Контрольна робота з дисципліни:
Теорія ймовірностей і математична статистика
Закони розподілу випадкових величин. Довірчий інтервал
Задача 1
Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що в 100 випробуваннях подія з'явиться не менше 70 і не більше 80 разів.
Рішення:
,
де - Функція Лапласа, значення якої знаходяться з таблиць.
;
.
Тут: .
.
Відповідь: 0,49.
Задача 2
Середнє число викликів, що надходять на АТС на 1 хвилину, дорівнює двом. Знайти ймовірність того, що за 4 хвилини надійде: а) 3 виклику; б) не менше 3-х викликів; в) менше 3-х викликів. Передбачається, що потік викликів - найпростіший.
а) Ймовірність події «за 4 хвилини надійшло 3 виклику дорівнює:
,
де
- Середнє число викликів у хвилину;
;
t - час, за який може надійшло 3 виклику; t = 4 хв.
k - число можливих викликів за час t; k = 3.
.
- Знаходимо з таблиці значень функції розподілу Пуассона для k = 3 і a =
= 8.
в) Події «надійшло менше 3-х викликів» та «надійшло не менше 3-х викликів» є протилежними. Тому знайдемо спочатку ймовірність першої події:
.
Тут: ймовірності знаходяться з таблиць розподілу Пуассона відповідно для значень k = 0, k = 1, k = 2 і для a =
= 8.
б) Дана подія є протилежним до події, описаного в пункті в) (вище), тому: .
Відповідь: а) 0,03; б) 0,99; в) 0,01.
Завдання 3
Випадкова величина Х задана функцією розподілу (інтегральної функцією) f (x). Потрібно: а) знайти диференціальну функцію f ¢ (x) (щільність імовірності), б) знайти математичне сподівання і дисперсію Х; в) побудувати графіки функцій f (x) і f ¢ (x).
Рішення:
а) - Щільність ймовірності.
б) Математичне сподівання:
.
Дисперсія величини Х:
в) Графік функції f (x):
х | | 1 | 2 |
f (х) | | | 1 |
;
;
.
Графік функції
х | 1 | 2 |
f ¢ (х) | | 1 |
;
.
Завдання 4
Знайти довірчий інтервал для оцінки математичного сподівання Q нормального розподілу з надійністю , Знаючи вибіркову середню
, Обсяг вибірки n і середнє квадратичне відхилення s.
;
; N = 225.
Рішення:
.
Тут: знаходиться з таблиці розподілу Стьюдента для n = 225 і
.
.
;
.
Відповідь: (73,12; 77,04).