Міністерство науки і освіти України
ДДМА
Завдання лінійної алгебри. Поняття матриці. Види матриць. Операції з матрицями. Рішення задач на перетворення матриць.
Сергій Шрам
Завдання лінійної алгебри. Поняття матриці. Види матриць. Операції з матрицями. Рішення задач на перетворення матриць.
При вирішенні різних завдань математики дуже часто доводиться мати справу з таблицями чисел, які називаються матрицями. За допомогою матриць зручно розв'язувати системи лінійних рівнянь, виконувати багато операцій із векторами, вирішувати різні завдання комп'ютерної графіки та інші інженерні завдання.
Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить деяку кількість m рядків і деяку кількість п стовпців. Числа т і п називаються порядками матриці. У випадку, якщо т = п, матриця називається квадратною, а число m = n - її порядком.
У подальшому для запису матриць будуть застосовуватися або здвоєні рисочки, або круглі дужки:
Для короткого позначення матриці часто буде використовуватися або одна велика латинська літера (наприклад, A), або символ | | a ij | |, А іноді з роз'ясненням: А = | | a ij | | = (A ij ), Де (i = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., n).
Числа a ij , Що входять до складу даної матриці, називаються її елементами. У записі a ij перший індекс І означає номер рядка, а другий індекс j - номер стовпця. У випадку квадрат-ної матриці
вводяться поняття головної та побічної діагоналей. Головною діагоналлю матриці (1.1) називається діагональ а 11 а 12 ... a nn що йде з лівого верхнього кута цієї матриці в правий нижній її кут. Побічної діагоналлю тієї ж матриці називається діагональ а n 1 а (n -1) 2 ... a 1 n , Що йде з лівого нижнього кута в правий верхній кут.
Основні операції над матрицями та їх властивості.
Перш за все, домовимося вважати дві матриці рівними, якщо ці матриці мають однакові порядки і всі їх відповідні елементи збігаються.
Перейдемо до визначення основних операції над матрицями.
Додавання матриць. Сумою двох матриць A = | | a ij | |, Де (i = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., n) і В = | | b ij | |, Де (i = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., n) одних і тих же порядків т і п називається матриця С = | | c ij | | (І = 1,2, ..., т; j = 1, 2, ...., п) тих же порядків т і п, елементи з ij якої визначаються за формулою
Для позначення суми двох матриць використовується запис С = А + В. Операція складання суми матриць називається їх складанням. Отже, за визначенням:
З визначення суми матриць, а точніше з формул (1.2) безпосередньо випливає, що операція додавання матриць має ті ж властивості, що й операція додавання речовинний-них чисел, а саме:
1) переместительное властивістю: А + В = В + А,
2) сполучним властивістю: (A + B) + С = А + (В + С).
Ці властивості дозволяють не дбати про порядок проходження доданків матриць при складанні двох або більшої кількості матриць.
Множення матриці на число. Твором матриці A = | | a ij | |, Де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) на дійсне число l, називається матриця С = | | c ij | | (І = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), елементи якої визначаються за формулою:
Для позначення твори матріциі на число використовується запис С = l A або С = А l. Операція складання твору матриці на число називається множенням матриці на це число.
Безпосередньо з формули (1.3) ясно, що множення матриці на число має такі властивості:
1) сполучним властивістю щодо числового множника: (l m) A = l (m A);
2) розподільчим властивістю щодо суми матриць: l (A + B) = l A + l B;
3) розподільчим властивістю щодо суми чисел: (l + m) A = l A + m A
Зауваження. Різницею двох матриць А і В однакових порядків т і п природно назвати таку матрицю З тих же порядків т і п, яка в сумі з матрицею B дає матрицю A. Для позначення різниці двох матриць використовується природна запис: С = A - В.
Дуже легко переконатися в тому, що різниця З двох матриць А і В може бути отримана за правилом С = A + (-1) В.
Твір матриць або перемножування матриць.
