Зміст:
Введення
Історія
1. Біологічні основи звуку
2. Фізичні основи звуку
2.1 Рівняння малих поперечних коливань струни
2.2 Метод Ферье для рівняння коливань обмеженою струни
3. Звукові явища
3.1 Музичні джерела
3.2 Види музичних джерел
Введення
В даний час багатьма дослідниками спостерігається тенденція до зближення гуманітарних і точних дисциплін. Музика і математика. Так чи далекі ці сфери, як здається на перший погляд? Це питання має тривалу історію.
Цікаво відзначити, що існує якесь явище, яке пов'язує музику і математику незалежно від того, чи звертається композитор у своїй роботі до математики чи ні. У геометрії є таке поняття - золотий перетин, цей поділ відрізка на дві нерівні частини таким чином, що менша відноситься до більшої так, як велика до цілого. Величина більшого відрізка - 0,618, меншого - 0,382. Їхнє ставлення 0,618:0,382 = 1,618 - золотий перетин. Вперше воно зустрічається в «Початки» Евкліда. Однак золотий перетин можна знайти не тільки в геометрії. Багато дослідників, бажаючи розкрити секрети гармонії, знаходили золоту пропорцію в архітектурі, живопису, скульптурі, літературі. Золотий перетин можна знайти й у пропорціях людського тіла, робота здорового серця і мозку також містить золоту пропорцію. Цікаво відзначити, що це явище виявляється і в музиці. Композиція багатьох музичних творів містить вищу точку, кульмінацію. І розміщується ця кульмінація частіше не в середині твору, вона зміщена, і знаходиться як раз в точці золотого перетину. Цю особливість помітив радянський музикознавець Л. Мазель. Причому така побудова характерно не тільки для всього твору в цілому, але і для його частин. І зустрічається воно надзвичайно часто. Спеціально займався дослідженням цієї проблеми Л. Сабанєєв, який вивчив багато музичних творів різних композиторів. Найчастіше золотий перетин зустрічається у творах Аренського, Бетховена, Гайдна, Моцарта, Скрябіна, Шопена, Шуберта. Таке розташування кульмінації додає особливу виразність і гармонійність композиції твору, а також полегшує сприйняття.
Хотілося б також зауважити, що математика може сприйматися з естетичної точки зору. Добре вирішене завдання, вірний доказ, зображення геометричної фігури доставляють насолоду як гармонійні явища.
Представляється доцільним включати в курс математики в гуманітарному вузі те, що зближує математику з мистецтвом, музикою, філологією. Включення такої інформації дозволить поглянути на математику з іншого, незвичної точки зору і викликати інтерес до цього предмету.
Історія
Почалося все ще в давнину, коли не було поділу на гуманітарні та природничі науки. Наука розглядалася як одне ціле. Наприклад, давньогрецький вчений Піфагор і його послідовники займалися вивченням арифметики, геометрії, астрономії, музики. Кожна дисципліна досліджувала число в різних аспектах: математика - число саме по собі, геометрія - число в просторі, музика - число в часі, а астрономія - число в просторі та часі. І все це вчення називалося «математ», що означає науки. Піфагор вважав число сутністю речей. І саме числа, на його думку, управляють гармоніями в музиці. Таким чином, він затвердив музику як точну науку.
Зазвичай ім'я Піфагора зв'язується з дослідженнями в галузі арифметики і геометрії. Але музиканти знають, що саме Піфагор відкрив математичні відносини, які лежать в основі музичних інтервалів, і створив музичний лад, котрий надав сильний вплив на розвиток європейської музики. Строй цей так і називався «Піфагором лад», і створювався він спочатку досвідченим шляхом, а потім за допомогою математичних розрахунків. (Щоправда, лад цей виявився недосконалим. Сучасний, так званий темперований музичний лад існує з XVII століття.)
Але вчення піфагорійців брали не всі. Наприклад, Аристотель критикував піфагорійців. Він вважав їх уявлення про роль чисел невірними і всі вчення занадто спрощеним.
Багато давньогрецькі вчені поряд з вивченням математики, астрономії, філософії займалися вивченням музики: Клавдій Птолемей, Ератосфен, Архіт. Іншим представником піфагорейського напрямку був античний вчений Нікомах. Він також визнавав числові закономірності основою музичних співзвуч. Однак він інтерпретував вчення Піфагора в містичному дусі, називаючи число божественної основою музики.
В епоху середньовіччя музика також сприймалася в першу чергу як наука, а вже потім як мистецтво. Взагалі середньовічні автори багато взяли від піфагорейської ідеї. Слідом за Піфагором вони вважали музику поряд з арифметикою, геометрією та астрономією наукою про числа. Містика чисел, як традиція пізньої античності, була дуже поширена серед теоретиків і композиторів Середньовіччя. Наприклад, одиниця була символом Бога, церкви і уособлювала музику в цілому; число три виражало триєдність Бога (дуже часто музичні твори складаються з трьох частин), число сім виражало зв'язок музики із всесвітом і йому відповідають сім тонів у музиці.
Значним музичним теоретиком середньовіччя є християнський теолог Аврелій Августин. Для нього також музика в першу чергу наука. Він вважав, що число лежить в основі всякого мистецтва: «Прекрасні речі подобаються нам завдяки числу, в якому, як ми вже показали, виявляється прагнення до рівності. Адже сказане виявляється не тільки в красі, що відноситься до слуху, або в русі тіл, але також і в зримих формах, де воно вже частіше позначається як краса ». Велику увагу Августин приділяв поняттю «пропорції», яке лежить в основі краси.
До початку XVIII століття музика продовжувала вважатися наукою. Французький композитор і музичний теоретик Жан Філіп Рамо у своєму «Трактаті про гармонію», написаному в 1722 році, казав про те, що «музика підпорядкована арифметиці", приділяв багато уваги фізико-математичним дослідженням. Щоправда, французький математик Д'Аламбер, сучасник Рамо, вважав його математичні дослідження в галузі музики марними, визнаючи, однак, що Рамо «навіки залишиться першим, хто перетворив музику в науку».
Йоганн Маттесон - представник німецького Просвітництва вважав, що математичні відносини хоч і присутні в музиці, але не настільки важливі, що необов'язково володіти грунтовними знаннями в математиці, для того щоб бути гарним музикантом і створювати музичні твори. «Мистецтво чисел - лише слуга краси», математика не може бути душею музики - такими були його ідеї.
