Федеральне агентство з освіти РФ
Державна освітня установа
вищої професійної освіти
Контрольно-курсова робота
за курсом
«Історія та методологія механіки»
на тему
«Життя і діяльність родини Бернуллі»
Тула 2009
Зміст
Введення
Якоб Бернуллі
Йоганн Бернуллі
Данило Бернуллі
Якоб II Бернуллі
Математичні об'єкти, названі на честь членів сім'ї
Диференціальне рівняння Бернуллі
Закон Бернуллі
Лемніската Бернуллі
Нерівність Бернуллі
Розподіл Бернуллі
Числа і многочлени Бернуллі
Список літератури
Введення
Сімейство Бернуллі було одним з протестантських родин, які з Антверпена в 1583 році, щоб уникнути побиття католиками. Сімейство знайшло притулок спочатку у Франкфурті, а незабаром перебралося до Швейцарії, де осіло в Базелі. Засновник династії одружився з представницею одного з самих старовинних родин Базеля і став великим купцем. Микола Старший також був великим купцем. Три покоління Бернуллі дали 8 великих математиків і фізиків, з яких найбільш відомі Якоб, Йоганн, Данило і Якоб II. Серед академіків Петербурзької Академії наук - п'ятеро представників родини Бернуллі. Нижче наведено генеалогічне древо родини Бернуллі.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Якоб Бернуллі
Якоб народився в сім'ї процвітаючого фармацевта Миколи Бернуллі. Спочатку навчався богослов'я, але захопився математикою, яку вивчив самостійно. У 1677 році здійснив поїздку до Франції для вивчення ідей Декарта, потім у Нідерланди і Англію, де познайомився з Гуком і Бойл.
Повернувшись до Базеля, деякий час працював приватним вчителем. У 1684 році одружився на Юдіт Штупанус, у них народилися син і дочка.
Із 1687 року - професор фізики (пізніше - математики) в Базельському університеті. У 1684 студіює першого мемуар Лейбніца з аналізу і стає захопленим адептом нового обчислення. Пише лист Лейбницу з проханням роз'яснити кілька темних місць. Відповідь він отримав лише через три роки (Лейбніц тоді був у відрядженні в Парижі), за цей час Якоб Бернуллі самостійно освоїв диференціальне та інтегральне числення, а заодно долучив до нього брата Йоганна. Після повернення Лейбніц вступає в активну і взаємно-корисну листування з обома. Сформований тріумвірат - Лейбніц і брати Бернуллі - 20 років очолював європейських математиків і надзвичайно збагатив новий аналіз. У 1699 обидва брати Бернуллі обрані іноземними членами Паризької Академії наук.
Перше тріумфальний виступ молодого математика відноситься до 1690 році. Якоб вирішує завдання Лейбніца про форму кривої, по якій важка точка опускається за рівні проміжки часу на рівні вертикальні відрізки. Лейбніц і Гюйгенс вже встановили, що це полукубіческая парабола, але лише Якоб Бернуллі опублікував доказ засобами нового аналізу, вивівши та протестували диференціальне рівняння. При цьому вперше з'явився у пресі термін «інтеграл».
Якоб Бернуллі вніс величезний внесок у розвиток аналітичної геометрії і зародження варіаційного числення. Його ім'ям названа Лемніската Бернуллі. Він дослідив також циклоїди, ланцюгову лінію, і особливо логарифмічну спіраль. Останню з перерахованих кривих Якоб заповідав намалювати на своїй могилі; на жаль,, невігласи там зобразили спіраль Архімеда. Згідно із заповітом, навколо спіралі викарбувано напис латиною, «EADEM MUTATA RESURGO» («змінена, я знову воскресав»), яка відображає властивість логарифмічної спіралі відновлювати свою форму після різних перетворень.
Якобу Бернуллі належать значні досягнення в теорії рядів, диференціальному численні, теорії ймовірностей і теорії чисел, де його ім'ям названі «числа Бернуллі».
Він вивчив теорію ймовірностей по книзі Гюйгенса «Про розрахунки в азартній грі», в якій ще не було визначення та поняття ймовірності (її замінює кількість сприятливих випадків). Якоб Бернуллі ввів значну частину сучасних понять теорії ймовірностей і сформулював перший варіант закону великих чисел. Якоб Бернуллі підготував монографію у цій галузі, проте видати її не встиг. Вона була надрукована посмертно, в 1713 році, його братом Миколою, під назвою «Мистецтво припущень». Це змістовний трактат з теорії ймовірностей, статистики та їх практичного застосування, підсумок комбінаторики і теорії ймовірностей XVII століття. Ім'я Якоба носить важливе в комбінаториці розподіл Бернуллі.
Якоб Бернуллі видав також роботи з різних питань арифметики, алгебри, геометрії та фізики.
Йоганн Бернуллі
Йоганн став магістром (мистецтв) у 18 років, перейшов на вивчення медицини, але одночасно захопився математикою (хоча медицину не кинув). Разом із братом Якобом вивчає перші статті Лейбніца про методи диференціального й інтегрального числення, починає власні глибокі дослідження.
У 1691 будучи у Франції, пропагує нове літочислення, створивши першу паризьку школу аналізу. Після повернення до Швейцарії листується зі своїм учнем маркізом де Лопиталем, якому залишив змістовний конспект нового вчення з двох частин: числення нескінченно малих та інтегральне числення.
У якості концептуальної основи дій з нескінченно малими Йоганн сформулював на початку лекцій три постулати (перша спроба обгрунтування аналізу):
1. Величина, зменшена або збільшена на нескінченно малу величину, не зменшується і не збільшується.
2. Будь-яка крива лінія складається з нескінченно багатьох прямих, які самі нескінченно малі.
3. Фігура, яка знаходиться між двома ординатами, різницею абсцис і нескінченно малим шматком будь-якій кривій, розглядається як паралелограм.
Пізніше Лопиталь при виданні свого підручника відкинув третій постулат як зайвий, що випливає з перших.