Твором матриці A = | | a ij | |, Де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) має порядки, відповідно рівні т і n, на матрицю В = | | b ij | |, Де (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., р), що має порядки, відповідно рівні n і р, називається матриця С = | | c ij | | (І = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., р), що має порядки, відповідно рівні т і р елементи якої визначаються-ються за формулою:
Для позначення твори матріциі А на матрицю В використовують запис С = А × В. Операція складання твору матриці А на матрицю В називається перемножуванням цих матриць.
З сформульованого вище визначення випливає, що матрицю А можна помножити не на всяку матрицю В, необхідно, щоб число стовпців матриці А було дорівнює числу рядків матриці В.
Формула (1.4) являє собою правило складання елементів матриці С, що є твором матриці А на матрицю В. Це правило можна сформулювати і словесно: елемент c i j стоїть на пвресеченіі і-го рядка і j-го стовпця матріцьі С = А В, дорівнює сумі попарних творів відповідних елементів і-го рядка матриці А і j-го стовпця матриці В.
Як приклад застосування зазначеного правила наведемо формулу множення квадратних матриць другого порядку.
З формули (1.4) випливають такі властивості твори матриці А на Матрі-цу В:
1) сочетательное властивість: (А В) С = А (В С);
2) розподільне щодо суми матриць властивість:
(A + B) С = О З + В С або A (В + С) = A В + А С.
Питання про перестановною (переместительное) властивості твори матриці A на матрицю В має сенс ставити лише для квадратних матриць A і В однакового порядку.
Наведемо важливі приватні випадки матриць, для яких справедливо і переста-новочное властивість. Дві матриці для твори яких справедливо перестановочне властивість, прийнято називає коммутирующими.
Серед квадратних матриць виділимо клас так званих діагональних матриць, у кожної з яких елементи, розташовані поза головної діагоналі, дорівнюють нулю. Кожна діа-класичної теорії ортогональних матриця порядку п має вигляд
D =
де d 1, d 2, ..., d n-які завгодно числа. Легко бачити, що якщо всі ці числа рівні між собою, тобто d 1 = d 2 = ... = d n то для будь-квадратної матриці А порядку п справедливо рівність А D = D А.
Серед всіх діагональних матриць (1.5) з збігаються елементами d 1 = d 2 = ... = d n = = D особливо важливу роль відіграють дві матриці. Перша з цих матриць виходить при d = 1, називається одиничною матрицею n-го порядку і позначається символом Є. Друга матриця виходить при d = 0, називається нульовою матрицею n-го порядку і позначається символом O. Таким чином,
E =
У силу доведеного вище А Е = Е А і А О = О А. Більше того, легко показати, що
А Е = Е А = А, А О = О А = 0. (1.6)
Перша з формул (1.6) характеризує особливу роль одиничної матриці Е, аналогічну тій ролі, яку відіграє число 1 при перемноження дійсних чисел. Що ж стосується особливої ролі нульової матриці О, то її виявляє не тільки друга з формул (1.7), але й елементарно перевіряється рівність
А + 0 = 0 + А = А.
На закінчення зазначимо, що поняття нульової матриці можна вводити і для неквадрат-них матриць (нульовий називають будь-яку матрицю, всі елементи якої равниї нулю).
можна розглядати як блочну матрицю
елементами якої служать такі блоки:
Чудовим є той факт, що основні операції з блочними матрицями здійснюються за тими ж правилами, за якими вони відбуваються зі звичайними числовими матрицями, тільки в ролі елементів виступають блоки.
Поняття визначника.
Розглянемо довільну квадратну матрицю будь-якого порядку п:
A =
З кожною такою матрицею зв'яжемо цілком певну чисельну характеристику, звану визначником, відповідним цій матриці.
Якщо порядок n матриці (1.7) дорівнює одиниці, то ця матриця складається з одного елемен-та а i j визначником першого порядку відповідним такій матриці, ми назвемо величину цього елемента.
Якщо далі порядок п матриці (1.7) дорівнює двом, тобто якщо ця матриця має вигляд
A =
то визначником другого порядку, відповідним такій матриці, назвемо число, рівне а 11 а 22 - а 12 а 21 і позначається одним з символів:
Отже, за визначенням
Формула (1.9) являє собою правило складання визначника другого порядку за елементами відповідної йому матриці. Словесна формулювання цього правила така: визначник другого порядку, відповідний матриці (1.8), дорівнює різниці твори елементів, що стоять на головній діагоналі цієї матриці, і твори елементів, що стоять на побічної її діагоналі. Визначники другого і більш високих порядків знаходять широке застосування при вирішенні систем лінійних рівнянь.
