Загальний фізичний практикум
Частина I

МЕХАНІКА

ЗМІСТ

Вказівки до виконання лабораторних робіт з механіки ... ... ... ...... 4
Математична обробка результатів вимірювань ................................ 6
Лабораторна робота № 1. Вивчення кінематики і динаміки поступального руху на машині Атвуда ......................................... .................. 13
Лабораторна робота № 2. Вивчення обертального руху твердого тіла ............................................. .................................................. ......... ... ........ 17
Лабораторна робота № 3. Визначення моменту інерції і перевірка теореми Гюйгенса - Штейнера методом крутильних коливань.
Тріфлярний підвіс ................................................ .................... ... ................ 21
Лабораторна робота № 4. Визначення моменту інерції махового колеса і моменту сили тертя в опорі ............ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 26
Лабораторна робота № 5. Вивчення законів збереження енергії та імпульсу при ударі ... ... ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ................. .... 29
Лабораторна робота № 6. Визначення швидкості польоту кулі методом балістичного маятника ................... ... ... ... ... ... ... ... ................. ............. 34
Лабораторна робота № 7. Вивчення фізичного маятника .... ... ... ........ 37
Лабораторна робота № 8. Вивчення коливального руху за допомогою математичного маятника ...................................... ............................... 40
Лабораторна робота № 9. Визначення прискорення вільного падіння за допомогою оборотного маятника .................................... ... ........................ 44
Лабораторна робота № 10. Вивчення складання коливань за допомогою електронного осцилографа .................. ... ... ... ... ... ... .............. ................... 46
Лабораторна робота № 11. Дослідження власних коливань струни методом резонансу ....................................... ............................................... 55
Лабораторна робота № 12. Визначення швидкості звуку в повітрі ....... 58
Лабораторна робота № 13. Визначення модуля зсуву методом крутильних коливань ............................................ ............................................... 60
Лабораторна робота № 14. Вивчення деформації розтягування ............. 64
Додаток 1. Формули для обчислення похибок .......................... 70
Додаток 2. Моменти інерції твердих тіл, що мають просту геометричну форму ...................................... .................................................. .71
Додаток 3. Пружні характеристики деяких металів і сплавів ... ... ... ... ..................................... .................................................. .............. 72

ВКАЗІВКИ ДО ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНИХ

Роботи з механіки

Глибоке засвоєння фізики взагалі і механіки зокрема можливо шляхом вивчення теорії і в процесі її застосування для вирішення різних розрахункових, якісних і експериментальних задач.
З фізичним експериментом студент знайомиться вже на лекційних заняттях з фізики. Але залучення його до експериментальних методів і прийомів починається з лабораторного практикуму з механіки у курсі «Фізичні лабораторії». Тут застосовуються і теорія, і, крім того, формуються практичні вміння та навички в проведенні фізичних вимірювань, в обробці і представленні результатів.
Перелік робіт, запропонованих у даному Практикумі, призначений для студентів-фізиків та відповідає вимогам, що пред'являються до цього виду занять, і має резерв робіт і завдань до деяких з них. Це дозволяє використовувати його при постановці практикуму з фізики для студентів інших спеціальностей.
Практикум з механіки містить інструкції та методичні вказівки до виконання робіт, побудованих одноманітно, за приблизною формою: мета роботи, ідея експерименту, теорія, експериментальна установка, проведення експерименту. У завданнях до роботи докладно описана методика експерименту і дані вказівки до обробки результатів.
Якісне виконання і успішний захист результатів лабораторних робіт студентами неможливі без самостійної попередньої підготовки до лабораторних занять. У процесі підготовки до чергового заняття, перш за все, необхідно вивчити з даного керівництву опис виконуваної роботи. Однак, обмежитися тільки цим не можна, так як теоретичне введення до кожної роботи, наведене в даному посібнику, не може розглядатися як достатній мінімум для глибокого розуміння фізичних основ роботи. Тому необхідно до кожної роботи читати матеріал, що відповідає темі роботи, за підручником. Не можна приступати до роботи без засвоєння її основних теоретичних положень, не усвідомивши логіки процедури вимірювань, не вміючи користуватися вимірювальними приладами, які належать до цієї роботи. Приступаючи до роботи, студент повинен твердо представляти мету даної роботи, загальний план роботи, тобто послідовність дій при проведенні вимірювань. Це є головною підставою для допуску до роботи при співбесіді з викладачем на початку заняття.
Приступаючи до виконання лабораторної роботи, студент повинен здійснити збірку і налаштування установки, дотримуючись при цьому вказівки справжнього керівництва і правила техніки безпеки. Ретельність у підготовці приладів до вимірювань і в проведенні самих вимірі є запорукою хороших остаточних результатів. Правильність складання перевіряється викладачем або лаборантом, після чого студент отримує дозволу приступити до роботи.
Результати вимірювань повинні бути оформлені у вигляді короткого звіту. У навчальній лабораторії є зразкові форми звітів по кожній роботі. У них показано, які саме таблиці, графіки, розрахунки обов'язкові в звітах. Звіти повинні містити висновки, зроблені на підставі результатів роботи. Якщо є необхідність, студент має право коректувати форму звіту, домагаючись максимальної на-
глядності представлення результатів. При обробці результатів вимірювань слід приділяти велику увагу розрахунку похибок вимірювань і критичного аналізу отриманих результатів, який повинен бути представлений у висновках.
Наявність звітів та їх захист є підставою для заліку кожної роботи і заліку з курсу «Фізичні лабораторії».

МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ
ВИМІРЮВАНЬ

Під вимірюванням розуміють порівняння вимірюваної величини з іншою величиною, прийнятої за одиницю виміру.
Вимірювання поділяються на прямі і непрямі.
При прямих вимірюваннях обумовлену величину порівнюють з одиницею вимірювання безпосередньо або за допомогою вимірювального приладу, проградуированного у відповідних одиницях.
При непрямих вимірах шукана величина визначається (обчислюється) за результатами прямих вимірювань інших величин, які пов'язані з вимірюваною величиною певної функціональною залежністю.
1. Похибки результатів вимірювань
Істинне значення фізичної величини звичайно точно визначити не можна. Коректний спосіб представлення результатів будь-якого вимірювання полягає в тому, що експериментатор вказує свою найкращу оцінку вимірюваної величини x _Наїл і інтервал, в якому, як він упевнений, вона лежить:
(Вимірювана величина)

(1)
Наприклад: g = 9,82 ± 0,02 м / с ^2.
Величину D х називають абсолютною похибкою або довірчим інтервалом визначення х.
У студентській лабораторії отримані абсолютні похибки зазвичай повинні заокруглюватимуть до однієї значущої цифри, наприклад D g = 0,02385 м / с ² »0,02 м / с ^2.. Але, мабуть, не варто робити округлення типу 0,14» 0,1, адже це відразу на 40% зменшує похибку.
Запис результату вимірювання у вигляді (1) необхідно робити так, щоб остання значуща цифра повинна бути того ж порядку (знаходитися в тій же десяткової позиції), що і похибка. Наприклад: 92,8 ± 0,3; 93 ± 3; 90 ± 30.
Очевидно, що якість вимірювання характеризується не тільки самої абсолютної похибкою, але також і ставленням D x до x _Наїл, тобто відносною похибкою вимірювання

. (2)
Мабуть, найпростіший тип навчального експерименту - вимірювання величини, прийняте значення якої відомо. Наприклад, експеримент щодо визначення швидкості звуку в повітрі зазвичай завершується порівнянням виміряного значення швидкості (припустимо, 329 ± 5м / с) з прийнятим (табличним) значенням 331м / с. Очевидно, що виведення в даному випадку може бути таким: «Обмірюване значення швидкості звуку збігається з табличним значенням з точністю до похибки вимірювання». Вимірювання може розглядатися як задовільний, навіть якщо прийняте значення злегка виходить за рамки виміряного інтервалу (припустимо, 325 ± 5м / с).
У багатьох експериментах вимірюють два значення, які, відповідно до теорії повинні бути рівні. Дві величини вважаються рівними, якщо їх виміряні інтервали перекриваються. Наприклад, імпульси р ₁ = 1,51 ± 0,04 кг × м / с і р ₂ = 1,56 ± 0,06 кг × м / с можна
вважати «рівними з точністю до похибок вимірювань».
Всі похибки поділяють на систематичні, випадкові і промахи.
Систематичної називають таку похибку, яка залишається постійною або закономірно змінюється при повторних вимірах однієї і тієї ж величини. Такі похибки виникають внаслідок конструктивних особливостей вимірювальних приладів, неточності методу дослідження, будь-яких спрощень експериментатора, застосуванні для обчислень неточних формул, округлення констант. Систематичні похибки або збільшують, або зменшують результати вимірювань. У будь-якому вимірювальному приладі закладена та чи інша систематична похибка, яку неможливо усунути, але яку можна врахувати.
Випадкові похибки - помилки, поява яких не може бути попереджено, а їх величина непередбачувана. Тому випадкові похибки можуть зробити певний вплив на окремий вимір, але при багаторазових вимірах вони підпорядковуються статистичним законам і їх вплив на результати вимірів можна врахувати або значно зменшити.
Промахи та грубі похибки, - надзвичайно великі помилки, явно спотворюють результати вимірювання. Цей клас похибок викликаний найчастіше неправильними діями спостерігача. Виміри, що містять промахи, слід відкинути.
Для оцінки повної похибки необхідно знати і випадкову і систематичну похибки.
2. Оцінка точності результатів одного прямого вимірювання
Якщо при повторенні вимірювань в одних і тих же умовах 3 - 4 рази отримано одне і те ж значення, то це означає, що вимірювання не виявляють випадкових змін, а похибка обумовлена тільки систематичної похибкою. Систематична похибка в даному випадку визначається похибками вимірювальних приладів і часто називається інструментальної або приладової похибкою. Є кілька способів завдання цієї похибки:
а) Для деяких приладів інструментальна похибка дається у вигляді абсолютної похибки. Наприклад, для штангенциркуля, в залежності від конструкції його ноніуса, - 0,1 мм або 0,05 мм, для мікрометра - 0,01 мм.
б) Для характеристики більшості вимірювальних приладів часто використовують поняття зведеної похибки d _п (класу точності).
Приведена похибка - це відношення абсолютної похибки D х до граничного значення х _пр вимірюваної величини (тобто до найбільшого її значенням, яке може бути виміряна за шкалою приладу). Приведена похибка зазвичай дається у відсотках:
. (3)
За величиною зведеної похибки прилади поділяють на сім класів: 0,1; 0,2; 0,5, 1,0, 1,5, 2,5, 4.
Знаючи клас приладу, можна розрахувати його абсолютну похибку. Наприклад, вольтметр має шкалу ділень в межах від 0 до 300 В (г _пр = 300 В) і клас точності 0,5. Тоді
.
в) У деяких випадках використовується змішаний спосіб завдання інструментальної похибки. Наприклад, ваги технічні (Т-200) мають клас точності 2. У той же час указується, що при навантаженні до 20 г абсолютна похибка дорівнює 5 мг, до 100 г - 50 мг, до 200 г - 100 мг. Набір шкільних гир відноситься 4-му класу точності, а допустимі похибки мас гир вказані в таблиці 1.

Таблиця 1

Номінальне значення, м	100	50	20	10	5	2	1
Абсолютна похибка, мг	+40	+30	+20	+12	+8	+6	+4
Номінальне значення, м	500	200	100	50	20	10	5
Абсолютна похибка, мг	± 3	± 2	± 1	± 1	± 1	± 1	± 1

Якщо, наприклад, при зважуванні на таких вагах з таким набором гир отримано значення маси тіла 170 г (100 г + 50 г + 20 г), то абсолютна похибка зважування дорівнює: D х = 40 + 30 + 20 + 100 = 200 (мг ) = 0,2 (г).
г) У тих випадках, коли клас точності приладу не вказаний, абсолютна похибка приймається рівною половині ціни найменшої поділки шкали приладу. Так при вимірюванні лінійкою, найменше поділ якої 1 мм, абсолютна похибка дорівнює 0,5 мм.
3. Статистичний аналіз випадкових похибок
Нехай при повторенні вимірювань однієї і тієї ж фізичної величини х в однакових умовах отримані різні значення: x _1, x _2, ..., x _n. Це означає, що є причини, що призводять до випадкового «розкиду» вимірюваної величини x _i (перешкоди, тертя і т. п.). У цьому випадку найкращою оцінкою вимірюваної величини є середнє арифметичне значення знайдених значень x _i

, (4)
де n - число вимірювань.

Рис. 1

При наявності випадкових похибок появу того чи іншого значення величини x _i є випадковою подією. Імовірність появи того чи іншого значення найчастіше визначається законом нормального розподілу Гауса. Розподіл випадкових похибок також найчастіше буває нормальним. Тому розподіл Гаусса може бути записано і як закон нормального розподілу випадкових похибок , Яке при нескінченно великому числі вимірів має вигляд:

де W ₁ - енергія пружної деформації при навантаженні зразка.
Явища непружного притаманні всім реальним твердих тіл, як полімерним, так і низькомолекулярним, в тому числі металів.
Явища непружного металів та інших кристалічних тіл пов'язані з дефектами кристалічної решітки: різними точковими дефектами, дислокаціями і викликаними ними неоднорідностями структури і, як наслідок, наявністю внутрішніх механічних мікронапружень у твердих тілах. Непружного полімерних матеріалів обумовлена зміною структури макромолекул під дією механічних напруг.
Експериментальна установка
Установка для спостереження деформації розтягування представлена на мал.31 Вона складається з масивного підстави 1 з верхнім 2 і нижнім 3 кронштейнами. Випробуваний зразок - дріт 4, закріплюється за допомогою гвинтових затискачів 5 і 6. До нижнього затискача прикріплена платформа 7, на яку для створення навантаження накладаються

Рис. 31. Прилад для вивчення деформації розтягу.

вантажі. Для зручності закріплення дроту верхній затиск зроблений рухомим і може фіксуватися за допомогою гвинта 8. Для того щоб верхній кронштейн під час вимірювань перебував під постійним навантаженням і мав постійний вигин, до нього на тягах 9 підвішена горизонтальна планка 10. На неї перед вимірами навішуються всі вантажі, які потім перекладаються на платформу. Прилад встановлюється (зазвичай кріпиться до стіни) у вертикальному положенні.
Для точного вимірювання величини деформації в роботі застосовується катетометр.
Катетометр призначений для вимірювання вертикальних відрізків, розташованих на відстанях кілька десятків сантиметрів від об'єктива зорової труби катетометра.
Катетометр (рис. 32) складається з вертикального штатива з колонкою 1 на триніжок, вимірювальної каретки 2, зорової труби 3 та відлікового мікроскопа 4. Підйомними гвинтами 5 триніжка колонку можна встановлювати по круглому рівню строго вертикально. За допомогою ручок 6 колонку можна повертати навколо вертикальної осі. Вимірювальна каретка 2, несуча зорову трубу 3 та відліковим мікроскоп 4, переміщається по колонці на роликах. Грубе переміщення каретки по вертикалі здійснюється від руки за відкріплення гвинті 7, точне - за допомогою мікрометричного гвинта 8 при закріпленому гвинті 7.

Рис. 32. Катетометр

Зорова труба 3 укріплена на каретці. Фокусування труби на обрану точку об'єкта проводиться обертанням маховичка 9. Збоку на тубусі є циліндричний рівень, вісь якого паралельна візирної осі труби. Рівень встановлюється в горизонтальному положенні мікрометричним гвинтом шляхом поєднання зображення кінців бульбашки, розглянутого через окуляр зорової труби. При поєднанні половинок бульбашки візирна вісь зорової труби приймає строго горизонтальне положення.
Вимірювальна система катетометра складається з зорової труби і відлікового мікроскопа з освітлювальною системою. У фокальній площині окуляра відлікового мікроскопа встановлено масштабна сітка (рис. 34), на яку спеціальним оптичним пристроєм проектується міліметрова шкала. Вимірювання відстаней між двома точками проводиться за допомогою зорової труби і відлікового мікро-
скопа шляхом порівняння вимірюваної довжини з міліметровою шкалою.
Переміщуючи каретку із зоровою трубою і відліковим мікроскопом по колонці вздовж міліметрової шкали а також обертаючи колонку навколо вертикальної осі, встановлюють трубу на обрані точки об'єкта; відліки знімають через окуляр відлікового мікроскопа за шкалою і масштабної сітці. Довжини вертикальних відрізків визначають як різницю відповідних відліків за шкалою.
Катетометр забезпечений трансформатором для включення в мережу освітлювальної частини відлікового мікроскопа.
Методика вимірювань
За допомогою підйомних гвинтів триніжка по круглому рівню вісь колонки встановлюється строго вертикально.
Освітлювальна частина відлікового мікроскопа включається через трансформатор в мережу.
Гвинт 7 відкріплюється, вимірювальна каретка піднімається на рівень обраної точки об'єкта. Труба грубо встановлюється на обрану точку. Окуляр зорової труби шляхом обертання встановлюється на різке зображення сітки; фокусування труби на різке зображення об'єкта проводиться обертанням маховичка 9. Після цього за допомогою гвинта 8 при закріпленому гвинті 7 проводиться точна наводка труби на обрану точку об'єкта.
Сітка зорової труби має перехрестя (мал. 33), правий горизонтальний штрих якого виконаний у вигляді кутового біссектора. При наводкою труби вибрана точка об'єкта повинна розташовуватися в правій половині кутового біссектора на рівні горизонтального штриха. При цьому необхідно стежити за циліндричним рівнем, зображення пухирців якого повинні утворити дугу.

