Загальна модель хвиль матерії Формула Де Бройля Частка у ящику і частка на орбіті

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Розділ 1. Загальна модель хвиль матерії. Формула Де-Бройля

Частка у "ящику" і частка на "орбіті"

Найпростіше, але дуже корисне введення в теорію квантових ефектів пов'язана з уявленнями про хвилі матерії. Цей підхід старий, його дуже любив Я.К. Сиркін. Він наочний. За словами Мелвін - Хьюза "найменше фізико-хіміка цікавить спосіб отримання точної формули. Йому важливо зрозуміти, як влаштована матерія на рівні його інтересів хіміка ...".
Цим і скористаємося. Ще не начитані лекції, а ми вже дуже багато зможемо обговорити про квантуванні найважливіших рухів, і навіть їх порівняти ...
1. Два погляди на фотон. Хвиля світла і частка - її носій
Носії хвилі світла частки - фотони.
Це дискретні частинки поля без маси спокою.
Для них справедливі формули:
З хвильової теорії (Максвелл-Хевісайд-Ейнштейн) E = mc2 (1.1).
З квантової моделі світла (Планк-Ейнштейн) E = h , де (1.2).
частота дорівнює  = c /  (1.3).
Порівнюючи обидва вирази, отримуємо рівність E = mc2 = h  = hc /  (1.4).
Довжина світлової хвилі виходить рівної  = h / mc = h / pc (1.5).
Величина mc = pc це імпульс матеріального носія світлового поля, фотона - частинки, у якої немає маси спокою.
2. Два погляди на частку. Хвиля матерії і механічний об'єкт.
Хвилі Де-Бройля. Імпульс і довжина хвилі. Стоячі хвилі матерії.
Суть ідеї Де-Бройля в тому, що аналогічно фотону будь-яке матеріальне тіло характеризується хвильовим процесом, а довжина такої хвилі визначається аналогічної ж формулою, де швидкість фотона - світла, замінена механічної швидкістю V матеріальної частки - корпускули з масою спокою V. У такому випадку довжина хвилі матерії дорівнює  = h / mV = h / p (2.1).
На замкнуту траєкторію руху частки на лінійному інтервалі має укладатися ціле число стоячих хвиль. Зовсім так само, як і у звичайної стоячій хвилі - у струни, наприклад.
Це легко призводить до двох дуже простим і найважливішим моделям руху. Це одне з найбільших відкриттів фізики початку 20-го століття.
З цього почалася ядерна та електронна ера.
"... Не слід соромитися історії науки - це один із дуже важливих аспектів викладання ..." (акад. Я. К. Сиркін та проф.Н.І. Гельперін)
1. Лінійне рух на обмеженому інтервалі-потенційний ящик. Завдання 1. Отримати формулу поступальних рівнів частинки, що рухається на обмеженому інтервалі. Використовувати формулу Де-Бройля.
Модель руху гранично ідеалізована. Тим не менш, вона з дивною спільністю описує ряд фундаментальних ефектів і явищ.
Умови завдання:
У цій простій системі частка ...
- Рухається на прямолінійній інтервалі L між двома ідеально відображають стінками, ...
- Зазнає абсолютно пружні удари об стінки, ...
- Відбивається і рухається назад ...
Змінюється напрям вектора швидкості (імпульсу), але модуль зберігається. Це поступальний рух суворо періодичне.
Потенційна енергія всередині "ящика" набагато менше, ніж за його межами, і для простоти прийнята рівною нулю
U (<0x <L) = 0 (3.1).
Повна енергія частки містить тільки кінетичну складову. T = mV2 / 2 = p2/2m (1.1).
Подібно вібрації обмеженою струни, на відрізку шляху довжиною L може укладатися лише ціле число півхвиль де Бройля, і звідси випливає квантування і модуля імпульсу, і енергії.
Вважаючи n ( / 2) = L "nÎN (1,2,3, ... ¥), (1.2)
отримуємо  = 2L / n = h / p, (1.3)
а далі p / h = n / 2L, (1.4)
звідки p = nh / 2L "nÎN (1,2,3, ... ¥), (1.5)
і кінетична енергія - вона ж і повна енергія, оскільки потенційна дорівнює нулю, естьE = T = p2/2m = n2h2/22L2 '2 m. (1.6)
Остаточно формула повної енергії наказує дискретні значення, що залежать від зовнішнього "чужого" цілочисельного параметра - числа nÎN (1,2,3, ...),
яке може бути яким завгодно у межах множини N чисел натурального ряду.
Вийшла формула квантування енергії у вигляді дискретних енергетичних рівнів. Рівні суть просто чисельні значення повної енергії. Вони дискретні - квантована, і тому нумерованих:
En = n2 (h2/8mL2) "nÎN (1,2,3, ... ¥) (1.7).
Безліч всіх рівнів називається енергетичним спектром даної системи. Графічне зображення енергетичних рівнів у масштабеназивается енергетичної діаграмою. Для її побудови введемо постійну енергії для даного "ящика":
Bt = h2/8mL2 (1.8).
Рівні розташовуються тим вище, чим більше ця величина. Її зручно обчислити окремо. Наприклад, розглянемо результати для електрона на відстані близько атомних розмірів (приблизно L »2-3 Ao).
Відстань між квантовими рівнями енергії частки в "ящику" залежить від маси частинки і розмірів ящика, і квантування проявляється тільки для мікрочастинок у просторі, відповідному атомним розмірами.
У системі SI
діелектрична константа вакууму в СІ:
1 / 4   0        '      н'м2Кл-2,
маса електрона m = 9.1 '10-31 кг,
константа Планка h = 6.62 '10-34 Дж'с;
циклічна константа Планка h '= 1.05 '10-34 Дж'с;
Довжина ящика L = 2.5 '10-10 м.
У системі CGSE
діелектрична константа вакууму в СІ: 1 / 4   0  ,
маса електрона m = 9.1 '10-28 г,
константа Планка h = 6.62 '10-27 е'с;
циклічна константа Планка h '= 1.05 '10-27 е'с / рад;
Довжина ящика L = 2.5 '10-8 см.
Підставляючи в формулу для постійної скриньки, знаходимо її значення:
Bt = h2/8mL2 = (6.62 '10-34 Дж'с) 2 /
[8'9 .1 '10-31 кг '(2.5 '10-10 м) 2] =
= 9.63 '10-19 Дж2'с2'кг -1 'м -2
Розмірність: Дж2'с2'кг -1 'м -2 = Дж2' (н-1'м-1) = Дж 2 'Дж-1 = Дж
Bt = 9.63 '10-19 Дж
У системі CGSE ця величина в ергах по модулю на 7 порядків більше:
Bt = 9.63 '10-12 ерг
Легко побудувати діаграму рівнів "ящика", відкладаючи відповідні позначки на осі ординат - осі енергії (см семінар по ящику з застосуванням рівняння Шредінгера). У перерахунку до звичної шкалою на один моль це дає
Bt = 9.63 '10-19 '6 .023 '1023 Дж »57.7 '104 Дж / моль» 577 кДж / моль.
Отримано порядок величин енергетичних рівнів у систем СІ, для частки, "затиснутою" в обсяг, який приблизно вдвічі - втричі більше розміру атома. Це значення різко і швидко падає, якщо розмір "ящика" зростає ...
На дистанції, скажімо в 15 ангстрем (це приблизно відстань між частинками газу при нормальних умовах) це значення впаде в 36 разів і буде порядку лише 15 кДж / моль. Далі-більше!
І це для дуже легкого електрона.
А якщо частка вже хоча б атом водню, який приблизно в у 1840 (»2000) разів більш важка частка, то дистанція між поступальними рівнями стає дуже малою - практично непомітним. Джоуль на один моль - цей порядок величини експериментально невловимий. Виникає практично континуум-неперервний розподіл поступальної енергії молекулярного руху. Цей результат для нас надзвичайно важливий.
2. Частка на круговій орбіті.
Проста кількісна модель, що дозволяє відтворити кількісно рівні АТ атома H і воднеподібних іонів (формулу Бора) також заснована на хвилях Де-Бройля.
У цій, також ідеальною, завданню обчислення майже настільки ж нескладні, як і в попередній.
Ми будемо далі багаторазово мати справу з її фізичним змістом.
Наша перша мета: нехай еклектична, "клаптева", в якійсь мірі теоретично зухвала і мальовнича спроба кількісно описати рівні реальних фізичних систем з їх добре реєструється в експерименті проявами.
Строгість висновків - потім, а зараз - мерщій до мети ...
Завдання 2.1.
Отримати формулу квантування рівнів частинки, що звертається по круговій орбіті.
Умови завдання:
Нехай частинка рухається по колу в полі центральної кулоновской сили, створюваної ядром з порядковим номером Z. Це атом водню (Z = 1) або воднеподібних іон (Z> 1). Заряд ядра рівний , В його полі рухається всього один електрон.
Доцентрова сила, що утримує частку на круговій орбіті, має кулонівських природу, тобто обернено пропорційна квадрату відстані.
Звідси випливає "теорема Віріа", яка визначає взаємозв'язок між кінетичної і потенційної енергіями в полі центральної сили.
За цією теоремою: Кінетична енергія дорівнює половині потенційної, але з позитивним знаком, а повна енергія дорівнює половині потенційної і також негативна (2.5).
УВАГА! Використовується система СГСЕ.

При стаціонарному русі частинки по колу в полі центральної кулоновской сили, на замкнутій "кругової орбіті" вкладається ціле число хвиль матерії
2p r = nl, "nÎN {1,2,3, ...}. (4.3)
Використання довжини хвилі де Бройля приводить до висновку про те, що квантованной виявляється величина L, схожа на модуль моменту імпульсу:
L = ½ mu r ½ = n (h/2p) = nħ, "nÎN. (4.4)
Поєднання рівнянь (2.3) і (2.6) показує, що можливі значення радіуса класичної "орбіти" дискретні - квантована (2.7).

Завдання 2.2. Розрахуйте чисельно борівський радіус.
По теоремі Віріа відповідно квантована значення повної енергії (2.9). Результуюче вираз для дискретних енергетичних рівнів називається формулою Бора.

Для різнобічних розрахунків властивостей системи, що складається з двох взаємно звертаються часток з кінцевими масами, слід використовувати загальну приведену масу.
Наведена маса m системи, що складається з електрона і протона, враховує їх звернення навколо загального центру мас і мало відрізняється від маси електрона. Вона дорівнює
m = meMp / (me + Mp) = 1840/1841
Ввівши наближення me <<Mp, можна прийняти m = me.
Формула Бора суворо випливає з розв'язку рівняння Шредінгера для атома H. Квантово-механічний висновок логічно стрункий, але це досягається за рахунок досить суттєвого ускладнення математичного апарату.
Величина a0 = 0.529 Ao називається борівських радіусом. У Напівкласична квантової теорії він вважається радіусом перший кругової орбіти, на якій електрон рухається в основному квантовому стані, але ця примітивна картина вимагає корекції. Її зміст буде розкрито лише в квантовій механіці.
Насправді борівський радіус це відстань найбільш ймовірного видалення електрона від ядра на нижчому енергетичному рівні - в основному стані атома H.
Завдання 4.3. Обчислити ребро кубічного скриньки, в якому енергія першого електронного збудження збігається з енергією першого переходу в атомі водню. Порівняйте розміри атома і "ящика".
ПРИМІТКА: Рішення можна проводити в числах або у вигляді формул.
Теорія до задачі 4.3.
Відстань між квантовими рівнями енергії частки в "ящику" залежить від маси частинки і розмірів ящика, і квантування проявляється тільки для мікрочастинок у просторі, відповідному атомним розмірами.
Рівні тривимірного кубічного "ящика" легко виходять підсумовуванням трьох одновимірних рівнів з урахуванням рухів уздовж трьох напрямків.
Виникає три незалежних квантових числа по числу механічних ступенів свободи.
4.2.1. Рух в обмеженому кубічному обсязі.

Тут L-ребро куба; m = маса електрона; e = заряд електрона.
Підсумовуючи одномірні рівні, отримуємо

У кубічному ящику всі ребра однакові, і його енергетична стала дорівнює Bt = h2/8mL2, та рівні виражаються через неї у вигляді

Обчислення.
Кожен стан (у квантовій механіці - кожна хвильова функція) характеризується трійкою незалежних квантових чисел (nx, ny, nz).
Основний рівень характеризується єдиним набором можливих квантових чисел (nx, ny, nz) = (1,1,1).
Менше 1 квантове поступальний число не може бути.
Перший збуджений рівень характеризується вже трьома наборами квантових чисел (nx, ny, nz) = (1,1,2); (1, 2, 1); (2,1,1).
Кожен набір відповідає одному станом. Всі три належать до одного й того ж ТРИЧІ Виродження рівня. Нас цікавить квантовий перехід [(1,1,1) Û (1,1,2); (1, 2, 1); (2,1,1)]
або в термінах дискретних квантових рівнів E111Û E112.
Примітка:
У першого рівня статистична вага (кратність виродження) g = 1,
У другого рівня статистична вага (кратність виродження) g = 3,
Статистичні ваги (вироджені рівнів) на енергії не позначаються.
Таким чином різниця сум квадратів квантових чисел буде дорівнює
[(Nx) 2 + (ny) 2 + (nz) 2] возб - [(nx) 2 + (ny) 2 + (nz) 2] основн = (1 +1 +4) - (1 +1 +1 ) = 3
Отримуємо формулу для енергії першого переходу (першого порушення) в ящику . (4.11)
Енергетичні рівні електрона в атомі водню рівні:
(4.12)
Тут введено енергетична постійна для атома H:
(4.13)
Перший перехід відповідає збудженню (1 ® 2) тобто з рівня n = 1 на рівень n = 2.
Відповідно . (4.14)
Енергії збудження в ящику і в атомі рівні за умовами задачі.
Тому
. (4.15)
Згадуємо, що борівський радіус
і перетворимо попередній результат
. (4.16)
Звідки випливає рішення в аналітичному вигляді
L = 2   a0; (4.17)
Оскільки "діаметр" 1-й орбіталі по Бору дорівнює d0 = 2a0, то виходить, що діаметр атома в  разів менше розміру скриньки.
Цей же результат можна отримати безпосередньо в числових значеннях.
У даному висновку не використовувалися особливості системи СІ в формулах сил і енергій кулонівської взаємодії.
У системі СГС результат виводиться простіше без необхідності введення діелектричної постійної вакууму. У СГС вона дорівнює просто 1.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Хімія | Реферат
27.5кб. | скачати


Схожі роботи:
Загальна модель хвиль матерії Формула Де-Бройля Частка у ящику і частка на орбіті
Рейтингова частка
Частка як службова частина мови
Частка ну в діалогічного і монологічного мовлення Word97
Галичина - соціокультурна історична політична частка України
Галичина - соціокультурна історична політична частка України
Дуалізм хвиля-частка або що це таке насправді
Частка росіян серед населення різних регіонів за даними перепису 2001 року
Елементарні частинки у вигляді корпускул і хвиль і модель атома
© Усі права захищені
написати до нас