МАТЕМАТИКА СТАРОДАВНЬОГО ЄГИПТУ
Бурдун В'ячеслав
м. Луганськ
ССФМШ № 1 6-а клас
11 років
Бурдун В'ячеслав
м. Луганськ
ССФМШ № 1 6-а клас
11 років
Математика Стародавнього Єгипту
Ми почнемо наше дослідження набагато раніше зазначених дат в описі проекту. Адже успіхи античних математиків (у тому числі і Фалеса) не могли виникнути на порожньому місці. Народи Стародавнього сходу на протязі багатьох століть зробили чимало відкриттів в арифметиці, геометрії та астрономії.
Найбільш ранні математичні тексти, відомі в наші дні, залишили дві великі цивілізації старовини - Єгипет і Месопотамія. Саме там з'явилися перші математичні завдання, вирішення яких вимагала повсякденне життя.
Рівень староєгипетської математики був досить високий. Джерел, за якими можна судити про рівень математичних знань стародавніх єгиптян, зовсім небагато. По-перше, це папірус Райнда, названий так за ім'ям свого першого власника. Він був знайдений в 1858 р., розшифрований і видано в 1870 р. Рукопис являла собою вузьку (33 см) і довгу (5,25 м) смугу папірусу, містить 84 завдання. Тепер одна частина папірусу зберігається в Британському музеї в Лондоні, а інша знаходиться в Нью-Йорку. По-друге, так званий Московський папірус - його в грудні 1888 р. придбав у Луксорі російська Єгиптолог Володимир Семенович Голенищев. Зараз папірус належить Державному музею образотворчих мистецтв імені О. С. Пушкіна. Цей сувій довжиною 5,44 м і шириною 8 см включає 25 завдань. І нарешті, "Шкіряний сувій єгипетської математики", з великими труднощами розправлені в 1927 р. і багато в чому пролив світло на арифметичні знання єгиптян. Нині він зберігається в Британському музеї. Подібні папіруси, очевидно, служили свого роду підручниками. У папірусах є завдання на обчислення - зразки виконання арифметичних операцій, завдання на розділ майна, на знаходження об'єму комори або кошика, площі поля і т. д.
Всі правила рахунку древніх єгиптян грунтувалися на вмінні складати і віднімати, подвоювати числа і доповнювати дробу до одиниці. Множення і ділення зводили до складання за допомогою особливої операції - багаторазового подвоєння або роздвоєння чисел. Виглядали такі розрахунки досить громіздким. Для дробів були спеціальні позначення. Єгиптяни використовували дробу виду 1 / n, де n - натуральне число. Такі дробу називаються аліквотних. Іноді замість поділу m: n виробляли множення m * (1 / n). Треба сказати, що дії з дробами складали особливість єгипетської арифметики, в якій найпростіші обчислення часом перетворювалися в складні завдання.
Порівняно невеликий коло завдань у єгипетських папірусах зводиться до вирішення найпростіших рівнянь з одним невідомим. При вирішенні подібних завдань для невідомого використовували спеціальний ієрогліф зі значенням "купа". У задачах про "купу", розв'язуваних єдиним методом, можна угледіти зачатки алгебри як науки про рівняннях.
У єгипетських папірусах зустрічаються також завдання на арифметичну і геометричну прогресії, що ще раз підкреслює не тільки практичний, але і теоретичний характер давньої математики. Дивно, але при досить примітивною і громіздкою арифметиці єгиптяни змогли добитися значних успіхів в геометрії. Вони вміли точно знаходити площа поля прямокутної, трикутної та трапецієподібної форми. Відомо, що в середині І тисячоліття до н. е.. для побудови прямого кута єгиптяни використовували мотузку, розділену вузлами на 12 рівних частин. Кінці мотузки пов'язували і потім натягували її на 3 кілочка. Якщо сторони ставилися як 3:4:5, то виходив прямокутний трикутник. І це - єдиний прямокутний трикутник, який знали в Древньому Єгипті.
