але, зв'язавши в своїй свідомості мислення з поняттям "процес", а мову з поняттям "засіб", ми по суті перестаємо помічати той незаперечний факт, що в даному випадку "засіб" не підпорядковане повністю "процесу", а в залежності від нашого цілеспрямованого або неусвідомленого вибору тих чи словесних штампів надає сильний вплив на хід і результат самого "процесу". Причому відомо чимало випадків, коли таке "зворотний вплив" виявляється не тільки гальмом для правильного мислення, але часом навіть його руйнівником.
З філософської точки зору завдання, поставлене в рамках логічного позитивізму, так і не була виконана. Зокрема, у своїх пізніх дослідженнях один з основоположників цього напряму Людвіг Вітгенштейн дійшов висновку, що природний мову не можна реформувати відповідно до розробленої позитивістами програмою. Навіть мова математики в цілому встояв перед потужним напором "логіцізма", хоча багато термінів і структури пропонованого позитивістами мови ввійшли в деякі розділи дискретної математики й істотно доповнили їх. Популярність логічного позитивізму як філософського напряму в другій половині XX століття помітно впала - багато філософів прийшли до висновку, що відмова від багатьох "нелогічностей" природної мови, спроба втиснути його в рамки основоположних принципів логічного позитивізму тягне за собою дегуманізацію процесу пізнання, а разом з цим і дегуманізації людської культури в цілому.
Багато методів міркувань, які використовуються в природній мові, часто дуже важко однозначно відобразити на мові математичної логіки. У деяких випадках таке відображення призводить до суттєвого спотворення суті природного міркування. І є підстави вважати, що ці проблеми є наслідком вихідної методологічної установки аналітичної філософії та позитивізму про нелогічність природної мови і про необхідність його докорінного реформування. Сама вихідна методологічна установка позитивізму також не витримує критики. Звинувачувати розмовна мова в нелогічності просто абсурдно. Насправді нелогічність характеризує не сама мова, а багатьох користувачів цієї мови, які просто не знають або не хочуть використовувати логіку і компенсують цей недолік психологічними чи риторичними прийомами впливу на публіку, або у своїх міркуваннях використовують як логіки систему, яка називається логікою лише через непорозуміння. У той же час є чимало людей, мова яких відрізняється ясністю і логічністю, і ці якості не визначаються знанням або незнанням основ математичної логіки.

