Заперечення й антитези в E-структурах

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Заперечення й антитези в E-структурах

Коли мова йде про літералах міркування, то питання про їх запереченнях особливих труднощів не викликає. Якщо ми говоримо «Не A» або «Неможливо A», де A є літерали, то маємо на увазі доповнення відповідного безлічі A в деякому універсумі. Більш складний відповідь на питання, що є з точки зору E структур запереченням цього судження. І тим більше непростий є математична модель заперечення для міркування, що містить зв'язну сукупність суджень.

Розглянемо спочатку, як вирішується питання з запереченнями в математичній логіці. Мова математичної логіки підпорядковується строгим законам синтаксису. Ці, по правді сказати, не дуже прості для вивчення закони нам для розуміння подальшого викладу знати необов'язково. Важливо те, що весь різноманітний і неозорий набір синтаксично правильних пропозицій, висловлених на мові математичної логіки, можна представити як безліч формул. Формули можуть бути простими і складними, але для кожної формули існує єдине заперечення, яке виражається за допомогою приписування логічної зв'язки «не» перед формулою. Наприклад, якщо вихідна формула у нас позначена як F, то її запереченням є формула, яка позначається як Ø F (або в деяких джерелах як ). Заперечення формули теж є формулою, і для цих двох формул повинні дотримуватися два закони (співвідношення):

1) формула F Ù - Безумовно помилкова формула;

2) формула F Ú - Безумовно істинна формула (тавтологія або теорема).

Тут у нас знаками Ù і Ú позначені відповідно логічні зв'язки "І" (кон'юнкція) і "АБО" (диз'юнкція). Ці закони мають в логіці відповідні назви: закон непротиріччя і закон виключеного третього, і вони до того ж однозначно визначають властивості заперечення. З них, зокрема, випливає, що для будь-якої формули може бути тільки одне заперечення.

З урахуванням цих законів неважко побачити схожість між запереченнями в математичній логіці та доповненнями в алгебрі множин. В алгебрі множин відповідні закони виражені для довільного безлічі S у вигляді двох співвідношень:

S Ç = Æ і 2) S È = U.

Тут у нас пусте безліч відповідає в логіці безумовно помилковим твердженням, а в разі, якщо відповідне безліч одно універсуму, це означає, що відповідне логічне вираження безумовно правдиве.

Щоб знайти більш тісний зв'язок між логікою та алгеброю множин, розглянемо поняття «підстановка» в математичній логіці. Зазвичай кожна формула містить певну кількість змінних, замість яких можна підставити якісь константи (наприклад, змінної може бути "книга в бібліотеці", а константою - якась конкретна книга). Якщо у формулі одна або кілька змінних, і всі ці змінні замінюються константами, то сукупність цих констант та їх співвіднесеність з відповідними змінними називається підстановкою даної формули. Якщо дана підстановка характеризується тим, що формула, в якій всі змінні замінені відповідними константами, є істинною формулою, то така підстановка називається виконує підстановкою даної формули.

При інтерпретації формул математичної логіки, коли ми розглядаємо кожну логічну формулу як безліч виконують підстановки, виявляється, що заперечення формули повністю відповідає додатком алгебри множин. Наприклад, логічна формула виражає поняття "безліч пар всіх цілих чисел X та Y, сума яких дорівнює 100". Тоді при виборі відповідного універсуму, наприклад, "множина всіх пар цілих чисел", запереченням цієї формули буде поняття "множина всіх таких пар, сума яких не дорівнює 100". При таких умовах підстановка (це означає, що X = 34, а Y = 66) в нашу формулу буде виконує підстановкою, а підстановка - ні. Тобто для формул з декількома змінними виконують підстановки можна представити як деякі послідовності (або кортежі) з елементів, а саму формулу - як безліч таких кортежів.

Розглянемо це відповідність більш докладно. Уявімо алгебру множин, елементами якої є всілякі підстановки для заданої у формулі сукупності змінних. Таких підстановки може бути нескінченна кількість (наприклад, коли областю значень хоча б однієї змінної є нескінченний натуральний ряд чисел), але суть від цього не змінюється. Кожну формулу, що містить заданий безліч змінних, можна представити як деяку множину виконують підстановки для цих змінних. Тоді безумовно помилкова формула в цьому випадку означає формулу, для якої виконують підстановки не існує (наприклад, формула виражає поняття "безліч всіх простих чисел, останньою цифрою яких є 6"), а формула, в якій будь-яка підстановка є виконує підстановкою, і яка в силу цієї властивості є тавтологією або теоремою, відповідає універсуму цієї алгебри множин. Відповідно заперечення заданої формули означає формулу, в якій виконують підстановками є всілякі елементи нашого універсуму, які не є виконуючими підстановками вихідної формули. Так що зв'язок формул математичної логіки з законами алгебри множин очевидна: довільна формула відповідає деякому підмножині універсуму підстановки, які для неї є виконують, безумовно помилкова формула - пустому безлічі виконують підстановки, а тавтологія або теорема - універсуму.