У цьому ж 1691 з'явився перший друкована праця Йоганна в Acta Eruditorum: він знайшов рівняння «ланцюгової лінії» (через відсутність у той час показової функції побудова виконувалося через логарифмічну функцію). Одночасно докладне дослідження кривої дали Лейбніц і Гюйгенс.
У 1692 їм отримано класичне вираз для радіуса кривизни кривої.
З 1693 підключився до листування брата з Лейбніцем.
У 1694 одружився і в тому ж році захистив докторську дисертацію з медицини. У відповідь на лист Лопіталя повідомляє йому метод розкриття невизначеностей, відомий зараз як «правило Лопіталя».
Друкує в Acta Eruditorum статтю «Загальний спосіб побудови всіх диференціальних рівнянь першого порядку». Тут з'явилися висловлювання «порядок рівняння» і «поділ змінних» - останнім терміном Йоганн користувався ще у своїх паризьких лекціях. Висловлюючи сумнів щодо зведення будь-якого рівняння до виду з відокремлюваними змінними, Йоганн пропонує для рівнянь першого порядку загальний прийом побудови всіх інтегральних кривих за допомогою ізоклін в обумовленому рівнянням полі напрямків. У 1695 за рекомендацією Гюйгенса стає професором математики в Гронінгені.
У 1696 Лопиталь випускає в Парижі під своїм ім'ям перший в історії підручник з математичного аналізу: «Аналіз нескінченно малих для дослідження кривих ліній» (французькою мовою), в основу якого була покладена перша частина конспекту Бернуллі. Значення цієї книги для поширення нового вчення важко переоцінити - не тільки тому, що вона була першою, але і завдяки ясному викладу, прекрасному стилю, достатку прикладів. Як і конспект Бернуллі, підручник Лопіталя містив безліч додатків; власне, вони займали левову частку книги - 95%. Практично весь викладений Лопиталем матеріал був почерпнуть з робіт Лейбніца і Іоганна Бернуллі (авторство яких у загальній формі було визнано в передмові). Дещо, втім, Лопиталь додав і зі своїх власних знахідок у галузі вирішення диференціальних рівнянь. Пояснення цієї незвичайної ситуації - у матеріальні труднощі Йоганна після одруження.
Двома роками раніше, у листі від 17 березня 1694 Лопиталь запропонував Йогану щорічну пенсію в 300 ліврів, з обіцянкою потім її підвищити, за умови, що Йоганн візьме на себе розробку цікавлять його питань і буде повідомляти йому, і тільки йому, свої нові відкриття, а також нікому не пошле копії своїх творів, залишених у свій час у Лопіталя. Цей незвичайний контракт пунктуально дотримувався 2 роки, до видання книги Лопіталя. Пізніше Йоганн Бернуллі - спочатку в листах до друзів, а після смерті Лопіталя (1704) і в пресі - став захищати свої авторські права.
Книга Бернуллі-Лопіталя мала шалений успіх у найширшої публіки, витримала чотири видання (останнє - у 1781 році), обросла коментарями, була навіть (1730) переведена на англійську, з заміною термінології на ньютонівську (диференціалів на флюксии і т.п.) . У Англії перший спільний підручник з аналізу вийшов тільки в 1706 р. (Діттон).
У 1696 Йоганн публікує завдання про брахистохроне: знайти форму кривої, по якій матеріальна точка швидше за все скотиться з однієї заданої точки в іншу. Ще Галілей розмірковував на цю тему, але помилково вважав, що брахистохроне - дуга окружності. Це була перша в історії варіаційна задача, і математики з нею блискуче впоралися. Йоганн сформулював завдання в листі Лейбніца, який негайно її вирішив і порадив виставити на конкурс. Тоді Йоганн опублікував її в Acta Eruditorum. На конкурс прийшли три рішення, всі вірні: від Лопіталя, Якова Бернуллі і (анонімно опубліковано в Лондоні без доведення) від Ньютона. Крива виявилася циклоїдою. Своє власне рішення Йоганн теж опублікував.
У 1699 разом з Якобом обрано іноземним членом Паризької Академії наук. У 1702 спільно з Лейбніцем відкрив прийом розкладання раціональних дробів на суму найпростіших. У 1705 повернувся до Базельського університету, професором грецької мови.
У 1708 після смерті брата Якоба (1705) запрошується на його кафедру в Базелі і займає її до самої смерті (1748).
Іншими науковими заслугами Йоганна Бернуллі є постановка класичної задачі про геодезичних лініях і знаходження характерних геометричних властивостей цих ліній, а пізніше виведення їх диференціальне рівняння. Необхідно також відзначити, що він виховав багато учнів, серед яких - Ейлер і Данило Бернуллі.
До його портрета Вольтер написав чотиривірш:
Його розум бачив істину,
Його серце пізнало справедливість.
Він - гордість Швейцарії
І всього людства.
На честь Якоба і Іоганна Бернуллі названий кратер на Місяці.
Данило Бернуллі
Данило народився в Гронінгені (Голландія), де його батько тоді викладав математику в університеті. З юних років захопився математикою, спочатку навчався у батька і брата Миколи, паралельно вивчаючи медицину. Після повернення до Швейцарії подружився з Ейлером. У 1721 склав іспити на медика в Базелі, захистив дисертацію. Потім поїхав до Італії, де набирався досвіду в медицині. У 1724 випустив «Математичні етюди», що принесли йому популярність. У 1725 разом з братом Миколою їде на запрошення до Петербурга, де за імператорським указом заснована Петербурзька академія наук. Займається там медициною, але потім переходить на кафедру математики (1728), що стала вакантною після смерті його брата Миколи. Момент для приїзду був надзвичайно невдалим - якраз помер Петро I, почалася плутанина. Запрошені до Академії іноземці частково розсіялися, але Данило залишився і навіть умовив приїхати одного Ейлера (1727). Але тут померла імператриця Катерина I, і владі остаточно стало не до Академії. Незабаром Данило повертається до Базеля. Він залишився почесним членом Петербурзької академії, в її журналі опубліковані 47 з 75 праць Данила Бернуллі.