Згодом проблема взаємини математики і музики вже не обговорювалася так гостро і конкретно. Але якщо проаналізувати історію музики, можна зробити висновок про те, що музика і математика то зближуються, то віддаляються один від одного - періодично відбувається зміщення акценту на суворе, математичне початок у створенні музики, яке згодом змінюється відмовою від нього. Наприклад, поліфонія, особливо поліфонія строгого стилю епохи Відродження відрізняється математичної вивіреністю. Класична музика Моцарта, Гайдна також підпорядковується суворим правилам, правда, вже не таким суворим, як у поліфонії. А ось романтики прагнуть до більшої свободи в музичних засобах.
А в музиці початку XX століття відбувається повернення до математичного композиторській мисленню. Ігор Стравінський, який добре знав музику майстрів епохи Ренесансу, також знаходив багато спільного між математикою і музикою. «Спосіб композиторського мислення - спосіб, яким я мислю, - мені здається, не дуже відрізняється від математичного», «музична форма математична хоча б тому, що вона ідеальна» - ці слова Стравінського яскраво виражають його переконання. У серійній музиці представників нововіденської школи (Шенберг, Веберн) чітко проявляється математичне початок. Сучасні композитори С. Губайдуліна, Е. Денисов, К. Штокхаузен використовували при написанні музики такі математичні закономірності як ряд Ератосфена (прості числа, що діляться на одиницю і на самих себе), числа Фіббоначі (ряд чисел, кожне наступне є сумою двох попередніх), арифметичну і геометричну прогресії.
Але з часом багато композиторів відходять від такого прямого звернення до математики, яка в процесі створення музичного твору йде на другий план. А. Шнітке так сказав про це: «Я все-таки писав музику, яку чую, а не ту, яку з серійним законам вимальовувалася і обчислювалася на папері».
1. Біологічні основи звуку:
Оскільки нас цікавлять не коливання взагалі, а лише сприймаються слухом людини, то слід ввести тут певні обмеження.
По-перше, слухом сприймаються не будь-які частоти, а лише лежать всередині певного діапазону. Людина чує звуки від 10-20 Hz до 20 KHz. У музиці використовується лише частина цього діапазону.
По-друге, здатність людини розрізняти звуки різної частоти складає Δf / f = 0,003 ... 0,004. Це буде, наприклад, на 1000 Гц при рівні 80 дБ порядку 3 Гц. Півтон (який буде введено пізніше) - це і є мінімальний інтервал, ще помітний людиною (чи лише мінімально перевищує такий інтервал). У деяких культурах використовується, правда, ще більш дрібне дроблення.
По-третє, лише меншість людей володіють абсолютним слухом, тобто здатні розрізняти звуки по їх частоті. Більшість же здатні розрізняти лише інтервали між звуками, тобто володіють відносним слухом.
І, нарешті, по-четверте, зв'язок відчувається висоти звуку з частотою є функцією нелінійною і сприймається пропорційно логарифму частоти (закон Вебера-Фехнера). Це означає, що характеристикою інтервалу є не різниця частот, а їх приватне. Наприклад, звуки з частотами 440, 880 і 1760 Гц здаються рівновіддаленими.
У музиці прийнято говорити не про частоту звуку, а про його висоті, яка є логарифмом частоти коливань.
На біологічному рівні можна поділити вже введені інтервали на консонанси і дисонанси. Консонансом називається злите, згідне звучання двох тонів. На противагу цьому дисонанс - це звучання тонів, «не зливаються» один з одним, немилозвучний інтервал.
Найменування Інтервальний Ступінь
інтервалу коефіцієнт консонансності
Прима 1 / 1 цілком досконалий
Октава 2 / 1 цілком досконалий
Квінта 3 / 2 досконалий
Кварта 4 / 3 досконалий
Велика секста 5 / 3 недосконалий
Велика терція 5 / 4 недосконалий
Мала терція 6 / 5 недосконалий
Мала секста 8 / 5 недосконалий
Консонанс виражається математично простими чисельними співвідношеннями звучать частот, а фізично - кращим збігом обертонів обох звуків. У цьому сенсі, однак, різниця між консонансом і дисонансом лише якісне. А людське сприйняття ділить інтервали на «хороші» й «погані».
2. Фізичні основи звуку:
Звук є сприймаються людським слухом коливання повітря. Музичні звуки породжуються музичними інструментами (в цьому сенсі людський голос теж умовно зараховується до музичних інструментів). Традиційною моделлю для вивчення музичних звуків є коливання струна. Струни лежать в основі великого числа інструментів (не тільки струнних, а й, наприклад, клавішних). Розглянемо коливну струну, щоб дізнатися, що ж за коливання повітря вона породжує.
Коливання струни вивчали ще піфагорійці. Вони використовували для цього нескладний прилад під назвою монохорд, що вдає із себе єдину струну, закріплену в двох точках над резонатором.
Значно пізніше, у XVIII столітті, після робіт Ньютона і Лейбніца в галузі фізики та диференційного обчислення, було виведено рівняння коливання струни - так зване хвильове рівняння (породило нову область у науці - математичну фізику):
Тут t - час; x - координати якоїсь точки на струні в момент часу t;
u = f (x, t) - функція відхилення точки x в момент часу t від положення рівноваги;
- Коефіцієнт пропорційності, що характеризує пружні властивості струни; T - сила натягу струни; 
- Щільність однорідної струни. Передбачається, що струна здійснює малі коливання в одній площині.
Хвильове рівняння є не що інше, як наслідок другого закону Ньютона. Ліва частина - прискорення струни в точці x, а права частина - віднесена до маси струни сила, яка викликає це прискорення, яка тим більше, чим більше увігнутість струни
Розглянемо докладніше рівняння коливань струни.
2.1 Рівняння малих поперечних коливань струни.
Кожну точку струни l можна охарактеризувати значення її абсциси x. Опис процесу коливання струни може бути проведено за допомогою завдання положення точок струни в момент часу t досить задати компоненти вектора зміщення {u 1 (x, t), u 2 (x, t), u 3 (x, t)} точки x в момент t.
Будемо припускати, що зміщення струни лежать в одній площині (x, u) і що вектор зміщення u перпендикулярний в будь-який момент до осі x; тоді процес коливання можна описати однією функцією u (x, t), що характеризує вертикальне переміщення струни. Будемо розглядати струну як гнучку пружну нитку. Математичної вираження поняття гнучкості полягає в тому, що напруги, що виникають у струні, завжди спрямовані по дотичній до її миттєвого профілю (рис. 1). Це умова виражає собою те, що струні не чинить опір вигину.
Величина натягу, що виникає в струні внаслідок пружності, може бути обчислена за законом Гука. Будемо розглядати малі коливання струни і нехтувати квадратом u x в порівнянні з одиницею.