Рис. 34. Масштабна сітка катетометра

Рис. 33. Біссектор

Після цього знімають перший відлік з масштабної сітці. У полі зору мікроскопа одночасно видно зображення двох штрихів міліметрової шкали, позначені великими цифрами, і масштабна сітка (рис. 34). Виробництво відліку легко усвідомити з наступного прикладу. На рис.34 великий штрих розташовується на масштабній сітці. Ціле число міліметрів дає велика цифра, що відповідає цьому штриху; десяті частки міліметра дає найближча цифра зліва над штрихом. Відлік сотих і тисячних часток міліметра виробляється в горизонтальному напрямку сітки там, де
міліметровий штрих шкали перетинає похилі світлі лінії сітки. На малюнку
міліметровий штрих 162 перебуває під цифрою 2 і між четвертим і п'ятим деле-
ням сітки. Відлік буде 162,244 мм. Тисячні частки міліметра відраховуються на-віч зі становища штриха між вертикальними поділами сітки.
Проведення експерименту
Виміри
1. Для експерименту береться один зразок - дріт з міді, алюмінію, сталі і т. п. (за вказівкою викладача). Дріт добре випрямляють і витягають, на ній не повинно бути надломів і скруток. Довжина зразка 105 - 110 см. Кінці дроту міцно закріплюють за допомогою гвинтів у верхньому і нижньому затиску експериментальної установки. Відпускають гвинт 8 і, піднімаючи верхній затиск, добре натягують дріт. (При цьому не треба докладати великих зусиль, від яких вже може статися значна деформація зразка.) В цьому положенні затиск фіксується гвинтом 8.
2. На нижньому кінці дроту поблизу затиску білою фарбою наносять кільцеву позначку.
3. Масштабною лінійкою вимірюють початкову довжину l ₀ дроту від затискання до мітки, а мікрометром - її діаметр d. Обчислюють площу поперечного перерізу дроту S.
4. На планку 10 навішують всі наявні в наборі вантажі. До гачка на нижньому затиску підвішують платформу для вантажів. Оскільки маса платформи невелика, то розтягнення викликане її вагою, у досвіді не враховується.
5. Готують до вимірювань катетометр. Наводять зорову трубу катетометра на позначку. Роблять нульовий відлік а _0. Нульовий і всі подальші відліки слід робити з якої-небудь однієї, заздалегідь обраної точки мітки, наприклад, за її верхнього краю.
6. При проведенні вимірювань з одним зразком ставляться три завдання: визначити межу пружності матеріалу, виміряти модуль Юнга, отримати гістерезис зразка. Тому в одному досвіді виробляється і навантаження, і розвантаження зразка. При вимірах необхідно враховувати пряме і зворотне післядія, для чого вимірювання величини деформації слід робити через деякий час після навантаження чи розвантаження зразка. Для того, щоб під час досліду постійно вести спостереження за станом зразка, вимірювання, обчислення та побудова діаграми розтягування необхідно вести паралельно.
7. Накладають на платформу один вантаж масою 0,5 кг, який знімають з планки 10. Від навантаження дріт подовжується. Почекавши 20-30 секунд, роблять перший відлік а ₁ по катетометру. Обчислюють величину абсолютної D l ₁ = a ₀ - a ₁ і відносної e ₁ = D l ₁ / l ₀ деформації. Напруга, прикладена до зразка, розраховують за формулою: s = mg / S, де m - маса вантажу.
8. Кладуть на платформу два вантажі. Вимірюють положення мітки а _2. Обчислюють величину абсолютної і відносної деформації: D l ₂ = a ₀ - a _2, e ₂ = D l ₂ / l _0. Отримані дані відкладають на графіку.
9. Продовжують вимірювання, поступово збільшуючи навантаження.
10. Для того щоб отримати наочний гістерезис, збільшують навантаження до тих пір, поки діаграма розтягу стане явно не прямолінійною і почне виходити на ділянку плинності. Після чого по одному знімають вантажі з платформи, навішуючи їх на планку, і роблять відліки положення мітки при розвантаженні b. Дані по розвантаженню зразка заносять у таблицю 11.2 звіту.

Обробка результатів

1. За отриманими даними в одних координатних осях будують графіки залежностей
s = f ₁ (e ₁₎ при навантаженні зразка та його розвантаження s = f ₂ (e _2).
2. Для знаходження меж пропорційності і пружності поступають таким чином. Екстраполюють прямолінійний початковий ділянку діаграми навантаження у бік збільшення відносної деформації (рис. 30) Точка, в якій діаграма починає відхилятися від прямої, відповідає межі пропорційності s _п. Для знаходження межі пружності необхідні дуже точні виміри, які важко провести в студентської лабораторії. Тому в даній роботі будемо умовно вважати, що межа пружності розташований там, де відхилення діаграми від прямолінійного ходу складе 10%. Отже, цю точку на діаграмі розтягування слід відзначити там, де ab / 0 b = 0,1 (рис. 30).
3. За куті нахилу прямолінійного початкової ділянки діаграми навантаження визначають модуль Юнга матеріалу: Е = D s / D e. Порівнюють отримане значення з табличним значенням (Додаток 4).
4. Розраховують величини енергій деформації при навантаженні W ₁ і розвантаженні W ₂ зразки. Значення енергій визначають планіметричних, тобто вимірюючи площі під кривою навантаження і розвантаження. Підрахунок площі ведуть «по клітинках», отриманий результат множать на масштаб по осі x і y. При використанні діаграми s = f (e) значення енергії деформації виходить в розрахунку на 1м ³ матеріалу зразка. Розраховують величину об'ємної щільності поглиненої енергії - площа петлі гістерезису: D W = W ₁ - W _2.
5. За формулою (14.2) розраховують коефіцієнт поглинання енергії.

ДОДАТКИ
Додаток 1. Формули для обчислення похибок деяких функцій

Вид функції	Абсолютна похибка	Відносна похибка
q = x ± × × × ± z
q = x '× × ×' z

q = Cx C = const
q = x ⁿ

q = sinx		d q = ctgx × D x
q = cosx		d q = tgx × D x
q = tgx
q = lgx

Додаток 2. Моменти інерції тіл, що мають просту геометричну форму

Форма тіла	Моменти інерції

Додаток 3. Пружні характеристики деяких металів і сплавів

Матеріал	Модуль Юнга Е ^'10 10, Н / м ²	Модуль зсуву G ^'10 10, Н / м ²
Алюміній	7,05	2,63
Залізо	19-20	7,7-8,1
Константан	16,3	6,11
Латунь	9,7-10,2	3,5
Мідь	10,5-13,0	3,5-4,9
Сталь	20-21	7,9-8,9

. (5)
Найкращою оцінкою похибки окремого вимірювання в цьому випадку є стандартне відхилення (СВ):

. (6)
Величину s ² називають дисперсією.
На кривій нормального розподілу випадкових похибок (рис. 1) є дві характерні точки перегину А, А. Абсциси цих точок рівні ± s, тобто стандартному відхиленню. Можна показати, що ймовірність появи похибок, які не виходять за межі ± s, дорівнює 0,6827 (»68%). Інакше кажучи, при досить великому числі вимірів (практично при n ³ 30) приблизно 70% результатів вимірів будуть потрапляти в інтервал

. В іншій термінології: «потрапляння результату
вимірювань в довірчий інтервал

гарантовано з надійністю a = 0,68 »
Звичайно, надійність вимірювань може бути задана і більша, ніж 0,68. У цьому випадку довірчий інтервал розширюється і його межі можуть бути розраховані за допомогою так званих коефіцієнтів Стьюдента. При виконанні навчальних лабораторних робіт цілком можна обмежитися надійністю a = 0,68.
Стандартне відхилення характеризує середню помилку окремих вимірювань. Результат вимірювань є розумна комбінація всіх n вимірів, і тому є підстави вважати, що він буде більш надійним, ніж будь-яке з окремих вимірювань.
Стандартне відхилення середнього (СОС або SDOM - standard deviation of the mean) дорівнює стандартному відхиленню s, поділеній на :
. (7)
Таким чином, результат багаторазових вимірювань будь-якої фізичної величини повинен представлятися у вигляді:

. (8)
Щоб врахувати і випадкову і систематичну похибку, тобто розрахувати повну похибка вимірювань, зазвичай використовують правило квадратичного складання:

. (9)
4. Оцінка точності непрямих вимірювань
Більшість фізичних величин зазвичай неможливо виміряти безпосередньо, та їх визначення включає два різних етапи. Спочатку вимірюють одну або більше величин x ,..., z, які можуть бути безпосередньо виміряні і, за допомогою яких можна обчислити цікавить нас величину. Потім, використовуючи виміряні значення x ,..., z, обчислюють саму шукану величину. Якщо вимірювання включає ці два етапи, то і оцінка похибок теж включає їх. Спочатку треба оцінити похибки у величинах, що вимірюються безпосередньо, а потім визначити, до якої похибки вони приводять у кінцевому результаті. При цьому, звичайно, необхідно враховувати вид функціонального зв'язку між величинами.
Похибка функції q = f (x ,..., z) кількох змінних x ,..., z, виміряних з похибками D x ,..., D z ... у разі, якщо похибки незалежні і випадкові, визначається за формулою:

. (10)
Обчислення похибки за допомогою формули (9) зазвичай виявляються досить громіздкими. Тому краще проводити поетапне обчислення, використовуючи деякі правила, два з яких є найбільш уживаними:
1. Абсолютна похибка суми і різниці дорівнює квадратичної сумі абсолютних похибок

. (11)
2. Відносна похибка комбінації твори та приватного дорівнює квадратичної сумі відносних похибок

. (12)
Правила обчислення похибок для деяких інших функцій наведено у Додатку 1.
Розглянемо послідовність дій при обчисленні похибки непрямого вимірювання на прикладі формули

.
Спочатку знайдемо абсолютну і відносну похибку суми w = m + M:

.
Потім знайдемо відносну і абсолютну похибки величини v:

.
Аналіз отриманої остаточної формули дозволяє встановити:
а) Похибки яких саме величин вносять найбільший внесок у загальну похибку. Точному виміру цих величин необхідно приділити найбільшу увагу.
б) Похибки яких величин практично не впливають на остаточний результат і їх можна навіть відкинути.
Будемо надалі не приймати до уваги похибки постійних (g, e, p ...) і табличних величин, виміряних з великою точністю. Наприклад, похибка наближеного числа p »3,14 складає всього 0,05%.
5. Лінеаризація функції і метод найменших квадратів

Рис. 2.

У фізичних дослідженнях дуже часто для порівняння експерименту з теорією користуються методом лінеаризації теоретичної залежності, Наприклад, досліджується залежність переміщення S рівноприскореного руху від часу руху. Теоретична залежність має вигляд

, (13)
де а - прискорення вантажів.
Якщо з експериментальних точок побудувати графік залежності S від t, що представляє собою висхідну криву, то з вигляду графіка не можна стверджувати, що це парабола і саме та парабола другого пасмочка, яка відповідає перевіряється закономірності, тому що схожі графіки можуть мати інші закономірності. Єдиним графіком, по зовнішньому вигляду якого можна однозначно судити про характер досліджуваної залежності, є пряма лінія. Для того, щоб скористатися цим властивістю
у перевіреній закономірності необхідно виявити в ній такі нові змінні, залежність між якими була б лінійної. У нашому випадку такими змінними є S і t ^2. Отже, для перевірки справедливості співвідношення (13) має сенс будувати графік експериментальної залежності S від t ^2. На систему координат S, t ² (рис. 2) слід нанести експериментальні точки, а також вправо і вліво від них відкласти відрізки, довжина яких дорівнює погрішностей вимірювання t ² (довірчим інтервалам). Якщо через початок координат і довірчі інтервали можна провести пряму лінію, тобто експериментальна залежність S = f (t ²⁾ є лінійною, значить співвідношення (13) підтверджено експериментально.
Використовуючи графік лінеаризованої залежності, можна визначити деякі параметри досліджуваного явища з таких міркувань. Рівняння прямої можна записати у вигляді
y = kx + b. (14)
Кутовий коефіцієнт k:

, (15)
де D x - довільний відрізок на осі 0Х - приріст аргументу, D y - відповідне приріст функції. Величина b може бути визначена як величина відрізка, який відсікається графіком на осі 0Y. У нашому випадку знання коефіцієнта k дозволяє визначити прискорення руху: a = 2k.
При знаходженні величин k і b з графіка до погрішностей виміру додається похибка побудови графіка. Існує точний метод знаходження величин k і b - метод найменших квадратів (МНК). Цей метод дозволяє провести пряму так, що сума квадратів відхилень експериментальних точок від графіка мінімальна. Формули для визначення величин k і b мають вигляд:
, . (16)
Знаючи k і b і задавшись будь-якими значеннями x ₁ і x _2, можна за формулою (14) обчислити y ₁ і y _2. Потім через дві точки з координатами (x _1, y ₁₎ і (x _2, y ₂₎ проводиться шукана лінія.
Теорія дозволяє також знайти похибки коефіцієнтів k і b. Спочатку обчислюють величини:
, . (17)
Потім обчислюють коефіцієнт лінійної кореляції:
. (18)
Це число приймає значення між -1 і +1. Якщо r близько до ± 1, то точки лежать поблизу деякої прямої лінії; якщо r близько до 0, то точки не корельованості і або незначно, або зовсім не групуються близько прямої лінії.
Обчислення абсолютних похибок коефіцієнтів k і b виконується за формулами:

, . (19)
6. Мікрокалькулятор
Основним призначенням мікрокалькулятора є швидке і точне отримання результатів арифметичних обчислень. Тому відпадає необхідність у застосуванні попереднього округлення чисел.
Враховуючи, що в лабораторних роботах рідко зустрічаються числа, що мають більше чотирьох значущих цифр, точність до восьми цифр, одержуваних на мікрокалькуляторах, є зайвою і маскує існування інструментальної похибки і по Для того щоб уникнути ілюзорного враження про високу точність результату, отриманого за допомогою мікрокалькулятора, потрібно за допомогою правил підрахунку значущих цифр округлити результат математичних обчислень так, щоб точність їх відповідала точності даних, отриманих від вимірювання.

ВИВЧЕННЯ кінематики і динаміки ПОСТУПАЛЬНОГО РУХУ НА МАШИНІ Атвуд

Мета роботи
Експериментальна перевірка основних рівнянь і законів поступального руху тіла на спеціально сконструйованому для цього лабораторній установці - машині Атвуда.
Ідея експерименту
Незважаючи на те, що основні рівняння кінематики і динаміки прямолінійного руху мають просту форму і не викликають сумніву, експериментальна перевірка цих співвідношень дуже складна. Труднощі виникають в основному з двох причин. По-перше, при досить великих швидкостях руху тіл необхідно з великою точністю вимірювати час їх руху. По-друге, в будь-якій системі рухомих тіл діють сили тертя і опору, які важко врахувати з достатнім ступенем точності.
Визначимо, наприклад, час падіння тіла з висоти h = 1,0 м при g рівним 9,8 м / с ^2:

. (1.1)

Рис. 3. Машина Атвуда

Якщо при виконанні експерименту з визначення g з часу падіння тіла з зазначеної висоти допускається похибка у вимірюванні часу рівна 0,01 с, тобто можливо отримання значень часу 0,46 с або 0,44 с, розкид результатів вимірювань виходить неприпустимо великим: g = 9,4 - 10,3 м / с ^2. З метою зменшення впливу точності вимірювання часу на результати вимірів можна, наприклад, різко збільшити висоту падіння. Але при падінні з великих висот досягаються великі швидкості руху, що призводить до різкого збільшення опору повітря, яке важко врахувати.
Труднощі розглянутого досвіду пов'язані з великим значенням прискорення вільного падіння. Так як прискорення велике, то тіло швидко набирає швидкість, а при цьому або час падіння мало і його важко точно виміряти, або сама розрахункова формула не точна, тому що не враховує тертя.
Зменшити прискорення і одночасно максимально зменшити силу опору можна за допомогою пристрою, який називають машиною Атвуда.
Експериментальна установка
Машина Атвуда (рис. 3) складається з легкого блоку Б, через який перекинуто нитку з двома рівними вантажами на кінцях (маса обох вантажів однакова і дорівнює m). Вантажі можуть рухатися уздовж вертикальної рейки зі шкалою Ш. Якщо на правий вантаж покласти невеликий перевантажень, вантажі почнуть рухатися з деяким прискоренням. Кільцева поличка П _1, яка може закріплюватися в будь-якому положенні, призначена для вільного проходу вантажу і для зняття перевантаження. Для прийому падаючого вантажу служить поличка П _2.

Час руху вантажів може вимірюватися за допомогою ручного або стаціонарного се-кундомера.

Машина Атвуда може бути електрифікована, тобто забезпечена електромагнітною муфтою-пускачем та автоматичним секундоміром.

Тертя в машині Атвуда зведено до мінімуму, але для можливо повної компенсації сил тертя маса правого вантажу робиться трохи більша за масу лівого (за допомогою дробу або пластиліну). Операція балансування, виконується з таким розрахунком, щоб вантажі не переважували один одного, але від легкого поштовху вниз правого вантажу вся система приходила в рівномірний рух. (При розрахунках можна вважати маси вантажів однаковими).

Рис. 4. Схема машини Атвуда

Для виконання роботи машина Атвуда повинна бути встановлена строго вертикально, що легко перевірити по паралельності шкали і нитки. Крім того, в тих дослідах, де використовується кільцева поличка, положення її має бути відрегульоване так, щоб вантажі проходили через кільце не торкаючись його, а перевантажень легко знімався і залишався на поличці.

Теорія

Другий закон Ньютона для кожного з тіл системи в припущенні невагомості блоку і відсутності тертя дає

, (1.2)
де Т _{1, 2} - сили натягу нитки, m - маса кожного вантажу, D m - маса перевантаження, а - прискорення системи.

У проекціях на вертикальну вісь Про Y отримуємо співвідношення

(1.3)
Звідси, так як Т ₁ = Т _2, прискорення руху системи дорівнює

. (1.4)
З цього виразу видно, по-перше, що прискорення не залежить від часу, що доводить рівноприскореним характер руху вантажів. По-друге, видно, що змінювати прискорення можна, змінюючи масу перевантаження D m.
У випадку рівноприскореного руху швидкість вантажів v та їх переміщення D S за час t визначаються рівняннями

. (1.5)

Так як початкова швидкість в дослідах на машині Атвуда зазвичай дорівнює нулю і рух умовно починається з початку координат, то

. (1.6)
Будемо називати перше з цих співвідношень законом швидкостей, а друге законом пе-
ня.
Співвідношення (1.6) можуть бути перевірені експериментально.
Проведення експерименту
Завдання 1. Перевірка закону швидкостей
Виміри
1. Перевіряють вертикальність установки машини Атвуда. Балансують вантажі.
2. Зміцнюють на шкалі кільцеву поличку П _1. Регулюють її положення.
3. Накладають на правий вантаж перевантажень в 5-6 м.