Важливим досягненням геометричній науки єгиптян було дуже хороше наближення числа π, яке виходить з формули для площі кола діаметра d. Цьому правилу з п'ятидесятих завдання папірусу Райанда відповідає значення π »3,1605. Проте яким чином єгиптяни отримали саму формулу, з контексту незрозуміло. Зауважимо, що на всьому Стародавньому Сході при обчисленнях використовувалося значення π = 3. Так що в цьому відношенні єгиптяни набагато випередили інші народи.
Серед просторових тіл самим "єгипетським" можна вважати піраміду, адже саме таку форму мають знамениті усипальниці фараонів. Так ось, виявляється, окрім об'єму куба, паралелепіпеда, призми і циліндра єгиптяни вміли обчислювати обсяг усіченої піраміди, в основах якої лежать квадрати із сторонами a і b, а висота h. Для цього вони застосовували спеціальну формулу. Ця формула вважається найвищим досягненням староєгипетської математики.
Математика в Древньому Єгипті представляла собою сукупність знань, між якими ще не існувало чітких кордонів. Це були правила для вирішення конкретних завдань, що мали практичне значення. І лише поступово, дуже і дуже повільно, завдання почали узагальнюватися і набувати більш абстрактні риси.
Як могло з'явитися перше наближення числа π
З приводу формули площі кола нам здається дуже правдоподібною гіпотеза автора численних книг з історії математика А.Є. РАІК: площа кола діаметра d порівнюється з площею описаного навколо нього квадрата, з якого по черзі видаляються малі квадрати із сторонами (1 / 6) d і (1 / 9) d.
У наших позначеннях обчислення будуть виглядати так. У першому наближенні площі кола S дорівнює різниці між площею квадрата зі стороною d і сумарною площею 4-ох малих квадратів А зі стороною (1 / 6) d:
S »d 2 -4 (1 / 6 * d) 2 = d 2 (1-1/9) = (8 / 9) d 2
Далі з отриманої площі потрібно відняти площу 8-ми квадратів У зі стороною (1 / 9) d, і тоді площа кола буде наближено дорівнює наступного виразу:
S »(1-1/9) d 2 -8 (1 / 9 * d) 2 = (1-1/9) d 2 -1 / 9 * (8 / 9) d 2 = (1-1/9 ) d 2 -1 / 9 (1-1/9) d 2 = (1-1/9) 2 d 2
Ми почнемо наше дослідження набагато раніше зазначених дат в описі проекту. Адже успіхи античних математиків (у тому числі і Фалеса) не могли виникнути на порожньому місці. Народи Стародавнього сходу на протязі багатьох століть зробили чимало відкриттів в арифметиці, геометрії та астрономії.
Найбільш ранні математичні тексти, відомі в наші дні, залишили дві великі цивілізації старовини - Єгипет і Месопотамія. Саме там з'явилися перші математичні завдання, вирішення яких вимагала повсякденне життя.
Рівень староєгипетської математики був досить високий. Джерел, за якими можна судити про рівень математичних знань стародавніх єгиптян, зовсім небагато. По-перше, це папірус Райнда, названий так за ім'ям свого першого власника. Він був знайдений в 1858 р., розшифрований і видано в 1870 р. Рукопис являла собою вузьку (33 см) і довгу (5,25 м) смугу папірусу, містить 84 завдання. Тепер одна частина папірусу зберігається в Британському музеї в Лондоні, а інша знаходиться в Нью-Йорку. По-друге, так званий Московський папірус - його в грудні 1888 р. придбав у Луксорі російська Єгиптолог Володимир Семенович Голенищев. Зараз папірус належить Державному музею образотворчих мистецтв імені О. С. Пушкіна. Цей сувій довжиною 5,44 м і шириною 8 см включає 25 завдань. І нарешті, "Шкіряний сувій єгипетської математики", з великими труднощами розправлені в 1927 р. і багато в чому пролив світло на арифметичні знання єгиптян. Нині він зберігається в Британському музеї. Подібні папіруси, очевидно, служили свого роду підручниками. У папірусах є завдання на обчислення - зразки виконання арифметичних операцій, завдання на розділ майна, на знаходження об'єму комори або кошика, площі поля і т. д.