Користуючись цією умовою, підрахуємо подовження, випробовуване ділянкою струни (x 1, x 2). Довжина дуги цієї ділянки дорівнює
Таким чином, в межах прийнятої нами точності подовження ділянок струни в процесі коливання не відбувається, звідси в силу закону Гука випливає, що величина натягу T в кожній точці не змінюється з часом. Покажемо також, що натяг не залежить і від x, тобто
Знайдемо проекції натягу на осі x і u (позначимо їх T x і T u):
де α - кут дотичною до кривої u (x, t) з віссю x. На ділянку (x 1, x 2) діють сили натягу, зовнішні сили і сили інерції. Сума проекції всіх сил на вісь x повинна бути дорівнює нулю (ми розглядаємо лише поперечні коливання). Так як сили інерції і зовнішні сили за припущенням спрямовані уздовж осі u, то
(1)
Звідси в силу довільності x 1 і x 2 слід, що натяг не залежить від x, тобто для всіх значень x і t
(2)
Перейдемо до висновку рівняння поперечних коливань струни. Скористаємося другим законом Ньютона. Складова кількості руху ділянки струни (x 1, x 2) по осі u дорівнює
де ρ - лінійна щільність струни. Прирівняємо зміна кількості руху за проміжок часу Δ t = t 2 - t 1
імпульсу діючих сил, що складаються з натягу
в точках x 1 і x 2 і зовнішньої сили, яку будемо вважати безперервно розподіленої з щільністю (навантаженням) F (x, t), розрахованої на одиницю довжини. У результаті отримаємо рівняння поперечних коливань елемента струни в інтегральній формі
(3)
Для переходу до диференціальних рівнянь припустимо існування і безперервність других похідних від u (x, t). Тоді фотмула (3) після дворазового застосування теореми про середню набуде вигляду
де
Скоротимо на Δ x Δ t і переходячи до межі при x 2 → x 1, t 2 → t 1, отримаємо диференціальне рівняння поперечних коливань струни
(4)
У разі постійної щільності ρ = const цьому рівнянню зазвичай надають вигляд
(5)
де
(6)
є щільність сили, віднесена до одиниці маси. За відсутності зовнішньої сили отримаємо однорідне рівняння
або
описує вільні коливання струни. Це рівняння є найпростішим прикладом рівняння гіперболічного типу.
Якщо в точці x 0 (x 1 <x 0 <x 2) прикладена зосереджена сила f 0 (t) (рис. 2), то рівняння (3) запишеться так:
Введення
Історія
1. Біологічні основи звуку
2. Фізичні основи звуку
2.1 Рівняння малих поперечних коливань струни
2.2 Метод Ферье для рівняння коливань обмеженою струни
3. Звукові явища
3.1 Музичні джерела
3.2 Види музичних джерел
Введення
В даний час багатьма дослідниками спостерігається тенденція до зближення гуманітарних і точних дисциплін. Музика і математика. Так чи далекі ці сфери, як здається на перший погляд? Це питання має тривалу історію.
Цікаво відзначити, що існує якесь явище, яке пов'язує музику і математику незалежно від того, чи звертається композитор у своїй роботі до математики чи ні. У геометрії є таке поняття - золотий перетин, цей поділ відрізка на дві нерівні частини таким чином, що менша відноситься до більшої так, як велика до цілого. Величина більшого відрізка - 0,618, меншого - 0,382. Їхнє ставлення 0,618:0,382 = 1,618 - золотий перетин. Вперше воно зустрічається в «Початки» Евкліда. Однак золотий перетин можна знайти не тільки в геометрії. Багато дослідників, бажаючи розкрити секрети гармонії, знаходили золоту пропорцію в архітектурі, живопису, скульптурі, літературі. Золотий перетин можна знайти й у пропорціях людського тіла, робота здорового серця і мозку також містить золоту пропорцію. Цікаво відзначити, що це явище виявляється і в музиці. Композиція багатьох музичних творів містить вищу точку, кульмінацію. І розміщується ця кульмінація частіше не в середині твору, вона зміщена, і знаходиться як раз в точці золотого перетину. Цю особливість помітив радянський музикознавець Л. Мазель. Причому така побудова характерно не тільки для всього твору в цілому, але і для його частин. І зустрічається воно надзвичайно часто. Спеціально займався дослідженням цієї проблеми Л. Сабанєєв, який вивчив багато музичних творів різних композиторів. Найчастіше золотий перетин зустрічається у творах Аренського, Бетховена, Гайдна, Моцарта, Скрябіна, Шопена, Шуберта. Таке розташування кульмінації додає особливу виразність і гармонійність композиції твору, а також полегшує сприйняття.
Хотілося б також зауважити, що математика може сприйматися з естетичної точки зору. Добре вирішене завдання, вірний доказ, зображення геометричної фігури доставляють насолоду як гармонійні явища.
Представляється доцільним включати в курс математики в гуманітарному вузі те, що зближує математику з мистецтвом, музикою, філологією. Включення такої інформації дозволить поглянути на математику з іншого, незвичної точки зору і викликати інтерес до цього предмету.
Історія
Почалося все ще в давнину, коли не було поділу на гуманітарні та природничі науки. Наука розглядалася як одне ціле. Наприклад, давньогрецький вчений Піфагор і його послідовники займалися вивченням арифметики, геометрії, астрономії, музики. Кожна дисципліна досліджувала число в різних аспектах: математика - число саме по собі, геометрія - число в просторі, музика - число в часі, а астрономія - число в просторі та часі. І все це вчення називалося «математ», що означає науки. Піфагор вважав число сутністю речей. І саме числа, на його думку, управляють гармоніями в музиці. Таким чином, він затвердив музику як точну науку.
Зазвичай ім'я Піфагора зв'язується з дослідженнями в галузі арифметики і геометрії. Але музиканти знають, що саме Піфагор відкрив математичні відносини, які лежать в основі музичних інтервалів, і створив музичний лад, котрий надав сильний вплив на розвиток європейської музики. Строй цей так і називався «Піфагором лад», і створювався він спочатку досвідченим шляхом, а потім за допомогою математичних розрахунків. (Щоправда, лад цей виявився недосконалим. Сучасний, так званий темперований музичний лад існує з XVII століття.)
Але вчення піфагорійців брали не всі. Наприклад, Аристотель критикував піфагорійців. Він вважав їх уявлення про роль чисел невірними і всі вчення занадто спрощеним.
Багато давньогрецькі вчені поряд з вивченням математики, астрономії, філософії займалися вивченням музики: Клавдій Птолемей, Ератосфен, Архіт. Іншим представником піфагорейського напрямку був античний вчений Нікомах. Він також визнавав числові закономірності основою музичних співзвуч. Однак він інтерпретував вчення Піфагора в містичному дусі, називаючи число божественної основою музики.