4. Рухаючись рівноприскореному з верхнього положення до кільцевої полички, правий вантаж проходить шлях S ₁ за час t ₁ і набуває до кінця цього руху швидкість v (рис. 5). На кільцевій поличці вантаж скидає перевантажень і далі рухається рівномірно зі швидкістю, яку він придбав в кінці розгону. Для визначення її слід виміряти час t ₂ руху вантажу на шляху S _2. Таким чином, кожен досвід складається з двох вимірів: спочатку вимірюється час рівноприскореного руху t _1, а потім вантаж повторно запускається для вимірювання часу рівномірного руху t _2.
5. Проводять 5-6 дослідів при різних значеннях шляху S ₁ (з кроком 15-20 см). Шлях S ₂ вибирається довільно. Отримані дані заносять у таблицю 1.1. звіту
Обробка результатів.
1. За отриманими даними будують графік залежності v = f (t). Крапку (t = 0, v = 0) на графіку не відкладають.

Рис. 5. Перевірка закону
швидкостей

2. Якщо експериментальні точки лягають на пряму з невеликим розкидом і пряма проходить через початок координат, то можна зробити висновок про виконання закону швидкостей.
3. Для визначення з допомогою отриманого графіка прискорення руху спочатку необхідно отримати точне рівняння експериментальної прямій. Для цього застосовують метод найменших квадратів (МНК). Кутовий коефіцієнт прямої, тобто значення коефіцієнта k в отриманому рівнянні, дорівнює прискоренню а.
4. За формулами МНК визначають похибка вимірювання а.
Завдання 2. Перевірка закону переміщень
1. Знімають з машини кільцеву поличку.
2. На правий вантаж накладають перевантажень у 5-6 р.
3. Вимірюють час проходження вантажем відстаней в 20, 40, 60 і т.д. см - всього 6-7 дослідів. Отримані дані заносять у таблицю 1.2 звіту.
4. Залежність S = f (t) - квадратична функція, а її графік - парабола. Однак її графічна ідентифікація («впізнавання») неможлива. Тому будують графік залежності S = f (t ^2). Крапку (t = 0, S = 0) на графіку не відкладають. Якщо експериментальні точки лягають на пряму з невеликим розкидом і пряма проходить через початок координат, то можна зробити висновок про виконання закону переміщень.
5. Як і в завданні 1 для лінеаризації залежності застосовують МНК. За допомогою отриманого рівняння знаходять прискорення руху і визначають похибка його вимірювання.
6. Знаючи маси вантажів і перевантаження, з формули (1.4) знаходять прискорення вільного падіння. Враховуючи похибки вимірювання мас вантажів і перевантаження, знаходять відносну та абсолютну похибку вимірювання прискорення вільного падіння.
Завдання 3. Перевірка другого закону Ньютона.
Оскільки прискорення руху є функцією двох змінних - сили і маси, то вивчення другого закону Ньютона виконується шляхом роздільного дослідження двох залежностей: 1) залежності прискорення від діючої сили при постійній масі системи і 2) залежності прискорення від маси системи при постійній діючій силі.
Дослідження залежності прискорення від сили при постійній масі
Вимірювання та обробка результатів
1. Ретельно балансують вантажі, вибравши їх маси в межах 150 - 200 г кожен.
2. Потім на правий вантаж послідовно накладають перевантаження. У результаті в системі з'являється рушійна сила рівна D mg, де D m - сумарна маса перевантаженням. При цьому, звичайно, загальна маса системи незначно збільшується, але цим зміною маси порівняно з масою вантажів можна знехтувати, вважаючи масу системи постійною.
3. Вимірюють час рівноприскореного руху системи на шляху, наприклад, 1 метр. Всі дані заносять у таблицю 1.3 звіту.
4. Користуючись законом шляхів (1.6), обчислюють прискорення а.
5. Поводять ще 5-6 дослідів, послідовно збільшуючи масу перевантаженням.
6. Будують графік залежності прискорення руху від діючої сили. Крапку (F = 0, a = 0) на графіку не відкладають. Якщо експериментальні точки лягають на пряму з невеликим розкидом і пряма проходить через початок координат, то можна зробити висновок про те, що прискорення дійсно прямо пропорційно силі.
7. За кутовому коефіцієнту отриманої прямої визначають масу системи і порівнюють її реальної масою.
Дослідження залежності прискорення від маси при постійній силі
Вимірювання та обробка результатів
1. Усі досліди проводять з одним і тим же перевантаження, тобто при постійній діючій силі. Прискорення системи виміряється також як і в попередньому завданні.
2. Для зміни маси системи одночасно на правий і лівий вантаж кладуть додаткові однакові вантажі. Всі дані записують у таблицю 1.4 звіту.
3. Графік обернено пропорційній залежності прискорення від маси являє собою гіперболу, яку неможливо ідентифікувати. Для перевірки припущення про обернено пропорційній залежності між прискоренням і масою

необхідно побудувати графік залежності прискорення від зворотного значення маси системи: a = f (М ^-1). Підтвердженням припущення є прямолінійність цього графіка.
4. За кутовому коефіцієнту отриманої прямої визначають значення прикладеної сили і порівнюють її з реально діючої в системі.

ВИВЧЕННЯ ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ ТВЕРДОГО ТІЛА

Мета роботи
Експериментальна перевірка основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла навколо закріпленої осі.
Ідея експерименту
В експерименті досліджується обертальний рух закріпленої на осі системи тіл, у якої може змінюватися момент інерції (маятник Обербека). Різні моменти зовнішніх сил створюються вантажами, підвішеними на нитці, намотаною на шків.
Теорія
Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла з моментом інерції J навколо нерухомої осі z має вигляд

, (2.1)

Рис. 6. Маятник Обербека

де

- Кутове прискорення, М - повний момент зовнішніх сил. Оскільки величина e є функцією двох змінних, то вивчення закону динаміки обертального руху твердого тіла виконується шляхом роздільного дослідження двох залежностей: 1) залежно кутового прискорення від моменту сили при постійному значенні моменту інерції (J = const) і 2) залежно кутового прискорення від моменту інерції при постійному значенні моменту сили (M = const).
Повний момент зовнішніх сил дорівнює
M = M _н - М _тр, (2.2)
де М _н - обертаючий момент (у цій роботі - момент сили натягу нитки) М _тр - момент сили тертя. З урахуванням цього основне рівняння динаміки обертального руху приймає вигляд лінійної залежності моменту сили натягу М _н від e.

. (2.3)
Для експериментального доказу справедливості цього співвідношення в роботі використовується маятник Обербека (рис. 6). Він складається з чотирьох стрижнів А і двох шківів з різними радіусами R ₁ і R _2, укріплених на одній горизонтальній осі. По стрижнях можуть переміщатися і закріплюватися у потрібному положенні чотирьма циліндричними вантажу (по одному на кожному стрижні) однакової маси m _1. За допомогою вантажу маси m, прикріпленого до кінця нитки, намотаною на той чи інший шків, маятник може приводитися в обертання. Визначаючи тривалість t руху і переміщення h вантажу, можна визначити прискорення його поступального руху

. (2.4)
Це прискорення дорівнює лінійного прискорення точок шківа і пов'язане з кутовим прискоренням хрестовини співвідношенням

. (2.5)
Момент сили натягу Т нитки дорівнює
M _н = Т R . (2.6)
Силу Т можна визначити з другого закону Ньютона для поступального руху, який у проекціях на вісь 0 Y дає
, (2.7)

Рис. 7. Залежність моменту сили натягу
нитки від кутового ускор ения

де m - маса вантажу.
Таким чином, момент сил натягу
нитки дорівнює

. (2.8)

Згідно (2.3) М _н лінійна функція e. На рис. 7 ці залежності для різних зна-чений моментів інерції системи зображені у вигляді графіків, кутові коефіцієнти яких дорівнюють J. Ці графіки відсікають від осі М _н відрізки, рівні моменту сили тертя М _тр. Так як М _тр однаковий у всіх дослідах, то всі графіки повинні перетинатися в одній точці. Функція (2.3) вірна для будь-яких двох моментів сил, тому

(2.9) Звідки

. (2.10)
Таким чином, величина J може бути, з одного боку, виміряна, а з іншого боку, розрахована, виходячи з мас і геометричних розмірів деталей установки Обербека. Момент інерції J маятника обчислюється з умови адитивності моменту інерції і дорівнює сумі моментів інерції шківів, хрестовини і циліндричних вантажів, що обертаються навколо осі, не проходить через їх середини. Графіки дозволяють також визначити момент сили тертя М _тр., Що діє в системі.
Експериментальна установка
Вісь маятника Обербека закріплена в підшипниках, так що вся система може обертатися навколо горизонтальної осі. Пересуваючи вантажі по спицях, можна легко змінювати момент інерції системи. На шків виток до витка намотується нитка, до якої прив'язана платформа відомої маси. На платформу накладаються вантажі з набору. Висота падіння вантажів вимірюється за допомогою лінійки, укріпленої паралельно нитки. Маятник Обербека може бути забезпечений електромагнітною муфтою - пускачем і електронним секундоміром. Перед кожним досвідом маятник слід ретельно відрегулювати. Особливу увагу необхідно звернути на симетричність розташування вантажів на хрестовині. При цьому маятник опиняється в стані байдужої рівноваги.
Проведення експерименту
Завдання 1. Оцінка моменту сили тертя, що діє в системі
Виміри
1. Встановлюють вантажі m ₁ на хрестовині в середнє положення, розміщуючи їх на рівній відстані від осі таким чином, щоб маятник знаходився в положенні байдужої рівноваги.
2. Накладаючи невеликі вантажі на платформу, визначають наближено мінімальну масу m _0, при якій маятник почне обертатися. Оцінюють момент сили тертя із співвідношення
М _тр = m ₀ gR, (2.11)
де R - Радіус шківа, на який намотана нитка.
3. Подальші вимірювання бажано проводити з вантажами масою m ³ 10 m _0.
Завдання 2. Перевірка основного рівняння динаміки обертального руху
Виміри
1. Зміцнюють вантажі m ₁ на мінімальній відстані від осі обертання. Балансують маятник. Вимірюють відстань r від осі маятника до центрів вантажів.
2. Намотують нитку на один з шківів. За масштабній лінійці вибирають початкове положення платформи, виробляючи відлік, наприклад, за її нижньому краю. Тоді кінцеве положення вантажу буде перебувати на рівні піднятою приймальної платформи. Висота падіння вантажу h дорівнює різниці цих відліків і може бути залишена у всіх дослідах однаковою.
3. Кладуть на платформу перший вантаж. Розташувавши вантаж на рівні верхнього відліку, фіксують це положення, затискаючи нитка електромагнітною муфтою. Готують до вимірювання електронний секундомір.
4. Відпускають нитка, надавши вантажу можливість падати. Це досягається відключенням муфти. При цьому автоматично включається секундомір. Удар об приймальню платформу зупиняє падіння вантажу і зупиняє секундомір.
5. Вимірювання часу падіння при одному і тому ж вантаж виконується не менше трьох разів.
6. Проводять вимірювання часу падіння вантажу m при інших значеннях моменту М _н. Для цього або додають на платформу додаткові перевантаження, або перекидають нитку на інший шків. При одному і тому ж значенні моменту інерції маятника необхідно провести вимірювання не менше ніж з п'ятьма значеннями моменту М _н.
7. Збільшують момент інерції маятника. Для цього досить симетрично перемістити вантажі m ₁ на кілька сантиметрів. Крок такого переміщення повинен бути обраний таким чином, щоб отримати 5-6 значень моменту інерції маятника. Проводять вимірювання часу падіння вантажу m (п.2-п.7). Всі дані заносять у таблицю 2.1 звіту.
Обробка результатів. Дослідження залежності кутового прискорення від моменту сили при постійному значенні моменту інерції.
1. Користуючись формулами (2.4.), (2.5), (2.8), визначають для кожного досвіду з середнім значенням часу

значення лінійного прискорення а, кутового прискорення e і моменту сили натягу нитки М _н.
2. Будують графіки залежностей моменту сили М _н, як функції, від кутового прискорення e, як аргументу, для різних моментів інерції маятника J. Т. до М _н = f (e) - лінійна функція, то її графіки будуть прямими лініями. Якщо експериментальні точки не лягають на пряму, графіки треба проводити так, щоб «розкидання» точок був приблизно однаковий по обидві сторони прямій. При цьому вони не обов'язково пройдуть через одну точку на вертикальній осі. Малий «розкидання» точок свідчить про хорошу лінійності функції М _н = f (e) і тому, що кутове прискорення дійсно прямо пропорційно повного моменту сил, прикладених до обертового тіла.
Обробка результатів. Дослідження залежності кутового прискорення від моменту інерції при постійному значенні моменту сили
1. Для дослідження використовують раніше побудований графік. Розраховують моменти інерції маятника за формулою (2.10). Для цього потрібно вибирати точки прямо з графіків, наприклад, А (М _1н, e ₁₎ і В (М _2н,, e _2).
2. На графіку проводять горизонтальну пряму через довільну точку на осі М _н, що перетинає графіки М _н = f (e). Точки перетину дозволяють визначити ті значення кутових прискорень маятника, які відповідають різним значенням моментів інерції, але при постійному значенні моменту сили M = M _н - M _тр. Записують отримані значення e і відповідні їм значення J в таблицю 2.2. звіту.
3. Кутове прискорення назад пропорційно моменту інерції, тобто графік залежності e = f (J) являє собою гіперболу і не ідентифікується. Але графік залежності e = f (J ^-1) повинен являти собою пряму лінію, що проходить через початок координат. Тому слід обчислити величини J ^-1 і побудувати відповідний графік. Кутовий коефіцієнт нахилу цього графіка дорівнює повного моменту прикладених сил.
Обробка результатів. Визначення моменту сили тертя, що діє в системі
1. В ідеальному випадку всі графіки M = f (e) повинні перетинатися в одній точці, що лежить на осі М. Координата цієї точки дає значення моменту сили тертя. Для реальних же графіків, швидше за все, буде мати місце деякий розкид в положенні цієї точки.
2. Визначити за графіком всі значення моменту сили тертя і знайти його середнє значення. Порівняти отриманий результат з раніше виміряними в завданні 1.
Завдання 3. Порівняння виміряних і обчислених значень моментів інерції
маятника
1. Виписують у таблицю 2.4 звіту виміряні значення моментів інерції маятника.
2. Використовуючи формули для розрахунку моментів інерції геометрично правильних тіл і теорему Гюйгенса - Штейнера, обчислюють моменти інерції шківів, хрестовини і вантажів, що обертаються навколо осі, не проходить через їх середину. Дані для розрахунку беруть з «паспорти» приладу. Загальний момент інерції маятника знаходиться підсумовуванням моментів інерції деталей маятника.
3. Порівнюють обчислені і виміряні значення моментів інерції. Знаходять відносні відхилення обчислених і виміряних моментів інерції:

ВИЗНАЧЕННЯ МОМЕНТУ ІНЕРЦІЇ І ПЕРЕВІРКА ТЕОРЕМИ Гюйгенс-Штейнер

Методом крутильних коливань

Мета роботи

Експериментальна перевірка теореми Гюйгенса - Штейнера та визначення моментів інерції тіл простої форми.

Ідея експерименту

В експерименті використовується зв'язку між періодом коливань крутильного маятника і його моментом інерції. Як маятника обрана кругла платформа, підвішена в полі тяжіння на трьох довгих нитках (тріфілярний підвіс). Платформа може здійснювати крутильні коливання навколо вертикальної осі. На платформу поміщаються тіла різної форми, вимірюються періоди коливань маятника і визначаються значення моментів інерції цих тіл. Теорема Гюйгенса - Штейнера перевіряється за відповідністю між експериментальної і теоретичної залежностями моментів інерції вантажів від їх відстані до центру платформи.

Теорія

Рис. 8. Пристрій тріфілярного підвісу

Основне рівняння обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі має вигляд

, (3.1)
де w - кутова швидкість обертання, J - момент інерції тіла відносно осі обертання, М - момент зовнішніх сил відносно цієї осі.
Теорема Гюйгенса - Штейнера. Якщо момент інерції тіла відносно деякої осі обертання, що проходить через центр мас, має значення J ₀ , То щодо будь-якої іншої осі, що знаходиться на відстані а від першої і паралельної їй, він буде дорівнює

, (3.2)
де m - Маса тіла.
Для перевірки теореми Гюйгенса - Штейнера в даній роботі досліджуються крутильні коливання твердого тіла на тріфілярном підвісі. Тріфілярний підвіс являє собою круглу платформу радіуса R, підвішену на трьох симетрично розташованих нитках однакової довжини, укріплених у її країв (рис. 8). Нагорі ці нитки також симетрично прикріплені до диска трохи меншого розміру (радіуса r). Платформа може здійснювати крутильні коливання навколо вертикальної осі ГО ¢, перпендикулярної до її площини і проходить через її центр. Такий рух платформи призводить до зміни положення її центру ваги по висоті.
Якщо платформа маси m, обертаючись в одному напрямку, піднялася на висоту h, то
прирощення її потенційної енергії дорівнюватиме

, (3.3)
де g - прискорення сили тяжіння. Обертаючись в іншому напрямку, платформа прийде в положення рівноваги (h = 0) з кінетичною енергією, що дорівнює

, (3.4)
де J - момент інерції платформи, w ₀ - кутова швидкість обертання платформи в момент проходження нею положення рівноваги.
Нехтуючи роботою сил тертя, на підставі закону збереження механічної енергії маємо:

. (3.5)
Вважаючи, що платформа робить гармонійні крутильні коливання, можна записати залежність кутового зсуву платформи a від часу t у вигляді

, (3.6)
де a - кутовий зсув платформи, a ₀ - кут максимального повороту платформи, тобто амплітуда кутового зсуву, Т - період коливання. Для кутової швидкості w, яка є першою похідною за часом від величини зсуву, можна записати

. (3.7)
У моменти проходження платформи через положення рівноваги (t = 0, 0,5 Т, ...) величина w (t) буде максимальна і дорівнює

. (3.8)
З виразів (3.5) і (3.8) випливає, що

. (3.9)
Якщо l довжина ниток підвісу, R - відстань від центру платформи до точок кріплення ниток на ній, r - радіус верхнього диска (рис. 8), то легко бачити, що

(3.10)

Так як

, (3.11)
а при максимальному відхиленні платформи від положення рівноваги

, (3.12)
то

. (3.13)
При малих кутах відхилення a ₀ значення синуса цього кута можна замінити просто значенням a _0. Враховуючи також, що при R << l величину знаменника можна покласти рівною 2 l, отримуємо

(3.14)
При цьому закон збереження енергії (2.9) прийме вигляд:

, (3.15)
звідки випливає, що

(3.16)
За формулою (3.16) можна експериментально визначити момент інерції порожньої платформи або платформи з тілом, покладеним на неї, так як всі величини у правій частині формули безпосередньо вимірюються. Слід пам'ятати, що m - це сумарна маса платформи і досліджуваного тіла, покладеного на неї.

