Нестандартний аналіз некласичного руху
Павло Полуян
Математичне псевдоевклидовой простір і фізичні розмірності
Як відомо, фундаментальним досягненням релятивістської фізики стало об'єднання простору і часу в 4-мірному псевдоевклидовой континуумі Маньківського. Швидкість світла С виявилася коефіцієнтом пропорційності, що зв'язує координати x і t в рамках деякого лінійного простору, що володіє псевдоевклидовой метричними властивостями. Іншими словами, було побудовано простір, де по осях відкладаються величини з розмірністю довжини (просторового протягу), але на одній з них ця розмірність з'являється за рахунок множення тимчасового періоду на коефіцієнт iC.
Якщо розглядати найпростіше рух матеріальної точки вздовж прямої, псевдоевклидовой простір виявляється комплексної площиною, причому в якості уявної осі представлена вісь часу t [з]. Можна підійти до цього побудови формально, відволікаючись від історичних аспектів формування цих уявлень, тобто поставити питання: якщо величини x [м] і t [з] пов'язані коефіцієнтом пропорційності і можуть бути представлені в якості координатних осей єдиного простору - це об'єктивна передумова, то чому ми беремо за основу псевдоевклидовой простір з розмірністю довжини? Адже ніщо не заважає нам використовувати коефіцієнт пропорційності для перекладу розмірності x [м] в розмірність t [з] для того, щоб побудувати комплексну площину, де уявної віссю стане вісь x. З формальної точки зору така побудова абсолютно рівноправно з традиційним, але його фізична інтерпретація з першого погляду не ясна.
Припустимо, що ми побудували відповідну комплексну площину (тут і далі розглядається найпростіший випадок двовимірного псевдоевклидова простору), де розмірність по осях - час, а уявної віссю виявляється x з коефіцієнтом i · 1 / C [с / м]. Зрозуміло, що виникнуть тут аналоги перетворень Лоренца, а величина 1 / C виявиться таким собі інваріантом однаковим для всіх «систем відліку» - граничним значенням, до якого будуть при відповідному законі складання наближатися складаються «зворотні швидкості». Чи означає це, що повинна бути аналогічна швидкості світла гранична мінімальна швидкість? Таке припущення здається досить довільним, а вводиться таким чином «швидкість темряви» - виглядає екзотично. Однак, якщо ми не будемо однозначно ототожнювати розмірність [с / м] з характеристикою поступального переміщення, а просто визнаємо, що ця розмірність відповідає якоїсь реальної константи, то питання вирішується елементарно. Якщо емпірична гранична швидкість C реально існує і вимірюється в [м / с], то повинна існувати якась емпірична константа, яка вимірюється в [с / м]. Необхідна константа у фізиці відома - вона утворюється із співвідношення e2 / h де e - заряд електрона, а h - стала Планка.
Підіб'ємо підсумок. Ми починали з констатації безперечного факту: між простором і часом, величинами x та t існує пропорційність, що дозволяє в релятивістській теорії побудувати псевдоевклідов континуум Маньківського. Ми прийшли до висновку, що з формальної точки зору відкриваються два альтернативних варіанти: як уявної може бути представлена вісь t (розмірність координатних осей [м]), або вісь x (розмірність координатних осей [з]). Остання конструкція, математично рівноправна з вихідною, будучи також псевдоевклидовой простором, як коефіцієнт пропорційності вимагає величини i · 1 / C з розмірністю [с / м]. Ця «зворотна швидкість світла» повинна, отже, також знайти свою репрезентацію серед фізичних емпіричних констант, що неважко зробити, ототожнити її з комбінацією e2 / h (e - це заряд електрона, h - постійна Планка).
Відношення швидкості світла до даної комбінації емпіричних констант дає нам безрозмірну величину, іменовану постійної тонкої структури. Її величина округлено дорівнює 137, і до цих пір не припиняються спроби висловити це число через комбінацію математичних констант "π» і «е». Тепер можна стверджувати, що ці спроби не позбавлені підстав.
