4. Якщо Д> 0, то рівняння має два різних кореня х ₁ =
і другий корінь х ₂ = .
За відповідних вихідних даних будь-який учень при вірному виконанні кроків алгоритму отримає шуканий результат (a = 1, b = 6, c = 5), то x ₁ = -5, x ₂ = -1). Очевидно, що виконання алгоритму може обриватися на другому кроці, якщо Д <0, то ми робимо висновок, що рівняння з такими даними не має коренів (наприклад: а = 7, b = 5, c = 3,).
- В будь-якому алгоритмі для кожного кроку (крім останнього) можна вказати єдиний (при цьому виборі вихідних об'єктів), безпосередньо наступний за ним крок, тобто такий, що між ними немає інших кроків. Тому кажуть, що алгоритм має властивість дискретності.
Таким чином, з характеристики основних властивостей алгоритму ясно, що алгоритм завжди являє собою припис про виконання деякої системи операцій, але не всяке розпорядження про виконання операцій є алгоритмом. Алгоритм вважається заданим, якщо однозначним чином вказані ті дії, які на кожному кроці повинні бути зроблені над об'єктом при всіх його можливих станах, щоб перевести його в потрібне стан. При цьому вважається, що всі можливі стани об'єкта відомі і передбачають однозначні реакції вирішального завдання на кожне з них [16].
Надалі в нашій роботі під алгоритмом будемо розуміти будь-яке розпорядження, яке задовольняє властивостям алгоритму.
§ 5 Класифікація алгоритмів.
Як і будь-яка множина об'єктів, безліч алгоритмів, можна класифікувати по різних підставах. Для того щоб з'ясувати, як навчити алгоритмом, необхідно представляти мету застосування даного алгоритму: перетворення об'єкта або його розпізнавання.
У курсі алгебри 7-9 класів більшість алгоритмів - обчислювальні, а, отже, пов'язані з перетворенням тих чи інших математичних об'єктів.
Завдання розпізнавання завжди є приватною по відношенню до задачі перетворення.
Таким чином, алгоритми з точки зору мети, що досягається за їх допомогою, можна розділити на 2 типи: алгоритм перетворення і алгоритм розпізнавання. При цьому алгоритми перетворення включають в себе операції розпізнавання, а алгоритми розпізнавання можуть включати в себе операції перетворення.
Як відрізнити такі алгоритми один від одного? Це можна зробити лише за характером мети, яка ставиться в процесі виконання завдання за допомогою алгоритму, за заключним результати, одержувані в результаті застосування алгоритму.
Якщо таким результатом є судження про приналежність вихідного об'єкта до певного класу, то даний алгоритм у цілому є алгоритмом розпізнавання, у противному випадку алгоритм є алгоритмом перетворення.
Приклад алгоритму розпізнавання за допомогою перетворення можна навести з галузі арифметики:
Наприклад, для того щоб визначити (розпізнавати), чи ділиться деяке число на 9, завдання перетвориться: шукається сума цифр числа. Щоб визначити число коренів рівняння 5х ² +6 х +1 = 0 перетворимо завдання: знайдемо дискримінант рівняння. Д = 36-20 = 16 Так як 16> 0, то рівняння має 2 різних кореня.
У будь-якому процесі розпізнавання, який здійснюється шляхом перетворення, тобто за допомогою деякої конструктивної діяльності, найважливішою операцією є зіставлення перетвореного об'єкта з деякими ознаками, заданими визначенням або яким-небудь іншим теоретичним твердженням.
Слід зазначити, що в шкільному курсі алгебри алгоритмів розпізнавання приділяється набагато менше уваги, ніж алгоритмам перетворення. Такий підхід недоцільний. Переважна більшість дій людини застосовується не просто до окремих конкретних предметів, а до предметів як до елементів деяких класів предметів, і тому набагато доцільніше виробляти форми поведінки стосовно об'єктів як представникам цілих класів. Тільки в цьому випадку з'являється можливість переносити поведінку з одного предмета на інший, не проходячи щоразу спеціальної стадії навчання. Але щоб таке перенесення поведінки став можливий, необхідно розпізнати, до якого класу належить об'єкт.
Одне ясно, що не здійснивши процесу розпізнавання або розпізнавши предмет помилково, учні не можуть здійснити його перетворення або воно буде неправильним.
Так, наприклад, в методиці математики виділяють три типи завдань на відсотки:
I. Знаходження відсотка від числа;
II. Знаходження числа за його відсотком;
III. Знаходження процентного відношення;
Вирішення всіх трьох типів задач можна звести роботи з формулою аb = c, де
а - «все», b - «відсоток, виражений в десяткового дробу», c - «частина». У завданнях I типу відомі змінні a і b, і потрібно знайти с. У завданнях II типу відомі - b і с, потрібно знайти а. Отже, в задачах третього типу відомі - а і с, і потрібно знайти b. Для того, щоб вирішити завдання на відсотки, необхідно розпізнати до якого з трьох перерахованих типів вона відноситься.
Спеціальне навчання процесам розпізнавання, перетворення і з'ясування можливостей їх алгоритмізації виступає, тому як важливе завдання, вирішення якої має суттєве значення для практики і теорії навчання.
§ 6 Етапи вивчення алгоритму в школі.
Слід розрізняти 2 сенсу, в якому може вживатися вираз «алгоритмізація навчання».
1. Під алгоритмізацією навчання розуміють алгоритмізацію діяльності вчителя; складання та використання алгоритмів навчання.
2. Алгоритмізація діяльності учнів, тобто не що інше, як навчання алгоритмам.
Відкриття алгоритмів вирішення математичних завдань призвело до корінної зміни у практиці навчання математики: алгоритмам стали навчати, і це в багато разів полегшило і прискорило оволодіння цим предметом. У той же час навчальний процес ні в якому разі не повинен і не може бути зведений лише до навчання алгоритмам.
У навчанні учнів алгоритмам можна йти різними шляхами:
1) Давати учням алгоритм у готовому вигляді. Такий шлях не є найкращим, але дозволяє економити час.
2) Набагато цінніше, коли учень відкриває відповідні алгоритми сам або з допомогою вчителя.
3) Підбір учителем таких вправ і завдань в ході вирішення, яких в учнів будуть формуватися потрібні системи операцій.
Формування алгоритмічного процесу йде більш успішно, коли ці різні шляхи з'єднуються.
При формуванні алгоритму виділяють три основні етапи [26]:
I. Введення алгоритму. Цей етап має на увазі наступне:
