Лінійні рівняння та їх властивості

1

3

2

1100

2

5

1

1200

2

4

1

3

1800

1

2

5

2500

2

1

2

1200

3

2

3

4

1400

3

1

3

1000

1

2

3

1000

4

1

5

2

1700

2

3

1

1100

3

1

4

1700

5

2

2

4

2200

1

3

1

1300

3

1

2

1600

6

1

3

3

1500

3

1

1

900

2

2

4

1700

7

Тема 2. Векторна алгебра

Упорядковану сукупність дійсних чисел у вигляді називають мірним вектором. Число називають ой компонентою вектора . Для векторів вводять такі лінійні операції.

Сумою двох векторів однакової розмірності називають такий вектор , Компоненти якого дорівнюють сумі відповідних компонент доданків векторів, тобто

Приклад 1.

,

Твором вектора на число називають вектор , Компоненти якого дорівнюють добутку числа на відповідні компоненти вектора , Тобто

Приклад 2.

Лінійні операції над векторами мають такі властивості:

Існує нульовий вектор такий, що для будь-якого вектора

Для будь-якого вектора існує протилежний вектор такий, що

Безліч векторів, в якому визначені операції додавання векторів і множення вектора на число, яке задовольняє наведеним вище властивостями, називається векторним (лінійним) простором і позначається символом .

Вектор називається лінійною комбінацією векторів векторного простору , Якщо він дорівнює сумі творів цих векторів на довільні дійсні числа

.

Вектори називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа , Не всі рівні нулю, що їх лінійна комбінація є нульовим вектором

(1)

В іншому випадку, тобто коли рівність (1) справедливо лише при вектори називаються лінійно незалежними. Можна показати, що якщо вектори лінійно залежні, то принаймні один з них є лінійною комбінацією інших.

Векторний простір називається мірним, а число розмірністю простору, якщо в ньому існує лінійно незалежних векторів, а будь-які з векторів вже є залежними. Таким чином, розмірність простору - це максимальне число містяться в ньому лінійно незалежних векторів.

Сукупність лінійно незалежних векторів мірного простору називається базисом цього простору. Нехай вектори утворюють довільний базис мірного простору . Тоді будь-який вектор простору можна представити і притому єдиним способом у вигляді лінійної комбінації векторів базису

. (2)

Рівність (2) називають розкладанням вектора по базису , А числа координатами вектора щодо цього базису.

Приклад 3. Показати, що вектори , утворюють базис і знайти координати вектора в цьому базисі.

Рішення. Так як кожен вектор заданий трьома координатами, то в розглянутому векторному просторі існує базис і розмірність простору, рівна трьом, збігається з числом заданих векторів . Тому вектори утворюють у ньому базис, якщо вони лінійно незалежні. Складемо векторне рівність

яке можна записати для відповідних координат цих векторів

(3)

Вирішимо отриману систему лінійних рівнянь (3) методом Гаусса.

~ ~ ~

~ ~ ~ ~

~ ~ .

Звідси отримуємо єдине нульовий рішення , Тобто вектори є лінійно незалежними і, отже, утворюють базис простору. Знайдемо тепер розкладання вектора по базису з умови виконання векторної рівності

,

яке для відповідних координат запишеться

Отриману квадратну систему лінійних рівнянь щодо невідомих вирішимо за формулами Крамера. Обчислимо определітелі3-го порядку:

Тоді за формулами Крамера знаходимо координати вектора в базисі :

В результаті маємо

Завдання для контрольної роботи

Показати, що вектори утворюють базис і знайти координати вектора в цьому базисі. Чисельні дані в залежності від варіанту наводяться в таблиці 3.

Таблиця 3

Координати векторів

1

2

3

2

4

6

3

-3

-2

3

3

7

5

2

-1

-2

1

-3

2

-1

2

-5

-3

-6

14

4

3

2

3

-2

-1

-1

1

4

0

1

15

5

0

4

2

6

-10

5

3

2

7

4

3

4

12

-20

5

2

3

1

3

7

2

5

4

2

10

3

3

6

5

4

3

-6

-3

-5

4

2

2

3

2

1

7

2

-1

3

-1

3

2

1

-2

-1

4

-3

3

8

1

2

-1

2

-1

3

3

4

1

10

8

4

9

4

1

-6

-3

2

1

2

3

0

12

-5

-14

10

2

3

1

1

1

2

3

4

1

1

1

4

Номер

варіанту

Зміст завдання

1

Покупець може придбати потрібний йому товар у двох магазинах. Вірогідність звернення до кожного з двох магазинів залежать від їхнього місця розташування і відповідно рівні 0,3 і 0,7. Ймовірність того, що до приходу покупця потрібний йому товар не буде розпроданий, дорівнює 0,8 для першого магазину і 0,4 - для другого, Яка ймовірність того, що покупець придбає потрібний йому товар?

2

Два контролера роблять оцінку якості виробів. Ймовірність того, що черговий виріб потрапить до першого контролеру, дорівнює 0,55, до другого контролеру - 0,45. Перший контролер виявляє наявний дефект з імовірністю 0,8, а другий-з імовірністю 0,9. Обчислити ймовірність того, що виріб з дефектом буде визнано придатним до експлуатації.

