Контрольні завдання для заочників з математики

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Міністерство освіти Російської Федерації
державний технічний університет
МАТЕМАТИКА
Методичні вказівки та контрольні завдання
для студентів-заочників всіх спеціальностей
Схвалено
редакційно-видавничим радою
державного
технічного університету
2004

РЕКОМЕНДАЦІЇ ЩОДО ВИКОНАННЯ І ОФОРМЛЕННЯ КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ

Перед виконанням контрольної роботи студент повинен вивчити відповідні розділи курсу "Математика", використовуючи навчальну літературу. Список рекомендованої літератури наведено у методичних вказівках. Студент може використовувати також підручники та навчальні посібники, не включені в даний список, якщо ця допомога містять відповідні розділи навчального курсу.
Контрольна робота виконується в окремому зошиті. На обкладинці зошита необхідно вказати назву навчальної дисципліни, номер контрольної роботи, а також повністю прізвище, ім'я та по батькові студента, його адресу, спеціальність, номер студентської групи, шифр (номер залікової книжки) і дату відправки роботи в інститут.
Завдання контрольної роботи вибираються у відповідності до вказівок викладача в таблицях варіантів. Варіант визначається двома останніми цифрами номера залікової книжки. Передостання цифра номера визначає таблицю варіантів, остання цифра номера визначає стовпець у вибраній таблиці. Представлена ​​для рецензування контрольна робота повинна містити всі завдання, зазначені викладачем. Рішення завдань слід приводити в тій послідовності, яка визначена в таблиці варіантів. Умова кожного завдання має бути наведено повністю перед її рішенням. Контрольна робота повинна бути підписана студентом.
Залік з контрольної роботи виставляється за результатами рецензування та співбесіди. Перед співбесідою студент зобов'язаний виправити в роботі помилки, відмічені рецензентом.
Залік по контрольних робіт є обов'язковим для допуску до складання заліків та іспитів, які передбачені навчальним планом.

Векторної алгебри і АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

1. -10. Вектори a, b, c, d задані координатами в деякому базисі. Показати, що вектори a, b, c утворюють базис в просторі, і знайти координати вектора d в ​​цьому базисі.
1. a = (3, 2, 2), b = (2; 3; 1), c = (1, 1, 3), d = (5; 1; 11).
2. a = (1, 2, 3), b = (-2; 3; - 2), c = (3; - 4; - 5), d = (6; 20; 6).
3. a = (4, 2, 5), b = (-3; 5; 6), c = (2; - 3; - 2), d = (9; 4; 18).
4. a = (1, 2, 4), b = (1; - 1; 1), c = (2, 2, 4), d = (-1; - 4; - 2).
5. a = (2, 3, 3), b = (-1; 4; - 2), c = (-1; - 2, 4), d = (4; 11; 11).
6. a = (1; 8; 4), b = (1; 3; 1), c = (-1; - 6; - 3), d = (1, 2, 3).
7. a = (7, 4, 2), b = (-5, 0, 3), c = (0; 11; 4), d = (31; - 43; - 20).
8. a = (3; 2; 1), b = (4; - 1; 5), c = (2; - 3; 1), d = (8; - 4; 0).
9. a = (1, 3, 3), b = (-4; 1; - 5), c = (-2; 1; - 6), d = (-3; 5; - 9).
10. a = (1, 5, 3), b = (2; 1; - 1), c = (4; 2; 1), d = (31, 20, 9).
11. -20. Дано координати точок A1, A2, A3, A4. Відомо, що відрізки A1A2, A1A3, A1A4 є суміжними ребрами паралелепіпеда. Потрібно знайти:
довжину ребра A1A2; 2) кут між ребрами A1A2 і A1A3; 3) площа грані, що містить вершини A1, A2, A3, 4) обсяг паралелепіпеда; 5) рівняння прямої, що проходить через вершину A1 вздовж діагоналі паралелепіпеда; 6) рівняння площини A1A2A3; 7) кут між ребром A1A4 і гранню, яка містить вершини A1, A2, A3; 8) відстань від вершини A4 до площини A1, A2, A3. Зробити креслення.
11. A1 (0, 3, 2), A2 (-1; 3; 6), A3 (-2; 4; 2), A4 (0; 5; 4).
12. A1 (4; 2; 5), A2 (0; 7; 2), A3 (0; 2; 7), A4 (1; 5; 0).
13. A1 (-1; 2; 0), A2 (-2; 2; 4), A3 (-3; 3; 0), A4 (-1; 4; 2).
14. A1 (4; 4; 10), A2 (4; 10; 2), A3 (2; 8; 4), A4 (9; 6; 4).
15. A1 (2, 2, 3), A2 (1, 2, 7), A3 (0; 3; 3), A4 (2, 4, 5).
16. A1 (4, 6, 5), A2 (6, 9, 4), A3 (2; 10; 10), A4 (7, 5, 9).
17. A1 (0; - 1, 2), A2 (-1; - 1, 6), A3 (-2, 0, 2), A4 (0; 1; 4).
18. A1 (3, 5, 4), A2 (8; 7; 4), A3 (5, 10, 4), A4 (4; 7; 8).
19. A1 (3, 0, 2), A2 (2, 0, 6), A3 (1, 1, 2), A4 (3, 2, 4).
20. A1 (10, 6, 6), A2 (-2; 8; 2), A3 (6; 8; 9), A4 (7, 10, 3).
21. Дано рівняння двох сторін паралелограма: x +2 y +1 = 0 і 2x + y-3 = 0. Центр паралелограма знаходиться в точці A (1, 2). Знайти рівняння двох інших сторін. Зробити креслення.
22. Дано дві вершини трикутника A (2; 1), B (4; 9) і точка перетину висот N (3, 4). Знайти рівняння сторін трикутника. Зробити креслення.
23. Дано дві протилежні вершини квадрата A (1, 3) і C (-1; 1). Знайти координати двох інших вершин і скласти рівняння сторін. Зробити креслення.
24. Знайти рівняння сторін трикутника, якщо задані його вершина A (1; 3) і рівняння двох медіан x-2y +1 = 0, y-1 = 0. Зробити креслення.
25. Відомі рівняння однієї із сторін квадрата x +3 y-3 = 0 і точка перетину діагоналей N (-2; 0). Знайти рівняння інших її сторін. Зробити креслення.
26. Рівняння бічних сторін рівнобедреного трикутника 2x-y +8 = 0, x-2y-12 = 0. Точка N (4; 0) лежить на підставі трикутника. Знайти рівняння підстави. Зробити креслення.
27. Знайти рівняння сторін трикутника, знаючи одну його вершину B (2; - 7), а також рівняння висоти 3x + y +11 = 0 і медіани x +2 y +7 = 0, проведених з різних вершин. Зробити креслення.
28. Точка A (5; - 4) є вершиною квадрата, діагональ якого лежить на прямій x-7y-8 = 0. Написати рівняння сторін і другий діагоналі цього квадрата. Зробити креслення.
29. Рівняння підстави рівнобедреного трикутника x + y-1 = 0, рівняння бічної сторони x-2y-2 = 0. Точка N (-2; 0) лежить на іншій бічній стороні. Знайти рівняння цієї сторони. Зробити креслення.
30. Дано рівняння медіан трикутника 5x +4 y = 0 і 3x-y = 0 і одна з його вершин A (-5; 2). Знайти рівняння сторін трикутника. Зробити креслення.
31. Скласти рівняння і побудувати коло, що проходить через точки A (1, 2), B (0; - 1) і C (-3; 0).
32. Скласти рівняння і побудувати лінію, відстань кожної точки якої від точки A (0; 1) у два рази менше відстані її до прямої y-4 = 0.
33. Скласти рівняння і побудувати лінію, сума квадратів відстаней від кожної точки якої до точок A (-3; 0) і B (3; 0) дорівнює 50.
34. Скласти рівняння і побудувати лінію, відстань від кожної точки якої до точки A (-1; 1) вдвічі менше відстані до точки B (-4; 4).
35. Скласти рівняння і побудувати лінію, сума відстаней від кожної точки якої до точок A (-2; 0) і B (2; 0) дорівнює 2 .
36. Скласти рівняння і побудувати лінію, кожна точка якої знаходиться на однаковій відстані від точки F (2; 2) і осі Ox.
37. Скласти рівняння і побудувати лінію, відстані кожної точки якої від точки A (2; 0) і від прямої 5x +8 = 0 відносяться як 5: 4.
38. Скласти рівняння і побудувати лінію, відстані кожної точки якої від початку координат і від точки A (5; 0) відносяться як 2: 1.
39. Скласти рівняння і побудувати гіперболу, що проходить через точку N (9; 8), якщо асимптоти гіперболи мають рівняння y = ± (2 / 3) x.
40. Скласти рівняння і побудувати гіперболу, вершини і фокуси якої знаходяться у відповідних фокусах і вершинах еліпса 5x2 +8 y2 = 40.
41. -50. Крива задана рівнянням в прямокутній системі координат. Потрібно: 1) знайти рівняння кривої в полярній системі координат, полюс якої суміщений з початком прямокутної системи координат, а полярна вісь - з позитивною полуосью Ox; 2) побудувати криву по точках зі значеннями полярного кута φk = kπ/16.
41. (X2 + y2) 2 = 2 (x2-y2); 42. (X2 + y2) 2 = 4xy;
43. (X2 + y2) 2 / 4 = x2-y2; `44. (X2 + y2) 2 = 8xy;
45. (X2 + y2) 2 = 6 (x2-y2); 46. (X2 + y2) 2 = 2 (y2-x2);
47. (X2 + y2) 2 = - 4xy; 48. (X2 + y2) 2 = 4 (y2-x2);
49. (X2 + y2) 2 = - 8xy; 50. (X2 + y2) 2 = 12xy.