У 1728 надрукував «Зауваження про рекурентних послідовностях». У 1733 влаштувався професором анатомії і ботаніки у Базелі (інших вакансій не було). Веде жваву, взаємно-корисну листування з Ейлером. У 1738 як результат багаторічної праці виходить фундаментальна праця «Гідродинаміка». Серед іншого там основний «закон Бернуллі». Диференціальних рівнянь руху рідини в книзі ще немає (їх встановив Ейлер в 1750-ті роки).
Протягом 1747-1753 виходить у світ важлива серія робіт про коливання струни. Бернуллі, виходячи з фізичних міркувань, здогадався розкласти рішення в тригонометричний ряд. Він проголосив, що цей ряд не менш загальний, ніж ступеневій. Ейлер і Даламбер виступили із запереченнями. Питання було вирішено лише в XIX столітті, і Бернуллі мав рацію.
У 1748 обраний іноземним членом Паризької Академії наук. У 1750 перейшов на кафедру фізики Базельського університету, де і працював до смерті в 1782 році. Помер за робочим столом навесні 1782 року.
Одружений не був. Стосунки з батьком коливалися від натягнутих до ворожих, суперечки між ними про пріоритет не вщухали.
Найбільше Данило Бернуллі прославився працями в галузі математичної фізики та теорії диференціальних рівнянь - його вважають, поряд із Даламбером і Ейлером, засновником математичної фізики.
Фізик-універсал, він грунтовно збагатив кінетичну теорію газів, гідродинаміку і аеродинаміку, теорію пружності і т.д. Він перший виступив з твердженням, що причиною тиску газу є тепловий рух молекул. У своїй класичній «Гідродинаміка» він вивів рівняння стаціонарного течії нестисливої рідини (рівняння Бернуллі), що лежить в основі динаміки рідин і газів. З точки зору молекулярної теорії він пояснив закон Бойля-Маріотта.
Бернуллі належить одна з перших формулювань закону збереження енергії (живої сили, як тоді казали), а також (одночасно з Ейлером) перша формулювання закону збереження моменту кількості руху (1746). Він багато років вивчав і математично моделював пружні коливання, ввів поняття гармонійного коливання, дав принцип суперпозиції коливань.
У математиці опублікував ряд досліджень з теорії ймовірностей, теорії рядів і диференціальних рівнянь. Він перший застосував математичний аналіз до завдань теорії ймовірностей (1768), до цього використовувалися тільки комбінаторний підхід. Бернуллі просунув також математичну статистику, розглянувши із застосуванням імовірнісних методів ряд практично важливих завдань.
Данило був Академіком і почесним іноземним членом Петербурзької академії наук (1733), членом Академій: Болонської (1724), Берлінської (1747), Паризької (1748), Лондонського королівського товариства (1750). Лауреат численних премій і призів у конкурсах.
Якоб II Бернуллі
Якоб отримав юридичну освіту, але потім переключився на фізику і математику. Після невдалої спроби посісти кафедру фізики в Базелі, що звільнилася після смерті Данила Бернуллі (1782), Якоб поїхав до Італії і поступив на дипломатичну службу. У 1786 році він переселився до Росії. Одружився з онукою Ейлера. Служив в Академії наук і Кадетському корпусі. Загинув у віці 30 років у результаті нещасного випадку при купанні в Неві.
Якоб Бернуллі встиг опублікувати неабиякі роботи з різних питань механіки, теорії пружності, гідростатики і балістики: обертального руху тіла, закріпленого на розтяжною нитки, течією води в трубах, гідравлічним машинам. Вивів диференціальне рівняння коливання пластин.
Державна освітня установа
вищої професійної освіти
Тульський державний університет
Кафедра математичного моделюванняКонтрольно-курсова робота
за курсом
«Історія та методологія механіки»
на тему
«Життя і діяльність родини Бернуллі»
Тула 2009
Зміст
Введення
Якоб Бернуллі
Йоганн Бернуллі
Данило Бернуллі
Якоб II Бернуллі
Математичні об'єкти, названі на честь членів сім'ї
Диференціальне рівняння Бернуллі
Закон Бернуллі
Лемніската Бернуллі
Нерівність Бернуллі
Розподіл Бернуллі
Числа і многочлени Бернуллі
Список літератури
Введення
Сімейство Бернуллі було одним з протестантських родин, які з Антверпена в 1583 році, щоб уникнути побиття католиками. Сімейство знайшло притулок спочатку у Франкфурті, а незабаром перебралося до Швейцарії, де осіло в Базелі. Засновник династії одружився з представницею одного з самих старовинних родин Базеля і став великим купцем. Микола Старший також був великим купцем. Три покоління Бернуллі дали 8 великих математиків і фізиків, з яких найбільш відомі Якоб, Йоганн, Данило і Якоб II. Серед академіків Петербурзької Академії наук - п'ятеро представників родини Бернуллі. Нижче наведено генеалогічне древо родини Бернуллі.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Якоб Бернуллі (1654-1705) |
Микола Бернуллі (1662-1716) |
Йоганн Бернуллі (1667-1748) |
Микола I Бернуллі (1687-1759) |
Микола II Бернуллі (1695-1726) |
Данило Бернуллі (1700-1782) |
Йоганн II Бернуллі (1710-1790) |
Йоганн III Бернуллі (1744-1807) |
Данило II Бернуллі (1751-1834) |
Якоб II Бернуллі (1759-1789) |
Якоб Бернуллі
Якоб народився в сім'ї процвітаючого фармацевта Миколи Бернуллі. Спочатку навчався богослов'я, але захопився математикою, яку вивчив самостійно. У 1677 році здійснив поїздку до Франції для вивчення ідей Декарта, потім у Нідерланди і Англію, де познайомився з Гуком і Бойл.
Повернувшись до Базеля, деякий час працював приватним вчителем. У 1684 році одружився на Юдіт Штупанус, у них народилися син і дочка.
