Зміст
Вступ
Стаціонарне рух рідини між двома нескінченними нерухомими пластинами
Стаціонарне рух рідини між двома нескінченними пластинами, що рухаються відносно один одного.
Висновки
Література
Вступ.
Всім відомо, що тепловий рух істотно позначається на результатах великої кількості фізичних явищ. Теоретичний опис у всіх випадках можна провести за допомогою методу часових кореляційних функцій молекулярних змінних. Точний розрахунок не можливий через труднощі опису систем з великим числом частинок. Тому аналіз досвідчених даних описують частіше всього на модельних уявленнях.
Було підтверджено наявність колективних рухів атомів рідини. Колективний характер дальнодіючих кореляцій яскраво проявляється в статечному убуванні тимчасової кореляційної функції їх швидкості. Цей результат стимулював великий потік робіт з дослідження довгоживучих кореляцій в невпорядкованих системах та їх проявів у кінетичних процесах.
В даний час накопичений великий експериментальний матеріал, який переконливо показує, що реологічні властивості рідин в мікро-і макрооб'емах можуть істотно різнитися. Численні експерименти свідчать про те, що зсувна в'язкість деяких рідин μ, обчислена з експериментальних даних за формулами класичної гідродинаміки Нав'є-Стокса, втрачає сенс матеріальної постійної поблизу твердої поверхні. Вона стає ефективною величиною μ е, яка залежить від відстані до стінки і прагне при його зменшенні до кінцевого межі - граничної в'язкості, яка є матеріальною характеристикою даної пари рідина-поверхню і може в кілька разів відрізнятися від стінки (в обсязі).
Численні експерименти говорять про те, що близько твердої поверхні змінюється структура рідини (щільність, упаковка і орієнтація молекул) і обертальна рухливість молекул рідини. Під дією сил міжмолекулярної взаємодії поблизу твердої поверхні утворюється граничний шар орієнтованих молекул рідини, який відділений від твердої поверхні ще одним надтонким твердоподобним шаром рідини, товщина якого ~ 10 -3 мікрона. Тут рідина втрачає текучість і набуває властивостей пластичності і пружності. Межі між шарами плавні, але характерні товщини визначаються з досвіду. Більш докладно описано в роботі [4].
Феноменологічний опис теплового руху рідини, що складається з несферичних молекул, і вивчення спектрального складу розсіяного світла було виконано М. Леонтовичем [7]. У теорії передбачається, що стан рідини в будь-якій її точці можна описати набором звичайних гідродинамічних змінних (щільність, тиск, температура і швидкість) і тензором анізотропії, який характеризується відхиленням осей анізотропних молекул елемента обсягу рідини від ізотропного розподілу.
Молекули, які здійснюють в рідині обертальний рух, характеризуються тензором моментів інерції. Тому вводять локальний тензор інерції елемента обсягу. У рівноважному стані тензор інерції має деяке значення, що може залежати від тиску і температури. Якщо тиск і температура змінюються, то нове рівноважне значення тензора моментів інерції досягається не миттєво, а тому його можна розглядати як незалежну змінну, що визначає стан рідини. Відхилення цього тензора від рівноважного значення має ефектно описувати механічну анізотропію рідини [7].
У цій роботі буде поставлена задача про стаціонарному русі рідини, в якій разом з локальної швидкістю руху u (r, t) враховується і тензор моментів інерції I ab (r, t), і буде знайдено рішення деяких завдань. Ці рівняння можуть бути використані для дослідження кореляційної функції флуктуацій тензора моментів інерції рідкої частки в лагранжевой формулюванні рівнянь гідродинаміки. Така кореляційна функція є гідродинамічним аналогом молекулярної кореляційної функції, яка використовується для опису дослідів по деполярізірованному розсіювання світла й т.п., а також потрібна для аналізу механізму поворотних теплових рухів анізотропних молекул в рідині.
Розширена система гідродинамічних рівнянь в роботі [5] має вигляд:
Систему замикають рівняння безперервності, зростання ентропії і рівняння стану:
Незалежні феноменологічні коефіцієнти η 1, ζ 1, η 3, μ 1 - коефіцієнти першої, другої і третьої (обертальної) в'язкості і коефіцієнт дифузії внутрішнього моменту ті ж, що і в [2] коефіцієнти η 2, η 12, η 21, μ 2 - нові, що з'явилися з-за додатковою гідродинамічної змінної. Також будемо вважати, що всі в'язкості постійні величини і не змінюються поблизу поверхні.
