БЛАГОВІЩЕНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ
УНІВЕРСИТЕТ
Курсова
на тему
Ефект Холла
Виконала:
Перевірив:
2005
Зміст
1. Загальні сведенія__________________________3
2. Пояснення ефекту Холла за допомогою електронної теоріі_______________________6
3. Ефект Холла в ферромагнетіках___________9
4. Ефект Холла в полупроводніках__________10
5. Ефект Холу на енерціонних електронах в полупроводниках_________________________11
6. Датчик ЕРС Холла_______________________15
7. Кут Холла_____________________________18
8. Постійна Холла_______________________19
9. Вимірювання ефекту Холла________________20
10. Ефект Холла при домішкової проводимости_____________________________22
11. Ефект Холла при власної проводимости_____________________________25
12. Список використовуваної літератури_________27
1.Загальні відомості.
Ефектом Холла називається поява у провіднику зі струмом щільністю j, вміщеному в магнітне поле Н, електричного поля Е х, перпендикулярного Н і j. При цьому напруженість електричного поля, званого ще полем Холла, дорівнює:
де a кут між векторами Н і J (a <180 °). Коли H ^ j, то величина поля Холла Е х максимальна: E x = RHj. Величина R, звана коефіцієнтом Холла, є основною характеристикою ефекту Холла. Ефект відкритий Едвіном Гербертом Холом в 1879 в тонких пластинках золота. Для спостереження Холла ефекту вздовж прямокутних пластин з досліджуваних речовин, довжина яких l значно більше ширини b і товщини d, пропускається струм:
I = jbd (див. рис.);
тут магнітне поле перпендикулярно площині платівки. На середині бічних граней, перпендикулярно струму, розташовані електроди, між якими вимірюється ЕРС Холла V x:
V x = Е х b = RHj / d. (2)
Так як ЕРС Холла змінює знак на зворотний при зміні напрямку магнітного поля на протилежне, то Холла ефект відноситься до непарних гальваномагнітних явищам.
Найпростіша теорія Холла ефекту пояснює появу ЕРС Холла взаємодією носіїв струму (електронів провідності і дірок) з магнітним полем. Під дією електричного поля носії заряду набувають спрямований рух (дрейф), середня швидкість якого (дрейфова швидкість) v ін ¹ 0. Щільність струму в провіднику j = n * ev ін, де n - концентрація числа носіїв, е - їх заряд. При накладенні магнітного поля на носії діє Лоренца сила: F = e [Hv дp], під дією якої частинки відхиляються в напрямку, перпендикулярному v ін і Н. У результаті в обох гранях провідника кінцевих розмірів відбувається накопичення заряду і виникає електростатичне поле - поле Холла. У свою чергу поле Холла діє на заряди і врівноважує силу Лоренца. В умовах рівноваги eE x = еНv ін, E x = 1/ne Hj, звідси R = 1/ne (cм з / кулон). Знак R збігається зі знаком носіїв струму. Для металів, у яких концентрація носіїв (електронів провідності) близька до щільності атомів (n »10 22 см -3), R ~ 10 -3 (см 3 / кулон), в напівпровідників концентрація носіїв значно менше і R ~ 10 5 (см 3 / кулон). Коефіцієнт Холла R може бути виражений через рухливість носіїв заряду m = е t / m * і питому електропровідність s = j / E = еnv лр / Е:
R = m / s (3)
Тут m * - ефективна маса носіїв, t - Середній час між двома послідовними зіткненнями з розсіюючими центрами.
Іноді при описі Холла ефекту вводять кут Холла j між струмом j та напрямком сумарного поля Е: tg j = E x / E = W t, де W - циклотронна частота носіїв заряду. У слабких полях (W t <<1) кут Холла j »W t, можна розглядати як кут, на який відхиляється рухомий заряд за час t. Наведена теорія справедлива для ізотропного провідника (зокрема, для полікристала), у якого m * і t їх-постійні величини. Коефіцієнт Холла (для ізотропних напівпровідників) виражається через парціальні провідності s е і s д і концентрації електронів n е і дірок n д:
(A) для слабких полів
(4)
(Б) для сильних полів.
При n е = n д, = n для всієї області магнітних полів:
,
а знак R вказує на переважаючий тип провідності.