Розглянемо, як виконуються операції з матрицями в системі MathCad. Найпростіші операції матричної алгебри реалізовані в MathCad у вигляді операторів. Написання операторів за змістом максимально наближений до їх математичному дії. Кожен оператор виражається відповідним символом. Розглянемо матричні і векторні операції MathCad 2001. Вектори є окремим випадком матриць розмірності nx 1, тому для них справедливі всі ті операції, що і для матриць, якщо обмеження окремо не обумовлені (наприклад, деякі операції застосовні тільки до квадратних матриць nxn). Якісь дії допустимі тільки для векторів (наприклад, скалярний добуток), а які-то, незважаючи на однакове написання, по-різному діють на вектори і матриці.
При роботі з матрицями використовується панель інструментів "Матриці"
Рис.1 Панель інструментів Матриці
Для введення матриці:
q введіть ім'я матриці і знак присвоювання (двокрапка)
q клацніть по значку "створити матрицю" в панелі "Матриці".
q
У діалозі задайте кількість рядків і стовпців матриці.
q Після натискання кнопки OK відкривається поле для введення елементів матриці. Для того, щоб ввести елемент матриці, встановіть курсор у зазначеній позиції і введіть з клавіатури число або вираз.
Для того, щоб виконати якусь операцію з допомогою панелі інструментів, потрібно:
q виділити матрицю і клацнути в панелі по кнопці операції,
q або клацнути по кнопці в панелі і ввести в поміченої позиції ім'я матриці.
Меню "Символи" містить три операції - транспонування, інвертування, визначник.
Це означає, наприклад, що обчислити визначник матриці можна, виконавши команду Символи / Матриці / Визначник.
Номер першого рядка (і першого стовпця) матриці MathCAD зберігає в змінної ORIGIN. За замовчуванням відлік ведеться від нуля. У математичного запису частіше прийнято вести відлік від 1. Для того, щоб MathCAD вів відлік номерів рядків і стовпців від 1, потрібно задати значення змінної ORIGIN: = 1.
Функції, призначені для роботи з завданнями лінійної алгебри, зібрано в розділі "Вектори і матриці" діалогу "вставити функцію" (нагадуємо, що він викликається кнопкою на панелі "Стандартні"). Основні з цих функцій будуть описані пізніше.
Транспонування
Транспортуванням називають операцію, що переводять матрицю розмірності mxn в матрицю розмірності nxm, роблячи стовпці початкової матриці рядками, а рядки - стовпчиками. Приклад наведено в лістингу на рис.2. Введення символу транспонування (transpose) здійснюється за допомогою панелі інструментів Matrix (Матриця) або натисканням клавіш <Ctrl> + <1>. He забувайте, що для вставки символу транспонування матриця повинна перебувати між лініями введення. Нагадування про лінії введення по відношенню до матриць наведено раніше.
Додавання
У MathCAD можна як складати матриці, так і віднімати їх одне з одного. Для цих операторів застосовуються символи <+> або <-> відповідно. Матриці повинні мати однакову розмірність, інакше буде видане повідомлення про помилку. Кожен елемент суми двох матриць дорівнює сумі відповідних елементів матриць-доданків (приклад на рис.3).
Крім складання матриць, MathCAD підтримує операцію складання матриці зі скалярною величиною, тобто числом (приклад на рис.4). Кожен елемент результуючої матриці дорівнює сумі відпо-лькості елемента вихідної матриці і скалярної величини.
Результат зміни знака матриці еквівалентний зміні знака всіх її елементів. Для того щоб змінити знак матриці, досить ввести перед нею знак мінуса, як перед звичайним числом (приклад на рис.4).
Множення
При множенні слід пам'ятати, що матрицю розмірності m x n допустимо множити тільки на матрицю-розмірності n x p (р може бути будь-яким). У результаті виходить матриця розмірності m х р.