В епоху середньовіччя музика також сприймалася в першу чергу як наука, а вже потім як мистецтво. Взагалі середньовічні автори багато взяли від піфагорейської ідеї. Слідом за Піфагором вони вважали музику поряд з арифметикою, геометрією та астрономією наукою про числа. Містика чисел, як традиція пізньої античності, була дуже поширена серед теоретиків і композиторів Середньовіччя. Наприклад, одиниця була символом Бога, церкви і уособлювала музику в цілому; число три виражало триєдність Бога (дуже часто музичні твори складаються з трьох частин), число сім виражало зв'язок музики із всесвітом і йому відповідають сім тонів у музиці.
Значним музичним теоретиком середньовіччя є християнський теолог Аврелій Августин. Для нього також музика в першу чергу наука. Він вважав, що число лежить в основі всякого мистецтва: «Прекрасні речі подобаються нам завдяки числу, в якому, як ми вже показали, виявляється прагнення до рівності. Адже сказане виявляється не тільки в красі, що відноситься до слуху, або в русі тіл, але також і в зримих формах, де воно вже частіше позначається як краса ». Велику увагу Августин приділяв поняттю «пропорції», яке лежить в основі краси.
До початку XVIII століття музика продовжувала вважатися наукою. Французький композитор і музичний теоретик Жан Філіп Рамо у своєму «Трактаті про гармонію», написаному в 1722 році, казав про те, що «музика підпорядкована арифметиці", приділяв багато уваги фізико-математичним дослідженням. Щоправда, французький математик Д'Аламбер, сучасник Рамо, вважав його математичні дослідження в галузі музики марними, визнаючи, однак, що Рамо «навіки залишиться першим, хто перетворив музику в науку».
Йоганн Маттесон - представник німецького Просвітництва вважав, що математичні відносини хоч і присутні в музиці, але не настільки важливі, що необов'язково володіти грунтовними знаннями в математиці, для того щоб бути гарним музикантом і створювати музичні твори. «Мистецтво чисел - лише слуга краси», математика не може бути душею музики - такими були його ідеї.
Згодом проблема взаємини математики і музики вже не обговорювалася так гостро і конкретно. Але якщо проаналізувати історію музики, можна зробити висновок про те, що музика і математика то зближуються, то віддаляються один від одного - періодично відбувається зміщення акценту на суворе, математичне початок у створенні музики, яке згодом змінюється відмовою від нього. Наприклад, поліфонія, особливо поліфонія строгого стилю епохи Відродження відрізняється математичної вивіреністю. Класична музика Моцарта, Гайдна також підпорядковується суворим правилам, правда, вже не таким суворим, як у поліфонії. А ось романтики прагнуть до більшої свободи в музичних засобах.
А в музиці початку XX століття відбувається повернення до математичного композиторській мисленню. Ігор Стравінський, який добре знав музику майстрів епохи Ренесансу, також знаходив багато спільного між математикою і музикою. «Спосіб композиторського мислення - спосіб, яким я мислю, - мені здається, не дуже відрізняється від математичного», «музична форма математична хоча б тому, що вона ідеальна» - ці слова Стравінського яскраво виражають його переконання. У серійній музиці представників нововіденської школи (Шенберг, Веберн) чітко проявляється математичне початок. Сучасні композитори С. Губайдуліна, Е. Денисов, К. Штокхаузен використовували при написанні музики такі математичні закономірності як ряд Ератосфена (прості числа, що діляться на одиницю і на самих себе), числа Фіббоначі (ряд чисел, кожне наступне є сумою двох попередніх), арифметичну і геометричну прогресії.
Але з часом багато композиторів відходять від такого прямого звернення до математики, яка в процесі створення музичного твору йде на другий план. А. Шнітке так сказав про це: «Я все-таки писав музику, яку чую, а не ту, яку з серійним законам вимальовувалася і обчислювалася на папері».
1. Біологічні основи звуку:
Оскільки нас цікавлять не коливання взагалі, а лише сприймаються слухом людини, то слід ввести тут певні обмеження.
По-перше, слухом сприймаються не будь-які частоти, а лише лежать всередині певного діапазону. Людина чує звуки від 10-20 Hz до 20 KHz. У музиці використовується лише частина цього діапазону.
По-друге, здатність людини розрізняти звуки різної частоти складає Δf / f = 0,003 ... 0,004. Це буде, наприклад, на 1000 Гц при рівні 80 дБ порядку 3 Гц. Півтон (який буде введено пізніше) - це і є мінімальний інтервал, ще помітний людиною (чи лише мінімально перевищує такий інтервал). У деяких культурах використовується, правда, ще більш дрібне дроблення.
По-третє, лише меншість людей володіють абсолютним слухом, тобто здатні розрізняти звуки по їх частоті. Більшість же здатні розрізняти лише інтервали між звуками, тобто володіють відносним слухом.
І, нарешті, по-четверте, зв'язок відчувається висоти звуку з частотою є функцією нелінійною і сприймається пропорційно логарифму частоти (закон Вебера-Фехнера). Це означає, що характеристикою інтервалу є не різниця частот, а їх приватне. Наприклад, звуки з частотами 440, 880 і 1760 Гц здаються рівновіддаленими.
У музиці прийнято говорити не про частоту звуку, а про його висоті, яка є логарифмом частоти коливань.
На біологічному рівні можна поділити вже введені інтервали на консонанси і дисонанси. Консонансом називається злите, згідне звучання двох тонів. На противагу цьому дисонанс - це звучання тонів, «не зливаються» один з одним, немилозвучний інтервал.
Найменування Інтервальний Ступінь
інтервалу коефіцієнт консонансності
Прима 1 / 1 цілком досконалий
Октава 2 / 1 цілком досконалий
Квінта 3 / 2 досконалий
Кварта 4 / 3 досконалий
Велика секста 5 / 3 недосконалий
Велика терція 5 / 4 недосконалий
Мала терція 6 / 5 недосконалий
Мала секста 8 / 5 недосконалий
Консонанс виражається математично простими чисельними співвідношеннями звучать частот, а фізично - кращим збігом обертонів обох звуків. У цьому сенсі, однак, різниця між консонансом і дисонансом лише якісне. А людське сприйняття ділить інтервали на «хороші» й «погані».