Експериментальна установка

Вид установки показаний на рис.8. Ставлення радіусу платформи до довжини ниток підвісу R / l <0,05, що відповідає наближенням, використовуваним при виведенні формули (3.16).
Тіла на платформу необхідно класти строго симетрично, так, щоб не було перекосу платформи. Для полегшення визначення положення вантажів та більш точної їх установки на платформі нанесені радіальні лінії і концентричні кола на певній відстані один від одного (5 мм).
Обертальний імпульс, необхідний для запуску крутильних коливань, повідомляється платформі шляхом повороту верхнього диска навколо осі. Це досягається за допомогою важеля, закріпленого на верхньому диску. При такому порушенні майже повністю відсутні інші види коливань, наявність яких ускладнює вимірювання. При вимірах неприпустимо користуватися амплітудами коливань, великими 10 ^°.
Вимірювання часу коливань може проводитися або за допомогою ручного секундоміра або за допомогою таймера.

Проведення експерименту

Завдання 1. Вимірювання моменту інерції порожньої платформи

Вимірювання та обробка результатів

1. Момент інерції порожньої платформи J _пл визначається за формулою (3.16). При цьому період коливань порожньої платформи Т і його похибка визначаються на досвіді, а величини l, R, r, m і їх похибки даються, як постійні установки.
2. Повідомляють платформі обертальний імпульс і вимірюють час t деякого числа (N = 15 -20) повних коливань. Такі вимірювання повторюють 3 - 5 разів. Отримані результати заносять в таблицю 3.1 звіту.
3. За експериментальними даними для кожного досліду знаходять значення періоду крутильних коливань.
4. Знаходять середнє значення

і повну похибка періоду коливань. При цьому систематична похибка у вимірі періоду може бути взята рівною

.
5. Обчислюють момент інерції платформи J _плЕ. Знаходять величину відносної й абсолютної похибки для моменту інерції платформи.
6. Розраховують теоретично момент інерції платформи J _{пл T,} виходячи з її маси і розмірів. Знаходять похибка такого розрахунку.
7. Порівнюють вимірюється на досвіді і розрахований теоретично значення моменту інерції порожньої платформи. Вказують на скільки відсотків експериментальне
значення відрізняється від теоретичного:

.
Завдання 2. Визначення моментів інерції тіл заданої форми

Вимірювання та обробка результатів

1. Платформу по черзі навантажують досліджуваними тілами таким чином, щоб їх центр мас збігався з віссю обертання платформи. В якості досліджуваних тіл вибираються пластини, що мають форму квадрата, прямокутника, рівностороннього трикутника, диска, а також інші тіла правильної геометричної форми.
2. Вимірюють час декількох коливань всієї системи. Для кожного тіла проводять вимірювання 3 - 5 разів. Результати вимірювань заносять в таблицю 3.2 звіту.
3. Обчислюють моменти інерції навантажених платформ J _N та їх похибки. При цьому необхідно врахувати, що в формулу (3.16) слід підставляти суму мас тіла і платформи, а у формулі похибки похибка маси дорівнює сумарній погрішності маси платформи і тіла.
4. Користуючись тим, що момент інерції - величина адитивна, обчислюють моменти інерції тіл: J _Е = J _N - J _плЕ. Знаходять величину абсолютної і відносної похибки для моментів інерції тіл.
5. Проводять порівняння експериментально отриманих значень моментів інерції з розрахованими теоретично (див. Додаток 3). Результати розрахунків заносять до таблиці 3.3 звіту.
Завдання 3. Перевірка теореми Гюйгенса - Штейнера

Виміри

1. Для перевірки теореми Гюйгенса - Штейнера використовують два або кілька однакових тіл, що мають циліндричну форму.
2. Встановлюють вантажі в центрі платформи, поклавши їх один на інший. Збуджують крутильні коливання платформи. Вимірюють час t декількох коливань (N = 15 - 20). Дані заносять в таблицю 3.4 звіту.
3. Розташовують вантажі симетрично на платформі щодо осі обертання. Проводять вимірювання часу коливань для 5 - 7 положень вантажів, поступово переміщаючи їх до країв платформи. Заносять в таблицю 3.4 значення відстаней від центру мас кожного тіла а до центра платформи, число коливань N і час цих коливань t _N.

Обробка результатів

1.
Рис. 9. Схематичне представлення залежності J від a ²
Для кожного положення вантажів визначають період коливань вантажів T _i.

2. Заносять в таблицю значення а ^2.
3. Для кожного положення вантажів знаходять значення моменту інерції платформи з вантажами J _i за формулою (3.16).
4. Отримані значення моменту інерції J _i наносять на графік залежності моменту інерції системи тіл від квадрата відстані центру мас вантажів до осі обертання а ² (схематично ця залежність представлена на рис. 9). Як випливає з теореми Гюйгенса - Штейнера, цей графік має бути прямою лінією, з кутовим коефі-
циентов чисельно рівним 2 m _гр, де m _гр - маса одного вантажу. Крім того, відрізок, що відсікається від осі ординат, дорівнює сумі моментів інерції ненавантаженої платформи і моментів інерції вантажів b = J _пл + 2 J _0гр.
5. З залежності J = f (a ²⁾ визначають значення m _гр і величину b. Порівнюють отримане значення з масами вантажів, що використовуються в роботі, а також отримане значення b з розрахунковим значенням. Збіг цих величин (з урахуванням похибок обчислень) також підтверджує теорему Гюйгенса-Штейнера.

ВИЗНАЧЕННЯ моменту інерції махових КОЛЕСА І СИЛИ тертя в опорах

Мета роботи

КОЛЕСА І МОМЕНТУ СИЛИ тертя в опорах

Визначення моменту інерції колеса і моменту сили тертя в опорі, використовуючи закон збереження і перетворення енергії.

Ідея експерименту

В експерименті використовується масивне колесо, насаджене на горизонтально розташований вал. Колесо приводиться в обертання за допомогою намотаного на вал шнура, до кінця якого прикріплений вантаж.

Теорія

Момент інерції - міра інертності тіла при обертальному русі. Необхідно мати на увазі, що момент інерції в загальному випадку може мати різні значення щодо різних осей обертання тіла. Якщо тіло має довільну форму і довільний розподіл мас, момент інерції можна визначити тільки приблизними підсумовуванням

,
де r _i - відстань від осі обертання до i-тої елементарної маси D m _i.
Якщо тіло має правильну геометричну форму і постійну щільність по всьому об'єму, підсумовування може бути замінено інтегруванням по всьому об'єму

Рис. 10. Пристрій махового колеса

.
Для розрахунку моментів інерції тіл, що мають просту геометричну форму (диск, стрижень, квадрат і т.д.), зазвичай користуються готовими формулами (Додаток 3).
У випадках, коли розрахунок моментів інерції тіл утруднений, застосовують різні способи їх вимірювання. Ряд таких способів розглянуто в даному практикумі. У цій роботі пропонується енергетичний підхід до визначення моменту інерції.
Махове колесо (рис. 10) складається з маховика А, жорстко закріпленого на горизонтальному валу В. На вал намотується шнур, до кінця якого прикріплений вантаж масою m, під дією сили тяжіння якого вал може розкручуватися. При обертанні будь-якого тіла виникають моменти сил, що перешкоджають його обертанню. Ці моменти створюються, в основному, силами тертя в опорах і, частково, силою опору повітря. Останній в даній роботі не враховується через його малості. Величина моменту сили тертя М _тр в опорах може бути встановлена, наприклад, з умови рівноваги М - М _тр = 0, а також по втраті енергії тіла, що обертається, як це зроблено в даній роботі. При падінні з висоти h ₁ потенційна енергія вантажу mgh ₁ йде на збільшення кінетичної енергії поступального
руху самого вантажу mv ² / ^2, на збільшення кінетичної енергії обертального руху маховика і валу приладу J w ² / ² і на здійснення роботи А = М _тр j з подолання тертя в опорах. За законом збереження енергії

, (4.1)
де j ₁ - кутове переміщення вала в опорі, відповідне переміщення h ₁ вантажу.
Рух вантажу рівноприскореним, без початкової швидкості, тому

, (4.2)
де t - час опускання вантажу з висоти h _1. Кутова швидкість махового колеса

, (4.3)
де r - радіус валу В. Момент сили тертя М _тр встановлюється таким чином. Колесо, обертаючись по інерції, піднімає вантаж на висоту h ₂ <h _1, на якій потенційна енергія буде рівна mgh _2. Зміна потенційної енергії при русі вантажу дорівнює роботі з подолання моменту сили тертя в опорах, тобто

. (4.4)
Звідки

. (4.5)
Висловлюючи кутовий шлях (j ₁ + j ₂₎ через лінійний (h ₁ + h ₂₎ і радіус валу r, отримуємо

. (4.6)
Цей вираз є робочою формулою для вимірювання М _тр. Підставляючи в формулу (4.1) значення v, w, М _тр з (4.2), (4.3), (4.6), отримуємо робочу формулу для визначення моменту інерції махового колеса

. (4.7)
Експериментальна установка
При підготовці до вимірювання махового колеса шнур намотується на вал виток до витка. До кінця шнура прикріплена платформа відомої маси, на яку накладаються вантажі з набору до установки. Для вимірювання висоти падіння вантажу h ₁ і висоти його підняття h ₂ поряд з установкою укріплена масштабна лінійка. Час падіння вантажу вимірюється за допомогою ручного або стаціонарного електронного секундоміра.
Проведення експерименту
Завдання 1. Вимірювання моменту інерції махового колеса і моменту сили тертя
Виміри
1. Штангенциркулем вимірюють радіус валу.
2. Висоту падіння вантажу h ₁ у всіх дослідах можна брати однією і тією ж. Тому її можна попередньо виміряти як відстань між заздалегідь вибраним верхнім
становищем вантажу і його положенням при повному розмотуванні шнура.
3. Намотують шнур на вал, піднімаючи вантаж до обраної позначки. На платформу кладуть один вантаж з набору. Вимірюють час падіння вантажу до повного розмотування шнура.
4. Вимірюють висоту h _2, на яку піднімається вантаж після розмотування шнура.
5. Досвід з одним вантажем повторюють не менше трьох разів. Потім виконують вимірювання з двома і трьома вантажами. Всі дані заносять у таблицю 4.1 звіту.

Обробка результатів

1. За формулами (4.6) і (4.7) для кожного значення маси обчислюють момент сили тертя в опорах і момент інерції махового колеса, підставляючи середні значення часу t і висоти h _2.
2. Знаходять середнє значення моменту інерції махового колеса. Не має сенсу знаходити середнє значення моменту сили тертя, так як при різних навантаженнях на вал він повинен мати різні значення.
3. Похибки вимірювання моменту інерції пропонується оцінити для досліди з одним з вантажів. Отримане значення відносної похибки моменту інерції можна застосувати до середнього значення моменту інерції. Величини систематичних похибок вимірювань висот h ₁ і h ₂ слід брати, виходячи з реальних умов їх виміру. Похибки вимірювань мас платформи і вантажів рівні ± 0,5 г.
4. Аналізують внесок похибок вимірювань всіх величин в загальну погрішність і вказують, яка з величин повинна бути виміряна з найбільшою точністю.
Завдання 2. Обчислення моменту інерції махового колеса

Необхідно розрахувати момент інерції махового колеса, виходячи з його конструкції і геометричних розмірів. Щільність заліза прийняти рівною 7,8 г / см ^3. Похибка цього розрахунку можна не визначати. Розраховане значення моменту інерції порівнюють з виміряним.

ВИВЧЕННЯ ЗАКОНІВ ЗБЕРЕЖЕННЯ ЕНЕРГІЇ І ІМПУЛЬСУ ПРИ УДАРІ

Мета роботи

Ознайомитися з явищем удару на прикладі зіткнення підвішених на нитках куль.

Ідея експерименту

Дослідження пружного та непружного удару куль дозволяє експериментально перевірити закони збереження імпульсу та енергії, на базі яких виведені робочі формули, а також встановити деякі закономірності ударів. Проводиться зіставлення теоретичних висновків і експериментально отриманих результатів.

Теорія

Удар - сукупність явищ, що виникають при короткочасному додатку до тіла зовнішніх сил, пов'язаних із значним зміні його швидкості за дуже короткий проміжок часу. Удар зазвичай протікає протягом тисячних або навіть мільйонних часток секунди. Удар називається центральним і прямим, якщо при ударі центри тяжіння тіл лежать на лінії удару, а їх відносна швидкість паралельна лінії удару. У залежності від пружних властивостей тіл, характер удару може змінюватися від абсолютно пружного до абсолютно непружного. Розсіювання енергії при ударі, тобто перехід механічної енергії в інші види, характеризується коефіцієнтом відновлення швидкості k _ск або коефіцієнтом відновлення енергії k _е..
Коефіцієнт відновлення швидкості визначається як відношення модуля відносної швидкості тіл після удару до модуля відносної швидкості тіл до удару

, (5.1)
де v _1, v ₂ - швидкості тіл до удару, u _1, u ₂ - швидкості тіл після удару.
Коефіцієнт відновлення енергії визначається як відношення сумарної кінетичної енергії тіл після удару до сумарної кінетичної енергії тіл до удару

. (5.2)
Неважко переконатися, що для абсолютно пружного удару k _е = 1 і k _ск = 1, а для абсолютно непружного удару k _ск = 0. У реальних ударах 0 <k _е <1 і 0 <k _ск <1. Величина коефіцієнтів відновлення залежить від фізичних властивостей матеріалів соударяющихся тіл, від їх форми, а для непружного удару також у великій мірі залежить від мас соударяющихся тел.
У даній роботі вивчається центральний удар двох куль, підвішених на нитках. Досліди будуть ставитися так, що одна з куль до удару спочиває.
Пружний удар куль
Позначимо маси куль m ₁ і m _2, швидкості куль до удару і , Швидкості куль після удару і відповідно. До абсолютно пружному соударению куль застосуємо як закон збереження імпульсу, так і закон збереження механічної енергії

. (5.3)
Вирішення цієї системи рівнянь дозволяє знайти швидкості куль після удару

, (5.4)
або, розділивши чисельник і знаменник цих виразів на m _1:

, (5.5)
де a = m ₂ / m ₁ - Відношення мас куль.
Величина a завжди позитивна, тому друга куля після удару завжди рухається в ту ж сторону, куди рухався першу кулю до удару. Перший же куля після удару може продовжувати рух в ту ж сторону, що і до удару, якщо його маса більша за масу другого кулі (a <1), або ж відскакувати, якщо його маса менше маси другого кулі (a> 1). У випадку рівності мас куль (a = 1), першу кулю після удару зупиняється, а друга куля, нерухомий до удару, починає рухатися зі швидкістю першої кулі (обмін швидкостей).
Ставлення кінетичної енергії , Переданої під час удару спочатку покоїться кулі, до кінетичної енергії вдаряє кулі

визначається співвідношенням

(5.6)
Величину f можна умовно назвати ефективністю пружного удару. Вона дає частку енергії першої кулі, яку отримав другу кулю після удару. Між величинами f і a існує взаємно однозначна відповідність, у той час як одному і тому ж a можуть відповідати безліч значень енергії в залежності від початкових значень швидкості

. Потрібно відзначити, що хід f (a) не залежить від початкової швидкості

або m ₁ і m _2, а тільки від відношення m ₂ / m _1. Дослідження функції (5.6) показує, що друга куля отримує від першого найбільшу енергію в тому випадку, коли маси куль рівні, тобто при a = 1. При цьому f = 1 і

, Вся енергія дістається другій кулі, а перший після удару зупиняється.
Як вже зазначалося, в реальному ударі частину кінетичної енергії куль переходить у внутрішню енергію, і в пропонованому випадку, коли

. Тому залежність (5.6) виконується тільки з певним ступенем точності.
Непружний удар куль
По суті, будь-який реальний удар є непружним. Розглянемо такий непружний удар, після якого кулі «злипаються» і рухаються з однаковою швидкістю . Застосовуючи до цього удару закон збереження імпульсу, можна отримати вираз для загальної швидкості куль після удару
або , (5.7)
де a - як і раніше відношення мас куль.
Коефіцієнт відновлення енергії при неупругом ударі дорівнює
. (5.8)
Він виявляється залежним від ставлення мас куль.

Цікаво також обчислити величину, яка показує, яка частина кінетичної енергії соударяющихся куль перетворюється у внутрішню енергію. Цю величину можна назвати ефективністю непружного удару

, (5.9)
де

- Сумарні енергії системи до і після удару.
Очевидно, що q, що розглядається як функція від a, є незмінна теоретична функція. У той же час, ця функція, будучи прорахована за результатами вимірювань енергій

, Є експериментальною і може відрізнятися від першої.

