Застосування похідної при знаходженні межі

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

Гомельський Державний Університет ім.Ф. Скорина

Математичний факультет

Кафедра математичного аналізу

Застосування похідної при знаходженні межі

Курсова робота

Виконавець Бурцева Е.А.

студентка групи М-43

Науковий керівник Астапович Г.Є.

ГОМЕЛЬ 2009

Зміст

Введення

1. Нескінченно малі і їх порівняння; символи "o мале" і "про велике"

2. Основні теореми диференціального числення

2.1 Теорема Ферма про нулі похідної

2.2 Теорема Ролля про нулі похідної

2.3 Теорема Лагранжа про кінцеві прирости

2.4 Теорема Коші про кінцеві прирости

3. Розкриття невизначеностей. правило Лопіталя

3.1 Розкриття невизначеностей виду 0 / 0

¥ ¥ 3.2 Розкриття невизначеностей виду /

3.3 Використання правила Лопіталя для виділення головних частин і визначення порядків нескінченно великих

¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 3.4 Розкриття невизначеностей виду 0, 1, 00,0, -

4. Формула Тейлора. обчислення меж за допомогою формули Тейлора

4.1 Многочлен Тейлора. Формула Тейлора із залишковим членом Rn.

4.2 Залишок у формі Пеано

4.3 Інші форми залишку у формулі Тейлора

4.4 Розкладання деяких елементарних функцій за формулою Тейлора

4.5 Приклади використання стандартних розкладів для представлення функцій за формулою Тейлора і для обчислення меж

4.6 Формула Тейлора для парних і непарних функцій

Висновок

Список використаних джерел

Введення

Ця курсова робота розкриває застосування похідної при обчисленні меж. Обчислення меж важлива частина математичного аналізу, оскільки практично весь курс математичного аналізу спирається на поняття межі.

Дійсно, похідна, інтеграл, безперервність функції - всі ці поняття використовують межа.

Курсова робота складається з чотирьох розділів.

У першому розділі розкривається поняття швидкості росту функції, вводяться символи "Про велике" і "про мале", і важливе поняття, для обчислення меж, еквівалентні функції.

У другому розділі наведені основні теореми диференціального числення, службовці необхідною основою для правила Лопіталя і формули Тейлора.

У третьому розділі наведено правило Лопіталя і методи розкриття всіх типів невизначеностей. Приклади для цього і наступного розділу були взяті з [Марон].

У четвертому розділі наведено висновок формули Тейлора і показано застосування формули Тейлора для знаходження еквівалентних функцій і обчислення меж.

1. Нескінченно малі і їх порівняння; символи "o мале" і "про велике"

Визначення. Нескінченно малою в x 0 називається функція f (x) така, що

Властивості нескінченно малих функцій:

1) Критерій існування кінцевого межі функції

Û $ б. м. функція a (x) при x ® x 0: f (x) = A + a (x)

2) a (x), b (x) б. м. Þ a (x) + b (x) б. м.

3) Твір нескінченно малою функції на обмежену є нескінченно малою функцією.

4) Твір нескінченно малих функцій є нескінченно малою функцією.

Визначення. f (x) визначена в проколеної околиці x 0 називається нескінченно великою в т. x 0, якщо .

5) Якщо a (x) б. м. при x ® x 0 і a (x) ¹ 0, то 1 / a (x) є нескінченно великою і навпаки. Символічно це записують у вигляді 1 / ¥ = 0, 1 / 0 = ¥.

Порівняння нескінченно малих та нескінченно великих функцій. Символи O, o

f, g визначені в деякій проколеної околиці x 0

Пишуть

,

Якщо

.

Аналогічно визначається O при x ® x 0 +0, x ® x 0 - 0, x ® ± ¥, x ® ¥.

Приклад: f (x) = O (1), x ® ¥ означає локальну обмеженість функції в ¥.

Опр. Якщо при x ® x 0, f (x) = O (g) і g (x) = O (f), то f (x), g (x) називаються функціями одного порядку.

Приклад: Функції x 3, x 2 є функціями одного порядку при x ® 1.

