Математика в сучасному світі

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Зміст
Введення ................................................. .................................................. ................ 3
1. Роль математики в сучасному світі. Основні етапи розвитку математики .............................................. .................................................. ............... 5
2. Аксіоматичний метод побудови наукової теорії. Почала Евкліда як зразок аксіоматичної побудови наукової теорії. Історія створення неевклідової геометрії .............................................. ........................................... 8
3. Особливості математичного стилю мислення ........................................... 11
Висновок ................................................. .................................................. .......... 15
Список літератури ................................................ ................................................ 17

Введення
Математика є експериментальною наукою - частиною теоретичної фізики і членом сімейства природничих наук. Основні принципи побудови та викладання всіх цих наук застосовні і до математики. Мистецтво суворого логічного міркування і можливість отримувати цим способом надійні висновки не повинно залишатися привілеєм Шерлока Холмса - кожен школяр повинен опанувати цим умінням. Уміння складати адекватні математичні моделі реальних ситуацій має становити невід'ємну частину математичної освіти. Успіх приносить не стільки застосування готових рецептів (жорстких моделей), скільки математичний підхід до явищ реального світу. При всьому величезному соціальному значенні обчислень (і computer science), сила математики не в них, і викладання математики не повинно зводитися до обчислювальних рецептами.
"No star wars - no mathematics", - говорять американці. Той прикрий факт, що з (тимчасовим?) Припиненням військового протистояння математика, як і всі фундаментальні науки, перестала фінансуватися, є ганьбою для сучасної цивілізації, що визнає тільки "прикладні" науки, яка веде себе зовсім наче свиню під дубом.
Насправді жодних прикладних наук не існує і ніколи не існувало, як це відзначив більш ста років тому Луї Пастер (якого важко запідозрити в заняттях, не потрібних людству). Згідно Пастеру, існують лише додатки науки [1].
Досліди з бурштином і котячим хутром здавалися даремними правителям і воєначальникам XVIII століття. Але саме вони змінили наш світ після того, як Фарадей і Максвелл написали рівняння теорії електромагнетизму. Ці досягнення фундаментальної науки окупили всі витрати людства на неї на сотні років вперед. Відмова сучасних правителів платити за цим рахунком - дивно недалекоглядна політика, за яку відповідні країни, безсумнівно, будуть покарані технологічної і отже економічної (а також і військової) відсталістю. Людство в цілому (перед яким адже варто важка задача виживання в умовах мальтузіанський кризи) повинне буде заплатити важку ціну за короткозоро-егоїстичну політику складових його країн.
Математичне співтовариство несе свою частку відповідальності за повсюдно спостерігається тиск з боку урядів і суспільства в цілому, спрямоване на знищення математичної культури як частини культурного багажу кожної людини і особливо на знищення математичної освіти.
Вихолощену та формалізоване викладання математики на всіх рівнях зробилося, до нещастя, системою. Виросли цілі покоління професійних математиків і викладачів математики, які вміють тільки це й не уявляють собі можливості будь-якого іншого викладання математики.

1. Роль математики в сучасному світі. Основні етапи розвитку математики
Метою вивчення математики є підвищення загального кругозору, культури мислення, формування наукового світогляду.
Математика - наука про кількісні співвідношення і просторові форми дійсного світу. Академік Колмогоров А.Н. виділяє чотири періоди розвитку математики [2]:
· Зародження математики,
· Елементарна математика,
· Математика змінних величин,
· Сучасна математика.
Початок періоду елементарної математики відносять до VI-V століття до нашої ери. До цього часу був досить великий фактичний матеріал. Розуміння математики, як самостійної науки виникло вперше у Стародавній Греції. Протягом цього періоду математичні дослідження мають справу лише з досить обмеженим запасом основних понять, що виникли для задоволення самих простих запитів господарського життя. Розвивається арифметика - наука про число.
У період розвитку елементарної математики з'являється теорія чисел, що виросла поступово з арифметики. Створюється алгебра, як буквене числення. Узагальнюється праця великого числа математиків, які займаються вирішенням геометричних завдань у струнку і строгу систему елементарної геометрії геометрію Евкліда, викладену в його чудовій книзі Почала (300 років до н. Е..).