2. Фізичні основи звуку:
Звук є сприймаються людським слухом коливання повітря. Музичні звуки породжуються музичними інструментами (в цьому сенсі людський голос теж умовно зараховується до музичних інструментів). Традиційною моделлю для вивчення музичних звуків є коливання струна. Струни лежать в основі великого числа інструментів (не тільки струнних, а й, наприклад, клавішних). Розглянемо коливну струну, щоб дізнатися, що ж за коливання повітря вона породжує.
Коливання струни вивчали ще піфагорійці. Вони використовували для цього нескладний прилад під назвою монохорд, що вдає із себе єдину струну, закріплену в двох точках над резонатором.
Значно пізніше, у XVIII столітті, після робіт Ньютона і Лейбніца в галузі фізики та диференційного обчислення, було виведено рівняння коливання струни - так зване хвильове рівняння (породило нову область у науці - математичну фізику):
Тут t - час; x - координати якоїсь точки на струні в момент часу t;
u = f (x, t) - функція відхилення точки x в момент часу t від положення рівноваги;
Хвильове рівняння є не що інше, як наслідок другого закону Ньютона. Ліва частина - прискорення струни в точці x, а права частина - віднесена до маси струни сила, яка викликає це прискорення, яка тим більше, чим більше увігнутість струни
Розглянемо докладніше рівняння коливань струни.
2.1 Рівняння малих поперечних коливань струни.
Кожну точку струни l можна охарактеризувати значення її абсциси x. Опис процесу коливання струни може бути проведено за допомогою завдання положення точок струни в момент часу t досить задати компоненти вектора зміщення {u 1 (x, t), u 2 (x, t), u 3 (x, t)} точки x в момент t.
Будемо припускати, що зміщення струни лежать в одній площині (x, u) і що вектор зміщення u перпендикулярний в будь-який момент до осі x; тоді процес коливання можна описати однією функцією u (x, t), що характеризує вертикальне переміщення струни. Будемо розглядати струну як гнучку пружну нитку. Математичної вираження поняття гнучкості полягає в тому, що напруги, що виникають у струні, завжди спрямовані по дотичній до її миттєвого профілю (рис. 1). Це умова виражає собою те, що струні не чинить опір вигину.
Величина натягу, що виникає в струні внаслідок пружності, може бути обчислена за законом Гука. Будемо розглядати малі коливання струни і нехтувати квадратом u x в порівнянні з одиницею.
Користуючись цією умовою, підрахуємо подовження, випробовуване ділянкою струни (x 1, x 2). Довжина дуги цієї ділянки дорівнює
Таким чином, в межах прийнятої нами точності подовження ділянок струни в процесі коливання не відбувається, звідси в силу закону Гука випливає, що величина натягу T в кожній точці не змінюється з часом. Покажемо також, що натяг не залежить і від x, тобто
Знайдемо проекції натягу на осі x і u (позначимо їх T x і T u):
де α - кут дотичною до кривої u (x, t) з віссю x. На ділянку (x 1, x 2) діють сили натягу, зовнішні сили і сили інерції. Сума проекції всіх сил на вісь x повинна бути дорівнює нулю (ми розглядаємо лише поперечні коливання). Так як сили інерції і зовнішні сили за припущенням спрямовані уздовж осі u, то
Звідси в силу довільності x 1 і x 2 слід, що натяг не залежить від x, тобто для всіх значень x і t
Перейдемо до висновку рівняння поперечних коливань струни. Скористаємося другим законом Ньютона. Складова кількості руху ділянки струни (x 1, x 2) по осі u дорівнює
де ρ - лінійна щільність струни. Прирівняємо зміна кількості руху за проміжок часу Δ t = t 2 - t 1
імпульсу діючих сил, що складаються з натягу
в точках x 1 і x 2 і зовнішньої сили, яку будемо вважати безперервно розподіленої з щільністю (навантаженням) F (x, t), розрахованої на одиницю довжини. У результаті отримаємо рівняння поперечних коливань елемента струни в інтегральній формі
Для переходу до диференціальних рівнянь припустимо існування і безперервність других похідних від u (x, t). Тоді фотмула (3) після дворазового застосування теореми про середню набуде вигляду
де
Скоротимо на Δ x Δ t і переходячи до межі при x 2 → x 1, t 2 → t 1, отримаємо диференціальне рівняння поперечних коливань струни
У разі постійної щільності ρ = const цьому рівнянню зазвичай надають вигляд
де
є щільність сили, віднесена до одиниці маси. За відсутності зовнішньої сили отримаємо однорідне рівняння
або
описує вільні коливання струни. Це рівняння є найпростішим прикладом рівняння гіперболічного типу.
Якщо в точці x 0 (x 1 <x 0 <x 2) прикладена зосереджена сила f 0 (t) (рис. 2), то рівняння (3) запишеться так:
Оскільки швидкості точок струни обмежені, то при x 1 → x 0 і x 2 → x 0 інтеграли в лівій частині цієї рівності прагнуть до нуля, і рівність (3) приймає вигляд
Користуючись теоремою про середню, скорочуючи обидві частини рівності на Δ t і переходячи до межі при t 2 → t 1 отримаємо:
Звідси видно, що в точці прикладання зосередженої сили перші похідні зазнають розрив і диференціальне рівняння втрачає сенс. У цій точці повинні виконуватися дві умови спряження
друге з яких висловлює безперервність струни, друге визначає величину зламу струни в точці x 0, залежну від f 0 (t) і натягу T 0.
Тепер розглянемо задачу про поперечних коливаннях струни, закріпленої на кінцях. У цьому завданні u (x, t) дає відхилення струни від осі x. Якщо кінці струни 0 ≤ x ≤ l закріплені, то повинні виконуватися «граничні умови»
u (0, t) = 0, u (l, t) = 0.
Так як процес коливання струни залежить від її початкової форми та розподілу швидкостей, то слід поставити «початкові умови»:
Таким чином, додаткові умови складаються з граничних та початкових умов, де φ (x) і ψ (x) - задані функції пункту.
Ці умови цілком визначають рішення рівняння коливання струни
2.2 Метод Фур'є для рівняння коливань обмеженою струни.
Початкові умови:
Граничні умови:
Рішення:
де
Кожна функція являє собою гармонійне коливання з частотою
ω n = kπa / l. Амплітуда коливань для різних точок різна. На кінцях струна нерухома. Всі точки струни одночасно досягають свого максимального відхилення в ту або іншу сторону і одночасно проходять положення рівноваги. Такі коливання називаються стоячими хвилями. Нерухомі точки називаються вузлами стоячої хвилі. Посередині між вузлами розташовані точки, в яких відхилення досягають максимуму. Ці точки називются пучностями стоячій хвилі.
