Композиції перетворень

\ S Зміст
Передмова ................................................. ..................................... 3
Введення ................................................. ............................................ 4
§ 1. Композиції рухів простору .......................................... 4
1.1. Основні композиції рухів простору ........... 4
1.2. Композиції центральних симетрій простору .... 9
1.3. Композиція дзеркальною і центральної
симетрій простору ................................................ 11
1.4. Композиції осьових симетрій простору .............. 12
1.5. Застосування композицій рухів
простору до вирішення завдань ...................................... 16
§ 2. Композиції подоб і афінних перетворень
простору ................................................. ............................. 18
Література ................................................. ....................................... 22

Передмова
Композиції геометричних перетворень простору є логічним продовженням теми композицій геометричних перетворень площини. І якщо останні висвітлені в літературі порівняно повно, то для простору літератури набагато менше.
Метою даної роботи є розгляд і вивчення деяких композицій перетворень евклідова простору. Ці композиції вибиралися таким чином: будувався стереометричних аналог для деяких теорем, задач з планіметрії (планіметричних завдання можна знайти в [2]), вирішувалися завдання з [3].
У даній роботі розглянуті і систематизовані 14 композицій перетворень евклідова простору, оформлені у вигляді завдань, тому ця робота може бути використана при проведенні факультативних занять у школі для дітей з відповідним рівнем знань і на перших курсах ВНЗ в курсі геометрії.
Введення
Нехай f і g - два перетворення безлічі X такі, що f (x) = y, g (y) = z для довільного x Î X, звичайно, y Î X і z Î X. Відображення j визначимо законом j (x) = g (f (x)). Тоді відображення j є перетворенням множини X і називається композицією (твором) перетворень f і g. У літературі прийнято наступне позначення композиції перетворень: j = g ◦ f.
Композиції перетворень мають наступні властивості:
1 °. Композиція перетворень асоціативна, тобто для будь-яких перетворень f, g, h даної множини має місце рівність:
h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f.
2 °. Композиція перетворень антикомутативна, але в окремих випадках композиції перетворень можуть бути комутативними.
У подальшому будуть розглядатися композиції перетворень евклідова простору.
§ 1. Композиції рухів простору
1.1. Основні композиції рухів простору
Розглянемо композиції рухів простору, які часто використовуються при знаходженні інших композицій рухів і при рішенні геометричних задач.
Завдання 1. Знайти композицію повороту R _l ^j і перенесення

простору за умови, що вектор

і вісь повороту l не паралельні.
Рішення. Уявімо обидва рухи композиціями осьових симетрій:
R _l ^j = S _b ◦ S _a , Де a ^ l, b ^ l, Ð (a, b) =

(Тут і далі будуть розглядатися орієнтовані кути), a Ç b Ç l = O і

= S _v ◦ S _u , Де u ║ v, u ^

. Користуючись наявними свавіллям у виборі осей симетрій, можна поєднати осі u і b (рис. 1). Тоді

◦ R _l ^j = S _v ◦ S _u ◦ S _b ◦ S _a = S _v ◦ S _a . Якщо вектор

НЕ ортогонален осі l, то прямі a і v схрещуються, і кут між ними дорівнює куту між a і b, тобто дорівнює

. Композиція S _v ◦ S _a є гвинтовий рух з віссю m, що є загальним перпендикуляром прямих a і v, і вектором 2

, Де P = a Ç m, Q = v Ç m, m ║ l. Отже,

◦ R _l ^j =

◦ R _l ^j , M ║ l.
Якщо

^ L, прямі a і v перетинаються, тому

, І шукана композиція є поворотом R _m ^j . Якщо при цьому j = p, то маємо, що

◦ R _l ^j = S _m,

^ L, m ║ l.