У XVII столітті запити природознавства і техніки призвели до створення методів, що дозволяють математично вивчати рух, процеси зміни величин, перетворення геометричних фігур. З вживання змінних величин в аналітичній геометрії і створення диференціального й інтегрального числення починається період математики змінних величин. Великим відкриттям XVII століття є введена Ньютоном і Лейбніцем поняття нескінченно малої величини, створення основ аналізу нескінченно малих (математичного аналізу). На перший план висувається поняття функції. Функція стає основним предметом вивчення. Вивчення функції призводить до основних понять математичного аналізу: межі, похідної, диференціалу, інтегралу.
До цього часу відносяться і поява геніальної ідеї Р. Декарта про метод координат. Створюється аналітична геометрія, яка дозволяє вивчати геометричні об'єкти методами алгебри та аналізу. З іншого боку метод координат відкрив можливість геометричної інтерпретації алгебраїчних та аналітичних фактів [3].
Подальший розвиток математики привело на початку ХIX століття до постановки задачі вивчення можливих типів кількісних відносин і просторових форм з досить загальної точки зору. Зв'язок математики і природознавства набуває все більш складні форми. Виникають нові теорії. Нові теорії виникають не тільки в результаті запитів природознавства і техніки, але і в результаті внутрішньої потреби математики. Чудовим прикладом такої теорії є уявна геометрія Н. І. Лобачевського. Розвиток математики в XIX і XX століттях дозволяє віднести її до періоду сучасної математики. Розвиток самої математики, математизація різних галузей науки, проникнення математичних методів в багато сфер практичної діяльності, прогрес обчислювальної техніки призвели до появи нових математичних дисциплін, наприклад, дослідження операцій, теорія ігор, математична економіка та інші.
В основі побудови математичної теорії лежить аксіоматичний метод. В основу наукової теорії кладуться деякі вихідні положення, звані аксіомами, а всі інші положення теорії виходять, як логічні наслідки аксіом. Основними методами у математичних дослідженнях є математичні докази - суворі логічні міркування. Математичне мислення не зводиться лише до логічних міркувань. Для правильної постановки завдання, для оцінки вибору способу її вирішення необхідна математична інтуїція.
У математиці вивчаються математичні моделі об'єктів. Одна і та ж математична модель може описувати властивості далеких один від одного реальних явищ. Так, одне і теж диференціальне рівняння може описувати процеси росту населення і розпад радіоактивної речовини. Для математика важлива не природа розглянутих об'єктів, а існуючі між ними відносини.
У математиці використовують два види умовиводів: дедукція та індукція [4].
Індукція - метод дослідження, у якому загальний висновок будується не основі приватних посилок.
Дедукція - спосіб міркування, за допомогою якого від загальних посилок слід висновок приватного характеру.
Математика грає важливу роль в природничих, інженерно-технічних і гуманітарних дослідженнях. Причина проникнення математики в різні галузі знань полягає в тому, що вона пропонує досить чіткі моделі для вивчення навколишньої дійсності на відміну від менш загальних і більш розпливчастих моделей, пропонованих іншими науками. Без сучасної математики з її розвинутим логічними і обчислювальним апаратом був би неможливий прогрес в різних областях людської діяльності.
2. Аксіоматичний метод побудови наукової теорії. Почала Евкліда як зразок аксіоматичної побудови наукової теорії. Історія створення неевклідової геометрії
Створення дедуктивного або аксіоматичного методу побудови науки є одним з найбільших досягнень математичної думки. Воно вимагало роботи багатьох поколінь вчених. Чудовою рисою дедуктивної системи викладу є простота цієї побудови, що дозволяє описати його в небагатьох словах. Дедуктивна система викладу зводиться [5]:
1) до перерахування основних понять,
2) до викладу визначень,
3) до викладу аксіом,
4) до викладу теорем,
5) до доведення цих теорем.