Експериментальна установка

Для експериментального вивчення центрального удару куль використовується установка, представлена на рис. 11. Вона являє собою систему двох куль - лівого (Л) та правого (П), підвішених до штангам 1 на Біфілярна (подвійних) підвісу. Біфілярна підвіси забезпечують рух куль в одній вертикальній площині і запобігають їх обертання навколо вертикальної осі. Довжина підвісів встановлюється такий, щоб у стані спокою центри куль знаходилися на одному рівні незалежно від їх розмірів.

Рис. 11. Установка для наблюд і-
гниючи зіткнення куль

Миттєві швидкості куль до і після удару можна визначити з закону збереження енергії

.
Звідси

. У даному випадку висоту підняття кулі h зручно виразити через кут відхилення кулі j

, (5.10)
де l - довжина підвісу куль.
Відлік кутів відхилення куль ведеться по правій і лівій круговим шкалами 2 зі зміщеними по горизонталі нулями.
Для утримання куль у вихідному положенні встановлення забезпечена двома електромагнітами 3, які обесточиваются за допомогою тумблерів «Пуск».
До установці додається набір куль, маси яких виміряні з відносною похибкою 1%.
Проведення експерименту
Завдання 1. Вивчення пружного зіткнення куль
Виміри
1. Як вдаряє зазвичай вибирається лівий куля. Його відводять на кут 30 - 40 ^°, який у всіх дослідах можна залишати постійним. Правий куля, згідно з умовами цієї роботи, до удару повинен бути нерухомим і знаходиться в нижньому положенні.
2. Перед кожним досвідом проводять необхідну регулювання підвісів куль для того, щоб удар був центральним. У рівноважному стані кулі повинні тільки торкатися один одного, а їх центри повинні знаходитися на одній висоті. Для перевірки регулювання проводять кілька пробних зіткнень.
3. При відліку кутів відхилення куль очей потрібно розташовувати так, щоб він був у створі з обома нитками. Будемо вважати кути відхилення куль вправо - позитивними, а кути відхилення вліво і відповідні їм швидкості - негативними. Бо важко засікти значення двох кутів одночасно, кожен досвід доводитися робити двічі: один раз для того, щоб засікти кут відхилення правого кулі, другий раз - лівого.
4. З набору куль вибирають куля середньої маси і зміцнюють його на лівому підвісі. На правому підвісі спочатку зміцнюють куля найменшої маси.
5. Проводять не менше трьох дослідів для того, щоб мати можливість обчислити середні значення кутів відхилення.
6. Далі проводять досліди з усіма іншими кулями з набору, по черзі підвішуючи їх на правий підвіс. Лівий кулю можна не змінювати. Всі дані вимірювань заносять в таблицю 5.1 звіту.
Обробка результатів
1. Для кожного досліду обчислюють швидкості куль до і після удару. Обчислюють коефіцієнти відновлення швидкості і знаходять його середнє значення за результатами всіх дослідів. Обчислюють стандартне відхилення середнього значення коефіцієнта (табл. 5.2 звіту).
2. Для кожного досліду обчислюють кінетичні енергії куль до і після удару. Обчислюють кінетичні енергії системи до і після удару. Обчислюють коефіцієнти відновлення енергії і знаходять його середнє значення за результатами всіх дослідів. Обчислюють стандартне відхилення середнього значення коефіцієнта (табл. 5.3 звіту).
3. Підставляючи в формулу (5.6) різні значення відношення мас куль a (Краще брати ті значення, які є в досвіді), обчислюють теоретичні значення ефективності пружного удару f _теор.
4. Для кожного досліду обчислюють експериментальну ефективність пружного удару f _експ., Як

.
5. Будують графіки залежності теоретичного та експериментального значень ефективності пружного удару від відношення мас куль a (на одних координатних осях). Роблять висновок про збіг теорії і експерименту.
Завдання 2. Вивчення непружного зіткнення куль
1. Виміри
1. Для того щоб отримати непружний удар куль до нерухомого кулі прикріплюють шматочок пластиліну. Необхідно добитися, щоб після удару кулі рухалися як одне ціле.
2. Зліва підвішується куля середньої маси. Праві кулі змінюються для того, щоб отримати різні відносини мас куль. Результати вимірювання кутів відхилення заносять в таблицю 5.4 звіту.
Обробка результатів
1. Для кожного досліду обчислюють швидкості і кінетичні енергії куль до і після удару (табл. 5.5 звіту). Обчислюють коефіцієнти відновлення енергії куль. Обчислюють ефективності непружного удару q _{експертів.}
2. Підставляючи в формулу (5.9) різні значення відношення мас куль, обчислюють теоретичні значення ефективності пружного удару q _теор.
3. Будують графіки залежності теоретичного та експериментального значень ефективності непружного удару від відношення мас куль a (на одних координатних осях). Роблять висновок про збіг теорії і експерименту.

Визначення швидкості польоту кулі МЕТОДОМ балістичного маятника

Мета роботи
Вивчення практичного застосування теорії непружного удару, а також законів збереження імпульсу та енергії.
Ідея експерименту
Швидкість польоту кулі зазвичай досягає значної величини. Тому пряме вимірювання швидкості, тобто визначення часу, за який куля проходить відоме відстань, вимагає спеціальної апаратури. Багато простіше вимірювати швидкість кулі непрямими методами, серед яких широко поширені методи, які використовують непружні зіткнення, тобто зіткнення, в результаті яких зіштовхуються тіла з'єднуються разом і продовжують рух як ціле. До числа методів, заснованих на цій ідеї, належить метод балістичного маятника.

Теорія

Рис. 12. Балістичний маятник

Балістичний маятник являє собою важке тіло, підвішене на чотирьох нитках (рис. 12). Горизонтально летить куля потрапляє в маятник і застряє в ньому, - відбувається непружний удар. Після удару маятник починає гойдатися на нитках, так що його поздовжня вісь залишається паралельної самій собі, центр мас переміщається по колу, а тіло в цілому рухається поступально.
Соудареніе кулі з маятником відбувається протягом дуже короткого проміжку часу, але за цей час маятник набуває деяку швидкість і незначно зсувається з положення рівноваги. За таких малих переміщеннях зміщення маятника відбувається практично без зміни висоти. При зіткненні кулі з маятником справедливий закон збереження імпульсу

, (6.1)
де m - маса кулі, M - маса маятника, v - швидкість кулі, V - швидкість маятника безпосередньо після удару.
Щоб визначити величину V, потрібно виміряти висоту h, на яку піднімається маятник після удару. Із закону збереження енергії виходить

. (6.2)

Співвідношення (6.1) і (6.2) дають

. (6.3)
Висоту підйому центру мас маятника можна визначити з рис. 13:

,
де R-відстань від шкали з міліметровими поділками до рівня підвісу маятника.

Рис. 13

Враховуючи, що h <<R, отримуємо: 2 Rh = s ^2. Визначаючи звідси h і підставляючи в (6.3), отримуємо робочу формулу методу

. (6.4)
Для визначення швидкості кулі можна застосувати модифікований балістичний метод, використовуючи фізичний маятник у вигляді стрижня або дерев'яної рейки, підвішеній за один кінець (рис. 14).
Куля, ударившись об лінійку, приводить її в рух з деякою кутовий швидкістю w і повідомляє їй кінетичну енергію

. (6.5)
Момент інерції лінійки (стержня) знаходиться за стандартною формулою

. (6.6)
Після удару лінійка повертається на деякий кут, причому центр її тяжіння піднімається на висоту h, яку, як і в першому досліді, можна знайти з співвідношень в трикутниках

. (6.7)
За законом збереження енергії

Рис. 14.

. (6.8)
До удару кулі про лінійку можна також застосувати закон збереження моменту імпульсу

, (6.9)
де M - маса лінійки, m-маса кулі, l - довжина лінійки, R - відстань від точки удару кулі до осі обертання лінійки.
Співвідношення (6.5) - (6.9) дозволяють отримати остаточну формулу для обчислення швидкості кулі (висновок робочої формули виконати самостійно). При виведенні можна вважати, що l »R, тому що постріл зазвичай проводитися в точку, розташовану поблизу кінця лінійки.

Експериментальна установка

Використовуваний у цій роботі балістичний маятник являє собою обрізок труби з пластиліном, підвішений на чотирьох нитках. У нижній частині маятника укріплений візир. При переміщенні маятника візир пересуває вимірювальну планку вздовж горизонтальної міліметрової шкали, що дозволяє виміряти зсув s. На деякій відстані від маятника укріплено пневматичну рушницю. При пострілі швидкість кулі спрямована по прямій, що проходить через центр ваги маятника і перпендикулярно до осі його обертання.
Для другого досліду дерев'яну лінійку підвішують на осі. Постріл проводитися в коробочку з пластиліном, укріплену на кінці лінійки.
Проведення експерименту
Завдання 1. Визначення швидкості кулі за допомогою балістичного маятника
Виміри
1. Знайомляться з конструкцією приладу, вчаться користуватися пневматичною рушницею.
2. Записують вихідні дані досвіду: масу маятника М і відстань R. Для пострілів бажано використовувати одну й ту ж кулю, маса якої разом з похибкою її вимірювання відомі.
3. Проводять 3 - 5 пострілів. У кожному досвіді записують зсув s. Всі отримані дані заносять у таблицю 6.1 звіту.
Обробка результатів
1. Розрахунок швидкості кулі проводиться за формулою (6.4), в яку підставляється середнє по всім дослідам значення s.
2. Виводять формулу для розрахунку похибки вимірювання швидкості кулі. Як похибок вимірювання входять у формулу мас беруть задані похибки D М і D m. Похибка D R вибирають, виходячи з умови вимірювання величини R. Інструментальна похибка вимірювання зміщення s дорівнює D s = 0,5 мм.
Завдання 2. Визначення швидкості кулі за допомогою фізичного маятника.
Вимірювання та обробка результатів
Балістичний маятник відводять убік і зміцнюють на осі лінійку. Методика проведення досліду аналогічна тій, яка використовується в завданні 1. Всі дані заносять у таблицю 6.2. звіту.
У звіті необхідно представити робочу формулу і формулу для розрахунку похибки v.
У висновку необхідно порівняти результати, отримані в першому і другому завданні.

ВИВЧЕННЯ фізичного маятника

Мета роботи
Вивчення основних закономірностей коливального руху фізичного маятника.
Ідея експерименту
В експерименті досліджується фізичний маятник, який представляє собою прямий стрижень, що коливається навколо осей, розташованих на різній відстані від центру ваги стрижня.
Теорія
Коливання є одним з найбільш поширених видів руху. При досить малих відхиленнях від положення рівноваги коливання бувають зазвичай гармонійними.

Рис. 15. Фізичний маятник

Фізичним маятником називається тверде тіло, яке здійснює під дією сили тяжіння коливання навколо нерухомої горизонтальної осі О, не проходить через центр мас С тіла (рис. 15).
Якщо маятник виведений з положення рівноваги на деякий кут j, то складова сили тяжіння врівноважується силою реакції осі О, а складова прагне повернути маятник у положення рівноваги. Всі сили прикладені до центру мас тіла. При цьому

. (7.1)
Знак мінус означає, що кутове зміщення j і повертає сила мають протилежні напрямки. При досить малих кутах відхилення маятника
з положення рівноваги sin j » j, тому F _t »-mg j. Оскільки маятник у процесі коливань робить обертовий рух відносно осі О, то воно може бути описане основним законом динаміки обертального руху

, (7.2)
де М - момент сили F _t щодо осі ПРО, J - момент інерції маятника щодо осі ПРО,

- Кутове прискорення маятника.
Момент сили в даному випадку дорівнює
M = F _t × l = - mg j × l , (7.3)
де l - відстань між точкою підвісу і центром мас маятника.
З урахуванням (7.2) рівняння (7.1) можна записати у вигляді

(7.4)
або

, (7.5)
де
Рішенням диференціального рівняння (7.5) є функція
j = j _{0 ×} cos (w ₀ t + a), (7.6)
дозволяє визначити положення маятника в будь-який момент часу t. З виразу (7.6) випливає, що при малих коливаннях фізичний маятник здійснює гармонічні коливання (коливання, при яких коливається величина змінюється з часом за законами синуса або косинуса) з амплітудою коливань j _0, циклічною частотою , Початковою фазою a і періодом

, (7.7)
де L = J / (mg) - приведена довжина фізичного маятника, тобто довжина такого математичного маятника, період якого збігається з періодом фізичного маятника.
Формула (7.7) дозволяє визначити момент інерції твердого тіла відносно будь-якої осі, якщо виміряний період коливань цього тіла відносно цієї осі.
Якщо фізичний маятник має правильну геометричну форму і його маса рівномірно розподілена по всьому об'єму, у формулу (7.7) можна підставити відповідний вираз для моменту інерції (Додаток 3). Наприклад, для фізичного маятника, що має вигляд однорідного стержня, що коливається навколо горизонтальної осі, перпендикулярної стрижня, формула (7.7) набуває вигляду

, (7.8)
де d - Довжина стрижня, l - відстань від осі хитань до центру ваги стрижня.
Експериментальна установка
Застосовуваний у цій роботі фізичний маятник складається з однорідного металевого стержня і опорної призми, яка може переміщатися вздовж стрижня. Можна також використовувати стрижень з отворами, за допомогою яких маятник одягається на горизонтальну вісь. Період коливань маятника вимірюється за допомогою ручного або стаціонарного секундоміра.
Проведення експерименту
Завдання 1. Вивчення залежності періоду коливань фізичного маятника від відстані між віссю хитань і центром ваги маятника.
Виміри
Вимірюють періоди коливань Т фізичного маятника при різних відстанях l між центром тяжіння і віссю хитань. Крок зміни відстані l вибирають з таким розрахунком, щоб отримати 8-10 експериментальних точок. Число коливань в кожному досвіді 15-20. Отримані дані заносять у таблицю 7.1 звіту.
Обробка результатів
1. Обчислюють періоди коливань маятника у всіх дослідах.
2. Будують графік залежності періоду коливань маятника від відстані l.
3. Графік T = f (l) представляє собою криву складної форми. Для подальшої обробки його слід линеаризировать. В якості нових змінних вибирають Т ² l і l ^2, тобто будують графік залежності (Т ² l) = f (l ^2). Якщо експериментальні точки лягають на пряму з невеликим розкидом, то можна зробити висновок про правильність формули періоду коливань фізичного маятника.
4. Проводять обробку результатів за допомогою методу найменших квадратів (МНК).
5. Використовуючи отримане рівняння прямої, знаходять величини і

. Обчислюють похибки вимірювання цих величин.
6. Обчислюють прискорення вільного падіння g і похибка його вимірювання.
7. Обчислюють довжину стрижня d і похибка її вимірювання. Для обчислення використовують раннє отримане значення g і похибка його вимірювання.
8. Порівнюють отримане значення g з табличним значенням, а величину d c довжиною стрижня. Роблять висновок про точність виконаних вимірювань.
9. Для випадку, коли відстань l має найбільше значення, обчислюють наведену довжину фізичного маятника.
Завдання 2. Визначення моментів інерції тіл різної форми методом коливань.
1. З набору тел до роботи беруть (за вказівкою викладача) один і вимірюють період його коливань щодо довільної осі.
2. За допомогою формули (7.7) обчислюють момент інерції тіла відносно осі хитань.
3. Проводять необхідні геометричні вимірювання, і, знаючи масу тіла, обчислюють момент інерції тіла відносно центру мас. За допомогою теореми Гюйгенса - Штейнера розраховують момент інерції тіла відносно осі, що проходить через вісь хитань. Обмірюваний і обчислений результати порівнюють у висновку.

ВИВЧЕННЯ КОЛИВАЛЬНОГО РУХУ ЗА ДОПОМОГОЮ математичного маятника

Мета роботи
Вивчення основних закономірностей коливального руху математичного маятника.
Ідея експерименту
В експерименті досліджується коливальний рух вантажу, підвішеного на довгій нитки. Співвідношення його елементів таке, що цей фізичний маятник з достатнім ступенем точності може вважатися моделлю математичного маятника.