O

Рис. 1

Завдання 2. Знайти композицію двох поворотів простору R _{^b b} ◦ R _{^a a.}
Рішення. Спочатку знайдемо композицію R _{^b b} ◦ R _{^a a} двох поворотів, осі яких схрещуються. Побудуємо загальний перпендикуляр h прямих a і b і представимо задані повороти композиціями осьових симетрій:
R _{^a a} = S _h ◦ S _u, R _{^b b} = S _v ◦ S _h, u ^ a, u ^ b, u Ç h Ç a = A, v Ç h Ç b = B,
Ð (u, h) =

, Ð (h, v) =

(Рис. 2). Тоді
R _{^b b} ◦ R _{^a a} = S _v ◦ S _h ◦ S _h ◦ S _u = S _v ◦ S _u. Осі u і v схрещуються, якщо б вони належали одній площині, то прямі a і b, перпендикулярні цій площині, були б паралельні. При такому розташуванні осей отримана композиція симетрій S _v ◦ S _u є гвинтовий рух, віссю якого є загальний перпендикуляр l прямих u і v, кут w = 2 Ð (u, v), а вектор

= 2

, Де P = u Ç l, Q = v Ç l.

u ^¢

Рис. 2
Кут w гвинтового руху можна обчислити через кути a та b даних поворотів і кут g =

. По теоремі косинусів для тригранного кута з вершиною B, ребрами якого є промені h, u ^¢, v, справедливо рівність:
cos

= - Cos

cos

- Sin

sin

cos g (Доказ цієї формули можна знайти в [4], с. 26).
Розглянемо випадок, коли осі a і b перетинаються (в точці B). Тоді прямі u і v також будуть перетинатися в точці B, і u ^¢ співпаде з прямою u. Шукана композиція R _{^b b} ◦ R _{^a a} є поворот R _l ^w, причому кут цього повороту підраховується за вказаною вище формулою. При a ║ b і a + b ¹ 2 p прямі u і v перетинаються в точці O. І розглянута композиція R _{^b b} ◦ R _{^a a} є поворот R _l ^{a + b,} вісь l якого проходить через точку O паралельно прямим a і b.

При a ║ b і a + b = 2 p буде u ║ v. У цьому випадку композиція поворотів є перенесенням.

Завдання 3. Знайти композицію трьох дзеркальних симетрій.
Рішення. Виділимо випадок, коли композиція трьох дзеркальних симетрій є дзеркальною симетрією, S _g ◦ S _b ◦ S _a = S _w. Це рівність еквівалентно рівності S _b ◦ S _a = S _g ◦ S _w . Якщо площині a і b мають загальну пряму l, то S _b ◦ S _a = R _l ^j і тому S _g ◦ S _w = R _l ^j. Отже, всі чотири площини мають спільну пряму l. Якщо ж площині a і b паралельні, то S _b ◦ S _a =

і S _g ◦ S _w =

. Отже, всі чотири площини паралельні.
Неважко довести зворотне. Таким чином, якщо площині дзеркальних симетрій перетинаються по одній прямій або паралельні, то їх композиція є дзеркальною симетрією, площина якої відповідно містить пряму перетину або паралельна площинам, вихідних симетрій.
Нехай площині a, b, g мають єдину спільну точку O. У цьому випадку вона є єдиною нерухомою точкою композиції цих симетрій (припущення про існування іншої нерухомої точки призводить до попереднього випадку). Отже, композиція f = S _g ◦ S _b ◦ S _a є поворотна симетрія. Знайдемо її компоненти: площина, вісь і кут повороту. Позначимо прямі перетину площин наступним чином: b Ç g = a, g Ç a = b, a Ç b = c (рис. 3).
Нехай f (c) = c _1, тоді прямі c і c ₁ симетричні відносно площини g, і S _a (a) = a _0, тоді f (a ₀₎ = a. Оскільки площину w поворотною симетрії f ділить кожний відрізок, що з'єднує відповідні точки, навпіл, то їй належать ортогональні проекції m і n прямих a і c відповідно на площині a і g. Отже, w є площина, що проходить через прямі m і n. Вісь l повороту є перпендикуляр до площини w в точці O, кут повороту j дорівнює куту між ортогональними проекціями a ₀ і a (Або c і c ₁₎ на площину w.

c ₁

a ₀

Рис. 3
Якщо площині a, b, g попарно перпендикулярні, то шукана композиція є центральною симетрією Z _o.
Розглянемо випадок, коли площини a, b, g вихідних симетрій попарно перетинаються по паралельним прямим, тобто a ║ b ║ c. Тоді в кожній площині, перпендикулярної цим прямим, композиція f = S _g ◦ S _b ◦ S _a індукує композицію осьових симетрій щодо прямих перетину цієї площини з площинами a, b, g. А вона є переносною симетрією даної площини з певними віссю l і вектором