1) Актуалізація знань, необхідних для запровадження та обгрунтування алгоритму.
2) Відкриття алгоритму учнями під керівництвом вчителя.
3) Формулювання алгоритму.
II. Засвоєння
Відпрацювання окремих операцій, що входять до алгоритму і засвоєння їх послідовності.
III. Застосування алгоритму.
Відпрацювання алгоритму в знайомій і незнайомій ситуаціях.
Виділені етапи будуть проілюстровані у другому розділі роботи.
Таким чином, застосування алгоритмічного методу при навчанні математики усуває головний недолік підручників: процес розумової діяльності розчленовується на певне число досить простих елементарних операцій, засвоєння і розуміння яких для учнів буде менш трудомістким.
Частина 2
1 Особливості вивчення теми «Нерівності» в шкільному курсі математики
Матеріал, пов'язаний з нерівностями, становить значну частину шкільного курсу математики. Нерівності використовуються в різних розділах математики, при вирішенні важливих прикладних задач.
Нерівності самі по собі становлять інтерес для вивчення, оскільки саме з їхньою допомогою на символьному мовою записуються важливі завдання пізнання реальної дійсності. Як у самій математиці, так і в її застосуваннях з нерівностями доводиться стикатися не менш часто, ніж з рівняннями. Тема "Нерівності" пов'язана з усіма темами курсу алгебри. Наприклад, нерівності використовуються при вивченні властивостей функції (знаходження проміжків знакопостоянства функції, визначення монотонності і ін)
До приходу в школу діти набувають досвіду у поводженні з поняттями «більше», «менше», «не рівні». Тому пропедевтичне вивчення нерівностей має здійснюватися спільно з вивченням рівнянь.
З співвідношеннями «більше», «менше» між числами та знаками цих відносин діти знайомляться вже в 1 класі при вивченні чисел першого десятка. У початковій школі діти повинні навчитися порівнювати вже найпростіші числові вирази, наприклад, такі як: а +3 і а +1.
У початковій школі починається і вирішення найпростіших нерівностей, хоча терміни «рішення нерівності» і «вирішити нерівність» ще не вводиться. Наведемо приклад завдання, що пропонується в початковій школі.
Записати кілька значень букв, при яких вірно нерівність х <9.
У 5 класі вивчається порівняння натуральних, десяткових дробів.
Наприклад, порівняйте багатозначні натуральні числа 3421 і1803
Результат порівняння записується у вигляді нерівності з допомогою
Знаків «>» і «<».
У 6 класі для встановлення відносин «більше», «менше» на безлічі раціональних чисел вводиться поняття модуля числа. У зв'язку з цим розглядаються нерівності виду | х | ≤ а, | х-b | <b, | х-a | ≤ b. Їх рішення здійснюються за допомогою числової осі.
Тема "Нерівності" систематично вивчається в 7-8 класах. У неї включені наступні розділи: «Числові нерівності та їх властивості», «Почленне додавання і множення числових нерівностей», «Лінійна нерівність з однією змінною», «Система лінійних нерівностей з однією змінною».
У 8 класі починається вивчення різних способів доказу нерівностей. З метою підвищення доступності матеріалу розглядаються головним чином такі докази, які обмежуються методом порівняння з нулем різниці лівої і правої частин нерівностей. У зв'язку з рішенням лінійних нерівностей з однією змінною дається поняття про числові проміжках, з'являються і вводяться відповідні позначення. При вирішенні нерівностей використовуються властивості рівносильних нерівностей, які роз'яснюються на конкретних прикладах. Особливу увагу треба приділяти відпрацювання вміння вирішувати найпростіші нерівності виду ах <b.
Формування умінь розв'язувати нерівності виду ах ² + вх + с> 0, де а ≠ 0, здійснюється у 9 класі з опорою на відомості про графік квадратичної функції. Тут учні знайомляться з методом інтервалів. Вирішують цим методом дрібно - раціональні нерівності.
Слід особливо зупинитися на питанні про рівносильність нерівностей, так як деякі властивості числових нерівностей не можна бездумно переносити на нерівності, що містять змінну. Відомо, що при додаванні до обох частин числового нерівності будь-якого числа, отримуємо нову нерівність, рівносильну вихідному. Але при додаванні до обох частин нерівності будь - якого висловлювання може вийти нерівність нерівносильні даному.
При переході до функціональних нерівностей учні стикаються з двома важливими аспектами математичної освіти.
Перший аспект полягає в геометричному тлумаченні нерівностей, яке робить всі міркування гранично ясними. Однак не можна забувати, що висновок робиться не на основі креслення, а шляхом аналізу алгебраїчного виразу.
Другий аспект зводиться до різних прийомів докази. Найголовніший з них - розгляд різниці між двома частинами нерівності. Але існують і такі методи, як зведення доказуваного нерівності до рівносильними, яке здійснюється заміною даних виразів зворотним їм, використання методу від протилежного і методу математичної індукції.
Таким чином, нерівності є найбільш компактним, легко розглядаємим і доступним для учнів матеріалом, на якому відпрацьовуються складні математичні методи. Відзначимо ряд особливостей вивчення теми:
1) Як правило, навички вирішення нерівностей формуються на більш низькому рівні, ніж навички розв'язання рівнянь відповідних класів, так як теорія нерівностей складніше теорій рівнянь (при виконанні одного і того ж числа вправ техніка рішення нерівностей будь - якого класу буде нижче, ніж рівнянь відповідного класу; отже, якщо є необхідність формування міцних навичок вирішення нерівностей, то для цього потрібна більша кількість завдань).
2) Більшість прийомів рішення нерівностей полягає в переході від даного нерівності до рівняння і наступний перехід від знайдених коренів рівняння до безлічі рішень вихідного нерівності (теми, пов'язані з нерівностей, розташовані після тим, що відносяться до відповідних класів рівнянь).
3) У вивченні нерівностей велику роль відіграють наочно - графічні засоби (вивчення нерівностей залежить від якості вивчення функціональної лінії шкільного курсу - побудова графіків і графічне дослідження функцій).
Розглянемо введення алгоритму розв'язання нерівностей першого та другого ступеня з одним невідомим.