Рис. 16. Математичний травня робітник

Теорія
Маятник - тіло, яке здійснює коливальний рух під дією квазіпружної
сили. Найпростіший маятник - масивний вантаж на підвісі. Якщо підвіс нерастяжім, розміри вантажу пренебрежимо малі в порівнянні з довжиною підвісу і маса нитки пренебрежимо мала в порівнянні з масою вантажу, то вантаж можна розглядати як матеріальну точку, що знаходиться на незмінній відстані l від точки підвісу Про. Такий маятник називається математичним.
На маятник діють сили: натягу нитки

і тяжкості , Які в положенні рівноваги компенсують один одного

. Для порушення коливань маятник виводять з положення рівноваги (рис.16). Тепер

і маятник має надлишкової потенційною енергією mgh по відношенню до стану рівноваги. Ця енергія обумовлює коливання, що відбувається по колу і описується основним рівнянням динаміки обертального руху

, (8.1)
де

- Результуючий обертаючий момент, - Кутове прискорення, J = ml ² - момент інерції кульки щодо осі ГО ^¢, що проходить через точку підвісу О, перпендикулярно площини коливань (площини креслення). Результуючий момент сили натягу нитки і сили тяжіння дорівнює

. (8.2)

Тоді

. (8.3)

Кут

- Вектор, спрямований від читача вглиб, так як відлік кута ведеться за годинниковою стрілкою. Вектори

спрямовані по осі обертання.
Спроектуємо вираз (8.3) на вісь ГО ^¢. Приймемо за позитивний напрямок осі напрям вектора

. Тоді

, (8.4)
де - Радіус-вектор точки, модуль якого дорівнює довжині підвісу

.
Очевидно, що кут

, А кут

. Тоді

. (8.5)
Або, так як

(8.6)
Для достатньо малих кутів sin j »j, тоді

, (8.7)
де

.
Рішення рівняння (8.7) являє собою гармонійну функцію, відповідну гармонійного коливання

, (8.8)
де j ₀ - амплітуда, w ₀ - частота так званих власних коливань, a ₀ - початкова фаза.
Ми бачимо, що w ₀ виявляється циклічною частотою цього коливання з періодом
. (8.9)
Рішення рівняння (8.6) складніше і являє собою коливання з безперервно змінюється частотою, якій відповідає період

. (8.10)

Рис. 17

Експериментальна установка

Використовуваний маятник - кульку на Біфілярна (подвійному) підвісі. (Рис. 17). Прилад складається з горизонтальної планки Г, прикріпленої до стіни, вертикальної шкали Ш, підвісу П з кулькою й пристрої У для зміни довжини маятника. Вгорі приладу може бути укріплений транспортир для відліку кутів
відхилення маятника. Крім того, кут може задаватися за первісним відхиленню маятника:

. Маятник може бути забезпечений таймером, який дозволяє відраховувати час певного заздалегідь заданого числа коливань.
Проведення експерименту
Завдання 1. Перевірка незалежності періоду коливань математичного маятника від амплітуди при малих кутах відхилення
Вимірювання та обробка результатів
Відповідно до теорії період коливань математичного маятника практично не залежить від амплітуди коливань при кутах відхилення менше 5 ^° - формула (8.10). У всякому разі, ця залежність лежить за межами точності вимірювань періоду в нашому досвіді - 0, 01 с. При малих кутах відхилення виявляється справедливою формула (8.9). Це твердження і підлягає перевірці в даному завданні.
1. Вимірюють період коливань математичного маятника при постійній довжині (»2 м) і масі маятника при кутах відхилення 1 °, 2 °, 3 °, 4 ° і 5 °. Число коливань вибирають рівним 15-20. Дані заносять у таблицю 8.1 звіту.
2. Обчислення періоду коливань виробляють з точністю до 0,001 секунди. Якщо різниця в періоді коливань не перевищує 0,01 с, то можна зробити висновок про практичну незалежності періоду коливань математичного маятника від амплітуди при малих кутах відхилення.
Завдання 2. Перевірка залежності періоду коливань математичного маятника від амплітуди при кутах відхилення, великих 5 ^°.
1. Вимірюють період коливань математичного маятника при постійній довжині (»2 м) і масі маятника при великих кутах відхилення від 5 ^° до 60 ^° з кроком 5 ° . Число коливань вибирають рівним 15-20. Обчислюють період коливань з точністю до 0,001 с. Дані заносять у таблицю 8.2 звіту.
2. За допомогою формули (8.10), використовуючи два перших члена формули, обчислюють теоретичні значення періодів коливання математичного маятника при заданій довжині маятника і вибраних кутах.
3. На одному графіку будують теоретичну і експериментальну залежності періодів коливань математичного маятника від кута відхилення. Обидві криві повинні якщо не збігатися, то, в усякому випадку, мати однаковий хід. У висновку треба пояснити деяке неспівпадіння двох кривих.
Завдання 3. Перевірка незалежності періоду коливань математичного маятника від його маси.
1. Для перевірки необхідно використовувати тіла різної маси, але мають однакові розміри і форму, що дозволяє вважати силу опору повітря в усіх дослідах однаковою. При цьому тіла не обов'язково повинні мати кулясту форму. Кут відхилення маятника з положення рівноваги не повинен перевищувати 5 °.
Завдання 4. Вивчення залежності періоду коливань математичного маятника від його довжини і визначення прискорення вільного падіння.
1. Підвішують на нитки сталева куля. Довжину підвісу змінюють в межах від 0,8 до 2,5 м з кроком приблизно 20 см. Число коливань в кожному досвіді 20-30. Отримані дані заносять у таблицю 8.4 звіту. Кут відхилення маятника з положення рівноваги не повинен перевищувати 5 °.
2. Залежність Т = f (l) нелінійна. Тому для зручності експериментальної перевірки цю залежність слід линеаризировать. Для цього можна, наприклад, побудувати графік залежності квадрата періоду коливань від довжини маятника. Якщо експериментальні точки лягають на пряму з невеликим розкидом, то можна зробити висновок про виконання формули (8.9).
3. Для визначення з допомогою отриманого графіка прискорення вільного падіння спочатку необхідно отримати точне рівняння експериментальної прямій. Для цього
застосовують метод найменших квадратів (МНК). Знаходять кутовий коефіцієнт прямої, тобто значення коефіцієнта k в отриманому рівнянні. Обчислюють прискорення вільного падіння.
За формулами МНК визначають похибка вимірювання g.

ВИЗНАЧЕННЯ ПРИСКОРЕННЯ ВІЛЬНОГО ПАДІННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИК

Мета роботи
Вивчення методу оборотного маятника для визначення прискорення вільного падіння.
Ідея експерименту
Застосування оборотного маятника засноване на властивості спряженості центру хитання і точки підвісу. Це властивість полягає в тому, що у всякому фізичному маятнику можна знайти такі дві точки, що при послідовному підвішуванні маятника за ту або іншу з них період коливань його залишається одним і тим же. Відстань між цими точками визначає собою наведену довжину даного маятника.
Теорія і опис експериментальної установки
Якщо амплітуда фізичного маятника мала, то період його коливань визначається формулою

, (9.1)
де J - момент інерції фізичного маятника щодо осі хитання, l _{1-відстань} між віссю хитання і центром ваги маятника, m - маса маятника.
По теоремі Гюйгенса-Штейнера

, (9.2)

Рис. 18. Облад тний маятник.

де J ₀ - Момент інерції відносно осі, що проходить через центр ваги і паралельної осі хитань, а величини J, m і l ₁ ті ж, що і у формулі (9.1).
Якщо послідовно підвішувати маятник у двох точках, то періоди його коливань визначаються рівняннями

(9.3)
Звідси маємо

(9.4)
Для величини прискорення вільного падіння з останньої формули після перетворень отримуємо рівняння, дане Бесселя:

, (9.5)
де l = l ₁ + l ₂ -Приведена довжина маятника.
Якщо періоди рівні між собою (T ₁ = T ₂ = T), рівняння приймає вигляд

(9.6)
Домогтися повного рівності періодів нелегко. Формула Бесселя дозволяє досить просто і з меншою ступенем точності визначити величину прискорення при наближеному рівність періодів коливань.
Нехай T ₁ і Т ₂ близькі один до одного, а величини а ₁ і а ₂ сильно відрізняються одна від одної. У цьому випадку, як видно з формули (9.5), немає необхідності визначати величини а ₁ і а ₂ з великим ступенем точності (не точніше ніж 1 мм).
Оборотні маятники мають різну форму. Вони зазвичай складаються з металевого стержня довжиною понад 1 м. За стрижня можуть пересуватися і закріплюватися важкі й легкі сочевиці (вантажі) і опорні призми.
Проведення експерименту
Вимірювання та обробка результатів.
1. Готують оборотний маятник до вимірювань. Опорні призми рекомендується розташувати на відстанях 20 - 25 см від кінців маятника. Рухому сочевицю послідовно переміщують з кроком 1-2 см від кінця маятника до призмі П _2. У звіті виконують креслення маятника з вказівкою всіх розмірів, що визначають геометрію маятника.
2. Маятник призводять в коливання на опорній призмі П ₁ і визначають період коливань Т _1. Вимірювання періоду проводять, беручи не менше 10 коливань. Кутова амплітуда коливань не повинна перевищувати 4 ^°.
3. Міняють вісь коливань, підвішуючи маятник на інший призмі. Проводять вимірювання періоду Т _2.
4. Переміщають сочевицю А _2. Знову вимірюють періоди коливань на призмах П ₁ і П _2. І т. д. Дані вимірювань заносять в таблицю 9.1 звіту.
5. За отриманими даними будують графіки залежностей Т ₁ = f ₁ (d) і Т ₂ = f ₂ (d), де d - відстань від призми П ₂ до рухомий сочевиці. Точка перетину кривих визначає таке положення сочевиці А _2, за яким значення періодів найбільш близькі.
6. Для знайденого положення сочевиці А ₂ визначають періоди коливань Т ₁ і Т ₂ (У прямому і перевернутому положенні маятника) з найбільшою ретельністю. Визначають час 40 - 60 коливань маятника не менше трьох разів, звідки обчислюють середні значення періодів коливань і похибки їх вимірювань.
7. Для визначення положення центра ваги маятника його ретельно врівноважують на тригранної підставці. Вимірювання відстаней l ₁ і l ₂ виробляють масштабної лінійкою з точністю до міліметра.
8. За отриманими даними за допомогою формули Бесселя (9.5) визначають величину прискорення вільного падіння.
9. Відносна похибка вимірювання прискорення вільного падіння визначається за формулою

, (9.5)
де величина D Т повна похибка вимірювання одного з періодів.
10. У висновку порівнюють виміряний і табличне значення прискорення вільного падіння.

ЗАСТОСУВАННЯ електронного осцилографа
ДО ДОСЛІДЖЕННЯ КОЛИВАНЬ

Мета роботи
Вивчити пристрій, роботу електронного осцилографа і генератора звукової частоти і їх застосування до дослідження електричних коливань звукової частоти.
Ідея експерименту
При вивченні механічних коливань у студентській лабораторії виникають великі складнощі при постановці та виконанні деяких дослідів. Так, наприклад, нелегко на механічних моделях провести спостереження явищ, що виникають при додаванні коливань, або проводити вимірювання характеристик затухаючих коливань. Це пов'язано з труднощами виготовлення відповідних механічних приладів і проведення вимірювань. У даній роботі механічні коливальні системи замінені на електричні - коливальні контури і електричні генератори, а основним вимірювальним приладом є електронний осцилограф, який володіє унікальними можливостями для спостереження коливальних процесів. При цьому спостереження та висновки, зроблені в цій роботі для електричних коливань застосовні і для механічних коливань.
Електронний осцилограф

Рис. 19. Блок-схема осцилографа

Блок-схема осцилографа представлена на рис.19. Основний блок осцилографа - електронно-променева трубка (ЕПТ), в якій виникає і фокусується електронний промінь. Там же розташовані системи, за допомогою яких можна керувати рухом променя, відхиляючи його у вертикальному та горизонтальному напрямках. Рухомий промінь
залишає на екрані трубки, покритої спеціальним складом, що світиться слід. Осцилограф має два входи. Сигнал, поданий на Вхід 1, надходить на підсилювач У1, а потім подається на вертикально відхиляє систему ЕЛТ. Сигнал, поданий на Вхід 2, надходить на підсилювач У2, а потім подається на горизонтально отклоняющую систему ЕЛТ. Надалі Вхід 1 будемо називати Y - входом, Вхід 2 - X - входом.
Розрізняють два основні режими роботи осцилографа. У першому режимі на X - і Y - входи подаються два зовнішніх сигналу. Перемикач П встановлюється в положення 1. У результаті складання цих сигналів, що діють по двох взаємно перпендикулярним-напрямками, на екрані ЕПТ з'являється лінія. У другому режимі на Y-вхід подається один зовнішній сигнал. Перемикач П поставлений в положення 2. На підсилювач У2 подається вхідна напруга від генератора розгортки (ГР), що забезпечує переміщення променя в горизонтальному напрямку по лінійному закону. На екрані ЕПТ виникає лінія, що характеризує зміну зовнішнього сигналу в часі.
На рис. 20 зображена передня панель осцилографа С1-1 (ЕО-7), на якій розта-
дити екран ЕПТ і основні ручки управління. За допомогою тумблера «Мережа» включається блок живлення осцилографа. Тумблер «Промінь» включає ЕЛТ. Луч, генерований в трубці, можна сфокусувати ручкою «Фокус» і відрегулювати ручкою «Яскравість». Ручки «Вісь Y» і «Вісь X» зміщують промінь у відповідних напрямках.

Рис. 20. Передня панель осцилографа ЕО-7.

Сигнал, що подається на Y-вхід, підводиться до лівих клем «Вхід» і «Земля». Амплітуда сигналу регулюється підсилювачем У1, керованим ручками «Посилення Y» (плавне регулювання) і «Ослаблення» (грубе регулювання », розташованими в лівій частині панелі .
Сигнал, що подається на X-вхід, підводиться до правих клем «Вхід» і «Земля». Амплітуда сигналу регулюється підсилювачем У2, керованим ручкою «Посилення X» (плавне регулювання), розташованої в правій частині панелі.
Якщо осцилограф працює в першому режимі, то перемикач «П» поставлений у положення 1, чому відповідає встановлення ручки «Діапазон частот», що управляє генератором розгортки у мітки «Вимк».
Якщо ручку «Посилення X» поставити на нуль, а ручку «Посилення Y» поставити приблизно на середину шкали, то на екрані осцилографа з'явиться вертикальна лінія, довжина якої пропорційна амплітуді досліджуваного сигналу (при незмінному положенні ручки «Посилення Y»). Вимкнувши підсилювач У1 і включивши підсилювач У2 (ручка «Посилення Х»), побачимо на екрані горизонтальну лінію.
При одночасному включенні ручок «Посилення Х» і «Посилення Y» слід, що світиться від електронного променя на екрані буде переміщатися по траєкторії, що утворюється в результаті складання взаємно перпендикулярних сигналів, що подаються на «Вхід Х» і «Вхід Y».
Якщо осцилограф працює в другому режимі, то перемикач П поставлений в положення 2. У цьому випадку на горизонтально відхиляють ЕПТ подається напруга генератора розгортки, що має «пилкоподібний» характер, тобто лінійно наростаючий з часом, а потім також лінійно порядку спадання. При цьому час падіння напруги значно менше часу зростання напруги. І в цьому випадку при включенні ручок «Посилення Х» і «Посилення Y» траєкторія сліду електронного променя утворюється в результаті складання сигналів, що подаються на вертикально і горизонтально відхиляють. Якщо відношення частот цих сигналів виражається раціональної дробом, то на екрані виникає стійке зображення розгортки в часі сигналу, поданого на Y-вхід.
Щоб узгодити частоту ГР з частотою сигналу, поданого на Y-вхід, ручку «Діапазони частот" треба встановити у мітки, приблизно відповідної передбачуваної частоті досліджуваного сигналу. Повне узгодження частоти ГР з частотою досліджуваного сигналу досягається ручкою «Частота плавно».
Для повної синхронізації сигналів, що подаються на горизонтально і вертикально відхиляють, можна використовувати (при необхідності) перемикач «Синхронізація» і ручку «Амплітуда синхронізації». У лівій частині передньої панелі
осцилографа розташована клема «Контрольний сигнал». До неї підведено джерело синусоїдальних коливань з частотою 50 Гц, який можна використовувати як еталонний джерело коливань.
Звуковий генератор ГЗ-33

Рис. 21. Передня панель звукового генератора ГЗ-33

Генератор ГЗ-33 призначений для отримання синусоїдальних електричних коливань звукової частоти від 20 до 200000 Гц. Амплітуда коливань регулюється підсилювачем потужності. На виході коливання подаються на вольтметр і дільник напруги (аттенюатор), якій дозволяє змінювати вихідна напруга в широких межах.
Ручки управління звуковим генератором виведені на його передню панель (рис.21). Частота коливань встановлюється поворотом ручок «Множник» (ступінчасте регулювання) і поворотом лімба (плавне регулювання). Для визначення частоти генератора в герцах потрібно відлік за шкалою лімба помножити на показання перемикача «Множник». Обертанням ручки «Расстройка,%» можна плавно змінювати частоту в межах ± 1,5% від встановленої.
Збуджувала в генераторі коливання подаються на клеми «Вихід». Напруга на виході регулюється плавно за допомогою ручки «Рег. виходу »і ступінчасто (через кожні 10 дБ) за допомогою перемикача аттенюатора, що має гравіювання« Межі шкал - ослаблення ».
Переключення меж шкал залежно від вихідного опору проводиться перемикачем «Вих. опір ». При роботі з опором навантаження значно більше 600 Ом для правильного відліку вихідного напруги слід включити внутрішню навантаження тумблером «Внутр. Навантаження ».
Теорія
Складання двох взаємно перпендикулярних гармонійних коливань
Розглянемо плоский рух матеріальної точки під дією двох взаємно перпендикулярних квазіпружні сил F ₁ і F _2. У прямокутної декартової системі координат x0y, початок якої співпадає з положенням рівноваги матеріальної точки, а осі 0x і 0y спрямовані уздовж ліній дії відповідно сили F ₁ і сили F _2,, рівняння руху мають вигляд:

, (10.1)
де k ₁ і k ₂ - коефіцієнти квазіпружні сил F ₁ і F _2. Залежність координат від часу має вигляд:

, (10.2)
де

- Власні циклічні частоти.
Таким чином, рух точки є результатом складання двох взаємно перпендикулярних коливань. Траєкторія точки міститься всередині прямокутника, сторони якого паралельні осям 0 x і 0 y і відповідно рівні 2А ₁ і 2А _2, а центр збігається з точкою 0. У разі раціонального відносини частот w ₁ і w ₂ траєкторії замкнуті і називаються фігурами Ліссажу. Вид фігур Ліссажу залежить від відносин w ₂ / w _1, А ₂ / А ₁ і різниці фаз (j ₂ - j ₁₎ (рис.22) (при незмінному відношенні А ₂ / А _1).

Ставлення частот	Зрушення фаз
Ставлення частот	0 °	45 °	90 °	135 °	180 °
1:1
1:2
2:3

Рис. 22. Фігури Ліссажу

Ставлення частот w ₂ / w ₁ одно відношенню числа торкань фігури Ліссажу з горизонтальною і вертикальною сторонами прямокутника, в який він вписується.

Якщо w ₁ = w _2, то фігури Ліссажу мають форму еліпса:

. (10.3)
Такі коливання називаються еліптично поляризованими. На рис. 22 у верхній частині показані окремі випадки еліптично поляризованих коливань. Якщо, крім того A ₁ = A _2, то траєкторія точки має вигляд кола. Такі коливання називаються циркулярно поляризованими (поляризованими по колу). Якщо (j ₂ - j ₁₎ = k p (k = 0; ± 1; ± 2; ...), то еліпс вироджується у відрізок прямої і коливання називаються лінійно поляризованими.