Тобто коливання кінцевої струни являє собою нескінченну суму стоячих хвиль, кожна з яких має постійну частоту коливання і змінюється по довжині струни амплітуду. У
Повернемося до музичної інтерпретації:
Ми бачимо, що звуки складаються з суми гармонійних коливань. Назвемо ці окремі гармоніки ідеальними звуками, тонами або просто звуками (нім. Ton). Такі звуки хоч і не існують в природі в чистому вигляді, представляють проте корисну абстракцію, спрощену модель. Такі звуки можна характеризувати частотою (f).
Реальний звук струни складається з звуку основної частоти
Такий складний звук, що складається з основного тону та обертонів, називається в німецькій мові Klang. Основний тон іноді для зручності називають першим обертоном. Співвідношення частот обертонів до основного тону дає нам ряд натуральних чисел: 1, 2, 3, ...
Звуки, які не мають основної частоти зовсім (і не описують хвильовим рівнянням) назвемо шумами і не будемо розглядати зовсім.
Саме поєднання обертонів дає музичну забарвлення звуку - його тембр. Якщо злегка доторкнутися до струни в деякій точці, то всі гармоніки, що мають у цій точці пучність, будуть погашені і не будуть чутні. Так можна явно почути внесок обертонів до загального тембр звуку.
3. Звук. Звукові явища.
Спочатку слухова система використовувалася, ймовірно, як система безпеки. На відміну від зору область чутливості слуху складає повний тілесний кут. І сьогодні система оповіщення цивільної оборони заснована саме на звуковому інформуванні: сирени і пр.
У подальшому на основі звукових взаємодій розвинулася мова - друга сигнальна система. Це те, що зробило людину людиною.
Репрезентативна система - система сприйняття через органи чуття і внутрішнього моделювання навколишньої дійсності.
У репрезентативною системі виділяються підсистеми, що відповідають основним органам почуттів:
-Візуальна;
-Аудиальная;
-Кинестетическая (тактильні відчуття);
-Раціональна (дигитальная).
Інші органи почуттів несуттєві. Підсистема, домінуюча при сприйнятті людиною навколишньої дійсності, називається ключовою репрезентативною системою. Підсистема, домінуюча при побудові внутрішніх моделей дійсності, називається провідною репрезентативною системою.
На рис. 1.1 представлено розподіл людей за групами в залежності від ключової репрезентативною системи [1]. Аудіальна система тут тільки на третьому місці, але це розподіл характеризує в основному обсяг, а не якість, інформації, що надходить з даного інформаційному каналу. Більш адекватно важливість інформації відображає розподіл по провідним системам (рис. 1.2).
Рис. 1.1. Розподіл людей за групами в залежності від ключової репрезентативною системи
Рис. 1.2. Розподіл людей за групами в залежності від провідної репрезентативної системи
Можна бачити, що аудиальная система входить до складу провідної репрезентативної системи у приблизно 36-та відсотків людей.
До того, як аудіо канал став використовуватися в якості другої сигнальної системи, він також використовувався для передачі почуттів і настрої за допомогою висоти, гучності і тембру звуку. Це і стало, ймовірно, об'єктивною передумовою для виникнення музики.
Ніяке мистецтво до часу появи звукозапису так не потребувало технічних засобах втілення. Звук на відміну від масляних фарб, бронзи і граніту річ ефемерна і існує тільки в момент вилучення. У нотах може бути зафіксована тільки мелодія, а частина музики, пов'язана з безпосередньою красою звуку та особливостями виконавської інтерпретації існує тільки в момент її виконання. Таким чином, запис можна розглядати не тільки як "музичні консерви", але і як остаточно оформлене музичний твір.
Перша електроакустична система це, звичайно, телефон. Винайдено Олександром Беллом в 1876 р. У його честь названа універсальна одиниця виміру в логарифмічних шкалах (і, зокрема, сили звуку) - Белл.
У 1877 р. з'явилася перша система звукозапису - фонограф - і з цього моменту почалося нове життя музичного мистецтва. Фонограф вважається винайденим Томасом Едісоном. Він не був електроакустичної системою, але швидко з'ясувалося, що чисто механічна запис дуже незручна і неточна. Треба було дуже близько сідає музикантам до розтрубу рекордера, з молоточків піаніно знімали пом'якшуючі удар подушечки, в студії створювалася неприродно велика реверберація (стіни оббивали залізом). І ось в 1898 році Вальдемар Паульсен (Данія) придумав переводити звукові коливання в електричний струм, намагнічувати сталевий дріт. Також на початку ХХ століття відбувався перехід від чисто механічної грамзапису до запису з проміжним перетворенням сигналу в електричний струм: механічні коливання повітря переводилися в електричний сигнал, який потім посилювався вакуумними лампами і управляв електромагнітом, що зміщують різець рекордера.
Винаходи телефону і пристроїв запису звуку призвели до виникнення нової галузі науки і техніки - електроакустики. Електроакустика - вивчає технічні засоби перекладу звукових коливань в електричний сигнал і зворотного перекладу електричного сигналу в максимально схожі звукові коливання. Основні області застосування електроакустики це:
1) звукопідсилення;
2) передача звуку на великі відстані (радіомовлення, складова телевізійного мовлення);
3) запис звуку з метою збереження і подальшого відтворення. Звукозаписом частіше називають процес, а результат звукозапису називається фонограмою.
Виходячи з визначення електроакустики, курс ділиться на два великі розділи.
Вивчення об'єкта відтворення (первісних звуків) і умов його схожого відтворення (специфіка поширення звуку та особливостей слуху людини).
Методи перекладу звукового поля в електричну форму і збудження схожого звукового поля в іншому приміщенні.
Дамо кілька визначень.
Звук. Слово "звук" визначає два поняття: перше - звук як фізичне явище, друге - звук як відчуття.
1. У результаті вібрації (коливання) будь-якого пружного тіла, наприклад струни, виникає хвилеподібний поширення коливань повітряного середовища. Джерелом звуку є нестійке тіло. Воно призводить в коливальний рух прилеглі до нього частки пружного середовища (як правило, повітря), які змушують коливатися сусідні частинки і т.д. Процес поширення коливань частинок пружного середовища називають звуковою хвилею.
2. Звукові хвилі уловлюються слуховим органом і викликають у ньому роздратування, яке передається по нервових волокнах у головний мозок, порушуючи відчуття звуку.
Звукове поле - одна з форм існування матерії, проявляється у вигляді кінетичної енергії коливних матеріальних тіл, а також звукових хвиль у твердої, рідкої і газоподібної середовищах, що володіють пружною структурою.
Природні джерела звуку, параметри, види.
Музичні джерела.