§ 2 Формування алгоритму «Рішення нерівностей першого ступеня з однієї невідомої»
Мета:
· Виробити вміння вирішувати нерівності першого ступеня з одним невідомим і системи лінійних нерівностей.
Розгляду лінійних нерівностей та їх систем передує детальне вивчення числових нерівностей та їх властивостей.
На відміну від властивостей числових рівностей, з якими учні знайомі ще з початкової школи, властивості числових нерівностей вони вивчають практично вперше. Властивості формулюються в загальному вигляді і досить суворо доводяться. Це часто викликає додаткові труднощі в учнів, так як вони тут вперше в алгебрі зустрічаються з теоремами.
Алгоритм рішення нерівності з невідомим складніше, ніж алгоритм розв'язання рівнянь, так як на останньому етапі рішення доводиться враховувати знак коефіцієнта при невідомому. Крім того, на відміну від рівняння нерівність має не окремі рішення, а, як правило, безліч рішень.
Рішення систем нерівностей з одним невідомим тісно пов'язане з числовими проміжками, з якими учні знайомляться вперше. Зображенню числових проміжків на координатній прямій потрібно приділити особливу увагу. Зокрема, можна запропонувати наступний алгоритм, який дозволить учням правильно відзначати проміжки, відповідні нерівностям (простим або подвійним) на координатній прямій.
Наприклад, дано нерівність а ≤ x <b
Потрібно відмітити відповідний проміжок на координатній прямій. Для цього скористаємося алгоритмом.
1. Якщо знак першого нерівності нестрогий, то точка буде зафарбованої → ставимо крапку на координатну пряму
(≤ (≥) → • → відзначаємо точку).
Якщо знак першого нерівності строгий, то точка буде виколоти → відзначаємо точку на координатній прямій
(<(>) → ο → відзначаємо точку)
2. Аналогічно для другого знака нерівності (якщо нерівність подвійне).
3. Відзначаємо область згідно знаку:
-Якщо знак менше, то відзначаємо всі крапки лежать лівіше даної точки (штрихуванням).
-Якщо знак більше, то відзначаємо всі крапки лежить правіше щодо цієї точки (штрихуванням).
4. Виділяємо загальну область (подвійна штриховка, це для подвійних нерівностей). Вправи на кожен етап роботи з цим алгоритмом наведені у другій частині роботи (практична частина).
Даний алгоритм використовують як складову частину при вирішенні нерівностей першого ступеня, системи нерівностей, знаходження області визначення і області значень.
У результаті вивчення теми учні повинні:
· Знати визначення нерівності та основні властивості нерівностей.
· Вміти вирішувати нерівності з невідомим і їх системи.
Специфічні дії:
a) складання різниці виразів стоять в лівих і правих частинах нерівностей;
b) виконання тотожних перетворень виразів;
c) встановлення знаку різниці виразів;
d) підведення під поняття «більше» і «менше»;
e) зображення проміжку, заданого його кінцями, на координатній прямій і запис проміжку «мовою» нерівностей;
f) алгоритм вирішення лінійних нерівностей з однією змінною;
g) визначення меж вираження, якщо змінні, що входять до нього, задані своїми кордонами.
«Ядерним» матеріалом теми є:
· Поняття: «<», «>» нерівність, рішення нерівності, рішення системи нерівностей, рівносильних нерівностей;
· Властивості числових нерівностей, рівносильних нерівностей;
· Операції над числовими нерівностями;
· Алгоритм рішення нерівності з однією змінною і рішення системи нерівностей;
Алгоритм рішення лінійних нерівностей з однією змінною і рішення систем лінійних нерівностей пропонується ввести індуктивно на конкретних прикладах, аналіз яких дозволяє вчителю разом з учнями, зробити узагальнення, сформулювати алгоритм.
Розглянемо формування алгоритму розв'язання нерівності з однією змінною.
Для побудови алгоритму як результату теоретичного узагальнення вирішення завдань може бути ефективно використана групова форма роботи на першому етапі побудови алгоритму.
Клас розділений на чотири групи. Кожній групі вчитель дає завдання - вирішити запропоноване нерівність (1 групі - під буквою а; 2 групі під буквою b і так далі). Порядок виконання дій описаний нижче.
a) x ∙ (x +1) +2 ∙ (x ² +3 x) +6> x ∙ (3 ∙ x +5)-x +9
b) 7 ∙ t ∙ (2 ∙ t-3) -18 ≥ (14 ∙ t +3) ∙ (t +2)
c) 3 ∙ x ∙ (2 ∙ x-5) +4 ≤ x ∙ (6 ∙ x-9) -2 ∙ (3 ∙ x +3)
d) (2 ∙ y +1) ² +2 <2 ∙ y ∙ (2 ∙ y +5) -6 ∙ y +5
Перший крок: спростіть вираз в кожній частині нерівності.
Другий крок: перенесіть члени нерівності містять змінну, в ліву частину, а числа - в праву частину з зміною знака на протилежний (на підставі якого властивості числових нерівностей ми це можемо зробити?).
Третій крок: приведіть подібні члени.
Четвертий крок: розділіть обидві частини нерівності на коефіцієнт при перемінної (використовуються властивості рівносильних нерівностей), отримаєте найпростіші нерівності:
a) x> 1;
b) t <-16,1;
c) немає рішень;
d) у - будь-яке рішення;
П'ятий крок: відзначте рішення на координатній прямій.
Аналіз рішення дозволяє записати алгоритм розв'язання лінійного нерівності 1 ступеня з однієї невідомої.
1. Розкрити дужки в обох частинах нерівності (якщо є дробові коефіцієнти, то нерівність звільнити від дробів).
2. Перенести складові, що містять змінну в одну частину, а не містять в іншу.
3. Привести подібні члени в кожній частині.
4. Розділити обидві частини нерівності на коефіцієнт при перемінної (з урахуванням властивостей равносильности при а ≠ 0).
5. Записати відповідь у вигляді найпростішого нерівності.
6. Відзначити відповідні проміжки на координатній прямій.
7. Записати числовий проміжок.
Алгоритм рішення нерівності виду ax> b, який є складовою частиною наведеного вище алгоритму, записується у вигляді схеми (рис. 1).
Розглянемо роботу з алгоритмом рішення лінійних нерівностей поетапно. На першому етапі корисно актуалізувати наступні знання: тотожні перетворення раціональних виразів, властивості числових нерівностей, зображення проміжків на координатній прямій, знаходження перетину та об'єднання проміжків. Після цього проводимо описану вище роботу і формулюємо сам алгоритм. На другому етапі відпрацьовуємо окремі операції, що входять до алгоритму (приведення подібних членів, рішення нерівностей при а> або ≤ 0) і їх послідовність.