Додавання коливань одного напрямку

При складанні коливань одного напрямку з однаковою амплітудою А і близькими частотами w і w + D w (Dw <<w) виникають складні коливання, звані биттям. Запишемо рівняння коливань:

(10.4)

Склавши ці вирази, отримаємо

(10.5)

Рис. 23. Биття

(У другому множник нехтуємо членом D w / 2, який значно менше w).
Рух, що описується формулою (10.5), можна розглядати як гармонічне коливання частоти w зі змінною амплітудою (рис. 23). Величина амплітуди визначається модулем множника, що стоїть в дужках. Частота пульсацій амплітуди (частота биття) дорівнює різниці частот коливань, а період биття дорівнює

(10.6)

Затухаючі коливання

Рис. 24. Затухаючі коливання

+ A ₀

-A ₀

Затухаючими коливаннями називаються коливання, енергія яких зменшується з плином часу внаслідок дії на коливальну систему сил опору (тертя). Якщо прийняти, що сила тертя пропорційна швидкості коливного тіла

, Де r - коефіцієнт тертя, то диференціальне рівняння затухаючих коливань системи має вигляд

, (10.7)
де - Коефіцієнт загасання, - Частота вільних коливань системи за відсутності тертя. Коефіцієнт загасання для даної коливальної системи та даного середовища, в якій відбуваються загасання, є величиною постійною. Проміжок часу t = 1 / b, протягом якого амплітуда затухаючих коливань зменшується в е (2,72) разів, називається часом релаксації.
Якщо b <w _0, то система здійснює затухаючі коливання:

, (10.8)
де A ₀ і j ₀ - Постійні, звані початковій амплітудою і початковою фазою відповідно,

. Величина
А (t) = A ₀ e ^{- b t} (10.9)
називається амплітудою затухаючих коливань і зменшується за експоненціальним законом (рис. 24). Дослідна перевірка (10.9) зводиться до графічного зображення залежно А від t, пов'язана з труднощами ідентифікації («розпізнавання) закономірності.
Завдання спрощується перекладом залежності (10.9) в лінійну шляхом заміни змінних. Дійсно, прологаріфміруем (10.9)
lnA = lnA ₀ - b t (10.10)
або

. (10.11)
Тепер в координатах ln (A ₀ / А), t виходить пряма, зображена на рис.25. Неважко бачити, що кутовий коефіцієнт її визначається співвідношенням

Рис. 25.

. (10.12)
Зменшення A прийнято також характеризувати порівнянням амплітуд, які досягаються через інтервал t = T, де T = 2 p / w - період коливань. Нехай в момент t амплітуда дорівнює A _t , А в останній момент (t + T) - A _{t + T.} Ставлення

[D] = 1, (10.13)
називається декрементом загасання, що характеризує швидкість спадання амплітуди. Більш зручний, проте, логарифмічний декремент загасання
d = ln D = b Т, [d] = 1, (10.14)
Величина, зворотна логарифмическому декріменту загасання, дає число коливань, на протязі яких амплітуда затухаючого коливання зменшується в е раз.
Проведення експерименту
Завдання 1. Включає і настроює осцилографа і генератора
1. Перед включенням осцилографа встановлюють ручки регулювання: регулятор яскравості - в крайнє праве положення (тобто на максимальну яскравість); регулятор фокусування - в середнє положення; посилення по осі Y - в нульове положення; посилення по осі Х - в середнє положення; перемикач діапазонів розгортки - в положення 30-130. Вилку включають у мережу і встановлюють тумблер «Мережа» у верхнє положення; контрольна лампочка на передній панелі повинна спалахнути. Прилад прогрівають протягом 2-3 хв. Включають тумблер «Промінь», при цьому на екрані повинен з'явитися яскрава лінія. Лінія може не з'являтися внаслідок занадто великого відхилення променя за межі екрану трубки. Для повернення променя поступово встановлюють регулятор положення променя на осі Y (ручка «Вісь Y») в різні позиції і в кожній з них повертають регулятор положення променя по осі X (Ручка «Вісь X»). При знаходженні лінії зменшують яскравість і регулюють фокусування до максимально чіткого зображення.
2. З'єднують провідником клему «Контрольний сигнал» з клемою «Y-вхід», перемикач «Діапазони частот» - в положення 30-130. Обертанням ручок «Частота плавно» і «Амплітуда синхронізації» отримують нерухому картину розгортки контрольного сигналу в часі (перемикач «Синхронізація» встановлюють у положення «Мережа» або «Внутр.»). Регуляторами посилення по осях X і Y встанов-
ють бажані розміри зображення. Досліджують вплив різних регуляторів на зображення. Змінюючи частоту розгортки, отримують на екрані 1, 2, 3 і т.д. повних коливань.
3. Вилку шнура генератора ГЗ-33 включають у мережу змінного струму напругою 220В. Тумблер включення мережі ставлять в положення «Вкл», при цьому повинна загорітися
сигнальна лампочка. До роботи слід приступити після попереднього прогріву генератора протягом декількох хвилин. Підключають вихід генератора на «Y - вхід» осцилографа. Опір вихідного пристрою генератора повинно бути погоджено з опором навантаження (у даному випадку - осцилографа). Перемикач «Вих. Опір» необхідно поставити в положення, найбільш відповідне величині навантаження (за вказівкою викладача або лаборанта).
Потім ручкою «Множник» і поворотом лімба встановити довільну частоту. За допомогою ручки «Рег. виходу », а при необхідності і ручки« Межі шкал - ослаблення »генератора а також за допомогою ручок керування осцилографа отримують нерухому картину розгортки сигналу від генератора. Переконуються в тому, що генератор дає неспотворені гармонійні коливання у всьому діапазоні частот від 20 до 20000 Гц.
Завдання 2. Управління аплітудой коливань звукового генератора
1. Коливання від звукового генератора подають на «Y-вхід». Отримують на екрані осцилографа вертикальну лінію, довжина якої пропорційна амплітуді коливань напруги звукового генератора. Повертають на панелі генератора ручку «Межі шкал - ослаблення», спостерігають зміна амплітуди коливань генератора. Цифри у вікні аттенюатора вказують межі напруги, вимірюваного вольтметром, а цифра у нижньому рядку - згасання, тобто відношення інтенсивності коливань на виході ГЗ до інтенсивності коливань, що подаються на вольтметр.
У децибелах може бути висловлено ставлення двох будь-яких інтенсивностей I ₁ і I _2:

. (10.15)
Відомо, що інтенсивність пропорційна енергії коливань, а енергія пропорційна добутку квадрата амплітуди на квадрат частоти коливань. Отже:

. (10.16)
Якщо n ₁ = n _2, то

. (10.17)
Таким чином зміна амплітуди коливань на ± 10 дБ означає збільшення або зменшення амплітуди в 3,16 рази.
2. Ставлять ручку «Межі шкал - ослаблення» в положення «0 дБ» і, користуючись ручкою «Рег. виходу », отримують на екрані осцилографа вертикальну пряму лінію найбільшої довжини, зручною для вимірювання. Ручку «Ослаблення» ставлять в положення 1:1. Вимірюють довжину прямої а ₀ (подвоєну амплітуду коливань) у поділках сітки на екрані. Вводять загасання -10, -20, -30 дБ, вимірюючи кожного разу довжину лінії: а _-1, а _-2, а _-3. Частоту генератора підтримують постійної (приблизно 10 ³ Гц).
3. Обчислюють відносини

. За формулою (10.17) розраховують загасання. Порівнюють отримані результати з загасанням, визначеним за показаннями ручок «Згасання, дБ».
4. Такі ж вимірювання проводять, поставивши ручку «Межі шкал - ослаблення» в положення +30 дБ (А _+3), а потім перемикаючи її в положення +20, +10, 0 дБ (а _+2, а _+1, а _0).
5. Результати вимірювань і обчислень заносять в таблицю 10.1. звіту. У висновку оцінюють точність вимірювань і правильність калібрування положення ручок ступінчастого регулювання амплітуди генератора.
Завдання 3. Додавання взаємно перпендикулярних коливань
1. Подають контрольний сигнал на «Y-вхід» осцилографа. Вимикають генератор розгортки. На «Х-вхід» подають сигнал від ГЗ-33. Отримують на екрані осцилографа криві, що виникають в результаті складання двох взаємно перпендикулярних коливань від контрольного сигналу та звукового генератора.
2. Отримують першу фігуру Ліссажу - еліпс. Для цього на генераторі повинна бути виставлена частота 50 Гц. Для точної остаточної підгонки частот використовують ручку «Расстройка,%». Якщо різниця коливань буде постійною, то еліпс буде стабільно розташовуватися на екрані. Звичайно ж різниця фаз повільно змінюється і еліпс поступово змінює форму, періодично виродилися в прямі лінії.
3. Підбирають на генераторі кратні 50 Гц частоти коливань (1:2; 1:3; 3:1; 2:1; 2:3; 3:2) і отримують наступні фігури Ліссажу. Амплітуди коливань підбирають так, щоб фігури вписувалися в прямокутник розміром, наприклад, 2 '3 см. Замальовують фігури до звіту, вказуючи, при якому відношенні частот вони отримані.
4. На малюнках знаходять і вказують точки дотику фігурами горизонтальної і вертикальної сторін прямокутників. У висновку звіряють відношення числа торкань і відношення частот коливань.
Завдання 4. Складання коливань, спрямованих уздовж однієї прямої
1. Для отримання биття використовують два однакових генератора ГЗ-33.
2. Для вимірювання періоду биття зручно вибрати невеликі частоти складаються коливань, наприклад, 50 і 51 Гц. Спочатку підключають генератори до «Х» та «Y - входів» осцилографа і, отримавши першу фігуру Ліссажу, ретельно зрівнюють частоти коливань генераторів - 50 Гц.
3. Потім сигнали від обох генераторів подають на «Y-вхід». Частоту одного з генераторів змінюють на 1-2 Гц. Спостерігають на екрані осцилографа картину биття. Визначають період биття, вимірюючи час 10-20 биття. За формулою (10.6) розраховують період биття. У висновку порівнюють обчислений і виміряний період биття.
Завдання 5. Вивчення затухаючих коливань
Для отримання затухаючих коливань в даній роботі використовується спеціальна електрична схема. Харчування схеми здійснюється від генератора розгортки осцилографа, для чого за допомогою довгого провідника з'єднують клему «П» пристрої з клемою «М», розташованої на задній панелі осцилографа. Клеми «Вихід» з'єднують з «Y-входом» осцилографа. Включають осцилограф і отримують стійку осцилограму затухаючих коливань з десятьма-дванадцятьма повними коливаннями. Для остаточної стабілізації картинки використовують ручку «Амплітуда синхронізації», поставивши перемикач виду синхронізації в положення «Внутр.».
1. Використовуючи сітку на екрані осцилографа, вимірюють амплітуди декількох коливань, віддалені на один період один від одного.
2. Для визначення періоду затухаючих коливань поступають таким чином.
Спочатку підраховують кількість повних коливань, що припадають, наприклад, на 10 великих клітин екранної сітки осцилографа. Потім, не змінюючи налаштувань осцилографа (не чіпаючи ручки «Діапазони частот» і «Частота плавно», «Посилення X»), замість пристрою для отримання затухаючих коливань підключають до осцилографа генератор ГЗ-33. Користуючись тільки ручками управління генератора, отримують на екрані синусоїду з таким же періодом (з такою ж кількістю коливань на екрані), як і в затухаючих коливань. Частоту визначають по лімбу генератора. Обчислюють період коливань.
3. Обчислюють відносини А ₀ / А _0, А ₀ / А _1, А ₀ / А _2, А ₀ / А ₃ і т. д. і натуральні логарифми цих відносин. Будують графік ln (A ₀ / A _i) = f (t) від часу (рис.25). Масштаб часу дорівнює періоду коливань. За куті нахилу прямої отриманої прямої знаходять коефіцієнт загасання b і логарифмічний декремент загасання d.

ДОСЛІДЖЕННЯ ВЛАСНИХ КОЛИВАНЬ СТРУНИ МЕТОДОМ РЕЗОНАНСУ

Мета роботи
Провести спостереження форми власних коливань струни при незмінному її натягу та дослідити залежність швидкості поширення поперечної хвилі в струні від її характеристик.
Ідея експерименту
У роботі власні коливання струни досліджуються методом резонансу. Явище резонансу полягає в наступному: якщо частота допустимої сили, періодичної в часі і прикладеної до малого ділянці струни, стає рівною одній з власних частот струни, то в ній встановлюються стоячі хвилі з максимальною амплітудою коливань. При цьому необхідно, щоб ділянка програми допустимої сили збігався з однією з пучностей відповідної стоячій хвилі. Стояча хвиля виходить в результаті накладення хвиль однакової частоти і амплітуди, що розповсюджуються в протилежних напрямках (окремий випадок інтерференції).

Теорія

У натягнутому між двома закріпленими точками струні при збудженні коливань встановлюються стоячі хвилі. Так як точки закріплення струни є вузлами стоячих хвиль, то в струні збуджуються коливання лише таких частот, при яких на довжині струни l укладається ціле число півхвиль l / 2. Звідси

(11.1)
де l - довжина струни.
З огляду на зв'язок швидкості поширення коливань v з частотою n і довжиною хвилі l, отримуємо для швидкості

(11.2)
Швидкість поширення хвилі залежить тільки від власних характеристик струни і визначається за формулою

(11.3)
де P, d, r - натяг, діаметр і щільність матеріалу струни відповідно. Підставляючи значення швидкості у формулу (11.2), отримуємо остаточний вираз для власних частот коливань струни:

(11.4)
Найнижча власна частота (або самий низький тон, що видається струною) отримується при n = 1

(11.5)
називається основною частотою або основним тоном. Більш високі частоти, кратні
n _1, називаються обертонами основної частоти або гармоніками. Основна частота називається першою гармонікою, подвоєна основна частота або перший обертон - другий гармонікою і т.д.
Прийнявши за початок координат одну з точок закріплення струни і направивши вісь х вздовж струни, запишемо рівняння n - й стоячій хвилі:

, (11.6)
де x _n - поперечне відхилення точки струни з абсцисою х в момент t, - Амплітуда,

. Профіль стоячій хвилі в будь-який момент часу має форму синусоїди і являє собою графік розподілу зміщень і амплітуд по осі х. Частоти коливань всіх точок струни однакові і визначаються за формулою (11.4).
Отже, струна, закріплена на двох кінцях, не може перебувати в простому гармонійному коливанні з будь-якою частотою, припустимі лише частоти, які визначаються формулою (11.4).
У загальному випадку в струні можуть встановлюватися одночасно коливання самих різних частот, але кратних основній частоті, так як струна являє собою систему з гармонійними обертонами.
Експериментальна установка

Рис. 26.

У схемі установки, представленої на рисунку 26, струна з мідного дроту натягується на деякій висоті між двома стійками-струбцинами. Один кінець струни закріплений нерухомо, а до іншого кінця, перкінутому через блок, прикріплена платформа з вантажами, за допомогою яких у струні створюється натяг.
Від генератора електричних коливань на струну подається регульоване по частоті змінну напругу. Уздовж струни може вільно переміщатися постійний магніт.
Ділянка струни з поточним по ньому змінним струмом потрапляє в поле постійного магніту. При цьому виникає періодична сила, прикладена до струни. Частота зміни цієї сили дорівнює частоті змінного струму. У тому випадку, коли частота генератора буде збігатися з однією з власних частот струни, а положення полюсів магніту - з пучність стоячій хвилі, яка відповідає даній частоті, спостерігається явище резонансу: в струні встановлюється стояча хвиля.
Проведення експерименту
Вимірювання та обробка результатів
1. Між двома струбцинами, укріпленими на столі, натягують тонку мідний дріт. Для забезпечення надійного електричного контакту місце закріплення кінця струни і місце її торкання блоку повинні бути попередньо добре зачищені за допомогою наждачного паперу. На вільний кінець струни підвішують платформу для вантажів. До клем на струбцинах підключають вихід генератора.
2. Включають генератор звукових частот.
3. Створюють натяг в струні, помістивши на платформу для вантажів будь-яких важок. При визначенні натягу струни враховується маса платформи. Для першого досвіду рекомендується взяти загальну масу вантажу 120-140 м.
4. За допомогою мікрометра вимірюють діаметр струни, а за допомогою лінійки її довжину.
5. Встановлюють магніт посередині струни і, плавно змінюючи частоту обертанням лімба генератора (в районі 20 - 30 Гц), домагаються стійких коливань основного тону. Потім збільшують частоту коливань у кратне число разів і, пересуваючи магніт уздовж струни, отримують стійкі коливання наступних обертонів. Якщо амплітуди коливань малі, слід збільшити вихідну напругу на генераторі.
6. Записують в таблицю 11.1. звіту у порядку зростання значення частот звукового генератора, при яких на струні встановлюються стоячі хвилі. Викреслюють профілі стоячих хвиль.
7. Підставляють у формулу (11.2) отримані значення резонансних частот і обчислюють швидкість хвилі в струні для різних дослідів. Знаходять середнє значення швидкості при даному натягу струни. Оцінюють похибка вимірювання швидкості. При цьому можна використовувати результати першого досвіду, очевидно дає найбільшу похибку. Похибка у вимірюванні власних частот коливань струни дорівнює половині ціни поділок на лімбі генератора.
8. Змінюють первинне натягнення струни. У результаті цього змінюється швидкість розповсюдження поперечних хвиль і набір власних частот. Проводять виміри й обчислення згідно з пп. 5 і 7 при інших натягу. Рекомендується варіювати натяг струни східчасто через 0,5 Н.
9. За формулою (11.3) розраховують теоретичні значення швидкості хвилі в струні при різних натягу. (Розрахунки проводяться в системі СІ; щільність міді r = 8,9 × 10 ³ кг / м ^3). Оцінюють похибка такого розрахунку.
10. У висновку зіставляють виміряні і обчислені значення швидкості.
11. Для перевірки характеру залежність швидкості хвилі в струні від величини натягу будують графік залежності квадратів виміряних швидкості поширення від величини її натягу.