. Тому, враховуючи рід композиції, композиція f є переносна симетрія простору з вектором

і площиною, що проходить через пряму l паралельно прямим a, b, c.
1.2. Композиції центральних симетрій простору
Завдання 4. Знайти композицію: а) двох центральних симетрій простору, б) центральної симетрії і перенесення, в) трьох центральних симетрій простору.
Рішення. а) Знайдемо композицію центральних симетрій простору з центрами A і B. Для цього знайдемо спосіб довільної точки M після застосування композиції Z _B ◦ Z _A:
(Z _B ◦ Z _A) (M) = P (рис. 4).

M

A

P

B

N

Рис. 4

Для трикутника MNP має місце рівність:

= 2

. Точки A і B задані, отже, вектор

- Постійний, і шукана композиція двох центральних симетрій Z _B ◦ Z _A є паралельний перенесення на вектор 2

:
Z _B ◦ Z _A =

. (1)
б) Знайдемо композицію центральної симетрії Z _O і перенесення

в просторі. Уявімо перенесення

як композицію двох центральних симетрій:

= Z _B ◦ Z _O, де

. Отже,

◦ Z _O = (Z _B ◦ Z _O) ◦ Z _O . Це рівність еквівалентно рівності:

◦ Z _O = Z _B. (2)
Таким чином, композиція центральної симетрії Z _O і перенесення

є центральна симетрія Z _O, центр якої визначається умовою

.
в) Знайдемо композицію трьох центральних симетрій простору f = Z _C ◦ Z _B ◦ Z _A . Композицію Z _C ◦ Z _B подамо у вигляді перенесення відповідно до висновку (1): Z _C ◦ Z _B =

. Тоді шукана композиція буде мати наступний вигляд: f =

◦ Z _A. Скориставшись висновком (2), зауважимо, що права частина рівності є центральна симетрія Z _O , Центр Про якої визначається умовою

. Таким чином, композиція трьох центральних симетрій простору є центральною симетрією.
Користуючись асоціативністю композиції і висновками, отриманими раніше, узагальнимо:
1) композиція парного числа центральних симетрій простору є перенесенням;
2) композиція непарного числа центральних симетрій простору є центральною симетрією.
Завдання 5. Знайти композицію центральних симетрій простору щодо послідовно взятих вершин паралелограма ABCD.
Рішення. Потрібно знайти композицію f = Z _D ◦ Z _C ◦ Z _B ◦ Z _A (рис. 5).

C

B

D

A

Рис. 5
Згрупуємо елементи композиції «зручним» чином і скористаємося висновком (1) попереднього завдання:
f = (Z _D ◦ Z _C) ◦ (Z _B ◦ Z _A) =

◦

. Вектори

є протилежними, оскільки ABCD є паралелограм, отже шукана композиція є тотожним перетворенням E.
Узагальнимо це завдання на випадок чотирьох довільних точок.
Задача 6. Знайти композицію центральних симетрій простору щодо чотирьох довільних точок.
Рішення. Потрібно знайти композицію f = Z _E ◦ Z _C ◦ Z _B ◦ Z _A (Рис. 6). Скористаємося результатом попередньої задачі, для цього побудуємо, наприклад, у площині BCD точку D таку, що чотирикутник BCED є параллелограммом.