ЕЛЕМЕНТИ АЛГЕБРИ

51. -60. Вирішити систему лінійних рівнянь методом Гауса.
51.52.
ì3x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5, ì x1 +2 x2 + x3 +6 x4 + x5 = 4,
í2x1 - x2 +3 x3 = 4, í3x1 - x2 - x3 + x4 + = 1,
î 5x2 +6 x3 + x4 + = 11. î x1 +3 x2 +5 x3 = 9.
53.54.
ì3x1 - x2 + x3 +6 x4 + x5 = 6, ì5x1 + x2 + x3 +3 x4 + x5 = 5,
í x1 + 5x3 + x4-7x5 = 6, í - 2x2 +4 x3 + x4 + x5 = 3,
î x1 +2 x2 +3 x3 + x4 + x5 = 6. î x1-3x2 +5 x3 = 2.
55.56.
ì - x1 + x2 + x3 +2 x4 + x5 = 4, ì-2x1 - x2 +2 x3 = 2,
í2x1 + x3 - 3x4 +5 x5 = 3, í x1 + x2 +4 x3 + x4 +3 x5 = 8,
î3x1 - x3 +6 x4 + x5 = 6. î3x1 + x2 - x3 = 5.
57.58.
ì2x1 + x3 - x4 + x5 = 2, ì 6x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 = 9,
í4x1 + x2 + 3x3 + x4 +2 x5 = 7, í - x1 - x3 + 7x4 +8 x5 = 14,
î - x1 + x3 +2 x4 + x5 = 2. î x1 + 2x3 + x4 + x5 = 3.
59.60.
ì-2x1 + 3x3 + x4 + x5 = 5, ì2x1 + 3x3 + x4 = 4,
í 3x1 + x2 + x3 +6 x4 +2 x5 = 9, í x1 - x3 +2 x4 +3 x5 = 4,
î - x1 + 2x3 - x4 +2 x5 = 3. î3x1 +3 x2 +6 x3 +3 x4 +6 x5 = 15.
61. -70. Для даної матриці A побудувати обернену матрицю A-1. Правильність побудови оберненої матриці перевірити, використовуючи матричне множення.
61. é3 2 1ù 62. é 1 - 5 3ù 63. é4 - 3 2ù
A = ê2 3 січня ê A = ê 2 4 1 ê A = ê2 5 - 3 ê
ë2 1 1û. ë-3 3 - 7û. ë5 6 - 2û.
64. é-2 5 - 6ù 65. é2 - 1 - 1ù 66. é3 - 9 8ù
A = ê 1 7 - 5 ê A = ê3 4 - 2 ê A = ê2 - 5 5 ê
ë 4 2 - 1û. ë3 - 2 4û. ë2 - 1 1û.
67. é1 1 - 1ù 68. é2 3 1ù 69. é7 - 5 0ù
A = ê8 3 - 6 ê A = ê4 - 1 5 ê A = ê4 0 11ê
ë4 1 - 3û. ë1 - 2 4û. ë2 3 4û.
70. é1 7 - 2ù
A = ê3 5 січня ê
ë-2 5 - 5û.
71. -80. Визначити власні значення і власні вектори квадратної матриці другого порядку.
71. é-1 3 ù 72. é4 - 1ù 73. é-6 5ù 74. é-4 - 3 ù
ë2 0 û. ë-2 3û. ë 2 - 3û. ë-2 1 û
75. é-3 2 ù 76. é1 - 2ù 77. é 4 - 1ù 78. é-1 3ù
ë 5 - 6û. ë-3 - 4û. ë-2 5û. ë2 - 2û.
79. é 1 - 2 ù 80. é1 2ù
ë-3 Червень û. ë3 2û.
81. -90. Дано комплексне число z. Потрібно:
1) записати число z в алгебраїчній, тригонометричної і показовою формах;
знайти всі корені рівняння w3 + z = 0, зобразити ці корені на площині комплексної змінної.
_ _ _
81. z = 8 / (1 + iÖ3) .82. z =- Ö8 / (1 + i) .83. z = Ö8 / (1-i).
_ _ _
84. z = 2 / (1-iÖ3) .85. z =- 2 / (-i + Ö3) .86. z = 1 / (Ö3 + i).
_ _ _
87. z = - 4 / (1-iÖ3) .88. z =- Ö8 / (-i +1) .89. z = Ö8 / (1 + i).
_
90. z = 1 / (Ö3-i).