Щоб ввести символ множення, потрібно натиснути клавішу із зірочкою <*> або скористатися панеллю інструментів Matrix (Матриця), натиснувши на ній кнопку Dot Product (Множення) (рис.1). Множення матриць позначається за замовчуванням точкою, як показано в прикладі на рис 6. Символ множення матриць можна вибирати точно так само, як і в скалярних виразах.
Зверніть увагу, що спроба перемножити матриці A і B невідповідного (однакового 2х3) розміру виявилася безрезультатною: після введеного знака рівності знаходиться порожній местозаполнітель, а саме вираження в редакторі MathCad виділяється червоним кольором. При установці курсора на цей вислів, з'являється повідомлення про розбіжності числа рядків першої матриці числа стовпців другого матриці.
Ще один приклад, що відноситься до множення вектора на матрицю-рядок і, навпаки, рядки на вектор, наведено на рис. 7. У другому рядку цього прикладу показано, як виглядає формула при виборі відображення оператора множення No Space (Разом). Однак той же самий оператор множення діє на два вектора по-іншому.
Аналогічно додаванню матриць з скаляром визначається множення і ділення матриці на скалярну величину (приклад на рис.8). Символ множення вводиться так само, як і у випадку множення двох матриць. На скаляр можна множити будь-яку матрицю розміру m x n.
Визначник квадратної матриці
Визначник (Determinant) матриці позначається стандартним математичним символом. Щоб ввести оператор знаходження визначника матриці, можна натиснути кнопку Determinant (Визначник) на панелі інструментів Matrix (Матриця) (рис. 1) або набрати на клавіатурі <|> (натиснувши клавіші <Shift> + <\>). У результаті будь-якого з цих дій з'являється местозаполнітель, в який слід помістити матрицю. Щоб обчислити визначити вже введеної матриці, потрібно виконати наступні дії:
1. Перемістити курсор у документі таким чином, щоб помістити матрицю між лініями введення (нагадуємо, що лінії введення - це вертикальний і горизон-тальний відрізки синього кольору, що утворюють куточок, який вказує на поточну область редагування).
2. Ввести оператор знаходження визначника матриці.
3. Ввести знак рівності, щоб обчислити визначник.
Результат обчислення визначника наведений у прикладі на мал. 9.
Модуль вектора
Модуль вектора (vector magnitude) позначається тим же символом, що і визначник матриці. За визначенням, модуль вектора дорівнює квадратному кореню з суми квадратів його елементів (приклад на рис.10).
Скалярний добуток векторів
Скалярний добуток векторів (vector inner product) визначається як скаляр, який дорівнює сумі попарних творів відповідних елементів. Вектори повинні мати однакову розмірність, скалярний твір має ту ж розмірність. Скалярний добуток двох векторів u і v одно u · v = | u | · | v | · cos j, де j - кут між векторами. Якщо вектори ортогональні, їх скалярний добуток дорівнює нулю. Позначається скалярний твір тим же символом множення (приклад на рис.11). Для позначення скалярного твори користувач також може вибирати подання оператора множення.
Ніколи не застосовуйте для позначення скалярного твори символ який є загальновживаним символом векторного добутку.
З обережністю перемножуєте кілька (більше двох) векторів. По-різному розставлені дужки повністю змінюють результат множення. Приклади такого множення див. у лістингу на рис.12.
Векторний добуток
Векторний добуток (cross product) двох векторів u і v з кутом a між ними одно вектору з модулем | u | · | v | · sin a, спрямованим перпендикулярно носкості векторів u і v. Позначають векторний добуток символом х, який можна ввести натисканням кнопки Cross Product (Векторне проізвеніе) в панелі Matrix (Матриця) або поєднанням клавіш <Ctrl> + <8>. Приклад наведено на рис.13.
Завдання 1.
Обчисліть матрицю 2 * A * B-3 * C * D, де:
Відповідь:
ДДМА
Реферат
на тему:Завдання лінійної алгебри. Поняття матриці. Види матриць. Операції з матрицями. Рішення задач на перетворення матриць.
Підготував
учень 1КД гр.Сергій Шрам
Краматорськ
2003Завдання лінійної алгебри. Поняття матриці. Види матриць. Операції з матрицями. Рішення задач на перетворення матриць.