Рис. 6
Тоді рівності f = Z _E ◦ Z _C ◦ Z _B ◦ Z _A еквівалентно рівність f = Z _D ◦ Z _D ◦ Z _E ◦ Z _C ◦ Z _B ◦ Z _A. Композиція Z _D ◦ Z _E ◦ Z _C ◦ Z _B є тотожне перетворення, тому що BCED - Паралелограм. І шукана композиція має вигляд f = Z _D ◦ Z _A, а це перенесення простору

(Згідно з висновком (1)).
1.3. Композиції дзеркальною і центральної симетрій
Завдання 7. Знайти композицію дзеркальною і центральної симетрій, якщо площина першою не містить центр другої.
Рішення. Нехай дано площину a і крапка О, не належить їй. Знайдемо композицію Z _O ◦ S _a. Центральна симетрія Z _O як окремий випадок поворотною симетрії представима композицією осьової і дзеркальної симетрії: Z _O = S _l ◦ S _b , Де l і b - перпендикулярні пряма і площина, причому l Ç b = O. Виберемо площину b таким чином, що a ║ b , Тоді l буде перпендикуляром і до площини a (рис. 7). Тоді Z _O ◦ S _a = S _l ◦ S _b ◦ S _a . У силу того, що площині a і b паралельні, їх композиція є паралельний перенос

, При цьому

║ l. А це за визначенням є гвинтовий рух з віссю l, кутом 180 °, вектором

Рис. 7 Рис. 8
Отже, композиція дзеркальною і центральної симетрій є гвинтовий рух: Z _O ◦ S _a = S _l ◦

. (3)
Завдання 8. Знайти композицію Z _O ◦ S _a ◦ S _l, якщо пряма l паралельна площині a і крапка Про лежить в a.
Рішення. На підставі (3) композиція Z _O ◦ S _a в загальному випадку є гвинтовий рух. У силу того, що О Î a, вектор гвинтового руху буде нульовим, і саме гвинтовий рух перетвориться на осьову симетрію S _a, де a ^ a і O Î a (Рис. 8). Тоді Z _O ◦ S _a ◦ S _l = S _a ◦ S _l, причому a ^ l.
Якщо прямі a і l схрещуються, то шукана композиція є гвинтовим рухом R _h ^j ◦

, Кут j якого дорівнює 2 Ð (a, l) = p, вісь h - загальний перпендикуляр прямих a і l, вектор

= 2

, Де L = l Ç h, A = a Ç h (Див. [3], с. 19).
Якщо прямі a і l перетинаються, то

, І композиція S _a ◦ S _l є осьовою симетрією S _h , Де h - це перпендикуляр до площини, що проходить через прямі a і l.
1.4. Композиції осьових симетрій простору
Завдання 9. Композиція трьох осьових симетрій простору є осьовою симетрією: S _c ◦ S _b ◦ S _a = S _l. Яке взаємне положення можуть мати прямі a, b, c? Побудувати вісь l цієї композиції в кожному з можливих випадків.
Рішення. Рівності S _c ◦ S _b ◦ S _a = S _l еквівалентно рівність
S _c ◦ S _b = S _l ◦ S _a. (*)
Якщо прямі b і c паралельні, то S _c ◦ S _b =

. Тоді і права частина рівності (*) є перенесенням: S _l ◦ S _a =

. А значить прямі a і l також будуть паралельними.
Таким чином, отримали, що, якщо прямі b, c паралельні, то всі осі a, b, c і l попарно паралельні (рис. 9а).

Рис. 9а Рис. 9б
Якщо прямі b і c перетинаються в точці O, то композиція S _c ◦ S _b є поворотом R _h ^j (Див. [3], c. 15), де h - Перпендикуляр до площини, що проходить через прямі b і c, при цьому точка O належить осі h, кут j = 2 Ð (b, c) (Рис. 9б). Тоді й композиція S _l ◦ S _a є цим же поворотом R _h ^j, значить h - Перпендикуляр до площини, що проходить через прямі a і l, точка перетину A яких належить осі h, і орієнтований кут між a і l дорівнює куту повороту j.
Таким чином, якщо осі b і c перетинаються, то пряма a паралельна площині, що проходить через b і c, перетинається з перпендикуляром h до цієї площини, відновленим в точці перетину прямих b і c. Вісь l задовольняє таким умовам: точка перетину A прямих a і h належить l, l паралельна площині (b, c), орієнтовані кути Ð (a, l) = Ð (b, c). Якщо точка A належить прямій a, то точки A і O збігаються, тобто вісь l також походить через точку A.
Якщо прямі b і c схрещуються, то композиція S _c ◦ S _b є гвинтовим рухом R _h ^{2 j} ◦

, Вісь h якого є спільний перпендикуляр до прямих b і c, вектор

коллінеарен осі h, кут j дорівнює орієнтованому куті між прямими b і c (Рис. 9в). З огляду на рівності (*) композиція S _l ◦ S _a є цим же самим гвинтовим рухом: S _l ◦ S _a = R _h ^{2 j} ◦

, Тобто h - Загальний перпендикуляр до мимобіжні прямі a і l, і кут Ð (a, l) = j .