Всі правила рахунку древніх єгиптян грунтувалися на вмінні складати і віднімати, подвоювати числа і доповнювати дробу до одиниці. Множення і ділення зводили до складання за допомогою особливої операції - багаторазового подвоєння або роздвоєння чисел. Виглядали такі розрахунки досить громіздким. Для дробів були спеціальні позначення. Єгиптяни використовували дробу виду 1 / n, де n - натуральне число. Такі дробу називаються аліквотних. Іноді замість поділу m: n виробляли множення m * (1 / n). Треба сказати, що дії з дробами складали особливість єгипетської арифметики, в якій найпростіші обчислення часом перетворювалися в складні завдання.
Порівняно невеликий коло завдань у єгипетських папірусах зводиться до вирішення найпростіших рівнянь з одним невідомим. При вирішенні подібних завдань для невідомого використовували спеціальний ієрогліф зі значенням "купа". У задачах про "купу", розв'язуваних єдиним методом, можна угледіти зачатки алгебри як науки про рівняннях.
У єгипетських папірусах зустрічаються також завдання на арифметичну і геометричну прогресії, що ще раз підкреслює не тільки практичний, але і теоретичний характер давньої математики. Дивно, але при досить примітивною і громіздкою арифметиці єгиптяни змогли добитися значних успіхів в геометрії. Вони вміли точно знаходити площа поля прямокутної, трикутної та трапецієподібної форми. Відомо, що в середині І тисячоліття до н. е.. для побудови прямого кута єгиптяни використовували мотузку, розділену вузлами на 12 рівних частин. Кінці мотузки пов'язували і потім натягували її на 3 кілочка. Якщо сторони ставилися як 3:4:5, то виходив прямокутний трикутник. І це - єдиний прямокутний трикутник, який знали в Древньому Єгипті.
Важливим досягненням геометричній науки єгиптян було дуже хороше наближення числа π, яке виходить з формули для площі кола діаметра d. Цьому правилу з п'ятидесятих завдання папірусу Райанда відповідає значення π »3,1605. Проте яким чином єгиптяни отримали саму формулу, з контексту незрозуміло. Зауважимо, що на всьому Стародавньому Сході при обчисленнях використовувалося значення π = 3. Так що в цьому відношенні єгиптяни набагато випередили інші народи.
Серед просторових тіл самим "єгипетським" можна вважати піраміду, адже саме таку форму мають знамениті усипальниці фараонів. Так ось, виявляється, окрім об'єму куба, паралелепіпеда, призми і циліндра єгиптяни вміли обчислювати обсяг усіченої піраміди, в основах якої лежать квадрати із сторонами a і b, а висота h. Для цього вони застосовували спеціальну формулу. Ця формула вважається найвищим досягненням староєгипетської математики.
Математика в Древньому Єгипті представляла собою сукупність знань, між якими ще не існувало чітких кордонів. Це були правила для вирішення конкретних завдань, що мали практичне значення. І лише поступово, дуже і дуже повільно, завдання почали узагальнюватися і набувати більш абстрактні риси.
Як могло з'явитися перше наближення числа π
З приводу формули площі кола нам здається дуже правдоподібною гіпотеза автора численних книг з історії математика А.Є. РАІК: площа кола діаметра d порівнюється з площею описаного навколо нього квадрата, з якого по черзі видаляються малі квадрати із сторонами (1 / 6) d і (1 / 9) d.
У наших позначеннях обчислення будуть виглядати так. У першому наближенні площі кола S дорівнює різниці між площею квадрата зі стороною d і сумарною площею 4-ох малих квадратів А зі стороною (1 / 6) d:
S »d 2 -4 (1 / 6 * d) 2 = d 2 (1-1/9) = (8 / 9) d 2
Далі з отриманої площі потрібно відняти площу 8-ми квадратів У зі стороною (1 / 9) d, і тоді площа кола буде наближено дорівнює наступного виразу:
S »(1-1/9) d 2 -8 (1 / 9 * d) 2 = (1-1/9) d 2 -1 / 9 * (8 / 9) d 2 = (1-1/9 ) d 2 -1 / 9 (1-1/9) d 2 = (1-1/9) 2 d 2