ВИЗНАЧЕННЯ ШВИДКОСТІ ЗВУКУ В ПОВІТРІ

Мета роботи
Вимірювання швидкості поширення звуку в повітрі методом складання перпендикулярних коливань.
Ідея експерименту
У біжить хвилі A = A ₀ cos (w t - kl + j ₀₎ зсув коливання двох точок, що знаходяться на відстані D l один від одного, зрушені по фазі на

, (12.1)
де V - швидкість розповсюдження хвиль в пружному середовищі, n, l - частота і довжина хвилі.
Вираз (12.1) може бути використано для експериментального визначення швидкості поширення звуку в повітрі за вимірюваннями величин D j, n, D l.
Експериментальна установка

Рис. 27

Схема установки зображена на малюнку 27. Гучномовець Г, що випромінює звукові хвилі, закріплений на одному кінці широкої труби. Протилежний кінець труби або відкрито, або закритий заглушкою. Для запобігання появи відбитої хвилі заглушка має прокладку з м'якого пористого матеріалу (поролону). Харчування гучномовця здійснюється від звукового генератора ЗГ. Вся установка змонтована на вимірювальній лаві, уздовж якої може переміщатися мікрофон М. Положення мікрофона визначається за допомогою масштабної лінійки, укріпленої на лаві. Гучномовець Г випускає звукову хвилю певної фази j _1. Ця звукова хвиля досягає мікрофона з фазою j ₂ і породжує в його ланцюзі змінна напруга. Між змінним напругою на виході звукового генератора і напруженням, що виникають в ланцюзі мікрофона, існує зсув фаз D j = j ₂ - j _1, залежить від взаємного розташування мікрофону і гучномовця. При переміщенні мікрофона по вимірювальній лаві на відстань D l = n l, що становить ціле число хвиль, різниця фаз D j змінюється на 2 p n. Якщо виміряти відстань D l між двома положеннями мікрофона, відповідне різниці фаз D j = 2 p, то, використовуючи формулу (12.1), можна обчислити швидкість звуку в повітрі:

(12.2)
Зрушення фаз D j визначається за формою еліпса, описуваного на екрані осцилографа електронним променем, якщо вертикальні пластини осцилографа з'єднати з виходом звукового генератора, а горизонтальні - з мікрофоном. При різниці фаз D j = 2 p n
(N = 0, 1, 2, ...) еліпс вироджується в пряму, що проходить через першу і третю чверті координатної площини, а при D j = p (2 n +1) - в пряму, що проходить через другу і четверту чверті.
Проведення експерименту
Вимірювання та обробка результатів
1. Збирають електричну схему установки. Мікрофон розташовують поряд з гучномовцем. Подають напруга від звукового генератора на телефон. За лімбу генератора виставляють частоту звукових коливань (між 1000 і 3000 Гц).
2. Повільно переміщаючи мікрофон до протилежного кінця вимірювальної лави, знаходять таке його положення, при якому на екрані осцилографа з'являється пряма лінія. Роблять відлік положення мікрофону.
3. Продовжуючи переміщати мікрофон, знаходять кілька наступних його положень, в яких на екрані осцилографа з'являється така ж пряма лінія, як і в першому положенні.
4. Обчислюють відстані D l _1, D l _2, D l ₃ ... між двома наступними положеннями мікрофона на вимірювальній лаві. Знаходять їх середнє значення.
5. За формулою (12.2) обчислюють швидкість розповсюдження звукової хвилі в повітрі. Знаходять похибка її вимірювання.
6. Вимірювання повторюють для двох інших частот. Знаходять середнє значення швидкості звуку по всіх вимірах.
7. Для порівняння отриманого результату з табличними даними обчислюють швидкість звуку за умов досвіду, користуючись співвідношенням

, (12.3)
де q - температура повітря в кімнаті (в кельвінах), V ₀ - швидкість звуку при 0 ° С (331 м / с).

ВИЗНАЧЕННЯ МОДУЛЯ ЗСУВУ МЕТОДОМ
Крутильні КОЛИВАНЬ

Мета роботи
Експериментальне визначення модулів зсуву різних матеріалів методом крутильних коливань.
Ідея експерименту
Крутильний маятник являє собою стрижень або дріт, верхній кінець якої закріплений. До нижнього кінця дроту підвішується тіло довільної форми. Якщо закрутити дріт, тобто вивести маятник з положення рівноваги, то в системі виникнуть крутильні коливання j (t). Очевидно, що період цих коливань залежить від геометрії системи, від моменту інерції підвішеного тіла і від пружних властивостей матеріалу підвісу. Це дозволяє, вивчаючи крутильні коливання, визначити одну з найважливіших характеристик матеріалу, - модуль зсуву.

Теорія

Рис. 28.

Якщо момент пари сил, прикладених дотично до незакрепленном кінця дроту, дорівнює М, то кут кручення (кутове зміщення коливальної системи) за законом Гука виявляється рівним j = см, де с - коефіцієнт, що залежить від пружних властивостей матеріалу дроту. Модуль кручення f, рівний
, (13.1)
показує, який момент сил треба докласти, щоб закрутити дріт на кут в один радіан.
Модуль зсуву G дорівнює

, (13.2)
де F / S визначає величину дотичній сили, що припадає на одиницю поверхні, а g - Кут зсуву (рис. 28).
Між модулем кручення і модулем зсуву матеріалу існує просте співвідношення

, (13.3)
де r - радіус циліндричної дроту, L - її довжина.
Підвішене на дроті тверде тіло при виникненні в системі крутильних коливань здійснює обертальні рухи, до яких може бути застосований основний закон динаміки обертального руху

, (13.4)
де M - обертальний момент відносно осі підвісу, J - момент інерції тіла відносно тієї ж осі,

- Кутове прискорення. Використовуючи (13.1) та враховуючи, що кутове прискорення спрямоване проти кутового зміщення j, можна записати

. (13.5)
З цього рівняння видно, що в розглянутому русі прискорення

пропорційно кутовій координаті - зміщення j і направлено протилежно йому, що є суттєвою ознакою гармонійного коливання

, Де w ₀ - циклічна частота. Тому w ₀ повинен бути рівний

, (13.6)
де Т - період коливань.
Далі

, (13.7)
звідки

. (13.8)

Експериментальна установка

Рис. 29. Крутильний маятник

У даній роботі крутильний маятник являє собою штангу Ш, підвішену на дроті А (рис. 29). Верхній кінець дроту закріплений за допомогою гвинта У в тримачі Д. Для виведення маятника з положення рівноваги, тобто для первісного закручування дроту служить пусковий пристрій П. Уздовж штанги можуть переміщатися два вантажі Г однакової маси m. Змінюючи відстані l від вантажів до центру штанги, можна змінювати момент інерції маятника, а разом з цим і період коливань маятника.
Для того, щоб з виразу (13.8) знайти модуль кручення f матеріалу дроту, необхідно виключити невідомий момент інерції J. Для цього в роботі визначаються два періоди коливань маятника при різних моментах інерції

, (13.9)

звідки

. (13.10)
Момент інерції крутильного маятника складається з моментів інерції вантажів 2ml ² і сумарного моменту інерції штанги та дроту j

. (13.11)
Для виключення j віднімемо J ₁ з J ₂

. (13.12)
Підставляючи сюди зі співвідношення (13.10) значення

, Отримуємо

. (13.13)

Підставивши, нарешті, цей вираз в рівняння (13.7), знаходимо модуль кручення

. (13.14)

Для модуля зсуву виходить вираз

. (13.15)
Проведення експерименту
Виміри
1. Підвішують стрижень крутильного маятника на обрану дріт. Надягають на кінці штанги вантажі Р. Спостерігаючи за положенням рівноваги штанги з вантажами і потроху переміщаючи вантажі, врівноважують штангу в горизонтальному положенні. Вимірюють радіус дроту r і довжину підвісу L. Записують маси вантажів m.
2. Повідомляють маятнику обертальний імпульс так, щоб він здійснював крутильні коливання з невеликою амплітудою. Для цього легким ривком відсувають убік важіль пускового механізму Н. Стежать за тим, щоб при пуску не виникали поступальні коливання.
3. Вимірюють сумарний час t ₁ 50-100 коливань маятника. Вимірюють відстань l ₁ від осі обертання до середини одного з вантажів.
4. Пересувають вантажі в інше положення і, знову зрівноваживши маятник, вимірюють час t ₂ такого ж числа коливань. Вимірюють відстань l _2.
5. Якщо число коливань N у першому і другому випадках однаково, то формули (13.14) і (13.15) можна записати через час і число коливань

. (13.16)
Підставляють в ці формули виміряні значення вхідних в них величин і обчислюють модуль кручення f і модуль зсуву G матеріалу дроту.
6. Для обчислення величин похибок вимірів можна вивести такі формули

. (13.17)
При цьому прийнято, що похибки вимірювань величин l ₁ і l ₂ однакові і рівні D l, а похибки вимірювання t ₁ і t ₂ рівні D t.
Аналіз наведених формул показує, що найбільший внесок у вимірювання модуля зсуву вносить похибка вимірювання величини r. Отже, радіус дроту повинен бути визначений за максимально можливою точністю. Крім того, бажано
проводити експеримент таким чином, щоб значення величин l ₁ і l ₂ і, відповідно, t ₁ і t ₂ як можна більше відрізнялися один від одного.
7. Проводять необхідні вимірювання і обчислюють модулі кручення і модулі зсуву ще для двох-трьох матеріалів.
8. Порівнюють отримані значення модуля зсуву за табличними значеннями і роблять висновок про точність виконаних вимірювань.

ВИВЧЕННЯ деформації розтягування

Мета роботи

Вивчення залежності величини деформації твердого тіла від напруги при деформації розтягування.
Ідея експерименту
В експерименті піддається розтягування металевий дріт. Точне вимірювання величини деформації в залежності від навантаження дозволяє встановити основні закономірності та характеристики деформації розтягування.
Теорія
Пружна деформація твердих тіл описується законом Гука
, (14.1)

Рис. 30. Діаграма розтягування твердого
тіла

де s = F / S - нормальне напруження (відношення сили F, прикладеної перпендикулярна-
лярной поперечному перерізу зразка, до площі S цього перерізу), e = Dl / l ₀ - відносна деформація (відношення подовження Dl до первинної довжини l ₀ зразка), Е - модуль пружності (модуль Юнга). Зауважимо, що s чисельно дорівнює енергії, припадає на 1м ³ деформівного матеріалу.
Модуль Юнга характеризує пружні властивості твердих тіл при деформації розтягу - стиску. Він чисельно дорівнює величині напруги, яке викликає зміна довжини вдвічі, якщо деформація при цьому залишається пружною. З іншого боку, модуль Юнга можна розуміти як величину, чисельно рівну об'ємної енергії деформації при подвоєнні розмірів зразка.
Закон Гука справедливий лише для ідеально пружних тіл. Для реальних же тел спостерігаються різні відхилення від цього закону. На рис. 30 представлена характерна діаграма розтягу твердого тіла. Сувора пропорційність між відносним подовженням і напругою спостерігається лише при порівняно невеликих навантаженнях, на ділянці 0А.
Максимальна напруга s _п, при якому ще виконується закон Гука, називається межею пропорційності.
Максимальна напруга s _уп, при якому ще не виникають помітні залишкові деформації (відносна залишкова деформація не перевищує 0,1%), називається межею пружності. Йому відповідає точка В на діаграмі деформації.
Межа текучості - це напруга, яке характеризує такий стан тіла, що деформується, після якого подовження зростає без збільшення діючої сили (горизонтальний ділянка ВС).
Межею прочностіs _пр (точка D) називається напруга, що відповідає найбільшому навантаженню, що витримується тілом перед руйнуванням.
Відхилення від закону Гука в області напруг, що не перевищують межі пружності, об'єднуються загальним поняттям непружного. Проявом непружного є, наприклад, пружні післядії і пружний гістерезис, що підлягає експериментальному спостереженню в даній роботі.
Явище пружного післядії полягає в зміні з часом деформаційного стану при незмінній величині напруги. У цьому випадку після прикладання навантаження до зразком деформація виникає не миттєво, а продовжує збільшуватися з часом (пряме пружне післядія); також і після зняття навантаження: деформація зразка зникає не миттєво, а продовжує зменшуватися у часі (зворотне пружне післядія).
Площі, обмежені кривої навантаження і двома абсциссами, відповідними двом значенням відносної деформації, пропорційні роботі А зовнішніх сил або, що теж, потенційної енергії Е _п при пружному деформуванні зразка. Це випливає з розрахунку елемента площі DQ під кривою
, (14.2)
де с - коефіцієнт пропорційності, DW ₁ - об'ємна щільність енергії деформації зразка. Коефіцієнт пропорційності з дорівнює об'ємної густини енергії деформації, що припадає на одиницю площі, обмеженої графіком, і має розмірність Дж / клітку.
Площа під всій кривій навантаження відповідає об'ємна щільність енергії W _1, а площі під всією кривою розвантаження - об'ємна щільність енергії W _2.
Якщо до зразка прикладати спочатку зростаючого напруження, а потім робити розвантаження, то на графіку s = f (e) крива навантаження не буде збігатися з гілкою розвантаження. При повному циклі навантаження - розвантаження графік утворює фігуру, яка називається петлею гістерезису. Площі петлі пропорційна об'ємна щільність поглиненої енергії пружності DW, що перейшла в тепло.
Явища незворотного перетворення в теплоту механічної енергії (інакше, дисипація енергії) в процесах деформування твердих тіл пов'язана з так званим внутрішнім тертям.
Для кількісної оцінки внутрішнього тертя матеріалів часто користуються відносною величиною - коефіцієнтом поглинання
y = DW / W _1, (14.3)

Кінематика і динаміка поступального руху

МЕХАНІКА

Роботи з механіки

Рекомендована література

Теорія

Фізичні лабораторії

МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРЮВАНЬ

Обробка результатів

Форма тіла

Моменти інерції

Матеріал

ВИВЧЕННЯ кінематики і динаміки ПОСТУПАЛЬНОГО РУХУ НА МАШИНІ Атвуд

Час руху вантажів може вимірюватися за допомогою ручного або стаціонарного се-кундомера.

Машина Атвуда може бути електрифікована, тобто забезпечена електромагнітною муфтою-пускачем та автоматичним секундоміром.

Теорія

Так як початкова швидкість в дослідах на машині Атвуда зазвичай дорівнює нулю і рух умовно починається з початку координат, то

ВИВЧЕННЯ ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ ТВЕРДОГО ТІЛА

ВИЗНАЧЕННЯ МОМЕНТУ ІНЕРЦІЇ І ПЕРЕВІРКА ТЕОРЕМИ Гюйгенс-Штейнер

Мета роботи

Експериментальна перевірка теореми Гюйгенса - Штейнера та визначення моментів інерції тіл простої форми.

Ідея експерименту

Теорія

Так як

Експериментальна установка

Проведення експерименту

Вимірювання та обробка результатів

Вимірювання та обробка результатів

Виміри

Обробка результатів

1. Рис. 9. Схематичне представлення залежності J від a 2 Для кожного положення вантажів визначають період коливань вантажів T i.

ВИЗНАЧЕННЯ моменту інерції махових КОЛЕСА І СИЛИ тертя в опорах

Мета роботи

КОЛЕСА І МОМЕНТУ СИЛИ тертя в опорах

Ідея експерименту

Теорія

Обробка результатів

ВИВЧЕННЯ ЗАКОНІВ ЗБЕРЕЖЕННЯ ЕНЕРГІЇ І ІМПУЛЬСУ ПРИ УДАРІ

Мета роботи

Ідея експерименту

Теорія

Експериментальна установка

Визначення швидкості польоту кулі МЕТОДОМ балістичного маятника

Теорія

Співвідношення (6.1) і (6.2) дають

Експериментальна установка

ВИВЧЕННЯ фізичного маятника

ВИВЧЕННЯ КОЛИВАЛЬНОГО РУХУ ЗА ДОПОМОГОЮ математичного маятника

Тоді

Експериментальна установка

ВИЗНАЧЕННЯ ПРИСКОРЕННЯ ВІЛЬНОГО ПАДІННЯ ЗА ДОПОМОГОЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИК

ЗАСТОСУВАННЯ електронного осцилографа ДО ДОСЛІДЖЕННЯ КОЛИВАНЬ

Зрушення фаз

Ставлення частот w 2 / w 1 одно відношенню числа торкань фігури Ліссажу з горизонтальною і вертикальною сторонами прямокутника, в який він вписується.

Додавання коливань одного напрямку

Склавши ці вирази, отримаємо

(10.5)

Затухаючі коливання

ДОСЛІДЖЕННЯ ВЛАСНИХ КОЛИВАНЬ СТРУНИ МЕТОДОМ РЕЗОНАНСУ

Теорія

ВИЗНАЧЕННЯ ШВИДКОСТІ ЗВУКУ В ПОВІТРІ

ВИЗНАЧЕННЯ МОДУЛЯ ЗСУВУ МЕТОДОМ Крутильні КОЛИВАНЬ

Теорія

Експериментальна установка

звідки

Підставивши, нарешті, цей вираз в рівняння (13.7), знаходимо модуль кручення

Для модуля зсуву виходить вираз

ВИВЧЕННЯ деформації розтягування

Мета роботи

МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ
ВИМІРЮВАНЬ

1.
Рис. 9. Схематичне представлення залежності J від a ²
Для кожного положення вантажів визначають період коливань вантажів T _i.

ЗАСТОСУВАННЯ електронного осцилографа
ДО ДОСЛІДЖЕННЯ КОЛИВАНЬ

Ставлення частот w ₂ / w ₁ одно відношенню числа торкань фігури Ліссажу з горизонтальною і вертикальною сторонами прямокутника, в який він вписується.

ВИЗНАЧЕННЯ МОДУЛЯ ЗСУВУ МЕТОДОМ
Крутильні КОЛИВАНЬ