Застосування похідної в науці і технікe

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

ФГТУ СПО

Новосибірський аграрний коледж

Реферат

з дисципліни "математика"

"Застосування похідної в науці і техніці"

С. Роздольне 2008

Зміст

Введення

  1. Теоретична частина

1.1 Завдання, що призводять до поняття похідної

1.2 Визначення похідної

1.3 Загальне правило знаходження похідної

1.4 Геометричний зміст похідної

1.5 Механічний зміст похідної

1.6 Похідна другого порядку і її механічний зміст

1.7 Визначення і геометричний сенс диференціала

2. Дослідження функцій за допомогою похідної

Висновок

Література

Введення

У першому розділі мого реферату мова піде про поняття похідної, правила її застосування, про геометричному і фізичному сенсі похідної. У другому розділі мого реферату мова піде про застосування похідної в науці і техніці і про рішення завдань у цій області.

  1. Теоретична частина

1.1 Завдання, що призводять до поняття похідної

При вивченні тих чи інших процесів і явищ часто виникає завдання визначення швидкості цих процесів. Її рішення призводить до поняття похідної, що є основним поняттям диференціального числення.

Метод диференціального обчислення був створений в XVII і XVIII ст. З виникненням цього методу пов'язані імена двох великих математиків - І. Ньютона і Г.В. Лейбніца.

Ньютон прийшов до відкриття диференціального обчислення при вирішенні задач про швидкість руху матеріальної точки в даний момент часу (миттєвої швидкості).

Як відомо, рівномірним рухом називають такий рух, при якому тіло в рівні проміжки часу проходить рівні за довжиною відрізки шляху. Шлях, пройдений тілом за одиницю часу, називають швидкістю рівномірного руху.

Однак найчастіше на практиці ми маємо справу з нерівномірним рухом. Автомобіль, що їде по дорозі, уповільнює рух у переходів і прискорює його на тих ділянках, де шлях вільний; літак знижує швидкість при приземленні і т.д. Тому найчастіше нам доводиться мати справу з тим, що за рівні відрізки часу тіло проходить різні по довжині відрізки шляху. Такий рух називають нерівномірним. Його швидкість не можна охарактеризувати одним числом.

Часто для характеристики нерівномірного руху користуються поняттям середньої швидкості руху за час Δt. Яке визначається співвідношенням де Δ s - шлях, пройдений тілом за час Δt.

Так, при вільному падінні тіла середня швидкість його руху за перші дві секунди є

Практично така характеристика руху, як середня швидкість, говорить про рух дуже мало. Дійсно, при 4,9 м / с, а за 2-ю - 14,7 м / с, в той час як середня швидкість за перші дві секунди становить 9,8 м / с. Середня швидкість протягом перших двох секунд не дає жодного уявлення про те, як відбувався рух: коли тіло рухалося швидше, а коли повільніше. Якщо ж поставити середні швидкості руху для кожної секунди окремо, то ми будемо знати, наприклад, що в 2-у секунду тіло рухалося значно швидше, ніж в 1-ю. Однак у більшості випадків значно швидше, ніж нас мало влаштовує. Адже неважко зрозуміти, що протягом цього 2-ї секунди тіло також рухається по-різному: на початку повільніше, наприкінці швидше. А як воно рухається десь в середині цього 2-ї секунди? Іншими словами, як визначити миттєву швидкість?

Нехай рух тіла описується законом Розглянемо шлях, пройдений тілом за час від t 0 до t 0 + Δt, тобто за час, що дорівнює Δt. У момент t 0 тілом пройдено шлях, в момент - шлях. Тому за час Δt тіло пройшло шлях і середня швидкість руху тіла за цей проміжок часу складе.

Чим менше проміжок часу Δt, тим точніше можна встановити, з якою швидкістю рухається тіло в момент t 0, так як рух тіло не може значно змінити швидкість за малий проміжок часу. Тому середня швидкість при прагненні Δt до нуля наближається до дійсної швидкості руху і в межі дає швидкість руху в даний момент часу t 0 (миттєву швидкість).