Для металів величина R залежить від зонної структури та форми Фермі поверхні. У разі замкнутих поверхонь Фермі і в сильних магнітних полях (W t »1) коефіцієнт Холла Ізотропія, а вирази для R збігаються з формулою 4, б. Для відкритих поверхонь Фермі коефіцієнт R анізотропії. Однак, якщо напрямок Н відносно кристалографічних осей вибрано так, що не виникає відкритих перерізів поверхні Фермі, то вираз для R аналогічно 4, б.
2. Пояснення ефекту Холла за допомогою електронної теорії.
Якщо металеву пластинку, уздовж якої тече постійний електричний струм, помістити до перпендикулярного до неї магнітне поле, то між гранями, паралельними напрямками струму і поля виникає різниця потенціалів U = j 1-j 2 (дивись рис 2.1). Вона називається холлівських різницею потенціалів (у попередньому пункті - ЕРС Холла) і визначається виразом:
u h = RbjB (2.1)
Тут b - ширина пластинки, j - густина струму, B - магнітна індукція поля, R - коефіцієнт пропорційності, який отримав назву постійної Холла. Ефект Холла дуже просто пояснюється електронної теорією, відсутність магнітного поля струм у платівці обумовлюється електричним полем Е о (дивись рис 2.2). Еквіпотенціальні поверхні цього поля утворюють систему перпендикулярних до вектора Е о швидкостей. Дві з них зображені на малюнку суцільними прямими лініями. Потенціал у всіх точках кожного поверхні, а отже, і в точках 1 і 2 однаковий. Носії струму - електрони - мають негативний заряд, тому швидкість їх упорядкованого руху і направлена протилежно вектору щільності струму j.
При включенні магнітного поля кожен носій опиняється під дією магнітної сили F, спрямованої вздовж сторони b платівки і рівної по модулю
F = euB (2.2)
У результаті у електронів з'являється складова швидкості, спрямована до верхньої (на малюнку) грані платівки. У цієї межі утворюється надлишок негативних, відповідно у нижній грані - надлишок позитивних зарядів. Отже, виникає додаткове поперечне електричне поле Е B. Тоді напруженість цього поля досягає такого значення, що його дія на заряди буде врівноважувати силу (2.2), встановиться стаціонарний розподіл зарядів в поперечному напрямку. Відповідне значення E B визначається умовою: eE B = euB. Звідси:
Е B = Uв.
Поле Е B складається з полем Е о в результуюче поле E. Еквіпотенціальні поверхні перпендикулярні до вектора напруженості поля. Отже, вони повернуться і займуть положення, зображене на рис. 2.2 пунктиром. Точки 1 і 2, які раніше лежали на одній і тій же еквіпотенційної поверхні, тепер мають різні потенціали. Щоб знайти напруга виникає між цими точками, потрібно помножити відстань між ними b на напруженість Е B:
UH = bE B = buB
Висловимо u через j, n і e відповідно до формули j = neu. У результаті отримаємо:
U H = (1/ne) bjB (2.3)
Останній вираз збігається з (2.1), якщо покласти
R = 1/ne (2.4)
З (2.4) випливає, що, вимірявши постійну Холла, можна знайти концентрацію носіїв струму в даному металі (тобто число носіїв в одиниці об'єму).
Важливою характеристикою речовини є рухливість в ньому носіїв струму. Рухливістю носіїв струму називається середня швидкість, що купується носіями при напруженості електричного поля, що дорівнює одиниці. Якщо в полі напруженості Е носії набувають швидкості u то рухливість їх u 0 дорівнює:
U 0 = u / E (2.5)
Рухливість можна пов'язати з провідністю
s = neu 0 (2.6)
Вимірявши постійну Холла R і провідність s, можна за формулами (2.4) та (2.6) знайти концентрацію і рухливість носили струму у відповідному зразку.
Рис 2.1
У феромагнетиках на електрони провідності діє не тільки зовнішнє, але і внутрішнє магнітне поле:
4. Ефект Холла в напівпровідниках.
Ефект Холла спостерігається не тільки в металах, але і в напівпровідниках, причому за знаком ефекту можна судити про приналежність напівпровідника до n-або p-типу, так як в напівпровідниках n-типу знак носіїв струму негативний, напівпровідниках p-типу - позитивний. На рис. 4.1 сопоставлен ефект Холла для зразків з позитивними і негативними носіями. Напрямок магнітної сили змінюється на протилежне як при зміні напрямку руху заряду, так і при зміні його знаку. Отже, при однаковому напрямі струму і поля магнітна сила, що діє на позитивні і негативні носії, має однаковий напрямок. Тому в разі позитивних носіїв потенціал верхньої (на малюнку) грані вище, ніж нижній, а в разі негативних носіїв - нижче. Таким чином, визначивши знак холлівських різниці потенціалів, можна встановити знак носіїв струму. Цікаво, що у деяких металів знак U н відповідає позитивним носіям струму. Пояснення цієї аномалії дає квантова теорія.