Із 1687 року - професор фізики (пізніше - математики) в Базельському університеті. У 1684 студіює першого мемуар Лейбніца з аналізу і стає захопленим адептом нового обчислення. Пише лист Лейбницу з проханням роз'яснити кілька темних місць. Відповідь він отримав лише через три роки (Лейбніц тоді був у відрядженні в Парижі), за цей час Якоб Бернуллі самостійно освоїв диференціальне та інтегральне числення, а заодно долучив до нього брата Йоганна. Після повернення Лейбніц вступає в активну і взаємно-корисну листування з обома. Сформований тріумвірат - Лейбніц і брати Бернуллі - 20 років очолював європейських математиків і надзвичайно збагатив новий аналіз. У 1699 обидва брати Бернуллі обрані іноземними членами Паризької Академії наук.
Перше тріумфальний виступ молодого математика відноситься до 1690 році. Якоб вирішує завдання Лейбніца про форму кривої, по якій важка точка опускається за рівні проміжки часу на рівні вертикальні відрізки. Лейбніц і Гюйгенс вже встановили, що це полукубіческая парабола, але лише Якоб Бернуллі опублікував доказ засобами нового аналізу, вивівши та протестували диференціальне рівняння. При цьому вперше з'явився у пресі термін «інтеграл».
Якоб Бернуллі вніс величезний внесок у розвиток аналітичної геометрії і зародження варіаційного числення. Його ім'ям названа Лемніската Бернуллі. Він дослідив також циклоїди, ланцюгову лінію, і особливо логарифмічну спіраль. Останню з перерахованих кривих Якоб заповідав намалювати на своїй могилі; на жаль,, невігласи там зобразили спіраль Архімеда. Згідно із заповітом, навколо спіралі викарбувано напис латиною, «EADEM MUTATA RESURGO» («змінена, я знову воскресав»), яка відображає властивість логарифмічної спіралі відновлювати свою форму після різних перетворень.
Якобу Бернуллі належать значні досягнення в теорії рядів, диференціальному численні, теорії ймовірностей і теорії чисел, де його ім'ям названі «числа Бернуллі».
Він вивчив теорію ймовірностей по книзі Гюйгенса «Про розрахунки в азартній грі», в якій ще не було визначення та поняття ймовірності (її замінює кількість сприятливих випадків). Якоб Бернуллі ввів значну частину сучасних понять теорії ймовірностей і сформулював перший варіант закону великих чисел. Якоб Бернуллі підготував монографію у цій галузі, проте видати її не встиг. Вона була надрукована посмертно, в 1713 році, його братом Миколою, під назвою «Мистецтво припущень». Це змістовний трактат з теорії ймовірностей, статистики та їх практичного застосування, підсумок комбінаторики і теорії ймовірностей XVII століття. Ім'я Якоба носить важливе в комбінаториці розподіл Бернуллі.
Якоб Бернуллі видав також роботи з різних питань арифметики, алгебри, геометрії та фізики.
Йоганн Бернуллі
Йоганн став магістром (мистецтв) у 18 років, перейшов на вивчення медицини, але одночасно захопився математикою (хоча медицину не кинув). Разом із братом Якобом вивчає перші статті Лейбніца про методи диференціального й інтегрального числення, починає власні глибокі дослідження.
У 1691 будучи у Франції, пропагує нове літочислення, створивши першу паризьку школу аналізу. Після повернення до Швейцарії листується зі своїм учнем маркізом де Лопиталем, якому залишив змістовний конспект нового вчення з двох частин: числення нескінченно малих та інтегральне числення.
У якості концептуальної основи дій з нескінченно малими Йоганн сформулював на початку лекцій три постулати (перша спроба обгрунтування аналізу):
1. Величина, зменшена або збільшена на нескінченно малу величину, не зменшується і не збільшується.
2. Будь-яка крива лінія складається з нескінченно багатьох прямих, які самі нескінченно малі.
3. Фігура, яка знаходиться між двома ординатами, різницею абсцис і нескінченно малим шматком будь-якій кривій, розглядається як паралелограм.
Пізніше Лопиталь при виданні свого підручника відкинув третій постулат як зайвий, що випливає з перших.
У цьому ж 1691 з'явився перший друкована праця Йоганна в Acta Eruditorum: він знайшов рівняння «ланцюгової лінії» (через відсутність у той час показової функції побудова виконувалося через логарифмічну функцію). Одночасно докладне дослідження кривої дали Лейбніц і Гюйгенс.
У 1692 їм отримано класичне вираз для радіуса кривизни кривої.
З 1693 підключився до листування брата з Лейбніцем.
У 1694 одружився і в тому ж році захистив докторську дисертацію з медицини. У відповідь на лист Лопіталя повідомляє йому метод розкриття невизначеностей, відомий зараз як «правило Лопіталя».
Друкує в Acta Eruditorum статтю «Загальний спосіб побудови всіх диференціальних рівнянь першого порядку». Тут з'явилися висловлювання «порядок рівняння» і «поділ змінних» - останнім терміном Йоганн користувався ще у своїх паризьких лекціях. Висловлюючи сумнів щодо зведення будь-якого рівняння до виду з відокремлюваними змінними, Йоганн пропонує для рівнянь першого порядку загальний прийом побудови всіх інтегральних кривих за допомогою ізоклін в обумовленому рівнянням полі напрямків. У 1695 за рекомендацією Гюйгенса стає професором математики в Гронінгені.
У 1696 Лопиталь випускає в Парижі під своїм ім'ям перший в історії підручник з математичного аналізу: «Аналіз нескінченно малих для дослідження кривих ліній» (французькою мовою), в основу якого була покладена перша частина конспекту Бернуллі. Значення цієї книги для поширення нового вчення важко переоцінити - не тільки тому, що вона була першою, але і завдяки ясному викладу, прекрасному стилю, достатку прикладів. Як і конспект Бернуллі, підручник Лопіталя містив безліч додатків; власне, вони займали левову частку книги - 95%. Практично весь викладений Лопиталем матеріал був почерпнуть з робіт Лейбніца і Іоганна Бернуллі (авторство яких у загальній формі було визнано в передмові). Дещо, втім, Лопиталь додав і зі своїх власних знахідок у галузі вирішення диференціальних рівнянь. Пояснення цієї незвичайної ситуації - у матеріальні труднощі Йоганна після одруження.