При вирішенні різних завдань математики дуже часто доводиться мати справу з таблицями чисел, які називаються матрицями. За допомогою матриць зручно розв'язувати системи лінійних рівнянь, виконувати багато операцій із векторами, вирішувати різні завдання комп'ютерної графіки та інші інженерні завдання.
Матрицею називається прямокутна таблиця з чисел, що містить деяку кількість m рядків і деяку кількість п стовпців. Числа т і п називаються порядками матриці. У випадку, якщо т = п, матриця називається квадратною, а число m = n - її порядком.
У подальшому для запису матриць будуть застосовуватися або здвоєні рисочки, або круглі дужки:
Для короткого позначення матриці часто буде використовуватися або одна велика латинська літера (наприклад, A), або символ | | a ij | |, А іноді з роз'ясненням: А = | | a ij | | = (A ij ), Де (i = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., n).
Числа a ij , Що входять до складу даної матриці, називаються її елементами. У записі a ij перший індекс І означає номер рядка, а другий індекс j - номер стовпця. У випадку квадрат-ної матриці
вводяться поняття головної та побічної діагоналей. Головною діагоналлю матриці (1.1) називається діагональ а 11 а 12 ... a nn що йде з лівого верхнього кута цієї матриці в правий нижній її кут. Побічної діагоналлю тієї ж матриці називається діагональ а n 1 а (n -1) 2 ... a 1 n , Що йде з лівого нижнього кута в правий верхній кут.
Основні операції над матрицями та їх властивості.
Перш за все, домовимося вважати дві матриці рівними, якщо ці матриці мають однакові порядки і всі їх відповідні елементи збігаються.
Перейдемо до визначення основних операції над матрицями.
Додавання матриць. Сумою двох матриць A = | | a ij | |, Де (i = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., n) і В = | | b ij | |, Де (i = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., n) одних і тих же порядків т і п називається матриця С = | | c ij | | (І = 1,2, ..., т; j = 1, 2, ...., п) тих же порядків т і п, елементи з ij якої визначаються за формулою
Для позначення суми двох матриць використовується запис С = А + В. Операція складання суми матриць називається їх складанням. Отже, за визначенням:
З визначення суми матриць, а точніше з формул (1.2) безпосередньо випливає, що операція додавання матриць має ті ж властивості, що й операція додавання речовинний-них чисел, а саме:
1) переместительное властивістю: А + В = В + А,
2) сполучним властивістю: (A + B) + С = А + (В + С).
Ці властивості дозволяють не дбати про порядок проходження доданків матриць при складанні двох або більшої кількості матриць.
Множення матриці на число. Твором матриці A = | | a ij | |, Де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) на дійсне число l, називається матриця С = | | c ij | | (І = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), елементи якої визначаються за формулою:
Для позначення твори матріциі на число використовується запис С = l A або С = А l. Операція складання твору матриці на число називається множенням матриці на це число.
Безпосередньо з формули (1.3) ясно, що множення матриці на число має такі властивості:
1) сполучним властивістю щодо числового множника: (l m) A = l (m A);
2) розподільчим властивістю щодо суми матриць: l (A + B) = l A + l B;
3) розподільчим властивістю щодо суми чисел: (l + m) A = l A + m A
Зауваження. Різницею двох матриць А і В однакових порядків т і п природно назвати таку матрицю З тих же порядків т і п, яка в сумі з матрицею B дає матрицю A. Для позначення різниці двох матриць використовується природна запис: С = A - В.
Дуже легко переконатися в тому, що різниця З двох матриць А і В може бути отримана за правилом С = A + (-1) В.
Твір матриць або перемножування матриць.
Твором матриці A = | | a ij | |, Де (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) має порядки, відповідно рівні т і n, на матрицю В = | | b ij | |, Де (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., р), що має порядки, відповідно рівні n і р, називається матриця С = | | c ij | | (І = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., р), що має порядки, відповідно рівні т і р елементи якої визначаються-ються за формулою:
Для позначення твори матріциі А на матрицю В використовують запис С = А × В. Операція складання твору матриці А на матрицю В називається перемножуванням цих матриць.