3

Товарознавець плодоовочевої бази визначає сорт надійшли від постійного постачальника партії яблук. Відомо, що в середньому 40% вирощеного врожаю постачальником складають яблука 1 сорту. Ймовірність того, що товарознавець візьме першосортну партію першим сортом дорівнює 0,85. Крім того, він може припуститися помилки, вважаючи непервосортную партію - гатунку. Це відбувається з імовірністю 0,2. Яка ймовірність того, що товарознавець неправильно встановить сорт яблук?

4

Магазин отримав дві рівні за кількістю партії однойменного товару. Відомо, що 25% першої партії і 40% другої партії складають товар 1-го сорту. Яка ймовірність того, що навмання вибрана одиниця товару буде першого сорту?

5

Пасажир може придбати квиток в одній з двох кас. Ймовірність звернення в першу касу становить 0,4, а в другу - 0,6. Ймовірність того, що до моменту приходу пасажира потрібні йому квитки будуть розпродані, дорівнює 0,35 для першої каси і 0,7 - для другої каси. Пасажир відвідав одну з кас і придбав квиток. Яка ймовірність того, що він придбав його в у другій касі.

6

У магазин надійшла взуття від двох постачальників. Кількість взуття, що надійшла від першого постачальника, в два рази більше, ніж від другого. Відомо, що в середньому 20% взуття від першого постачальника і 35% взуття від другого постачальника мають різні дефекти обробки. Із загальної маси навмання відбирають одну упаковку з взуттям. Виявилося, що вона не має дефекту обробки. Яка ймовірність того, що її виготовив перший постачальник?

7

Закупорювання банок проводиться двома автоматами з однаковою продуктивністю. Частка банок з дефектом укупорки для першого автомата становить 1%, а для другого - 0,5%. Яка ймовірність того, що взята навмання банку буде мати дефект укупорки?

8

У магазин надійшов однойменний товар, виготовлений двома підприємствами. З першого підприємства надійшло 150 одиниць, з них 30 одиниць першого сорту, а з другого підприємства - 200 одиниць, з них 50 - першого сорту. Із загальної маси товару навмання витягується одна одиниця. Вона виявилася першого сорту. Яка ймовірність того, що вона виготовлена ​​на першому підприємстві?

Тема 4. Випадкові величини

Завдання. Функція розподілу попиту на деякий продуктовий товар для різних мікрорайонів міста задається виразом:

Потрібно знайти:

1. Щільність розподілу ймовірності.

2. Параметри і .

3. Математичне сподівання, дисперсію, середнє квадратичне відхилення попиту.

4. Ймовірність того, що в навмання обраному мікрорайоні попит знаходиться в межах від значення до .

5. Розмір попиту, який для випадкового обраного мікрорайону може бути перевершений з імовірністю .

Параметри (В млн. руб), наводяться в таблиці 5.

Таблиця 5

Рішення.

1. Щільність розподілу ймовірностей є похідною функції розподілу ймовірностей, тому:

2.Найдем параметр . Функція розподілу має наступну властивість: = 1. Обчислимо межа

= .

Звідси = 1.

Далі визначимо параметр . Інтеграл від щільності ймовірності по області реалізації випадкової величини дорівнює одиниці. Відповідно до умов задачі попит як випадкова величина змінюється в межах від до . Тому, знаходячи невласний інтеграл, маємо

Таким чином, = .

3.Вичіслім математичне сподівання попиту через щільність розподілу (з урахуванням того, що = ) Як невласний інтеграл:

.

Знайдемо інтеграл методом інтегрування по частинах. Нехай .

Тоді

.

Застосовуючи формулу інтегрування по частинах, отримаємо

.

Підставивши в отриманий вираз чисельні значення параметрів, знайдемо:

За формулою

визначимо дисперсію попиту. Спочатку обчислимо невласний інтеграл

також методом інтегрування по частинах. Нехай . Тоді

,

.

Останній інтеграл вже знайдений при обчисленні , Тому можна записати:

.

Звідси остаточно отримуємо:

.

Після підстановки чисельних значень параметрів, знаходимо

Середньоквадратичне відхилення обчислюється як квадратний корінь з дисперсії:

4. Ймовірність знаходження випадкової величини в заданому інтервалі можна знайти, використовуючи функцію розподілу

При отримуємо

Підставляючи чисельні значення параметрів, маємо:

Величина , Обумовлена ​​рівністю , Називається квантиль порядку . У задачі потрібно знайти . Запишемо необхідне рівність: або . Логаріфміруя останнє рівність , Знайдемо

.

При = 0,5 отримуємо:

Таким чином, з ймовірністю 0,5 попит у випадково обраному мікрорайоні буде більше 1,35 (млн. руб).

Задача для контрольной работы

Функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом, описывается выражением:

Требуется найти:

1. Плотность распределения вероятности.

2. Параметри і .

3. Математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение годового дохода.