Аксіома - твердження, що приймається без доказів.
Теорема - твердження, що випливає з аксіом.
Доказ - складова частина дедуктивної системи, це є міркування, яке показує, що істинність твердження випливає логічно з істинності попередніх теорем або аксіом.
Усередині дедуктивної системи не можуть бути вирішені два питання: 1) про сенс основних понять, 2) про істинність аксіом. Але це не означає, що ці питання взагалі неможливо розв'язати.
Історія природознавства свідчить, що можливість аксіоматичної побудови тієї чи іншої науки з'являється лише на досить високому рівні розвитку цієї науки, на базі великого фактичного матеріалу, дозволяє чітко виявити ті основні зв'язки та співвідношення, які існують між об'єктами, що вивчаються даною наукою.
Зразком аксіоматичної побудови математичної науки є елементарна геометрія. Система аксіом геометрії були викладені Евклідом (близько 300 г . до н. е..) в неперевершеному за своєю значимістю праці "Початки". Ця система в основних рисах збереглася і донині.
Основні поняття: точка, пряма, площина основні образи; лежати між, належати, рух [6].
Елементарна геометрія має 13 аксіом, які розбиті на п'ять груп. У п'ятій групі одна аксіома про паралельні (V постулат Евкліда): через точку на площині можна провести тільки одну пряму, не що перетинає дану пряму. Це єдина аксіома, що викликала потреба докази. Спроби довести п'ятий постулат займали математиків більш 2-х тисячоліть, аж до першої половини 19 століття, тобто до того моменту, коли Микола Іванович Лобачевський довів у своїх працях повну безнадійність цих спроб. В даний час недоказовність п'ятого постулату є строго доведеним математичним фактом.
Аксіому про паралельні Н.І. Лобачевський замінив аксіомою: Нехай в даній площині дана пряма і лежить поза прямою крапка. Через цю точку можна провести до цієї прямий, принаймні, дві паралельні прямі. З нової системи аксіом Н.І. Лобачевський з бездоганною логічної строгістю вивів струнку систему теорем, що становлять зміст неевклідової геометрії. Обидві геометрії Евкліда і Лобачевського, як логічні системи рівноправні.
Три великих математика в 19 столітті майже одночасно, незалежно один від одного прийшли до одних результатами недовідності п'ятого постулату і до створення неевклідової геометрії.
Микола Іванович Лобачевський (1792-1856)
Карл Фрідріх Гаус (1777-1855)
Янош Бояї (1802-1860)
Доля відкриття Лобачевського. У 2004 р . Казанський Державний Університет відзначив 200-річчя свого існування. Ім'я Миколи Івановича Лобачевського тісно пов'язане з Казанським Університетом і становить його гордість [7].
М. І. Лобачевський народився 1 грудня 1792г. в Нижньому Новгороді, в 1807 році вступив до Імператорського Казанський Університет, в 1811 році закінчив його. 19 лютого 1826 представив доповідь про своє відкриття фізико-математичного факультету. Протягом всього свого життя він розвивав свої ідеї, які викладав у працях "Почала геометрії", "Уявна геометрія" та інших. За рік до смерті він опублікував свою роботу "Пангеометрія" (1855г.).
Микола Іванович крім наукових праць, вів величезну роботу, як професор, головний бібліотекар, декан, а пізніше ректор Університету, при ньому розгорнулося будівництво Університетського прекрасного архітектурного ансамблю. Помер він 12 лютого 1856р., Так і не дочекавшись визнання своїх ідей. Ці ідеї були вороже зустрінуті навіть відомими математиками того часу. Ідеї ​​Н.І. Лобачевського далеко випередили свій час, але все розвиток науки підготувало їх неминуче торжество. Через п'ятнадцять років після його смерті його відкриття стало загальновідомим і визначило на сторіччя вперед розвиток геометричній науки, справила сильне вплив на інші розділи математики, стало однією з передумов глибокого перетворення фізичних уявлень про простір і час.

