Компактні оператори

Зміст
Введення ................................................. .................................................. ........ 3
§ 1. Основні поняття та визначення .............................................. ............... 4
1.1. Лінійні простору ................................................ ........................... 4
1.2. Нормовані простору ................................................ ................ 5
1.3. Банахові простору ................................................ ............................ 6
1.4. Компактні множини ................................................ ............................ 8
1.5. Лінійні оператори та лінійні функціонали .................................. 11
1.6. Парні оператори ................................................ ....................... 12
§ 2. Компактні оператори ................................................ ........................... 13
2.1. Визначення компактного оператора ............................................... .... 13
2.2. Властивості компактних операторів ............................................... .......... 13
2.3. Приклади некомпактного і компактних операторів ........................... 16
Література ................................................. .................................................. .. 20

Введення
Вивчення довільних лінійних операторів є вельми трудомістку задачу, однак серед лінійних операторів можна виділити класи операторів, які можуть бути розглянуті більш докладно. Дана робота розглядає основні поняття, властивості, визначення та теореми, пов'язані з одним із класів лінійних операторів - компактними операторами.
Робота складається з двох параграфів. Перший з них містить попередні відомості, необхідні для розгляду теми: поняття просторів, які необхідні при вивченні компактних операторів, поняття лінійного оператора та лінійного функціоналу, спряженого оператора, компактного безлічі. У другому параграфі розглянуто визначення компактного оператора, основні властивості цього класу операторів та приклади компактних і некомпактного оператора.

§ 1. Основні поняття і визначення.
1.1 Лінійні простору.
Визначення: непорожнє безліч елементів називається лінійним, якщо воно задовольняє таким умовам:
I. Для будь-яких двох елементів визначено єдиний елемент , Званий сумою і позначається , Причому
1) ;
2) ;
3) у існує такий елемент 0, що для всіх ;
4) для кожного існує такий елемент , Що .
II. Для будь-якого числа і будь-якого елемента визначений елемент , Причому
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
([1], стор 120).
Приклади лінійних просторів
1. Простір дійсних чисел є лінійним простором за операціями додавання і множення.
2. - Простір, елементами якого є послідовності чисел , Що задовольняють умові з операціями ,
([1], стор 121).