Передбачений новий фізичний ефект, обумовлений дією сили Лоренца на електрони напівпровідника, що рухається прискорено. Отримано вираз для поля Холла і виконані оцінки холлівських напруги для реальної двовимірної гетероструктури. Виконано аналіз можливої схеми підсилення холлівських поля на прикладі двох холлівських елементів, один з яких - генератор напруги, а другий - навантаження.
Відомий досвід Толмена і Стюарта, в якому спостерігався імпульс струму j, пов'язаний з інерцією вільних електронів. При інерційному поділі зарядів в провіднику виникає електричне поле напруженістю E. Якщо такий провідник помістити в магнітне поле B, то слід очікувати появи ерс, аналогічної ефекту Холла, зумовленої дією сили Лоренца на інерційні електрони.
У провіднику, що рухається з прискоренням dv x / dt, виникає струм j x і поле E x
, (1)
, (2)
де s = en m - провідність, m - рухливість. У магнітному полі B (0, 0; B z) порушується поле E y = (1 / ne) j x B z або
(3)
Останній вираз еквівалентно E y = E x m B z.
Найбільш підходящий об'єкт для експериментального спостереження ефекту - двовимірні електрони в гетеросистемах n-Al x Ga 1-x As / GaAs. В одиничному зразку (1x1 см 2) у полі 1 Тл і m @ 10 4 см 2 (В * с) для dv x / dt @ 10 м / с 2 слід очікувати сигнал V y @ 6 * 10 -11 B, що цілком доступно для сучасної техніки вимірів.
Розглянемо одну з можливостей посилення ефекту на прикладі двох холлівських елементів, один з яких (I) є генератором поля Холла, а другий (II)-навантаженням. Схема з'єднань холлівських елементів I і II показана на малюнку.
Отже, в магнітному полі B z (напрям якого на малюнку позначено знаком Å) в першому холлівських елементі (I) збуджується струм j (1) x, поле E (1) x і холлівських поле E (1) y, що даються виразами (1 ) - (3). Замкнув потенційні (холлівських) контакти X 1 - X 1 на струмові контакти T 2 - T 2 холлівських елемента II, в останньому додатково до первинного полю E (2) x = E (1) x, що визначається виразом (2), маємо і поле E (1) y. Так що результуюче поле має два компоненти - E (2) x = E (1) x + E (1) y. Це можливо, якщо холлівських елемент I розглядати як генератор напруги, навантажений на холлівських елемент II. У цьому випадку повинен виконуватися режим "холостого ходу", для чого необхідно виконати умову R (X 1 - X 1) <<R (T 2 - T 2), де R - опір між відповідними контактами. У такому випадку в холлівських елементі II збуджується полі
E (2) y = (E (1) y + E (1) y) mB z (4)
З огляду на співвідношення E (1) y = E (1) x m B z, одержуємо
E (2) y = (1 + mB z) mB z E (1) x (5)
Безпосереднє спостереження ефекту, мабуть, утруднено. Більш реально здійснити досліди з вібрацією зразка в магнітному полі. Корисний сигнал e y при цьому може бути відділений від наведення e * y по квадратичної залежності від частоти коливань w (наведення пропорційна 1-го ступеня частоти коливань).
У самому справі, для даної геометрії досвіду (див малюнок) у магнітному полі B (0, 0; B z) при зміні координати x з часом за законом x = x 0 cos wt, де w - частота генератора, що задає, навантаженого на п'єзоелемент, і x 0 - амплітуда коливань останнього маємо зі співвідношення (3)
де l y - відстань між холлівських контактами зразка (X 1 - X 1) тобто E y = E y l y. Паразитна наводка e * y, що виникає в сполучних проводах у відповідності з законом електромагнітної індукції Фарадея, визначається виразом
де l * y - ефективна довжина сполучних провідників, що включають зразок у схему вимірів. Таким чином, корисний сигнал e y має відмінні риси по відношенню до наводкою e * y. Перша особливість це пропорційність величиною w 2, тоді як e * y »w. Одночасно e y у часі змінюється синфазно, а e * y - противофазно напрузі задає генератора. Істотно відзначити, що маса, що входить у вираз (1) - (3), це маса вільного електрона; величина ж рухливості m визначається ефективною масою.