ВСТУП У МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ

91. -100. Побудувати графік функції y = f (x) за допомогою перетворення графіка деякої найпростішої елементарної функції.
91. f (x) = (3x +2) / (2x +3).
92. f (x) = 3cos (2x - 5).
________________
93. f (x) = Ö (4x2 +7 x -2) / (4x-1).
94. f (x) = 9x2 - 6x + 3.
95. f (x) = ln (x2 - 6x + 9).
96. f (x) = - 2sin (3x + 4).
97. f (x) = 2x3 - 18x2 + 54x - 53.
98. f (x) = ln ((x +1) - 2 / e2).
99. f (x) =
f (x) = (3x2 - 5x + 2) / (2x2 + x - 3).
101. 110. Haйті межі функцій, не користуючись засобами диференційного числення.
_________ _
101. а) lim (Ö4x2 - x + 3 - 2x), б) lim (Öx - 1) - 1sin (1 - x);
x ® μ x ® 1
в) lim (1 + x + x2) 1 / x; г) lim (5x - 3x) / (7x - 4x).
x ® 0 x ® 0
102. а) lim (x2 +2 x-3) / (3x2 +14 x +15), б) lim x sin ((2x + 1) / (x2 +4 x3));
x ® - 3 x ® μ
в) lim (1 - 2sin2x) 1/xsinx; г) lim x - 2 ln (cos2x).
x ® 0 x ® 0
______ _______ _____
103. а) lim (3Ö8x4 + 1 + Öx + 3) / (3Öx + 2 (1 + Öx2 + 9));
x ® μ
б) lim sin2 (x - 1) / (4x2 + 3x +2 ), В) lim ;
x ® μ x ® ¥
г) lim (e2x - 3ex + 2) / x.
x ® 0
__________ ______
104. а) lim (Öx2 + x + 1 - Öx2 - x), б) lim (1 - cos2x) / (x sinx);
x ® μ x ® 0
в) lim ((2x2 +3 x +4) / (2x2 + x +1))-x / 2; г) lim [ln (1 + 3lnx) / ln (1 + 4lnx)].
x ® μ x ® 1
105. а) lim (3x5 + 2x2 + 1) / (1 + 4x3 - x5), б) lim x - 2sin2 (x2 + 2x);
x ® μ x ® 0
в) lim ; Г) lim (esinx - ex) / x.
x ® 0 x ® 0
_______________
106. а) lim (Öx2 + 4x - Öx2 + 6x + 1), б) lim (cos 5x) / (sin 2x);
x ® μ x ® p / 2
в) lim ((x2 + 7x + 8) / (x2 + 14x + 1)) - x / 3; г) lim (e - ecosx) / x.
x ® μ x ® 0
_____
107. а) lim (x2 - 5x + 6) / (x3 - 8x + 8), б) lim (1 - Ö1 - x) - 1 sinx;
x ® 2 x ® 0
_____
в) lim (x + Ö1 + x) 3 / x; г) lim x - 1 ln (cosx + sinx).
x ® 0 x ® 0
108. а) lim (3x4 - 2x2 + 1) / (2x4 + 3x2 - 2);
x ® μ
б) lim (sinx - sin3x) / (sin6x - sin7x);
x ® 0
в) lim ; Г) lim (ln cosx) / (cos3x - cosx).
x ® 0x ® 0
109. а) lim ; Б) lim (cos8x - cos2x) / (cos6x - cos4x);
x ® 5/2x ® 0
______
в) lim (9-2x) 1 / (4 - x); г) lim ln (x + Öx2 + 1) / x.
x ® 4x ® 0
____________
110. а) lim (x - Öx + 2) / (Ö4x + 1 - 3), б) lim (sin2x-sinx) / (cos4x - cos2x);
x ® 2 x ® 0
в) lim ((2x + 1) / (3x +1)) 1 / x; г) lim (ln (3 - 2tgx)) / cos2x.
x ® 0 x ® p / 4
111. -120. Дослідити на безперервність функцію y = f (x), знайти точки розриву і визначити їх рід. Побудувати схематичний графік функції.
111. 112. 113.
114. 115.
æ (2x2 + 3) / 5пріxÎ (- ¥, 1];
116. í 6 - 5xпріx Î (1, 3);
è x - 3пріx Î [3, + ¥).
117. arctg .118. x ctgx.
119. .120 .

Диференціальне числення функцій однієї змінної І ЕЛЕМЕНТИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ГЕОМЕТРІЇ

121. -130. Знайти похідну функції однієї змінної, виходячи з визначення похідної.
y = tg2x.122. y = ln (3x + 1) .123. y = cos (x2).
y = sin (x2 + 2x) .125. y = ctg (3x - 2) .126. y = Ö 2x2 + 1.
127. y = Ö 2 - cos3x.128. y = Ö 2 + sin2x.129. y = e2x.
y = (x + 1) / (x - 1).
131. -140. Знайти похідні першого порядку даних функцій, використовуючи правила обчислення похідних.
1) y = Ö4x4 + tgx, 2) y = x1 / 2 / sinx;
3) y = ctg5x / x3; 4) y = arctg (ex) + tg (arccos (ex)).
1) y = ln (tg (3x + 2)); 2) y = Ö 1 - x2 arcsinx;
3) y = xtgx; 4) y = (x2 - 1) / (x2 + 1).
1) y = arccos (x2) + arcctg (x2); 2) xy = cos (x - y);
3) y = log2 (2x + 1); 4) y = Ö1 - x2 / Ö1 + x2.
1) y = (2 - 5x) / Ö2 - 5x + x2, 2) y = ex - y;
3) y = 2 lnx - x; 4) y = sin2 3t, x = cos4 3t.
1) y = (arcsinx) 1 - x; 2) y = cos2 x + tg2x;
3) x3 + y3 - 3xy = 3, 4) x = t - sin2t, y = 1 - cos 2t.
1) y = sin2x / (1 + sin2x), 2) y = 3arctgx + (arctgx) 3,
3) y = (1 + x2) 1 + 2x; 4) y = tg3t, x = cos2 3t.
1) y = 3-3x + (3x) -3; 2) y = (x - 1) log5 (x2 - 1),
3) y = (x2 + 1) x; 4) y = tg (x2/y2).
1) y = ln (lg (log2x)); 2) y = (x2 + x + 1) / (x2 + 1);
3) y = (x + 1) x; 4) ex + y = x - y.
1) y = (x2 + 1) 3 - (x2 - 1) 3, 2) y = (ln5x) / (x4 - 1);
3) y = (tgx) ctgx; 4) x = t ctg (t2), y = t cos2 (t2).
1) y = ln (x + Öx2 + 1), 2) y = x-sin2x;
3) y = 2 / (x -1) + 1 / (x2 - 1); 4) sin (x + y) + cos (x2 + y2) = 1.
141. -160. Побудувати графік функції, використовуючи загальну схему дослідження функції.
141. y = (x2 + 2x + 2) / (2 + x2) .142. y = (4 + x2) / (9 - x2).
143. y = (2 + 3x2) / (1 + x2) .144. y = (x3 + 2x2 + 2) / (x2 + 1).
145. y = (x2 + 3x + 5) / (x - 1) .146. y = (3x3 - 2) / x.
147. y = (2x2 +3 x + 1) / (x - 2) .148. y = x3 / (x3 + 1).
149. y = (3 - 9x2) / (1 - 9x2) .150. y = (x3 + 8) / (x3 - 8).
151. y = xe 2x - 1.152. y = ln (x2 - 9).
153. y = (1 + x2) exp (-x2) .154. y = lg (4 + x2).
155. y = exp (2 / (1 - x)) .156. y = ln (16 - x2).
157. y = x2 + 1 + 2lnx.158. y = exp (1 + 4x - 2x2).
159. y = (2 + x) exp (- 4 - 4x - x2)) .160. y = (1 - x) - 0.5 lg (1 - x).
161. -170. Скласти рівняння дотичної та нормалі:
до графіка кривої y = f (x) в точці, абсциса якої дорівнює x0;
до графіка кривої x = x (t), y = y (t) в точці, для якої параметр t дорівнює t0.
Побудувати графіки кривих, дотичних і нормалей. Для кожної кривої знайти кривизну в зазначених точках.
161.1) y =-Ö (9 - x2) / 3, x0 = - 3 / 2, 2) x = 3cost, y = Ö 3 sint, t0 = - p / 3.
162.1) y = Ö4 - 8x2, x0 = - 1 / 2, 2) x = -1/Ö2 cost, y = -2 sint, t0 = 5p / 4.
163.1) y = Ö16 - 4x2, x0 = 1, 2) x = -2 sint, y = - 4 cost, t0 = 5p / 6.
164.1) y =-Ö8 - 3x2, x0 =-Ö 2; 2) x = 2Ö 2 / 3 cost, y = 2Ö 2 sint, t0 = - p / 6.
165.1) y =-Ö25 - 5x2, x0 =-0.5Ö 5; 2) x =-Ö 5 sint, y = 5 cost, t0 = 7p / 6.
166.1) y = Ö (4 - x2) / 2, x0 = Ö 2; 2) x = 2sint, y = Ö 2 cost, t0 =-p / 4.
167.1) y = Ö8 - 4x2, x0 = -1, 2) x = Ö 2 cost, y = 2Ö 2 sint, t0 = p / 4
168.1) y = Ö (7 - x2) / 2, x0 =-0.5Ö 7; 2) x = Ö 7 cost, y = Ö7 / 2 sint, t0 = p / 3.
169.1) y =-Ö2 (4 - x2), x0 = -1, 2) x = 2 sint, y = 2Ö 2 cost, t0 = 5p / 6.
170.1) y =-Ö4 - 8x2, x0 = -1 / 2, 2) x = 1 / Ö 2 cost, y = 2 sint, t0 = 5p / 4.