Таким чином,



Визначення 1. Миттєва швидкість прямолінійного руху тіла в даний момент часу t 0 називається границя середньої швидкості за час від t 0 до t 0 + Δt, коли проміжок часу Δt прагне до нуля.

Отже, щоб знайти швидкість прямолінійного нерівномірного руху в даний момент, потрібно знайти межу відносини збільшення шляху Δ до збільшенню часу Δt за умови тобто Лейбніц прийшов до відкриття диференціального обчислення під час вирішення завдання про побудову дотичної до будь-якої кривої, заданої своїм рівнянням.

Вирішення цього завдання має велике значення. Адже швидкість рухомої точки спрямована по дотичній до її траєкторії, тому визначення швидкості снаряда на його траєкторії, швидкості будь-якої планети на її орбіті зводиться, до визначення напрямку дотичної до кривої.

Визначення дотичній як прямий, що має з кривою тільки одну спільну точку, справедливе для кола, непридатне для багатьох інших кривих.

Нижче представлене визначення дотичній до кривої, не тільки відповідає інтуїтивному уявленню про неї, але і дозволяє фактично знаходити її напрям, тобто обчислювати кутовий коефіцієнт дотичної.

Визначення 2. Дотичній до кривої в точці М називається пряма МТ, яка є граничним положенням січної ММ 1, коли точка М 1, переміщаючись по кривій, необмежено наближається до точки М.



1.2 Визначення похідної

Зауважимо, що при визначенні дотичній до кривої та миттєвої швидкості нерівномірного руху, по суті, виконуються одні і ті ж математичні операції:

  1. Заданому значенню аргументу дають приріст і обчислюють нове значення функції, відповідне новому значенню аргументу.

  2. Визначають приріст функції, відповідне обраному приросту аргументу.

  3. Приріст функції ділять на прирощення аргументу.

  4. Обчислюють межа цього відношення при умові, що приріст аргументу прямує до нуля.

До граничним переходам такого типу призводять вирішення багатьох завдань. Виникають необхідність зробити узагальнення і дати назву цьому граничному переходу.

Швидкість зміни функції залежно від зміни аргументу можна, очевидно, охарактеризувати ставленням. Це відношення називається середньою швидкістю зміни функції на відрізку від до . Зараз потрібно розглянути межа дробу цього відношення при прагненні збільшення аргументу до нуля (якщо ця межа існує) являє собою деяку нову функцію від. Цю функцію позначають символами y ', похідною цієї функції так як вона отримана (зроблена) з функції Сама ж функція називається первообразной функцією по відношенню до своєї похідної

Визначення 3. Похідною функції в даній точці називають межу відношення приросту функції Δy до відповідного приросту аргументу Δx за умови, що Δx → 0, тобто





1.3 Загальне правило знаходження похідної

Операцію відшукання похідної деякої функції називають диференціюванням функції, а розділ математики, що вивчає властивості цієї операції, - диференціальним численням.

Якщо функція має похідну в точці x = a, то говорять, що вона дифференцируема у цій точці. Якщо функція має похідну в кожній точці даного проміжку, то говорять, що вона дифференцируема на цьому проміжку.

Визначення похідної не тільки з вичерпною повнотою характеризує поняття швидкості зміни функції при зміні аргументу, а й дає спосіб фактичного обчислення похідної даної функції. Для цього необхідно виконати наступні чотири дії (чотири кроки), зазначені в самому визначенні похідної:

Знаходять нове значення функції, представивши в дану функцію замість x нове значення аргументу: .

Визначають приріст функції, вичитуючи дане значення функції з її нового значення: .

Складають відношення приросту функції до приросту аргументу:.

Переходять до межі при і знаходять похідну:.

Взагалі кажучи, похідна - це «нова» функція, вироблена від даної функції за вказаною правилу.