У русі рідини будемо враховувати тільки вплив наявності тензора моменту інерції
Ми будемо розглядати стаціонарне рух рідини при постійній температурі. Тоді, якщо врахувати, що
Стаціонарне рух рідини між двома нескінченними нерухомими пластинами.
Нехай пластини розташованими на відстані 2 а один від одного.
Виберемо початок координат між пластинами на відстані а від кожної.
Швидкість рідини повинна мати вигляд: u = u (0,0, u z (x)), де
Третє і четверте рівняння є крайові умови для швидкості та тензора моменту інерції, де α і β - деякі постійні величини.
Продиференціюємо друге рівняння по x і підставимо замість другої похідної швидкості її вираження з першого рівняння:
Введемо вектор дивергенції надлишкової частини тензора інерції, як q z:
тоді рівняння (3а) набуде вигляду
Зробимо заміни:
і (5) прийме вигляд:
Рішення однорідної частини є комбінація гіперболічних синуса і косинуса. Облік неоднорідності дає:
де С 1 і С 2 - константи інтегрування.
Підставимо (8) у перше рівняння системи (3) і вводячи позначення
де К 1 і К 2 - константи інтегрування.
Підставимо (10) в друге рівняння системи (3):
Рішення:
де М 1 і М 2-константи інтегрування.
Якщо підставити (13) у перше рівняння системи (3) то можна переконатися, що М 1 = М 2 = 0.
Для простоти введемо позначення:
Тепер систему (3) перепишемо:
Використовуємо крайові умови для швидкості:
і для тензора моменту інерції:
Додавши і віднявши (16.1) і (16.2), (16.3) і (16.4), отримаємо систему для чотирьох невідомих констант інтегрування:
З четвертого рівняння системи (18)
Третє рівняння системи (18):
Позначимо
Тоді всі невідомі константи знаходимо з системи:
Тепер, якщо будемо вважати, що немає градієнта тиску або він дорівнює нулю, тобто немає причини, яка викликає рух рідини, то всі константи рівні нулю і відповідно u z (x) = 0 і δI ab (x) = 0. Цього і потрібно було очікувати.
Розрахуємо витрата речовини, тобто кількість речовини, що проходить через поперечний переріз у формі квадрата зі стороною 2 а за одиницю часу:
Витрата рідини в класичному випадку через теж поперечний переріз, тобто якщо не враховувати вплив тензора моменту інерції, дорівнює:
Те, що Q (δI = 0) негативно, пояснюється тим, що вибираючи за позитивний напрямок швидкості напрямок осі z, ми тим самим ставимо негативний градієнт тиску.
Знайдемо відношення Q до Q (δI = 0).
Видно, що витрата рідини зменшується, при наявності тензора моменту інерції, що мабуть пов'язано з гальмуванням рідини через обертання молекул.
Стаціонарне рух рідини між двома нескінченними пластинами, що рухаються відносно один одного.
Нехай пластини розташовані на відстані а один від одного. Виберемо одну з пластин нерухомою, а другу рухається відносно першої зі швидкістю V (a) = аГ.
Початок координат розташуємо на нижній нерухомій площині.
Загальне рішення буде ідентично з рішення першого завдання. Тут ми будемо мати інші граничні умови. Тому система рівнянь, що описує стаціонарне течія в нашому випадку має вигляд:
Використовуємо крайові умови, в результаті чого отримаємо нову систему:
Будемо вирішувати систему щодо констант До 1 і К 2 через те, що деякі складові у цих константах відомі заздалегідь у стацінарной завданню без тензора моменту інерції. Наприклад, константа До 1 імовірно має доданок рівне Г. Тому система (24) приймає вигляд:
де К 3 - додаткова константа.
Константа Р 0 в основному і є результат, який був відомий раніше, тобто в разі без урахування тензора моменту інерції.
У результаті таких замін отримаємо систему для К 3 і К 2.