Диференціальне числення функцій кількох змінних

171. -180. Дано функція u = f (x, y, z) і точки A (x0; y0; z0) і B (x1; y1; z1). Потрібно:
обчислити значення u1 функції в точці В;
обчислити наближене значення u1 функції в точці В, виходячи із значення u0 функції в точці А, замінивши приріст функції при переході від точки А до точки В диференціалом, і оцінити у відсотках відносну похибку, яка виникає при заміні приросту функції її диференціалом;
скласти рівняння дотичної площини до поверхні f (x, y, z) = C в точці А.
171. u = x2 + xyz + z2, A (1, 2, 1), B (1.05; 1.95; 0.96), C = 4.
172. u = x2z - xy + z2, A (1; 3; - 1), B (0.95; 3.08; - 0.96), C = - 3.
173. u = x2 + 2xz + y2z, A (4; 1; 0), B (4.1; 1.04; - 0.1), C = 16.
174. u = z2 - y2 + x + y + z, A (-2; 3; 1), B (-2.1; 3.1.1.05), C = - 6.
175. u = xy + yz + xz, A (2; 1; 2), B (1.96; 0.95; 2.1), C = 8.
176. u = x2 + y2 + z2 + x - z, A (1; - 1; 1), B (1.04; - 1.02; 0.95), C = 3.
177. u = 4 - xy2 + yz, A (-2; 1; 3), B (-2.1; 1.04; 3.1), C = 9.
178. u = x (y + z) - z2, A (-1; 2; 1), B (-0.95; 2.1; 0.95), C = - 4.
179. u = x2 - y2 + z2 + yz, A (1; 1; - 1), B (1.08; 0.92; - 1.08), C = 0.
180. u = 2x - z + 2y2 + xz, A (4; - 1; 1), B (3.95; - 1.05; 1.05), C = 13.
181. -190. Знайти найменше та найбільше значення функції
z = f (x; y) в області D, заданої системою нерівностей. Зробити креслення області D.
181. f (x; y) = x2 + 2y2 - 5xy, x ³ - 1, y ³ - 1, x + y £ 1.
182. f (x; y) = x2 - 3y2 + 6xy + 4, | x | + | y ​​| £ 1.
183. f (x; y) = x2 + 2xy +3 y + 4, y £ 5 - x2, y ³ 1.
184. f (x; y) = x2 + 2y2 - 2x - 4y + 5,1 £ | x + y | £ 2, x ³ 0, y ³ 0.
185. f (x; y) = 2y2 + 6xy - 13x +2, x ³ y2 + 1, y ³ (x - 1) / 2.
186. f (x; y) = 2x2 + 2y2 - 10x + 13y + 1, x ³ 2, y £ - 3, y ³ x - 6.
187. f (x; y) = x2 + 3y2 + xy - 2x - y + 4, | x - 1 | + | y ​​| £ 1.
188. f (x; y) = 2x2 + 2xy - 3y + 5,0 £ y £ x2, | x | £ 1.
189. f (x; y) = 3x2 + 2y2 - 12x + 4y + 7,2 £ x - y £ 4, x ³ 0, y £ 0.
190. f (x; y) = y2 + 2xy + 3x + 11, -3 £ x £ - y2 + 1.
191. -200. Дано скалярний полі u = u (x, y). Потрібно:
1) скласти рівняння лінії рівня u = C і побудувати цю лінію; __
2) у точці А знайти градієнт і похідну за напрямом вектора АВ;
3) у точці А побудувати дотичну і нормаль до лінії рівня, отримавши їх рівняння.
191. u = x2 + 4y2 + 4x + 4y, C = 13, A (1, - 2), B (2, 4).
192. u = x2 + 9y2 + 2x - 6y, C = 2, A (-1, 1), B (0, 4).
193. u = 4x2 + y2 + 4x - 4y, C = 36, A (2, - 2), B (1, 1).
194. u = 9x2 + y2 - 6x - 2y, C = 6, A (1, 3), B (3, 0).
195. u = x2 + 4y2 + 2x - 8y, C = 20, A (2, 3), B (1, 4).
196. u = 25x2 + y2 + 10x + 2y, C = 14, A (-1, - 1), B (2, 4).
197. u = 4x2 + 9y2 - 4x - 12y, C = 8, A (2, 0), B (-1, - 1).
198. u = 9x2 + 4y2 - 12x - 4y, C = 8, A (0, 2), B (2, 5).
199. u = x2 + 25y2 - 2x + 20y, C = 165, A (2, - 3), B (2, 1).
200. u = x2 + 4y2 + 2x - 4y, C = 35, A (5, 1), B (5, 4).
201. -210. Значення функції, отримані експериментально, наведені в таблиці. Методом найменших квадратів знайти найкращу лінійну апроксимацію експериментальної залежності. На площині (x, y) побудувати отриману пряму і точки, задані табл.1.
Таблиця 1
201.
x
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
y
- 2.0
- 0.5
- 0.5
1.0
1.5
2.4
3.2
4.0
202.
x
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
y
6.0
4.5
4.5
2.8
1.0
-0.5
-1.5
-2.8
203.
x
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
y
- 5.0
- 4.0
-2.5
-2.5
-1.0
- 0.5
1.2
2.0
204.
x
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
y
6.5
5.2
3.5
3.5
1.6
0.2
- 1.5
- 2.5
205.
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
- 0.2
0
0
0.1
0.15
0.25
0.3
0.4
206.
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
0.6
0.45
0.4
0.3
0.1
- 0.1
- 0.2
- 0.3
207.
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
y
- 0.5
- 0.4
- 0.25
- 0.25
- 0.1
0
0.1
0.2
208.
x
0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
y
2.0
3.0
6.5
7.5
10
12.5
13.5
16.5
209.
x
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
y
2.0
0.5
0.5
-1.5
-1.5
-3.0
-4.2
-5.2
210.
x
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
y
- 4.0
-2.5
- 2.5
- 1.0
0.5
0.5
2.2
3.0