УНІВЕРСИТЕТ
Курсова
на тему
Ефект Холла
Виконала:
Перевірив:
2005
Зміст
1. Загальні сведенія__________________________3
2. Пояснення ефекту Холла за допомогою електронної теоріі_______________________6
3. Ефект Холла в ферромагнетіках___________9
4. Ефект Холла в полупроводніках__________10
5. Ефект Холу на енерціонних електронах в полупроводниках_________________________11
6. Датчик ЕРС Холла_______________________15
7. Кут Холла_____________________________18
8. Постійна Холла_______________________19
9. Вимірювання ефекту Холла________________20
10. Ефект Холла при домішкової проводимости_____________________________22
11. Ефект Холла при власної проводимости_____________________________25
12. Список використовуваної літератури_________27
1.Загальні відомості.
Рис 1.1
E x = RHj sin a, (1)де a кут між векторами Н і J (a <180 °). Коли H ^ j, то величина поля Холла Е х максимальна: E x = RHj. Величина R, звана коефіцієнтом Холла, є основною характеристикою ефекту Холла. Ефект відкритий Едвіном Гербертом Холом в 1879 в тонких пластинках золота. Для спостереження Холла ефекту вздовж прямокутних пластин з досліджуваних речовин, довжина яких l значно більше ширини b і товщини d, пропускається струм:
I = jbd (див. рис.);
тут магнітне поле перпендикулярно площині платівки. На середині бічних граней, перпендикулярно струму, розташовані електроди, між якими вимірюється ЕРС Холла V x:
V x = Е х b = RHj / d. (2)
Так як ЕРС Холла змінює знак на зворотний при зміні напрямку магнітного поля на протилежне, то Холла ефект відноситься до непарних гальваномагнітних явищам.
Найпростіша теорія Холла ефекту пояснює появу ЕРС Холла взаємодією носіїв струму (електронів провідності і дірок) з магнітним полем. Під дією електричного поля носії заряду набувають спрямований рух (дрейф), середня швидкість якого (дрейфова швидкість) v ін ¹ 0. Щільність струму в провіднику j = n * ev ін, де n - концентрація числа носіїв, е - їх заряд. При накладенні магнітного поля на носії діє Лоренца сила: F = e [Hv дp], під дією якої частинки відхиляються в напрямку, перпендикулярному v ін і Н. У результаті в обох гранях провідника кінцевих розмірів відбувається накопичення заряду і виникає електростатичне поле - поле Холла. У свою чергу поле Холла діє на заряди і врівноважує силу Лоренца. В умовах рівноваги eE x = еНv ін, E x = 1/ne Hj, звідси R = 1/ne (cм з / кулон). Знак R збігається зі знаком носіїв струму. Для металів, у яких концентрація носіїв (електронів провідності) близька до щільності атомів (n »10 22 см -3), R ~ 10 -3 (см 3 / кулон), в напівпровідників концентрація носіїв значно менше і R ~ 10 5 (см 3 / кулон). Коефіцієнт Холла R може бути виражений через рухливість носіїв заряду m = е t / m * і питому електропровідність s = j / E = еnv лр / Е:
R = m / s (3)
Тут m * - ефективна маса носіїв, t - Середній час між двома послідовними зіткненнями з розсіюючими центрами.
Іноді при описі Холла ефекту вводять кут Холла j між струмом j та напрямком сумарного поля Е: tg j = E x / E = W t, де W - циклотронна частота носіїв заряду. У слабких полях (W t <<1) кут Холла j »W t, можна розглядати як кут, на який відхиляється рухомий заряд за час t. Наведена теорія справедлива для ізотропного провідника (зокрема, для полікристала), у якого m * і t їх-постійні величини. Коефіцієнт Холла (для ізотропних напівпровідників) виражається через парціальні провідності s е і s д і концентрації електронів n е і дірок n д:
(4)
При n е = n д, = n для всієї області магнітних полів:
а знак R вказує на переважаючий тип провідності.
