ЛАБОРАТОРНА РОБОТА
Кристалографічна СИМВОЛИ
Мета роботи: 1) Знайомство з системою позначення граней і напрямків;2) Визначення індексів граней і ребер кристалів;
3) Рішення деяких типових кристалографічних завдань з використанням умови зональності.
Найважливіше значення в кристалографії має питання про аналітичну запису взаємного розташування граней і ребер кристала в просторі. З цією метою застосовують кристалографічні символи, які визначають положення будь-якої грані і ребра кристала щодо прийнятих координатних осей.
Символи граней
Положення грані кристала можна описати за допомогою трьох відрізків, що відсікаються цією гранню на координатних осях. Кристалографічних систем характеризують геометричні константи кристал: осьові кути (a, b, g) і осьові одиниці (a 0, b 0, c 0). Осьовими одиницями називають відрізки a 0, b 0, c 0, відсікаються одиничної межею на координатних осях x, y, z відповідно. Відповідно до симетрією кристала масштаб виміру відрізків, що відсікаються межею на осях, визначається для кожної сингонії співвідношенням між осьовими одиницями (табл. 1).Таблиця 1.
Сингонія | Кутові співвідношення | Осьові одиниці |
| Кубічна | a = b = g = 90 ° | a 0 = b 0 = c 0 |
| Тетрагональна | a = b = g = 90 ° | a 0 = b 0 ¹ c 0 |
| Ромбічна | a = b = g = 90 ° | a 0 ¹ b 0 ¹ c 0 |
| Моноклінна | a = g = 90 ° ¹ b | a 0 ¹ b 0 ¹ c 0 |
| Триклінна | a ¹ b ¹ g ¹ 90 ° | a 0 ¹ b 0 ¹ c 0 |
| Гексагональна | a = b = 90 °, g = 120 ° | a 0 = b 0 ¹ c 0 |
Для вибору масштабу виміру, після установки кристала, серед його найбільш розвинених граней знаходять таку, яка перетинає всі три осі. Відрізки, що відсікаються такий гранню кристала, приймають за одиничні, а саму межу - за одиничну. Її параметри: (1:1:1). Щоб визначити параметри будь-який інший грані кристала, необхідно знайти співвідношення відрізків, що відсікаються нею на координатних осях і віднесених до відповідних одиничним відрізкам a 0, b 0, c 0.
Таке позначення граней за допомогою параметрів має один істотний недолік: незручність позначення граней, паралельних координатним осям. Наприклад, межу, паралельна площині XOY, запишеться як (¥:¥: 1), оскільки така грань перетинає лише вісь Z. Між тим, грані паралельні координатним осям, представляють для кристалографії особливий інтерес.
У методі індексів (метод Міллера) становище будь-якої грані кристалів у триосьової системі координат визначається трійкою цілих, як правило, невеликих, взаємно-простих чисел - індексів h, k, l, що представляють собою відношення зворотних величин параметрів. Тоді грань, паралельна площині XOY буде мати індекси h: k: l = 1 / ¥: 1 / ¥: 1 / 1 = 0:0:1. Індекси межі укладають у круглі дужки, не розділяючи їх один від одного ніякими знаками. Отже, розглянута вище грань має символ (001).
У кристалографічної практиці метод індексів Міллера отримав широке поширення. Слід мати на увазі, що паралельні грані мають один і той же символ, відповідний грані найближчої до початку координат.
Завдяки високій симетрії кубічних кристалів, їх індіцірованіе (визначення індексів усіх граней) здійснюється досить просто. Одинична грань кубічного кристала повинна складати з координатними осями рівні кути і відсікати на них рівні відрізки. Легко бачити, що такий гранню може бути обрана грань октаедра або тетраедра, через яку проходить поворотна вісь третього порядку.
z
y
x
A
B
C
a 0
b 0
c 0
Рис. 1. Грань кристала, що відсікає на координатних осях відрізки ОА = аа 0, ОВ = bb 0, OC = cc 0.
z |
y |
x |
A |
B |
C |
a 0 |
b 0 |
c 0 |
Рис. 1. Грань кристала, що відсікає на координатних осях відрізки ОА = аа 0, ОВ = bb 0, OC = cc 0. |
Символи ребер
Будь-який напрямок (ребро кристала) в даній системі координат може бути задано: 1) двома точками, що лежать на заданому напрямку, не проходять через початок координат, 2) однією точкою, якщо напрямок проходить через цю точку і початок координат.Якщо осьові одиниці одиничної грані рівні a 0, b 0, c 0, а точки А (x 1, y 1, z 1) і В (x 2, y 2, z 2) лежать на заданому напрямку, то проекції відрізка АВ будуть рівні:
(AB) x = x 2-x 1, (AB) y = y 2-y 1, (AB) z = z 2-z 1.