1.2 Нормовані простору
Визначення: Безліч називається нормованим простором, якщо:
1) - Лінійний простір над полем дійсних або комплексних чисел.
2) Для кожного елемента визначено дійсне число, зване його нормою і позначається , І будуть виконані умови:
а) для будь-якого ;
б) для будь-якого і будь-якого ;
в) , Для будь-яких
([1], стор 138).
Приклади нормованих просторів:
1. Простір стає нормованим, якщо покласти .
2. Простір з елементами нормовано, за умови .
3. Простір функцій, неперервних на відрізку , Унормована, якщо взяти .
([1], стор 139).
1.3 Банахові простору
Визначення: Відстанню (метрикою) між двома елементами і називається речовий невід'ємне число, позначуване і підпорядковане трьом аксіомам:
1) ;
2) ;
3) ;
Визначення: Послідовність точок метричного простору називається фундаментальною, якщо при .
Справедливі твердження:
1. Якщо послідовність збігається до деякого межі, то вона фундаментальна.
Доказ:
Нехай , Тоді , При
2. Будь-яка фундаментальна послідовність обмежена.
Визначимо відстань у нормованому просторі , Вважаючи для будь-яких . Тоді означає, що . Це збіжність за нормою.
Фундаментальна послідовність у нормованому просторі відповідно до визначення відстані характеризується умовою
, При
Визначення: Нормоване простір називається повним, якщо будь-яка фундаментальна послідовність його елементів має межу.
Визначення: Повне нормований простір називається Банаховим простором.
([2], стор 137)
1.4 Компактні множини
Визначення: Безліч у метричному просторі називається компактним, якщо з будь-якої нескінченної послідовності можна виділити підпослідовність, сходящуюся до деякого межі .
Визначення: Безліч , Що лежить в деякому метричному просторі , Називається предкомпактним, або щодо компактним (компактним щодо ), Якщо його замикання в компактно.
Визначення: Безліч називається обмеженим, якщо вона міститься в деякому кулі з центром в точці , Тобто існує така постійна , Така, що для будь-якого виконується нерівність
У курсі теорії метричних просторів доводилося, що будь-яке компактне безліч є обмеженим. Доведемо, що будь-яке щодо компактне безліч також є обмеженим.
Теорема: Безліч , Що лежить в деякому метричному просторі , І відносно компактне, є обмеженим.
Доказ. Замикання безлічі М є компактним, отже, обмеженим. Але , А підмножина обмеженої множини також обмежена.
У скінченновимірному просторі виконується також зворотне твердження.
Теорема: У скінченновимірному просторі всяке обмежена підмножина щодо компактно.
Ця теорема випливає з теореми Больцано-Вейєрштрасса для простору : В цьому просторі всяка обмежена послідовність містить підпослідовність, що сходиться.
Можна довести також більш загальну теорему.
Теорема: У скінченновимірному нормованому просторі всяке обмежена підмножина щодо компактно.
Доказ:
Нехай - Обмежена підмножина n-мірного простору , Тобто існує така константа , Що для всіх . Кожному співставляємо вектор , Координати якого дорівнюють відповідним координатам у розкладанні елемента по деякому фіксованому базису. Тоді справедливо наступне нерівність: (1), де - Найменше значення на одиничному кулі , . Візьмемо будь-яку послідовність . За нерівності (1) відповідають цим елементам вектори утворюють обмежене безліч, а в обмежені безлічі щодо компактні, отже, з послідовності , Можна виділити часткову , Сходящуюся до деякого межі.
Збіжність в є збіжність за координатами, отже, і послідовність сходиться по координатах. Але тоді ця послідовність збігається до деякого межі і за нормою (у силу безперервності суми і твори в нормованих просторах). Тим самим відносна компактність доведена.
Визначення: Сімейство функцій називається равностепенно безперервним, якщо для будь-якого знайдеться таке , Що , Для будь-якої функції , Для будь-яких , Таких, що .
Визначення: Сімейство функцій , Визначених на деякому відрізку, називається рівномірно обмеженим, якщо існує таке число , Що , Для будь-якого
Теорема Арцела: Для того щоб сімейство безперервних функцій, визначених на відрізку , Було предкомпактно в , Необхідно і достатньо, щоб це сімейство було рівномірно обмежена і равностепенно безперервно.
Теорема: Образом компактного безлічі при безперервному відображенні є компактне безліч.
Доведемо аналогічну теорему для відносно компактних множин.
Теорема: Образом щодо компактного безлічі при безперервному відображенні є відносно компактне безліч.
Доказ. Нехай - Безперервне відображення, - Щодо компактне безліч. Розглянемо послідовність точок з безлічі : , . Так як безліч щодо компактно, то існує підпослідовність . Так як відображення - Безперервне, то . Значить, для безлічі виконана умова відносної компактності.
Приклади компактних і некомпактних множин
1. У просторі всякий відрізок буде компактний. (Так як простір скінченновимірному, а даний відрізок є замкнутим і обмеженим множиною).
2. У просторі куля з центром у і радіусом , То є безліч точок , Таких, що , Є компактним. (Аналогічно по доведеною теоремою).
3. У просторі безліч буде компактним, оскільки яку б ми не взяли нескінченну послідовність його елементів, з неї завжди можна буде виділити підпослідовність, що складається з одного елемента множини, яка, очевидно, буде збіжної до цього елементу безлічі (визначення).
4. У просторі розглянемо безліч елементів , , ... (У послідовності одиниця стоїть на -Му місці, а на інших місцях нулі). Він обмежений і замкнутий, але ніяка підпослідовність послідовності не фундаментальні і, значить, не сходиться, оскільки при . Безліч некомпактно.
1.5 Лінійні оператори та лінійні функціонали
Нехай - Лінійні нормовані простори.
Визначення: Лінійним оператором, чинним з в , Називається відображення , Що задовольняє умові: для будь-яких , .
Будемо говорити, що в (Речовинної чи комплексної лінійної системі) визначено функціонал , Якщо кожному елементу поставлено у відповідність деяке дійсне (комплексне) число .
Визначення: лінійний оператор, який діє з Е в Е _1, називається обмеженим, якщо він визначений на всьому Е і кожне обмежене безліч переводить знову в обмежений.
Визначення: Оператор А називається безперервним в точці , Якщо для будь-якій послідовності виконується умова .
Визначення: Оператор А називається безперервним, якщо він безперервний у кожній точці простору Є.
Теорема: Для того, щоб лінійний оператор   був безперервним, необхідно і достатньо, щоб він був обмежений.
Доказ.
1. Нехай оператор А необмежений. Тоді існує М Е - обмежена кількість, таке, що безліч АМ Е ₁ не обмежена. Отже, в Е ₁ знайдеться така близько нуля V, що жодне з множин АМ не міститься в V. Але тоді існує така послідовність х _n M, що жоден з елементів Ах _n не належить V і отримуємо, що в Е, але не сходиться до 0 в Е; це суперечить безперервності оператора А.
2. Якщо оператор А не безперервний у точці 0, то в Е ₁ існує така послідовність , Що Ах _n не прямує до 0. При цьому послідовність обмежена, а послідовність не обмежена. Отже, якщо оператор А не безперервний, то А і не обмежений.
Визначення: Оператор називається конечномірні, якщо він обмежений і переводить даний простір в конечномерное.
Визначення: Функціонал називається лінійним, якщо
Лінійний функціонал - це окремий випадок лінійного оператора.
([1], стор 217), ([1], стор 125)
Приклади лінійних функціоналів:
1. Нехай - Мірне арифметичне простір з елементами і - Довільний набір з - Фіксованих чисел. Тоді є лінійним функціоналом.
2. Приклад лінійного функціоналу в
Нехай - Фіксований ціле позитивне число. Для кожного з покладемо . Таким чином є лінійним функціоналом в .
1.6. Парні оператори
Визначення: Сукупність усіх неперервних лінійних функціоналів, визначених на деякому лінійному нормованому просторі , Утворює лінійний простір, який називається простором, зв'язаних з , І позначається
Розглянемо безперервний лінійний оператор , Що відображає лінійне топологічний простір в таке ж простір . Нехай - Лінійний функціонал, визначений на , Т. е. .
Застосуємо функціонал до елемента . Функціонал є безперервний лінійний функціонал, визначений на . Позначимо його через . Функціонал Тобто, таким чином, елемент простору (Поєднане з ). Кожному функціоналу ми поставили у відповідність функціонал , Тобто одержали деякий оператор, що відображає в . Цей оператор називається зв'язаним до оператора і позначається . Позначивши значення функціоналу на елементі символом , Отримаємо, що , Або .
Це співвідношення можна прийняти за визначення спряженого оператора. ([1], стор 229)