a ≠ 0

b <0

Х-будь-яке число

Рішень немає

кінець

Початок ax> b

та

немає

немає

та

так ні

a> 0

та

	Рис 1

Третій етап може бути дуже різноманітним. Все залежить від рівня знань і вмінь учнів. Але в будь-якому випадку треба почати з елементарних завдань, а вже після формування досвіду вирішення лінійних нерівностей першого ступеня з однієї невідомої в учнів.

I. Етап (актуалізація знань)

а) Зобразіть на координатній прямій проміжки, відповідні нерівностей:
· Х ≥ 3,
· X <-5,
· X ≤ 2
b)
· -1.5 ≤ x ≤ 4,
· 2 <y <6.1,
· -3 <Z ≤ 9.2
c) Запишіть нерівності, відповідні ппромежуткам:
· [2; + ∞)
· (-3; + ∞)
· (- ∞; 4)
· (-5; 3]
· [-6; 8]
· (- ∞; + ∞)
2) Знайдіть перетин проміжків
· (1; 8) ∩ (5; 10)
· [-4; 4] ∩ [-6; 6)
· (- ∞; 10) ∩ (- ∞; 6]
3) Знайдіть об'єднання проміжків
· [7; 10] і (-3; 5]
· [3; +] і (8; +)
· (-; 3] і (-5; 16]
4) Запишіть у вигляді нерівності затвердження
· Сума чисел х і 17 більше 18;
· Різницю чисел 13 і х менше 2;
· Добуток чисел 17 і х не менше 3;
· Подвоєна сума чисел х і (-3) не більше 2;
· Полусумма чисел х і 3 не більше їх твори;
· Подвоєне твір чисел х і (-4) не менше їх різниці
5) Заповніть порожні місця таблиці

Нерівність	Зображення рішення	Запис рішення
3 <x <6	0 1	(3,6)
-2 ≤ x ≤ 4	x 0 1	...
7 <x ≤ 10	x 0 1	...; 10]
... X <5	x 0 1	[-3; ...
...	x 0 1	[4; + ∞)
-4 <X ... 3	x 0 1	...

II етап
1. Позбавтеся від дробових чисел у нерівності і де потрібно розкрийте дужки
·
·
·
·
·
2. Перенесіть члени з невідомими в одну частину, а відомі в іншу і приведіть подібні члени
·
·
·
·
·
3. Наведіть нерівність до виду x> p (або х ≥ р)
·
·
·
4.Найдіте відповідність
· 1) а)
· 2) b)
· 3) c)

· 4) d)

5. Знайдіть помилку у рішенні нерівності.
a) 5 · (3 +2 с)> 4-2 · c
15 +2 · c> 4-2 · c
2 · c +2 · c> 4-15
4 · c> -11
c> -11 / 4
b) 4 · (4-x) ≥ x +21
16-4 · x ≥ x +21
-4 · Xx ≥ 21-16
-5 · X ≥ -5
x ≥ -1
6. Вирішіть нерівності.
·
·
·
·
·

III етап
1.Решіте нерівності.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
2. При яких значеннях у вираз приймає негативне значення
a)
b)
c)
d)
3. За яких а значення дробу більше значення дробу
4. За яких х значення дробу більше значення різниці
дробів
5. Знайдіть натуральні рішення нерівності
a)
b)
6. Знайдіть позитивні рішення нерівності
a)
b)
7. Довжина сторони прямокутника 6 см. Якою має бути довжина іншого боку, щоб периметр прямокутника був менше ніж периметр квадрата зі стороною 4см.
8. Знайдіть область визначення вираження.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
9. Скільки залізничних платформ буде потрібно для перевезення 183 контейнерів, якщо на одній платформі можна розмістити не більше 5 контейнерів.
10. Одна сторона трикутника дорівнює 8 см., інша - 13см.
1) яким найменшим цілим числом сантиметрів може бути довжина третьої сторони?
2) яким найбільшим цілим числом сантиметрів може бути довжина третьої сторони?
11.Прі яких значеннях х точки графіка функції у = 3х +1.5 лежать вище точок графіка функції у =- 2х +1.
§ 3 Формування алгоритму «Рішення нерівностей другого ступеня з одним невідомим»
Мета:
· Виробити вміння вирішувати нерівності другого степеня з одним невідомим і системи квадратних нерівностей.
Рішення квадратних нерівностей - це традиційно відокремлена частина дослідження властивостей квадратичної функції. Наприклад, завдання про рішення нерівності х ^2-5х +6 <0 може бути переформульована в задачу про знаходження проміжків, на яких функція у = х ^2-5х +6 приймає негативні значення, а це легко вирішується за допомогою ескізу графіка. Цей спосіб фактично є строгим обгрунтуванням графічного способу.
Метод інтервалів є логічним продовженням рішення квадратних нерівностей. Він дозволяє вирішувати складніші нерівності, у яких ліва частина - многочлен будь ступінь, який надається у вигляді простих множників, або дріб, у якої чисельник і знаменник також многочлени, що розкладаються на множники.
У результаті вивчення теми учні повинні вміти:
· Вирішувати квадратні нерівності з однієї невідомої графічно і методом інтервалів
Специфічні дії:
1. Привид нерівності до квадратному увазі.
2. Рішення квадратних рівнянь.
3. Побудова графіків функцій (схематично).
4. Виконання тотожних перетворень.
5. Визначення знака виразу на відповідних проміжках.
6. Алгоритм розв'язання квадратних нерівностей з однією змінною.
«Ядерним» матеріалом теми є:
1. Поняття «<», «>» нерівність, рішення нерівності рішення системи нерівностей, рівносильних нерівностей;
2. Властивості числових нерівностей, рівносильних нерівностей;
3. Алгоритм розв'язання квадратних нерівностей з однією змінною і рішення системи нерівностей.
4. Властивості графіка квадратичної функції.
Розглянемо роботу з алгоритмом рішення нерівностей другого ступеня (графічно) поетапно. На першому етапі корисно актуалізувати знання: знаходження коренів квадратного тричлена, дискриминанта, зображення графіків квадратичних функцій (схематично). Після цього формулюємо сам алгоритм. На другому етапі відпрацьовуємо окремі операції, що входять до алгоритму: зображення графіків функцій, знаходження при яких значеннях х функція приймає позитивні, а за яких негативні значення. На третьому етапі застосовуємо алгоритм при вирішенні більш складних завдань.
I. Введення алгоритму.
Розглянемо введення алгоритму "рішення нерівностей другого ступеня з одним невідомим" (графічним методом) з використанням навчальних самостійних робіт.
1.Актуалізація знань
Навчальну самостійну роботу проводимо по новому матеріалу,
але перед цим повторимо раніше вивчені поняття, якими доведеться скористатися.