Двома роками раніше, у листі від 17 березня 1694 Лопиталь запропонував Йогану щорічну пенсію в 300 ліврів, з обіцянкою потім її підвищити, за умови, що Йоганн візьме на себе розробку цікавлять його питань і буде повідомляти йому, і тільки йому, свої нові відкриття, а також нікому не пошле копії своїх творів, залишених у свій час у Лопіталя. Цей незвичайний контракт пунктуально дотримувався 2 роки, до видання книги Лопіталя. Пізніше Йоганн Бернуллі - спочатку в листах до друзів, а після смерті Лопіталя (1704) і в пресі - став захищати свої авторські права.
Книга Бернуллі-Лопіталя мала шалений успіх у найширшої публіки, витримала чотири видання (останнє - у 1781 році), обросла коментарями, була навіть (1730) переведена на англійську, з заміною термінології на ньютонівську (диференціалів на флюксии і т.п.) . У Англії перший спільний підручник з аналізу вийшов тільки в 1706 р. (Діттон).
У 1696 Йоганн публікує завдання про брахистохроне: знайти форму кривої, по якій матеріальна точка швидше за все скотиться з однієї заданої точки в іншу. Ще Галілей розмірковував на цю тему, але помилково вважав, що брахистохроне - дуга окружності. Це була перша в історії варіаційна задача, і математики з нею блискуче впоралися. Йоганн сформулював завдання в листі Лейбніца, який негайно її вирішив і порадив виставити на конкурс. Тоді Йоганн опублікував її в Acta Eruditorum. На конкурс прийшли три рішення, всі вірні: від Лопіталя, Якова Бернуллі і (анонімно опубліковано в Лондоні без доведення) від Ньютона. Крива виявилася циклоїдою. Своє власне рішення Йоганн теж опублікував.
У 1699 разом з Якобом обрано іноземним членом Паризької Академії наук. У 1702 спільно з Лейбніцем відкрив прийом розкладання раціональних дробів на суму найпростіших. У 1705 повернувся до Базельського університету, професором грецької мови.
У 1708 після смерті брата Якоба (1705) запрошується на його кафедру в Базелі і займає її до самої смерті (1748).
Іншими науковими заслугами Йоганна Бернуллі є постановка класичної задачі про геодезичних лініях і знаходження характерних геометричних властивостей цих ліній, а пізніше виведення їх диференціальне рівняння. Необхідно також відзначити, що він виховав багато учнів, серед яких - Ейлер і Данило Бернуллі.
До його портрета Вольтер написав чотиривірш:
Його розум бачив істину,
Його серце пізнало справедливість.
Він - гордість Швейцарії
І всього людства.
На честь Якоба і Іоганна Бернуллі названий кратер на Місяці.
Данило Бернуллі
Данило народився в Гронінгені (Голландія), де його батько тоді викладав математику в університеті. З юних років захопився математикою, спочатку навчався у батька і брата Миколи, паралельно вивчаючи медицину. Після повернення до Швейцарії подружився з Ейлером. У 1721 склав іспити на медика в Базелі, захистив дисертацію. Потім поїхав до Італії, де набирався досвіду в медицині. У 1724 випустив «Математичні етюди», що принесли йому популярність. У 1725 разом з братом Миколою їде на запрошення до Петербурга, де за імператорським указом заснована Петербурзька академія наук. Займається там медициною, але потім переходить на кафедру математики (1728), що стала вакантною після смерті його брата Миколи. Момент для приїзду був надзвичайно невдалим - якраз помер Петро I, почалася плутанина. Запрошені до Академії іноземці частково розсіялися, але Данило залишився і навіть умовив приїхати одного Ейлера (1727). Але тут померла імператриця Катерина I, і владі остаточно стало не до Академії. Незабаром Данило повертається до Базеля. Він залишився почесним членом Петербурзької академії, в її журналі опубліковані 47 з 75 праць Данила Бернуллі.
У 1728 надрукував «Зауваження про рекурентних послідовностях». У 1733 влаштувався професором анатомії і ботаніки у Базелі (інших вакансій не було). Веде жваву, взаємно-корисну листування з Ейлером. У 1738 як результат багаторічної праці виходить фундаментальна праця «Гідродинаміка». Серед іншого там основний «закон Бернуллі». Диференціальних рівнянь руху рідини в книзі ще немає (їх встановив Ейлер в 1750-ті роки).
Протягом 1747-1753 виходить у світ важлива серія робіт про коливання струни. Бернуллі, виходячи з фізичних міркувань, здогадався розкласти рішення в тригонометричний ряд. Він проголосив, що цей ряд не менш загальний, ніж ступеневій. Ейлер і Даламбер виступили із запереченнями. Питання було вирішено лише в XIX столітті, і Бернуллі мав рацію.
У 1748 обраний іноземним членом Паризької Академії наук. У 1750 перейшов на кафедру фізики Базельського університету, де і працював до смерті в 1782 році. Помер за робочим столом навесні 1782 року.
Одружений не був. Стосунки з батьком коливалися від натягнутих до ворожих, суперечки між ними про пріоритет не вщухали.
Найбільше Данило Бернуллі прославився працями в галузі математичної фізики та теорії диференціальних рівнянь - його вважають, поряд із Даламбером і Ейлером, засновником математичної фізики.
Фізик-універсал, він грунтовно збагатив кінетичну теорію газів, гідродинаміку і аеродинаміку, теорію пружності і т.д. Він перший виступив з твердженням, що причиною тиску газу є тепловий рух молекул. У своїй класичній «Гідродинаміка» він вивів рівняння стаціонарного течії нестисливої рідини (рівняння Бернуллі), що лежить в основі динаміки рідин і газів. З точки зору молекулярної теорії він пояснив закон Бойля-Маріотта.