3. Особливості математичного стилю мислення
Представляє інтерес характеристика А.Я. Хинчина математичного мислення, а точніше, його конкретно-історичної форми - стилю математичного мислення. Розкриваючи суть стилю математичного мислення, він виділяє чотири спільні для всіх епох риси, помітно відрізняють цей стиль від стилів мислення в інших науках [8].
По-перше, для математика характерна доведене до краю домінування логічної схеми міркування. Математик, що втратив, хоча б тимчасово, з уваги цю схему, взагалі позбавляється можливості науково мислити. Ця своєрідна риса стилю математичного мислення має в собі багато цінного. Очевидно, що вона максимально дозволяє стежити за правильністю течії думки і гарантує від помилок, з іншого боку, вона змушує мислячого при аналізі мати перед очима всю сукупність наявних можливостей і зобов'язує його врахувати кожну з них, не пропускаючи жодної (такого роду пропуски цілком можливі і фактично часто спостерігаються при інших стилях мислення).
По-друге, лаконізм, тобто свідоме прагнення завжди знаходити найкоротший ведучий до даної мети логічний шлях, нещадне відкидання всього, що не абсолютно необхідно для бездоганної повноцінності аргументації. Математичний твір хорошого стилю не терпить ніякої "води", ніяких прикрашають, що послаблюють логічне напруга просторікувань, відволікань у бік; гранична скупість, сувора строгість думки та її викладу становлять невід'ємну рису математичного мислення. Чорта ця має велику цінність не тільки для математичного, але і для будь-якого іншого серйозного міркування. Лаконізм, прагнення не допускати нічого зайвого, допомагає і самому мислячій, і його читачеві або слухачеві повністю зосередитися на даному ході думок, не відволікаючись побічними уявленнями і не втрачаючи безпосереднього контакту з основною лінією міркування.
Корифеї науки, як правило, мислять і виражаються лаконічно у всіх галузях знання, навіть тоді, коли думка їх створює і викладає принципово нові ідеї. Яке величне враження справляє, наприклад, благородна скупість думки й мови найбільших творців фізики: Ньютона, Ейнштейна, Нільса Бора! Може бути, важко знайти більш яскравий приклад того, яке глибоке вплив може мати на розвиток науки саме стиль мислення її творців.
Для математики лаконізм думки є незаперечним, канонізованим століттями законом. Будь-яка спроба обтяжити виклад не обов'язково потрібними (нехай навіть приємними і захоплюючими для слухачів) картинами, відверненнями, теревенями заздалегідь ставиться під законне підозру і автоматично викликає критичну настороженість.
По-третє, чітка розчленованість ходу міркувань. Якщо, наприклад, при доведенні будь-які пропозиції ми повинні розглянути чотири можливих випадки, з яких кожен може розбиватися на те чи інше число подслучаев, то в кожен момент міркування математик повинен чітко пам'ятати, в якому випадку і подслучае його думка зараз знаходиться, і які випадки і подслучаі йому ще залишається розглянути. При всякого роду розгалужених перерахування математик повинен в кожен момент віддавати собі звіт в тому, для якого родового поняття він перераховує складові його видові поняття. У повсякденній, не науковому мисленні ми дуже часто спостерігаємо у таких випадках змішання і переходи, що призводять до плутанини і помилок у міркуванні. Часто буває, що людина почала перераховувати види одного якого-небудь роду, а потім непомітно для слухачів (а часто і для самого себе), користуючись недостатньою логічної виразністю міркування, перескочив у інший рід і закінчує заявою, що тепер обидва роду расклассифицировать; а слухачі або читачі не знають, де пролягає межа між видами першого і другого роду [9].