Рис. 9в
Таким чином, якщо осі b і c - мимобіжні, то прямі a, b і c попарно схрещуються і мають загальний перпендикуляр h. Вісь l задовольняє таким умовам: l і h - перпендикулярні прямі, відстані між прямими b, c і a, l рівні, і кути між цими осями також рівні.

Узагальнюючи всі розглянуті випадки, отримуємо, що композиція трьох осьових симетрій є осьовою симетрією, якщо вихідні осі або попарно паралельні, або попарно схрещуються і мають загальний перпендикуляр, або лежать у паралельних площинах по дві, перетинаються, і пряма, проведена через точки перетину, є для осей загальним перпендикуляром.
Завдання 10. Композиція трьох осьових симетрій тобто перенесення: S _c ◦ S _b ◦ S _a =

. Яке взаємне положення їх осей?
Рішення. Якщо прямі b і c паралельні, то композиція S _c ◦ S _b є перенесенням

. Тоді

◦ S _a =

, Отримане рівність еквівалентно рівності S _a =

◦

або S _a =

(Цей факт легко доводиться за аналогією з композицією переносів в планіметрії, див. [2], с. 308). Це рівність суперечливо, а значить композиція S _c ◦ S _b ◦ S _a при паралельних b і c не може бути перенесенням.
Якщо прямі b і c перетинаються в точці O, то композиція S _c ◦ S _b є поворотом R _h ^j, де h - Перпендикуляр до площини, що проходить через прямі b і c, при цьому точка O належить осі повороту h, і кут j = 2 Ð (b, c). Тоді вихідна композиція S _c ◦ S _b ◦ S _a =

буде еквівалентна наступній композиції R _h ^j ◦ S _a =

. Таке можливо тільки, якщо поворот R _h ^j є осьовою симетрією простору, тобто кут j = ± p, при чому осі симетрій a і h паралельні, і відстань між ними одно

. У силу цих міркувань, отримали, що вісь a перпендикулярна площині (b, c), а прямі b і c перпендикулярні між собою.
Таким чином, при пересічних осях b і c для виконання вихідного рівності необхідно, щоб прямі a, b і c були попарно перпендикулярними.
Якщо b і c схрещуються, то композиція S _c ◦ S _b є гвинтовим рухом R _h ^j ◦

, Де h - Загальний перпендикуляр прямих b і c, кут j = 2 Ð (b, c),

(Рис. 10).

Рис. 10
Отже, S _c ◦ S _b ◦ S _a =

еквівалентно рівності R _h ^j ◦

◦ S _a. А це можливо, якщо кут j = ± p, і прямі a і h паралельні, інакше кажучи пряма a перпендикулярна b і c. Тобто вихідне рівність при перехресних прямих b і c можливо, якщо всі три осі взаємно перпендикулярні.
Таким чином, композиція трьох осьових симетрій простору є перенесення, якщо осі цих симетрій попарно перпендикулярні.
1.5. Застосування композицій рухів простору до вирішення завдань
Апарат рухів простору, а зокрема композиції рухів простору, можна ефективно застосовувати для рішення геометричних задач.
Задача 11. Доведіть, що бісектриси двох плоских кутів тригранного кута DABC і бісектриса кута, суміжного з третім плоским кутом, лежать в одній площині.
Рішення. Нехай DE, DF - бісектриси плоских кутів ADB і BDC, DH - бісектриса кута, суміжного з кутом ADC, тобто Ð DAE = Ð EDC, Ð BDF = Ð FDC, Ð CDH = Ð HDK (рис.11).