Далі висловимо початкові константи:
Аналіз поля швидкості трохи важкий через громіздкість. Значно цікавий інше завдання. Обмежимося стаціонарним рухом без наявності в системі градієнта тиску. Система (24) приймає вигляд:
І остаточно отримаємо, при цьому замінюючи величезну дріб буквою J:
Подивимося на вигляд поля швидкості:
Видно, що швидкість містить старий внесок плюс деяка надбавка, яка з'являється з-за впливу тензора моменту інерції ..
Який точно вид має поле швидкості та тензора моменту інерції залежить багато в чому від коефіцієнтів α і β, тобто від граничних умов для тензора моменту інерції.
Потрібно сказати, що в основному всі вводяться константи не мають фізичного змісту, а вводилися лише для простоти остаточної відповіді.
Висновки.
У даній роботі були знайдені в загальному вигляді вирішення декількох завдань. Отримали, що поле швидкості містить старий внесок і новий, який залежить від коефіцієнта дифузії D, часу
У капілярних явищах класичні рівняння Нав'є-Стокса не дають правильних результатів, що було показано в ряді експериментів [4]. У капілярних явищах велику роль грає вплив поверхні або твердої кордону. Облік цих факторів надалі буде врахований і досліджений.
Література
1. С. де Гроот, П. Мазур, Нерівноважна термодинаміка, Москва, "Світ", 1964
2. M. Шліоміс. До гідродинаміці рідини з внутрішнім обертанням. : Рис, том 51, 1966, с. 258-265.
3. Ю. Каган, Л.А. Максимов, Про повну системі гідродинамічних рівнянь для газів з обертальними ступенями свободи,: рис, Т.59, випуск № 6 (12), 1970.255-257
4. Е. Л. Аеро, Н. М. Безсонов, О.М. Булигін. Аномальні властивості рідин поблизу твердої поверхні і моментальна теорія. Колодний журнал, тому 60, № 4, 1998, с.446-453.
5. AV Zatovsky, AV Zvelindovsky. Hydrodynamic fluctuations of a liquid with anisotropic molecules.Physica A, V.298, № 1-2, 237-254.
6. A. Perez-Madrid. JM Rubi and. J. Casas-Vazques. On Brownian in fluids with spin. Physica 119A (1983) 212-229
7. VA Leontovich, J. Phys. USSR 4 (1941) 499
Вступ
Стаціонарне рух рідини між двома нескінченними нерухомими пластинами
Стаціонарне рух рідини між двома нескінченними пластинами, що рухаються відносно один одного.
Висновки
Література
Вступ.
Всім відомо, що тепловий рух істотно позначається на результатах великої кількості фізичних явищ. Теоретичний опис у всіх випадках можна провести за допомогою методу часових кореляційних функцій молекулярних змінних. Точний розрахунок не можливий через труднощі опису систем з великим числом частинок. Тому аналіз досвідчених даних описують частіше всього на модельних уявленнях.
Було підтверджено наявність колективних рухів атомів рідини. Колективний характер дальнодіючих кореляцій яскраво проявляється в статечному убуванні тимчасової кореляційної функції їх швидкості. Цей результат стимулював великий потік робіт з дослідження довгоживучих кореляцій в невпорядкованих системах та їх проявів у кінетичних процесах.
В даний час накопичений великий експериментальний матеріал, який переконливо показує, що реологічні властивості рідин в мікро-і макрооб'емах можуть істотно різнитися. Численні експерименти свідчать про те, що зсувна в'язкість деяких рідин μ, обчислена з експериментальних даних за формулами класичної гідродинаміки Нав'є-Стокса, втрачає сенс матеріальної постійної поблизу твердої поверхні. Вона стає ефективною величиною μ е, яка залежить від відстані до стінки і прагне при його зменшенні до кінцевого межі - граничної в'язкості, яка є матеріальною характеристикою даної пари рідина-поверхню і може в кілька разів відрізнятися від стінки (в обсязі).
Численні експерименти говорять про те, що близько твердої поверхні змінюється структура рідини (щільність, упаковка і орієнтація молекул) і обертальна рухливість молекул рідини. Під дією сил міжмолекулярної взаємодії поблизу твердої поверхні утворюється граничний шар орієнтованих молекул рідини, який відділений від твердої поверхні ще одним надтонким твердоподобним шаром рідини, товщина якого ~ 10 -3 мікрона. Тут рідина втрачає текучість і набуває властивостей пластичності і пружності. Межі між шарами плавні, але характерні товщини визначаються з досвіду. Більш докладно описано в роботі [4].