0 х -7 -2 0 х 0 х

1. у у у



а) Куди спрямовані гілки параболи?
b) Перетинає чи парабола вісь ох, якщо так то скільки разів?
с) За яких х парабола приймає позитивні значення?
d) За яких х парабола приймає негативні значення?
2. Зобразіть схематично графік функції.
· У = х ² +5 х-6
· У =- х ² +4 х-4
· У = 3х ² +4 х +8
· У = 0,1 х ² +3 х-6
3. Зобразіть схематично параболу, яка на
· Проміжку (- ∞; -3] убуває, а на проміжку [-3; + ∞) зростає;
· Проміжку (- ∞; 6] зростає, а на проміжку [6; + ∞) убуває;
4. При яких значеннях х, функція приймає позитивні значення
· F (x) =- x ² +4 x-2;
· F (x) = 3х ² +2 х-1;
5. При яких значеннях х, функція приймає негативні значення
· F (x) =- х ² +4 х-1;
· F (x) = 4x ² +2 x-1;
2. Відкриття алгоритму учнями під керівництвом вчителя.
Після цього починається робота з пояснювальним текстом. Кожен учень самостійно вивчає цей текст. Це передбачає активну роботу думки учня. Текст складений таким чином, щоб учні в міру можливостей самостійно виводили формули, знаходили потрібні прийоми розв'язання задачі.
Якщо в лівій частині нерівності коштує квадратний тричлен, а в правій - нуль, то така нерівність називають квадратним. Наприклад, нерівності
2х ^2-3х +1 ≥ 0,-3х2 +4 х +5 <0 є квадратними.
Рішенням нерівності з одним невідомим називається те значення невідомого, при якому ця нерівність звертається до правильне числове нерівність.
Вирішити нерівність - знайти всі його рішення або встановити, що їх немає.
Рішення нерівності другого степеня з однією змінною можна розглядати як знаходження проміжків, на яких відповідна квадратична функція приймає позитивні і негативні значення.
Наприклад, вирішимо за допомогою властивостей графіка квадратичної функції нерівність 2х ^2-х-1 ≤ 0
Графік квадратичної функції у = 2х ^2-х-1 - парабола, гілки якої спрямовані вгору.
Знайдемо точки перетину цієї параболи з віссю ох, для цього вирішимо квадратне рівняння 2х ^2-х-1 = 0. Корені рівняння х ₁ = _1, х ₂ =- 0.5
Отже парабола перетинає вісь ох в точках х ₁ = _1, х ₂ =- 0.5
Покажемо схематично як розташована парабола в координатній площині.
 

1

у

 

                             
                             

-0.5

х
                                                     
З малюнка видно, що нерівності 2х ^2-х-1 ≤ 0 задовольняють ті значення х, при яких значення функцій дорівнюють нулю або негативні тобто ті значення х при яких точки параболи лежать на осі ох або нижче цієї осі. З малюнка видно, що цими значеннями є всі числа з відрізка
[-0.5; 1].
Відповідь: -0.5 ≤ х ≤ 1
Графік цієї функції можна використовувати і при вирішенні інших нерівностей, які відрізняються від цього тільки знайомому нерівності, з малюнка видно, що:
1) рішеннями нерівності 2х ^2-х-1 <0 є числа інтервалу -0.5 <х <1
2) рішеннями нерівності 2х ^2-х-1> 0 є всі числа проміжків
х <-0.5 і х> 1.
3) рішеннями нерівності 2х ^2-х-1 ≥ 0 є всі числа проміжків
х ≤ -0.5 і х ≥ 1.
Після роботи з пояснювальним текстом учні отримують «нульові» завдання. Вони призначені для самоконтролю і до них пропонуються правильні відповіді. Якщо відповіді учнів не збіглися з даними відповідями, то доведеться повторно прочитати пояснювальний текст і знову виконати «нульові» завдання, усунувши помилки.
1 ⁰ Вирішіть нерівності:
а) 4х ^2-5х +6 х <0,2 (10х ^два +15)
1. Наведіть нерівність до квадратному увазі.
2 З'ясуйте чи має вираз, що стоїть в лівій частині коріння.
(Розв'яжіть рівняння, прирівнявши вираз в лівій частині до нуля.)
Заповніть таблицю

	Д> 0	Д <0	Д = 0
Кількість коренів
Знайдіть і позначте коріння на числовій осі (Коріння розбивають числову вісь на проміжки)
Зобразіть схематично параболу
Виберіть проміжки, в яких вираз має необхідний знак, і запишіть відповідь.

Аналогічно вирішите нерівності
b) х ² +2 x +1 ≥ 0 (Заповніть таблицю)
c)-х ² + х-1 ≥ 0 (Заповніть таблицю)
3. Формулювання алгоритму.
2 ^0. Сформулюйте етапи рішення квадратних нерівностей (графічним методом).
Відповіді:
1. а) 1 <х <1.5
b) х - будь-яке число;
c) немає рішення.
2. Алгоритм розв'язання квадратних нерівностей з однією змінною (графічним методом)
1.Перенесіте всі складові в ліву частину і вирішите рівняння, прирівнявши вираз в лівій частині до нуля (знайдіть дискримінант квадратного тричлена, і з'ясуйте, чи має тричлен коріння).
2. Якщо тричлен має коріння, то відзначте їх на осі абсцис і через зазначені точки проведіть схематично параболу гілки якої спрямовані вгору при а> 0 або вниз при а <0, якщо тричлен не має коренів, то схематично зобразіть параболу, яка розташована у верхній півплощині при а> 0 або в нижній півплощині при а <0.
3. Знайдіть на осі ОХ проміжки, для яких точки параболи розташовані вище осі ох (якщо ах ² + вх + с> 0) або нижче осі ох (якщо ах ² + вх + с <0).
4.Запішіте відповідь, взявши ці проміжки в об'єднання.
II Засвоєння.
Складовою частиною роботи з алгоритмом є система вправ, призначених для усвідомлення учнями досліджуваного матеріалу, більш глибокого його засвоєння, формування необхідних понять. По ходу виконання вправ в задачах даються додаткові роз'яснення, а до найбільш важким - відповіді.
1. Наведіть нерівності до квадратному увазі
1) у ² +5 у ^2-3у> 5 (у +1)
2) 0.2 (z +4) -0.8 ≥ 1.2z +2
3) 6 + m ² + m <m (2m ² -6)
2. (Усно) Використовуючи графік функції у = ах ² + вх + с (див рис). зазначити, при яких значеннях х ця функція приймає позитивні значення; негативні значення; значення рівні нулю.