Тоді символ спрямування [rst] визначиться як
Таким чином, заданий напрямок визначається відношенням трьох проекцій відрізка, що лежить на цьому напрямку, до відповідних осьовим одиницям і виражається за допомогою цілих взаємно простих чисел r, s, t, записуваних в квадратних дужках [rst]. У випадку, коли заданий напрямок проходить через точку А [[000]] початку координат і точку В [[xyz]] можна записати.
З наведеного вище правила визначення символів ребер випливає, що якщо даний відрізок АВ або даний напрямок переміщувати у просторі паралельно самому собі, то його символ не зміниться.
Заданий напрямок може бути визначено і за допомогою кутів a, b, g, які воно утворює з координатними осями x, y, z. Для відрізка АВ, що лежить на заданому напрямку, можна записати:
У кубічних кристалах:
Нескладні геометричні розгляду показують, що для кубічних кристалів ставлення напрямних косинусів нормалі до грані (h k l) пропорційно відношенню індексів:
звідси:
Таким чином, при індіцірованіі напрямків в кубічних кристалах слід пам'ятати, що символи напрямки та перпендикулярної йому межі позначаються однаковими індексами. Наприклад, напрям [111] перпендикулярно грані (111), а напрям [110] - грані (110).
Основні кристалографічні співвідношення
1. Кут між двома напрямками.Щоб знайти кут між двома напрямками [r 1, s 1, t 1], [r 2, s 2, t 2] необхідно пригадати одне з правил аналітичної геометрії про знаходження скалярного добутку двох векторів
Якщо
(Тут
Звідки
2) Кут між напрямком і площиною
Враховуючи, що для кубічних кристалів перпендикуляри до площин (hkl) зображуються як [h k l], легко знайти кут a між таким перпендикуляром і заданим напрямом [r s t].
Вихідний кут буде додатковим до 90 °, тобто b = (90 °-a) і визначиться як
3) Умова зональності.
Кристалографічної зоною називається сукупність граней кристала, паралельних одному напрямку, званому віссю зони. Щоб будь-яка площину (hkl) належала зоні, вісь якої [rst], необхідно, щоб напрямок, паралельне осі зони, лежало в цій площині. Отже, косинус кута a між перпендикуляром до заданої площини (hkl) і віссю зони [rst] повинен бути рівний нулю. При цьому умова зональності для кубічних кристалів може бути записано як
Використовуючи умову зональності, легко визначити символ ребра [r s t], утвореного двома гранями (h 1 k 1 l 1) та (h 2 k 2 l 2) зі спільного рішення рівнянь:
Рішення даної системи рівнянь можна представити у вигляді:
Розглянуту задачу можна назвати знаходженням символу зони по символах граней кристала.
Аналогічним чином вирішується задача про знаходження символу межі (h k l), в якій лежать два заданих спрямування [r 1 s 1 t 1] та [r 2 s 2 t 2]. У цьому випадку рішення системи рівнянь
Дає індекси шуканої грані (h k l).
4) межплоскостное відстань і індекси площині.
При розрахунку рентгенограм необхідно знати зв'язок межплоскостное відстані d з індексами (hkl), що відображає сімейства площин. геометричне розгляд для ортогональної системи координат дає наступні залежності:
План роботи
1. Провести індіцірованіе всіх граней і ребер заданих кристалів.2. Знайти кут між двома заданими напрямками в кристалах кубічної,. тетрагональної і ромбічної сингоній при відомих параметри решітки.
3. Визначити кут між двома заданими площинами, напрямком і площиною у кубічних кристалах.
4. Знайти символ зони з відомих символів граней. Знайти символ межі, в якій лежать два заданих напрямки.
5. Визначити межплоскостное відстані для заданого сімейства атомних площин по відомим параметрам решітки в ряді кристалів різних сингоній.
Контрольні питання
1. У чому сутність методу індексів?2. Які індекси мають паралельні грані і ребра кристала?
3. Як вибирається одинична грань в кубічних кристалах?
4. У чому полягає особливість індіцірованія напрямків в кубічних кристалах?
5. Що фізично собою являє умова зональності?