Феноменологічний опис теплового руху рідини, що складається з несферичних молекул, і вивчення спектрального складу розсіяного світла було виконано М. Леонтовичем [7]. У теорії передбачається, що стан рідини в будь-якій її точці можна описати набором звичайних гідродинамічних змінних (щільність, тиск, температура і швидкість) і тензором анізотропії, який характеризується відхиленням осей анізотропних молекул елемента обсягу рідини від ізотропного розподілу.
Молекули, які здійснюють в рідині обертальний рух, характеризуються тензором моментів інерції. Тому вводять локальний тензор інерції елемента обсягу. У рівноважному стані тензор інерції має деяке значення, що може залежати від тиску і температури. Якщо тиск і температура змінюються, то нове рівноважне значення тензора моментів інерції досягається не миттєво, а тому його можна розглядати як незалежну змінну, що визначає стан рідини. Відхилення цього тензора від рівноважного значення має ефектно описувати механічну анізотропію рідини [7].
У цій роботі буде поставлена задача про стаціонарному русі рідини, в якій разом з локальної швидкістю руху u (r, t) враховується і тензор моментів інерції I ab (r, t), і буде знайдено рішення деяких завдань. Ці рівняння можуть бути використані для дослідження кореляційної функції флуктуацій тензора моментів інерції рідкої частки в лагранжевой формулюванні рівнянь гідродинаміки. Така кореляційна функція є гідродинамічним аналогом молекулярної кореляційної функції, яка використовується для опису дослідів по деполярізірованному розсіювання світла й т.п., а також потрібна для аналізу механізму поворотних теплових рухів анізотропних молекул в рідині.
Розширена система гідродинамічних рівнянь в роботі [5] має вигляд:
Систему замикають рівняння безперервності, зростання ентропії і рівняння стану:
Незалежні феноменологічні коефіцієнти η 1, ζ 1, η 3, μ 1 - коефіцієнти першої, другої і третьої (обертальної) в'язкості і коефіцієнт дифузії внутрішнього моменту ті ж, що і в [2] коефіцієнти η 2, η 12, η 21, μ 2 - нові, що з'явилися з-за додатковою гідродинамічної змінної. Також будемо вважати, що всі в'язкості постійні величини і не змінюються поблизу поверхні.
У русі рідини будемо враховувати тільки вплив наявності тензора моменту інерції
Ми будемо розглядати стаціонарне рух рідини при постійній температурі. Тоді, якщо врахувати, що
Нехай пластини розташованими на відстані 2 а один від одного.
Виберемо початок координат між пластинами на відстані а від кожної.
Швидкість рідини повинна мати вигляд: u = u (0,0, u z (x)), де
Третє і четверте рівняння є крайові умови для швидкості та тензора моменту інерції, де α і β - деякі постійні величини.
Продиференціюємо друге рівняння по x і підставимо замість другої похідної швидкості її вираження з першого рівняння:
Введемо вектор дивергенції надлишкової частини тензора інерції, як q z:
тоді рівняння (3а) набуде вигляду
Зробимо заміни:
і (5) прийме вигляд:
Рішення однорідної частини є комбінація гіперболічних синуса і косинуса. Облік неоднорідності дає:
де С 1 і С 2 - константи інтегрування.
Підставимо (8) у перше рівняння системи (3) і вводячи позначення
де К 1 і К 2 - константи інтегрування.
Підставимо (10) в друге рівняння системи (3):
Рішення:
де М 1 і М 2-константи інтегрування.
Якщо підставити (13) у перше рівняння системи (3) то можна переконатися, що М 1 = М 2 = 0.
Для простоти введемо позначення:
Тепер систему (3) перепишемо:
Використовуємо крайові умови для швидкості:
і для тензора моменту інерції:
Додавши і віднявши (16.1) і (16.2), (16.3) і (16.4), отримаємо систему для чотирьох невідомих констант інтегрування:
З четвертого рівняння системи (18)
Третє рівняння системи (18):
Позначимо
Тоді всі невідомі константи знаходимо з системи:
Тепер, якщо будемо вважати, що немає градієнта тиску або він дорівнює нулю, тобто немає причини, яка викликає рух рідини, то всі константи рівні нулю і відповідно u z (x) = 0 і δI ab (x) = 0. Цього і потрібно було очікувати.