§ 2. Компактні оператори
2.1 Визначення компактного оператора
Визначення: Оператор , Що відображає Банахів простір в себе (або інше Банахів простір), називається компактним (цілком неперервним), якщо він кожне обмежене безліч переводить у предкомпактное. ([1], стор.235).
Дане визначення можна сформулювати в силу першого визначення компактного безлічі наступним чином:
Визначення: Нехай дано лінійний оператор . Якщо він переводить будь-яку обмежену послідовність в , Причому в можна виділити сходящуюся підпослідовність, то такий оператор будемо називати компактним.
2.2 Властивості компактних операторів
1. З визначення компактного оператора та обмеженості щодо компактного безлічі випливає, що будь лінійний компактної оператор є обмеженим, отже, безперервним.
2. Якщо - Компактний оператор, - Обмежений, то оператори і - Компактні.
Доказ. Якщо множина обмежена, то безліч теж обмежена. Отже, безліч щодо компактно, а це і означає, що оператор цілком неперервний. Далі, якщо обмежена, то щодо компактно, а тоді в силу безперервності безліч теж відносно компактно, тобто оператор цілком неперервний. Теорема доведена.

([1], стор.241).
3. Якщо оператори і компактні, що діють із нормованого простору на нормований простір і - Довільні числа, то оператор також компактний.
Доказ. Нехай безліч обмежена. У його образі візьмемо довільну послідовність елементів . Тоді існують , При яких . Покладемо . При цьому . Так як безліч компактно, а , То існує підпослідовність , Що має межа. Аналогічно в компактному безлічі з послідовності можна виділити підпослідовність , Що має межа. Але так як разом з сходиться і послідовність , То існує , Що і доводить компактність безлічі , А, отже, оператор компактний. ([2], стр.306).
4. Якщо - Послідовність компактних операторів в банаховому просторі , Що сходиться за нормою до деякого оператора , То оператор теж компактний.
Доказ. Для встановлення компактності оператора досить показати, що, якою б не була обмежена послідовність елементів з , З послідовності можна виділити сходящуюся підпослідовність.
Так як оператор компактний, то з послідовності. можна вибрати сходящуюся підпослідовність. Нехай (2) - така підпослідовність, що сходиться.
Розглянемо тепер послідовність . З неї теж можна вибрати сходящуюся підпослідовність. Нехай така підпослідовність обрана з (2), що сходиться. При цьому, очевидно, що теж сходиться. Розмірковуючи аналогічно, виберемо з послідовності таку підпослідовність , Що сходиться і т.д. Потім візьмемо діагональну послідовність . Кожен з операторів переводить її в сходящуюся. Покажемо, що і оператор теж переводить її в сходящуюся. Тим самим ми покажемо, що компактний. Так як простір повно, то достатньо показати, що - Фундаментальна послідовність. Маємо
.
Нехай , Виберемо спочатку так, що , А потім виберемо таке , Щоб при всіх і виконувалося нерівність (Це можливо, так як послідовність сходиться). За цих умов з передостаннього нерівності отримуємо, що для всіх достатньо великих і . Таким чином властивість доведено. ([1], стор 239).
5. Оператор, пов'язаний компактному оператору, компактний ([1], стор.241).
Приклади некомпактного і компактних операторів
Нехай - Одиничний оператор у банаховому просторі . Покажемо, що якщо нескінченновимірної, то оператор не цілком неперервний. Для цього достатньо показати, що одиничний куля в (Що перекладається оператором в себе) не компактний. Це в свою чергу випливає з наступної леми.
Лемма: Нехай - Лінійно незалежні вектори у нормованому просторі і нехай - Підпростір породжене векторами . Тоді існує послідовність векторів , Яка задовольняє таким умовам:
1)
2)
3)
- Відстань вектора від , Тобто
Користуючись цією лемою, в одиничному кулі всякого нескінченновимірного нормованого простору можна побудувати послідовність векторів , Для якої . Ясно, що така послідовність не може містити ніякої збіжної підпослідовності. А це і означає відсутність компактності.