Визначення o. Нехай f (x), g (x) визначені в деякій проколеної околиці точки x 0, пишуть f (x) = o (g (x)), x ® x 0, якщо

$ $ Б. м. a (x) при x ® x 0, така, що "x Î : F (x) = a (x) g (x)

Аналогічно визначається o при x ® x 0 +0, x ® x 0 - 0, x ® ± ¥, x ® ¥.

Приклад: f (x) = o (1), при x ® x 0 означає, що f (x) нескінченно мала при x ® x 0.

Деякі приклади роботи з символами o (мається на увазі x ® 0).

o (x n) ± o (x n) = o (x n)

x m o (x n) = o (x n + m)

c o (x n) = o (x n) (c-константа)

o (x n) ± o (x n + p) = o (x n), тут p натуральне.

o (x n + p) / x p = o (x n) Зокрема, o (x p) / x p = o (1).

o (a n x n ± a n +1 x n +1 ± ... ± a n + p x n + p) = o (x n)

Якщо a, b б. м. і b = o (a), то говорять, що b нескінченно мала більш високого порядку, ніж a.

Визначення. Функції f (x), g (x) називаються еквівалентними в x 0 (говорять так само, в околиці x 0), якщо виконано хоча б одне з двох умов

f (x) = g (x) + o (g (x)), x ® x 0

g (x) = f (x) + o (f (x)), x ® x 0.

Умова еквівалентності записується у вигляді f ~ g, при x ® x 0.

Зауваження 1. Якщо виконано одну з цих умов, то буде виконано і друге.

Зауваження 2. Ці умови можна записати в іншій формі. Наприклад, перше з них: в деякій проколеної околиці точки має місце рівність

f (x) = h (x) g (x), = 1.

Зауваження 3. Якщо, наприклад, g (x) ¹ 0, то перша умова можна записати у вигляді

.

Визначення. Якщо f (x) ~ (x - x 0) n при x ® x 0, то f (x) називається нескінченно малою порядку n при x ® x 0.

Якщо f (x) ~ при x ® x 0, то f (x) називається нескінченно великою порядку n при x ® x 0.

Якщо f (x) нескінченно велика при x ® ¥ і f (x) еквівалентна x n при x ® ¥, то f (x) називається нескінченно великою порядку n при x ® ¥.

Зауваження. Якщо f (x) нескінченно мала порядку n, то 1 / f (x) буде нескінченно великою порядку n і навпаки.

Приклади. Визначити характер функцій

, в 0, 1, + ¥.

При обчисленні меж корисна наступна теорема

Теорема 2. Нехай f еквівалентна f 1, g еквівалентна g 1 при x ® x 0.

Якщо існує межа , Тоді існує і .

Якщо існує межа , Тоді існує і .

Визначення. Якщо , То g називається головною частиною f при x ® x 0.

2. Основні теореми диференціального числення

2.1 Теорема Ферма про нулі похідної

Теорема. Якщо f (x) - визначена на (a, b) і дифференцируема в точці x 0 Î (a, b), приймає в точці x 0 найбільше або найменше значення, то f ¢ (x 0) = 0.

Доказ. Для випадку найменшого значення

f ¢ (x 0 +0) = ³ 0, f ¢ (x 0 -0) = £ 0 Þ f ¢ (x 0) = 0

Геометрична інтерпретація

2.2 Теорема Ролля про нулі похідної

Теорема. Якщо f безупинна на [a, b], дифференцируема на (a, b) і f (a) = f (b). Тоді

$ X 0 Î (a, b): f ¢ (x 0) = 0.

Доказ. Покладемо

, .

Хоча б одна з точок x 1, x 2 внутрішніх і для цієї точки твердження випливає з теореми Ферма.

2.3 Теорема Лагранжа про кінцеві прирости

Теорема. Якщо f безупинна на [a, b], дифференцируема на (a, b), то

$ XÎ (a, b): f (b) - f (a) = f ¢ (x) (ba).

Доказ. Розглянемо функцію

.

Для цієї функції F (a) = F (b) = 0, і до неї застосовна теорема Роля

.

Геометрична інтерпретація

Існує точка, дотична в якій, паралельна хорді, що з'єднує точки A і B графіка.

Слідство 1. Якщо f безупинна на [a, b], дифференцируема на (a, b) і f ¢ (x) º 0 на (a, b), то f (x) º const.