При переході до E-структурам виникає проблема відповідної інтерпретації. Якщо в математичній логіці заперечення формули також є формулою, то в E структурах формальне заперечення, тобто приєднання знака заперечення або доповнення до відповідної E-структурі або до окремого судженню, не є судженням. Наприклад, формальним запереченням судження «Всі равлики мовчазні» буде пропозиція «Неправильно, що всі равлики мовчазні». Ця пропозиція можна виразити у вигляді формули обчислення предикатів, але воно за формою не є судженням E-структури. Насправді в цьому випадку запереченням буде не одне, а деяке безліч суджень.

У сучасній логіці з деяких пір стали багато уваги приділяти "некласичних" логікам, в яких в тій чи іншій мірі не дотримуються закони класичної логіки. Серед них досить поширені логіки, у яких для однієї формули допускається не одне, а більше різних заперечень. Мотиви такої тенденції начебто зрозумілі. Наприклад, судження "Всім A не притаманне B" начебто "заперечує" судження "Всім A притаманне B", але в строгому сенсі запереченням не є, тому що воно не еквівалентно правильному заперечення "Невірно, що всім A притаманне B". Це заперечення не тільки включає в себе судження "Всім A не притаманне B", а й такі, як "Деяким A не притаманне B" і "Усім не A притаманне B".

Деякі фахівці з логікою (до них відноситься і автор даної роботи) вважають, що використання поняття "заперечення" для позначення різних сутностей вносить непотрібну плутанину в логіку. Щоб уникнути цієї неоднозначності, будемо розрізняти заперечення й антитези. Сенс заперечення при цьому залишається колишнім, тобто в повній відповідності з законами класичної логіки.

Антитезою судження будемо називати таке судження, яке при з'єднанні з початковим судженням викликає колізію парадоксу.

Наприклад, якщо у нас вихідним судженням є пропозиція «Все жирафи - хижаки», то в цьому випадку його антитезою є судження «Всі жирафи - не хижаки», оскільки (в цьому неважко переконатися) при поєднанні цих двох суджень з'являється колізія парадоксу «Все жирафи - не жирафи ». Тоді відомі в традиційній логіці контрарні і контрадикторні судження (див. розділи 6 і 8) є антитезами в цьому сенсі. Але для E структур при такому підході можна сформулювати набагато більш широкий набір всіляких антитез.

З точки зору алгебри множин антитеза має такі властивості. Нехай F - деяке логічне вираз (або формула), яке можна розглядати як безліч виконують підстановки з універсуму U. Позначимо Anti (F) антитезу F. Її теж можна інтерпретувати як безліч виконують підстановки в універсумі U. Тоді будуть справедливі наступні співвідношення:

1) F Ç Anti (F) = Æ, 2) F È Anti (F) ¹ U; 3) Anti (F) Ì .

З цих співвідношень добре видно схожість і відмінність антитези і заперечення (доповнення). Найпростішим прикладом антитези є відношення "більше" стосовно "менше". У той же час строгим запереченням відносини "менше" є відношення "більше або дорівнює". І хоча відношення "більше" в строгому сенсі не є запереченням "менше", проте стосовно яких-небудь фіксованим об'єктах воно несумісне з ним. Багато антоніми в природній мові, такі як "молодий - старий", "красивий - потворний", з точки зору математичної логіки також не є запереченнями один одного і відносяться до класу антитез. Якщо ж мова йде про судження, то контрарні і контрадикторні судження, про які йшла мова в розділах 6 і 8, є антитезами вихідних. У той же час з точки зору математичної логіки вони не є їх запереченнями.

Якщо при формулюванні антитез використовувати тільки базові літерали, то безліч всіх можливих базових антитез легко знаходиться за допомогою CT-замикання вихідної структури. Розглянемо спочатку найпростіший випадок, коли E-структура містить єдине судження, наприклад, A ® B. Тоді для цієї структури можна побудувати дві антитези: A ® і ® B. Кожне з них при з'єднанні з вихідним судженням ініціює колізію парадоксу. Звідси ясно, що антитезою елементарного судження є судження, в якому один з літералів замінений на альтернативний. Неважко переконатися, що антитези до контрапозиции вихідного судження ( ® ) Є контрапозиции раніше побудованих антитез.

Можна легко довести, що додавання будь-якого з цих суджень-антитез в E-структуру ініціює колізію парадоксу.