Принцип відносності і дві форми подання руху
Те, що чисто формальний математичний підхід дозволяє тут отримати незвичайний фізичний результат, а безрозмірна фізична константа - постійна тонкої структури - набуває тут важливий математичний сенс, пов'язане з нетривіальною математичної проблемою. Мова йде про логічного зв'язку стандартного класичного аналізу і нестандартної моделі аналізу, з необхідністю розширення поля дійсних чисел за рахунок введення гіпердействітельних чисел - актуально нескінченно малих і актуально нескінченно великих, для яких властиве порушення аксіоми Евдокса-Архімеда. Цьому питанню присвячені роботи засновника нестандартного аналізу Абрахама Робінсона. Він, зокрема, писав: «Ми збираємося показати, що в справжніх рамках можна розвинути числення нескінченно малих та нескінченно великих величин. Це дає нам можливість наново сформулювати багато відомих результати теорії функцій на мові нескінченно малих так, як це було передбачено в невизначеною формі ще Лейбніцем »[1, с.325]. І ще: «Нестандартне диференціальне числення може конкурувати в простоті з самим ортодоксальним підходом» [1, с.340]. Про інтегруванні: «Наше обмеження розбиття на інтервали однакової довжини занадто штучно. Ми побудуємо апарат, який дозволить нам розглянути більш загальні розбиття »[1, с.341]. Ми не будемо торкатися цієї проблеми, а зосередимося на фізичній інтерпретації отриманого результату.
Інваріант C - швидкість світла - це не просто емпірична константа, а фундаментальна величина, що входить до найважливіші фізичні рівняння. Поняття швидкості - це одне з основних фізичних уявлень. А в нашому випадку ми отримали якусь комбінацію констант, яка, хоча і має відповідну розмірність - зворотний швидкості, але її теоретична значущість і зв'язок з основними поняттями фізики поки не ясні. Тим не менш, виявляється, такий зв'язок можна простежити.
Почнемо з основоположного для механіки подання - з принципу відносності. Зміст принципу відносності викласти легко: абсолютного руху немає, то є дві точки можуть рухатися тільки щодо одне одного. Якщо ми беремо одну з них за точку відліку, то вважаємо її спочиває, а інша щодо неї чиниться рухається. Абсолютно так само ми можемо цю рухому прийняти за нерухому точку відліку і вважати рухається іншу. Подання про рух цілком природно і необхідно вимагає принципу відносності - адже зміна відстані між точками з часом відбувається між ними.
Схематично принцип відносності пояснюється на прикладі двох точок.
А-В
Приймаються одну за систему відліку - друга «рухається щодо її» і навпаки. Уявімо: в порожньому просторі знаходяться дві точки (математично безрозмірні), розділені деякою відстанню. Тепер спробуємо представити, що ця відстань змінюється ... Але яким чином можна тут зафіксувати «зміна»? Анрі Пуанкаре одного разу провів уявний експеримент - запитав: що було б, якби відстані між всіма точками світу раптово збільшилися у два рази? І відповів: світ цього не помітив би. Думаю, все зрозуміло. Для того, щоб можна було говорити про зміну відстані між двома точками, треба уявити собі наявність ще однієї точки C, яка відносно будь-якої із заданих нерухома.
А ← const → В-С
Нерухома - тобто перебуває весь час від неї на одному і тому ж відстані. Тут поки ніяких складнощів немає: просто ми декларуємо, що нам потрібна не крапка, а система відліку з заданим еталоном довжини. Але ж ми починали з двох точок, потім додали третю і ніби як можемо тепер говорити про рух, проте правомірно поставити запитання: як ми визначимо, що між точками А і В відстань постійно, а між А і С змінюється? Адже з таким же успіхом ми можемо прийняти відстань ЗС за еталон, а колишній еталон вважати змінюються!
А-В ← const → З
У цих міркуваннях немає нічого нелогічного, навпаки, ми ввели третю точку і еталонне відстань саме тому, що не могли визначити зміну відстані, але точно також ми не можемо визначити і незмінність його заходи. Точніше можемо визначати його і так і так: те АВ беремо за незмінний еталон і говоримо, що точка С рівномірно віддаляється від А і від В, то беремо за незмінність відстань між В і С, тоді колишнє еталонне відстань АВ має покладатися змінюються.
Але ж, якщо міняти місцями еталони довжини, вийде дивна картина. Подумки уявімо, що «рівномірно рухається» С як би обертається і задає нам міру відстані «= const», тоді «реально нерухома» щодо цього заходу буде рухатися нерівномірно: У наближається до А весь час вповільнюючись. У самому абсурдному варіанті вона прискорюється від нуля до нескінченності, потім «прилітає» з нескінченності з іншого боку і починає знову сповільнюватися до нуля - всю що залишилася в запасі вічність.