-2 0 х -3 -1 0 0 х а) в) c)

у у у

0 2 5 х 0 х 0 х

д) е) ж)

-3
3. Побудувати графік функції f (x) (схематично). Визначити за графіком значення х при яких функція приймає позитивні значення, негативні значення.
1)
2)
3)
4.Решіте графічно нерівності
1)
2)
3)
4)
4. Знайдіть, при яких значеннях х тричлен
· приймає позитивні значення;
· приймає негативні значення;
5. Вирішіть нерівності.
a) х ² <16;
b) х ² ≥ 3;
c) 0,2 х ^2> 1,8;
d)-5х ² ≤ х.
6.Найдіте безліч рішень нерівностей:
a) 3х ⁺² +40 х +10 <-х ² +11 х +3;
b) 9х ^2-х +9 ≥ 3х ⁺² +18 х-6;
c) 2х ² +8 х-111 <(3х-5) (2х +6).
7. Доведіть, що при будь-якому значенні змінної вірно нерівність:
a) 4х ² +12 х +9 ≥ 0;
b)-5х ² +8 х-5 <0.
III.Прімененіе алгоритму
На цьому етапі роботи з алгоритмом завдання пропонуються аналогічні розглянутим, але з поступовим ускладненням. У ході вирішення вчитель перевіряє правильність розуміння учнями вивченого питання, уточнює формулювання, роз'яснює допущені помилки.
1.Решіте нерівність.
1)
2)
3) 2x (3x-1)> 4x ² +5 x +9
4) (5x +7) (x-2) <21x ^2-11x-13
2. Знайдіть спільне рішення нерівностей х ² +6 х-7 ≤ 0 і х ^2-2х-15 ≤ 0
3.Докажіте, що:
· Х ² +7 х +1>-x ² +10 x-1 при будь-якому х;
·-2х ² +10 х <18-2x при х ≠ 3.
4. Одна сторона прямокутника на 7 см більша за іншу. Який може бути сторона, якщо площа прямокутника менше 60 см ^2.
5. Знайдіть область визначення функції.
· у = 12х-3х ²
· У = 1 / 2х ^2-12х +18
Після того як учні познайомилися з графічним методом, пропонується метод інтервалів - як ще один із способів розв'язання квадратних нерівностей.
Формування алгоритму розв'язання квадратних нерівностей з одним невідомим (методом інтервалів) можна здійснити аналогічним чином.
Алгоритм рішення нерівності другого ступеня c одним невідомим (методом інтервалів).
1. Розкрийте дужки в обох частинах нерівності (якщо є дробові коефіцієнти, то нерівність звільнити від дробів).
2. Перенесіть всі складові в ліву частину, приведіть подібні члени (якщо потрібно).
3. Вирішіть рівняння, прирівнявши вираз в лівій частині до 0 (знайдіть дискримінант і з'ясуйте, чи має тричлен коріння).
4.Найденние корені рівняння нанесіть на числову вісь. Ці корені розбивають числову вісь на проміжки, на кожному, з яких вираз, що стоїть в лівій частині, зберігає знак.
5. Виберіть на кожному з проміжків яке - небудь значення (пробну точку) і визначте знак вираження в цій точці.
6. Виберіть проміжки, в яких вираз має необхідний знак, і запишіть відповідь, взявши їх в об'єднання.
1. Актуалізація знань
1. ах ² + вх + с = 0
1) Вирішіть квадратне рівняння.
2) Розкладіть ліву частину рівняння за формулою ах ² + вх + с = а (х-х ₁₎ (х-х _2), де х _1, х ₂ - корені даного рівняння.

2.Найдіте корені рівняння, розкладіть рівняння по корінню, відзначте коріння на числовій осі.
·
·
3.Разложіте многочлен на множники
·
·
II Засвоєння
1. Зведіть наступні нерівності до квадратного.
1)
2)
3)
2. Знайдіть при яких значеннях х тричлен
· приймає позитивні значення;
· приймає негативне значення;
3. Вирішіть нерівності

4. Довжина прямокутника на 5 см. більше ширини. Яку ширину, повинен мати прямокутник, щоб його площа була більше 36см ^2.
5. При яких значеннях х функція у = - х ² + 8х + 2 приймає значення більше 9.
6. Розкладіть многочлен на множники.
·
·
·
7. Вирішіть нерівність методом інтервалів.
·
·
·
·
·
·
8. Знайдіть область визначення вираження.
1)
2)
9. Вирішіть нерівність
1)
2)
3)
III.Прімененіе алгоритму
1. Вирішіть нерівність.
1)
2)
3)
4)
2. Знайдіть спільне рішення х ² +6 х-7 ≤ 0 і х ^2-2х-15 ≤ 0
3.Решіте систему нерівностей.
1)
2)
3)
4.Катер має не більше ніж за 4 години пройти за течією річки 22,5 км і повернутися назад. З якою швидкістю щодо води повинен йти катер, якщо швидкість течії дорівнює 3км / ч.
5.Решіте нерівність методом інтервалів.
1)
2)
3)
6.Решіте нерівність.
1)
2)
3)
§ 4 Дослідне викладання.
Факультативне заняття у дев'ятому класі (рішення нерівностей з параметром першого ступеня з однієї невідомої).
Мета:
застосувати алгоритмічний метод при формуванні вмінь та навичок у вирішенні лінійних нерівностях з параметрами.
Завдання:
· Розширити кругозір учнів;
· Виховання уваги, акуратності, самостійності;
· Здійснення взаємозв'язку теорії і практики;
· Розвиток пам'яті, логічного мислення.
Рішення задач з параметрами завжди викликає великі труднощі в учнів. Причому часто учні відчувають психологічні труднощі, «бояться» таких завдань, так як не бачать зв'язку в їх вирішенні з рішеннями лінійних нерівностей з однією змінною.
Вивчення лінійних нерівностей з параметром першого ступеня з однієї невідомої не можливо без уміння вирішувати лінійні нерівності з однією змінною. Так як факультатив проводився у 9 класі, а лінійні нерівності вивчалися у восьмому класі, то виникла необхідність актуалізувати знання за рішенням лінійних нерівностей, згадати етапи їх вирішення. Учням можна запропонувати наступне завдання.
Вирішіть нерівність 2 (х +5) -3 ≥ 4 +3 х
Все вирішують у себе в зошитах, а один учень вирішує біля дошки. Запис веде в два стовпчики. Рішення в одному стовпчика, а в іншому записують пояснення щодо своїх дій.