4. Вероятность того, что у наудачу выбранного налогоплательщика годовой доход находится в пределах от значения до .

5. Размер годового дохода, который для случайного выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью .

Параметри для различных вариантов заданий приводятся в таблице 6.

Таблиця 6

500

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

0,55

0,6

0,55

0,65

0,7

Содержание крахмала, %

5,2

5,8

5,7

6,0

5,9

5,3

4,9

5,1

5,3

5,8

Содержание крахмала в пробе, %

5,2

-0,3

0,09

5,8

0,3

0,09

5,7

0,2

0,04

6,0

0,5

0,25

5,9

0,4

0,16

5,3

-0,2

0,04

4,9

-0,6

0,36

5,1

-0,4

0,16

По данным таблицы 8 определим выборочное среднее

Выборочное среднее квадратическое отклонение находится:

Исправленную дисперсию находят для малых значений n (n<30) по значению :

Исправленное стандартное отклонение вычисляют путем извлечения квадратного корня из

:

Для оценки математического ожидания нормально распределенного признака по выборочной средней при неизвестном среднем квадратическом отклонении генеральной совокупности служит доверительный интервал

де =2,26 находим по таблице ( [ 2 ] , приложение 3) по заданным n=10 и =0,95.

Обчислимо

Тоді

або

Оценкой среднего квадратического отклонения нормально распределенного количественного признака по исправленному выборочному среднему квадратическому отклонению служат доверительные интервалы

при

при

де находят по таблице ( [ 2 ] , приложение 4) по заданным значениям n=10 и =0,95. В данном случае и используется первая формула:

або

Чтобы найти вероятность того, что величина содержания крахмала в выбранной наудачу пробе окажется в пределе от до воспользуемся точечными оценками параметров нормального распределения і в формуле:

.

Учитывая нечетность функции Лапласа , имеем ( [ 2 ] , приложение 2)

3. Для того, чтобы при заданном уровне значимости , проверить нулевую гипотезу : о равенстве неизвестной генеральной средней гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе : , надо вычислить наблюдаемое значение статистического критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному значению и числу степеней свободы k=n-1 найти критическую точку . Если справедливо неравенство , то оснований отвергнуть нулевую гипотезу не имеется. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Найдем наблюдаемое значение критерия

В таблице критических точек распределения Стьюдента ( [ 2 ] , приложение 6) по значению =0,05 и числу степеней свободы k = n-1 =9 находим =2,26. Так как выполняется неравенство , то нулевая гипотеза отвергается и выборочная средняя =5,5 значимо отличается от генеральной средней =5,0. Заметим, что если бы проверялась нулевая гипотеза для =5,3, то наблюдаемое значение критерия было бы =1,65 и нулевую гипотезу не было бы оснований отвергать и незначимо отличалась бы от .

Задача для контрольной работы

При анализе производительности труда (тыс. руб) на одного работника за отчетный период было обследовано десять магазинов торга.

Потрібно:

1. Определить выборочное среднее , выборочную дисперсию , среднее квадратическое отклонение , исправленные дисперсию и среднее квадратическое отклонение .

2. Полагая, что изменчивость величины описывается законом нормального распределения, найти доверительные интервалы для ожидаемого среднего значения и ожидаемого среднего квадратического отклонения производительности труда с заданной надежностью , а также вероятность того, что величина производительности труда в выбранном наудачу магазине окажется в пределе от до .

3. Проверить на уровне значимости нулевую гипотезу : при конкурирующей гипотезе : .

Выработка на одного работника (тыс. руб) и параметры для различных вариантов заданий приводятся в таблице 9.

Таблиця 9

Правила виконання та оформлення контрольної роботи

1. Вибір варіантів здійснюється відповідно до останньої цифри навчального шифру студента (наприклад, якщо остання цифра «3», то виконується варіант номер 3, якщо - «0», то - варіант номер 10).

2. Контрольна робота пишеться чорнилом будь-якого кольору (крім червоного) в тонкій зошити, для зауважень рецензента оставляются поля. На обкладинці зошита вказують прізвище, ім'я, по батькові студента, номер студентської групи, навчальний шифр (серія і номер залікової книжки), назва кафедри, найменування дисципліни і номер контрольної роботи, а також домашню адресу.

3. Рішення задач слід розташовувати в порядку проходження номерів, вказаних в завданні, зберігаючи номери завдань. Умови завдань виписувати обов'язково. Якщо кілька завдань мають загальне формулювання, то при переписуванні загальні умови замінюють конкретними даними.

4. Рішення задач потрібно оформляти акуратно, докладно пояснюючи всі дії і використовувані формули. В кінці роботи наводиться список використаної літератури, вказується дата виконання роботи і ставиться підпис виконавця.

Література

Гмурман В.Є. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа,1977.

Гмурман В.Є. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшая школа, 1975.

Вища математика для економістів. Під ред. Н. Ш. Кремера. М.: Банки і біржі, 1997.

Тализін В.А. Контрольна робота з вищої математики. Казань: КД МГУК, 1998.