Мовні джерела.
Звук як такої (наприклад, в охоронних системах).
3.1. Музичні джерела
Для початку визначимо деякі з використовуваних музичних термінів. Складність у тому, що не можна розглядати характеристики джерел у відриві від властивостей слуху і навпаки. Але з чогось треба починати, тому розглянемо характеристики джерел звуку, покладаючись поки на Ваше повсякденне знання про властивості слуху.
Всі звуки, що використовуються в музиці, за періодичністю спектру можна розділити на:
1) тональні (що мають виражену періодичність зі чутної частотою);
2) нетональние (шумові).
Основні чутні властивості усталеного тонального звуку наступні: висота, гучність, тембр. При організації звуків в систему велике значення має також тривалість.
Висота звуку визначається частотою коливань видає тональний звук тіла.
Гучність - слухова оцінка потужності джерела звуку. Найбільш близьким за змістом фізичним параметром є обвідна звукового сигналу. Реально ж відчуття гучності складається з оцінки дальності до джерела звуку (з двох джерел, що створюють однакове звуковий тиск у барабанної перетинки, більш гучним відчувається більш віддалений), спектрального складу (більш дзвінкий звук оцінюється більш гучним; це пов'язано з урахуванням апріорної інформації про меншу лінійності процесів більшої амплітуди), а також наявності і характеру реверберації.
Спектр періодичного сигналу (подання його у вигляді суперпозиції синусоїдальних коливань) є лінійчатим, тобто в суперпозиції беруть участь тільки кратні частоти (оскільки закінчити період всі синусоїди повинні в тій же фазі, що і починали, інакше наступний період буде іншим за формою). Найбільш глухим, без призвуків, чується звук, максимально близький до синусоїди. Чисто синусоїдальний звук називається чистим тоном. А під власне тоном (основним тоном) розуміється найменша за частотою складова в ряду кратних частот спектру тонального звуку, що має певну висоту і позначена певною нотою.
Решта складових спектру тонального звуку з частотами, кратними тону, звані обертонами (нім. obertone - вищі тони), частковими тонами, призвуками, гармоніками, визначають тембр (чутний характер) звуку.
На відміну від гучності і висоти, тембр не є одномірної характеристикою і не відчувається параметрично, наприклад, у вигляді слуховий оцінки рівнів обертонів, тому його аналітичне опис (у вигляді сукупності приватних характеристик) надзвичайно важко. У кращому випадку для його характеристики використовуються слова з слуховий області відчуттів, наприклад:
1. Глухий / дзвінкий - фізично означає низький / високий рівень обертонів. Причому непарні гармоніки і гармоніки вищих порядків сприяють відчуттю дзвінкого тембру більшою мірою.
2. Бубонить - фізично означає наявність низькочастотного сигналу значної амплітуди з малим рівнем обертонів і повільно мінливих гучністю.
2. Рокітливий - фізично означає невелике періодична зміна гучності і (або) висоти звуку. У спектральної області означає виникнення бічних смуг навколо тону і гармонік.
3. Шепелявий, свистячий, шиплячий, що шумить (для нетональних звуків) - означає наявність у звуці неперіодичних, випадкових коливань з досить широким спектром безперервним. Перші три характеристики використовуються в основному по відношенню до високочастотним шумів.
Непоганим варіантом є також використання для опису тембру загальних характеристик динамічних процесів: уривчастий, різкий, злитий, вібруючий. Але цього часто недостатньо і тоді використовується безліч слів з інших областей відчуттів - густий, м'який, жорсткий, прозорий. Це наслідок спроби передати непараметричне відчуття тембру шляхом його асоціації з іншими явищами. Такі описи бажано використовувати тільки за необхідності, тому що велика ймовірність відмінності асоціацій співрозмовника від Ваших власних.
Всі три характеристики (висота, гучність, тембр) є досить парадоксальними. Ось деякі (далеко не всі) ознаки цього.
1. Крива обвідної, яка визначає гучність, може бути побудована не єдиним чином. Точний спосіб і параметри, якими керується слуховий апарат, невідомі.
2.Частота, визначальна відчуття висоти, і спектр, що визначає тембр, вимагає для свого визначення деякого часу. Проте висота, гучність і тембр занадто тривалого тону на слух сприймаються з великими похибками.
Ряд кратних частот, що включає основний тон і обертони, називається натуральним звукорядом. Звукорядом взагалі називається розташування звуків по висоті. Повний звукоряд сучасної музичної системи складається з 88 звуків з частотами від 16 до 4176 Гц. Такий крок сітки приблизно відповідає роздільній здатності слуху по частоті (хоча існують і думки про значно більшу роздільної здатності слуху). Звуки, що входять до звукоряд називаються ступенями. Сходи, частоти яких укладаються в ряд 1,2,4,8,16 ..., при одночасному відтворенні зливаються, тому всі щаблі цього ряду мають однакові найменування. Інтервал між ними називається октавою (від лат. Octava - восьма), тому що цей інтервал розбитий на сім частин, і кожен восьмий звук утворює інтервал в 1 октаву. Так що термін "октава" - музичний і в техніку прийшов, ймовірно, через електроакустики.
Сім ступенів, що утворюють октаву, називаються до, ре, мі, фа, соль, ля, сі. Весь звукоряд складається з 7 повних і двох неповних октав:
-Субконтроктави (3 звуку);
-Контроктави;
-Велика октава;
-Мала октава;
-1-4 Октави;
-5 Октава (1 звук).
Музичний лад - ряд абсолютних частот ступенів. Сучасний музичний лад ділить кожну октаву на 12 частин (званих півтонами), причому ля 1-ї октави має частоту 440 Гц. Відстань у два півтони називається цілим тоном. Півтони визначають всі основні ступені звукоряду (рис. 2.1, білі клавіші) і 5 додаткових частот (чорні клавіші).
Рис. 2.1. Частковий клавіатури фортепіано
Проміжні 5 ступенів вважаються утвореними від основних (альтерація) і називаються так само, але з добавками: якщо підвищувати основну щабель на 0,5 тони, то додається "дієз", якщо знижувати, то "бемоль". Підвищення / зниження на тон називається "дубль-дієз" / "дубль-бемоль". При цьому утворюється ситуація, коли один звук може називатися по-різному (Енгармонізм звуків).
Діапазон музичного інструменту - діапазон частот його тонів.
Форманта - область частот (не залежить від висоти звуку), в якій помітно посилюється звучання потрапляють в неї обертонів або основного тону. Це своєрідне опис "амплітудно-частотної характеристики" музичного інструмента.