Вищеописаний висновок здається настільки «диким», що перше бажання - відкинути його через непотрібність. Проблема в тому, що якщо ми в принципі відносності Галілея - Ньютона відкриваємо для себе взаімоеквівалентность двох точок саме в процесі їх уявної заміни, то чому в логічно необхідної системі з трьох точок раптом повинні відкинути взаімозамену абсолютно таку ж? Логічні можливості виникають не для того, щоб ми їх просто відкидали, треба все-таки спробувати зрозуміти, що виявляється в цій дивній ситуації. Може бути, вся справа в неправильній інтерпретації отриманих результатів?
По-перше, представляється значимим, що в «дикому» варіанті ми отримали відразу уявлення про всі можливі швидкостях. Тобто, ця «оскаженілі» точка починає з якогось мінімального відстані (рівного заданому) потім пробігає всі можливі значення швидкості до нескінченності, потім прилітає «з іншого боку» вповільнюючись знову до нульового (за умови, що ми почали з якогось моменту, а на весь цикл відпустили вічність, і, звичайно, за тієї умови, що «реально рухається» точка зближалася з точкою відліку, а зблизившись - полетіла далі віддаляючись).
По-друге, стандартний варіант, якщо уважніше придивитися, не дуже-то простий. Якщо у нас задана тільки одна єдина рівномірна постійна швидкість, то її кількісний вираз може бути двояким. Швидкість - як відношення відрізка шляху до заданої одиничної мірою часу [м / с], і абсолютно еквівалентне ставлення періоду часу, витраченого для проходження одиничного відрізка відстані [с / м].
Задамося простим питанням: чому в звичайному розумінні руху виключена альтернативна розмірність, чому ми не висловлюємо швидкість як кількість секунд, що витрачаються на проходження одиниці відстані - адже це відношення логічно припустимо, а математично цілком індивідуально для кожної конкретної швидкості?
Хіба нас дивує, що на стадіоні спортивний результат судді висловлюють не в чисельному значенні швидкості бігуна, а в кількості часу, витрачений на проходження дистанції? Адже це унікальний факт: рух вимірюється не метрами за секунду, а часом, який було потрібно для подолання заданої відстані! Тим не менш, у фізиці дана міра руху з розмірністю [с / м] відкидається. Чому?
На цей «дитячий» питання можна дати цілком серйозну відповідь. Безліч різноманітних швидкостей люди впорядковують за принципом «повільніше-швидше», і, згідно цьому, вибудовують по вектору «менше-більше»: чим швидше швидкість, тим вона чисельно більше, - більша кількість метрів долається за одиницю часу. Взявши ж іншу міру, ми зіткнемося з зворотним співвідношенням: більшої бистрості змушені будемо приписувати менше число, - чим швидше рухається матеріальна точка, тим менша кількість секунд їй потрібно для проходження одиничного відстані.
Традиційний спектр швидкостей починається з нуля (спокій) і кількісно зростає в міру збільшення-прискорення швидкості (в класичній механіці верхню межу швидкості необмежений). «Найшвидша», нескінченно велика швидкість - це нескінченна кількість метрів за одиницю часу. А ось з альтернативною розмірністю [с / м] все виглядає точно навпаки: спокій - це нескінченна кількість секунд, що витрачаються на «проходження» одиничного відстані, так би мовити, нескінченно велика повільність. Погодьтеся, рахувати від нескінченності до нуля, принаймні, не зручно.
Може здатися, що наші міркування - мудрування на порожньому місці. Однак це не так. Досить сказати, що Готфрід Лейбніц при створенні математичного аналізу неодноразово розмірковував над цим питанням. Він писав: «Спокій може розглядатися як нескінченно мала швидкість або як нескінченно велика повільність» [2].
У Лейбніца є ще одна примітна міркування: він ототожнює нульову швидкість руху по колу з нескінченною швидкістю, коли «кожна точка кола повинна завжди перебувати в одному і тому ж місці» [3]. Тобто логічно ототожнюються не тільки «0м / с» і «∞ с / м» (відповідно «∞ м / с» і «0С / м»), але також «0м / с» і «∞ м / с» при циклічному русі. Це останнє ототожнення відкриває перед нами одну цікаву можливість.