Застосовуючи теорему до довільного відрізку [x 0, x], де x 0 довільна фіксована точка, отримаємо

f (x) - f (x 0) = f ¢ (x) (x - x 0) = 0, т. е. f (x) = f (x 0).

Наслідок 2. Якщо f безупинна на [a, b], дифференцируема на (a, b) і f ¢ (x) = g ¢ (x) на (a, b), то f (x) = g (x) + const.

2.4 Теорема Коші про кінцеві прирости

Теорема. Якщо f, g безупинні на [a, b], діфференцируєми на (a, b), то існує

(a, b): g ¢ (x) (f (b) - f (a)) = f ¢ (x) (g (b) - g (a)).

Доказ. Розглянемо допоміжну функцію

F (x) = g (x) (f (b) - f (a)) - f (x) (g (b) - g (a)).

Для цієї функції

F (a) = g (a) (f (b) - f (a)) - f (a) (g (b) - g (a)) = g (a) f (b) - f (a) g (b),

F (b) = g (b) (f (b) - f (a)) - f (b) (g (b) - g (a)) = - f (a) g (b) + g (a ) f (b),

таким чином, F (a) = F (b) і до неї застосовна теорема Ролля: існує точка (a, b) для якої виконується рівність

0 = F (b) - F (a) = F ¢ (x) (ba) = [g ¢ (x) (f (b) - f (a)) - f ¢ (x) (g (b) - g (a))] (ba).

Слідство. Якщо g ¢ (x) ¹ 0 на (a, b), то

.

Доказ. Якщо g ¢ (x) ¹ 0, то g (b) - g (a) ¹ 0. Інакше, у разі g (b) = g (a), по теоремі Ролля знайшлася б точка x, де g ¢ (x) = 0.

3. Розкриття невизначеностей. правило Лопіталя

3.1 Розкриття невизначеностей виду 0 / 0

Дано: f (x), g (x) визначені на (x 0, b) і

1)

2) f, g діфференцируєми на (x 0, b)

3) g ¢ (x) ¹ 0 на (x 0, b).

Тоді

,

якщо існує кінцевий або нескінченну границю

.

Доказ. Доопределить f, g в точці x 0 по безперервності нулем f (x 0) = g (x 0) = 0. За теремі Коші, застосованої до відрізка [x 0, x], існуватиме x (x) Î (x 0, x): x 0 <x (x) <x і , З умови x 0 <x (x) <x випливає, що , Причому x (x) ¹ x 0, якщо x ¹ x 0. По теоремі про існування межі суперпозиції

= ч. т.д.

Зауваження. Аналогічно це твердження доводиться для лівої околиці. Звідки отримуємо твердження для x ® x 0.

Слідство 1. Якщо

1) Існують f (k), g (k), k = 1,2, ..., n на (x 0, b)

2) , K = 0,1, ..., n-1

3) Существуeт g (n) (x) ¹ 0 на (x 0, b), то

,

якщо

існує, кінцевий або нескінченний.

Наслідок 2. Якщо f, g діфференцируєми для x> a,

, То

,

якщо останній існує, кінцевий або нескінченний.

Доказ. Зробимо заміну

Зауваження. Аналогічні твердження мають місце для x ® - ¥.

3.2 Розкриття невизначеностей виду ¥ / ¥

f, g визначені на (x 0, b) і

1)

2) f, g діфференцируєми на (x 0, b)

3) g ¢ (x) ¹ 0 на (x 0, b)

Тоді

,

якщо останній існує кінцевий або нескінченний.

Зауваження. Аналогічні твердження мають місце для x ® x 0 - 0, x ® x 0, x ® + ¥, x ® - ¥.

3.3 Використання правила Лопіталя для виділення головних частин і визначення порядків нескінченно великих

У деяких випадках порядок нескінченно малою або нескінченно великою можна визначити, послідовно обчислюючи похідні. Припустимо, що f (x) - нескінченно мала при x ® x 0 і в точці x 0 звертаються в нуль всі похідні до (n-1) - го порядку включно f (x 0) = 0, f ¢ (x 0) = 0, ..., f (n-1) (x 0) = 0 і f (n) (x 0) ¹ 0. У цьому випадку порядок цієї нескінченно малою дорівнюватиме n. При цьому головна частина дорівнюватиме

.