4. Неприродна логіка в підставах математики
У міркуваннях тих, кого можна віднести до законодавців або послідовникам формальної мови математичної логіки, нерідко виявляється своєрідна "сліпота" по відношенню до елементарних логічним помилкам. На цю сліпоту в основоположних працях Г. Кантора, Д. Гільберта, Б. Рассела, Дж. Пеано та ін ще на початку нашого століття звернув увагу один з великих математиків Анрі Пуанкаре [2].
Одним із прикладів такого нелогічного підходу до міркувань є формулювання знаменитого парадоксу Рассела, в якому необгрунтовано змішуються два суто різнорідних поняття "елемент" і "безліч". У багатьох сучасних роботах з логіки та математики, в яких помітно вплив програми Гільберта, не знаходять пояснення багато явно безглузді з точки зору природної логіки затвердження. Співвідношення між "елементом" і "безліччю" є найпростішим прикладом такого роду. У багатьох роботах цього напрямку стверджується, що деяке безліч (назвемо його A) може бути елементом іншої множини (назвемо його B).
Наприклад, у широко відомому керівництві з математичної логіки [2] ми зустрінемо таку фразу: "Множини самі можуть бути елементами множин, так, наприклад, множина всіх множин цілих чисел має своїми елементами безлічі". Зауважимо, що це твердження не просто обмовка. Воно міститься в якості "прихованої" аксіоми у формальній теорії множин, яку багато фахівців вважають основою сучасної математики, а також у формальній системі, яку збудував математик К. Гедель при доказі своєї знаменитої теореми про неповноту формальних систем [2]. Ця теорема відноситься до досить вузького класу формальних систем (до їх числа входять формальна теорія множин та формальна арифметика), логічна структура яких явно не відповідає логічній структурі природних міркувань і обгрунтувань.
Проте вже понад півстоліття вона є предметом бурхливого обговорення серед логіків та філософів в контексті загальної теорії пізнання. При такому широкому узагальненні цієї теореми виходить, що принципово непізнаваними є багато елементарні поняття. Але при більш тверезому підході виявляється, що теорема Геделя показала лише неспроможність програми формального обгрунтування математики, запропонованої Д. Гільбертом і підхопленою багатьма математиками, логіками і філософами. Більш широкий методологічний аспект теореми Геделя навряд чи можна вважати прийнятним до тих пір, поки не отримано відповіді на таке запитання: чи є програма обгрунтування математики, запропонована Гільбертом, єдино можливою? Щоб зрозуміти двозначність затвердження "множина A є елемент множини B", досить поставити просте запитання: "З яких елементів у цьому випадку сформовано безліч B?". З точки зору природної логіки можливі лише два виключають один одного варіанти пояснення. Пояснення перше. Елементами множини B є імена деяких множин і, зокрема, ім'я або позначення безлічі A. Наприклад, множина всіх парних чисел міститься як елемент у множині всіх імен (або позначень) множин, виділених з яких-небудь ознаками з безлічі всіх цілих чисел. Можна навести більш зрозумілий приклад: безліч всіх жирафів міститься як елемент у множині всіх відомих видів тварин. У більш широкому контексті безліч B можна також сформувати з концептуальних визначень множин або посилань на множини. Пояснення друге. Елементами множини B є елементи деяких інших множин і, зокрема, всі елементи множини A. Наприклад, кожне парне число є елемент множини всіх цілих чисел або кожен жираф є елемент множини всіх тварин. Але тоді виходить, що в обох випадках вираз "множина A є елементом множини B" не має сенсу. У першому випадку виявляється, що елементом множини B є не саме по собі безліч A, а його ім'я (або позначення, або посилання на нього). У цьому випадку неявно встановлюється відношення еквівалентності між множиною і його позначенням, що неприйнятно ні з точки зору звичайного здорового глузду, ні з точки зору несумісною з надмірним формалізмом математичної інтуїції. У другому випадку виявляється, що множина A включено в безліч B, тобто є його підмножиною, але не елементом. Тут теж явна підміна понять, оскільки відношення включення множин і ставлення приналежності (бути елементом множини) в математиці мають принципово різний зміст. Знаменитий парадокс Рассела, що підірвала довіру логіків до поняття "безліч", заснований на цій безглуздості - в основі парадоксу лежить двозначна передумова про те, що множина може бути елементом іншої множини.
Можливий ще один варіант пояснення. Нехай множина A задано простим перерахуванням її елементів, наприклад, A = {a, b}. Безліч B в свою чергу задано перерахуванням деяких множин, наприклад, B = {{a, b}, {a, c}}. У даному випадку здається очевидним, що елементом B є не ім'я множини A, а саме безліч A. Але навіть у цьому випадку елементи множини A не є елементами множини B, і безліч A тут розглядається як нероздільна сукупність, яка цілком може бути замінена його ім'ям. Але якщо б ми вважали елементами B всі елементи містяться в ньому множин, то в цьому випадку безліч B дорівнювала б безлічі {a, b, c}, і безліч A в цьому випадку було б не елементом B, а його підмножиною. Таким чином, виходить, що цей варіант пояснення в залежності від нашого вибору, зводиться до раніше перелічених варіантів. А якщо жодного варіанту вибору не запропоновано, то виходить елементарна двозначність, яка часто призводить до "нез'ясовним" парадоксів.
Можна було б не приділяти особливої ​​уваги цим термінологічним нюансам, якби не одна обставина. Виявляється, що багато парадокси і невідповідності сучасної логіки і дискретної математики є прямим наслідком або наслідуванням цієї двозначності.
Наприклад, в сучасних математичних міркуваннях часто використовується поняття "самопріменімость", яке лежить в основі парадоксу Рассела. У формулюванні цього парадоксу під самопріменімостью мається на увазі існування множин, які є елементами самих себе. Таке твердження відразу ж призводить до парадоксу. Якщо ми розглянемо безліч всіх "несамопріменімих" множин, то виявиться, що воно є одночасно "самопріменімим" і "несамопріменімим.

Висновок
Математична логіка чимало сприяла бурхливому розвитку інформаційних технологій в XX столітті, але з її поля зору випало поняття "судження", яке з'явилося в логіці ще за часів Аристотеля і на якому, як на фундаменті, тримається логічна основа природної мови. Таке упущення аж ніяк не сприяло розвитку логічної культури суспільства і у багатьох навіть породило ілюзію, що комп'ютери здатні мислити не гірше самої людини. Багатьох навіть не бентежить та обставина, що на тлі загальної комп'ютеризації напередодні третього тисячоліття логічні безглуздості в межах самої науки (я вже не кажу про політику, законотворчій діяльності та про псевдонауку) зустрічаються навіть частіше, ніж наприкінці XIX століття. І для того, щоб зрозуміти суть цих дурниць, немає необхідності звертатися до складних математичних структур з багатомісними відносинами і рекурсивними функціями, які застосовуються в математичній логіці. Виявляється, для розуміння та аналізу цих дурниць цілком достатньо застосувати набагато більш просту математичну структуру судження, яка не тільки не суперечить математичним основам сучасної логіки, але в чомусь доповнює і розширює їх.

Список літератури

1. Васильєв М. А. Уявна логіка. Вибрані праці. - М.: Наука. 1989; - стор 94-123.
2. Кулик Б.А. Основні принципи філософії здорового глузду (пізнавальний аспект) / / Новини штучного інтелекту, 1996, No 3, с. 7-92.
3. Кулик Б.А. Логічні основи здорового глузду / За редакцією Д.А. Поспєлова. - СПб, Політехніка, 1997. 131 з.
4. Кулик Б.А. Логіка здорового глузду. - Здоровий глузд, 1997, No 1 (5), с. 44 - 48.
5. Стяжкин Н. І. Формування математичної логіки. М.: Наука, 1967.
6. Соловйов А. Дискретна математика без формул. 2001 / / http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
52.5кб. | скачати


Схожі роботи:
Математична логіка
Математична логіка
Діалектика долі людини логіка природи і логіка історії
Історичні етапи розвитку логічного знання логіка Давньої Індії логіка Давньої Греції
Філософія здорового глузду Епікура
Грибоєдов а. с. - Чацький пасинок здорового глузду
Логіка 2
Логіка 5
Логіка 9
© Усі права захищені
написати до нас