Для того щоб зробити такі змішування і перескоки неможливими, математики здавна широко користуються простими зовнішніми прийомами нумерації понять і суджень, іноді (але набагато рідше) застосовуваними і в інших науках. Ті можливі випадки або ті родові поняття, які належить розглянути в даному міркуванні, заздалегідь перенумеровуються; всередині кожного такого випадку ті підлягають розгляду подслучаі, які він містить, також перенумеровуються (іноді, для розрізнення, за допомогою якої-небудь іншої системи нумерації). Перед кожним абзацом, де починається розгляд нового подслучая, ставиться прийняте для цього подслучая позначення (наприклад, II 3,-це означає, що тут починається розгляд третього подслучая другого випадку, або опис третього виду другого роду, якщо мова йде про класифікацію). І читач знає, що до тих пір, поки він не наштовхнеться на нову числову рубрику, все викладене стосується лише цієї нагоди та подслучаю. Само собою зрозуміло, що така нумерація служить лише зовнішнім прийомом, дуже корисним, але аж ніяк не обов'язковим, і що суть справи не в ній, а в тій виразною розчленованості аргументації або класифікації, яку він і стимулює, і знаменує собою.
По-четверте, скрупульозна точність символіки, формул, рівнянь. Тобто "кожен математичний символ має строго певне значення: заміна його іншим символом або перестановка на інше місце, як правило, тягне за собою спотворення, а часом і повне знищення сенсу даного вислову".
Виділивши основні риси математичного стилю мислення, А.Я. Хинчин зауважує, що математика (особливо математика змінних величин) за своєю природою має діалектичний характер, а отже, сприяє розвитку діалектичного мислення. Дійсно, в процесі математичного мислення відбувається взаємодія наочного (конкретного) і понятійного (абстрактного). "Ми не можемо мислити лінії, - писав Кант, - не провівши її подумки, не можемо мислити собі три виміри, не провівши з однієї точки трьох перпендикулярних один до одного ліній" [10].
Взаємодія конкретного і абстрактного "вело" математичне мислення до освоєння нових і нових понять і філософських категорій. В античній математиці (математиці постійних величин) такими були "число" і "простір", які спочатку знайшли відображення в арифметиці і евклідової геометрії, а пізніше в алгебрі і різних геометричних системах. Математика змінних величин "базувалася" на поняттях, в яких відбивалося рух матерії, - "кінцеве", "нескінченне", "безперервність", "дискретне", "нескінченно мала", "похідна" і т.п.

Висновок
Якщо говорити про сучасний історичному етапі розвитку математичного пізнання, то він іде в руслі подальшого освоєння філософських категорій: теорія ймовірностей "освоює" категорії можливого і випадкового; топологія - категорії відносини і безперервності; теорія катастроф - категорію стрибка; теорія груп - категорії симетрії і гармонії і т.д.
У математичному мисленні виражені основні закономірності побудови подібних за формою логічних зв'язків. З його допомогою здійснюється перехід від одиничного (скажімо, від певних математичних методів - аксіоматичного, алгоритмічного, конструктивного, теоретико-множинного та інших) до особливого і загального, до узагальнених дедуктивним побудов. Єдність методів і предмета математики визначає специфіку математичного мислення, дозволяє говорити про особливе математичній мові, в якому не тільки відбивається дійсність, але і синтезується, узагальнюється, прогнозується наукове знання. Могутність і краса математичної думки - в граничної чіткості її логіки, витонченості конструкцій, майстерного побудові абстракцій [11].
Принципово нові можливості розумової діяльності відкрилися з винаходом ЕОМ, зі створенням машинної математики. У мові математики відбулися істотні зміни. Якщо мова класичної обчислювальної математики складався з формул алгебри, геометрії та аналізу, орієнтувався на опис безперервних процесів природи, що вивчаються насамперед у механіці, астрономії, фізики, то сучасний її мова - це мова алгоритмів і програм, що включає старий мову формул як окремого випадку .