Це твердження випливає з рівності

,

в якому як функції g (x) береться (xx 0) n.

.

Схоже твердження можна сформулювати і для нескінченно великих функції.

Приклад: f (x) = 3sh x - 3sin x - x 3 при x ® 0

f ¢ (x) = = 0, f ¢ ¢ (x) = = 0, f ¢ ¢ ¢ (x) = = 0, f (4) (x) = = 0, f (5) (x) = = 0, f (6) (x) = = 0, f (7) (x) = = 6 ¹ 0.

Таким чином, порядок цієї нескінченно малою дорівнює 7 і f (x) ~ x 7, x ® 0.

3.4 Розкриття невизначеностей виду 0 ¥, 1 ¥, 0 0, ¥ 0, ¥ - ¥

Невизначеності вигляду 0 ¥ зводяться до вже розглянутим.

Приклади.

1)

2)

3)

4) ¥ - ¥

Можна, наприклад, так

5) Невизначеності виду 1 ¥, 0 0, ¥ 0 зводиться до вже розглянутих логарифмування

y = u v = e v ln u

Приклад 1.

.

Обчислення.

.

Ця межа розглядаємо, як

,

де

, А .

З теореми про існування межі суперпозиції двох функцій випливає, що . Далі

,

замінюючи знаменник на еквівалентну нескінченно малу отримаємо

= .

Таким чином,

.

Приклад 2.

.

Уявімо функцію в наступному вигляді.

і обчислимо межа

Приклад 3. Обчислити межа:

Приклад

4.

Приклад 5.

При х ® ¥

при e x зростає швидше будь-якої статечної функції х к, k> 0

ln (x) зростає повільніше будь-якої статечної функції х до

4. Формула Тейлора. обчислення меж за допомогою формули Тейлора

4.1 Многочлен Тейлора. Формула Тейлора із залишковим членом R n.

Нехай f (n-1) - раз дифференцируема в околиці U = (x 0-a, x 0 + a) точки x 0 і існує f (n) (x 0). Многочленом Тейлора в точці x 0 називається многочлен виду

.

Властивості многочлена Тейлора

(1)

З (1) слід

= (2)

З (1) слід

P n (x 0) = f (x 0), (3)

Зокрема,

, K = 0,1, ..., n.

Позначимо R n (x) = f (x) - P n (x), тоді

(4)

(4) - формула Тейлора функції f в околиці точки x 0 з залишковим членом R n. Основне завдання буде полягати в поданні залишку в зручній для оцінок формах.

4.2 Залишок у формі Пеано

Теорема 1. Якщо функція f (x) (n-1) - раз дифференцируема в околиці U = (x 0-a, x 0 + a) точки x 0 і існує f (n) (x 0), то має місце рівність

.

Іншими словами

(5)

Доказ. Для стислості будемо позначати R (x) = R n (x)

(1 0)

(1 1)

(1 m)

...

(1 n-1)

f (n-1) (x) дифференцируема в точці x 0, тому

Звідки

За правилом Лопіталя

Теорема 2. (Одиничність представлення функції за формулою Тейлора) Якщо f має n-у похідну в точці x 0 і

,

то

Лемма. Якщо

, (2)

то b k = 0, k = 0,1, ..., n

Доказ. в (2) перейдемо до межі при x ® x 0, отримаємо

b 0 = 0, ,

ділимо отримане вираз на (xx 0) і переходимо до межі при x ® x 0 і т.д.

Доказ теореми.

звідки і слід твердження.

4.3 Інші форми залишку у формулі Тейлора

Нехай функція f (x) (n +1) - раз дифференцируема в околиці U a (x 0) = (x 0-a, x 0 + a) і y (x) дифференцируема в , Y ¢ ¹ 0 в , Y (x) неперервна в .

Візьмемо x Î (x 0-a, x 0 + a), x ¹ x 0 і фіксуємо. Для визначеності будемо вважати x 0 <x і розглянемо на [x 0, x] функцію

.

