Реферат на тему:
Задача про розміщення ферзів. Дерево пошуку та його обхід
Розглянемо шахівницю, що має розміри не 8 8, а n n, де n>0. Як відомо, шаховий ферзь атакує всі клітини та фігури на одній з ним вертикалі, горизонталі та діагоналі. Будь-яке розташування кількох ферзів на шахівниці будемо називати їх розміщенням. Розміщення називається допустимим, якщо ферзі не атакують одне одного. Розміщення n ферзів на шахівниці n n називається повним. Допустимі повні розміщення існують не при кожному значенні n. Наприклад, при n=2 або 3 їх немає. За n=4 їх лише 2 (рис.19.1), причому вони дзеркально відбивають одне одного.
Задача. Написати програму побудови всіх повних допустимих розміщень n ферзів, де 4 n 20.
Для початку з'ясуємо деякі властивості допустимих розміщень. Очевидно, що в них кожний ферзь займає окрему вертикаль і горизонталь. Занумеруємо вертикалі й горизонталі номерами 1, … , n та позначимо через <H1, H2, , Hi> послідовність номерів горизонталей, зайнятих ферзями, що стоять у вертикалях 1, 2, , i, де 0 i n. Випадок i=0 відповідає порожньому розміщенню <>.
Існує n способів розмістити ферзя в першій вертикалі, тобто перейти від порожнього розміщення до непорожнього. Цей перехід позначимо стрілкою (рис. 19.2(а)). За кожного з розміщень ферзя в першій вертикалі є n варіантів розміщення ферзя в другій вертикалі, але з них слід відкинути недопустимі. Відмітимо їх знаком '*' (рис.19.2(б)).
Узагалі, нехай зафіксовано розміщення ферзів у перших i-1вертикалях:
S(i-1)=<H1, ,Hi-1>.
Для побудови всіх допустимих розміщень із початком S(i-1) треба перебрати всі допустимі розміщення S(i)з ферзем у i-й вертикалі та для кожного побудувати всі допустимі розміщення з початком S(i).
Отже, маємо рекурсивний алгоритм побудови всіх допустимих розміщень, за яким пошук усіх допустимих заповнень ферзями останніх n-i+1вертикалей зводиться до пошуку заповнень n-i вертикалей.
Уточнимо цей алгоритм рекурсивною процедурою deps. Нехай розмір шахівниці не більше nm=20. Номери вертикалей та діагоналей містяться в діапазоні nums=1..nm, а розміщення зображається станом масиву H типу
arh = array[ nums ] of nums.
Процедура deps задає побудову розміщення, починаючи з i-ї вертикалі за фіксованих H[1], , H[i-1]. Підпрограми test та writs задають відповідно перевірку допустимості розміщення <H[1], … , H[i-1], H[i]> та друкування повного розміщення. Вони викликаються у процедурі deps:
procedure deps ( var H : arh; n, i : nums);
var j, k : nums;
begin
for k := 1 to n do
begin
H[i] := k;
if test ( H, i) then
if i = n then writs ( H, n) {друкування повного розміщення }
else deps ( H, n, i+1 ) {рекурсивний виклик}
end
end
Функція test задає перевірку допустимості розміщення <H[1], , H[i-1], H[i]> за умови, що <H[1], , H[i-1]> є допустимим:
function test ( var H : arh; i : nums ) : boolean;
var j : nums; flag : boolean;
begin
j := 1; flag := true;
{перевірка, чи займається нова горизонталь і діагональ}
while ( j < i ) and flag do
begin
flag := ( H[i] <> H[j] ) and ( abs ( H[i]-H[j] ) <> i-j ); j := j+1
end;
test := flag
end
Розробка процедури writs друкування повного розміщення залишається вправою.
Програма розв'язання задачі має такий вигляд:
program Queens ( input, output );
const nm = 20;
type nums = 1..nm;
arh = array[ nums ] of nums;
var H : arh; n : nums;
procedure writs end;
function test end;
procedure deps end;
begin
writeln ('задайте розмір дошки: 4..20>'); readln ( n );
deps ( H, n, 1)
end.
2. Дерево пошуку та його обхід
Розміщення ферзів на шахівниці, що будуються в процесі виконання програми Queens, можна подати вузлами кореневого орієнтованого дерева (рис.19.3).
У цьому дереві кожний вузол <H[1], , H[i]>, де 0 i<n, має синів
<H[1], , H[i], 1>, <H[1], , H[i], 2>, , <H[1], , H[i], n>.
Відповідно цей вузол називається їхнім батьком. Сини вузла, сини його синів тощо називаються його нащадками, а він – їхнім попередником. Порожнє розміщення <> є коренем дерева, повні чи недопустимі розміщення – його листками, а допустимі неповні – проміжними вузлами. Кожний вузол дерева має певну глибину, або рівень у дереві. Глибиною кореня є 0, його синів – 1 тощо. Повним розміщенням відповідають листки дерева, які в даному разі мають глибину n. Зазначимо, що в даному разі глибина вузлів дерева збігається з довжиною їх як розміщень.
Це дерево відбиває пошук повних допустимих розміщень, тому називається деревом пошуку. Пересування по вузлах дерева у визначеному порядку називається обходом дерева. Отже, пошук розміщень у дереві є результатом його обходу.