Чому не зручно відраховувати збільшення швидкості руху в міру [с / м]? Тому, що приписуючи системі відліку нескінченну повільність і вводячи для рухомої точки якусь одиничну протяжність 1 [с / м], ми не отримаємо рівномірну шкалу величин, де можна арифметично складати А [с / м] + В [с / м] = (А + В) [с / м]. Тобто таке складання буде суперечити нормальному уявленню про те, як оцінюються швидкості при переході від однієї системи відліку до іншої. Але справа докорінно змінитися, якщо ми скористаємося, так би мовити, «перетворенням Лейбніца».
У самому справі, коли ми в класичному принципі відносності виявили необхідність введення третьої точки, яка задає незмінну міру відстані, саме ця третя точка і служила прообразом спокою - за будь-який період часу вона «могла пройти» лише нульове відстань. Якщо ми, слідом за Лейбніцем, ототожнив спокій і нескінченну швидкість циклічного руху, то виявимо дивовижну річ: приписавши такий спочиває точці нескінченну швидкість, ми разом з мірою довжини вводимо і міру кругової траєкторії, довжина якої визначається мірою довжини як радіусом. Тоді виявляється, що в міру повільності [с / м] ця швидкість буде вже володіти не нескінченною, а нульовий повільністю: для обегания цього радіусу їй потрібно нуль секунд. Тепер ми вже можемо вести нормальне складання повільне, але одиничної повільністю буде вважатися 1 секунда, необхідна для обегания одиничної кругової траєкторії. Відповідно, обегание цієї траєкторії за 2 секунди дає іншу величину швидкості руху - більш повільну і т.п. При цьому відносність у такому круговому русі повністю зберігається, а «повільності» можна складати арифметично. Іншими словами, тепер для величин повільності будується нормальна вісь, де відлік йде від нуля до нескінченності. Правда, до нескінченної повільності - до повного спокою - рухаються не лінійні переміщення по прямій, а швидкості пересування по одиничної кругової траєкторії.
А тепер найцікавіше. Якщо для такої величини як повільність також повинен діяти неархімедов закон складання, аналогічний релятивістському додаванню звичайних швидкостей, то до нескінченної повільності нам не добратися. Повинна існувати верхня межа - межа повільності, настільки ж недосяжний, як швидкість світла. Мірою цієї межі буде, природно, [с / м] - тобто величина зворотна мірою швидкості. І якщо емпірична гранична швидкість C реально існує і вимірюється в [м / с], то повинна існувати якась емпірична константа, яка вимірюється в [с / м]. Це і є, введена нами вище «зворотна швидкість світла» - «швидкість темряви» - а насправді константа e2 / h. Цей результат, у принципі, не дивний. У самому справі, якщо перехід від класичної фізики до релятивістської висловився в тому, що роль нескінченності стала виконувати конкретна величина - швидкість світла C [м / с], то цілком логічно, що має тепер по іншому розумітися і статус нижньої межі - нуля. Ми просто виявили, що замість нуля з'явилася якась величина з розмірністю [с / м], настільки ж недосяжна, як і швидкість світла.
Математичні абстракції і механічний рух
Можна задатися питанням: чи означає все вищевикладене, що для абстрактного лінійного континууму існують природна метрика і реальний закон, що упорядковує зростання величини в області дійсних чисел, розміщених між недосяжними точками «0» і «∞»? Я вважаю, що - так. Правда, для того щоб це чітко показати треба точно з'ясувати: що він з себе представляє - цей лінійний континуум? Ми знову повертаємося до математичної проблеми про існування гіпердействітельних чисел, нестандартному аналізу і необхідності розширення поля дійсних чисел.
Як вже зазначалося, релятивістський закон додавання звичайних швидкостей порушує аксіому Евдокса-Архімеда, і хоча сам цей закон є наслідком перетворень Лоренца для 4-х мірного псевдоевклідового прострастве-часу, нестандартний підхід дозволяє поглянути на суть справи дещо по іншому.