Відзначимо наступні властивості цієї функції

j (x) = 0

j (x 0) = R n (x)

j (z) неперервна на [x 0, x], дифференцируема на (x 0, x).

Не очевидним є лише четверте властивість

= = = .

До функцій j і y застосуємо теорему Коші про кінцеві прирости на відрізку [x 0, x]

. Звідки і, далі,

(1)

Слідство 1. Якщо функція f (n +1) - раз дифференцируема на (x 0-a, x 0 + a), то

,

де (x 0, x) (або (x, x 0)), p> 0. Залишок Шлемільха-Роша.

Для доказу цієї формули слід як функції y (z) взяти

y (z) = (xz) p.

Наслідок 2. (Формула Тейлора із залишком у формі Лагранжа) Якщо f (n +1)-раз дифференцируема на (x 0-a, x 0 + a), то

.

Отримано з загальної формули при p = n +1.

Зауваження. Формулу із залишком Лагранжа можна представити у вигляді.

.

Слідство 3. Якщо f (n +1)-раз дифференцируема на (x 0-a, x 0 + a), то справедлива формула Тейлора із залишком у формі Коші

Отримано з загальної формули при p = 1.

4.4 Розкладання деяких елементарних функцій за формулою Тейлора

e x, x 0 = 0

, (0, x),

якщо x> 0 або (x, 0) у випадку x <0.

Наприклад, при | x | <1, | R n (x) | £

sin x, x 0 = 0

Допоміжна формула:

sin x = = , X ® 0,

виберемо m = 2n +2, тоді

sin x = , X ® 0,

звідки, з урахуванням рівності f (2n +2) (0) = 0, отримуємо розкладання для синуса

sin x = , X ® 0

У формулі Тейлора із залишком Лагранжа

sin x = , (0, x) (або (x, 0)).

Дійсно,

sin x =

= = = .

Звідки випливає, що

cos x, x 0 = 0

Допоміжна формула:

= , X ® 0,

виберемо m = 2n +1, тоді

cos x = , X ® 0,

звідки, з урахуванням рівності f (2n +1) (0) = 0, отримуємо розкладання для косинуса

cos x = , X ® 0

У формулі Тейлора із залишком Лагранжа

cos x = , (0, x) (або (x, 0)).

Дійсно,

cos x =

= = = .

Звідки випливає, що

ln (1 + x), x 0 = 0

, X ® 0

(1 + x) a, x 0 = 0,

інтерес представляє випадок, коли a не є натуральним числом.

f ¢ = a (1 + x) a -1, ..., f (k) = a (a - 1) ... (a - k +1) (1 + x) a - k

, X ® 0

Важливий окремий випадок

= = .

4.5 Приклади використання стандартних розкладів для представлення функцій за формулою Тейлора і для обчислення меж

З формул Тейлора слідують відомі "равносильности при "; Наприклад,

Приклад 1.

Приклад 2.

.

Приклад 3. Розкласти функцію f (x) = за формулою Тейлора із залишком Піано за ступенями x до x 5 включно.

. Для вирішення завдання візьмемо розкладання функції

e 2x = 1 +2 x + + + + + O (x 5),

= (1 +2 x + + + + + O (x 5)) ( ) =

1 +2 x + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + o (x 5) =

1 +2 x + x 2 x 3 x 4 x 5 + o (x 5).

Приклад 4. Розкласти функцію f (x) = 1/cos x за формулою Тейлора із залишком Піано за ступенями x до x 5 включно. Уявімо функцію у вигляді

= 1 + u + u 2 + u 3 + o (u 3), де u = .

Тоді

= 1 + u + u 2 + u 3 + o (u 3) = 1 + + + + .

При обчисленні ступенів

нас цікавлять тільки доданки ступенів не вище x 5, більш високі ступені увійдуть в o (x 5). Таким чином,

= , = , = .

Вираз

=

показує, що в розкладанні

= 1 + u + u 2 + u 3 + o (u 3)

можна, з самого початку, обмежиться другим ступенем

= 1 + u + u 2 + o (x 5).

Підставляючи потрібні висловлювання на цю рівність отримаємо

= 1 + + + = 1 + + + .