Для металів величина R залежить від зонної структури та форми Фермі поверхні. У разі замкнутих поверхонь Фермі і в сильних магнітних полях (W t »1) коефіцієнт Холла Ізотропія, а вирази для R збігаються з формулою 4, б. Для відкритих поверхонь Фермі коефіцієнт R анізотропії. Однак, якщо напрямок Н відносно кристалографічних осей вибрано так, що не виникає відкритих перерізів поверхні Фермі, то вираз для R аналогічно 4, б.
2. Пояснення ефекту Холла за допомогою електронної теорії.
Якщо металеву пластинку, уздовж якої тече постійний електричний струм, помістити до перпендикулярного до неї магнітне поле, то між гранями, паралельними напрямками струму і поля виникає різниця потенціалів U = j 1-j 2 (дивись рис 2.1). Вона називається холлівських різницею потенціалів (у попередньому пункті - ЕРС Холла) і визначається виразом:
u h = RbjB (2.1)
Тут b - ширина пластинки, j - густина струму, B - магнітна індукція поля, R - коефіцієнт пропорційності, який отримав назву постійної Холла. Ефект Холла дуже просто пояснюється електронної теорією, відсутність магнітного поля струм у платівці обумовлюється електричним полем Е о (дивись рис 2.2). Еквіпотенціальні поверхні цього поля утворюють систему перпендикулярних до вектора Е о швидкостей. Дві з них зображені на малюнку суцільними прямими лініями. Потенціал у всіх точках кожного поверхні, а отже, і в точках 1 і 2 однаковий. Носії струму - електрони - мають негативний заряд, тому швидкість їх упорядкованого руху і направлена протилежно вектору щільності струму j.
При включенні магнітного поля кожен носій опиняється під дією магнітної сили F, спрямованої вздовж сторони b платівки і рівної по модулю
F = euB (2.2)
У результаті у електронів з'являється складова швидкості, спрямована до верхньої (на малюнку) грані платівки. У цієї межі утворюється надлишок негативних, відповідно у нижній грані - надлишок позитивних зарядів. Отже, виникає додаткове поперечне електричне поле Е B. Тоді напруженість цього поля досягає такого значення, що його дія на заряди буде врівноважувати силу (2.2), встановиться стаціонарний розподіл зарядів в поперечному напрямку. Відповідне значення E B визначається умовою: eE B = euB. Звідси:
Е B = Uв.
Поле Е B складається з полем Е о в результуюче поле E. Еквіпотенціальні поверхні перпендикулярні до вектора напруженості поля. Отже, вони повернуться і займуть положення, зображене на рис. 2.2 пунктиром. Точки 1 і 2, які раніше лежали на одній і тій же еквіпотенційної поверхні, тепер мають різні потенціали. Щоб знайти напруга виникає між цими точками, потрібно помножити відстань між ними b на напруженість Е B:
UH = bE B = buB
Висловимо u через j, n і e відповідно до формули j = neu. У результаті отримаємо:
U H = (1/ne) bjB (2.3)
Останній вираз збігається з (2.1), якщо покласти
R = 1/ne (2.4)
З (2.4) випливає, що, вимірявши постійну Холла, можна знайти концентрацію носіїв струму в даному металі (тобто число носіїв в одиниці об'єму).
Важливою характеристикою речовини є рухливість в ньому носіїв струму. Рухливістю носіїв струму називається середня швидкість, що купується носіями при напруженості електричного поля, що дорівнює одиниці. Якщо в полі напруженості Е носії набувають швидкості u то рухливість їх u 0 дорівнює:
U 0 = u / E (2.5)
Рухливість можна пов'язати з провідністю
s = neu 0 (2.6)
Вимірявши постійну Холла R і провідність s, можна за формулами (2.4) та (2.6) знайти концентрацію і рухливість носили струму у відповідному зразку.
b |
B |
j 1 |
j 2 |
| |||
|
F |
E B |
E |
- |
| ||||
| ||||
B |
| ||||||
Рис 2.2
3. Ефект Холла в феромагнетиках.У феромагнетиках на електрони провідності діє не тільки зовнішнє, але і внутрішнє магнітне поле:
В = Н + 4pМ
Це призводить до особливого ефекту Холла феромагнітному. Експериментально виявлено, E x = (RB + R а M) j, де R - звичайний, a R a - незвичайний (аномальний) коефіцієнт Холла. Між R a і питомою електроопору феромагнетиків встановлена кореляція.4. Ефект Холла в напівпровідниках.