Антитези часто використовуються в полеміці. У природних міркуваннях контраргументи (або контрдокази) нерідко формулюються як антитези. Якщо в міркуванні присутній в якості посилки або як слідства якесь судження K, то контраргументом в цьому випадку є не викликає сумнівів судження, що є антитезою K. Якщо нашу антитезу неможливо спростувати, то можна вважати, що ми переспорив опонента тчательно використовуючи при цьому індукцію і абдукція. У філософії і логіці вважається, що індукція і абдукція - це більш високі в порівнянні з дедукцією форми мислення, безпосередньо пов'язані з творчим мисленням, тобто з мисленням, результатом якого є нові знання.

Але в сучасній логіці відсутнє однозначне визначення абдукціі. Вважається, що абдуктівние висновки були запропоновані одним з творців математичної логіки Ч. Пірсом. Досліджуючи теорію силлогистики Аристотеля, він запропонував модифікувати її, щоб отримувати не тільки дедуктивні висновки, а й правдоподібні міркування. Розглянемо як приклад один з силогізмів Л. Керрола. Дано посилки:

1) Усі мовчазні істоти не забавні;

2) Усі равлики мовчазні.

Якщо використовувати правила силлогистики, то отримаємо наслідок:

Всі равлики не забавні.

Це ж слідство можна легко отримати і за допомогою E-структур. Зі схеми цього силогізму Пірс побудував два інших типи міркування. Одне з них він назвав прийняттям гіпотези, а пізніше запропонував назвати "абдукція". Ось це міркування.

Вихідна посилка: всі равлики мовчазні.

Одержаний результат: Всі равлики не забавні.

Далі міркуємо так: щоб цей результат був наслідком вихідної посилки, необхідно до складу посилок додати гіпотезу "Все равлики мовчазні". Пошук такої посилки якраз і є абдуктівний висновок.

Для простого силогізму подібна схема міркування була відома набагато раніше досліджень Ч. Пірса, але вона має іншу назву - ентимема, тобто міркування з пропущеної посилкою. Розглянемо докладно відомий приклад. Дано міркування «Ця людина не знає дорогу до річки. Отже, він не місцевий житель ». Це по суті силогізм з пропущеної посилкою. Для його аналізу використовуємо E структури.

Введемо позначення: H - ця людина, K - знає дорогу до річки, V - місцевий житель. Вихідною посилкою є зв'язок H ® , Передбачуваним наслідком H ® . Дане міркування можна представити у вигляді діаграми (рис. 1). Тут посилка зображена суцільною лінією, передбачуване наслідок - пунктиром. Щоб судження H ® стало дійсним наслідком, необхідно, щоб з вершини H був шлях до вершини . Досить подивитися на малюнок, щоб відразу ж знайти "відсутню ланку": ® (Ріс.48). Контрапозиции цього судження є V ® K (всі місцеві жителі знають дорогу до річки).

Рис. 1

Дотримуючись Ч. Пірсу, будемо називати абдукція методи аналізу міркувань, в яких потрібно знайти відповідну гіпотезу для того, щоб побудувати коректну логічний зв'язок між вихідними посилками і передбачуваним наслідком з цих посилок. На відміну від ентимеми абдукція використовується в більш складних, ніж простий силогізм, випадках.

Абдукція зустрічається не тільки в науковому аналізі, а й у багатьох інших розумових актах, навіть в такій, здавалося б, далекої від логіки сфері як гумор. Як приклад проаналізуємо один анекдот, пов'язаний з відомим британським політиком Уїнстоном Черчиллем. Як відомо, він чудово розбирався в тонкощах мови (йому, до речі, була присуджена Нобелівська премія з літератури за мемуари про Другу світову війну), і його гостроти далеко не всім припадали до смаку. Одного разу чомусь ображена на нього леді Астор сказала йому: «Якби ви були моїм чоловіком, я б підсипала вам отруту в каву». Черчілль відразу відповів: «Якби ви були моєю дружиною, то я б цю каву випив».

Смішне зазвичай не прийнято коментувати. Але тут інша ситуація - ставиться завдання знайти зв'язок комічного з абдукція. Відповідь Черчілля зовні нешкідливий. Проте при цьому "домислює", що його відповіді повинна передувати фраза «А ви мені так неприємні, що ... »І передумова про те, що в моделюється ситуації говорить знає про насипаному отруті. Ці відсутні ланки є абдуктівним висновком з вимовлених фраз і ситуації, і сміх (принаймні, у людей з почуттям гумору) викликає не тільки цей прихований натяк, але і не в останню чергу радість, пов'язана з його самостійною і швидкої «розшифровкою».

Алгоритм пошуку абдуктівних висновків. Дано вихідні посилки і передбачуване наслідок, припустимо, P ® Q. Тоді виконуються наступні дії:

Крок 1. Побудувати структуру з вихідними посилками і потім вивести контрапозиции до кожної з посилок.