Розрахуємо витрата речовини, тобто кількість речовини, що проходить через поперечний переріз у формі квадрата зі стороною 2 а за одиницю часу:
Витрата рідини в класичному випадку через теж поперечний переріз, тобто якщо не враховувати вплив тензора моменту інерції, дорівнює:
Те, що Q (δI = 0) негативно, пояснюється тим, що вибираючи за позитивний напрямок швидкості напрямок осі z, ми тим самим ставимо негативний градієнт тиску.
Знайдемо відношення Q до Q (δI = 0).
Видно, що витрата рідини зменшується, при наявності тензора моменту інерції, що мабуть пов'язано з гальмуванням рідини через обертання молекул.
Стаціонарне рух рідини між двома нескінченними пластинами, що рухаються відносно один одного.
Початок координат розташуємо на нижній нерухомій площині.
Загальне рішення буде ідентично з рішення першого завдання. Тут ми будемо мати інші граничні умови. Тому система рівнянь, що описує стаціонарне течія в нашому випадку має вигляд:
Використовуємо крайові умови, в результаті чого отримаємо нову систему:
Будемо вирішувати систему щодо констант До 1 і К 2 через те, що деякі складові у цих константах відомі заздалегідь у стацінарной завданню без тензора моменту інерції. Наприклад, константа До 1 імовірно має доданок рівне Г. Тому система (24) приймає вигляд:
де К 3 - додаткова константа.
Константа Р 0 в основному і є результат, який був відомий раніше, тобто в разі без урахування тензора моменту інерції.
У результаті таких замін отримаємо систему для К 3 і К 2.
Далі висловимо початкові константи:
Аналіз поля швидкості трохи важкий через громіздкість. Значно цікавий інше завдання. Обмежимося стаціонарним рухом без наявності в системі градієнта тиску. Система (24) приймає вигляд:
І остаточно отримаємо, при цьому замінюючи величезну дріб буквою J:
Подивимося на вигляд поля швидкості:
Видно, що швидкість містить старий внесок плюс деяка надбавка, яка з'являється з-за впливу тензора моменту інерції ..
Який точно вид має поле швидкості та тензора моменту інерції залежить багато в чому від коефіцієнтів α і β, тобто від граничних умов для тензора моменту інерції.
Потрібно сказати, що в основному всі вводяться константи не мають фізичного змісту, а вводилися лише для простоти остаточної відповіді.
Висновки.
У даній роботі були знайдені в загальному вигляді вирішення декількох завдань. Отримали, що поле швидкості містить старий внесок і новий, який залежить від коефіцієнта дифузії D, часу
У капілярних явищах класичні рівняння Нав'є-Стокса не дають правильних результатів, що було показано в ряді експериментів [4]. У капілярних явищах велику роль грає вплив поверхні або твердої кордону. Облік цих факторів надалі буде врахований і досліджений.
Література
1. С. де Гроот, П. Мазур, Нерівноважна термодинаміка, Москва, "Світ", 1964
2. M. Шліоміс. До гідродинаміці рідини з внутрішнім обертанням. : Рис, том 51, 1966, с. 258-265.
3. Ю. Каган, Л.А. Максимов, Про повну системі гідродинамічних рівнянь для газів з обертальними ступенями свободи,: рис, Т.59, випуск № 6 (12), 1970.255-257
4. Е. Л. Аеро, Н. М. Безсонов, О.М. Булигін. Аномальні властивості рідин поблизу твердої поверхні і моментальна теорія. Колодний журнал, тому 60, № 4, 1998, с.446-453.
5. AV Zatovsky, AV Zvelindovsky. Hydrodynamic fluctuations of a liquid with anisotropic molecules.Physica A, V.298, № 1-2, 237-254.
6. A. Perez-Madrid. JM Rubi and. J. Casas-Vazques. On Brownian in fluids with spin. Physica 119A (1983) 212-229
7. VA Leontovich, J. Phys. USSR 4 (1941) 499