Ефект Холла спостерігається не тільки в металах, але і в напівпровідниках, причому за знаком ефекту можна судити про приналежність напівпровідника до n-або p-типу, так як в напівпровідниках n-типу знак носіїв струму негативний, напівпровідниках p-типу - позитивний. На рис. 4.1 сопоставлен ефект Холла для зразків з позитивними і негативними носіями. Напрямок магнітної сили змінюється на протилежне як при зміні напрямку руху заряду, так і при зміні його знаку. Отже, при однаковому напрямі струму і поля магнітна сила, що діє на позитивні і негативні носії, має однаковий напрямок. Тому в разі позитивних носіїв потенціал верхньої (на малюнку) грані вище, ніж нижній, а в разі негативних носіїв - нижче. Таким чином, визначивши знак холлівських різниці потенціалів, можна встановити знак носіїв струму. Цікаво, що у деяких металів знак U н відповідає позитивним носіям струму. Пояснення цієї аномалії дає квантова теорія.
j |
u |
F |
u |
F |
| ||||||
+++++++++++++++ |
B |
j |
| ||||||||||
|
| |||||||||
Рис 4.1
5. Ефект Холу на інерційних електронах в напівпровідниках.Передбачений новий фізичний ефект, обумовлений дією сили Лоренца на електрони напівпровідника, що рухається прискорено. Отримано вираз для поля Холла і виконані оцінки холлівських напруги для реальної двовимірної гетероструктури. Виконано аналіз можливої схеми підсилення холлівських поля на прикладі двох холлівських елементів, один з яких - генератор напруги, а другий - навантаження.
Відомий досвід Толмена і Стюарта, в якому спостерігався імпульс струму j, пов'язаний з інерцією вільних електронів. При інерційному поділі зарядів в провіднику виникає електричне поле напруженістю E. Якщо такий провідник помістити в магнітне поле B, то слід очікувати появи ерс, аналогічної ефекту Холла, зумовленої дією сили Лоренца на інерційні електрони.
У провіднику, що рухається з прискоренням dv x / dt, виникає струм j x і поле E x
де s = en m - провідність, m - рухливість. У магнітному полі B (0, 0; B z) порушується поле E y = (1 / ne) j x B z або
Останній вираз еквівалентно E y = E x m B z.
Найбільш підходящий об'єкт для експериментального спостереження ефекту - двовимірні електрони в гетеросистемах n-Al x Ga 1-x As / GaAs. В одиничному зразку (1x1 см 2) у полі 1 Тл і m @ 10 4 см 2 (В * с) для dv x / dt @ 10 м / с 2 слід очікувати сигнал V y @ 6 * 10 -11 B, що цілком доступно для сучасної техніки вимірів.
Розглянемо одну з можливостей посилення ефекту на прикладі двох холлівських елементів, один з яких (I) є генератором поля Холла, а другий (II)-навантаженням. Схема з'єднань холлівських елементів I і II показана на малюнку.
Отже, в магнітному полі B z (напрям якого на малюнку позначено знаком Å) в першому холлівських елементі (I) збуджується струм j (1) x, поле E (1) x і холлівських поле E (1) y, що даються виразами (1 ) - (3). Замкнув потенційні (холлівських) контакти X 1 - X 1 на струмові контакти T 2 - T 2 холлівських елемента II, в останньому додатково до первинного полю E (2) x = E (1) x, що визначається виразом (2), маємо і поле E (1) y. Так що результуюче поле має два компоненти - E (2) x = E (1) x + E (1) y. Це можливо, якщо холлівських елемент I розглядати як генератор напруги, навантажений на холлівських елемент II. У цьому випадку повинен виконуватися режим "холостого ходу", для чого необхідно виконати умову R (X 1 - X 1) <<R (T 2 - T 2), де R - опір між відповідними контактами. У такому випадку в холлівських елементі II збуджується полі
E (2) y = (E (1) y + E (1) y) mB z (4)
З огляду на співвідношення E (1) y = E (1) x m B z, одержуємо
E (2) y = (1 + mB z) mB z E (1) x (5)
Безпосереднє спостереження ефекту, мабуть, утруднено. Більш реально здійснити досліди з вібрацією зразка в магнітному полі. Корисний сигнал e y при цьому може бути відділений від наведення e * y по квадратичної залежності від частоти коливань w (наведення пропорційна 1-го ступеня частоти коливань).