Інтегрального обчислення функцій однієї ЗМІННОЇ

211. -220. Знайти невизначені інтеграли.
211. а) ò exp (- 8x3) x2 dx; б) ò x tg2x dx; в) ò (6x3-7x2 - 3x) - 1 dx.
212. а) ò tg (5x + 3) dx; б) ò ln (x2 + 1) dx; в) ò (x3 - 1) (4x3 - x) - 1 dx.
213. а) ò ctg (2x-3) dx; б) ò ln2x dx; в) ò x2 (x3 +5 x2 + 8x + 4) - 1dx.
214. а) ò x - 1cos2 (1 + lnx) dx; б) ò arcsin2x dx; в) ò (x3 + 1) (x3 - x2) - 1 dx.
215. а) ò cos4x sin2x dx; б) ò x2arctgx dx; в) ò (x2 + 1) (x3 + x2-x-1)-1dx.
____
216. а) ò 2x / Ö1-4x dx; б) ò x - 2 ln 3x dx; в) ò (x4 +1) (x3-x2 + x-1) - 1 dx.
_
217. а) ò x (3x + 2) - 1 dx; б) ò (1 - x) - 1/2arcsinÖx dx; в) ò x (x3 - 3x + 2) - 1dx.
218. а) ò ex (e2x + 4) - 1 dx; б) ò x ln ((1 + x) (1 - x) - 1) dx; в) ò x (x3 - 1) - 1dx.
219. a) òe - x (e2x-1) dx; б) ò x-5 / 2 ln2x dx; в) ò 32x / ((2x-1) (4x2 - 16x + 15)) dx
_
220. а) ò (3x - 1) (x2 + 9) - 1 dx; б) ò eÖx dx; в) ò x2 / (x3 + x2 + x + 1) dx.
221. -230. Обчислити невласні інтеграли або встановити їх розбіжність.
μ11
221. ò (x2 + 2x + 2) - 1 dx.222. ò x - 2 (1 - x2) - 5 / 3 dx.223. ò x lnx dx.
- Μ00
μμ
224. ò x sinx dx.225. ò x - 2 (x + 1) - 1 dx.
01
1 _μ1
226. ò (√ x - 1) - 1 dx.227. ò x3 exp (- x2) dx.228. ò (ex - cosx) -1 dx
000
μ1
229. ò x (x + 1) - 3 dx.230. ò x - 3 / 2 (1-x) - 3 / 4 dx.
00
231. -240. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями, рівняння яких дано.
231. y = 1 / (1 + x2), y = x2/2.232. y = x2, y = x3 / 3.
233. y = ex, y = e - x, x = 1.234. y2 = 2x + 1, x - y - 1 = 0.
235. y2 + 8x = 16, y2 - 24x = 48.236. y = x (x - 1) 2, y = 0.
237. (Y - x - 2) 2 = 9x, x = 0, y = 0.238. y = (x2 + 2x) e - x, y = 0.
239. x = y2 (y - 1), x = 0.240. y = x - x5 / 2, y = 0.
241. -250. Обчислити довжини дуг кривих, заданих наступними рівняннями.
241. y = x2 / 4 - 0,5 lnx, 1 £ x £ 2.
242. x = 5 (t - sint), y = 5 (1 - cost), 0 £ t £ p.
_
243. r = Ö2ej, - p / 2 £ j £ p/2.244. y = - ln cosx, 0 £ x £ p / 6.
245. x = 3 (2cost - cos2t), y = 3 (2sint - sin2t), 0 £ t £ 2p.
246. r = 1 - sinj, - p / 2 £ j £ - p/6.247. y = ln (x2 - 1), 2 £ x £ 3.
248. x = 4 (cost + t sint), y = 4 (sint - t cost), 0 £ t £ 2p.
249. r = 8cosj, 0 £ j £ p/4.250. y = (e2x + e-2x +3) / 4,0 £ x £ 2.
Диференціальні рівняння
251. -260. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння.
251. xy'-2y = x3ex.252. (X +1) y'-2y = (x +1) 4.
253. x2y '+2 xy = cosx.254. xy '+ y = x +1.
255. y'cosx - ysinx = 4x3.256. y'-ycosx = exp (sinx).
257. x2 y '+2 xy = 1.258. y '+2 xy = 2x exp (-x2).
259.2xy '-y = 2x3/2cosx.260. y '+ ytgx = 2xcosx.
261. -270. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння.
261. y "y3 = 1.262. y" '= (y ") 3.
263. y "(x-1) - y '= x (x-1) 2.264. (1 + x2) y" +1 + (y') 2 = 0.
265. yy "+ (y ') 2 = 0.266. xy" = y'ln (y' / x).
267. (1-x2) y "= xy '.268. Y" x + y' = x2.
269. xy "'+ y" = 1 + x.270. y "=- (x / y ').
271. -280. Знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє заданим початковим умовам.
271. y "-9y = e-2x; y (0) = 0, y '(0) = 0.
272. y "-4y = x-1; y (0) = 0, y '(0) = 0.
273. y "+2 y '+ y = cosx; y (0) = 0, y' (0) = 0.
274. y "+3 y '+2 y = 1 + x + x2; y (0) = 0, y' (0) = 1.
275. y "+2 y '+5 y = 13e2x; y (0) = 1, y' (0) = 4.
276. y "+2 y'-8y = 16x +4; y (0) = 2, y '(0) = 6.
277. y "+4 y'-12y = 8sin2x; y (0) = 0, y '(0) = 0.
278. y "-4y '+13 y = 26x +5; y (0) = 1, y' (0) = 0.
279. y "+ y = cos3x; y (p / 2) = 4, y '(p / 2) = 1.
280. y "-4y '+3 y = e5x; y (0) = 3, y' (0) = 9.
281. -290. Знайти загальний розв'язок системи диференціальних рівнянь за допомогою характеристичного рівняння.
281. x1 '+ x1-3x2 = 0, x2'-2x1 = 0.282. x1'-4x1 + x2 = 0, x2 '+2 x1-5x2 = 0.
283. x1'-x1 +2 x2 = 0, x2 '+3 x1-6x2 = 0.284. x1 '+5 x1 +4 x2 = 0, x2' +2 x1 +3 x2 = 0.
285. x1'-6x1-3x2 = 0, x2 '+8 x1 +5 x2 = 0.286. x1'-3x1 +2 x2 = 0, x2'-2x1-8x2 = 0.
287. x1 '+5 x1 +8 x2 = 0, x1' +3 x1 +3 x2 = 0.288. x1'-x1 + x2 = 0, x2'-x1-x2 = 0.
289. x1 '+4 x1-x2 = 0, x2' +2 x1 + x2 = 0.290. x1 '+ x2 = 0, x2'-2x1-2x2 = 0.
Знайти інтегральну криву рівняння y "-k2y = 0 (k ¹ 0), яка стосується прямої y-y0 = a (x-x0) у точці (x0, y0).
Тіло масою m падає з висоти h під дією сили тяжіння і сили опору, пропорційної швидкості з коефіцієнтом k. Початкова швидкість тіла дорівнює нулю. Знайти закон руху тіла.
Тіло масою m ковзає по горизонтальній площині під дією поштовху, який дав початкову швидкість V0. На тіло діє сила тертя, що дорівнює-km. Знайти відстань, яке тіло пройде до повної зупинки.
Знайти інтегральну криву рівняння y "+ k2y = 0 (k ¹ 0), що стосується прямої y-y0 = a (x-x0) у точці (x0, y0).
Знайти рівняння кривої, у якої відрізок дотичної, укладений між осями координат, ділиться навпіл в точці дотику. Крива проходить через точку (2; 1).
Матеріальна точка маси m переміщається по прямій під впливом зовнішньої сили F = Asinwt і відновлювальної сили, яка спрямована на початок відліку переміщень і прямо пропорційна відстані точки від початку відліку з коефіцієнтом k = 4mω2. Опір середовища відсутня. Визначити закон руху матеріальної точки, якщо при t = 0 вона перебувала на початку відліку з нульовою швидкістю.
Знайти рівняння кривої, подкасательная якої має постійну довжину a. Крива проходить через точку (a; e).
Знайти рівняння кривої, що проходить через точку (3; 1), якщо відрізок дотичної до кривої, укладений між точкою дотику і віссю Ox ділиться навпіл в точці перетину з віссю Oy.
Знайти рівняння кривої, у якої сума координат точки дотику дорівнює подвоєній подкасательной. Крива проходить через точку (1; 1).
Знайти інтегральну криву рівняння y ¢ sinx = ylny, що проходить через точку (p / 2; 1).