Приклади компактних операторів.

1.Просто прикладом компактного оператора є одновимірний лінійний оператор виду: , Де - Фіксований елемент з простору , А - Фіксований лінійний функціонал з простору , Яке є Банаховим простором.
2.Рассмотрім в просторі оператор , Що перетворює в себе і задається нескінченної системою рівностей за умови, що подвійний ряд сходиться. Такий оператор лине і норма . Доведемо що він компактний. Введемо матричні лінійні оператори в просторі , Які визначаються матрицями , Наступним чином:
, Де при , І при .
Іншими словами, матриця виходить з матриці , Якщо елементи всіх рядків , Починаючи з , Замінити нулями. Звідси випливає, що, якщо , То, яким би не був елемент , Буде при . Отже, сукупність значень кожного з операторів скінченновимірна, а тому оператори цілком безперервні. Уявімо різниця за допомогою матриці. З оцінки видно, що .
Отже, оператор компактний. ([2], стор 307).
3. У просторі неперервних функцій важливий клас компактних операторів утворюють оператори виду:
(3), де функція неперервна на квадраті .
Покажемо справедливість наступного твердження: якщо функція неперервна на квадраті , То формула (3) визначає в просторі компактний оператор.
Дійсно, в зазначених умовах інтеграл (3) існує для будь-якого з , Тобто функція визначена. Нехай . На квадраті функція рівномірно неперервна по теоремі Кантора, тому що вона неперервна на замкнутому і обмеженій множині в . Значить,
.
Оцінимо різниця :
, При .
Отримане рівність показує, що функція неперервна, тобто формула (3) дійсно визначає оператор, що переводить простір в себе.
З цього ж нерівності видно, що якщо - Обмежена множина у , То відповідне безліч равностепенно безперервно. Таким чином, якщо виконується нерівність , То ,
Тобто обмежене безліч перейде в рівномірно обмежене. Таким чином, оператор (3) переводить всяке обмежене безліч з в безліч функцій, рівномірно обмежена і равностепенно безперервне, тобто предкомпактное по теоремі Арцела.

4. Оператор Вольтерра
Розглянемо оператор , Де , В .
Для доказу компактності оператора Вольтерра покажемо, що безліч , Равностепенно безперервно і рівномірно обмежена.
1) Рівномірна обмеженість.
Оцінимо
,
а це значить, що безліч рівномірно обмежено.
2) Равностепенная безперервність.
За визначенням, равностепенная безперервність означає, що
. Візьмемо довільну функцію . Знайдемо її образ . Тоді .
Тоді, якщо покласти , Равностепенная безперервність показана.
Таким чином, компактність оператора Вольтерра доведена.

Література
1. Колмогоров, О.М. Елементи теорій функцій і функціонального аналізу [Текст] / О.М. Колмогоров, С.В. Фомін. - М.: Фізматліт, 2004.
2. Вулих, Б.З. Введення в функціональний аналіз [Текст] / Б.З. Вулих. -Изд. 2, перероб. і доп. - М., 1967.
3. Князєв, П.М. Функціональний аналіз [Текст] / П.М. Князєв-Изд. 2, перероб. М., 2003.
4. Люстерник, Л.А. Елементи функціонального аналізу [Текст] / Л.А. Люстерник В.І. Соболєв-М., 1951.