1.4 Геометричний зміст похідної

Геометрична інтерпретація похідної, вперше дана в кінці XVII   в. Лейбніцем, полягає в наступному: значення похідної функції в точці x одно кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції в тій же точці x, тобто

Рівняння дотичної, як будь-якої прямої, що проходить через дану точку в даному напрямку, має вигляд - поточні координати. Але і рівняння дотичній запишеться так:. Рівняння нормалі запишеться у вигляді.



1.5 Механічний зміст похідної

Механічне тлумачення похідної було вперше дано І.   Ньютоном. Воно полягає в наступному: швидкість руху матеріальної точки в даний момент часу дорівнює похідній шляху по часу, тобто Таким чином, якщо закон руху матеріальної точки задано рівнянням, то для знаходження миттєвої швидкості точки в який-небудь певний момент часу потрібно знайти похідну і підставити в неї відповідне значення t.



1.6 Похідна другого порядку і її механічний зміст

Отримаємо (рівняння з зробленого в підручнику Лисичкин В. Т. Соловейчик І.Л. «математика» с. 240):

Таким чином, прискорення прямолінійного руху тіла в даний момент одно другої похідної шляху по часу, обчисленої для даного моменту. У цьому і полягає механічний зміст другої похідної.

1.7 Визначення і геометричний сенс диференціала

Визначення 4. Головна частина приросту функції, лінійна відносно приросту функції, лінійна відносно приросту незалежної зміною, називається диференціалом функції і позначається знаком d, тобто .

Диференціал функції геометрично зображається приростом ординати дотичної, проведеної в точці M (x; y) при даних значеннях x і Δx.

Обчислення диференціала - .

Застосування диференціала в наближених обчисленнях -, наближене значення приросту функції збігається з її диференціалом.

Теорема 1. Якщо дифференцируемая функція зростає (зменшується) у цьому інтервалі, то похідна цієї функції не негативна (не позитивна) в цьому інтервалі.

Теорема 2. Якщо похідна функція позитивна (негативна) в не якому інтервалі, то функція в цьому інтервалі монотонно зростає (монотонно убуває).

Сформулюємо тепер правило знаходження інтервалів монотонності функції

Обчислюють похідну даної функції.

Знаходять точки, в яких дорівнює нулю або не існує. Ці точки називаються критичними для функції

Знайденими точками область визначення функції розбивається на інтервали, на кожному з яких похідна зберігає свій знак. Ці інтервали є інтервалами монотонності.

Досліджують знак на кожному із знайдених інтервалів. Якщо на даному інтервалі, то на цьому інтервалі зростає, якщо ж , То на такому інтервалі убуває.

Залежно від умов завдання правило знаходження інтервалів монотонності може спрощуватися.

Визначення 5. Точка називається точкою максимуму (мінімуму) функції , Якщо має місце нерівність відповідно для будь-якого x з не якій околиці точки .

Якщо - точка максимуму (мінімуму) функції , То говорять, що (Мінімум) в точці. Максимум і мінімум функції об'єднують назва екстремум функції, а точки максимуму і мінімуму називають точками екстремуму (екстремальними точками).

Теорема 3. (Необхідний ознака екстремуму). Якщо є точкою екстремуму функції і похідна в цій точці існує, то вона дорівнює нулю: .

Теорема 4. (Достатня ознака екстремуму). Якщо похідна при переході x через a змінює знак, то a є точкою екстремуму функції .

Основні моменти дослідження похідної:

Знаходять похідну .

Знаходять всі критичні точки з області визначення функції.

Встановлюють знаки похідної функції при переході через критичні точки і виписують точки екстремуму.

Обчислюють значення функції в кожній екстремальній точці.



  1. Дослідження функцій за допомогою похідної

Завдання № 1. Обсяг колоди. Круглим діловим лісом називають колоди правильної форми без дефектів деревини з відносно невеликою різницею діаметрів товстого і тонкого решт. При визначенні обсягів круглого ділового лісу зазвичай застосовують спрощену формулу, де - Довжина колоди, - площа його середнього перерізу. З'ясуйте, завершується або занижується при цьому реальний обсяг; оціните відносну похибку.