ЧИСЛОВІ І ФУНКЦІОНАЛЬНІ РЯДИ

301. -310. Дослідити на збіжність ряд.
¥ ¥
301. å 1 / (n - cos26n) .302. å (n!) 2 / [(3n + 1) (2n)!]
n = 1n = 1
¥ ¥
303. å (2n + cos n) / (3n + sin n) .304. å (3n + 2)! / (10nn2).
n = 1n = 1
¥ ¥
305. å ln [(n2 +1) / (n2 + n + 1)] .306. å (n! n ⅓) / (3n + 2).
n = 1n = 1
¥ ¥
307. å [4n - 1 (n2 + 5) s] / [(n-1)!] .308. å (3 + 7n) / (5n + n).
n = 1n = 1
¥ ¥
å n sin (n - 4 / 3) .310. å [n! (2n + 1)!] / [(3n)!]
n = 1n = 1
311. -320. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність ряди.
311. .312.
313. 314.
315. 316.
317. 318.
319. 320.
321. -330. Розкласти функцію f (x) в ряд по ступенях x.
321. 322.
323. 324.
325. 326.
327. 328.
329. 330.
331. -340. Розкласти в ряд Фур'є в зазначеному інтервалі функцію f (x). Побудувати графік цієї функції і графік суми отриманого ряду Фур'є.
331. в інтервалі (- 1, 1).
332. в інтервалі (0, 3) по синусах.
333. в інтервалі (-p, p).
334. в інтервалі (-p, p).
ì -P / 2, xÎ (-p, 0),
335. í 0, x = 0,
î p / 4, x Î (0, p) в інтервалі (-p, p).
336. в інтервалі (-2, 2).
337. в інтервалі (0, 2p) по косинусам.
338. p / 4 - x/2в інтервалі (0, p) по синусах.
339. в інтервалі (-p, p).
340. (P - x) / 2в інтервалі (0, p) по синусах.

КРАТНИЙ і криволінійні інтеграли

341. -350. За допомогою подвійного інтеграла знайти площу фігури, обмеженої заданими кривими.










351. -360. За допомогою подвійного інтеграла знайти об'єм тіла, обмеженого поверхнями, рівняння яких задані.










361. -370. Обчислити потрійний інтеграл по області V, обмеженою заданими поверхнями.










371. -380. Обчислити криволінійний інтеграл другого роду уздовж заданої лінії (для незамкнутих кривих напрямок обходу відповідає зростанню параметра t або змінною x; для замкнутих кривих напрямок передбачається позитивним).
L-відрізок прямої, від точки (0; 0) до (p; 2p).
L - дуга лінії від точки (0, 0) до точки (1; 1).
L - дуга лінії від точки (0, 0) до точки (1; 1).
L-дуга окружності
L - еліпс
L - дуга окружності
L - лінія , XÎ [-1; 1].
L - лінія y = 1 - | 1-x |, xÎ [0; 2].
L-арка циклоїди
L - коло x2 + y2 = R2.
381. -390. Дано скалярний полі і векторне поле . Знайти , і в точці .




.
.
.
.
.
.
391. -400. Знайти потік векторного поля через частину площини , Розташовану в першому Октант (нормаль утворює гострий кут з віссю ).










401. -410. Довести потенційність поля і знайти його потенціал .