Рис. 11
Розглянемо композицію f трьох осьових симетрій: f = S _DH ◦ S _DF ◦ S _DE. Рух f - це рух першого роду, як композиція рухів першого роду. До того ж композиція S _DH ◦ S _DF ◦ S _DE відображає пряму AK на себе, точка D при цьому нерухома. Отже, розглянута композиція є осьова симетрія.
Скориставшись висновками, отриманими в задачі 8 для випадку з пересічними осями симетрій, можна сказати, що прямі DE, DF і DH лежать в одній площині.
Задача 12. Через вершину D прямого тригранного кута DABC всередині його проведений промінь DO. Довести, що виконується нерівність:
Ð (DO, DA) + Ð (DO, DB) + Ð (DO, DC) <180 °.
Рішення. Позначимо через DE, DF і DH промені, симетричні променю DO щодо прямих DA, DB і DC відповідно (рис. 12). Оскільки тригранний кут DABC - Прямий, то прямі DB і DC перпендикулярні, і S _DC ◦ S _DB = S _DA (Як композиція двох поворотів). Розглянемо образ променя DF після застосування симетрії S _DA:
S _DA (DF) = (S _DC ◦ S _DB) (DF) = S _DC (DO) = DH, крім того S _DA (DO) = DE.
Отже, Ð (DO, DF) = Ð (DE, DH). Аналогічно можна довести, що Ð (DO, DE) = Ð (DF, DH) і Ð (DO, DH) = Ð (DE, DF).

Рис. 12
Оцінимо шукану суму кутів, враховуючи отримані рівності:
Ð (DO, DA) + Ð (DO, DB) + Ð (DO, DC) =
=

Ð (DO, DE) +

Ð (DO, DF) +

Ð (DO, DH) =

(Ð (DF, DH) + Ð (DE, DH) +
+ Ð (DE, DF)). Промені DE, DF і DH є ребрами тригранного кута DEFH, а значить сума Ð (DF, DH) + Ð (DE, DH) + Ð (DE, DF) <360 °.
Таким чином, Ð (DO, DA) + Ð (DO, DB) + Ð (DO, DC) <180 °.
§ 2. Композиції подоб і афінних перетворень простору
Серед перетворень простору виділяють також перетворення, не зберігають відстані між точками, - це подібності, гомотетии як окремий випадок подоб, і аффінниє перетворення.
Задача 13. Знайти композицію гомотетии і перенесення простору:

◦ H _O ^k.
Рішення. Розглянемо образ довільної точки X після застосування шуканої композиції. Нехай X ₁ - образ X після застосування H _O ^k: H _O ^k (X) = X _1, а точка X ₂ - образ X ₁ після застосування перенесення:

(X ₁₎ = X _2. Через центр гомотетии O проведемо пряму n паралельну прямій, що містить вектор

(Рис. 13).

S ₁

X ₁

X ₂

Рис. 13
Знайдемо образ точки перетину побудованої прямої n і прямої XX ₂ при гомотетии H _O ^k: H _O ^k (S) = S _1. Тоді

, Тому точка S при заданій композиції нерухома, крім того, не залежить від вибору точки X. З урахуванням того, що

= K

(Тому що трикутники SOX і X ₁ XX ₂ подібні), шукана композиція є гомотетія H _S ^k.
Таким чином,

◦ H _O ^k = H _S ^k. (4)
Завдання 14. Знайти композицію двох гомотетія простору.
Рішення. Розглянемо образ довільної точки X після застосування композиції гомотетія f = H _B ^m ◦ H _A ^k. Нехай H _A ^k (X) = X _1, тобто за визначенням гомотетии

= K

, H _B ^m (X ₁₎ = X _2, тобто

= M

(Рис.14). Знайдемо образ точки A після застосування гомотетии H _B ^m: H _B ^m (A) = A _1, тобто

= M

. Таким чином, відрізок A ₁ X ₂ - Це образ відрізка AX після застосування даної композиції, при цьому прямі, що містять ці відрізки паралельні (це випливає з подібності трикутників ABX ₁ і A ₁ BX _2). Якщо прямі AA ₁ і XX ₂ перетинаються (позначимо точку їх перетину C), тоді, розглядаючи подібні трикутники ACX і A ₁ CX _2, висловимо вектор