З сформульованого вище визначення випливає, що матрицю А можна помножити не на всяку матрицю В, необхідно, щоб число стовпців матриці А було дорівнює числу рядків матриці В.
Формула (1.4) являє собою правило складання елементів матриці С, що є твором матриці А на матрицю В. Це правило можна сформулювати і словесно: елемент c i j стоїть на пвресеченіі і-го рядка і j-го стовпця матріцьі С = А В, дорівнює сумі попарних творів відповідних елементів і-го рядка матриці А і j-го стовпця матриці В.
Як приклад застосування зазначеного правила наведемо формулу множення квадратних матриць другого порядку.
З формули (1.4) випливають такі властивості твори матриці А на Матрі-цу В:
1) сочетательное властивість: (А В) С = А (В С);
2) розподільне щодо суми матриць властивість:
(A + B) С = О З + В С або A (В + С) = A В + А С.
Питання про перестановною (переместительное) властивості твори матриці A на матрицю В має сенс ставити лише для квадратних матриць A і В однакового порядку.
Наведемо важливі приватні випадки матриць, для яких справедливо і переста-новочное властивість. Дві матриці для твори яких справедливо перестановочне властивість, прийнято називає коммутирующими.
Серед квадратних матриць виділимо клас так званих діагональних матриць, у кожної з яких елементи, розташовані поза головної діагоналі, дорівнюють нулю. Кожна діа-класичної теорії ортогональних матриця порядку п має вигляд
D =
де d 1, d 2, ..., d n-які завгодно числа. Легко бачити, що якщо всі ці числа рівні між собою, тобто d 1 = d 2 = ... = d n то для будь-квадратної матриці А порядку п справедливо рівність А D = D А.
Серед всіх діагональних матриць (1.5) з збігаються елементами d 1 = d 2 = ... = d n = = D особливо важливу роль відіграють дві матриці. Перша з цих матриць виходить при d = 1, називається одиничною матрицею n-го порядку і позначається символом Є. Друга матриця виходить при d = 0, називається нульовою матрицею n-го порядку і позначається символом O. Таким чином,
E =
У силу доведеного вище А Е = Е А і А О = О А. Більше того, легко показати, що
А Е = Е А = А, А О = О А = 0. (1.6)
Перша з формул (1.6) характеризує особливу роль одиничної матриці Е, аналогічну тій ролі, яку відіграє число 1 при перемноження дійсних чисел. Що ж стосується особливої ролі нульової матриці О, то її виявляє не тільки друга з формул (1.7), але й елементарно перевіряється рівність
А + 0 = 0 + А = А.
На закінчення зазначимо, що поняття нульової матриці можна вводити і для неквадрат-них матриць (нульовий називають будь-яку матрицю, всі елементи якої равниї нулю).
Блокові матриці
Припустимо, що деяка матриця A = | | a ij | | За допомогою горизонтальних і вертикальних прямих розбита на окремі прямокутні клітки, кожна з яких представляє собою матрицю менших розмірів і називається блоком вихідної матриці. У такому випадку виникає можливість розгляду вихідної матриці А як деякої нової (так званої б л о ч н о ї) матріциі А = | | A a b | |, Елементами якої служать зазначені блоки. Зазначені елементи ми позначаємо великою латинською літерою, щоб підкреслити, що вони є, взагалі кажучи, матрицями, а не числами і (як звичайні числові елементи) постачаємо двома індексами, перший з яких вказує номер «блокової» рядки, а другий - номер «блокового »стовпця.Наприклад, матрицю
можна розглядати як блочну матрицю
елементами якої служать такі блоки:
Чудовим є той факт, що основні операції з блочними матрицями здійснюються за тими ж правилами, за якими вони відбуваються зі звичайними числовими матрицями, тільки в ролі елементів виступають блоки.
Поняття визначника.
Розглянемо довільну квадратну матрицю будь-якого порядку п:
A =
З кожною такою матрицею зв'яжемо цілком певну чисельну характеристику, звану визначником, відповідним цій матриці.