СПЕЦІАЛЬНІ РОЗДІЛИ

411. -420. Відновити аналітичну функцію f (z) = u + iv за заданою дійсної чи уявної частини.
411. .412. .
413. .414. .
415. .416. .
417. .418. .
419. .420. .
421. -430. Використовуючи теорію відрахувань, обчислити інтеграли.
421. .422. .
423. .424. .
425. .426. ; .
427. ; .428. .
429. . .430. ; , .
431. -440. Методом операційного числення знайти приватне рішення диференціального рівняння, що задовольняє заданим початковим умовам.
431. x ¢ ¢ + 2x ¢-3x = e - t, x (0) = 0, x ¢ (0) = 1.
432. x ¢ ¢ + 2x ¢ = t sin t, x (0) = 0, x ¢ (0) = 0.
433. x ¢ ¢ + 2x ¢ + x = sin t, x (0) = 0, x ¢ (0) = - 1.
434. x ¢ ¢ + 2x ¢ + x = t2, x (0) = 1, x ¢ (0) = 0.
435. x ¢ ¢ + 2x ¢ + 2x = 1, x (0) = 0, x ¢ (0) = 0.
436. x ¢ ¢ + x ¢ = cos t, x (0) = 2, x ¢ (0) = 0.
437. x ¢ ¢ - 2x ¢ +5 x = 1 - t, x (0) = 0, x ¢ (0) = 0.
438. x ¢ ¢ + 2x ¢ + x = t, x (0) = 0, x ¢ (0) = 0.
439. x ¢ ¢ - 2x ¢ + x = t - sin t, x (0) = 0, x ¢ (0) = 0.
440. x ¢ ¢ + x ¢ = t cos2t, x (0) = 0, x ¢ (0) = 0.
441. -450. Знайти всі особливі точки функції і визначити їх характер. Розкласти в ряд Лорана в зазначеному кільці.
441. .
442. .
443. .
444.
445.
446.
447.
448. .
449.
450. .
451. -460. Однорідний пружний стрижень довжини l виготовлений з матеріалу з щільністю r і модулем пружності E. Стрижень має постійне поперечний переріз площі S. Знайти методом Фур'є рішення рівняння поздовжніх коливань стержня
¶ 2u / ¶ t2 = a2 ¶ 2u / ¶ x2, a2 ​​= E / r.
при заданих початкових і граничних умовах.
451. u (x, 0) = Px / ES, ¶ u (x, 0) / ¶ t = 0; u (0, t) = 0, ¶ u (l, t) / ¶ x = 0.
452. u (x, 0) = 0, ¶ u (x, 0) / ¶ t = 0; u (0, t) = 0, ¶ u (l, t) / ¶ x = P / ES.
453. u (x, 0) = 0, ¶ u (x, 0) / ¶ t = 0; ¶ u (0, t) / ¶ x = P / ES, ¶ u (l, t) / ¶ x = P / ES.
454. u (x, 0) = - P (lx) / ES, ¶ u (x, 0) / ¶ t = 0; ¶ u (0, t) / ¶ x = 0, u (l, t) = 0.
455. u (x, 0) = 0, ¶ u (x, 0) / ¶ t = 0; u (0, t) = P / ES, u (l, t) = 0.
456. u (x, 0) = 0, ¶ u (x, 0) / ¶ t = 0; u (0, t) = 0, u (l, t) = Vt.
457. u (x, 0) = 0, ¶ u (x, 0) / ¶ t = 0; u (0, t) = - Vt, u (l, t) = 0.
458. u (x, 0) = 0, ¶ u (x, 0) / ¶ t = 0; u (0, t) = 0, u (l, t) = A sin (wt).
459. u (x, 0) = 0, ¶ u (x, 0) / ¶ t = 0; u (0, t) = 0, ¶ u (l, t) / ¶ x = (P / ES) sin (wt ).
460. u (x, 0) = 0, ¶ u (x, 0) / ¶ t = 0; ¶ u (0, t) / ¶ x = (P / ES) sin (wt), u (l, t) = 0.
ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ І МАТЕМАТИЧНА СТАТИСТИКА
461. Три стрілка стріляють по цілі. Ймовірність влучення в ціль першою стрільцем дорівнює 0.7, другим стрільцем - 0.8, третім стрільцем - 0.9. Визначити ймовірність, що в ціль потрапляє лише один із стрільців.
462. У ящику 10 деталей, з яких 4 пофарбовані. Складальник навмання взяв 3 деталі. Знайти ймовірність того, що хоча б одна з взятих деталей забарвлена.
463. У класі 12 хлопчиків і 18 дівчаток. Потрібно вибрати делегацію з двох чоловік. Яка ймовірність (якщо вважати вибір випадковим), що обрані: 1) два хлопчика 2) дві дівчинки?
464. Відділ технічного контролю перевіряє виріб на стандартність. Імовірність того, що виріб стандартно, дорівнює 0.9. Знайти ймовірність того, що з двох перевірених виробів тільки одне стандартне.
465. Імовірність того, що при одному вимірі деякої фізичної величини помилка перевищить допустиме значення, дорівнює 0.4. Здійснені три незалежні вимірювання. Знайти ймовірність того, що тільки в одному з них помилка перевищить допустиме значення.
466. З партії виробів товарознавець відбирає вироби вищого сорту. Імовірність того, що навмання взятий виріб виявиться вищого гатунку, дорівнює 0.8. Знайти ймовірність того, що з трьох перевірених виробів тільки два вироби вищого сорту.
467. Студент розшукує потрібну формулу в трьох довідниках. Вірогідність того, що формула міститься в першому, другому, третьому довіднику, відповідно рівні 0.6, 0.7, 0.8. Знайти ймовірність того, що формула міститься тільки в двох довідниках.
468. Вірогідність того, що потрібна складальникові деталь знаходиться в першому, другому, третьому, четвертому ящику, відповідно рівні 0.6, 0.7, 0.8, 0.9. Знайти ймовірність того, що деталь міститься не більше ніж у трьох ящиках.
469. У читальному залі є 6 підручників з теорії ймовірностей, з яких 3 в палітурці. Бібліотекар навмання узяв 2 підручника. Знайти ймовірність того, що обидва підручника опиняться в палітурці.
470. У лотереї 100 квитків: серед них один виграш в 5000 руб., 3 виграшу по 2500 руб., 15 виграшів по 300 руб. Хтось купує один квиток. Знайти ймовірність: а) виграти не менше 2500 руб., Б) виграти не більше 2500 руб.
471. Два автомата виробляють однакові деталі. Продуктивність першого автомата вдвічі більше продуктивності другого. Перший автомат виробляє 60% деталей відмінної якості, а другий - 84%. Навмання взята деталь виявилася відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь вироблена першим автоматом.
Число вантажних машин, що проїжджають по шосе, на якому стоїть бензоколонка, відноситься до числа легкових машин, що проїжджають по тому ж шосе, як 3: 2. Імовірність того, що буде заправлятися вантажна машина, дорівнює 0.1, для легкової машини ця ймовірність дорівнює 0.2. До бензоколонці під'їхала для заправки машина. Знайти ймовірність того, що це вантажна машина.
473. У спеціалізовану лікарню надходять в середньому 50% хворих із захворюванням «К», 30% - із захворюванням «М», 20% - із захворюванням «П». Імовірність повного лікування хвороби «К» дорівнює 0.7; для хвороб «М» і «П» ці ймовірності відповідно рівні 0.8 та 0.9. Хворий, що надійшов у лікарню, був виписаний здоровим. Знайти ймовірність того, що цей хворий страждав захворюванням «К».
474. З першого автомата на складання надходить 20%, з другого - 30%, з третього - 50% деталей. Перший автомат дає в середньому 0.2% браку, другий - 0.3%, третій - 0.1%. Знайти ймовірність того, що деталь, виготовлена ​​на першому автоматі.
475.60% учнів - мальчікі.80% хлопчиків і 75% дівчаток мають квитки на шкільний вечір. У шкільний бюро знахідок принесли кимось загублений квиток. Яка ймовірність того, що він належав дівчинці?
476. Троє мисливців одночасно вистрілили по кабану, який був убитий однією кулею. Визначити ймовірність того, що кабан був убитий перший мисливцем, якщо ймовірності влучення для кожного мисливця відповідно рівні 0.2, 0.4, 0.6.
477. У групі з 10 студентів, що прийшли на іспит, троє підготовлених відмінно, 4 - добре, 2 - посередньо, 1 - погано. У екзаменаційних білетах є 20 питань. Дуже добре підготовлений студент може відповісти на всі 20, добре підготовлений - на 16, посередньо - на 10, погано - на 5. Викликаний навмання студент відповів на три довільно заданих питання. Знайти ймовірність того, що студент підготовлений відмінно.
478. У ящику лежать 20 тенісних м'ячів, у тому числі 12 нових і 8 граних. З шухляди витягають навмання два м'ячі для гри і після гри повертаються в ящик. Після цього з шухляди виймають два м'ячі для наступної гри. Знайти ймовірність того, що ці обидва м'ячі будуть не граються.
479. На збірку надходять деталі з двох автоматів. Перший дає 0.2% браку, другий - 0.1%. Знайти ймовірність попадання на складання бракованої деталі, якщо з першого автомата надійшло 2000 деталей, а з другого - 3000 деталей.
480. Є три урни: в першій з них 5 білих куль і 3 чорних, по другої 4 білі кулі і 6 чорних; у третій - 8 білих куль (чорних немає). З обраної навмання урни витягується одна куля. Ця куля виявився білим. Знайти ймовірність того, що куля витягувався з першої урни.
481. -490. Для випадкової величини X побудувати ряд розподілу і функцію розподілу. Знайти її математичне сподівання, дисперсію, початковий момент другого порядку і третій центральний момент:
481. Стрілець робить по мішені 3 постріли. Ймовірність влучення в мішень при кожному пострілі дорівнює 0.3. Випадкова величина X - число влучень в мішень.
482. Досвід складається з трьох незалежних кидання монети. Випадкова величина X - число появ герба.
483. Проводиться 3 незалежних досвіду, в кожному з яких подія А може з'явитися з імовірністю 0.4. Випадкова величина X - число появ події А.
484. Гральну кістку кидають 4 рази. Випадкова величина X - число випадання шістки.
Проводиться три незалежні пострілу по мішені. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0.7. Випадкова величина X - число влучень в мішень.
486. Є три лампочки, кожна з яких з імовірністю 0.1 має дефект. При включенні дефектна лампочка відразу ж перегорає, після чого її замінюють іншою. Випадкова величина X - число лампочок, яке буде випробувано.
487. Мисливець стріляє до першого влучення, але встигає зробити не більше чотирьох пострілів. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0.7. Випадкова величина X - число пострілів, зроблених мисливцем.
488. Два стрільці роблять по пострілу в одну мішень. Ймовірність влучення в неї першим стрільцем дорівнює 0.3, другим - 0.6. Випадкова величина X - число влучень в мішень.
489. Пристрій складається з трьох незалежно працюючих елементів. Імовірність відмови кожного елемента в одному досвіді дорівнює 0.1. Випадкова величина X - число відмовили елементів в одному досвіді.
490. У партії з 10 деталей є 8 стандартних. Навмання відібрано дві деталі. Випадкова величина X - число стандартних деталей серед відібраних.
491. -500. Для випадкової величини X із заданою функцією розподілу F (x) потрібно знайти: а) щільність ймовірності; б) математичне сподівання і дисперсію; в) побудувати графіки функції розподілу та щільності ймовірності випадкової величини X:
491.0 при x <-1
F (x) = (x + 1) / 2 при -1 £ x £ 1
1 при x> 1
492.0 при x <0
F (x) = sin x при 0 £ x £ p / 2
1 при x> p / 2
493.0 при x <0
F (x) = x / 3 при 0 £ x £ 3
1 при x> 3
494.0 при x <1
F (x) = (x - 1) / 2 при 1 £ x £ 3
1 при x> 3
495.0 при x <0
F (x) = x / 4 при 0 £ x £ 4
1 при x> 4
496.0 при x <-1
F (x) = (x + 1) / 2 при -1 £ x £ 1
1 при x> 1
497.0 при x <0
F (x) = x / 5 при 0 £ x £ 5
1 при x> 5
498.0 при x <- p / 2
F (x) = cos x при-p / 2 £ x £ 0
1 при x> 0
499.0 при x <0
F (x) = x 2 / 4 при 0 £ x £ 2
1 при x> 2
500.0 при x <0
F (x) = x 2 / 9 при 0 £ x £ 3
1 при x> 3
501. -510. За наведеною в табл.2 вибірці нормально розподіленої випадкової величини X слід
знайти точкові оцінки математичного сподівання, дисперсії та середнього квадратичного відхилення:
записати щільність ймовірності і функцію розподілу випадкової величини X;
знайти довірчий інтервал (з надійністю g = 0.95) для математичного сподівання, вважаючи, що дисперсія відома і дорівнює отриманої в п.1 точкову оцінку;
обчислити P (a <X <b).
514. -520. Результати спостережень над двовимірної випадкової величиною (X, Y) наведені в табл.3. Потрібно побудувати кореляційне поле і підібрати регресійну залежність Y від X (рекомендується використовувати модель лінійної регресії).