Бернуллі належить одна з перших формулювань закону збереження енергії (живої сили, як тоді казали), а також (одночасно з Ейлером) перша формулювання закону збереження моменту кількості руху (1746). Він багато років вивчав і математично моделював пружні коливання, ввів поняття гармонійного коливання, дав принцип суперпозиції коливань.
У математиці опублікував ряд досліджень з теорії ймовірностей, теорії рядів і диференціальних рівнянь. Він перший застосував математичний аналіз до завдань теорії ймовірностей (1768), до цього використовувалися тільки комбінаторний підхід. Бернуллі просунув також математичну статистику, розглянувши із застосуванням імовірнісних методів ряд практично важливих завдань.
Данило був Академіком і почесним іноземним членом Петербурзької академії наук (1733), членом Академій: Болонської (1724), Берлінської (1747), Паризької (1748), Лондонського королівського товариства (1750). Лауреат численних премій і призів у конкурсах.
Якоб II Бернуллі
Якоб отримав юридичну освіту, але потім переключився на фізику і математику. Після невдалої спроби посісти кафедру фізики в Базелі, що звільнилася після смерті Данила Бернуллі (1782), Якоб поїхав до Італії і поступив на дипломатичну службу. У 1786 році він переселився до Росії. Одружився з онукою Ейлера. Служив в Академії наук і Кадетському корпусі. Загинув у віці 30 років у результаті нещасного випадку при купанні в Неві.
Якоб Бернуллі встиг опублікувати неабиякі роботи з різних питань механіки, теорії пружності, гідростатики і балістики: обертального руху тіла, закріпленого на розтяжною нитки, течією води в трубах, гідравлічним машинам. Вивів диференціальне рівняння коливання пластин.
Математичні об'єкти, названі на честь членів сім'ї
Диференціальне рівняння вигляду:
називається диференціальним рівнянням Бернуллі (на честь Якоба).
2. Зробимо заміну
3. Розв'язуємо диференціальне рівняння
Воно може бути вирішено з використанням інтегруючого множника
Ділимо на y 2
Заміна змінних
Множимо на M (x),
Результат
Закон Бернуллі
Закон Бернуллі (на честь Данила Бернуллі) є наслідком закону збереження енергії для стаціонарного потоку ідеальної (тобто без внутрішнього тертя) нестисливої рідини:
Тут
ρ - густина рідини,
v - швидкість потоку,
h - висота, на якій знаходиться розглянутий елемент рідини,
p - тиск.
Константа в правій частині зазвичай називається напором, або повним тиском, а також інтегралом Бернуллі. Розмірність усіх доданків - одиниця енергії, що припадає на одиницю об'єму рідини. Для горизонтальної труби h = 0 і рівняння Бернуллі приймає вигляд:
Ця форма рівняння Бернуллі може бути отримана шляхом інтегрування рівняння Ейлера для стаціонарного одновимірного потоку рідини, при постійній щільності ρ:
Відповідно до закону Бернуллі повний тиск у сталому потоці рідини залишається постійним уздовж цього потоку.
Повний тиск складається з вагового (ρgh), статичного (p) і динамічного (
Із закону Бернуллі випливає, що при зменшенні перерізу потоку, через зростання швидкості, тобто динамічного тиску, статичний тиск падає. Це є основною причиною ефекту Магнуса. Закон Бернуллі справедливий і для ламінарних потоків газу. Явище пониження тиску при збільшенні швидкості потоку лежить в основі роботи різного роду витратомірів, водо-і пароструминних насосів.
Закон Бернуллі справедливий у чистому вигляді лише для рідин, в'язкість яких дорівнює нулю, тобто таких рідин, які не прилипають до поверхні труби. Насправді експериментально встановлено, що швидкість рідини на поверхні твердого тіла завжди в точності дорівнює нулю.
Закон Бернуллі можна застосувати до закінчення ідеальної нестисливої рідини через малий отвір у бічній стінці або дні широкого судини.
Відповідно до закону Бернуллі прирівняємо повні тиску на верхній поверхні рідини і на виході з отвору:
де
p 0 - атмосферний тиск,
h - висота стовпа рідини в посудині,
v - швидкість витікання рідини.
Звідси:
де
p - тиск газу в точці
ρ - щільність газу в точці
v - швидкість течії газу
g - прискорення вільного падіння
h - висота відносно початку координат
При русі в неоднорідному полі gz замінюється на потенціал гравітаційного поля.
1. Запишемо Рівняння Ейлера:
φ - потенціал. Для сили тяжкості φ = gz
2. Запишемо вираз для ентальпії і припустимо, що ентропія системи постійна (чи, можна сказати, що протягом адіабатичним):
dW = VdP + TdS
Нехай S = const і w - ентальпія одиниці маси, тоді:
3. Скористаємося наступними співвідношеннями з векторної алгебри:
4. Рівняння Ейлера з використанням співвідношень виведених вище:
Спроектуємо це рівняння на одиничний вектор дотичний до лінії струму з огляду на таке:
Одержуємо:
Тобто на лініях струму в стаціонарній адіабатичне рідини виконується наступне співвідношення:
Лемніската Бернуллі
Лемніската за формою нагадує вісімку. Її назва походить з античному Риму, де «лемніскати» називали бантик, за допомогою якого прикріплювали вінок до голови переможця на спортивних іграх. Цю лемніскати називають на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі, який поклав початок її вивчення.
· В прямокутних координатах:
· В полярних координатах
·
Параметричне рівняння в прямокутній системі:
Щоб задати лемніскати за двома довільним точках, можна не виводити рівняння заново, а визначити перетворення координат, при якому старий (даний) фокусна відрізок переходить в новий, і впливати на представлені рівняння цим перетворенням.