2х +7 ≥ 4 +3 х Розкрили дужки в обох частинах нерівності
2х-3х ≥ 4-2 Перенесли складові, що містять змінну в одну
частина, а не містить в іншу.
-Х ≥ 2 Привели подібні члени в кожній частині.
х ≤ -2 Розділили обидві частини нерівності на коефіцієнт при
змінної (враховуючи його знак!).

-2 Х

Відзначили відповідні проміжки на
координатної прямої.
х (- ∞; -2] Записали числовий проміжок
Після того як повторили етапи рішення лінійних нерівностей з однією змінною, вчитель пропонує на дошці докладний розбір рішення нерівності з параметром. Потім учні разом з учителем формулюють алгоритм розв'язання лінійних нерівностей з параметром.
Приклад 1. Розглянемо розв'язок нерівності (а-4) ∙ х <12
Щоб знайти х, обидві частини нерівності хочеться розділити на (а-4). Однак тепер важливо позитивно, негативно або дорівнює нулю вираз (а-4).
Визначимо знак вираження

(А-4)

а

4

Розглянемо три випадки:
a) а-4 = 0
b) а-4> 0
c) а-4 <0
1) якщо а-4 = 0 а = 4, то нерівність прийме вигляд 0х <12, яке справедливо для всіх х R
2) a-4> 0 a> 4, то розділимо обидві частини нерівності на позитивне вираження (а-4), не змінюючи знак нерівності, отримаємо х> (Використовуємо властивість числового нерівності).
3) a-4 <0 a <4, то розділивши обидві частини нерівності на негативне вираження і помінявши знак нерівності, отримаємо х < .
Відповідь:
якщо а = 4, то x R;
якщо а> 4, то x> ;
якщо а <4, то x < .
Таким чином, після розібраного прикладу вчитель формулює алгоритм, спираючись на знання та вміння, учнів про рішення лінійних нерівностей з однією змінною.
1. Розкрити дужки в обох частинах нерівності (якщо є дробові коефіцієнти, то нерівність звільнити від дробів).
2. Перенести складові, що містять змінну в одну частину, а не містять в іншу.
3. Привести подібні члени в кожній частині та отримати один з 4 видів нерівностей А (а) х <B(a) (**), А(а)х≤B(a), А(а)х> B (a), А (а) х ≥ B (a), де х-змінна, А (а) і В (а) - функції параметра а.
4. Розглянути три випадки:
1) Знайти а, при яких А (а) = 0, підставити в нерівність (**) замість параметра а знайдені рішення і вирішити відповідні нерівності.
2) Знайти а, при яких А (а)> 0, розділити нерівність (**) на А (а), не змінюючи його знак.
3) Знайти а, при яких А (а) <0, розділити нерівність (**) на А (а), помінявши його знак.
5. Записати відповідь.
Приклад 2. вирішити нерівність

-1

3-а ∙ х ≥ х х + а ∙ х ≤ 3 х ∙ (1 + а) ≤ 3
1) 1 + а = 0 а =- 1
Підставляємо в нерівність 0 ∙ х ≤ 3, х R.
2) 1 + а> 0 а> -1
х ≤
3) 1 + а <0 а <-1
x ≥
Відповідь: При а =- 1, то x R;
а> -1, то x ≤ ;
а <-1, то x ≥ .
Приклад 3.
х ∙ а ² ≤ а + х х ∙ (а ² -1) ≤ а
1) а ² -1 = 0 (А-1) (а +1) = 0 а = 1 або а =- 1

1

-1

а = 1; а = -1; х ∙ 0 ≤ 1 невірно
2) а ² -1> 0 а> 1 або a <1, то x ≤
3) а ² -1> 0 a , То x

Відповідь: а = 1, то x R;
а = -1, то немає рішення;
, То x ≤ ;
, То x .
Приклад 4.
2а ∙ (а-2) ∙ х а-2
1) 2а ∙ (а-2) = 0 а = 0 чи а = 2
а = 0 х ∙ 0 -2 Вірно

0

2

а = 2 х ∙ 0 0 невірно
2) 2а ∙ (а-2)> 0 а ,
то x
3) 2а ∙ (а-2) <0 , То х
Відповідь:
а = 0, то x R;
а = 2, то немає рішення;
а , То х ;
, То х .
Приклад 5.
(А ² -9) ∙ х а +3

-3

3

1) а ^{2 до 9} = 0
а = 3 і а =- 3
а = 3 0х 6 вірно;
а =- 3 0х 0 вірно;
2) ;
3) ;
Відповідь:
а = 3, а =- 3 то х R;
, То ;
, То ;
Приклад 6.
а ² х-а ∙ х> a-1 x ∙ (a ^2-a)> a-1 x ∙ (a ∙ [a-1])> a-1
1) a ∙ [a-1] = 0 a = 0 і а = 1

0

1

а = 0 0 ∙ х> -1 вірно
а = 1 0 ∙ х> 0 невірно
2) ; Х>
3) а ; Х <
Відповідь:
а = 0, то x R;
а = 1, то немає рішення;
a , То х> ;
, То х < .
Приклад 7.
а ² ∙ х +4 а ∙ х-а-4 ≤ 0
Відповідь:
а = 0, а =- 4 то х R;
, То ;
, То .
Приклад 8.