Мова сучасної обчислювальної математики стає все більш універсальним, здатним описувати складні (багатопараметричні) системи. Разом з тим хочеться підкреслити, що яким би досконалим не був математичну мову, посилений електронно-обчислювальною технікою, він не пориває зв'язків з різноманітним "живим", природною мовою. Мало того, розмовна мова є базою мови штучного. У цьому відношенні представляє інтерес нещодавнє відкриття вчених. Мова йде про те, що стародавня мова індіанців аймара, на якій говорять приблизно 2,5 мільйона чоловік в Болівії і Перу, виявився надзвичайно зручним для комп'ютерної техніки. Ще в 1610 р . італійський місіонер-єзуїт Людовіко Бертоні, що склав перший словник аймара, зазначав геніальність його творців, котрі домоглися високої логічної чистоти. У аймара, наприклад, не існує неправильних дієслів і ніяких винятків з небагатьох чітких граматичних правил. Ці особливості мови аймара дозволили болівійському математику айваном Гусманія де Рохас створити систему синхронного комп'ютерного перекладу з будь-якого з п'яти закладених в програму європейських мов, "містком" між якими служить мова аймара. ЕОМ "Аймара", створена болівійським вченим, отримала високу оцінку фахівців. Резюмуючи цю частину питання про сутність математичного стилю мислення, слід зазначити, що його основним змістом є розуміння природи

Список літератури
1. Гільде В. Дзеркальний світ. - М., Мир, 2007. - 255 с.
2. Гнеденко Б.В. Математика і математичне освіта в сучасному світі. - М., Просвітництво, 2005. - 177 с.
3. Інформаційна безпека. Під ред. М. А. Вуса. - С-Пб.: Вид-во СПбГУ, 2006. - 201 с.
4. Історія математики. Під ред. А. П. Юшкевича. Т. 1-3. - М., Наука, 2007. - 512 с.
5. Колмогоров А.Н. Математика в її історичному розвитку. - М., Наука, 2005. - 325 с.
6. Курант Р., Роббінс Г. Що таке математика? - М., Просвітництво, 2007. - 190 с.
7. Пойа Д. Математика і правдоподібні міркування. - М., Наука, 2005. - 178 с.
8. Пойа Д. Математичне відкриття. - М., Наука, 2007. - 213 с.
9. Будівництво Д.Я. Короткий нарис історії математики. - М., Фізматліт, 2007. - 346 с.
10. Фор Р., Кофман А., Дені-Папен М. Сучасна математика. - М., Мир, 2006. - 311 с.
11. Шикін Є.В., Шикіна Г.Є. Гуманітаріям про математику. - М., АГАР, 2007. - 170 с.
12. Стилі в математиці: соціокультурна філософія математики. / / За ред. А.Г. Барабашева. - СПб., РХГІ. 2008. - 244 с.


[1] Гільде В. Дзеркальний світ. - М., Мир, 2007. - 255 с.
[2] Курант Р., Роббінс Г. Що таке математика? - М., Просвітництво, 2007. - 190 с.
[3] Гнеденко Б.В. Математика і математичне освіта в сучасному світі. - М., Просвітництво, 2005. - 177 с.
[4] Гнеденко Б.В. Математика і математичне освіта в сучасному світі. - М., Просвітництво, 2005. - 177 с.
[5] Гнеденко Б.В. Математика і математичне освіта в сучасному світі. - М., Просвітництво, 2005. - 177 с.
[6] Пойа Д. Математика і правдоподібні міркування. - М., Наука, 2005. - 178 с.
[7] Курант Р., Роббінс Г. Що таке математика? - М., Просвітництво, 2007. - 190 с.
[8] Фор Р., Кофман А., Дені-Папен М. Сучасна математика. - М., Мир, 2006. - 311 с.
[9] Фор Р., Кофман А., Дені-Папен М. Сучасна математика. - М., Мир, 2006. - 311 с.
[10] Гільде В. Дзеркальний світ. - М., Мир, 2007. - 255 с.
[11] Стилі в математиці: соціокультурна філософія математики. / / За ред. А.Г. Барабашева. - СПб., РХГІ. 2008. - 244 с.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
52.3кб. | скачати


Схожі роботи:
Іслам в сучасному світі
Підприємництво в сучасному світі
Парламент в сучасному світі
Екологія в сучасному світі
Релігія в сучасному світі
Релігія в сучасному світі 2
Католицька церква в сучасному світі
Проблема мігрантів у сучасному світі
Міжнаціональні конфлікти в сучасному світі
© Усі права захищені
написати до нас