Ніщо не заважає нам перевернути ставлення і сказати, що неархімедово складання величин є першопричиною, а псевдоевклидовой простір - моделлю, яка відображає це більш фундаментальне відношення. Іншими словами, для будь-якої величини, що змінюється по лінійному закону від нуля до нескінченності, ми можемо ввести уявну додаткову координатну вісь і коефіцієнт перекладу цієї величини в її уявну міру. Тим самим буде поставлено закон перетворень, за яким лінійне збільшення одиничних величин буде здійснюватися за неархімедовому закону складання. Виникає питання: якщо швидкість - це відношення відстані і періоду часу, то яким чином ми повинні визначати швидкість зміни величини по відношенню до самої себе?
На даний момент в теоретичній фізиці обговорюється дискусійна проблема про запровадження так званого «п'ятого виміру», яке міститься в область мікровелічін і грає роль тільки в цій області, «зникаючи» для більш глобальних масштабів. Такі спроби відображають фундаментальну теоретичну потребу, глибоку незадоволеність фізиків конструктивними особливостями стандартних математичних уявлень.
Найбільш явно цю незадоволеність висловив Річард Фейнман в курсі лекцій «Характер фізичних законів». Він пише: «Теорія, згідно з якою простір безперервно, мені здається невірною, тому що вона призводить до нескінченно великим величинам та іншим труднощів. Крім того, вона не дає відповіді на питання про те, чим визначаються розміри всіх частинок. Я сильно підозрюю, що прості представлення геометрії, поширені на дуже маленькі ділянки простору, невірні. Говорячи це, я, звичайно, всього лише пробиваю пролом в загальному будівлі фізики, нічого не кажучи про те, як її закрити »[4].
Більш того, розбіжність між математичними поняттями і фізичними уявленнями давно вже зафіксовано самими математиками. Ось яке визначна судження висловлено в відомій книзі Д. Гільберта і П. Бернайса: «Насправді ми зовсім не зобов'язані вважати, що математичне просторово-часове представлення про рух є фізично осмисленим також і у випадках довільно малих просторових і часових інтервалів. Більше того, у нас є всі підстави припускати, що, прагнучи мати справу з досить простими поняттями, ця математична модель екстраполює факти, взяті з певної галузі досвіду, а саме з області рухів в межах того порядку величин, який ще доступний нашому спостереженню .. . Подібно до того, як при необмеженому просторовому дробленні вода перестає бути водою, при необмеженому дробленні руху також виникає щось таке, що навряд чи може бути охарактеризований як рух »[5].
Прошу вибачення за настільки широке цитування, воно знадобилося, щоб проілюструвати основні передумови важливої проблеми:
Існує принципова розбіжність між сучасними фізичними уявленнями про рух і класичними поняттями аналізу. Іншими словами, класична модель, де ототожнюються механічна швидкість і математична похідна, виявилася для некласичної фізики недостатньою.
Можлива побудова більш загальної «математичної моделі», яка буде описувати рух більш адекватно і підійде для опису мікро-руху в масштабах «недоступного спостереженню порядку величин».
Проте - на самому ділі - мову треба вести не про моделі, і не про побудову. Мова йде про те, щоб усередині самої логіки класичної математики знайти підстави для подальшого розвитку теорії. Як намагався показати автор, в елементарних уявленнях про механічному русі-переміщенні такі підстави вже виявляються.
У згаданій вище роботі «Нестандартний аналіз некласичного руху» автором пропонується загальна модель т.зв. руху з невизначеною швидкістю, де пряма траєкторія виявляється приватним, виродженим випадком переміщення по фрактальної, «нескінченно зламаній лінії». При цьому ординарний лінійний континуум тимчасового порядку моделюється за допомогою нового впорядкованої множини, що має назву «ареальних». Названа робота може бути вислана всім бажаючим файлом у форматі PDF об'ємом 2,3 Мб (російською та англійською мовами).
Список літератури
Введення в теорію моделей і мета-математику алгебри. М.: Наука, 1967.
ЛейбніцГ.В. Твори у чотирьох томах. Т.1. М.: Думка, с.205. Див також т.3, с.199.
ЛейбніцГ.В. Твори у чотирьох томах. Т.3. М.: Думка, с.290.
FeynmanR. The Character of Physical Law. Російський переклад: Р. Фейнман. Характер фізичних законів. М.: Мир, 1968, стор.184.
ГільбертД., БарнайсП. Підстави математики. Логічні обчислення і формалізація арифметики. М.: Наука, 1979, с.41, перше видання - 1934р.