Відповідь:
a <-2 а = 2, то немає рішення;
а , То х < ;
, То х> .
Приклади для самостійного рішення:
1) 2 ∙ а ∙ х +5> а +10 ∙ x;
2) a ∙ x + x +1 <0;
3) x +1 ≤ a ∙ x + a ^2;
4) a ∙ x +16 ≤ a ² -4 ∙ x;
5) m ∙ x> 1 +3 ∙ x;
6) ;
7) ;
8) (x-1) ∙ (a2-1)> 5-4 ∙ a;
9) b-3 ∙ b +4 ∙ b ∙ x <4 ∙ b +12 ∙ x;
Висновки:
Факультатив "Рішення нерівностей з параметром першого ступеня з однієї невідомої" був проведений у 9 класі в школі № 52 м. Кирова. Мета даного факультативу була досягнута. Застосування алгоритмічного методу дозволило зробити виклад даної теми більш доступним, учні навчилися вирішувати лінійні нерівності з параметром усвідомлено.
Висновок
У ході дослідження були вирішені такі завдання:
1) Вивчено навчально-методична література щодо застосування алгоритмічного методу в школі;
2) Розглянуто такі питання, пов'язані з алгоритмічним методом: історія виникнення алгоритму; визначення алгоритму, його властивості, основні етапи алгоритмічного процесу і класифікація алгоритмів.
3) Розроблено методику формування алгоритмів "Рішення алгебраїчних нерівностей 1 і 2 ступеня з одним невідомим".
4) Показано як алгоритмічний метод може застосовуватися при вирішенні лінійних нерівностей з параметром на факультативному занятті.

Література
1. Алгебра: Учеб. Для 7 кл. / Алімов Ш.А., Ю.М. Колягін, Ю.В. Сидоров та ін - М: Освіта, 1999.
2. Алгебра: Учеб. Для 7 кл. загальноосвітніх установ / За редакцією С.А. Теляковського - М: Освіта, 2002.
3. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. / Алімов Ш.А. ., Ю.М. Колягін, Ю. В. Сидоров і ін - М: Освіта, 1991.
4. Алгебра: Учеб. Для 8 кл. загальноосвітніх установ / За редакцією С.А. Теляковського - М: Освіта, 1996.
5. Алгебра: Учеб. Для 9 кл. / Алімов Ш.А. ., Ю.М. Колягін, Ю. В. Сидоров і ін - М: Освіта, 1992.
6. 4. Алгебра.8 класс. / Под ред. Виленкина Н.Я. - М: Освіта, 1997.
7. 5.Алгебра.9 класс. / Под ред. Теляковського С.А. - М: Освіта, 1994.
8. 6.Алгебра у 8 кл: Методичний посібник для вчителів - М: Освіта, 1977.
9. 7.Алгебра в 9 кл: Методичний посібник для вчителів - М: Освіта, 1978.
10. Бочарова О. Урок застосування властивостей лінійних нерівностей з однією змінною. / / Математика в школі - 2002 - № 7 - с. 40 - 42.
11. Віленкін Н.Я., Жохів В.І., Чесноков А.І. Математика: Підручник для 5 класу .- М: Мнемозина, 1999.
12. Галицький М.Л., Гольдман О.М., Завіч Л.І. Курс алгебри 8-го класу в задачах-Львів: Журнал «Квантор», 1991.
13. Горбачов В.І. Загальні методи рішення рівняння і нерівності з параметрами не вище 2 ступеня. / / Математика в школі - 2000 - № 2 - с. 61-68.
14. Башмаков М.І. Рівняння та нерівності - М: Наука, 1971.
15. Богушевської К.С., Сікорський К.Л. Збірник завдань з математики для повторення.: Посібник для вчителів 5-8 класів середньої школи-М: Учпедгиз, 1955.
16. Варпаховський К.М. Елементи теорії алгоритмів .- М., 1997.
17. Горнштейн П.І., Полонський В.Б., Якір М.С. Завдання з параметрами. - Київ
18. Єфремов Д.М. Алгоритми .- С.-Петербург, 1993.
19. Завдання з математики: Рівняння і нерівності: Довідковий посібник. / Вавілов В.В. -М: Наука, 1988.
20. Здоровенко М.Ю.
21. Косівський М.А. Основи теорії елементарних алгоритмів. - М.: 1987.
22. Королева Т. Математичний тренажер з алгебри для 7 - 9 класів. / / Математика в школі - 2001 - № 8 - с.12-30.
23. Коровкін П.П. Нерівності М: Держ. вид-во технтко-теоретич. лит., 1951.
24. Кузнєцова Л. Методичні вказівки до теми "Нерівності" / / Математика в школі - 2002 - № 6 - с.22-32.
25. Кривоногов В. Квадратні нерівності та рівняння. / / Математика - 2002 - № 3 (16-22 січня) - с.15-19.
26. Лабораторні та практичні роботи з методики викладання математики. / Под ред. Лященко Є.І. - М: Освіта, 1988.
27. Ланда Л.М. Алгоритмізація в навчанні .- М.: Просвещение, 1966.
28. Математика. Арифметика. Алгебра. Аналіз даних 8 кл: підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. / За редакцією Г.В. Дорофєєва - М: Дрофа, 1998.
29. Математика. Арифметика. Алгебра. Аналіз даних 9 кл: Підручник для загальноосвітніх навчальних закладів. / За редакцією Г.В. Дорофєєва - М: Дрофа, 1998.
30. Математика: Підручник для 5 класу / За ред. Дорофєєва Г.В., Шаригіна І.Ф. - М.: Просвещение, 1994.
31. Методика викладання математики в середній школі. / Под ред. Мішина В.І. - М.: Просвещение 1987. Талочкін П.Б. Нерівності й рівняння. - М.: Просвещение, 1970.
32. Мордкович А.Г. Алгебра 8 кл. : Задачник для загальноосвітніх установ. - М.: Мнемозина, 2001.
33. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 8 кл: Підручник для загальноосвітніх установ - М: Мнемозина, 2002.
34. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл: Задачник для загальноосвітніх установ - М: Мнемозина, 2000.
35. Мордкович А.Г. та ін Алгебра 9 кл: Підручник для загальноосвітніх установ - М: Мнемозина, 2000.
36.Мордковіч А.Г. Алгебра: Методичний посібник для вчителів .- М: Мнемозина, 1997.
37. Невяжскій Г.Л. Нерівності. : Методичний посібник для вчителів. - М., 1997.
38. Психологія. / Под ред. Ковальова Л.І., Степанова М.П., ​​Шабаліна Г.Т.,
Талочкін П.Б. Нерівності й рівняння. - М.: Просвещение, 1970
39. Симонов А. Дидактичні матеріали для 8-9 класів з поглибленим вивченням математики. / / Математика в школі - 2002 - № 7 - с.5-10.
40. Факультативний курс з математики: Навчальний посібник для 7-9 класів середньої щколу / сост. Нікольська І.Л. - М.: Просвещение, 1991.