Приклад 5. Використовуючи розкладання з попереднього прикладу, розкласти функцію f (x) = tg x за формулою Тейлора із залишком Піано за ступенями x до x 6 включно.

tg x = =

=

x + x 2 (0) + x 3 + X 4 (0) + x 5 + X 6 (0) =

=

Приклад 6. Розкласти функцію f (x) = (1 + x) a - (1 - x) a за формулою Тейлора із залишком Піано.

k = 2l +1,

Таким чином,

Слідство.

Приклад 7. Використовуючи наслідок з попереднього прикладу, знайти межу (1401)

.

Маємо:

= | X | = sign x + o ( ).

Приклад 8. Розкласти функцію

f (x) =

за формулою Тейлора із залишком Піано за ступенями x до x 4 включно.

Спочатку випишемо розкладання функції за ступенями x до x 3 включно.

Покладемо u = x - x 2, тоді

= = 1 + u + u 2 + u 3 + o (u 3) = 1 + x - x 2 + (x - x 2) 2 + (x - x 2) 3 + o (x 3) = 1 + x - x 3 + o (x 3).

Далі,

= = 1 +2 x (1 + x - x 3 + o (x 3)) = 1 +2 x +2 x 2 -2 x 4 + o (x 4).

Другий спосіб. Так як

,

то на першому кроці виділяємо одиницю:

= .

Другий доданок представляємо у вигляді Cx n g 2 (x) так, щоб , Після чого слід представити функцію g 2 (x) у вигляді g 2 (x) = 1 + g 3 (x) і т.д. У нашому випадку:

= = = =

= = 1 +2 x + =

1 +2 x +2 x 2 = 1 +2 x +2 x 2-2x 4 + o (x 4).

4.6 Формула Тейлора для парних і непарних функцій

Теорема 1. Якщо функція f (x) парна й існує f (2n +1) (0), то має місце наступне розкладання цієї функції

.

Якщо функція f (x) непарна й існує f (2n +2) (0), то має місце наступне розкладання цієї функції

.

Теорема 2. Якщо функція f (x) парна й існує f (2n +2) (x) в деякому околі U (0), то для x Î U (0) справедливо рівність

,

де (0, x) або (x, 0).

Якщо функція f (x) непарна й існує f (2n +3) (x) в деякому околі U (0), то для x Î U (0) справедливо рівність

,

де (0, x) або (x, 0).

Доказ. Як вже зазначалося раніше, у парному функції всі похідні непарного порядку є непарними функціями і, тому, вони рівні нулю з точці нуль

f (2k +1) (0) = 0, якщо f (x) парна.

Звідси і виходять зазначені формули, якщо використовувати многочлен Тейлора до порядку 2n +1 включно. У непарної функції всі похідні парного порядку будуть непарними функціями і

f (2k) (0) = 0, якщо f (x) непарна.

У цьому випадку необхідно використовувати многочлен Тейлора до порядку 2n +2 включно.

Висновок

У цій роботі були розглянуті методи обчислення меж використовують поняття похідної, а саме: правило Лопіталя і формула Тейлора.

Для кожного методу розглянуто приклади обчислення границі. Так само було розглянуто таке важливе поняття, як швидкість росту функції, що грає велику роль при обчисленні меж.

Список використаних джерел

  1. Дадаян А.А., Математичний аналіз: навчальний посібник / Дадаян А.А., Дударенко В.А., - Мінськ, Вишейшая школа, 1990. - 428с.

  2. Марон І.А., Диференціальне та інтегральне числення в прикладах і завданнях (функції однієї змінної) / Марон І.А., - М., Наука, 1970. - 400с.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Курсова
95кб. | скачати


Схожі роботи:
Застосування похідної в науці і технікe
Застосування похідної та інтеграла на вирішення рівнянь і нерівностей
Задачі що приводять до похідної Визначення похідної її геометричний і механічний зміст Рівня
Економічний зміст похідної Використання поняття похідної в економіці
Межі застосування закону Дарсі Нелінійні закони фільтрації
Обчислення та сплата ПДВ при реалізації за межі РБ товару придбаного в РФ
Задачі на використання похідної
Знаходження похідної функції
Застосування електроніки і біомеханіки при протезуванні
© Усі права захищені
написати до нас