Задамо алгоритм, реалізований процедурою deps із програми Queens, в узагальненому вигляді. Нехай A позначає вузол дерева, ОБХІД( A ) – обхід дерева з коренем А, а синами вузла A є A(1), A(2), , A(n). Тоді процедура deps із програми Queens має таку схему:
for k := 1 to n do
begin
перехід до вузла A(k);
if A(k) є допустимим then
if A(k) є листком then обробка листка A(k)
else ОБХІД( A(k) )
end
Як бачимо, процедура deps задає обхід дерева пошуку з вузлів-розміщень ферзів. Цей обхід називається обходом дерева у глибину. Ця назва зумовлена тим, що обхід дерева з довільним коренем закінчується лише після того, як закінчено обхід усіх його нащадків. Тобто від вузла ми переходимо до його нащадків, заглиблюючися в дерево.
Обхід дерева в глибину відтворюється за допомогою магазина (стека), до якого додаються та з якого вилучаються вузли дерева.
З кожним вузлом дерева пов'яжемо інформацію, яка додається при переході до цього вузла. В задачі про розміщення ферзів кореневий вузол відповідає порожньому розміщенню, тому з ним ніяка інформація не пов'язана. При переході від вузла, що подає розміщення <H[1], , H[i]>, до вузла, відповідного розміщенню <H[1], , H[i], k>, збільшується номер останньої вертикалі i, в k-у клітину якої ставиться ферзь. Отже, з вузлом зв'язується пара чисел (i, k), що є номерами вертикалі й горизонталі. Саме такі пари додаються до магазина вузлів.
У задачі про ферзі роль магазина відіграє масив H. Збільшення номера вертикалі i, тобто перехід до наступного компонента масиву, разом із присвоюванням H[i]:=k відтворюють додавання до магазина нового елемента – пари (i, k). Цикл із заголовком
for k := 1 to n do
у процедурі deps задає перебирання вузлів-"братів"
<H[1], , H[i-1], 1>, <H[1], , H[i-1], 2>, , <H[1], , H[i-1], n>,
що рівносильно послідовному вилученню з магазина попереднього брата з додаванням наступного.
Опишемо обхід дерева пошуку розміщень без застосування рекурсії. Розглянемо пересування, пов'язані з вузлами дерева. З допустимого вузла-листка ми одразу рухаємося до його батька, з недопустимого – до його брата. Пересування, пов'язані з кожним його проміжним вузлом, можна подати, як на рис.19.4.
Як бачимо, відвідувати проміжний вузол доводиться лише двічі – на початку та в кінці обходу дерева, коренем якого він є. Для того, щоб відрізнити ці два випадки, потрібні додаткові змінні. У разі розміщень ферзів перехід від вузла до його правого брата задається збільшенням H[i] на 1. Це рівносильне одночасному виштовхуванню вузла з магазина та додаванню його правого брата. Звідси випливає, що коли обробляється вузол глибини i, в магазині є лише по одному вузлу кожної глибини m, m i. Тому достатньо однієї додаткової змінної для кожної можливої глибини. Отже, означимо додатковий масив D того ж самого типу, що й масив H. Значенням D[i] стає 0, коли до вузла глибини i ми приходимо згори або зліва, та 1 – коли знизу.
Перехід до вузла знизу – це повернення до батька, і його умовою в задачі про ферзі є H[i]=n.
Повернення до кореня дерева означає кінець його обходу. Тому використаємо умову i=0 як умову закінчення пошуку. Отже, пошук повних допустимих розміщень ферзів має таке описання, яке по суті є тілом процедури пошуку:
i:=1; H[i]:=1; D[i]:=0;
while (i<>0) do
begin
if i=n then {обробка вузла-листка}
if test(H, i) then {друкування повного допустимого розміщення}
{ та повернення до батька незалежно від наявності братів}
begin writs(H, n); i:=i-1; {i>0!} D[i]:=1 end
else
if H[i]<n then H[i]:=H[i]+1 {перехід до правого брата}
else {повернення до батька – }
{піддерево, в якому він є коренем, вже обійшли}
begin i:=i-1; {i>0!} D[i]:=1 end
else {обробка проміжного вузла}
if (D[i]=0) and test(H, i) then {рух у глибину}
begin i:=i+1; H[i]:=1; D[i]:=0 end
else {рух праворуч або нагору}
if H[i]<n then {рух праворуч}
begin H[i]:=H[i]+1; D[i]:=0 end
else {рух нагору}
begin i:=i-1; if i>0 then D[i]:=1 end
end
Оформлення програми з необхідними означеннями, ініціалізаціями та нерекурсивною процедурою пошуку залишаємо як вправу.
Узагальнимо наведений алгоритм, вважаючи, що, на відміну від задачі про розміщення ферзів, кореневий вузол дерева також містить деяку відповідну інформацію:
заштовхнути кореневий вузол у магазин;
while магазин не порожній do
begin
нехай A – вузол на верхівці магазина;
if A є листком then
begin
обробити листок A;
виштовхнути A з магазина;
if A не є правим сином свого батька then
заштовхнути в магазин правого брата A;
end
else {A – проміжний вузол}
if A є допустимим і дерево з коренем A ще не оброблено then
заштовхнути в магазин лівого сина A
else {дерево з коренем A вже оброблено або A не є допустимим}
begin
виштовхнути A з магазина;
if A не є правим сином свого батька і не є коренем then
заштовхнути правого брата A в магазин;
end
end.
Наведений опис задає так званий вичерпний пошук у дереві пошуку варіантів, оскільки рано чи пізно ми дістаємося кожного допустимого вузла дерева. Зазначимо, що цей опис є схемою багатьох алгоритмів розв'язання різноманітних задач, пов'язаних із перебиранням варіантів.