, При цьому

= M

= Km

X ₂

A ₁

X ₁

Рис. 14
Отже,

= km

. Точка C не залежить від вибору точки X, значить композиція f є гомотетія з центром в C:
H _B ^m ◦ H _A ^k = H _C ^km. (5)
Якщо прямі AA ₁ і XX ₂ не перетинаються, тобто

, То km = 1, отже, композиція f є перенесення простору:
H _B ^m ◦ H _A ^k =

. (6)
Всі ці міркування вірні і для співпадаючих центрів вихідних гомотетія.
Задача 15. Знайти композицію двох подоб простору.
Рішення. Оскільки будь-яке подібність простору можна представити у вигляді композиції повороту і гомотетии, центр якої лежить на осі повороту, то, враховуючи асоціативність цього подання, будемо знаходити потрібну композицію в наступному вигляді: f = _{H ^B} ^m ◦ R _h ^b ◦ R _l ^a ◦ H _A ^k.
Розглянемо кілька випадків.
1) Якщо осі поворотів h і l паралельні, і при цьому сума кутів не дорівнює 2 p, то композиція поворотів є поворотом R _n ^{a + b} , Де вісь n паралельна вихідним осях h, l. Тоді f = H _B ^m ◦ R _n ^{a + b} ◦ H _A ^k, при цьому композиція R _n ^{a + b} ◦ H _A ^k є за визначенням подобою, а значить, ця композиція може бути представлена у вигляді H _D ^k ◦ R _p ^{a + b.} І рівність f = H _B ^m ◦ R _n ^{a + b} ◦ H _A ^k еквівалентно рівності f = H _B ^m ◦ H _D ^k ◦ R _p ^{a + b} . За формулою (5) H _B ^m ◦ H _D ^k = H _C ^km (При km ¹ 1), значить f = H _C ^km ◦ R _p ^{a + b,} а це за визначенням подобу. При km = 1 за формулою (6) H _B ^m ◦ H _D ^k =

, І f =

◦ R _p ^{a + b,} а це, в загальному випадку, гвинтовий рух.
2) Якщо ж при паралельних осях даних поворотів h і l сума кутів дорівнює 2 p, то композиція поворотів R _h ^b ◦ R _l ^a є перенесенням простору

, І в цьому випадку f = H _B ^m ◦

◦ H _A ^k. Композиція

◦ H _A ^k згідно висновку (4) є гомотетія з центром у деякій точці C з коефіцієнтом k:

◦ H _A ^k = H _З ^k. Отже, f = H _B ^m ◦ H _З ^k, а це гомотетія простору (згідно з формулою (5)) або паралельний перенесення простору (за (6)).
3) Якщо прямі h і l перетинаються, то композиція поворотів R _h ^b ◦ R _l ^a є поворотом R _n ^w. І бути композиції f зводиться до випадку 1.
4) Якщо осі h і l схрещуються, то композиція поворотів R _h ^b ◦ R _l ^a є гвинтовим рухом, отже, композиція R _h ^b ◦ R _l ^a ◦ _{H ^A} ^k є подобою простору, який можна представити композицією повороту і гомотетии: R _h ^b ◦ R _l ^a ◦ _{H ^A} ^k = R _n ^w ◦ H _З ^n. Тоді знаходження f зводиться до випадку 1.
Таким чином, композиція двох подоб простору, твір коефіцієнтів яких не дорівнює 1, є подобу простору або гомотетія (у разі паралельних осей поворотів і сумі їх кутів 2 p), в тривіальному випадку, коли твір коефіцієнтів вихідних подоб дорівнює 1, ця композиція може вироджуватися в гвинтовий рух простору або перенесення.
Аналогічна ситуація і з композицією афінних перетворень простору, тобто в загальному випадку композиція двох афінних перетворень простору також є афінним перетворенням.
Література
1. Гусєв В. А., Тхамафокова С. Т. Перетворення простору. Москва: «Просвещение», 1979.
2. Понарін Я. П. Геометрія: Навчальний посібник. Ростов-на-Дону: «Фенікс», 1997.
3. Понарін Я. П. Перетворення простору. Кіров: 2000.
4. Скопець З. А. Геометричні мініатюри. Москва: «Просвещение», 1990.