2. Вона має дві осі симетрії: пряма, на якій лежить F 1 F 2, і серединний перпендикуляр цього відрізка, в простому (даному) випадку - вісь OY.
3. Точка, де Лемніската перетинає саму себе, називається вузловий або подвійною точкою.
4. Крива має 2 максимуму і 2 мінімуму. Їх координати:
5.
6. Відстань від максимуму до мінімуму, що знаходяться по один бік від серединного перпендикуляра (осі OY в даному випадку) дорівнює відстані від максимуму (або від мінімуму) до подвійної точки.
7. Дотичні в подвійній точці складають з відрізком F 1 F 2 кути
8. Лемніскати описує коло радіуса
9. Інверсія відносно кола з центром в подвійній точці, переводить лемніскати Бернуллі в равнобочная гіперболу.
10. Для представлення в полярних координатах, вірно наступне
a. Площа полярного сектору
b. Зокрема, площа кожної петлі
c. Радіус кривизни лемніскати є
Побудова лемніскати
· За допомогою трьох відрізків
Це один з найбільш простих і швидких способів, однак вимагає наявності додаткових пристосувань.
На площині обираються дві точки - A і B - майбутні фокуси лемніскати. Збирається спеціальна конструкція з трьох скріплених у ряд на шарнірах відрізків, щоб отримана лінія могла вільно згинатися в двох місцях (точки згину - C і D). При цьому необхідно дотримати пропорції відрізків: AC = BD =
· За допомогою січних (спосіб Маклорена)
Будується коло радіуса
Нерівність Бернуллі
Нерівність Бернуллі (названо на честь Йоганна) стверджує: якщо
Доведення проводиться методом математичної індукції по n. При n = 0 нерівність, очевидно, вірно. Припустимо, що воно вірне для n, доведемо це вірно для n +1:
· Нерівність також справедливо для
Розподіл Бернуллі
Розподіл Бернуллі (названо на честь Якоба) моделює випадковий експеримент довільної природи, коли заздалегідь відома імовірність успіху або невдачі.
Випадкова величина X має розподіл Бернуллі, якщо вона приймає лише два значення: 1 і 0 з імовірностями p і
P (X = 1) = p
P (X = 0) = q
Прийнято говорити, що подія {X = 1} відповідає «успіху», а {X = 0} «невдачі». Ці назви умовні, і залежно від конкретного завдання можуть бути замінені на протилежні.
E [X] = p,
D [X] = pq.
Взагалі, легко бачити, що
E [
Числа і многочлени Бернуллі
Числа Бернуллі - послідовність раціональних чисел B 0, B 1, B 2, ... знайдена Якобом Бернуллі в зв'язку з обчисленням суми однакових ступенів натуральних чисел:
Для чисел Бернуллі існує наступна реккурентная формула:
Перші чотирнадцять чисел Бернуллі рівні:
· Числа Бернуллі є значеннями при x = 0 многочленів Бернуллі
Коефіцієнтами розкладу деяких елементарних функцій у степеневі ряди часто служать числа Бернуллі. Наприклад:
· Експоненціальна генератриса для чисел Бернуллі:
·
·
·
· Ейлер вказав на зв'язок між числами Бернуллі і значеннями дзета-функції Рімана ζ (s) при парних s = 2 m:
З чого випливає
B n = - n ζ (1 - n) для всіх n.
·
Список літератури
1. Белл Е.Т. Творці математики. М.: Просвещение, 1979.
2. Боголюбов О.М. Математики. Механіки. Біографічний довідник. Київ: Наукова думка, 1983.
3. Історія математики. Під редакцією Юшкевича А.П. в трьох томах. Том 3 Математика XVIII століття. М.: Наука, 1972.
Диференціальне рівняння вигляду:
називається диференціальним рівнянням Бернуллі (на честь Якоба).
Метод рішення:
1. Поділимо ліву і праву частини на y n2. Зробимо заміну
3. Розв'язуємо диференціальне рівняння
Воно може бути вирішено з використанням інтегруючого множника
Приклад:
Ділимо на y 2
Заміна змінних
Множимо на M (x),
Результат
Закон Бернуллі
Закон Бернуллі (на честь Данила Бернуллі) є наслідком закону збереження енергії для стаціонарного потоку ідеальної (тобто без внутрішнього тертя) нестисливої рідини:
Тут
ρ - густина рідини,
v - швидкість потоку,
h - висота, на якій знаходиться розглянутий елемент рідини,
p - тиск.
Константа в правій частині зазвичай називається напором, або повним тиском, а також інтегралом Бернуллі. Розмірність усіх доданків - одиниця енергії, що припадає на одиницю об'єму рідини. Для горизонтальної труби h = 0 і рівняння Бернуллі приймає вигляд:
Ця форма рівняння Бернуллі може бути отримана шляхом інтегрування рівняння Ейлера для стаціонарного одновимірного потоку рідини, при постійній щільності ρ:
Відповідно до закону Бернуллі повний тиск у сталому потоці рідини залишається постійним уздовж цього потоку.
Повний тиск складається з вагового (ρgh), статичного (p) і динамічного (
Із закону Бернуллі випливає, що при зменшенні перерізу потоку, через зростання швидкості, тобто динамічного тиску, статичний тиск падає. Це є основною причиною ефекту Магнуса. Закон Бернуллі справедливий і для ламінарних потоків газу. Явище пониження тиску при збільшенні швидкості потоку лежить в основі роботи різного роду витратомірів, водо-і пароструминних насосів.
Закон Бернуллі справедливий у чистому вигляді лише для рідин, в'язкість яких дорівнює нулю, тобто таких рідин, які не прилипають до поверхні труби. Насправді експериментально встановлено, що швидкість рідини на поверхні твердого тіла завжди в точності дорівнює нулю.
Закон Бернуллі можна застосувати до закінчення ідеальної нестисливої рідини через малий отвір у бічній стінці або дні широкого судини.
Відповідно до закону Бернуллі прирівняємо повні тиску на верхній поверхні рідини і на виході з отвору:
де
p 0 - атмосферний тиск,
h - висота стовпа рідини в посудині,
v - швидкість витікання рідини.