Рішення. Форма круглого ділового лісу близька до усеченному конусу. Нехай - радіус більшого, кінця колоди. Тоді його майже точний обсяг (обсяг усіченого конуса) можна, як відомо, знайти по формулі. Нехай - Значення обсягу, обчислена за спрощеною формулою. Тоді;

, Тобто . Значить, спрощена формула дає заниження величини обсягу. Покладемо тепер. Тоді . Звідси видно, що відносна похибка не залежить від довжини колоди, а визначається відношенням. Оскільки при зростає на проміжку [1; 2]. Тому, а значить, відносна похибка не перевершує 3,7%. У практиці лісознавства така похибка вважається цілком допустимою. З більшою точністю практично неможливо виміряти ні діаметри торців (адже вони дещо відрізняються від кіл), ні довжину колоди, оскільки вимірюють не висоту, а твірну конуса (довжина колоди в десятки разів більше діаметру, і це не призводить до великих погрішностей). Таким чином, на перший погляд неправильна, але більш проста формула для об'єму усіченого конуса в реальній ситуації виявляється цілком правомірною. Багаторазово проводилися за допомогою спеціальних методів перевірки показали, що при масовому обліку ділового лісу відносна похибка при використанні даної формули не перевершує 4%.

Завдання № 2. При визначенні обсягів ям, траншей відер та інших ємностей, що мають форму усіченого конуса, в с / г практиці іноді користуються спрощеною формулою, де - Висота, - площі підстав конуса. З'ясуйте, завищується або занижується при цьому реальний обсяг, оцініть відносну погрішність при природному для практики умови: ( - Радіуси підстав,.

Рішення. Позначивши через справжнє значення обсягу усіченого конуса, а через значення, обчислене за спрощеною формулою, одержимо: , Тобто . Значить, спрощена формула дає завищення величини обсягу. Повторивши далі рішення попередньої задачі, знайдемо, що відносна похибка буде не більше 6,7%. Ймовірно, така точність допустима при нормуванні землекопальних робіт - адже ями не будуть ідеальними конусами, та й відповідні параметри в реальних умовах заміряють дуже грубо.

Завдання № 3. У спеціальній літературі для визначення кута β повороту шпинделя фрезерного верстата при фрезеруванні муфт з зубами виводиться формула, де. Так як ця формула складна, то рекомендується відкинути її знаменник і користуватися спрощеною формулою. За яких ( - Ціле число,) можна користуватися цією формулою, якщо при визначенні кута допускається похибка в?

Рішення. Точну формулу після нескладних тотожних перетворень можна привести до виду . Тому при використанні наближеною формули допускається абсолютна похибка, де. Досліджуємо функцію на відрізку [8, 50]. При цьому 0,06, тобто кут належить першій чверті. Маємо: . Зауважимо, що на даному проміжку, а значить, функція на цьому проміжку спадає. Оскільки далі , То при всіх розглянутих . Значить, . Так як радіан, то досить вирішити нерівність . Вирішуючи це нерівність підбором, знаходимо, що , . В силу того, що функція убуває, випливає, що.





Висновок

Застосування похідної досить широко, і його можна повністю охопити в роботі такого типу, проте я спробував розкрити основні базові моменти. У наш час, в зв'язку з науково-технічним прогресом, зокрема з швидкою еволюцією обчислювальних систем, диференціальне числення ставати все більш актуальними у вирішенні як простих, так і надскладних завдань.

Література

  1. В.А. Петров «Математичний аналіз у виробничих задачах»

  2. Соловейчик І.Л., Лисичкин В.Т. «Математика»

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
67.1кб. | скачати


Схожі роботи:
Застосування похідної при знаходженні межі
Застосування похідної та інтеграла на вирішення рівнянь і нерівностей
Задачі що приводять до похідної Визначення похідної її геометричний і механічний зміст Рівня
Економічний зміст похідної Використання поняття похідної в економіці
Темпeратура та застосування її в науці
Знаходження похідної функції
Задачі на використання похідної
Методика введення поняття похідної функції
Інтегровані типи д-р 1-го порядку розвязаних відносно похідної
© Усі права захищені
написати до нас