Крок 2. Перевірити існування в отриманій структурі шляху з P в Q. Якщо такого шляху немає, то перехід до кроку 3, інакше вихід з алгоритму з відповіддю "Для даної задачі абдуктівний висновок не потрібно".

Крок 3. Використовуючи побудовану на кроці 1 структуру, побудувати верхній конус P D і нижній конус Q Ñ.

Крок 4. З отриманих на кроці 4 множин записати всі можливі пари (Xi, Yj), де Xi Î P D і Yj Î Q Ñ.

Крок 5. Для кожної пари, отриманої на кроці 4, перевірити, використовуючи теорему коректність гіпотези Xi, ® Yj. Якщо гіпотеза некоректна, то відповідна пара виключається зі списку. Решта пари є можливими варіантами відповіді. Кінець алгоритму.

Неформальне пояснення до алгоритму. За допомогою цього алгоритму ми шукаємо відсутні ланки ланцюга P ® ... ® Q, так як розриви в цьому ланцюзі означають, що судження P ® Q не є наслідком вихідних посилок. Список пар, отриманих на кроці 4, є повним списком цих відсутніх ланок, тобто гіпотез. Але деякі з них можуть бути некоректними, тому необхідний крок 5.

Розглянемо, як працює цей алгоритм стосовно нашого завдання.

Крок 1 і Крок 2 вже виконані.

Крок 3. З малюнка 50 отримуємо

A D = {A, B, }, Ñ ​​= { , C, }.

Крок 4. Список можливих пар:

(A, ), (A, C), (A, ), (B, ), (B, C), (B, ), ( , ), ( , C), ( , ).

Крок 5. З цього списку відразу можна виключити пари (A, ) І ( , C), оскільки перша пара відповідає нашому слідству, а друга - явна колізія парадоксу. Решта пар необхідно перевірити. Наприклад, виконаємо перевірку тільки двох гіпотез A ® C і A ® . Перевіряємо по теоремі.

Для гіпотези A ® C:

A Ñ = {A}; C D = {C, , , , }; A ÑÇ C D = Æ; A ÑÇ Inv (C D) = {A} -

гіпотеза некоректна.

Для гіпотези A ® :

A Ñ = {A}; D = { , }; A ÑÇ D = Æ; A ÑÇ Inv ( D) = Æ -

гіпотеза коректна.

Перевіривши інші гіпотези, ми переконаємося, що можливими варіантами абдуктівного виведення для даної задачі можуть бути тільки такі базові судження:

A ® ; B ® і B ® .

Який з цих варіантів найбільш підходящий, можна вирішити тільки на основі змістовного аналізу. Кожна нова зв'язок тягне за собою деяку сукупність нових наслідків. Деякі з них можуть виявитися несумісними з якимись явно невираженими, але УЯВНОЮ правильними судженнями. Якщо і на цьому етапі всі наші абдуктівние висновки будуть забраковані, то можна зупинитися на тому, що передбачуване слідство в даній системі необхідно прийняти як вихідної посилки за умови, що його додавання в структуру не викликає колізій.

Розглянутий метод допускає також реалізацію, в якій абдуктівние висновки можуть містити терміни, які не входять до первісної структуру, тобто коли як гіпотез вибираються не базові, а приватні судження. У наведеному вище анекдоті саме ця ситуація.

Необхідно зазначити, що аналіз міркувань на основі E-структур характеризується набагато ширшими можливостями, ніж методи аналізу на основі силлогистики Аристотеля і полісіллогістікі. Зокрема, методи силлогистики не дозволяють досліджувати можливі гіпотези, перевіряти правильність міркування за допомогою аналізу колізій, знаходити можливі абдуктівние висновки. У той же час в E-структурах є чіткі алгоритми для реалізації цих видів аналізу міркувань. Такі нові можливості аналізу з'являються за рахунок використання в якості моделей міркувань суто математичних структур, таких, як алгебра множин, теорія графів, теорія частково впорядкованих множин. Синтезом цих математичних структур є E-структури.

Список літератури

1. Керролл Л. Історія з вузликами. - М.: Мир, 1973.

2. Кулик Б.А. Моделювання міркувань на основі законів алгебри множин / / Праці V національній конференції з штучного інтелекту. Казань, 7-12 жовтня 2006 Т.1. С. 58-61.

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Контрольна робота
56.1кб. | скачати


Схожі роботи:
Діалектика Закон заперечення заперечення
Закон заперечення заперечення і Закон переходу кількісних змін у якісні
Закон заперечення заперечення
Дух заперечення
Лєсков н. с. - Дух заперечення. ..
Використання прийому антитези у ЛНТолстого і ФМДостоевского
Жінка у російській політиці та структурах влади
Еволюція від заперечення до взаємодії
Толстой л. н. - Використання прийому антитези у л. н. толстогоі ф. М. Достоєвського
© Усі права захищені
написати до нас