У самому справі, для даної геометрії досвіду (див малюнок) у магнітному полі B (0, 0; B z) при зміні координати x з часом за законом x = x 0 cos wt, де w - частота генератора, що задає, навантаженого на п'єзоелемент, і x 0 - амплітуда коливань останнього маємо зі співвідношення (3)
де l y - відстань між холлівських контактами зразка (X 1 - X 1) тобто E y = E y l y. Паразитна наводка e * y, що виникає в сполучних проводах у відповідності з законом електромагнітної індукції Фарадея, визначається виразом
де l * y - ефективна довжина сполучних провідників, що включають зразок у схему вимірів. Таким чином, корисний сигнал e y має відмінні риси по відношенню до наводкою e * y. Перша особливість це пропорційність величиною w 2, тоді як e * y »w. Одночасно e y у часі змінюється синфазно, а e * y - противофазно напрузі задає генератора. Істотно відзначити, що маса, що входить у вираз (1) - (3), це маса вільного електрона; величина ж рухливості m визначається ефективною масою.
Рис 5.1
Схема посилення холлівських поля з двох елементів I і II.
Вказано напрями: знаком Å - магнітного поля B z; стрілками - прискорення dV x / dt; полів Холу E (1) y, E (2) y; густин струму j (1) x, j (2) x.
6. Датчик ЕРС Холла.
Датчик ЕРС Холла - це елемент автоматики, радіоелектроніки та вимірювальної техніки, що використовується в якості вимірювального перетворювача, дія якого заснована на ефекті Холла. Являє собою тонку прямокутну пластину (площа - трохи мм 2), або плівку, виготовлену з напівпровідника (Si, Ge, InSb, InAs), має чотири електроди для підведення струму і знімання ЕРС Холла. Щоб уникнути механічних пошкоджень, платівки Холла ЕРС датчика монтують (а плівку напилюють у вакуумі) на міцній підкладці з діелектрика (слюди, кераміки). Для отримання найбільшого ефекту товщина пластини (плівки) робиться можливо меншою. Датчики ЕРС Холла застосовують для безконтактного вимірювання магнітних полів (від 10 -6 до 10 5 Е). При вимірі слабких магнітних полів користуються Холла ЕРС датчиками, вмонтованими в зазорі феро-або феррімагнітних стрижня (концентратора), що дозволяє значно підвищити чутливість датчика. Так як в напівпровідниках концентрація носіїв зарядів (а отже, і коефіцієнт Холла) може залежати від температури, то у випадку точних вимірювань необхідно або термостатіровалі Холла ЕРС датчик, або застосовувати сильнолегированной напівпровідники (останнє знижує чутливість датчика).
За допомогою Холла ЕРС датчика можна вимірювати будь-яку фізичну величину, яка однозначно пов'язана з магнітним полем; зокрема можна змінювати силу струму, так як навколо провідника зі струмом утворюється магнітне поле, яке можна виміряти. На основі Холла ЕРС датчика створені амперметри на струми до 100 кА. Крім того Холла ЕРС датчики застосовуються у вимірниках лінійних та кутових переміщень, а також у вимірниках градієнта магнітного поля, магнітного потоку та потужності електричних машин, в безконтактних перетворювачах постійного струму в змінний, і, нарешті, в відтворюють головках систем звукозапису.
7. Кут Холла
Вплив магнітного поля ми оцінюємо, порівняння поле Холла з тягнутим полем. Визначимо кут Холла
де
Ефект Холла визначається властивостями «середнього» електрона, він не залежить від концентрації.
Рис.7.1 Визначення кута Холла ф Н.
Макроскопічно кут Холла описує викривлення силових ліній електричного поля (або еквіпотенціальних поверхонь) під дією магнітного поля, мікроскопічно
Знак визначається знаком носіїв заряду і дозволяє таким чином розрізнити електронну дірковий провідності.
Кількісна оцінка кута Холу: якщо В = 1Т,
Напівпровідник Метал
При дуже малих кутах Холла, наприклад в напівпровідниках і металах з низькою рухливістю, спостереження малих відхилень еквіпотенціалей дуже утруднено.
8. Постійна Холла
Після Холла E н виникає в магнітному полі з-за наявності у електронів дрейфовой швидкості V d. Макроскопічно, однак, вимірюють струм, відповідний щільності струму j = qnv d = qnuE y. Тому E н визначають через j і вводять постійну Холла.