Таблиця 2.

a
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
x9
x10
x11
x12
501.
2.5
3.5
0.2
1.8
3.4
3.6
2.8
4.4
5.0
4.4
1.8
2.8
3.3
3.4
502.
2
4
0.58
2.80
5.40
6.08
3.25
1.42
5.10
3.10
4.09
4.02
6.12
2.84
503.
5
10
10.9
10.6
9.9
11.0
10.5
10.8
10.7
10.1
10.5
11.1
11.2
10.4
504.
1.0
1.8
1.85
1.36
0.32
0.90
1.70
2.40
1.60
1.42
0.98
1.42
0.98
1.02
505.
7
13
1.0
2.6
1.8
10.8
15.0
0.8
3.3
3.8
4.8
6.8
13.8
0.0
506.
0.77
0.79
0.795
0.792
0.780
0.783
0.781
0.769
0.779
0.786
0.788
0.778
----
----
507.
0. 195
0.210
0. 202
0.215
0. 201
0. 209
0. 198
0.214
0. 190
0. 209
0. 198
0. 208
0.189
0. 192
508.
30.5
35.5
25.5
32.7
35.5
30.7
30.3
29.3
27.3
30.5
31.3
32.5
35.5
31.1
509.
1.345
1.350
1.347
1.344
1.347
1.343
1.345
1.343
1.342
1.348
1.346
1.345
----
----
510.
33
36
33.6
33.6
33.2
34.0
34.1
34.2
32.3
32.5
33.2
33.4
33.2
33.5

Таблиця 3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
511 x
y
1.50
8.8
1.55
8.2
1.60
7.2
1.65
6.7
1.70
6.3
1.75
6.3
1.80
6.0
1.85
5.3
1.90
4.7
1.95
4.3
----
----
512 x
y
0.5
0.67
0.6
0.69
0.7
0.71
0.8
0.74
0.9
0.76
1.0
0.80
1.1
0.82
1.2
0.87
1.3
0.97
1.4
1.03
----
----
513 x
y
3.5
3.3
3.6
3.4
3.7
3.5
3.9
3.4
4.0
3.8
4.1
3.7
4.2
3.8
4.3
4.1
4.4
4.2
4.5
4.1
4.6
4.2
4.7
4.5
514 x
y
15
2.8
20
2.6
25
4.6
30
4.5
35
6.4
40
6.6
45
6.6
50
9.6
55
9.6
60
8.2
----
----
515 x
y
25
2.5
26
1.9
35
5.1
37
3.8
43
6.1
50
6.9
54
8.5
59
7.4
65
12.1
75
14.4
----
----
516 x
y
2.9
1.71
4.8
1.63
6.5
1.34
8.1
1.32
9.4
0.96
10.6
0.97
12.0
0.60
13.4
0.57
14.7
0.56
----
----
----
517 x
y
3.1
2.00
3.7
1.94
4.1
1.95
4.6
1.83
5.3
1.85
5.7
1.72
6.1
1.75
6.5
1.70
7.1
1.62
7.6
1.68
8.1
1.45
9.1
1.43
518 x
y
5
4
7.5
4
10
11
12.5
15
15
16
17.5
24
20
26
22.5
32
25
33
27.5
42
30
45
32.5
47
519 x
y
3
4.5
3.5
5
4
5.2
4.5
5.9
5
6.7
5.5
7.2
6
7.7
6.5
9.3
7
8.8
7.5
9.1
8
9.5
----
520 x
y
0
5.13
10
5.32
20
5.54
30
5.76
40
5.99
50
6.25
60
6.47
70
6.70
80
6.90
90
7.12
100
7.36
110
7.61

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. Беклемішев Д.В. Курс аналітичної геометрії та лінійної алгебри. - М.: Вищ. шк., 1998. - 320 с.
2. Клетенік Д.В. Збірник завдань з аналітичної геометрії. - М.: Наука, 1986. - 224 с.
3. Збірник завдань з математики для втузів. У 4 ч. Ч.1. Лінійна алгебра та основи математичного аналізу / За заг. ред. А.В. Єфімова і Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1993. - 480 с.
4. Піскунов Н.С. Диференціальне та інтегральне числення для втузів. У 2 т. Т.1. - М.: Наука, 1976. - 456 с.
5. Піскунов Н.С. Диференціальне та інтегральне числення для втузів. У 2 т. Т.2. - М.: Наука, 1985. - 560 с.
6. Кудрявцев Л.Д. Курс математичного аналізу. У 2 т. Т.1. - М.: Вищ. шк., 1988. - 712 с.
7. Кудрявцев Л.Д. Курс математичного аналізу. У 2 т. Т.2. - М.: Вищ. шк., 1988. - 576 с.
8. Завдання і вправи з математичного аналізу для втузів / Под ред. Б.П. Демидовича. - М.: Наука, 1978. - 480 с.
9. Данко П.Є., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Вища математика у вправах і завданнях. У 2 ч. Ч.1. - М.: Вищ. шк., 1996. - 304 с.
10. Данко П.Є., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Вища математика у вправах і завданнях. У 2 ч. Ч.2. - М.: Вищ. шк., 1996. - 576 с.
11. Гмурман В.Є. Теорія ймовірностей і математична статистика. - М.: Вищ. шк., 1998. - 479 с.
12. Гмурман В.Є. Керівництво вирішення задач з теорії ймовірностей і математичній статистиці. - М.: Вищ. шк., 1998. - 400 с.
13. Збірник завдань з математики для втузів. У 4 ч. Ч.4. Методи оптимізації. Рівняння в приватних похідних. Інтегральні рівняння / Під. ред. А.В. Єфімова. - М.: Наука, 1993. - 304 с.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Диплом
274.6кб. | скачати


Схожі роботи:
Методичні вказівки і контрольні завдання для студентів-заочників
Методичні вказівки і контрольні завдання для студентів заочників
Нестандартні завдання з математики
Основні завдання обчислювальної математики
Завдання в шкільному курсі математики
Предмет і завдання методики початкового навчання математики
Компетентнісно-орієнтовані завдання в процесі навчання математики учнів основної школи
Навчальна програма з математики для допоміжної школи
Елективний курс з математики для класів спортивно-оборонного профілю
© Усі права захищені
написати до нас