Вібрато - невелике періодичну зміну висоти (частотне вібрато) або амплітуди (амплітудне вібрато) музичного звуку. Періодичність вібрато знаходиться в межах від 5 до 7 Гц. Ймовірно, краса вібрато пов'язана з похибками слухового сприйняття монохроматичного звуку.
Фази музичного звуку
Атака.
Стабільна фаза.
Згасання.
Атака - перехідний процес, що характеризує встановлення музичного звуку. Це короткий (від часток до десятків мс), але найважливіший етап звучання, у великій мірі визначає впізнаваність і натуральність звучання музичних інструментів (ефект присутності). Спробуйте відтворити фонограму "задом-наперед", при цьому атака і згасання міняються місцями. Визначити вид музичного інструменту виявляється практично неможливим.
Чергуванням стабільних фаз створюється мелодія.
Згасання визначає просторовість і глибину звуку. У значній мірі характер затухання залежить від акустичних властивостей приміщення.
3.2 Види музичних джерел
Порада: зіставте наведені частотні діапазони з прагненням забезпечити відтворення електроакустичної апаратурою діапазону від 20 Гц до 20 кГц.
Співочий голос - діапазон від 80 до 1000 Гц для чоловічого голосу і від 160 до 1300 Гц для жіночої.
Основні характеристики якості:
1) тональний баланс між нижньою (близько 500 Гц) і верхньої (близько 3000 Гц) формантами. Нижня форманта відповідає за теплоту і округлість звучання голосу, верхня - за його блиск;
2) жвавість (мінливість), динамічні відтінки;
3) чистота вібрато й інтонації;
4) розбірливість артикуляції.
Смичкові інструменти.
1) скрипка - діапазон від 136 до 2000 Гц;
2) альт - від 131 до 1100 Гц;
3) віолончель - від 65 до 700 Гц;
4) контрабас - від 41 до 240 Гц.
Всі перераховані інструменти займають різні частотні діапазони, проте мають схожі ознаки звучання.
Характеристики якості (і власне інструменту, і виконання):
1) тональний баланс між трьома її формантами: перша - на частотах від 220 до 300 Гц (відповідає за повноту і звучність інструменту), друга - в діапазоні частот від 600 до 800 Гц (у скрипок Страдіварі вона на частоті 630 Гц) і третя - в діапазоні від 1400 до 4500 Гц. Остання форманта відповідає за соковитість, "светлоту" і "політ" звуку.
2) пропорції між першими її шістьма обертонами.
Як і у випадку співочого голосу, головним для досягнення натуральності звучання скрипки є передача жвавості (мінливості) її "голоси", чистоти інтонації і вібрато, а також яскравість відтворення штрихів. Всі ці особливості звучання описуються критерієм "ясність".
На противагу описаного зустрічається дуже детальне, чітке відтворення звучання смичкових інструментів, але звук при цьому може сприйматися як "різкий" і "рваний", зникає відчуття "співу". Таке звучання викликає почуття дискомфорту і стомлює. Досвід показує, що дуже важко домогтися такої передачі звуку смичкових, при якій у тій чи іншій мірі не спостерігався б один із зазначених дефектів.
Щипкові інструменти. Всі щипкові інструменти характеризуються швидкою атакою (від 1 до 5 мс) і тривалим загасанням звуку (від 1 до 5 с).
1) клавесин - діапазон від 87 до 1400 Гц;
Звук клавесина надзвичайно багатий обертонами, які заповнюють практично весь средневисокочастотний діапазон слухового сприйняття.
Характеристики якості: ніжність, тонкість і дуже висока детальність звуку.
2) акустична гітара - від 81 до 1300 Гц.
Її значення в експертизі якості звучання електроакустичної апаратури полягає в її поширеність і загальновідомості тембру і характеру звуковидобування. При відтворенні через аудіосистему звучання гітари потрібно звернути увагу на те, як звучить щипок - слід домагатися схожості з натуральним його звучанням.
3) арфа - від 34,6 до 3320 Гц. "Глісандо" - швидке проведення пальця однієї руки (або пальців обох рук) по струнах інструменту.
4) контрабас щипковий - від 41 до 240 Гц.
Клавішні інструменти
Рояль - діапазон від 27,5 до 4186 Гц. Щодо глухий слабозабарвленого звук. Найкращим чином підходить для проявленого відтворення мелодії.
Характеристики якості:
1) специфіки тембрів нижнього регістра (з присутністю легкого рокотання);
2) милозвучність середнього регістру;
3) яскравість верхнього регістру;
4) розділеність звуків при грі staccato;
5) динамічні відтінки.
Дефекти, найбільш часто зустрічаються при відтворенні через аудіосистему звучання рояля: це невиразна або "надтріснутим" атака, а також неприродний або пофарбований тембр звучання його регістрів. Невисокий рівень обертонів дозволяє здійснювати слухову оцінку коефіцієнта гармонік апаратури.
Дерев'яні духові інструменти.
1) флейта поперечна - діапазон від 261 до 2093 Гц;
2) кларнет - від 139 до 1500 Гц;
3) гобой - від 233 до 1568 Гц;
4) англійський ріжок - від 165 до 1800 Гц;
5) фагот - від 58 до 622 Гц.
Завдяки відмінності частот формант і специфічного розподілу обертонів кожен інструмент цієї групи має яскраво виражену індивідуальність.
Характеристики якості.
1) гладкість "і" плинність "звучання (пояснюється швидким спадом до високих частот енергії обертонів);
2) плавність і чистота інтонації.
Мідні духові інструменти
1) концертна труба - діапазон від 185 до 1046 Гц;
2) валторна - від 61 до 700 Гц;
3) тромбон - від 81 до 520 Гц.
Характеристики: яскраве, виразне звучання, особливо в області атаки. Атака триває від 20 до 100 мс і характеризується швидкою і дуже складною перебудовою обертонального складу.
Ударні інструменти
1) кастаньєти - спектр в діапазоні від 0,6 до 16 кГц;
2) ксилофон - спектр поширюється до 9 кГц;
3) тарілка (велика оркестрова) - від 800 Гц до 18 кГц;
4) тарілка джазова - від 500 Гц до 18 кГц;
5) малий барабан - спектр поширюється до 4 кГц. Сухий тріскучий звук.
6) литавра велика - від 87 до 800 Гц. Чистий, дзвінкий і глибокий бас.
Всі ударні інструменти характеризуються різкою атакою (менше 1 мс у кастаньєт і ксилофона і близько 16 мс у великий литаври) і слабко вираженим тональним характером їх звучання.
Характеристики якості:
1) динаміка,
2) ясність передачі атаки,
3) відсутність "забарвлення".