Якщо порядок n матриці (1.7) дорівнює одиниці, то ця матриця складається з одного елемен-та а i j визначником першого порядку відповідним такій матриці, ми назвемо величину цього елемента.
Якщо далі порядок п матриці (1.7) дорівнює двом, тобто якщо ця матриця має вигляд
A =
то визначником другого порядку, відповідним такій матриці, назвемо число, рівне а 11 а 22 - а 12 а 21 і позначається одним з символів:
Отже, за визначенням
Формула (1.9) являє собою правило складання визначника другого порядку за елементами відповідної йому матриці. Словесна формулювання цього правила така: визначник другого порядку, відповідний матриці (1.8), дорівнює різниці твори елементів, що стоять на головній діагоналі цієї матриці, і твори елементів, що стоять на побічної її діагоналі. Визначники другого і більш високих порядків знаходять широке застосування при вирішенні систем лінійних рівнянь.
Розглянемо, як виконуються операції з матрицями в системі MathCad. Найпростіші операції матричної алгебри реалізовані в MathCad у вигляді операторів. Написання операторів за змістом максимально наближений до їх математичному дії. Кожен оператор виражається відповідним символом. Розглянемо матричні і векторні операції MathCad 2001. Вектори є окремим випадком матриць розмірності nx 1, тому для них справедливі всі ті операції, що і для матриць, якщо обмеження окремо не обумовлені (наприклад, деякі операції застосовні тільки до квадратних матриць nxn). Якісь дії допустимі тільки для векторів (наприклад, скалярний добуток), а які-то, незважаючи на однакове написання, по-різному діють на вектори і матриці.
Нижній індекс |
Створити матрицю |
Задати вектор |
Скалярний добуток |
Векторний добуток |
Підсумовування елементів вектора |
Звернення (інверсія) |
Обчислення визначника |
Поставити діапазон дискретної величини |
Транспонування |
Стовпець матриці |
При роботі з матрицями використовується панель інструментів "Матриці"
Рис.1 Панель інструментів Матриці
Для введення матриці:
q введіть ім'я матриці і знак присвоювання (двокрапка)
q клацніть по значку "створити матрицю" в панелі "Матриці".
q
У діалозі задайте кількість рядків і стовпців матриці.
q Після натискання кнопки OK відкривається поле для введення елементів матриці. Для того, щоб ввести елемент матриці, встановіть курсор у зазначеній позиції і введіть з клавіатури число або вираз.
Для того, щоб виконати якусь операцію з допомогою панелі інструментів, потрібно:
q виділити матрицю і клацнути в панелі по кнопці операції,
q або клацнути по кнопці в панелі і ввести в поміченої позиції ім'я матриці.
Меню "Символи" містить три операції - транспонування, інвертування, визначник.
Це означає, наприклад, що обчислити визначник матриці можна, виконавши команду Символи / Матриці / Визначник.
Номер першого рядка (і першого стовпця) матриці MathCAD зберігає в змінної ORIGIN. За замовчуванням відлік ведеться від нуля. У математичного запису частіше прийнято вести відлік від 1. Для того, щоб MathCAD вів відлік номерів рядків і стовпців від 1, потрібно задати значення змінної ORIGIN: = 1.
Функції, призначені для роботи з завданнями лінійної алгебри, зібрано в розділі "Вектори і матриці" діалогу "вставити функцію" (нагадуємо, що він викликається кнопкою на панелі "Стандартні"). Основні з цих функцій будуть описані пізніше.
Транспонування
|
Транспортуванням називають операцію, що переводять матрицю розмірності mxn в матрицю розмірності nxm, роблячи стовпці початкової матриці рядками, а рядки - стовпчиками. Приклад наведено в лістингу на рис.2. Введення символу транспонування (transpose) здійснюється за допомогою панелі інструментів Matrix (Матриця) або натисканням клавіш <Ctrl> + <1>. He забувайте, що для вставки символу транспонування матриця повинна перебувати між лініями введення. Нагадування про лінії введення по відношенню до матриць наведено раніше.