Звідси:
Для стисливого ідеального газу
де p - тиск газу в точці
ρ - щільність газу в точці
v - швидкість течії газу
g - прискорення вільного падіння
h - висота відносно початку координат
При русі в неоднорідному полі gz замінюється на потенціал гравітаційного поля.
Термодинаміка закону Бернуллі
Виведемо закону Бернуллі з рівняння Ейлера і термодинамічних співвідношень.1. Запишемо Рівняння Ейлера:
φ - потенціал. Для сили тяжкості φ = gz
2. Запишемо вираз для ентальпії і припустимо, що ентропія системи постійна (чи, можна сказати, що протягом адіабатичним):
dW = VdP + TdS
Нехай S = const і w - ентальпія одиниці маси, тоді:
3. Скористаємося наступними співвідношеннями з векторної алгебри:
4. Рівняння Ейлера з використанням співвідношень виведених вище:
Спроектуємо це рівняння на одиничний вектор дотичний до лінії струму з огляду на таке:
Одержуємо:
Тобто на лініях струму в стаціонарній адіабатичне рідини виконується наступне співвідношення:
Лемніската Бернуллі
Лемніската за формою нагадує вісімку. Її назва походить з античному Риму, де «лемніскати» називали бантик, за допомогою якого прикріплювали вінок до голови переможця на спортивних іграх. Цю лемніскати називають на честь швейцарського математика Якоба Бернуллі, який поклав початок її вивчення.
Рівняння
Розглянемо найпростіший випадок: якщо відстань між фокусами 2 c, розташовані вони на осі OX, і початок координат ділить відрізок між ними навпіл, то наступні рівняння задають лемніскати:· В прямокутних координатах:
· В полярних координатах
·
Параметричне рівняння в прямокутній системі:
Щоб задати лемніскати за двома довільним точках, можна не виводити рівняння заново, а визначити перетворення координат, при якому старий (даний) фокусна відрізок переходить в новий, і впливати на представлені рівняння цим перетворенням.
Властивості.
1. Лемніската - крива четвертого порядку.2. Вона має дві осі симетрії: пряма, на якій лежить F 1 F 2, і серединний перпендикуляр цього відрізка, в простому (даному) випадку - вісь OY.
3. Точка, де Лемніската перетинає саму себе, називається вузловий або подвійною точкою.
4. Крива має 2 максимуму і 2 мінімуму. Їх координати:
5.
6. Відстань від максимуму до мінімуму, що знаходяться по один бік від серединного перпендикуляра (осі OY в даному випадку) дорівнює відстані від максимуму (або від мінімуму) до подвійної точки.
7. Дотичні в подвійній точці складають з відрізком F 1 F 2 кути
8. Лемніскати описує коло радіуса
9. Інверсія відносно кола з центром в подвійній точці, переводить лемніскати Бернуллі в равнобочная гіперболу.
10. Для представлення в полярних координатах, вірно наступне
a. Площа полярного сектору
b. Зокрема, площа кожної петлі
c. Радіус кривизни лемніскати є
Побудова лемніскати
· За допомогою трьох відрізків
Це один з найбільш простих і швидких способів, однак вимагає наявності додаткових пристосувань.
На площині обираються дві точки - A і B - майбутні фокуси лемніскати. Збирається спеціальна конструкція з трьох скріплених у ряд на шарнірах відрізків, щоб отримана лінія могла вільно згинатися в двох місцях (точки згину - C і D). При цьому необхідно дотримати пропорції відрізків: AC = BD =
· За допомогою січних (спосіб Маклорена)
Будується коло радіуса
Нерівність Бернуллі
Нерівність Бернуллі (названо на честь Йоганна) стверджує: якщо
Доведення проводиться методом математичної індукції по n. При n = 0 нерівність, очевидно, вірно. Припустимо, що воно вірне для n, доведемо це вірно для n +1:
Примітки:
· Нерівність справедлива також для дійсних· Нерівність також справедливо для
Розподіл Бернуллі
Розподіл Бернуллі (названо на честь Якоба) моделює випадковий експеримент довільної природи, коли заздалегідь відома імовірність успіху або невдачі.
Випадкова величина X має розподіл Бернуллі, якщо вона приймає лише два значення: 1 і 0 з імовірностями p і
P (X = 1) = p
P (X = 0) = q
Прийнято говорити, що подія {X = 1} відповідає «успіху», а {X = 0} «невдачі». Ці назви умовні, і залежно від конкретного завдання можуть бути замінені на протилежні.
E [X] = p,
D [X] = pq.
Взагалі, легко бачити, що
E [
Числа і многочлени Бернуллі
Числа Бернуллі - послідовність раціональних чисел B 0, B 1, B 2, ... знайдена Якобом Бернуллі в зв'язку з обчисленням суми однакових ступенів натуральних чисел:
Для чисел Бернуллі існує наступна реккурентная формула:
Перші чотирнадцять чисел Бернуллі рівні:
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Властивості
· Всі числа Бернуллі з непарними номерами, крім B 1, дорівнюють нулю, знаки B 2 n чергуються.· Числа Бернуллі є значеннями при x = 0 многочленів Бернуллі
Коефіцієнтами розкладу деяких елементарних функцій у степеневі ряди часто служать числа Бернуллі. Наприклад:
· Експоненціальна генератриса для чисел Бернуллі:
·
·
·
· Ейлер вказав на зв'язок між числами Бернуллі і значеннями дзета-функції Рімана ζ (s) при парних s = 2 m:
З чого випливає
B n = - n ζ (1 - n) для всіх n.
·
Список літератури
1. Белл Е.Т. Творці математики. М.: Просвещение, 1979.
2. Боголюбов О.М. Математики. Механіки. Біографічний довідник. Київ: Наукова думка, 1983.
3. Історія математики. Під редакцією Юшкевича А.П. в трьох томах. Том 3 Математика XVIII століття. М.: Наука, 1972.