Внаслідок нормировки на щільність струму постійна Холла залежить від концентрації, але не залежить від рухливості носіїв!
Вимірюючи напруженість поля Е Н, щільність струму j і магнітне поле B, ми можемо визначити з ефекту Холла знак і концентрацію носіїв
9. Вимірювання ефекту Холла
Ми тут не можемо докладно обговорювати техніку вимірювань ефекту Холла. Труднощі полягають в отриманні однорідного струму, вимірюванні малих напруг, отриманні низькоомних контактів, усунення термонапруженої і т.д. На цю тему є велика література
Рис. 9.1 Геометрія при змінах провідності і ефекту Холла.
Нижче ми тільки наведемо формули, що зв'язують вимірювані величини (I, U D, U H, B, l, d, h) з властивостями матеріалу
I = j dh;
10. Ефект Холла при домішкової провідності
Якщо у зразку є носії заряду різного знаку або з різною рухливістю, то умова
оскільки q p = - Q n = e 0, відразу отримуємо
Таким чином, вздовж напрямку х є Амбіполярна тік. Для провідників з одним типом носіїв ми показали, що монополярний струм тече тільки при включенні магнітного поля, щоб за рахунок просторового заряду виникло поле Холла, що, з іншого боку, забезпечує виконання умови j x = 0. Для провідника з двома типами носіїв електричний струм обертається в нуль, хоча ток окремих частинок існує. Коректне опис ефекту Холла в цьому випадку має враховувати процеси рекомбінації, що призводять до зникнення постійно утворюються носіїв обох типів. Крім того, концентрації носіїв створюють просторові заряди, що призводить до появи поля Холла і виникнення дифузійних струмів, що дають внесок в j x. Це більш суворе умова, звичайно, було б необхідно і в разі носіїв одного типу!
Тут ми розглянемо граничний випадок тільки поверхневої рекомбінації, так що концентрацію носіїв в об'ємі можна вважати постійною. Якщо ця умова не виконана, то отримані результати можуть виявитися повністю неправильними.
Для розрахунку кута Холу є два стаціонарних рівняння Друде - Лоренца
У нашій геометрії E = (E x, E y, 0), B = (0, 0, B) з урахуванням
Щільність струму j = (0, j y, 0) визначимо за допомогою
і отримаємо
Для двох типів носіїв магнітоопір виникає вже в моделі Друде - Лоренца, оскільки напрям дрейфу частинок не збігається з напрямком щільності струму.
Рівняння можна спростити для часто зустрічається експериментально випадку «слабких полів»
і
Для постійної Холла в межі слабких полів з E x =- R H B jy і j y =
Ми отримали, що
11. Ефект Холла при власної провідності
Для напівпровідників, описуваних простий двухзонной моделлю (одна зона провідності і одна валентна зона),
Рис.11.1. Провідність і константа Холла для різних легованих зразків телуру.
За рахунок анізатропной кристалічної структури в різних напрямках поля та струму є різна провідність.
для випадку власної провідності виконується співвідношення n = p. Тоді в слабких магнітних полях маємо
tg ф Н = - B (μ n + μ p)
і
R H = (1 / n i e 0) / ((μ p + μ n) (μ p - μ n))
З R H і ơ відразу ж отримуємо різниця подвижностей
R H ơ = μ p + μ n = | Μ p | - | μ n |
Якщо рухливості однакові, то ефект Холла зникає.
На рис.11.1 показані результати вимірювань провідності і постійної Холла для кристалів з різним ступенем легування, так що в цьому інтервалі температур були зразки з власної (n = p), змішаної (n <p) і домішкової (n <<p) провідністю. Для зразків із змішаною провідністю при нагріванні змінюється знак основних носіїв, що пояснюється зростанням вкладу електронів. Зміна знаку при ~ 500К, спостережуване для зразків з власною провідністю, можна пояснити, мабуть, різної температурної залежністю при високих температурах переважає дірковий внесок. Зміна знака не спостерігається.
12. Список використаної літератури.
1) Л.Д. Ландау, Є.М. Ліфшиць. Теоретична фізика, т. VIII. Електродинаміка суцільних середовищ (М., Наука, 1982)
с. 309.
2) І.М. Цідільковскій УФН, 115, 321 (1975).
Редактор Т.А. Полянська
3) Фізика і техніка напівпровідників, 1997, том 31, № 4