Додавання
У MathCAD можна як складати матриці, так і віднімати їх одне з одного. Для цих операторів застосовуються символи <+> або <-> відповідно. Матриці повинні мати однакову розмірність, інакше буде видане повідомлення про помилку. Кожен елемент суми двох матриць дорівнює сумі відповідних елементів матриць-доданків (приклад на рис.3).
|
|
|
Результат зміни знака матриці еквівалентний зміні знака всіх її елементів. Для того щоб змінити знак матриці, досить ввести перед нею знак мінуса, як перед звичайним числом (приклад на рис.4).
Множення
При множенні слід пам'ятати, що матрицю розмірності m x n допустимо множити тільки на матрицю-розмірності n x p (р може бути будь-яким). У результаті виходить матриця розмірності m х р.
Щоб ввести символ множення, потрібно натиснути клавішу із зірочкою <*> або скористатися панеллю інструментів Matrix (Матриця), натиснувши на ній кнопку Dot Product (Множення) (рис.1). Множення матриць позначається за замовчуванням точкою, як показано в прикладі на рис 6. Символ множення матриць можна вибирати точно так само, як і в скалярних виразах.
|
Ще один приклад, що відноситься до множення вектора на матрицю-рядок і, навпаки, рядки на вектор, наведено на рис. 7. У другому рядку цього прикладу показано, як виглядає формула при виборі відображення оператора множення No Space (Разом). Однак той же самий оператор множення діє на два вектора по-іншому.
|
|
Аналогічно додаванню матриць з скаляром визначається множення і ділення матриці на скалярну величину (приклад на рис.8). Символ множення вводиться так само, як і у випадку множення двох матриць. На скаляр можна множити будь-яку матрицю розміру m x n.
Визначник квадратної матриці
Визначник (Determinant) матриці позначається стандартним математичним символом. Щоб ввести оператор знаходження визначника матриці, можна натиснути кнопку Determinant (Визначник) на панелі інструментів Matrix (Матриця) (рис. 1) або набрати на клавіатурі <|> (натиснувши клавіші <Shift> + <\>). У результаті будь-якого з цих дій з'являється местозаполнітель, в який слід помістити матрицю. Щоб обчислити визначити вже введеної матриці, потрібно виконати наступні дії:
1. Перемістити курсор у документі таким чином, щоб помістити матрицю між лініями введення (нагадуємо, що лінії введення - це вертикальний і горизон-тальний відрізки синього кольору, що утворюють куточок, який вказує на поточну область редагування).
2. Ввести оператор знаходження визначника матриці.
3. Ввести знак рівності, щоб обчислити визначник.
|
Результат обчислення визначника наведений у прикладі на мал. 9.
Модуль вектора
Модуль вектора (vector magnitude) позначається тим же символом, що і визначник матриці. За визначенням, модуль вектора дорівнює квадратному кореню з суми квадратів його елементів (приклад на рис.10).
|
Скалярний добуток векторів
Скалярний добуток векторів (vector inner product) визначається як скаляр, який дорівнює сумі попарних творів відповідних елементів. Вектори повинні мати однакову розмірність, скалярний твір має ту ж розмірність. Скалярний добуток двох векторів u і v одно u · v = | u | · | v | · cos j, де j - кут між векторами. Якщо вектори ортогональні, їх скалярний добуток дорівнює нулю. Позначається скалярний твір тим же символом множення (приклад на рис.11). Для позначення скалярного твори користувач також може вибирати подання оператора множення.
|
Ніколи не застосовуйте для позначення скалярного твори символ який є загальновживаним символом векторного добутку.
З обережністю перемножуєте кілька (більше двох) векторів. По-різному розставлені дужки повністю змінюють результат множення. Приклади такого множення див. у лістингу на рис.12.
|
Векторний добуток
|
Векторний добуток (cross product) двох векторів u і v з кутом a між ними одно вектору з модулем | u | · | v | · sin a, спрямованим перпендикулярно носкості векторів u і v. Позначають векторний добуток символом х, який можна ввести натисканням кнопки Cross Product (Векторне проізвеніе) в панелі Matrix (Матриця) або поєднанням клавіш <Ctrl> + <8>. Приклад наведено на рис.13.
Завдання 1.
Обчисліть матрицю 2 * A * B-3 * C * D, де:
Відповідь: