Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Випускна кваліфікаційна робота
Елементи статистики, комбінаторики та теорії ймовірностей в основній школі.
Виконала
студентка V курсу
математичного факультету
Лисова Інга Геннадіївна
Науковий керівник:
кандидат педагогічних наук, доцент кафедри алгебри і геометрії
Шихова А.П.
Рецензент:
Допущена до захисту в державної атестаційної комісії
«___» __________2005 Р. Зав. кафедрою Є. М. Вечтомов
«___»___________ 2005 Декан факультету В.І. Варанкіна
Кіров
2005
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра алгебри і геометрії
Випускна кваліфікаційна робота
Елементи статистики, комбінаторики та теорії ймовірностей в основній школі.
Виконала
студентка V курсу
математичного факультету
Лисова Інга Геннадіївна
Науковий керівник:
кандидат педагогічних наук, доцент кафедри алгебри і геометрії
Шихова А.П.
Рецензент:
Допущена до захисту в державної атестаційної комісії
«___» __________2005 Р. Зав. кафедрою Є. М. Вечтомов
«___»___________ 2005 Декан факультету В.І. Варанкіна
Кіров
2005
Зміст
Введення ................................................. ................................................ 3
Глава 1.
§ 1 Аналіз навчально-методичної літератури з теми дослідження
1. Інструктивні листи ................................................ ....... 6
2. Аналіз статей з журналів «Математика в школі »...... 9
3. Аналіз ймовірнісно-статистичної лінії
у навчальній літературі ............................................... ............ 16
§ 2 Про підготовку вчителів до навчання школярів Стохастике .. 27
§ 3 Деякі висновки змістовно-методичного характеру по реалізації стохастичної лінії в основній школі ................................... ...... 32
Глава 2. Методика вивчення стохастики в основній школі
§ 1. Методика реалізації стохастичної лінії в 5 класі .......... 38
§ 2. Методика реалізації стохастичної лінії в 6 класі .......... 49
§ 3. Методика реалізації стохастичної лінії в 7 класі .......... 59
§ 4. Методика реалізації стохастичної лінії в 8 класі .......... 67
§ 5. Методика реалізації стохастичної лінії в 9 класі .......... 72
Висновок ................................................. .......................................... 76
Бібліографія ................................................. ...................................... 77
Введення ................................................. ................................................ 3
Глава 1.
§ 1 Аналіз навчально-методичної літератури з теми дослідження
1. Інструктивні листи ................................................ ....... 6
2. Аналіз статей з журналів «Математика в школі »...... 9
3. Аналіз ймовірнісно-статистичної лінії
у навчальній літературі ............................................... ............ 16
§ 2 Про підготовку вчителів до навчання школярів Стохастике .. 27
§ 3 Деякі висновки змістовно-методичного характеру по реалізації стохастичної лінії в основній школі ................................... ...... 32
Глава 2. Методика вивчення стохастики в основній школі
§ 1. Методика реалізації стохастичної лінії в 5 класі .......... 38
§ 2. Методика реалізації стохастичної лінії в 6 класі .......... 49
§ 3. Методика реалізації стохастичної лінії в 7 класі .......... 59
§ 4. Методика реалізації стохастичної лінії в 8 класі .......... 67
§ 5. Методика реалізації стохастичної лінії в 9 класі .......... 72
Висновок ................................................. .......................................... 76
Бібліографія ................................................. ...................................... 77
Введення.
В даний час ніхто не ставить під сумнів необхідність включення стохастичної лінії в шкільний курс математики. Про необхідність вивчення в школі елементів теорії ймовірностей і статистики мова йде дуже давно. Адже саме вивчення і осмислення теорії ймовірностей і статистичних проблем особливо потрібно в нашому перенасиченому інформацією світі. Але впровадження стохастичної лінії в шкільний курс зіткнулося з деякими труднощами, в першу чергу, це методична непідготовленість учителів і відсутність єдиної методики і шкільних підручників.
Сучасна концепція шкільного математичного освіти орієнтована, насамперед, на облік індивідуальності дитини, її інтересів і схильностей. Цим визначаються критерії відбору змісту, розробка та впровадження нових, інтерактивних методик викладання, зміни у вимогах до математичної підготовки учня. І з цієї точки зору, коли мова йде не тільки про навчання математиці, але і формуванні особистості за допомогою математики, необхідність розвитку у всіх школярів ймовірнісної інтуїції і статистичного мислення стає нагальним завданням. Причому мова сьогодні йде про вивчення ймовірнісно-статистичного матеріалу в обов'язковому основному шкільному курсі «математики для всіх» у рамках самостійної змістовно-методичної лінії протягом усіх років навчання.
Дослідження психологів (Ж. Піаже, Е. Фішбейн) показують, що людина спочатку погано пристосований до ймовірнісної оцінки, до усвідомлення і вірної інтерпретації ймовірнісно-статистичної інформації. Роботи психологів стверджують, що найбільш сприятливий для формування імовірнісних уявлень вік 10-13 років (це 5-7 класи). Експериментальна робота в 5 і 6 класах з пропедевтики імовірнісних уявлень, проведення експериментів з випадковими наслідками та обговоренню на якісному рівні їх результатів показало, що цей не закріплений формальними «обов'язковими результатами» період дає хороший розвиток ймовірнісної інтуїції і статистичних уявлень дітей. [2]
Згідно з даними вчених-фізіологів і психологів у середній ланці школи помітно падіння інтересу до процесу навчання в цілому і до математики зокрема. На уроці математики в основній школі, у п'ятих-дев'ятих класах, що проводяться за звичною схемою і на традиційному матеріалі, в учня часто створюється відчуття непроникною стіни між досліджуваними об'єктами і навколишнім світом. Саме ймовірнісно-статистична лінія, або, як її стали називати останнім часом, - стохастична лінія, вивчення якої неможливе без опори на процеси, що спостерігаються в навколишньому світі, на реальний життєвий досвід дитини, здатна сприяти поверненню інтересу до самого предмету «математика», пропаганді його значущості і універсальності. [2]
Знайомство школярів з дуже своєрідною областю математики, де між чорним і білим існує цілий спектр кольорів і відтінків, можливостей і варіантів, а між однозначними «так» і «ні» існує ще й «можливо» (причому це «може бути» піддається строгій кількісній оцінці), сприяє усуненню вкоріненого відчуття, що відбувається на уроці математики ніяк не пов'язане з навколишнім світом, з повсякденним життям. Учні бачать безпосередній зв'язок математики з навколишньою дійсністю, реальним життям.
Мета дипломної роботи: на основі досліджень, зробити висновки про можливість введення стохастичної лінії в основну школу, і дати корисні методичні рекомендації для її реалізації.
Виходячи з цього можна виділити наступні завдання, реалізація яких дозволяє досягти поставленої мети.
· Необхідно визначити зміст матеріалу по кожному з напрямків: комбінаторика, статистика, теорія ймовірностей.
· Проаналізувати зв'язку між цими напрямками і визначити послідовність або паралельність їх вивчення.
· По кожному класу визначити зміст і розробити методику навчання учнів кожному з названих розділів стохастики.
Для реалізації даних задач використовуються такі засоби.
· Вивчення шкільних підручників, статей, психолого-педагогічної та методичної літератури з даної теми.
· Вивчення стандартів освіти з даної теми.
· Аналіз шкільних підручників, виявлення переваги тих чи інших навчальних посібників.
· Вивчення наявного досвіду викладання в школі даної теми.
В даний час ніхто не ставить під сумнів необхідність включення стохастичної лінії в шкільний курс математики. Про необхідність вивчення в школі елементів теорії ймовірностей і статистики мова йде дуже давно. Адже саме вивчення і осмислення теорії ймовірностей і статистичних проблем особливо потрібно в нашому перенасиченому інформацією світі. Але впровадження стохастичної лінії в шкільний курс зіткнулося з деякими труднощами, в першу чергу, це методична непідготовленість учителів і відсутність єдиної методики і шкільних підручників.
Сучасна концепція шкільного математичного освіти орієнтована, насамперед, на облік індивідуальності дитини, її інтересів і схильностей. Цим визначаються критерії відбору змісту, розробка та впровадження нових, інтерактивних методик викладання, зміни у вимогах до математичної підготовки учня. І з цієї точки зору, коли мова йде не тільки про навчання математиці, але і формуванні особистості за допомогою математики, необхідність розвитку у всіх школярів ймовірнісної інтуїції і статистичного мислення стає нагальним завданням. Причому мова сьогодні йде про вивчення ймовірнісно-статистичного матеріалу в обов'язковому основному шкільному курсі «математики для всіх» у рамках самостійної змістовно-методичної лінії протягом усіх років навчання.
Дослідження психологів (Ж. Піаже, Е. Фішбейн) показують, що людина спочатку погано пристосований до ймовірнісної оцінки, до усвідомлення і вірної інтерпретації ймовірнісно-статистичної інформації. Роботи психологів стверджують, що найбільш сприятливий для формування імовірнісних уявлень вік 10-13 років (це 5-7 класи). Експериментальна робота в 5 і 6 класах з пропедевтики імовірнісних уявлень, проведення експериментів з випадковими наслідками та обговоренню на якісному рівні їх результатів показало, що цей не закріплений формальними «обов'язковими результатами» період дає хороший розвиток ймовірнісної інтуїції і статистичних уявлень дітей. [2]
Згідно з даними вчених-фізіологів і психологів у середній ланці школи помітно падіння інтересу до процесу навчання в цілому і до математики зокрема. На уроці математики в основній школі, у п'ятих-дев'ятих класах, що проводяться за звичною схемою і на традиційному матеріалі, в учня часто створюється відчуття непроникною стіни між досліджуваними об'єктами і навколишнім світом. Саме ймовірнісно-статистична лінія, або, як її стали називати останнім часом, - стохастична лінія, вивчення якої неможливе без опори на процеси, що спостерігаються в навколишньому світі, на реальний життєвий досвід дитини, здатна сприяти поверненню інтересу до самого предмету «математика», пропаганді його значущості і універсальності. [2]
Знайомство школярів з дуже своєрідною областю математики, де між чорним і білим існує цілий спектр кольорів і відтінків, можливостей і варіантів, а між однозначними «так» і «ні» існує ще й «можливо» (причому це «може бути» піддається строгій кількісній оцінці), сприяє усуненню вкоріненого відчуття, що відбувається на уроці математики ніяк не пов'язане з навколишнім світом, з повсякденним життям. Учні бачать безпосередній зв'язок математики з навколишньою дійсністю, реальним життям.
Мета дипломної роботи: на основі досліджень, зробити висновки про можливість введення стохастичної лінії в основну школу, і дати корисні методичні рекомендації для її реалізації.
Виходячи з цього можна виділити наступні завдання, реалізація яких дозволяє досягти поставленої мети.
· Необхідно визначити зміст матеріалу по кожному з напрямків: комбінаторика, статистика, теорія ймовірностей.
· Проаналізувати зв'язку між цими напрямками і визначити послідовність або паралельність їх вивчення.
· По кожному класу визначити зміст і розробити методику навчання учнів кожному з названих розділів стохастики.
Для реалізації даних задач використовуються такі засоби.
· Вивчення шкільних підручників, статей, психолого-педагогічної та методичної літератури з даної теми.
· Вивчення стандартів освіти з даної теми.
· Аналіз шкільних підручників, виявлення переваги тих чи інших навчальних посібників.
· Вивчення наявного досвіду викладання в школі даної теми.
Глава 1.
§ 1 Аналіз навчально-методичної літератури з теми дослідження.
1. Інструктивні листи.
Один з найважливіших аспектів модернізації змісту математичної освіти полягає у включенні до шкільних програм елементів статистики і теорії ймовірностей. Це обумовлено роллю, яку відіграють ймовірнісно-статистичні знання в загальноосвітній підготовці сучасної людини. Без мінімальної ймовірнісно-статистичної грамотності важко адекватно сприймати соціальну, політичну, економічну інформацію та приймати на її основі обгрунтовані рішення.
Вивчення елементів комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей в основній школі стане обов'язковим після затвердження федерального компонента державного стандарту загальної освіти. Але у зв'язку з тим, що впровадження в практику роботи цього нового матеріалу вимагає декількох років і потребує накопиченні методичного досвіду, Міністерство освіти РФ рекомендувало освітнім установам почати викладати курс «Елементи комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей» в основній школі з 2003/2004 навчального року.
При цьому пропонується орієнтуватися на такий зміст:
· Рішення комбінаторних завдань: перебір варіантів, підрахунок числа варіантів за допомогою правила множення.
· Представлення даних у вигляді таблиць, діаграм, графіків. Діаграми Ейлера. Середні результати вимірювань.
· Поняття і приклади випадкових подій. Частота події, ймовірність. Рівноможливими події і підрахунок їх вірогідність. Уявлення про геометричній ймовірності.
Перерахований коло питань являє собою деякий мінімум, доступний учням основної школи і достатній для формування у них первинних ймовірнісно-статистичних уявлень. [25]
Державним стандартом освіти передбачено обов'язковий мінімум, і викладені основні вимоги до рівня підготовки випускників.
Для основної загальної освіти, по темі - Елементи логіки, комбінаторика, статистика і теорія ймовірностей на даний момент встановлений наступний обов'язковий мінімум:
Множини і комбінаторика. Безліч, елементи множини. Підмножини. Об'єднання і припинення множин. Діаграми Ейлера. Приклади рішення комбінаторних завдань: перебір варіантів, правило множення.
Статистичні дані. Подання даних у вигляді таблиць, діаграм, графіків. Середні результати вимірювань. Поняття про статистичний виведення на основі вибірки. Поняття та приклади випадкових подій.
Імовірність. Частота подій, ймовірність. Рівноможливими події і підрахунок їх вірогідність. Уявлення про геометричній ймовірності.
Вимоги до рівня підготовки випускника:
У результаті вивчення математики учень повинен знати і розуміти імовірнісний характер багатьох закономірностей навколишнього світу, приклади статистичних закономірностей і висновків.
У результаті вивчення елементів логіки, комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей учень повинен вміти:
· Витягувати інформацію представлену в таблицях, на діаграмах, графіках; складати таблиці, будувати діаграми і графіки.
· Вирішувати комбінаторні задачі шляхом систематичного перебору можливих варіантів, а також з використанням правила множення.
· Обчислювати середнє значення результатів вимірювань
· Знаходити частоту події, використовуючи власні спостереження і готові статистичні дані
· Знаходити вірогідність випадкових подій у найпростіших ситуаціях.
Використовувати набуті знання і вміння в практичній діяльності та повсякденному житті для:
· Аналізу реальних числових даних, подання у вигляді діаграм, графіків, таблиць
· Рішення навчальних і практичних завдань, що вимагають систематичного перебору варіантів
· Порівняння шансів настання випадкових подій, оцінка ймовірності випадкової події в практичних ситуаціях, зіставлення моделі з реальною ситуацією
· Розуміння статистичних тверджень
§ 1 Аналіз навчально-методичної літератури з теми дослідження.
1. Інструктивні листи.
Один з найважливіших аспектів модернізації змісту математичної освіти полягає у включенні до шкільних програм елементів статистики і теорії ймовірностей. Це обумовлено роллю, яку відіграють ймовірнісно-статистичні знання в загальноосвітній підготовці сучасної людини. Без мінімальної ймовірнісно-статистичної грамотності важко адекватно сприймати соціальну, політичну, економічну інформацію та приймати на її основі обгрунтовані рішення.
Вивчення елементів комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей в основній школі стане обов'язковим після затвердження федерального компонента державного стандарту загальної освіти. Але у зв'язку з тим, що впровадження в практику роботи цього нового матеріалу вимагає декількох років і потребує накопиченні методичного досвіду, Міністерство освіти РФ рекомендувало освітнім установам почати викладати курс «Елементи комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей» в основній школі з 2003/2004 навчального року.
При цьому пропонується орієнтуватися на такий зміст:
· Рішення комбінаторних завдань: перебір варіантів, підрахунок числа варіантів за допомогою правила множення.
· Представлення даних у вигляді таблиць, діаграм, графіків. Діаграми Ейлера. Середні результати вимірювань.
· Поняття і приклади випадкових подій. Частота події, ймовірність. Рівноможливими події і підрахунок їх вірогідність. Уявлення про геометричній ймовірності.
Перерахований коло питань являє собою деякий мінімум, доступний учням основної школи і достатній для формування у них первинних ймовірнісно-статистичних уявлень. [25]
Державним стандартом освіти передбачено обов'язковий мінімум, і викладені основні вимоги до рівня підготовки випускників.
Для основної загальної освіти, по темі - Елементи логіки, комбінаторика, статистика і теорія ймовірностей на даний момент встановлений наступний обов'язковий мінімум:
Множини і комбінаторика. Безліч, елементи множини. Підмножини. Об'єднання і припинення множин. Діаграми Ейлера. Приклади рішення комбінаторних завдань: перебір варіантів, правило множення.
Статистичні дані. Подання даних у вигляді таблиць, діаграм, графіків. Середні результати вимірювань. Поняття про статистичний виведення на основі вибірки. Поняття та приклади випадкових подій.
Імовірність. Частота подій, ймовірність. Рівноможливими події і підрахунок їх вірогідність. Уявлення про геометричній ймовірності.
Вимоги до рівня підготовки випускника:
У результаті вивчення математики учень повинен знати і розуміти імовірнісний характер багатьох закономірностей навколишнього світу, приклади статистичних закономірностей і висновків.
У результаті вивчення елементів логіки, комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей учень повинен вміти:
· Витягувати інформацію представлену в таблицях, на діаграмах, графіках; складати таблиці, будувати діаграми і графіки.
· Вирішувати комбінаторні задачі шляхом систематичного перебору можливих варіантів, а також з використанням правила множення.
· Обчислювати середнє значення результатів вимірювань
· Знаходити частоту події, використовуючи власні спостереження і готові статистичні дані
· Знаходити вірогідність випадкових подій у найпростіших ситуаціях.
Використовувати набуті знання і вміння в практичній діяльності та повсякденному житті для:
· Аналізу реальних числових даних, подання у вигляді діаграм, графіків, таблиць
· Рішення навчальних і практичних завдань, що вимагають систематичного перебору варіантів
· Порівняння шансів настання випадкових подій, оцінка ймовірності випадкової події в практичних ситуаціях, зіставлення моделі з реальною ситуацією
· Розуміння статистичних тверджень
2. Аналіз статей з журналів «Математика в школі».
Журнали «Математика в школі» містять ряд статей, в яких розглядаються різні питання з даної теми.
Про необхідність вивчення в школі елементів теорії ймовірностей і статистики мова йде дуже давно. І автори багатьох статей говорять про необхідність введення стохастичної лінії в основну школу.
Бунімович Е.А [2] на захист цієї необхідності наводить такі аргументи:
1. Соціально-економічна ситуація.
«Потрібно навчити дітей жити в ймовірнісної ситуації. Тобто потрібно навчити їх використовувати, аналізувати й обробляти інформацію, приймати обгрунтовані рішення в різноманітних ситуаціях з випадковими результатами. Орієнтація на багатоваріантність можливого розвитку реальних ситуацій і подій, на формування особистості, здатної жити і працювати в складному, постійно мінливому світі, з неминучістю вимагає розвитку ймовірнісно-статистичного мислення у підростаючого покоління ».
2. Універсальність імовірнісних законів.
«Вони стали основою опису наукової картини світу. Сучасна фізика, хімія, біологія, демографія, соціологія, лінгвістика, філософія, весь комплекс соціально-економічних наук побудований і розвивається на ймовірнісно-статистичної бази.
Підліток у своєму житті щодня стикається з ймовірними ситуаціями. Гра і азарт становлять істотну частину життя дитини. Коло питань, пов'язаних з співвідношеннями понять «ймовірність» і «достовірність», проблема вибору найкращого з кількох варіантів рішення, оцінка ступеня ризику і шансів на успіх, уявлення про справедливість і несправедливість в іграх і в реальних життєвих колізіях - все це, безсумнівно, знаходиться у сфері реальних інтересів підлітка ».
3. Розвиваюча роль стохастики.
«Викладання будь-якого розділу математики благотворно позначається на розумовому розвитку учнів, оскільки прищеплює їм навички ясного логічного мислення, що оперує чітко визначеними поняттями. Все сказане повною мірою відноситься і до викладання теорії ймовірностей, але навчання «законам випадку» грає дещо більшу роль і виходить за рамки звичайного. Слухаючи курс теорії ймовірностей, учень пізнає, як застосовувати прийоми логічного мислення в тих випадках, коли доводиться мати справу з невизначеністю (а такі випадки виникають на практиці майже завжди) ».
4. Прикладний характер законів теорії ймовірностей.
«Висновки теорії ймовірностей знаходять застосування у повсякденному житті, науці, техніці і т.д. У повсякденному житті нам постійно доводиться стикатися з випадковістю, і теорія ймовірностей вчить нас, як діяти раціонально з урахуванням ризику, пов'язаного з прийняттям окремих рішень. Гарним прикладом застосування теорії ймовірностей у повсякденному житті може служити вибір найбільш доцільної форми страхування. При плануванні, наприклад, сімейного бюджету часто доводиться оцінювати витрати, що носять певною мірою випадковий характер. Знайомство на тому чи іншому рівні із законами випадку необхідно кожному. Застосування теорії ймовірностей в науці, техніці, економіці і т.д. набуває все більшого значення. Саме тому у все більшої кількості людей в процесі роботи виникає необхідність у вивченні теорії ймовірностей. Сучасний освічена людина незалежно від професії та роду занять повинен бути знайомий з найпростішими поняттями теорії ймовірностей. У наші дні, коли прогноз погоди містить повідомлення про ймовірність дощу на завтра, кожен повинен знати що власне це означає ».
5. Взаємозв'язок математики з дійсністю.
Крім значення навчання елементам стохастики, не менше уваги приділено питанням про те, що саме і яким чином вивчати школярам.
Виникає багато питань про зміст, методи, засоби. Різні статті пропонують різні методичні рекомендації.
Бунімович Є.А. робить такі методичні рекомендації при розгляді деяких питань теорії ймовірностей.
«На першому етапі навчання можна відзначити, що події достовірні і неможливі краще не відносити до випадкових подій. Досвід викладання цього матеріалу показав, що школярам 10-12 років важко вважати випадковими ті події, які відбуваються завжди, або не відбуваються ніколи. Поняття випадкової події відповідно уточнюється на більш пізніх ступенях навчання. Щоб довести, що дана подія - випадкове, пропонується привести приклад такого результату, коли подія відбувається, і приклад такого результату, коли він не відбувається.
Необхідно розвинути в учнів розуміння ступеня випадковості різних явищ і подій. Якісна оцінка ймовірності події призводить до того, що під час обговорення в класі на один і той же питання може бути дано кілька різних відповідей, які можуть вважатися вірними, що незвично на уроці математики і для учня і для вчителя. Наприклад, при обговоренні ймовірності настання події «вам подарують на день народження собаку» учні в залежності від особистих обставин можуть дати відповіді:
«Це малоймовірне подія»,
«Це дуже можлива подія»,
«Це достовірна подія».
При вирішенні таких завдань головне - приводиться аргументація, розуміння школярем сенсу використовуваних понять. Якщо аргументація цілком логічна і розумна, відповідь слід вважати правильним ». [2]
Про формування первинних стохастичних уявлень у своїй статті говорить Селютіна В.Д. [31].
Журнали «Математика в школі» містять ряд статей, в яких розглядаються різні питання з даної теми.
Про необхідність вивчення в школі елементів теорії ймовірностей і статистики мова йде дуже давно. І автори багатьох статей говорять про необхідність введення стохастичної лінії в основну школу.
Бунімович Е.А [2] на захист цієї необхідності наводить такі аргументи:
1. Соціально-економічна ситуація.
«Потрібно навчити дітей жити в ймовірнісної ситуації. Тобто потрібно навчити їх використовувати, аналізувати й обробляти інформацію, приймати обгрунтовані рішення в різноманітних ситуаціях з випадковими результатами. Орієнтація на багатоваріантність можливого розвитку реальних ситуацій і подій, на формування особистості, здатної жити і працювати в складному, постійно мінливому світі, з неминучістю вимагає розвитку ймовірнісно-статистичного мислення у підростаючого покоління ».
2. Універсальність імовірнісних законів.
«Вони стали основою опису наукової картини світу. Сучасна фізика, хімія, біологія, демографія, соціологія, лінгвістика, філософія, весь комплекс соціально-економічних наук побудований і розвивається на ймовірнісно-статистичної бази.
Підліток у своєму житті щодня стикається з ймовірними ситуаціями. Гра і азарт становлять істотну частину життя дитини. Коло питань, пов'язаних з співвідношеннями понять «ймовірність» і «достовірність», проблема вибору найкращого з кількох варіантів рішення, оцінка ступеня ризику і шансів на успіх, уявлення про справедливість і несправедливість в іграх і в реальних життєвих колізіях - все це, безсумнівно, знаходиться у сфері реальних інтересів підлітка ».
3. Розвиваюча роль стохастики.
«Викладання будь-якого розділу математики благотворно позначається на розумовому розвитку учнів, оскільки прищеплює їм навички ясного логічного мислення, що оперує чітко визначеними поняттями. Все сказане повною мірою відноситься і до викладання теорії ймовірностей, але навчання «законам випадку» грає дещо більшу роль і виходить за рамки звичайного. Слухаючи курс теорії ймовірностей, учень пізнає, як застосовувати прийоми логічного мислення в тих випадках, коли доводиться мати справу з невизначеністю (а такі випадки виникають на практиці майже завжди) ».
4. Прикладний характер законів теорії ймовірностей.
«Висновки теорії ймовірностей знаходять застосування у повсякденному житті, науці, техніці і т.д. У повсякденному житті нам постійно доводиться стикатися з випадковістю, і теорія ймовірностей вчить нас, як діяти раціонально з урахуванням ризику, пов'язаного з прийняттям окремих рішень. Гарним прикладом застосування теорії ймовірностей у повсякденному житті може служити вибір найбільш доцільної форми страхування. При плануванні, наприклад, сімейного бюджету часто доводиться оцінювати витрати, що носять певною мірою випадковий характер. Знайомство на тому чи іншому рівні із законами випадку необхідно кожному. Застосування теорії ймовірностей в науці, техніці, економіці і т.д. набуває все більшого значення. Саме тому у все більшої кількості людей в процесі роботи виникає необхідність у вивченні теорії ймовірностей. Сучасний освічена людина незалежно від професії та роду занять повинен бути знайомий з найпростішими поняттями теорії ймовірностей. У наші дні, коли прогноз погоди містить повідомлення про ймовірність дощу на завтра, кожен повинен знати що власне це означає ».
5. Взаємозв'язок математики з дійсністю.
Крім значення навчання елементам стохастики, не менше уваги приділено питанням про те, що саме і яким чином вивчати школярам.
Виникає багато питань про зміст, методи, засоби. Різні статті пропонують різні методичні рекомендації.
Бунімович Є.А. робить такі методичні рекомендації при розгляді деяких питань теорії ймовірностей.
«На першому етапі навчання можна відзначити, що події достовірні і неможливі краще не відносити до випадкових подій. Досвід викладання цього матеріалу показав, що школярам 10-12 років важко вважати випадковими ті події, які відбуваються завжди, або не відбуваються ніколи. Поняття випадкової події відповідно уточнюється на більш пізніх ступенях навчання. Щоб довести, що дана подія - випадкове, пропонується привести приклад такого результату, коли подія відбувається, і приклад такого результату, коли він не відбувається.
Необхідно розвинути в учнів розуміння ступеня випадковості різних явищ і подій. Якісна оцінка ймовірності події призводить до того, що під час обговорення в класі на один і той же питання може бути дано кілька різних відповідей, які можуть вважатися вірними, що незвично на уроці математики і для учня і для вчителя. Наприклад, при обговоренні ймовірності настання події «вам подарують на день народження собаку» учні в залежності від особистих обставин можуть дати відповіді:
«Це малоймовірне подія»,
«Це дуже можлива подія»,
«Це достовірна подія».
При вирішенні таких завдань головне - приводиться аргументація, розуміння школярем сенсу використовуваних понять. Якщо аргументація цілком логічна і розумна, відповідь слід вважати правильним ». [2]
Про формування первинних стохастичних уявлень у своїй статті говорить Селютіна В.Д. [31].
«5-6 класи є підготовчим етапом, перед вивченням стохастики, тут йде процес« інтуїтивних накопичень ». Як же слід організувати цей процес? Перш за все, шляхом експерименту, проведеного самими учнями. Як стверджує А. Плоцьк, «з-за своєї специфіки стохастика може бути математикою, що розуміється кожним учнем як математика, відкрита ним самим». Одна з найважливіших цілей навчання школярів елементам стохастики полягає в цілеспрямованому розвитку ідеї про те, що в природі наявні статистичні закономірності. Важливо допомогти учням правильно усвідомити реальну дійсність, відкрити для себе імовірнісну природу навколишнього світу, показати, що у світі випадків можна не тільки добре орієнтуватися, але й активно діяти.
За допомогою яких же засобів можна організувати формування первинних стохастичних уявлень школярів? До таких можна віднести: стохастичні ігри, експерименти з випадковими наслідками, статистичні дослідження, уявні статистичні експерименти і моделювання.
Для проведення експериментів поки можливе використання підручних засобів: кубики, гудзики, кнопки, саморобні вертушки і т.п. З введенням стохастичної лінії в основний курс середньої школи, згодом мають з'явитися і мінімальні набори математичного демонстраційного навчального обладнання ». [31]
Проводячи експерименти, учні можуть помітити, що ті чи інші події відбуваються частіше або рідше, щодо інших. Таким чином, можна перейти до поняття частоти, а потім і до статистичного визначення ймовірності.
При класичному підході визначення поняття ймовірності для деяких подій зводиться до простішого поняття - рівноможливими елементарних подій. А це поняття грунтується на інтуїтивному уяві людиною тих умов випробування, які начебто достовірно визначають цю рівноможливими. Але не кожне випробування піддається такому уяві. Наприклад, не може бути й мови про равновозможних результатах випробування, що складається в підкиданні неправильної гральної кістки, центр ваги якої свідомо усунутий з геометричного центру.
З цього випливає обмеження застосування класичної ймовірності. Класичне визначення ймовірності «працює» лише тоді, коли є кінцеве число равновозможних результатів. На практиці ми часто зустрічаємося з ситуаціями, де немає симетрії, яка зумовлює рівноможливими результатів. У таких випадках доводиться визначати ймовірність частотним шляхом (статистична ймовірність) [34].
За навчанням комбінаториці, теж немає єдиної думки.
У статті Ткачової М.В. [35] містяться такі зауваження з навчання комбінаториці.
«На першому етапі при вивченні комбінаторики слід виробити в учнів уміння складати комбінаторні набори і почати з самого простого - складання комбінаторних наборів методом безпосереднього перебору. У віці 11-12 років діти здатні вирішувати найпростіші комбінаторні задачі на цілеспрямований перебір невеликого числа елементів певної множини і складати всілякі комбінації (з повтореннями і без повторень) з 2-3 елементів. Операція перебору розкриває ідею комбінування, служить основою для формування комбінаторних понять і хорошою підготовкою до висновку комбінаторних формул і закономірностей.
Після того як учні навчаться складати набори з елементів заданої множини по заданому властивості, на перший план виходить завдання з підрахунку кількості можливих наборів. Такі комбінаторні завдання вирішуються за допомогою міркувань, розкриваючи принцип множення. Але акцент потрібно зробити не на формальному його застосуванні, а на змістовних міркуваннях і розумінні суті поставленого в задачі питання. Принцип множення в подальшому використовується для виведення формул.
Часто підрахунок варіантів полегшують графи. Одним з видів графів є дерево можливих варіантів, що є гарною наочною ілюстрацією правила множення.
Таким чином, побудова дерева можливих варіантів є одним із способів вирішення комбінаторних завдань. Така наочність допомагає краще зрозуміти принципи складання наборів (допомагає складати і впорядковувати набори). Але таку наочність можливо використовувати в задачах з невеликою кількістю можливих варіантів, або в задачах, для яких дерево можливих варіантів є правильним.
Методом перебору, принципу множення і побудова дерева можливих варіантів - це всі методи, які дозволяють вирішувати комбінаторні завдання без використання формул. Відсутність формул при вирішенні комбінаторних завдань дозволяє учням краще зрозуміти суть рішення, краще освоїти способи складання і підрахунку можливих наборів. Вже після цього можна вивести або ввести деякі формули, які учень повинен застосовувати усвідомлено і розуміти принцип їх дії ». [35]
Спірним залишається питання і про введення основних комбінаторних понять: поєднання, перестановки та розміщення. Чи всі вводити, чи потрібно вводити їх визначення, чи достатньо опису.
На даний момент можна говорити про наявність деякого досвіду з даної теми. Так як цим питанням займаються вже давно, то природно, що були зроблені деякі спроби введення цього матеріалу або хоча б його елементів. Деякі статті містять інформацію про різні дослідах і експериментах з даних питань.
У статті Бунімович Є.А. [2] розповідається про експерименти проведених автором на базі московської гімназії № 710, ярославської гімназії № 20 і калузької гімназії № 2. У них досліджувалися ймовірнісні уявлення школярів старших профільних класів, які ще не вивчали імовірнісний розділ. Результати дослідження показали, що навіть добре знання і розуміння інших розділів математики саме по собі не забезпечує розвитку імовірнісного мислення. Також досвід показав, що у віці початкових класів ще багато чого в уявленнях учня про світі недостатньо сформований, не вистачає і математичного апарату для пояснення уявлень про ймовірності. У той же час основи описової статистики, таблиці та стовпчасті діаграми, а також основи комбінаторики можливо і навіть необхідно вводити в курс початкової школи. А починати виклад основ теорії ймовірності в старших класах - малоефективно. [2]
Ткачової М.В., Василькової Є.М. і Чуваевой Т.В. був проведений експеримент про готовність учнів до вивчення стохастики, результати представлені в їхній статті, [37] На основі проведених експериментів були зроблені наступні висновки. в 5 класі у дітей досить високий рівень комбінаторного мислення, а потім якщо протягом 6-7 класів його не розвивати, то навички рішення комбінаторних задач істотно знижуються. Більшість учнів 5-6 класів готові до сприйняття поняття ймовірність у класичному і геометричному тлумаченні. Бажано навчати дітей 5-6 класів самостійного цілеспрямованому збору інформації про явища оточуючого їх життя, підрахунку даних у невеликих вибірках.
За допомогою яких же засобів можна організувати формування первинних стохастичних уявлень школярів? До таких можна віднести: стохастичні ігри, експерименти з випадковими наслідками, статистичні дослідження, уявні статистичні експерименти і моделювання.
Для проведення експериментів поки можливе використання підручних засобів: кубики, гудзики, кнопки, саморобні вертушки і т.п. З введенням стохастичної лінії в основний курс середньої школи, згодом мають з'явитися і мінімальні набори математичного демонстраційного навчального обладнання ». [31]
Проводячи експерименти, учні можуть помітити, що ті чи інші події відбуваються частіше або рідше, щодо інших. Таким чином, можна перейти до поняття частоти, а потім і до статистичного визначення ймовірності.
При класичному підході визначення поняття ймовірності для деяких подій зводиться до простішого поняття - рівноможливими елементарних подій. А це поняття грунтується на інтуїтивному уяві людиною тих умов випробування, які начебто достовірно визначають цю рівноможливими. Але не кожне випробування піддається такому уяві. Наприклад, не може бути й мови про равновозможних результатах випробування, що складається в підкиданні неправильної гральної кістки, центр ваги якої свідомо усунутий з геометричного центру.
З цього випливає обмеження застосування класичної ймовірності. Класичне визначення ймовірності «працює» лише тоді, коли є кінцеве число равновозможних результатів. На практиці ми часто зустрічаємося з ситуаціями, де немає симетрії, яка зумовлює рівноможливими результатів. У таких випадках доводиться визначати ймовірність частотним шляхом (статистична ймовірність) [34].
За навчанням комбінаториці, теж немає єдиної думки.
У статті Ткачової М.В. [35] містяться такі зауваження з навчання комбінаториці.
«На першому етапі при вивченні комбінаторики слід виробити в учнів уміння складати комбінаторні набори і почати з самого простого - складання комбінаторних наборів методом безпосереднього перебору. У віці 11-12 років діти здатні вирішувати найпростіші комбінаторні задачі на цілеспрямований перебір невеликого числа елементів певної множини і складати всілякі комбінації (з повтореннями і без повторень) з 2-3 елементів. Операція перебору розкриває ідею комбінування, служить основою для формування комбінаторних понять і хорошою підготовкою до висновку комбінаторних формул і закономірностей.
Після того як учні навчаться складати набори з елементів заданої множини по заданому властивості, на перший план виходить завдання з підрахунку кількості можливих наборів. Такі комбінаторні завдання вирішуються за допомогою міркувань, розкриваючи принцип множення. Але акцент потрібно зробити не на формальному його застосуванні, а на змістовних міркуваннях і розумінні суті поставленого в задачі питання. Принцип множення в подальшому використовується для виведення формул.
Часто підрахунок варіантів полегшують графи. Одним з видів графів є дерево можливих варіантів, що є гарною наочною ілюстрацією правила множення.
Таким чином, побудова дерева можливих варіантів є одним із способів вирішення комбінаторних завдань. Така наочність допомагає краще зрозуміти принципи складання наборів (допомагає складати і впорядковувати набори). Але таку наочність можливо використовувати в задачах з невеликою кількістю можливих варіантів, або в задачах, для яких дерево можливих варіантів є правильним.
Методом перебору, принципу множення і побудова дерева можливих варіантів - це всі методи, які дозволяють вирішувати комбінаторні завдання без використання формул. Відсутність формул при вирішенні комбінаторних завдань дозволяє учням краще зрозуміти суть рішення, краще освоїти способи складання і підрахунку можливих наборів. Вже після цього можна вивести або ввести деякі формули, які учень повинен застосовувати усвідомлено і розуміти принцип їх дії ». [35]
Спірним залишається питання і про введення основних комбінаторних понять: поєднання, перестановки та розміщення. Чи всі вводити, чи потрібно вводити їх визначення, чи достатньо опису.
На даний момент можна говорити про наявність деякого досвіду з даної теми. Так як цим питанням займаються вже давно, то природно, що були зроблені деякі спроби введення цього матеріалу або хоча б його елементів. Деякі статті містять інформацію про різні дослідах і експериментах з даних питань.
У статті Бунімович Є.А. [2] розповідається про експерименти проведених автором на базі московської гімназії № 710, ярославської гімназії № 20 і калузької гімназії № 2. У них досліджувалися ймовірнісні уявлення школярів старших профільних класів, які ще не вивчали імовірнісний розділ. Результати дослідження показали, що навіть добре знання і розуміння інших розділів математики саме по собі не забезпечує розвитку імовірнісного мислення. Також досвід показав, що у віці початкових класів ще багато чого в уявленнях учня про світі недостатньо сформований, не вистачає і математичного апарату для пояснення уявлень про ймовірності. У той же час основи описової статистики, таблиці та стовпчасті діаграми, а також основи комбінаторики можливо і навіть необхідно вводити в курс початкової школи. А починати виклад основ теорії ймовірності в старших класах - малоефективно. [2]
Ткачової М.В., Василькової Є.М. і Чуваевой Т.В. був проведений експеримент про готовність учнів до вивчення стохастики, результати представлені в їхній статті, [37] На основі проведених експериментів були зроблені наступні висновки. в 5 класі у дітей досить високий рівень комбінаторного мислення, а потім якщо протягом 6-7 класів його не розвивати, то навички рішення комбінаторних задач істотно знижуються. Більшість учнів 5-6 класів готові до сприйняття поняття ймовірність у класичному і геометричному тлумаченні. Бажано навчати дітей 5-6 класів самостійного цілеспрямованому збору інформації про явища оточуючого їх життя, підрахунку даних у невеликих вибірках.
3. Аналіз ймовірнісно-статистичної лінії у навчальній літературі.
При введенні будь-якої нової теми, будь-якого нового питання в основний курс школи постає проблема викладу даного питання в шкільних підручниках.
До реалізації нового змісту у діючих підручниках автори підійшли по-різному. В одних підручниках елементи стохастики включені в основний зміст окремими параграфами. Автори ж інших підручників видають новий зміст у формі вкладишів - додаткових глав до своїх посібників.
Спроба побудови ймовірнісно-статистичної лінії в базовому курсі математики основної школи зроблена в підручниках
Під редакцією Г.В Дорофеєва і І.Ф Шаригіна [18,19,20,21,22]
«Математіка5», «Математіка6», «Математіка7», «Математіка8» і «Математика 9».
5 клас починається з комбінаторики, де на конкретних завданнях і прикладах розглядається рішення комбінаторних задач методом перебору можливих варіантів. Цей метод ілюструється за допомогою побудова дерева можливих варіантів. Приклади і задачі дуже прості, дозволяють на етапі знайомства з комбінаторними завданнями, засвоїти принцип простого, впорядкованого перебору можливих варіантів.
У пункті «Випадкові події» розглядається поняття випадкова подія, достовірні, неможливі і рівноімовірні події. Тут же наводяться реальні, зрозумілі приклади, що дозволяють учням краще засвоїти ці поняття.
В останньому розділі підручника розглядаються таблиці і діаграми (як спосіб подання інформації). Учнів навчають користуватися таблицею, добувати з неї і аналізувати необхідну інформацію, також вчать самих будувати таблиці. У п'ятому класі розглядаються стовпчасті діаграми, в одній із завдань розглянута кругова діаграма. Також розглядається пункт «Опитування громадської думки», де складання таблиць за даними опитування дозволяє вирішити ті чи інші класні питання, що виникають у реальному житті
6 клас починаємо з повторення таблиць і діаграм. Повторюють вже вивчені стовпчасті діаграми і більш докладно розглядають кругові (для представлення співвідношення між частинами цілого).
Далі йдуть 2 параграфа з комбінаторики: логіка перебору і правило множення. Тут розглядаються завдання, які вирішуються вже відомим їм способом перебору і пропонується спростити його, використовуючи, так зване кодування. Також розглядається новий спосіб вирішення комбінаторних задач за допомогою правила множення.
Завершується підручник главою - «вірогідність випадкових подій». Учням пропонується провести ряд експериментів, зафіксувавши результати в таблицях. Після чого, використовуючи отримані результати, вводиться поняття частота і вірогідність випадкових подій
7 клас починається з розгляду основних статистичних характеристик: середнє арифметичне, мода, розмах, знову ж таки з безліччю прикладів з життя. В одному з параграфів знову звертаємося до рішення комбінаторних завдань, які вирішуються за допомогою міркувань. Розглядаються перестановки. І заключна глава продовжує розглядати ймовірність і частоту випадкових подій.
У 8 класі спочатку повторюються статистичні характеристики, вивчені в 7 класі, і вводиться нова характеристика - медіана. Розглядаються таблиці частот. Наводяться приклади, що показують зв'язок з практикою, описуються різні життєві ситуації. У 8 класі вводиться класичне визначення ймовірності, дане Лапласом.
Розглядаються геометричні ймовірності.
У підручнику 9 класу розглядаються статистичні дослідження, вводиться визначення статистики. У главі розглядаються доступні учням приклади статистичних досліджень, в ході яких використовуються отримані раніше знання про випадкові експериментах, способи представлення даних і статистичних характеристиках. Вводяться нові поняття вибірка, репрезентативність, генеральна сукупність, ранжування, обсяг вибірки. Розглядається новий спосіб графічного представлення результатів - полігони. Вводяться поняття вибіркової дисперсії і середнє квадратичне відхилення.
У підручнику розглядаються 3 приклади статистичних досліджень, це реальні приклади близькі школяреві. Це питання: «Як досліджують якість знань школярів», «Чи зручно розташована школа?», «Куди піти працювати?». Учень бачить застосування знань за статистикою в реальних життєвих ситуаціях.
Вивчивши, даний комплект підручників, можна відзначити кілька моментів. По-перше, курс розрахований на 5 - 9 класи, в той час, як більшість інших навчальних посібників пропонує розглядати ці питання лише з 7 по 9 класи. По-друге, що теж відрізняє запропонований у цих підручниках курс від інших, це паралельне виклад ліній.
Зубарєва І.І., Мордкович А.Г. «Математика 5», «Математика 6». [9.10]
У 5 класі остання глава «введення в імовірність» містить 2 параграфа. У одному параграфі розглядаються достовірні, неможливі і випадкові події. І їй дано завдання на визначення характеру події (достовірне, неможливе чи випадкове). У другому параграфі розглядаються комбінаторні задачі, які вирішуються методом перебору можливих варіантів.
У 6 класі автори знайомлять з поняттям ймовірність. Дані вправи на визначення ступеня ймовірності тієї чи іншої події, виконувати які учні повинні з опорою на інтуїцію. У наступному пункті вводиться класичне визначення ймовірності. Розглядаються завдання, в яких для обчислення ймовірності використовують комбінаторне правило множення.
На мою думку, що розглядаються комбінаторні задачі, які вирішуються методом перебору можливих варіантів, взяті не зовсім вдало. Для першого знайомства з завданнями на перебір можливих варіантів краще взяти більш прості завдання.
Ще одним недоліком, на мій погляд, є те, що авторами вводиться лише класичне визначення ймовірності і абсолютно не розглядається поняття частоти. А більш логічно і доцільно вводити класичне визначення на основі частотного.
Деякі навчальні комплекти поповнилися додатковими навчальними посібниками, які містять матеріал по Стохастике.
Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г. [14]
«Алгебра: елементи статистики і теорії ймовірностей».
Під редакцією Теляковського С.А.
Цей навчальний посібник призначений для учнів 7-9 класів, воно доповнює підручники: Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г., ХОМЕНКО К.І., Суворова С.Б. «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9», під редакцією Теляковського С.А.
Книга складається з чотирьох параграфів. У кожному пункті містяться теоретичні відомості та відповідні вправи. У кінці пункту наводяться вправи для повторення. До кожного параграфу даються додаткові вправи більш високого рівня складності в порівнянні з основними вправами.
У 7 класі (§ 1) матеріал об'єднаний в параграф «статистичні характеристики», який знайомить з найпростішими статистичними характеристиками (середнє арифметичне, мода, медіана, розмах). Вправи до параграфу можна розділити на 2 групи. Першу групу складають завдання на відшукання розглянутих характеристик і тлумачення їх практичного сенсу. До другої групи належать завдання, які вимагають не тільки знання визначень досліджуваних статистичних характеристик, а й умінь проводити необхідні міркування, використовувати раніше введений алгебраїчний апарат.
Матеріал, що вивчається у 8 класі (§ 2) також об'єднаний в один параграф «Статистичні дослідження», де розглядаються питання організації статистичних досліджень та наочного подання статистичної інформації (таблиці частот). Спочатку повторюються основні статистичні характеристики. Вводяться нові поняття: інтервальний ряд, суцільне і вибіркове дослідження, вибірка, генеральна сукупність, репрезентативність. Знайомство з новими видами наочної інтерпретації результатів статистичних досліджень - полігонами і гістограмами
Найбільший обсяг матеріалу припадає на 9 клас. Тут є 2 параграфа.
§ 3 «Елементи комбінаторики» містить 4 пункти:
1. Приклади комбінаторних задач. На простих прикладах демонструється рішення комбінаторних задач методом перебору можливих варіантів. Цей метод ілюструється за допомогою побудова дерева можливих варіантів. Розглядається правило множення.
2. Перестановки. Вводиться саме поняття і формула підрахунку перестановок.
3. Розміщення. Поняття вводиться на конкретному прикладі. Виводиться формула числа розміщень.
4. Сполучення. Поняття і формула кількості сполучень.
§ 4 «Початкові відомості з теорії ймовірностей».
Виклад матеріалу починається з розгляду експерименту, після чого вводять поняття «випадкове подія», і «відносна частота випадкової події». Вводиться статистичне та класичне визначення ймовірності. Параграф завершується пунктом «додавання і множення ймовірностей». Розглядаються теореми додавання і множення ймовірностей, вводяться пов'язані з ними поняття несумісні, протилежні, незалежні події. Цей матеріал розрахований на учнів, що виявляють інтерес і схильності до математики, і може бути використаний для індивідуальної роботи або на позакласних заняттях з учнями.
У даному посібнику деякі елементи вводяться таким же чином, як і в навчальному комплекті Дорофєєва. Але матеріал скорочений, за винятком комбінаторики, яка містить більше і теорії та практичних вправ. На мою думку, комбінаторика і початкові дані з теорії ймовірностей пропонується вивчати занадто пізно. Як вже зазначалося вище, починати навчати комбінаториці і формувати перші ймовірнісні уявлення краще якомога раніше.
При введенні будь-якої нової теми, будь-якого нового питання в основний курс школи постає проблема викладу даного питання в шкільних підручниках.
До реалізації нового змісту у діючих підручниках автори підійшли по-різному. В одних підручниках елементи стохастики включені в основний зміст окремими параграфами. Автори ж інших підручників видають новий зміст у формі вкладишів - додаткових глав до своїх посібників.
Спроба побудови ймовірнісно-статистичної лінії в базовому курсі математики основної школи зроблена в підручниках
Під редакцією Г.В Дорофеєва і І.Ф Шаригіна [18,19,20,21,22]
«Математіка5», «Математіка6», «Математіка7», «Математіка8» і «Математика 9».
5 клас починається з комбінаторики, де на конкретних завданнях і прикладах розглядається рішення комбінаторних задач методом перебору можливих варіантів. Цей метод ілюструється за допомогою побудова дерева можливих варіантів. Приклади і задачі дуже прості, дозволяють на етапі знайомства з комбінаторними завданнями, засвоїти принцип простого, впорядкованого перебору можливих варіантів.
У пункті «Випадкові події» розглядається поняття випадкова подія, достовірні, неможливі і рівноімовірні події. Тут же наводяться реальні, зрозумілі приклади, що дозволяють учням краще засвоїти ці поняття.
В останньому розділі підручника розглядаються таблиці і діаграми (як спосіб подання інформації). Учнів навчають користуватися таблицею, добувати з неї і аналізувати необхідну інформацію, також вчать самих будувати таблиці. У п'ятому класі розглядаються стовпчасті діаграми, в одній із завдань розглянута кругова діаграма. Також розглядається пункт «Опитування громадської думки», де складання таблиць за даними опитування дозволяє вирішити ті чи інші класні питання, що виникають у реальному житті
6 клас починаємо з повторення таблиць і діаграм. Повторюють вже вивчені стовпчасті діаграми і більш докладно розглядають кругові (для представлення співвідношення між частинами цілого).
Далі йдуть 2 параграфа з комбінаторики: логіка перебору і правило множення. Тут розглядаються завдання, які вирішуються вже відомим їм способом перебору і пропонується спростити його, використовуючи, так зване кодування. Також розглядається новий спосіб вирішення комбінаторних задач за допомогою правила множення.
Завершується підручник главою - «вірогідність випадкових подій». Учням пропонується провести ряд експериментів, зафіксувавши результати в таблицях. Після чого, використовуючи отримані результати, вводиться поняття частота і вірогідність випадкових подій
7 клас починається з розгляду основних статистичних характеристик: середнє арифметичне, мода, розмах, знову ж таки з безліччю прикладів з життя. В одному з параграфів знову звертаємося до рішення комбінаторних завдань, які вирішуються за допомогою міркувань. Розглядаються перестановки. І заключна глава продовжує розглядати ймовірність і частоту випадкових подій.
У 8 класі спочатку повторюються статистичні характеристики, вивчені в 7 класі, і вводиться нова характеристика - медіана. Розглядаються таблиці частот. Наводяться приклади, що показують зв'язок з практикою, описуються різні життєві ситуації. У 8 класі вводиться класичне визначення ймовірності, дане Лапласом.
Розглядаються геометричні ймовірності.
У підручнику 9 класу розглядаються статистичні дослідження, вводиться визначення статистики. У главі розглядаються доступні учням приклади статистичних досліджень, в ході яких використовуються отримані раніше знання про випадкові експериментах, способи представлення даних і статистичних характеристиках. Вводяться нові поняття вибірка, репрезентативність, генеральна сукупність, ранжування, обсяг вибірки. Розглядається новий спосіб графічного представлення результатів - полігони. Вводяться поняття вибіркової дисперсії і середнє квадратичне відхилення.
У підручнику розглядаються 3 приклади статистичних досліджень, це реальні приклади близькі школяреві. Це питання: «Як досліджують якість знань школярів», «Чи зручно розташована школа?», «Куди піти працювати?». Учень бачить застосування знань за статистикою в реальних життєвих ситуаціях.
Вивчивши, даний комплект підручників, можна відзначити кілька моментів. По-перше, курс розрахований на 5 - 9 класи, в той час, як більшість інших навчальних посібників пропонує розглядати ці питання лише з 7 по 9 класи. По-друге, що теж відрізняє запропонований у цих підручниках курс від інших, це паралельне виклад ліній.
Зубарєва І.І., Мордкович А.Г. «Математика 5», «Математика 6». [9.10]
У 5 класі остання глава «введення в імовірність» містить 2 параграфа. У одному параграфі розглядаються достовірні, неможливі і випадкові події. І їй дано завдання на визначення характеру події (достовірне, неможливе чи випадкове). У другому параграфі розглядаються комбінаторні задачі, які вирішуються методом перебору можливих варіантів.
У 6 класі автори знайомлять з поняттям ймовірність. Дані вправи на визначення ступеня ймовірності тієї чи іншої події, виконувати які учні повинні з опорою на інтуїцію. У наступному пункті вводиться класичне визначення ймовірності. Розглядаються завдання, в яких для обчислення ймовірності використовують комбінаторне правило множення.
На мою думку, що розглядаються комбінаторні задачі, які вирішуються методом перебору можливих варіантів, взяті не зовсім вдало. Для першого знайомства з завданнями на перебір можливих варіантів краще взяти більш прості завдання.
Ще одним недоліком, на мій погляд, є те, що авторами вводиться лише класичне визначення ймовірності і абсолютно не розглядається поняття частоти. А більш логічно і доцільно вводити класичне визначення на основі частотного.
Деякі навчальні комплекти поповнилися додатковими навчальними посібниками, які містять матеріал по Стохастике.
Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г. [14]
«Алгебра: елементи статистики і теорії ймовірностей».
Під редакцією Теляковського С.А.
Цей навчальний посібник призначений для учнів 7-9 класів, воно доповнює підручники: Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г., ХОМЕНКО К.І., Суворова С.Б. «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9», під редакцією Теляковського С.А.
Книга складається з чотирьох параграфів. У кожному пункті містяться теоретичні відомості та відповідні вправи. У кінці пункту наводяться вправи для повторення. До кожного параграфу даються додаткові вправи більш високого рівня складності в порівнянні з основними вправами.
У 7 класі (§ 1) матеріал об'єднаний в параграф «статистичні характеристики», який знайомить з найпростішими статистичними характеристиками (середнє арифметичне, мода, медіана, розмах). Вправи до параграфу можна розділити на 2 групи. Першу групу складають завдання на відшукання розглянутих характеристик і тлумачення їх практичного сенсу. До другої групи належать завдання, які вимагають не тільки знання визначень досліджуваних статистичних характеристик, а й умінь проводити необхідні міркування, використовувати раніше введений алгебраїчний апарат.
Матеріал, що вивчається у 8 класі (§ 2) також об'єднаний в один параграф «Статистичні дослідження», де розглядаються питання організації статистичних досліджень та наочного подання статистичної інформації (таблиці частот). Спочатку повторюються основні статистичні характеристики. Вводяться нові поняття: інтервальний ряд, суцільне і вибіркове дослідження, вибірка, генеральна сукупність, репрезентативність. Знайомство з новими видами наочної інтерпретації результатів статистичних досліджень - полігонами і гістограмами
Найбільший обсяг матеріалу припадає на 9 клас. Тут є 2 параграфа.
§ 3 «Елементи комбінаторики» містить 4 пункти:
1. Приклади комбінаторних задач. На простих прикладах демонструється рішення комбінаторних задач методом перебору можливих варіантів. Цей метод ілюструється за допомогою побудова дерева можливих варіантів. Розглядається правило множення.
2. Перестановки. Вводиться саме поняття і формула підрахунку перестановок.
3. Розміщення. Поняття вводиться на конкретному прикладі. Виводиться формула числа розміщень.
4. Сполучення. Поняття і формула кількості сполучень.
§ 4 «Початкові відомості з теорії ймовірностей».
Виклад матеріалу починається з розгляду експерименту, після чого вводять поняття «випадкове подія», і «відносна частота випадкової події». Вводиться статистичне та класичне визначення ймовірності. Параграф завершується пунктом «додавання і множення ймовірностей». Розглядаються теореми додавання і множення ймовірностей, вводяться пов'язані з ними поняття несумісні, протилежні, незалежні події. Цей матеріал розрахований на учнів, що виявляють інтерес і схильності до математики, і може бути використаний для індивідуальної роботи або на позакласних заняттях з учнями.
У даному посібнику деякі елементи вводяться таким же чином, як і в навчальному комплекті Дорофєєва. Але матеріал скорочений, за винятком комбінаторики, яка містить більше і теорії та практичних вправ. На мою думку, комбінаторика і початкові дані з теорії ймовірностей пропонується вивчати занадто пізно. Як вже зазначалося вище, починати навчати комбінаториці і формувати перші ймовірнісні уявлення краще якомога раніше.
Методичні рекомендації до даного підручника дано у ряді статей Макаричева і Міндюк [15], [16], [17]. А також деякі критичні зауваження по даному навчальному посібнику містяться в статті Студенецька і Фадєєвої [33], яка допоможе не допустити помилок при роботі з даними підручником.
Ткачова М.В. [36]
«Елементи статистики і ймовірність».
Це навчальний посібник для 7-9 класів і воно доповнює підручники Алімова Ш.А. «Алгебра 7,8,9».
1 Глава «Введення в комбінаторики» (7 клас) починається з історичних комбінаторних задач про магічні та латинських квадратах та інші. Потім розглядаються пункт різні комбінації з трьох елементів, де розглядаються поєднання, перестановки та розміщення, але вводити самі терміни не обов'язково. Розглядається таблиця підрахунку варіантів, яка підводить до правила множення. Також розглядаються графи, але лише як засіб підрахунку можливих варіантів. Ця глава має і додаткові параграфи - перестановки і розбиття на дві групи, висунення гіпотез.
2 Глава «Випадкові події» (8 клас).
Спочатку розглядаються події: достовірні, неможливі, випадкові, спільні та несумісні, рівноможливими. У наступному пункті вводиться відразу класичне визначення ймовірності, після чого розглядається рішення імовірнісних задач за допомогою комбінаторики. Далі як додатковий пункт розглядається геометрична ймовірність. Вводиться поняття протилежних подій і їх вірогідність. Поняття відносної частоти і статистичне визначення ймовірності вводиться вже в кінці розділу. І завершується додатковим пунктом - тактика ігор.
3 глава «Випадкові величини» (9 клас).
Вводяться поняття випадкової величини - дискретної і безперервного. Розглядаються таблиці розподілу значень випадкової величини та її графічне представлення (полігони). Далі розглядаються такі поняття як генеральна сукупність і вибірка, мода, медіана, розмах. А завершується глава додатковими пунктами, в яких розглядаються відхилення від середнього, дисперсія, середнє квадратичне відхилення і правило трьох сигм
На мій погляд, виклад деяких питань у цьому навчальному посібнику не зовсім вдало. По-перше, класичне визначення ймовірності вводиться до того як розглядається поняття частоти і статистичне визначення ймовірності, що, на мою думку, як я вже відзначала не зовсім логічно. По-друге, в розділі про випадкових величинах з найпростішими статистичними характеристиками знайомлять вже в останню чергу, адже саме їх учень може використовувати при аналізі статистичної інформації. По-третє, в підручнику взагалі мало уваги приділено роботі зі статистичними даними.
В кінці підручника містяться короткі методичні рекомендації для вчителя. Також методичні рекомендації до першого розділу даного навчального посібника можна знайти у статті Ткачової [38].
На даний момент одним з діючих підручників у школі є підручник Мордкович, до нього також є додаткові глави для 7-9 класів:
Мордкович А.Г., Семенов П.В. [23]
«Події, ймовірності, статистична обробка даних».
Перші два параграфи присвячені комбінаториці. Починається з розгляду простих комбінаторних завдань, розглядається таблиця можливих варіантів, яка показує принцип правила множення. Потім розглядаються дерева можливих варіантів і перестановки. Після теоретичного матеріалу йдуть вправи по кожному з підпунктів.
Наступний параграф - вибір декількох елементів, в якому розглядаються поєднання. Спочатку виводиться формула для 2-ух елементів, потім для трьох, а потім спільна для п елементів.
Третій параграф - випадкові події та їх вірогідність. Вводиться класичне визначення ймовірності.
Четвертий параграф присвячений статистиці. Розглядається угрупування інформації у вигляді таблиць. У цьому розділі вводиться багато нових термінів, і автори, оформили їх у вигляді таблиці, де крім визначень йде ще і опис цих термінів. Далі розглядається таблиця розподілу та її графічне представлення (багатокутник розподілів), нормальний розподіл. Числові характеристики вибірки (середнє арифметичне, мода, медіана). Наступний пункт - експериментальні дані та ймовірності подій, в якому йдеться про зв'язок між імовірністю та експериментальними статистичними даними, після чого вводиться визначення статистичної ймовірності.
І завершує підручник параграф, що містить матеріал з наступних питань: схема Бернуллі (при розгляді двох можливих результатів)., Обчислення ймовірності за допомогою функції φ, закон великих чисел.
У цьому навчальному посібнику дуже мало уваги приділено теорії ймовірностей. Цей підручник нагадує підручник Ткачової. У ньому також першим справою вводиться класичне визначення ймовірності, і вже набагато пізніше вводиться статистичне визначення, пов'язане з експериментальними статистичними даними. Статистичні характеристики вводяться для вибірки, і після розгляду питання про розподіл значень випадкової величини. За комбінаториці матеріал викладено більш вдало. зауваження по даному навчальному посібнику містяться в статті Студенецька і Фадєєвої [32].
Тюрін Ю.М., Макаров А.А. та ін [39]
«Теорія ймовірностей і статистика».
Цей посібник для учнів 7-9 класів, в якому досліджувана лінія реалізується в наступному порядку. Перші два глави присвячені таблиць і діаграм. Розглядаються статистичні дані в таблицях, йде навчання роботі з таблицями (пошук інформації, обчислення в таблицях, занесення результатів підрахунків і вимірювань в таблиці). Розглядаються стовпчикові, кругові і діаграма розсіювання.
У третьому розділі крім основних статистичних характеристик вводяться також поняття: відхилення і дисперсії.
Четверта глава - випадкова мінливість, містить ряд прикладів мінливих величин (температура повітря кожен день, зростання або вага людини тощо). А потім в 5 чолі переходимо до вивчення випадкових подій і їх ймовірностей. Імовірність випадкової події визначається тут, як числова міра його правдоподібності. Після визначення ймовірності розглядається частота і експерименти з монетою і гральної кісткою. Далі імовірнісна лінія продовжується, і розглядаються елементарні події, їх рівноможливими, протилежні події, діаграми Ейлера, об'єднання і перетину подій, додавання і множення ймовірностей.
Після цього йде блок комбінаторики, де розглядається правило множення, перестановки, поєднання, формули числа перестановок і сполучень, а потім з їх допомогою вирішуються завдання на обчислення ймовірностей. В окремих розділах розглядаються геометричні ймовірності та випробування Бернуллі (про двох можливих результатах).
Наступні кілька глав присвячені випадковим величинам: приклади випадкових величин, розподіл ймовірностей випадкових величин, їх числові характеристики (математичне сподівання, дисперсія), випадкові величини в статистиці. Дається визначення частоти, і теорема, яка стверджує, що частота наближено дорівнює ймовірності при великій кількості досвідів.
Додаток включає в себе питання: формула бінома-Ньютона, трикутник Паскаля, також є декілька самостійних і контрольних робіт, за запропонованим матеріалу.
Плюсом даного посібника є те, що воно одне з небагатьох містить пункти, в яких розглядаються таблиці і діаграми. Цей пункт необхідний, тому що саме таблиці і діаграми вчать учнів поданням і початкового аналізу даних.
Не мало уваги приділено випадковим величинам і ймовірностями, але, я вважаю, що деякі пункти можна розглядати як додаткові. А поняття дисперсії і математичне очікування краще перенести для вивчення в старші класи. Комбінаторні формули в даному посібнику розглядаються, як засіб для підрахунку імовірності і даються після визначення ймовірності. Але основною метою вивчення комбінаторики є розвиток мислення, і її не можна розглядати тільки як засіб для підрахунку імовірності.
Бунімович Е.А., Буличов В.А. [3]
«Ймовірність і статистика. 5-9 класи ».
Починається підручник з розгляду випадкових подій і порівняння їх ймовірності (що ймовірніше). Потім, спираючись на експеримент, вводимо поняття частоти (тут же розглядаються таблиці частот і гістограми). Після чого йде пункт з назвою «Куди прагнуть частоти?», Де вводимо статистичне визначення ймовірності, а потім і класичне.
У пункті «вірогідність і комбінаторика», розглядаються правило множення, правило віднімання та поєднання і їх число. Всі ці формули використовуються для обчислення ймовірності. А в пункті «точка теж буває випадковою» мова йде про геометричному визначенні ймовірності.
В останньому пункті «скільки родзинок в булці і скільки риб у ставку?» Розглядається питання статистичного оцінювання та прогнозування.
Я вважаю, що в даному посібнику вдалим є введення поняття ймовірності. Послідовність викладу питань з даної лінії цілком логічна.
Останній пункт має практичне значення, так як показує практичну користь з підрахунку імовірності. Містить ряд цікавих завдань, безпосередньо пов'язаних з реальним життям.
Ткачова М.В. [36]
«Елементи статистики і ймовірність».
Це навчальний посібник для 7-9 класів і воно доповнює підручники Алімова Ш.А. «Алгебра 7,8,9».
1 Глава «Введення в комбінаторики» (7 клас) починається з історичних комбінаторних задач про магічні та латинських квадратах та інші. Потім розглядаються пункт різні комбінації з трьох елементів, де розглядаються поєднання, перестановки та розміщення, але вводити самі терміни не обов'язково. Розглядається таблиця підрахунку варіантів, яка підводить до правила множення. Також розглядаються графи, але лише як засіб підрахунку можливих варіантів. Ця глава має і додаткові параграфи - перестановки і розбиття на дві групи, висунення гіпотез.
2 Глава «Випадкові події» (8 клас).
Спочатку розглядаються події: достовірні, неможливі, випадкові, спільні та несумісні, рівноможливими. У наступному пункті вводиться відразу класичне визначення ймовірності, після чого розглядається рішення імовірнісних задач за допомогою комбінаторики. Далі як додатковий пункт розглядається геометрична ймовірність. Вводиться поняття протилежних подій і їх вірогідність. Поняття відносної частоти і статистичне визначення ймовірності вводиться вже в кінці розділу. І завершується додатковим пунктом - тактика ігор.
3 глава «Випадкові величини» (9 клас).
Вводяться поняття випадкової величини - дискретної і безперервного. Розглядаються таблиці розподілу значень випадкової величини та її графічне представлення (полігони). Далі розглядаються такі поняття як генеральна сукупність і вибірка, мода, медіана, розмах. А завершується глава додатковими пунктами, в яких розглядаються відхилення від середнього, дисперсія, середнє квадратичне відхилення і правило трьох сигм
На мій погляд, виклад деяких питань у цьому навчальному посібнику не зовсім вдало. По-перше, класичне визначення ймовірності вводиться до того як розглядається поняття частоти і статистичне визначення ймовірності, що, на мою думку, як я вже відзначала не зовсім логічно. По-друге, в розділі про випадкових величинах з найпростішими статистичними характеристиками знайомлять вже в останню чергу, адже саме їх учень може використовувати при аналізі статистичної інформації. По-третє, в підручнику взагалі мало уваги приділено роботі зі статистичними даними.
В кінці підручника містяться короткі методичні рекомендації для вчителя. Також методичні рекомендації до першого розділу даного навчального посібника можна знайти у статті Ткачової [38].
На даний момент одним з діючих підручників у школі є підручник Мордкович, до нього також є додаткові глави для 7-9 класів:
Мордкович А.Г., Семенов П.В. [23]
«Події, ймовірності, статистична обробка даних».
Перші два параграфи присвячені комбінаториці. Починається з розгляду простих комбінаторних завдань, розглядається таблиця можливих варіантів, яка показує принцип правила множення. Потім розглядаються дерева можливих варіантів і перестановки. Після теоретичного матеріалу йдуть вправи по кожному з підпунктів.
Наступний параграф - вибір декількох елементів, в якому розглядаються поєднання. Спочатку виводиться формула для 2-ух елементів, потім для трьох, а потім спільна для п елементів.
Третій параграф - випадкові події та їх вірогідність. Вводиться класичне визначення ймовірності.
Четвертий параграф присвячений статистиці. Розглядається угрупування інформації у вигляді таблиць. У цьому розділі вводиться багато нових термінів, і автори, оформили їх у вигляді таблиці, де крім визначень йде ще і опис цих термінів. Далі розглядається таблиця розподілу та її графічне представлення (багатокутник розподілів), нормальний розподіл. Числові характеристики вибірки (середнє арифметичне, мода, медіана). Наступний пункт - експериментальні дані та ймовірності подій, в якому йдеться про зв'язок між імовірністю та експериментальними статистичними даними, після чого вводиться визначення статистичної ймовірності.
І завершує підручник параграф, що містить матеріал з наступних питань: схема Бернуллі (при розгляді двох можливих результатів)., Обчислення ймовірності за допомогою функції φ, закон великих чисел.
У цьому навчальному посібнику дуже мало уваги приділено теорії ймовірностей. Цей підручник нагадує підручник Ткачової. У ньому також першим справою вводиться класичне визначення ймовірності, і вже набагато пізніше вводиться статистичне визначення, пов'язане з експериментальними статистичними даними. Статистичні характеристики вводяться для вибірки, і після розгляду питання про розподіл значень випадкової величини. За комбінаториці матеріал викладено більш вдало. зауваження по даному навчальному посібнику містяться в статті Студенецька і Фадєєвої [32].
Тюрін Ю.М., Макаров А.А. та ін [39]
«Теорія ймовірностей і статистика».
Цей посібник для учнів 7-9 класів, в якому досліджувана лінія реалізується в наступному порядку. Перші два глави присвячені таблиць і діаграм. Розглядаються статистичні дані в таблицях, йде навчання роботі з таблицями (пошук інформації, обчислення в таблицях, занесення результатів підрахунків і вимірювань в таблиці). Розглядаються стовпчикові, кругові і діаграма розсіювання.
У третьому розділі крім основних статистичних характеристик вводяться також поняття: відхилення і дисперсії.
Четверта глава - випадкова мінливість, містить ряд прикладів мінливих величин (температура повітря кожен день, зростання або вага людини тощо). А потім в 5 чолі переходимо до вивчення випадкових подій і їх ймовірностей. Імовірність випадкової події визначається тут, як числова міра його правдоподібності. Після визначення ймовірності розглядається частота і експерименти з монетою і гральної кісткою. Далі імовірнісна лінія продовжується, і розглядаються елементарні події, їх рівноможливими, протилежні події, діаграми Ейлера, об'єднання і перетину подій, додавання і множення ймовірностей.
Після цього йде блок комбінаторики, де розглядається правило множення, перестановки, поєднання, формули числа перестановок і сполучень, а потім з їх допомогою вирішуються завдання на обчислення ймовірностей. В окремих розділах розглядаються геометричні ймовірності та випробування Бернуллі (про двох можливих результатах).
Наступні кілька глав присвячені випадковим величинам: приклади випадкових величин, розподіл ймовірностей випадкових величин, їх числові характеристики (математичне сподівання, дисперсія), випадкові величини в статистиці. Дається визначення частоти, і теорема, яка стверджує, що частота наближено дорівнює ймовірності при великій кількості досвідів.
Додаток включає в себе питання: формула бінома-Ньютона, трикутник Паскаля, також є декілька самостійних і контрольних робіт, за запропонованим матеріалу.
Плюсом даного посібника є те, що воно одне з небагатьох містить пункти, в яких розглядаються таблиці і діаграми. Цей пункт необхідний, тому що саме таблиці і діаграми вчать учнів поданням і початкового аналізу даних.
Не мало уваги приділено випадковим величинам і ймовірностями, але, я вважаю, що деякі пункти можна розглядати як додаткові. А поняття дисперсії і математичне очікування краще перенести для вивчення в старші класи. Комбінаторні формули в даному посібнику розглядаються, як засіб для підрахунку імовірності і даються після визначення ймовірності. Але основною метою вивчення комбінаторики є розвиток мислення, і її не можна розглядати тільки як засіб для підрахунку імовірності.
Бунімович Е.А., Буличов В.А. [3]
«Ймовірність і статистика. 5-9 класи ».
Починається підручник з розгляду випадкових подій і порівняння їх ймовірності (що ймовірніше). Потім, спираючись на експеримент, вводимо поняття частоти (тут же розглядаються таблиці частот і гістограми). Після чого йде пункт з назвою «Куди прагнуть частоти?», Де вводимо статистичне визначення ймовірності, а потім і класичне.
У пункті «вірогідність і комбінаторика», розглядаються правило множення, правило віднімання та поєднання і їх число. Всі ці формули використовуються для обчислення ймовірності. А в пункті «точка теж буває випадковою» мова йде про геометричному визначенні ймовірності.
В останньому пункті «скільки родзинок в булці і скільки риб у ставку?» Розглядається питання статистичного оцінювання та прогнозування.
Я вважаю, що в даному посібнику вдалим є введення поняття ймовірності. Послідовність викладу питань з даної лінії цілком логічна.
Останній пункт має практичне значення, так як показує практичну користь з підрахунку імовірності. Містить ряд цікавих завдань, безпосередньо пов'язаних з реальним життям.
§ 2 Про підготовку вчителів до навчання школярів Стохастике.
Аналіз навчально-методичної літератури з теми дослідження показує, що введення ймовірнісно-статистичного матеріалу в базовий шкільний курс математики породило чимало проблем. До його появи в шкільному курсі виявилися не готові буквально все - від учителів до авторів шкільних підручників.
Володіючи однією з найбільш відомих і визнаних у всьому світі академічних шкіл теорії ймовірностей, ми до цих пір не маємо ні загальній концепції викладання цього розділу математики в школі, ні достатньої кількості навчальних посібників для школярів, що містять відповідний матеріал.
Гостро постають проблеми методичної готовності вчителів до успішної реалізації цієї лінії. Школярів не можна орієнтувати на вузівські варіанти побудови курсу теорії ймовірностей. Вузівський матеріал повинен бути переосмислений і перенесений до школи. Вчитель повинен володіти специфічною методикою, спрямованої на розвиток особливого типу мислення та формування особливих, недетермінованих уявлень в учнів.
Курс теорії ймовірностей і математичної статистики традиційно був присутній у програмах всіх математичних факультетів університетів і педагогічних вузів, входив в обов'язковому порядку в підготовку інженерів, економістів і т.д.
Якщо у вищій школі основний акцент робиться на вивчення математичного апарату для дослідження імовірнісних моделей, то в школі учнів, перш за все, необхідно ознайомити з процесом побудови моделі, вчити їх аналізувати, перевіряти адекватність побудованої моделі реальних ситуацій, розвивати імовірнісну інтуїцію. [11]
Питання про підготовку вчителів розглянуто у статті Селютіна В.Д. [30]
Одне з головних відмінностей шкільного вивчення стохастики полягає в тісному зв'язку абстрактних понять і структур з навколишнім світом. Тому математична діяльність школярів не повинна обмежуватися вивченням лише готових імовірнісних моделей. Навпаки, процеси побудови і тлумачення моделей розглядаються як провідні форми учнівської діяльності. Учитель покликаний правильно направляти таку діяльність, а для цього він сам повинен володіти методами формалізації та інтерпретації. Виконання учнями завдань, пов'язаних з прийняттям рішень в реальних (у нематематичних) ситуаціях, відіграє тут дуже важливу роль і вимагає вмілого управління з боку вчителя.
Викладач повинен володіти особливою методологією з використанням специфічних стохастичних умовиводів. Володіння мистецтвом стохастичних міркувань - неодмінна умова успішної діяльності вчителя математики. Потрібен погляд на стохастику не тільки як на систему понять, фактів і тверджень, а як на специфічну методологію, що охоплює імовірнісні та статистичні висновки в їх взаємозв'язку. Аналіз тих ситуацій, де для розв'язуваної проблеми не виявляється однозначного чи певної відповіді, не повинен викликати розгубленості вчителя. Потрібно бути гнучко мислячою людиною, позбавленим догматичної віри в абсолютну істинність чужих висновків.
Особливість стохастичних умовиводів виявляються, перш за все, в ході інтерпретацій результатів рішення математичної задачі, що виникла на базі статистичної інформації. З цієї причини в багатьох випадках одну і ту ж статистичну інформацію різні люди можуть трактувати по-різному. Прикладом може служити наступна ситуація:
Власник одного приватного підприємства звільнив більшу частину робітників, а решті знизив зарплату на 20% (табл. № 1). Після цього він заявив, що середній заробіток робітників на його підприємстві підвищився. Чи так це?
Таблиця № 1.
Якщо обчислити середні характеристики: моду, медіану і середнє арифметичне, то отримаємо, що їх значення після звільнення частини робітників будуть більше, ніж до звільнення. Але в даному випадку, якщо уважно подивитися на таблицю, то можна помітити, що життя робітників не покращилася, а тільки погіршилася, не кажучи вже про тих, хто взагалі втратив роботу. Видимість підвищення зарплати створюється через звільнення значної частини низькооплачуваних робітників. Тут підсумки рішення математичної задачі суперечать здоровому глузду. Математична модель, як видно з цього прикладу, не завжди адекватна практичної ситуації.
Виступаючи в якості диригента і помічника учнів, вчитель покликаний прищеплювати їм критичне ставлення до статистичних висновків і узагальнень, уміння правильно витлумачити статистичну інформацію, самостійно викривати різного роду фальсифікації, що здаються на перший погляд «правдоподібною» інформацією.
Учитель повинен глибоко розуміти причини появи небезпеки прийняття неправильних рішень у ході аналізу явищ, що відбуваються під впливом випадку. Оманливе враження, наприклад, може виникати з-за неповноти статистичної інформації. Наприклад, розглядаючи відомості про кількість жінок, зайнятих в промисловості і в системі освіти, можна прийти до висновку, що жіноча праця переважає в промисловості:
Проте думка змінюється, після того, як додатково стає відомим, що в освіті працює 57 218 чоловік, а в промисловості - 264 251 людина. У результаті виходить, що число жінок становить приблизно 73% від усіх працівників освіти, і тільки приблизно 49% від усіх працівників зайнятих у промисловості.
До неправильним або суперечливих висновків може привести також неадекватний вибір критеріїв, по яких інтерпретуються статистичні дані. Тут прикладом може служити наступна ситуація: кожна з двох фірм з виготовлення взуття надіслала в деяку африканську країну свого агента для з'ясування можливості продажу своєї продукції. Агент першої фірми телеграфував: «прекрасний ринок для взуття - тут 90% жителів не носять черевиків». Агент другого фірми повідомив: «Для взуття тут немає ринку - 90% жителів не носять черевиків».
Специфіка стохастичної лінії вимагає від учителя вмінь так організувати математичну діяльність школярів, щоб вивчення понять і методів відбувалося у формі відкриття нових інструментів пізнання навколишнього світу. При навчанні Стохастике створюється сприятливий грунт для евристичної діяльності учнів. У педагогів з'являється можливість використання нових, незвичних для уроків математики, підходів до навчання. Учитель, визначаючи рівень засвоєння учнями тих чи інших стохастичних умінь, може зіткнутися з такою трудністю: при вирішенні завдань учню частіше доводиться спиратися на свій здоровий глузд, а не діяти строго за алгоритмом, тому відповіді різних учнів на один і той же питання можуть звучати по -різному. У даному випадку завданням вчителя є оцінка «права на помилку» учня, оскільки сама така оцінка носить імовірнісний характер.
Слід враховувати, що діти з випереджаючими темпами загального розвитку раніше починають самостійно здійснювати діяльність, пов'язану з проведенням статистичних експериментів і досліджень, організовують інших хлопців, раніше переходять від використання емпіричних характеристик до побудови ймовірнісних моделей. Тому особливе значення має розмежування рівня умінь і навичок самостійного отримання висновків про досліджуваних явищах.
Аналіз навчально-методичної літератури з теми дослідження показує, що введення ймовірнісно-статистичного матеріалу в базовий шкільний курс математики породило чимало проблем. До його появи в шкільному курсі виявилися не готові буквально все - від учителів до авторів шкільних підручників.
Володіючи однією з найбільш відомих і визнаних у всьому світі академічних шкіл теорії ймовірностей, ми до цих пір не маємо ні загальній концепції викладання цього розділу математики в школі, ні достатньої кількості навчальних посібників для школярів, що містять відповідний матеріал.
Гостро постають проблеми методичної готовності вчителів до успішної реалізації цієї лінії. Школярів не можна орієнтувати на вузівські варіанти побудови курсу теорії ймовірностей. Вузівський матеріал повинен бути переосмислений і перенесений до школи. Вчитель повинен володіти специфічною методикою, спрямованої на розвиток особливого типу мислення та формування особливих, недетермінованих уявлень в учнів.
Курс теорії ймовірностей і математичної статистики традиційно був присутній у програмах всіх математичних факультетів університетів і педагогічних вузів, входив в обов'язковому порядку в підготовку інженерів, економістів і т.д.
Якщо у вищій школі основний акцент робиться на вивчення математичного апарату для дослідження імовірнісних моделей, то в школі учнів, перш за все, необхідно ознайомити з процесом побудови моделі, вчити їх аналізувати, перевіряти адекватність побудованої моделі реальних ситуацій, розвивати імовірнісну інтуїцію. [11]
Питання про підготовку вчителів розглянуто у статті Селютіна В.Д. [30]
Одне з головних відмінностей шкільного вивчення стохастики полягає в тісному зв'язку абстрактних понять і структур з навколишнім світом. Тому математична діяльність школярів не повинна обмежуватися вивченням лише готових імовірнісних моделей. Навпаки, процеси побудови і тлумачення моделей розглядаються як провідні форми учнівської діяльності. Учитель покликаний правильно направляти таку діяльність, а для цього він сам повинен володіти методами формалізації та інтерпретації. Виконання учнями завдань, пов'язаних з прийняттям рішень в реальних (у нематематичних) ситуаціях, відіграє тут дуже важливу роль і вимагає вмілого управління з боку вчителя.
Викладач повинен володіти особливою методологією з використанням специфічних стохастичних умовиводів. Володіння мистецтвом стохастичних міркувань - неодмінна умова успішної діяльності вчителя математики. Потрібен погляд на стохастику не тільки як на систему понять, фактів і тверджень, а як на специфічну методологію, що охоплює імовірнісні та статистичні висновки в їх взаємозв'язку. Аналіз тих ситуацій, де для розв'язуваної проблеми не виявляється однозначного чи певної відповіді, не повинен викликати розгубленості вчителя. Потрібно бути гнучко мислячою людиною, позбавленим догматичної віри в абсолютну істинність чужих висновків.
Особливість стохастичних умовиводів виявляються, перш за все, в ході інтерпретацій результатів рішення математичної задачі, що виникла на базі статистичної інформації. З цієї причини в багатьох випадках одну і ту ж статистичну інформацію різні люди можуть трактувати по-різному. Прикладом може служити наступна ситуація:
Власник одного приватного підприємства звільнив більшу частину робітників, а решті знизив зарплату на 20% (табл. № 1). Після цього він заявив, що середній заробіток робітників на його підприємстві підвищився. Чи так це?
Таблиця № 1.
| Заробіток до звільнення | Заробіток після звільнення | |||
| 1000 р.. | 400 р.. | 800 р.. | 320 р. | |
| Число робочих | 200 | 800 | 200 | 120 |
Виступаючи в якості диригента і помічника учнів, вчитель покликаний прищеплювати їм критичне ставлення до статистичних висновків і узагальнень, уміння правильно витлумачити статистичну інформацію, самостійно викривати різного роду фальсифікації, що здаються на перший погляд «правдоподібною» інформацією.
Учитель повинен глибоко розуміти причини появи небезпеки прийняття неправильних рішень у ході аналізу явищ, що відбуваються під впливом випадку. Оманливе враження, наприклад, може виникати з-за неповноти статистичної інформації. Наприклад, розглядаючи відомості про кількість жінок, зайнятих в промисловості і в системі освіти, можна прийти до висновку, що жіноча праця переважає в промисловості:
| Де працюють | У промисловості | В освіті |
| Кількість жінок | 129 483 | 41 769 |
До неправильним або суперечливих висновків може привести також неадекватний вибір критеріїв, по яких інтерпретуються статистичні дані. Тут прикладом може служити наступна ситуація: кожна з двох фірм з виготовлення взуття надіслала в деяку африканську країну свого агента для з'ясування можливості продажу своєї продукції. Агент першої фірми телеграфував: «прекрасний ринок для взуття - тут 90% жителів не носять черевиків». Агент другого фірми повідомив: «Для взуття тут немає ринку - 90% жителів не носять черевиків».
Специфіка стохастичної лінії вимагає від учителя вмінь так організувати математичну діяльність школярів, щоб вивчення понять і методів відбувалося у формі відкриття нових інструментів пізнання навколишнього світу. При навчанні Стохастике створюється сприятливий грунт для евристичної діяльності учнів. У педагогів з'являється можливість використання нових, незвичних для уроків математики, підходів до навчання. Учитель, визначаючи рівень засвоєння учнями тих чи інших стохастичних умінь, може зіткнутися з такою трудністю: при вирішенні завдань учню частіше доводиться спиратися на свій здоровий глузд, а не діяти строго за алгоритмом, тому відповіді різних учнів на один і той же питання можуть звучати по -різному. У даному випадку завданням вчителя є оцінка «права на помилку» учня, оскільки сама така оцінка носить імовірнісний характер.
Слід враховувати, що діти з випереджаючими темпами загального розвитку раніше починають самостійно здійснювати діяльність, пов'язану з проведенням статистичних експериментів і досліджень, організовують інших хлопців, раніше переходять від використання емпіричних характеристик до побудови ймовірнісних моделей. Тому особливе значення має розмежування рівня умінь і навичок самостійного отримання висновків про досліджуваних явищах.
Приступаючи до навчання школярів Стохастике, вчитель повинен собі чітко уявляти, чим обумовлена необхідність введення в школу нової змістовно-методичної лінії. Усвідомлення вчителем цілей навчання стохастики в школі, бачення їх співвідношень з загальними цілями навчання математики та місця стохастики в ряду інших тем, знання підсумкових вимог до стохастичної підготовці учнів складають найважливіший загальнозначимих компонент методичної готовності вчителя математики до реалізації нової лінії.
§ 3 Деякі висновки змістовно-методичного характеру по реалізації стохастичної лінії в основній школі.
На основі всього розглянутого і вивченого матеріал по запропонованій темі, можна зробити деякі висновки та дати рекомендації з реалізації стохастичної лінії в школі.
Аналіз навчальної літератури з досліджуваної теми показав, що різні автори підійшли до реалізації нового змісту в підручниках по-різному. Я вважаю, що більш наступності для школи підручник під редакцією Дорофєєва [18,19,20,21,22], який, на мій погляд, має ряд переваг.
По-перше, матеріал включений у сам підручник, і робота в усіх напрямках ведеться паралельно, кожна лінія проходить через всі класи. Матеріал, запропонований у навчальному посібнику, розрахований на 5-9 класи. Це в свою чергу дозволяє вже в 5-6 класах почати формувати ймовірнісні уявлення, що, на думку психологів, вважається вдалим.
З самого початку ведеться робота з аналізу даних (збір, представлення та аналіз інформації). Робота з таблицями і діаграмами.
Авторами підручника в якості вправ пропонується провести ряд експериментів, що незвично для уроків математики, і покликане викликати в учнів непідробний інтерес. І потім, спираючись на результати проведених дослідів, вчитель вводить поняття частоти, після чого вводить частотне визначення ймовірності.
У більшості підручників комбінаторні формули розглядається лише як засіб для підрахунку імовірності, це позначається на утриманні цього матеріалу в підручниках, і місця його вивчення. Але комбінаторика ставить і інші цілі: в першу чергу - це розвиток мислення, і використання комбінаторних знань для вирішення завдань прикладного характеру.
Реалізація будь-якої теми в шкільному курсі стикається з низкою проблем. Однією з них є проблема змісту матеріалу, що саме і в яких кількостях вивчати в школі. Так як шкільний курс суворо обмежений тимчасовими рамками, то доводиться вибирати необхідний мінімум, але щоб він був достатнім, для досягнення поставлених цілей навчання за даною лінії та математики взагалі.
Спираючись на державні стандарти освіти, аналіз навчальної та методичної літератури можна виділити наступні моменти про зміст і послідовності викладу матеріалу з даної лінії.
По-перше, необхідно вивчати цей матеріал протягом всього курсу середньої школи. Весь курс умовно можна розбити на кілька етапів (5-6 класи (підготовчий); 7-8 класи; 9 клас), причому на кожному етапі формуються одні і ті ж види діяльності, але на різних рівнях і різними засобами. На кожному етапі матеріал ускладнюється, доповнюється, відпрацьовуються раніше засвоєні і формуються нові вміння та навички.
Важливим елементом стохастичної лінії є робота з даними: збір даних, обробка, уявлення, аналіз, практичні висновки. Усім цим займається наука, яка називається статистика.
На першому (підготовчому) етапі навчання - це робота з таблицями і діаграмами. Необхідно навчати учнів не лише роботі з уже готовими даними, але і самостійно збирати інформацію і представляти її в різних формах. Щодня нам необхідна різноманітна інформація, яка може бути представлена в різній формі, і одним з найпоширеніших способів подання інформації є таблиці. Учні в своєму житті часто стикаються з різного роду таблицями - це розклад уроків, сторінка класного журналу, програма телепередач, турнірні таблиці і т.п.
Учні повинні вміти аналізувати дані, використовуючи таблиці і діаграми. Це дозволяє в подальшому при вивченні статистики не зупинятися на навчанні учнів роботі з табличними даними і дозволяє сконцентрувати увагу саме на навчанні учнів робити статистичні та практичні висновки.
Можна показати практичну значимість таблиць, побудованих за результатами опитування громадської думки (в класній життя такі таблиці можуть бути використані, наприклад, для організації дозвілля).
Для представлення різних даних також дуже зручно використовувати діаграми. Діаграма є дуже наочним способом представлення інформації і різних даних і дозволяє легше аналізувати отримані результати.
Одним з напрямків стохастичної лінії є теорія ймовірностей, де однією з важливих завдань на першому етапі є формування поняття - ймовірність випадкової події.
Спочатку необхідно познайомити учнів з поняттям випадкова подія, сформувати у них уявлення про те, яка подія називається достовірним, яке неможливим і які події називаються рівноімовірними. Всі ці поняття треба вводити, спираючись на зрозумілі приклади, і просити дітей самих приводити такі приклади. Учитель повинен весь час фіксувати увагу учнів на випадкових явищах в побуті, у природі й техніці.
Необхідно розвинути в учнів розуміння ступеня випадковості різних явищ і подій. При цьому вчитель сам повинен якісно оцінювати відповідь, так як часто відповідь є суб'єктивним.
Перед введенням самого поняття - ймовірність випадкової події корисно провести експерименти з випадковими результатами. Після проведення експериментів можна познайомити учнів з результатами експериментів, які неодноразово проводилися протягом кількох століть і порівняти c результатами, отриманими учнями. Порівнюючи їх, учні з подивом помічають, що результати дуже схожі. Проведення експериментів повинно викликати в учнів непідробний інтерес. Експеримент є емпіричним методом навчання, який використовується зокрема, в експериментальних природничих науках, а математика не є експериментальною. Тому цей метод в математиці застосовується рідко, тому що досвід не є достатньою підставою істинності тієї чи іншої пропозиції. Але досвід, експеримент дає учням можливість отримати від них очевидні закономірності, зробити якісь відкриття, а теорія ймовірностей спирається саме на результати численних експериментів.
У ході експериментів, вводиться поняття частоти (відношення кількості сприятливих результатів випробувань до кількості всіх проведених випробувань) та ймовірності даної події. При проведенні дослідів учні можуть переконатися в дії наступного закону: зі збільшенням числа підкидань значення статистичної частоти, обраного для спостереження результату, стійко зосереджується біля деякого числа р, яке і називають вірогідністю спостережуваного результату або події.
Тобто частота появи деякої випадкової події, при проведенні експерименту, дозволяє обчислити статистичну ймовірність цієї події, на практиці статистичні випробування і спостереження є основним способом оцінки ймовірностей події. Але потрібно відзначити, що говорити про статистичну ймовірності ми можемо лише при проведенні досить великого числа експериментів. Тому завжди виникає питання про точність такої оцінки ймовірності, оскільки не завжди можливо проведення досить великого числа експериментів. Оцінку імовірності того чи іншого випадкового події можна зробити, грунтуючись на результатах раніше проведених експериментів.
Паралельно з ймовірнісної лінією повинна вивчатися і комбінаторика. Оптимальний варіант, якщо робота з формування комбінаторного мислення розпочнеться вже з початкових класів.
Починати навчання комбінаториці доцільно з вирішення простих комбінаторних задач методом безпосереднього перебору. Операція перебору розкриває ідею комбінування, служить основою для формування комбінаторних понять і хорошою підготовкою до висновку комбінаторних формул і закономірностей.
Основними комбінаторними поняттями є поєднання, перестановки та розміщення. Але на першому етапі самі терміни можна не вводити, головне, щоб учень усвідомлював, набори якого типу потрібно скласти в даній задачі (чи важливий порядок і чи можливі повторення).
Після того як учні навчаться складати набори з елементів заданої множини по заданому властивості, на перший план виходить завдання з підрахунку кількості можливих наборів. Такі комбінаторні завдання вирішуються за допомогою міркувань, розкриваючи принцип множення. Доброю наочною ілюстрацією правила множення є дерево можливих варіантів. Дуже важливо показати його застосування при вирішенні комбінаторних задач.
Перше знайомство зі статистикою відбувається при вивченні основних статистичних характеристик, їх знаходження та використання для аналізу і практичних висновків. При вивченні основних статистичних характеристик важливо розуміти їх практичну значимість, потрібно вміти використовувати їх для аналізу наявної інформації та робити правильні висновки на їх основі.
У продовженні ймовірнісної лінії наступним кроком йде введення класичного визначення ймовірності. Необхідно, щоб учні розуміли різницю між статистичними і класичним визначеннями ймовірності. Щоб вони усвідомлювали, що це не ще одне визначення ймовірності, а один із способів обчислення ймовірності.
Таким чином, зіставляючи визначення класичної ймовірності та відносної частоти (статистична ймовірність), укладаємо: визначення класичної імовірності не вимагає, щоб випробування проводилися в дійсності; визначення ж статистичної ймовірності припускає, що випробування були проведені фактично. Іншими словами, класичну ймовірність обчислюють до досвіду, відносну частоту - після досвіду.
Після введення класичного визначення ймовірності можна розглянути геометричну ймовірність. Геометрична ймовірність нагадує класичну, але при геометричному підході кількість всіх можливих і сприятливих результатів нескінченно. У цьому випадку розглядається не кількість можливих і сприятливих результатів, а відношення площі області, яка сприяла появі розглянутого випадкової події, до площі всієї області. Тобто геометричне визначення ймовірності є узагальненням класичного визначення на випадок, коли число равновозможних результатів нескінченно.
На наступних етапах переходимо до вивчення безпосередньо статистики, використовуючи раніше отримані знання.
З'являється багато нових термінів, і вчителю можна порадити наступне: по-перше, можна зробити таблицю аналогічну таблиці наведеної в підручнику Мордкович, Семенова [23], по-друге, дуже корисно було б завести всім учням словнички, куди б вони заносили нові поняття, в міру потреби, могли б туди заглядати.
Статистичні дослідження є завершальним фрагментом ймовірнісно-статистичної лінії курсу. Тут розглядаються доступні учням приклади комплексних статистичних досліджень, в ході яких використовуються отримані раніше знання. Також вводяться деякі нові поняття. Вивчення цього матеріалу спрямоване на формування вміння розуміти і інтерпретувати статистичні результати.
На основі всього розглянутого і вивченого матеріал по запропонованій темі, можна зробити деякі висновки та дати рекомендації з реалізації стохастичної лінії в школі.
Аналіз навчальної літератури з досліджуваної теми показав, що різні автори підійшли до реалізації нового змісту в підручниках по-різному. Я вважаю, що більш наступності для школи підручник під редакцією Дорофєєва [18,19,20,21,22], який, на мій погляд, має ряд переваг.
По-перше, матеріал включений у сам підручник, і робота в усіх напрямках ведеться паралельно, кожна лінія проходить через всі класи. Матеріал, запропонований у навчальному посібнику, розрахований на 5-9 класи. Це в свою чергу дозволяє вже в 5-6 класах почати формувати ймовірнісні уявлення, що, на думку психологів, вважається вдалим.
З самого початку ведеться робота з аналізу даних (збір, представлення та аналіз інформації). Робота з таблицями і діаграмами.
Авторами підручника в якості вправ пропонується провести ряд експериментів, що незвично для уроків математики, і покликане викликати в учнів непідробний інтерес. І потім, спираючись на результати проведених дослідів, вчитель вводить поняття частоти, після чого вводить частотне визначення ймовірності.
У більшості підручників комбінаторні формули розглядається лише як засіб для підрахунку імовірності, це позначається на утриманні цього матеріалу в підручниках, і місця його вивчення. Але комбінаторика ставить і інші цілі: в першу чергу - це розвиток мислення, і використання комбінаторних знань для вирішення завдань прикладного характеру.
Реалізація будь-якої теми в шкільному курсі стикається з низкою проблем. Однією з них є проблема змісту матеріалу, що саме і в яких кількостях вивчати в школі. Так як шкільний курс суворо обмежений тимчасовими рамками, то доводиться вибирати необхідний мінімум, але щоб він був достатнім, для досягнення поставлених цілей навчання за даною лінії та математики взагалі.
Спираючись на державні стандарти освіти, аналіз навчальної та методичної літератури можна виділити наступні моменти про зміст і послідовності викладу матеріалу з даної лінії.
По-перше, необхідно вивчати цей матеріал протягом всього курсу середньої школи. Весь курс умовно можна розбити на кілька етапів (5-6 класи (підготовчий); 7-8 класи; 9 клас), причому на кожному етапі формуються одні і ті ж види діяльності, але на різних рівнях і різними засобами. На кожному етапі матеріал ускладнюється, доповнюється, відпрацьовуються раніше засвоєні і формуються нові вміння та навички.
Важливим елементом стохастичної лінії є робота з даними: збір даних, обробка, уявлення, аналіз, практичні висновки. Усім цим займається наука, яка називається статистика.
На першому (підготовчому) етапі навчання - це робота з таблицями і діаграмами. Необхідно навчати учнів не лише роботі з уже готовими даними, але і самостійно збирати інформацію і представляти її в різних формах. Щодня нам необхідна різноманітна інформація, яка може бути представлена в різній формі, і одним з найпоширеніших способів подання інформації є таблиці. Учні в своєму житті часто стикаються з різного роду таблицями - це розклад уроків, сторінка класного журналу, програма телепередач, турнірні таблиці і т.п.
Учні повинні вміти аналізувати дані, використовуючи таблиці і діаграми. Це дозволяє в подальшому при вивченні статистики не зупинятися на навчанні учнів роботі з табличними даними і дозволяє сконцентрувати увагу саме на навчанні учнів робити статистичні та практичні висновки.
Можна показати практичну значимість таблиць, побудованих за результатами опитування громадської думки (в класній життя такі таблиці можуть бути використані, наприклад, для організації дозвілля).
Для представлення різних даних також дуже зручно використовувати діаграми. Діаграма є дуже наочним способом представлення інформації і різних даних і дозволяє легше аналізувати отримані результати.
Одним з напрямків стохастичної лінії є теорія ймовірностей, де однією з важливих завдань на першому етапі є формування поняття - ймовірність випадкової події.
Спочатку необхідно познайомити учнів з поняттям випадкова подія, сформувати у них уявлення про те, яка подія називається достовірним, яке неможливим і які події називаються рівноімовірними. Всі ці поняття треба вводити, спираючись на зрозумілі приклади, і просити дітей самих приводити такі приклади. Учитель повинен весь час фіксувати увагу учнів на випадкових явищах в побуті, у природі й техніці.
Необхідно розвинути в учнів розуміння ступеня випадковості різних явищ і подій. При цьому вчитель сам повинен якісно оцінювати відповідь, так як часто відповідь є суб'єктивним.
Перед введенням самого поняття - ймовірність випадкової події корисно провести експерименти з випадковими результатами. Після проведення експериментів можна познайомити учнів з результатами експериментів, які неодноразово проводилися протягом кількох століть і порівняти c результатами, отриманими учнями. Порівнюючи їх, учні з подивом помічають, що результати дуже схожі. Проведення експериментів повинно викликати в учнів непідробний інтерес. Експеримент є емпіричним методом навчання, який використовується зокрема, в експериментальних природничих науках, а математика не є експериментальною. Тому цей метод в математиці застосовується рідко, тому що досвід не є достатньою підставою істинності тієї чи іншої пропозиції. Але досвід, експеримент дає учням можливість отримати від них очевидні закономірності, зробити якісь відкриття, а теорія ймовірностей спирається саме на результати численних експериментів.
У ході експериментів, вводиться поняття частоти (відношення кількості сприятливих результатів випробувань до кількості всіх проведених випробувань) та ймовірності даної події. При проведенні дослідів учні можуть переконатися в дії наступного закону: зі збільшенням числа підкидань значення статистичної частоти, обраного для спостереження результату, стійко зосереджується біля деякого числа р, яке і називають вірогідністю спостережуваного результату або події.
Тобто частота появи деякої випадкової події, при проведенні експерименту, дозволяє обчислити статистичну ймовірність цієї події, на практиці статистичні випробування і спостереження є основним способом оцінки ймовірностей події. Але потрібно відзначити, що говорити про статистичну ймовірності ми можемо лише при проведенні досить великого числа експериментів. Тому завжди виникає питання про точність такої оцінки ймовірності, оскільки не завжди можливо проведення досить великого числа експериментів. Оцінку імовірності того чи іншого випадкового події можна зробити, грунтуючись на результатах раніше проведених експериментів.
Паралельно з ймовірнісної лінією повинна вивчатися і комбінаторика. Оптимальний варіант, якщо робота з формування комбінаторного мислення розпочнеться вже з початкових класів.
Починати навчання комбінаториці доцільно з вирішення простих комбінаторних задач методом безпосереднього перебору. Операція перебору розкриває ідею комбінування, служить основою для формування комбінаторних понять і хорошою підготовкою до висновку комбінаторних формул і закономірностей.
Основними комбінаторними поняттями є поєднання, перестановки та розміщення. Але на першому етапі самі терміни можна не вводити, головне, щоб учень усвідомлював, набори якого типу потрібно скласти в даній задачі (чи важливий порядок і чи можливі повторення).
Після того як учні навчаться складати набори з елементів заданої множини по заданому властивості, на перший план виходить завдання з підрахунку кількості можливих наборів. Такі комбінаторні завдання вирішуються за допомогою міркувань, розкриваючи принцип множення. Доброю наочною ілюстрацією правила множення є дерево можливих варіантів. Дуже важливо показати його застосування при вирішенні комбінаторних задач.
Перше знайомство зі статистикою відбувається при вивченні основних статистичних характеристик, їх знаходження та використання для аналізу і практичних висновків. При вивченні основних статистичних характеристик важливо розуміти їх практичну значимість, потрібно вміти використовувати їх для аналізу наявної інформації та робити правильні висновки на їх основі.
У продовженні ймовірнісної лінії наступним кроком йде введення класичного визначення ймовірності. Необхідно, щоб учні розуміли різницю між статистичними і класичним визначеннями ймовірності. Щоб вони усвідомлювали, що це не ще одне визначення ймовірності, а один із способів обчислення ймовірності.
Таким чином, зіставляючи визначення класичної ймовірності та відносної частоти (статистична ймовірність), укладаємо: визначення класичної імовірності не вимагає, щоб випробування проводилися в дійсності; визначення ж статистичної ймовірності припускає, що випробування були проведені фактично. Іншими словами, класичну ймовірність обчислюють до досвіду, відносну частоту - після досвіду.
Після введення класичного визначення ймовірності можна розглянути геометричну ймовірність. Геометрична ймовірність нагадує класичну, але при геометричному підході кількість всіх можливих і сприятливих результатів нескінченно. У цьому випадку розглядається не кількість можливих і сприятливих результатів, а відношення площі області, яка сприяла появі розглянутого випадкової події, до площі всієї області. Тобто геометричне визначення ймовірності є узагальненням класичного визначення на випадок, коли число равновозможних результатів нескінченно.
На наступних етапах переходимо до вивчення безпосередньо статистики, використовуючи раніше отримані знання.
З'являється багато нових термінів, і вчителю можна порадити наступне: по-перше, можна зробити таблицю аналогічну таблиці наведеної в підручнику Мордкович, Семенова [23], по-друге, дуже корисно було б завести всім учням словнички, куди б вони заносили нові поняття, в міру потреби, могли б туди заглядати.
Статистичні дослідження є завершальним фрагментом ймовірнісно-статистичної лінії курсу. Тут розглядаються доступні учням приклади комплексних статистичних досліджень, в ході яких використовуються отримані раніше знання. Також вводяться деякі нові поняття. Вивчення цього матеріалу спрямоване на формування вміння розуміти і інтерпретувати статистичні результати.
Глава 2.
Методика вивчення стохастики в основній школі.
У цьому розділі на основі висновків, отриманих в 1 розділі, пропонується методика з реалізації стохастичної лінії в основній школі.
У запропонованій методиці робота ведеться паралельно за всіма напрямками. Для кожного класу ставляться свої цілі і завдання, для реалізації яких необхідний правильно підібраний набір завдань.
§ 1. Методика реалізації стохастичної лінії в 5 класі.
Основними завданнями на цьому етапі є:
· Вироблення вмінь і навичок працювати з таблицею, витягувати з таблиць інформацію та аналізувати її.
· Вироблення вмінь заповнювати в таблиці порожні графи (рядки, стовпці).
· Формування умінь читати діаграми, витягати необхідну інформацію.
· Формування умінь і навичок у складанні, виборі та упорядкування комбінаторних наборів.
· Формування умінь підрахунку комбінаторних об'єктів, методом безпосереднього перебору.
· Показати, що таке дерево можливих варіантів, його використання як один з методів вирішення КЗ.
· Формування уявлення про те, яка подія є достовірним, яке неможливим, і яка подія ми можемо назвати випадковим.
· Формування в учнів розуміння ступеня випадковості у різних подіях і явищах та використання для її оцінки адекватних імовірнісних термінів («достовірно», «малоймовірно» і т.д.).
Формування комбінаторних навичок, як вже говорилося в 1 розділі, потрібно починати якомога раніше. Бажано вести пропедевтичну роботу вже в початкових класах.
А у 5 класі пропонуються найпростіші комбінаторні задачі, вирішуючи які повинна вестися або робота по перебору можливих варіантів, або по впорядкуванню, або їх об'єднання - перебір і упорядкування разом. У нашому житті часто виникають такі завдання, які мають декілька різних рішень, і перед нами постає проблема розглянути всі можливі варіанти вирішення. Для цього нам потрібно знайти зручний спосіб перебору, при якому будуть розглянуті всілякі варіанти, і вони не повторювалися б.
На першому місці перед вчителем стоїть завдання з формування навичок систематичного перебору. Починати потрібно з простих завдань, де не так багато елементів, важлива сама суть перебору всіх варіантів.
Три друзі, Антон, Борис і Віктор, придбали два квитки на футбольний матч. Скільки існує різних варіантів походу на футбол?
Тут необхідно перебрати всілякі пари хлопців.
Після цього можна додати умову, за якої, вирішуючи завдання, враховуємо ще й місце, на якому буде сидіти той чи інший хлопчик, тобто враховується порядок елементів у наборі.
Три друзі, Антон, Борис і Віктор, придбали два квитки на футбольний матч на 1-е і 2-е місця першого ряду стадіону. Скільки існує способів зайняти ці два місця на стадіоні? Записати всі ці варіанти.
Тут ми можемо використовувати результати попередньої задачі. У ній ми не враховували порядок, а тепер необхідно враховувати порядок, на якому місці буде сидіти той чи інший хлопчик. Розглянемо той варіант, коли на матч пішли Антон і Борис, в цьому випадку можливо два варіанти зайняти місця на матчі: 1-е місце - Антон, 2-е місце - Борис і навпаки 1-е місце Борис, а другий Антон. Тобто порядок два елементи ми можемо двома способами. Таким чином, рішення попередньої задачі дало нам два рішення для цього завдання. Аналогічно на кожен варіант попередньої задачі ми отримуємо ще один варіант рішення, разом 6 варіантів.
Антону, Борису і Віктору пощастило, вони купили 3 квитки на футбол на 1-е, 2-е і 3-е місця першого ряду стадіону. Скількома способами можуть зайняти хлопчики ці місця?
У цьому завданню, як і в попередній важливо на яких місцях сидять хлопчики, тобто нам потрібно розглянути, скільки існує варіантів розсадити трьох хлопчиків на три різні місця. Нехай на першому місці сидить Антон, тоді на решту два місця двох, що залишилися хлопчиків ми можемо посадити двома способами, аналогічно для випадків, коли на першому місці сидить Борис і Віктор. У результаті отримаємо 6 варіантів, тобто порядок 3 елементи ми можемо шістьма способами.
У попередніх завданнях, не враховуючи порядку перебору не важко перелічити всі можливі варіанти, так як їх не так багато, але часто при переборі можливих варіантів їх може бути стільки, що складно оцінити чи всі можливі рішення ми врахували і не пропустили хоча б одне з них. У цьому випадку необхідно впорядкувати процедуру перебору, тобто перебирати можливі варіанти в деякому порядку, визначеному заздалегідь, що дозволяє не допускати повторень рішень і пропускати можливі рішення.
Скільки двозначних чисел можна скласти, використовуючи цифри 1,2,3.
Випишемо можливі двозначні числа. Але ми не будемо виписувати ці числа як попало, а домовимося виписувати їх у порядку зростання, що дозволить нам не пропускати числа і не повторюватися. У процесі вирішення цього завдання може виникнути таке питання, а чи може одна і та ж цифра повторюватися в числі два рази? (Якщо не виникне, то вчитель може сам звернути на це увагу). Так як в даному завданні ця умова не обумовлено, то вирішимо її для обох випадків, і побачимо, що в кожному з них число рішень різному. З чого робимо висновок, що дана умова при вирішенні завдань необхідно враховувати.
Методика вивчення стохастики в основній школі.
У цьому розділі на основі висновків, отриманих в 1 розділі, пропонується методика з реалізації стохастичної лінії в основній школі.
У запропонованій методиці робота ведеться паралельно за всіма напрямками. Для кожного класу ставляться свої цілі і завдання, для реалізації яких необхідний правильно підібраний набір завдань.
§ 1. Методика реалізації стохастичної лінії в 5 класі.
Основними завданнями на цьому етапі є:
· Вироблення вмінь і навичок працювати з таблицею, витягувати з таблиць інформацію та аналізувати її.
· Вироблення вмінь заповнювати в таблиці порожні графи (рядки, стовпці).
· Формування умінь читати діаграми, витягати необхідну інформацію.
· Формування умінь і навичок у складанні, виборі та упорядкування комбінаторних наборів.
· Формування умінь підрахунку комбінаторних об'єктів, методом безпосереднього перебору.
· Показати, що таке дерево можливих варіантів, його використання як один з методів вирішення КЗ.
· Формування уявлення про те, яка подія є достовірним, яке неможливим, і яка подія ми можемо назвати випадковим.
· Формування в учнів розуміння ступеня випадковості у різних подіях і явищах та використання для її оцінки адекватних імовірнісних термінів («достовірно», «малоймовірно» і т.д.).
Формування комбінаторних навичок, як вже говорилося в 1 розділі, потрібно починати якомога раніше. Бажано вести пропедевтичну роботу вже в початкових класах.
А у 5 класі пропонуються найпростіші комбінаторні задачі, вирішуючи які повинна вестися або робота по перебору можливих варіантів, або по впорядкуванню, або їх об'єднання - перебір і упорядкування разом. У нашому житті часто виникають такі завдання, які мають декілька різних рішень, і перед нами постає проблема розглянути всі можливі варіанти вирішення. Для цього нам потрібно знайти зручний спосіб перебору, при якому будуть розглянуті всілякі варіанти, і вони не повторювалися б.
На першому місці перед вчителем стоїть завдання з формування навичок систематичного перебору. Починати потрібно з простих завдань, де не так багато елементів, важлива сама суть перебору всіх варіантів.
Три друзі, Антон, Борис і Віктор, придбали два квитки на футбольний матч. Скільки існує різних варіантів походу на футбол?
Тут необхідно перебрати всілякі пари хлопців.
Після цього можна додати умову, за якої, вирішуючи завдання, враховуємо ще й місце, на якому буде сидіти той чи інший хлопчик, тобто враховується порядок елементів у наборі.
Три друзі, Антон, Борис і Віктор, придбали два квитки на футбольний матч на 1-е і 2-е місця першого ряду стадіону. Скільки існує способів зайняти ці два місця на стадіоні? Записати всі ці варіанти.
Тут ми можемо використовувати результати попередньої задачі. У ній ми не враховували порядок, а тепер необхідно враховувати порядок, на якому місці буде сидіти той чи інший хлопчик. Розглянемо той варіант, коли на матч пішли Антон і Борис, в цьому випадку можливо два варіанти зайняти місця на матчі: 1-е місце - Антон, 2-е місце - Борис і навпаки 1-е місце Борис, а другий Антон. Тобто порядок два елементи ми можемо двома способами. Таким чином, рішення попередньої задачі дало нам два рішення для цього завдання. Аналогічно на кожен варіант попередньої задачі ми отримуємо ще один варіант рішення, разом 6 варіантів.
Антону, Борису і Віктору пощастило, вони купили 3 квитки на футбол на 1-е, 2-е і 3-е місця першого ряду стадіону. Скількома способами можуть зайняти хлопчики ці місця?
У цьому завданню, як і в попередній важливо на яких місцях сидять хлопчики, тобто нам потрібно розглянути, скільки існує варіантів розсадити трьох хлопчиків на три різні місця. Нехай на першому місці сидить Антон, тоді на решту два місця двох, що залишилися хлопчиків ми можемо посадити двома способами, аналогічно для випадків, коли на першому місці сидить Борис і Віктор. У результаті отримаємо 6 варіантів, тобто порядок 3 елементи ми можемо шістьма способами.
У попередніх завданнях, не враховуючи порядку перебору не важко перелічити всі можливі варіанти, так як їх не так багато, але часто при переборі можливих варіантів їх може бути стільки, що складно оцінити чи всі можливі рішення ми врахували і не пропустили хоча б одне з них. У цьому випадку необхідно впорядкувати процедуру перебору, тобто перебирати можливі варіанти в деякому порядку, визначеному заздалегідь, що дозволяє не допускати повторень рішень і пропускати можливі рішення.
Скільки двозначних чисел можна скласти, використовуючи цифри 1,2,3.
Випишемо можливі двозначні числа. Але ми не будемо виписувати ці числа як попало, а домовимося виписувати їх у порядку зростання, що дозволить нам не пропускати числа і не повторюватися. У процесі вирішення цього завдання може виникнути таке питання, а чи може одна і та ж цифра повторюватися в числі два рази? (Якщо не виникне, то вчитель може сам звернути на це увагу). Так як в даному завданні ця умова не обумовлено, то вирішимо її для обох випадків, і побачимо, що в кожному з них число рішень різному. З чого робимо висновок, що дана умова при вирішенні завдань необхідно враховувати.
У алфавіті племені УАУА є тільки дві літери - «а» і «у». Скільки різних слів по три букви в кожному можна скласти, використовуючи алфавіт цього племені?
У цьому завданні одна і та ж буква може зустрічатись у слові як один, так два чи три рази. І потрібно розглянути всі варіанти.
Зауважимо, що дуже зручно процес перебору здійснювати шляхом побудови спеціальної схеми, яка називається дерево можливих варіантів. Розглянемо побудову дерева можливих варіантів для даного завдання: спочатку потрібно вибрати першу букву - це можуть бути букви «а» або «у», тому в «дереві» з кореня проведемо дві гілочки з літерами «а» і «у» на кінці. Друга буква може бути знову як «а» так і «у», тому з кожної гілочки виходить ще по дві гілочки і т.д.
Тепер, проходячи по гілочках дерева, по порядку виписуємо потрібні нам поєднання букв - «слова»:
ааа; ААУ; АУА; ауу; УАА; Уау; ууа; ууу.
Дерево допомагає побачити шлях вирішення, врахувати всі варіанти і уникнути повторень. Потрібно звернути увагу, що дерево можливих варіантів дозволяє нам підраховувати впорядковані набори
У 5 «А» класі в середу 4 уроки: математика, інформатика, російська мова, англійська мова. Скільки можна скласти варіантів розкладу на середу?
У цьому завданню у нас є 4 предмети і необхідно виписати можливі варіанти розкладу на один день, враховуючи ті умови, що кожен урок повинен обов'язково бути присутнім в розкладі, і зустрічатися там всього один раз (для спрощення запису пропонується кожен предмет позначить його з великої літери). Таким чином, нам необхідно підрахувати скількома способами ми можемо впорядкувати 4 елементи. Нехай першим буде урок математики, тоді залишилися 3 предмети ми можемо впорядкувати 6-ма способами (з раніше розглянутих завдань). Аналогічно для решти трьох предметів. Разом отримаємо 24 способи порядок 4 предмети.
У 5 класі починається робота з формування імовірнісних уявлень в учнів. Спочатку розглянемо поняття випадкова подія.
Часто в житті ми вживаємо такі слова, як «можливо», «це неймовірно», «це малоймовірно» і т.д. Подібні висловлювання ми використовуємо, коли говоримо про подію, що в одних умовах може відбутися, а може і не відбутися. Такі події називають випадковими.
Події, які за даних умов обов'язково відбувається, називають достовірним. Події, які за даних умов не можуть відбутися, називають неможливими.
Для відпрацювання даних понять можна розглянути вправи, в яких потрібно визначити є подія достовірним, неможливим чи випадковим.
Оцініть, які з перерахованих подій є достовірними, які неможливими, а які випадковими і чому ви так вважаєте:
А) при киданні кубика ви отримаєте шістку;
Б) при киданні кубика ви отримаєте число більше 6;
В) при киданні кубика ви отримаєте парне число;
Г) при киданні кубика ви отримаєте число, яке ділиться на 7
Д) при киданні кубика ви отримаєте число більше 1;
Е) при киданні кубика ви отримаєте непарне число;
Ж) кубик, впавши, залишиться на ребрі.
У мішку лежить 10 куль: 3 синіх, 3 білих і 4 червоних. Які з наступних подій є випадковими, достовірними і неможливими і чому ви так вважаєте:
А) з мішка вийняли 4 кулі і всі вони сині;
Б) з мішка вийняли 4 кулі і всі вони червоні;
В) з мішка вийняли 4 кулі, і всі вони виявилися різного кольору;
Г) з мішка вийняли 4 кулі, і серед них не виявилося кулі чорного кольору;
Учень задумав натуральне число. Які з наступних подій будуть достовірними, неможливими і випадковими і чому ви так вважаєте.
А) Задумано парне число;
Б) Задумано число, що не є ні парних, ні непарних;
В) Задумано непарне число;
Г) задумано число, що є парних або не парним.
Події А і В є випадковими, так як може бути загадане як парне, так і непарне число. Виникає питання, яка з подій більш ймовірно: задумано парне число або задумано непарне число. Так як чисел парних і непарних однакову кількість, то обидва ці події мають рівні шанси. Такі події називаються рівноімовірними.
Також про деяких випадкових події ми можемо сказати, що воно «малоймовірно» або «дуже ймовірно».
У показуйте, які з наступних подій - неможливі, достовірні, випадкові, а про які ми можемо сказати, що воно «малоймовірно» або «дуже ймовірно»:
1) футбольний матч «Спартак» - «Динамо» закінчиться внічию.
2) ви виграєте, беручи участь у безпрограшній лотереї.
3) опівночі випаде сніг, а через 24 години буде світити сонце.
4) завтра буде контрольна з математики.
5) Ви отримаєте «5» за контрольну роботу з математики
6) 30 лютого буде дощ.
7) вас оберуть президентом США.
8) вас оберуть президентом Росії.
9) кругла відмінниця отримає двійку
10) на день народження вам подарують живого крокодила
Якщо в попередніх завданнях відповіді на питання однозначні, то тут відповідь залежить від ситуації, від того, коли і кому поставлено питання. Наприклад, про достовірність події 4 ми можемо говорити, в залежності від дня, коли поставлено питання, якщо на наступний день дійсно буде контрольна з математики, то ця подія достовірно. При відповіді на 5 питання учень, який навчається на відмінно і впевнений у своїх силах і в цій контрольній, з впевненістю скаже, що це подія для нього є достовірним. У той час як дуже слабкий учень, якому дуже важко дається математика, в свою чергу може дати відповідь, що для нього подія є неможливим. Подія 9 є дуже малоймовірним, але, тим не менш, можливим, так як навіть відмінниці не застраховані від двійок. Тут важлива роль учителя, який повинен оцінювати правильність тих чи інших відповідей, і звертати увагу, що на одні й ті ж питання різні учні можуть дати різні відповіді, і кожен буде прав.
Важливо вже в 5 класі давати учням завдання наступного плану:
Данила і Наташа засперечалися, хто з них буде першим читати цікаву книгу. Тоді Наталя запропонувала зіграти в гру і книгу віддати переможцю. Вони взяли вертушку, яка зображена на рис.1,
і встановили наступні правила гри: кожен з них по черзі крутить вертушку; якщо стрілка зупиняється в області 1, то 1 очко отримує Наташа, а якщо - в області 2, то 1 очко отримує Данила. Якщо стрілка потрапляє в область 3, то ніхто з хлопців не отримує очок. Хто першим набере 20 очок, той вважається переможцем і отримує книгу. Як ви думаєте, за таких правил гра буде справедливою?
Учні ще не знайомі з поняттям ймовірність і при відповіді на питання повинні спиратися на свою інтуїцію. Вони повинні розуміти, що у Наташі більше шансів виграти, ніж у Данила, так як область 1 у два рази більше, ніж область 2, і більше вірогідності, що вертушка зупиниться в області 2.
Дуже важливим елементом стохастики є аналіз даних і початковим етапом аналізу даних є робота з таблицями і діаграмами, яку необхідно починати в 5 класі.
Починати розгляд таблиць потрібно з розгляду вже відомих учням таблиць, зокрема: сторінка класного журналу, розклад уроків і т.п. З такими таблицями учні найчастіше вже вміти працювати і отримувати з неї всю необхідну їм інформацію.
Розглянемо розклад уроків. Учні вже напевно вміють ним користуватися, вилучати з нього необхідну інформацію. З розкладу можна дізнатися, в якому кабінеті проходитиме потрібний урок, визначити кількість уроків на день. Розглянемо таку ситуацію: Оля - навчається у 5-А класі, а її подружка з сусіднього будинку у 5-Б класі, потрібно дізнатися, за якими днями вони можуть разом повертатися додому. Маючи перед собою розклад, можна швидко визначити такі дні.
Часто в таблиці для аналізу інформації необхідно буває підсумувати містяться в ній дані. Тому часто в таблицю включений стовпчик або рядок «Разом» або «Разом», які містять отримані суми.
У таблиці № 1 представлені результати спостережень за погодою протягом чотирьох місяців.
Таблиця № 1.
Заповніть стовпець.
Використовуючи таблицю, дайте відповідь на наступні питання:
1) в якому місяці було найбільше ясних днів?
2) В яких місцях було однакове число похмурих днів?
3) Скільки всього похмурих днів було за чотири місяці
4) Скільки ясних днів було за всю зиму?
5) Яка погода переважала у лютому?
Тут і робота з рядками і зі стовпцями, і підрахунок суми кількох осередків.
Часто доводиться користуватися не тільки готовими таблицями, але і складати їх самим. Розглянемо наступний приклад.
Старості класу доручили з'ясувати, як добираються до школи її однокласники. Вона опитала всіх учнів і представила дані у вигляді таблиці:
З таблиці видно, що староста опитала 24 учні і половина з них добирається до школи пішки, а третина - на автобусі.
Розглянемо приклад, що показує практичну цінність збору та аналізу статистичних даних.
Ви вирішили у вільний час зібратися класом і організувати деякий класне захід, але ще не вирішили, що саме. Було б доцільним врахувати думку більшості учнів класу, а для цього потрібно провести опитування: «Як би ви хотіли провести вільний час класом?» І запропонувати варіанти відповідей. Результати потрібно занести в таблицю.
Наприклад, отримали наступні результати:
Таблиця № 2.
Розглядаючи цю таблицю, ми робимо висновок, що найкраще буде сходити в похід, так як більшістю учнів класу був обраний саме цей варіант.
Таблиця є одним із способів представлення інформації, але більш наочним є графічне представлення даних. Це різні діаграми: лінійні, стовпчасті та кругові.
Побудуємо столбчатую діаграму по нашій таблиці:
По діаграмі ми відразу бачимо, що більшість учнів хоче сходити в похід. І лише двоє людей бажають відвідати планетарій.
Для представлення співвідношення між частинами деякого єдиного цілого, зручно користуватися круговими діаграмами. Для нашого прикладу вона буде виглядати наступним чином:
У 5 класі учні повинні вміти читати діаграми. Для відпрацювання таких умінь потрібно розглядати завдання наступного типу.
Використовуючи діаграму № 3, дайте відповідь на питання:
1) в якому місяці в селі народилося найбільше дітей?
2) У якому місяці народилося стільки ж дітей, скільки в квітні?
3) У які місяці народилося по дві дитини?
4) Скільки дітей народилося у березні?
5) Скільки дітей народилося за першу половину року?
6) Скільки дітей народилося за весь рік?
У цьому завданні одна і та ж буква може зустрічатись у слові як один, так два чи три рази. І потрібно розглянути всі варіанти.
а |
а |
а |
а |
а |
а |
а |
у |
у |
у |
у |
у |
у |
у |
* |
Тепер, проходячи по гілочках дерева, по порядку виписуємо потрібні нам поєднання букв - «слова»:
ааа; ААУ; АУА; ауу; УАА; Уау; ууа; ууу.
Дерево допомагає побачити шлях вирішення, врахувати всі варіанти і уникнути повторень. Потрібно звернути увагу, що дерево можливих варіантів дозволяє нам підраховувати впорядковані набори
У 5 «А» класі в середу 4 уроки: математика, інформатика, російська мова, англійська мова. Скільки можна скласти варіантів розкладу на середу?
У цьому завданню у нас є 4 предмети і необхідно виписати можливі варіанти розкладу на один день, враховуючи ті умови, що кожен урок повинен обов'язково бути присутнім в розкладі, і зустрічатися там всього один раз (для спрощення запису пропонується кожен предмет позначить його з великої літери). Таким чином, нам необхідно підрахувати скількома способами ми можемо впорядкувати 4 елементи. Нехай першим буде урок математики, тоді залишилися 3 предмети ми можемо впорядкувати 6-ма способами (з раніше розглянутих завдань). Аналогічно для решти трьох предметів. Разом отримаємо 24 способи порядок 4 предмети.
У 5 класі починається робота з формування імовірнісних уявлень в учнів. Спочатку розглянемо поняття випадкова подія.
Часто в житті ми вживаємо такі слова, як «можливо», «це неймовірно», «це малоймовірно» і т.д. Подібні висловлювання ми використовуємо, коли говоримо про подію, що в одних умовах може відбутися, а може і не відбутися. Такі події називають випадковими.
Події, які за даних умов обов'язково відбувається, називають достовірним. Події, які за даних умов не можуть відбутися, називають неможливими.
Для відпрацювання даних понять можна розглянути вправи, в яких потрібно визначити є подія достовірним, неможливим чи випадковим.
Оцініть, які з перерахованих подій є достовірними, які неможливими, а які випадковими і чому ви так вважаєте:
А) при киданні кубика ви отримаєте шістку;
Б) при киданні кубика ви отримаєте число більше 6;
В) при киданні кубика ви отримаєте парне число;
Г) при киданні кубика ви отримаєте число, яке ділиться на 7
Д) при киданні кубика ви отримаєте число більше 1;
Е) при киданні кубика ви отримаєте непарне число;
Ж) кубик, впавши, залишиться на ребрі.
У мішку лежить 10 куль: 3 синіх, 3 білих і 4 червоних. Які з наступних подій є випадковими, достовірними і неможливими і чому ви так вважаєте:
А) з мішка вийняли 4 кулі і всі вони сині;
Б) з мішка вийняли 4 кулі і всі вони червоні;
В) з мішка вийняли 4 кулі, і всі вони виявилися різного кольору;
Г) з мішка вийняли 4 кулі, і серед них не виявилося кулі чорного кольору;
Учень задумав натуральне число. Які з наступних подій будуть достовірними, неможливими і випадковими і чому ви так вважаєте.
А) Задумано парне число;
Б) Задумано число, що не є ні парних, ні непарних;
В) Задумано непарне число;
Г) задумано число, що є парних або не парним.
Події А і В є випадковими, так як може бути загадане як парне, так і непарне число. Виникає питання, яка з подій більш ймовірно: задумано парне число або задумано непарне число. Так як чисел парних і непарних однакову кількість, то обидва ці події мають рівні шанси. Такі події називаються рівноімовірними.
Також про деяких випадкових події ми можемо сказати, що воно «малоймовірно» або «дуже ймовірно».
У показуйте, які з наступних подій - неможливі, достовірні, випадкові, а про які ми можемо сказати, що воно «малоймовірно» або «дуже ймовірно»:
1) футбольний матч «Спартак» - «Динамо» закінчиться внічию.
2) ви виграєте, беручи участь у безпрограшній лотереї.
3) опівночі випаде сніг, а через 24 години буде світити сонце.
4) завтра буде контрольна з математики.
5) Ви отримаєте «5» за контрольну роботу з математики
6) 30 лютого буде дощ.
7) вас оберуть президентом США.
8) вас оберуть президентом Росії.
9) кругла відмінниця отримає двійку
10) на день народження вам подарують живого крокодила
Якщо в попередніх завданнях відповіді на питання однозначні, то тут відповідь залежить від ситуації, від того, коли і кому поставлено питання. Наприклад, про достовірність події 4 ми можемо говорити, в залежності від дня, коли поставлено питання, якщо на наступний день дійсно буде контрольна з математики, то ця подія достовірно. При відповіді на 5 питання учень, який навчається на відмінно і впевнений у своїх силах і в цій контрольній, з впевненістю скаже, що це подія для нього є достовірним. У той час як дуже слабкий учень, якому дуже важко дається математика, в свою чергу може дати відповідь, що для нього подія є неможливим. Подія 9 є дуже малоймовірним, але, тим не менш, можливим, так як навіть відмінниці не застраховані від двійок. Тут важлива роль учителя, який повинен оцінювати правильність тих чи інших відповідей, і звертати увагу, що на одні й ті ж питання різні учні можуть дати різні відповіді, і кожен буде прав.
Важливо вже в 5 класі давати учням завдання наступного плану:
Данила і Наташа засперечалися, хто з них буде першим читати цікаву книгу. Тоді Наталя запропонувала зіграти в гру і книгу віддати переможцю. Вони взяли вертушку, яка зображена на рис.1,
1 |
2 |
3 |
Рис.1 |
Учні ще не знайомі з поняттям ймовірність і при відповіді на питання повинні спиратися на свою інтуїцію. Вони повинні розуміти, що у Наташі більше шансів виграти, ніж у Данила, так як область 1 у два рази більше, ніж область 2, і більше вірогідності, що вертушка зупиниться в області 2.
Дуже важливим елементом стохастики є аналіз даних і початковим етапом аналізу даних є робота з таблицями і діаграмами, яку необхідно починати в 5 класі.
Починати розгляд таблиць потрібно з розгляду вже відомих учням таблиць, зокрема: сторінка класного журналу, розклад уроків і т.п. З такими таблицями учні найчастіше вже вміти працювати і отримувати з неї всю необхідну їм інформацію.
Розглянемо розклад уроків. Учні вже напевно вміють ним користуватися, вилучати з нього необхідну інформацію. З розкладу можна дізнатися, в якому кабінеті проходитиме потрібний урок, визначити кількість уроків на день. Розглянемо таку ситуацію: Оля - навчається у 5-А класі, а її подружка з сусіднього будинку у 5-Б класі, потрібно дізнатися, за якими днями вони можуть разом повертатися додому. Маючи перед собою розклад, можна швидко визначити такі дні.
Часто в таблиці для аналізу інформації необхідно буває підсумувати містяться в ній дані. Тому часто в таблицю включений стовпчик або рядок «Разом» або «Разом», які містять отримані суми.
У таблиці № 1 представлені результати спостережень за погодою протягом чотирьох місяців.
Таблиця № 1.
| Погода | Місяці | Всього | |||
| Грудень | Січень | Лютий | Березень | ||
| Ясно | 5 | 9 | 7 | 10 | |
| Хмарно | 19 | 10 | 15 | 10 | |
| Мінлива хмарність | 7 | 12 | 6 | 11 | |
Використовуючи таблицю, дайте відповідь на наступні питання:
1) в якому місяці було найбільше ясних днів?
2) В яких місцях було однакове число похмурих днів?
3) Скільки всього похмурих днів було за чотири місяці
4) Скільки ясних днів було за всю зиму?
5) Яка погода переважала у лютому?
Тут і робота з рядками і зі стовпцями, і підрахунок суми кількох осередків.
Часто доводиться користуватися не тільки готовими таблицями, але і складати їх самим. Розглянемо наступний приклад.
Старості класу доручили з'ясувати, як добираються до школи її однокласники. Вона опитала всіх учнів і представила дані у вигляді таблиці:
| Засіб пересування | Підрахунок голосів | Кількість учнів |
| Пішки На автобусі На велосипеді | / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / | 12 8 4 |
| Всього | 24 |
Розглянемо приклад, що показує практичну цінність збору та аналізу статистичних даних.
Ви вирішили у вільний час зібратися класом і організувати деякий класне захід, але ще не вирішили, що саме. Було б доцільним врахувати думку більшості учнів класу, а для цього потрібно провести опитування: «Як би ви хотіли провести вільний час класом?» І запропонувати варіанти відповідей. Результати потрібно занести в таблицю.
Наприклад, отримали наступні результати:
Таблиця № 2.
| Сходити в кіно | / / / / / | 5 |
| Сходити в похід | / / / / / / / / / / | 10 |
| Влаштувати дискотеку | / / / / | 4 |
| Сходити в планетарій | / / | 2 |
Таблиця є одним із способів представлення інформації, але більш наочним є графічне представлення даних. Це різні діаграми: лінійні, стовпчасті та кругові.
Побудуємо столбчатую діаграму по нашій таблиці:
По діаграмі ми відразу бачимо, що більшість учнів хоче сходити в похід. І лише двоє людей бажають відвідати планетарій.
Для представлення співвідношення між частинами деякого єдиного цілого, зручно користуватися круговими діаграмами. Для нашого прикладу вона буде виглядати наступним чином:
У 5 класі учні повинні вміти читати діаграми. Для відпрацювання таких умінь потрібно розглядати завдання наступного типу.
Використовуючи діаграму № 3, дайте відповідь на питання:
1) в якому місяці в селі народилося найбільше дітей?
2) У якому місяці народилося стільки ж дітей, скільки в квітні?
3) У які місяці народилося по дві дитини?
4) Скільки дітей народилося у березні?
5) Скільки дітей народилося за першу половину року?
6) Скільки дітей народилося за весь рік?
§ 2. Методика реалізації стохастичної лінії в 6 класі.
Основні завдання:
· Відпрацювання умінь і навичок у складанні і підрахунку числа комбінаторних наборів.
· Показати учням як можна вирішувати комбінаторні задачі за допомогою міркувань. Ознайомити учнів з правилом множення при підрахунку числа можливих варіантів, сформувати вміння щодо його застосування.
· Ознайомити з правилом суми
· Формування умінь будувати дерево можливих варіантів.
· Формування умінь порівняння ймовірностей різних подій (більш імовірно, менш ймовірно)
· Ознайомити з поняттями статистичної частоти та ймовірності, з методом оцінки ймовірності через статистичні випробування.
У 6 класі в темі комбінаторика продовжуємо розглядати комбінаторні задачі, на перший план виходять завдання з підрахунку числа можливих варіантів.
Існує кілька підходів до викладання комбінаторики: теоретико-множинний, лексико-графічний і теоретико-імовірнісний. У школі перевага віддається теоретико-множинного підходу, але буде корисним частково звернутися і до лексико-графічному підходу. При такому підході всі визначення спираються на уявлення про алфавіт, словах, довжину слів та ін
Вирішуючи завдання, іноді дуже зручно використовувати кодування, тобто звернення до лексико-графічному підходу.
Розглянемо таку задачу: кілька країн вирішили використовувати для свого державного прапора символіку у вигляді трьох горизонтальних смуг однакової ширини різних кольорів - білого, синього, червоного. Скільки країн можуть використовувати таку символіку за умови, що у кожної країни - свій прапор.
Ми можемо записувати наше рішення наступним чином: «1 варіант: перша смуга - червона, друга - синя, третя - біла.» І т.д. Але це дуже довго і не зручно, записуючи так, складно зорієнтуватися чи всі варіанти ми записали, і не повторилися ми де-небудь. Тому дуже зручно ввести кодування, тобто деяке умовне позначення перебираються в задачі об'єктів. У нашому випадку ми замінимо першою літерою кожен колір смуги. Білий відповідно - «Б», червоний - «К» і синій - «С».
Ввівши кодування, запис вирішення завдання дуже спрощується. Ми маємо безліч з трьох елементів {Б, К, С}. Потрібно скласти різні комбінації з трьох елементів, при цьому порядок елементів враховується. Наприклад, запис «БКС» буде означати, що перша смуга прапора - біла, друга - червона, третя - синя. Такі завдання ми вже вирішували методом безпосереднього перебору і побудовою дерева можливих варіантів.
При зустрічі 8 приятелів обмінялися рукостисканнями. Скільки всього було зроблено рукостискань?
Дану задачу можна вирішувати методом безпосереднього перебору, і вже на самому початку зауважимо, що досить складно перебирати всі можливі варіанти і не заплутатися, не кажучи вже про запис вирішення цього завдання. Але, запровадивши певні позначення - кодування, рішення буде дуже легко уявити
Кожному приятелеві даємо номер від 1 до 8, а рукостискання закодуємо наступним чином: наприклад число 24 означає що 2-й приятель потиснув руку 4-му. При чому число 35 і 53 означають одне і теж рукостискання, і брати будемо менше з них. Коди рукостискань ми можемо оформити наступною таблицею:
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
23, 24, 25, 26, 27, 28,
34, 35, 36, 37, 38,
45, 46, 47, 48,
56, 57, 58, Основні завдання:
· Відпрацювання умінь і навичок у складанні і підрахунку числа комбінаторних наборів.
· Показати учням як можна вирішувати комбінаторні задачі за допомогою міркувань. Ознайомити учнів з правилом множення при підрахунку числа можливих варіантів, сформувати вміння щодо його застосування.
· Ознайомити з правилом суми
· Формування умінь будувати дерево можливих варіантів.
· Формування умінь порівняння ймовірностей різних подій (більш імовірно, менш ймовірно)
· Ознайомити з поняттями статистичної частоти та ймовірності, з методом оцінки ймовірності через статистичні випробування.
У 6 класі в темі комбінаторика продовжуємо розглядати комбінаторні задачі, на перший план виходять завдання з підрахунку числа можливих варіантів.
Існує кілька підходів до викладання комбінаторики: теоретико-множинний, лексико-графічний і теоретико-імовірнісний. У школі перевага віддається теоретико-множинного підходу, але буде корисним частково звернутися і до лексико-графічному підходу. При такому підході всі визначення спираються на уявлення про алфавіт, словах, довжину слів та ін
Вирішуючи завдання, іноді дуже зручно використовувати кодування, тобто звернення до лексико-графічному підходу.
Розглянемо таку задачу: кілька країн вирішили використовувати для свого державного прапора символіку у вигляді трьох горизонтальних смуг однакової ширини різних кольорів - білого, синього, червоного. Скільки країн можуть використовувати таку символіку за умови, що у кожної країни - свій прапор.
Ми можемо записувати наше рішення наступним чином: «1 варіант: перша смуга - червона, друга - синя, третя - біла.» І т.д. Але це дуже довго і не зручно, записуючи так, складно зорієнтуватися чи всі варіанти ми записали, і не повторилися ми де-небудь. Тому дуже зручно ввести кодування, тобто деяке умовне позначення перебираються в задачі об'єктів. У нашому випадку ми замінимо першою літерою кожен колір смуги. Білий відповідно - «Б», червоний - «К» і синій - «С».
Ввівши кодування, запис вирішення завдання дуже спрощується. Ми маємо безліч з трьох елементів {Б, К, С}. Потрібно скласти різні комбінації з трьох елементів, при цьому порядок елементів враховується. Наприклад, запис «БКС» буде означати, що перша смуга прапора - біла, друга - червона, третя - синя. Такі завдання ми вже вирішували методом безпосереднього перебору і побудовою дерева можливих варіантів.
При зустрічі 8 приятелів обмінялися рукостисканнями. Скільки всього було зроблено рукостискань?
Дану задачу можна вирішувати методом безпосереднього перебору, і вже на самому початку зауважимо, що досить складно перебирати всі можливі варіанти і не заплутатися, не кажучи вже про запис вирішення цього завдання. Але, запровадивши певні позначення - кодування, рішення буде дуже легко уявити
Кожному приятелеві даємо номер від 1 до 8, а рукостискання закодуємо наступним чином: наприклад число 24 означає що 2-й приятель потиснув руку 4-му. При чому число 35 і 53 означають одне і теж рукостискання, і брати будемо менше з них. Коди рукостискань ми можемо оформити наступною таблицею:
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,
23, 24, 25, 26, 27, 28,
34, 35, 36, 37, 38,
45, 46, 47, 48,
67, 68,
78.
Таким чином, у нас вийшло 1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 = 28 рукостискань.
Після того як учні навчилися складати всілякі набори, на перший план висувається завдання підрахунку числа можливих варіантів.
Група туристів планує здійснити похід за маршрутом Антоново - Борисово - Власова - Грибова. З Антоново в Борисово можна сплавитися по річці або дійти пішки. З Борисово під Власова можна пройти пішки або доїхати на велосипедах. З Власова У Грибова можна доплисти по річці, доїхати на велосипедах або пройти пішки. Скільки всього варіантів походу можуть вибрати туристи? Скільки варіантів походу можуть вибрати туристи за умови, що хоча б на одній з ділянок маршруту вони повинні використовувати велосипеди?
Побудуємо для цього завдання дерево можливих варіантів:
Нехай у нас «П»-позначає шлях пішки
«Р» - сплавитися по річці
«В» - доїхати на велосипедах.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
З Антоново в Борисово |
З Борисово під Власова |
З Власова У Грибова |
П |
П |
П |
Р |
У |
У |
Р |
У |
П |
Р |
У |
П |
Р |
У |
П |
Р |
У |
П |
* |
* |
Відповідь на друге питання також добре проглядається по дереву можливих варіантів.
Але це завдання можна вирішити по-іншому, за допомогою міркувань. З Антоново в Борисово у нас 2 варіанти яким чином продовжувати шлях, з Борисово під Власова теж 2 варіанти, тобто на кожен варіант першої ділянки шляху у нас є по 2 варіанти другої ділянки шляху і того на даному етапі у нас буде 2 * 2 = 4 варіанти вибору способу пересування. На кожен з цих 4 варіантів існує по 3 варіанти способу пересування по третьому ділянці шляху з Власова У Грибова, тобто 4 * 3 = 12. Відповідь у цьому завданні ми отримали множенням.
Такий спосіб підрахунку називається правилом множення, він можливий, якщо дерево можливих варіантів є «правильним»: з кожного вузла виходить одне і теж число гілок.
Про т турбази до гірського озера ведуть 4 стежки. Скількома способами туристи можуть відправитися в похід до озера, якщо вони не хочуть спускатися з тієї ж стежкою, по якій піднімалися?
Підйом |
Спуск |
1 |
3 |
4 |
2 |
2 |
3 |
4 |
1 |
3 |
4 |
1 |
2 |
4 |
1 |
2 |
3 |
* |
Щоб піднятися у нас є 4 стежки (4 варіанти) і на кожний з них є по 3 залишилися стежки (3 варіанти), щоб спуститися, тобто 4 * 3 = 12 маршрутів підходу до озера. А тепер уявімо, що до озера ведуть не 4, а 10 стежок. Скільки в цьому випадку існує маршрутів, якщо як і раніше вирішено спускатися не з тієї стежці, по якій піднімалися. Зобразити дерево можливих варіантів в такій ситуації дуже складно. Набагато легше вирішити це завдання за допомогою міркувань. Піднятися до озера можна з будь-якої з 10 стежок, а спускатися з будь-якої з решти 9 стежок. Таким чином, всього одержимо 10 * 9 = 90 різних маршрутів походу.
Обидві ці завдання ми вирішили, використовуючи правило множення, яке звучить наступним чином: нехай необхідно виконати до незалежних дій, якщо перше дію ми можемо виконати п1 способами, після чого друга дія можемо виконати п2 способами і т.д. до k - го дії, яку можна виконати п k способами, тоді виконати всі k дії у вказаному порядку можна п1 ∙ п2 ∙ ... ∙ п k способами. Звернути увагу, що, застосовуючи правило множення, ми враховуємо порядок дій. Тобто правило множення застосовується для підрахунку впорядкованих наборів.
Розглянемо два завдання:
1) Скількома способами з класу, в якому навчаються 30 школярів, можна вибрати капітана команди для математичних змагань та його заступника?
На роль капітана може бути обраний будь-який з 30 учнів, а його заступник - будь-який з 29 залишилися учнів. Таким чином, одержуємо 30 ∙ 29 = 870 способів.
2) Скількома способами з класу, в якому навчаються 30 школярів, можна вибрати двох для участі в математичній олімпіаді?
Нам не важливо, хто капітан, а хто заступник, нам потрібні всього лише два учасники, тому одержуємо, що у нас кожна пара учнів у творі повторюється два рази. Тому відповіддю для другого завдання буде (30 ∙ 29): 2.
Ще одним способом підрахунку комбінаторних наборів є використання правила суми.
З класу потрібно виділити одного чергового, хлопчика чи дівчинку. Скільки існує способів для вибору чергового, якщо в класі 22 дівчинки і 18 хлопчиків?
Вибрати одну дівчинку з 22 ми можемо 22-ма способами, а одного хлопчика з 18 можна 18-ма способами. Тоді вибрати одного чергового хлопчика чи дівчинку можна (18 +22) способами.
Для підрахунку варіантів ми використовували тут правило суми, яке можна сформулювати так: якщо дві дії взаємно виключають один одного, причому одне з них можна виконати п способами, а інше - m способами, то яке-небудь одне з них можна виконати n + m способами. У нашому прикладі дії виключають один одного, так як ми повинні вибрати або хлопчика з одного безлічі, або дівчинку з іншого.
У 6 класі продовжуємо імовірнісну лінію. Починаємо з повторення, що таке випадкове подія, визначення його достовірності (неможливе, достовірне, малоймовірне). Новим завданням стає формування вміння оцінювати ймовірності двох і більше подій (більш-менш ймовірно).
Корисно розглядати задачі, в яких при відповіді на питання необхідно спиратися на свою інтуїцію. Можна розглядати реальні життєві ситуації, щоб учні бачили безпосередню зв'язок досліджуваного з дійсністю.
Ви купили в магазині телевізор, на який фірма-виробник дає два роки гарантії. Які з наступних подій неможливі, випадкові, достовірні:
А) телевізор не зламається протягом року.
Б) телевізор не зламається протягом двох років.
В) протягом двох років вам не доведеться платити за ремонт телевізора.
Г) телевізор зламається на третій рік.
Тут потрібно звернути увагу учнів, що перші дві події випадкові, тому що, по-перше, гарантія фірми виробника зовсім не означає, що протягом двох років телевізор буде працювати ідеально, а по-друге, можна розглянути і той випадок, коли телевізор може зламатися з вини покупця. Подія Г також є випадковим, оскільки не можна говорити, що телевізор обов'язково зламається після того, як закінчиться термін гарантії.
Хоча обидва перші події є випадковими, ми можемо говорити про те, що одне з них більш імовірно, а інше менш імовірно. Учні повинні усвідомлювати велику або меншу ймовірність того чи події.
Порівняйте між собою на основі життєвого досвіду спілкування по телефону шанси наступних випадкових подій та визначте, які з них найбільш імовірні.
А) вам ніхто не подзвонить з 5 до 6 ранку.
Б) вам хто-небудь зателефонує з 5 до 6 ранку.
В) вам хто-небудь зателефонує з 6 до 9 вечора.
Г) вам ніхто не подзвонить з 6 до 9 вечора.
Тут потрібно врахувати індивідуальні особливості, в результаті яких для різних людей можливі різні відповіді на поставлені питання.
Так, оскільки рано вранці дзвінки взагалі бувають дуже рідко, у події Б шансів вкрай мало, воно малоймовірне, майже неможливе. Але ось у події А дуже багато шансів, це практично достовірна подія.
Вечірні години, навпаки, час найактивнішого телефонного спілкування, тому подія В для більшості людей вірогідніше, ніж подія Г. Хоча, якщо людині взагалі дзвонять рідко, подія Г може виявитися найімовірніше події В.
Корисно розглянути завдання наступного плану:
1) Віні Пух, Паць та всі-всі-всі сідають за круглий стіл святкувати день народження. При якій кількості «всіх-всіх-всіх» подію «Вінні і П'ятачок будуть сидіти поруч» є достовірним, а при якому випадковим?
2) У школі навчається N учнів. За яких N подія: «У школі є учні з збігаються днями народження» є випадковим, а при яких - достовірним?
Тут учні самі повинні придумати умова, за яких ці події є випадковими, а при яких достовірними.
У 6 класі учням пропонується якісно нова діяльність для уроку математики - проведення експериментів. Це можуть бути експерименти з підкиданням кубика, монети або кнопки. Всі результати експериментів необхідно оформляти у вигляді таблиць, які заповнюються під час експерименту.
Для проведення експериментів учнів краще розбити групи по 2-3 людини, один з яких буде фіксувати результати експерименту, а інші проводити його.
Можуть бути запропоновані такі завдання-експерименти.
Завдання № 1. 100 разів підкинути монету і зафіксувати кількість випадань «орла» і «решки».
Завдання № 2. 100 разів підкинути кнопку і зафіксувати кількість разів, коли кнопка впала вістрям вниз і кількість разів, коли кнопка впала вістрям вгору.
Завдання № 3. Виберіть який-небудь текст, що містить 150 слів. Підрахуйте кількість слів, складених з 6 букв.
Завдання № 4. Виберіть 7 рядків довільного тексту (можна кілька різних текстів). Підрахуйте скільки разів зустрічаються в тексті букви о, е, а, ю.
Результатом повинні бути таблиці приблизно такого плану:
Таблиця № 1. «Експеримент з підкидання монети».
| Подія | Кількість випадінь | разом |
| Випав «орел» | 58 | |
| Випала «решка» | 42 |
Після проведення експерименту, введемо поняття частота і ймовірність випадкової події. В якості прикладу розглянемо таблицю № 1. Для проведеного експерименту підрахуємо, яку частину складає випадання «орла» від загального числа кидання монети, або, як кажуть, підрахуємо частоту. Теж саме підрахуємо для «решки». Для нашого випадку це буде 0,58 для «орла» і 0,42 для «решки». Можна скласти загальну таблицю, в якій будуть відображені загальні результати проведеного експерименту. Після цього можна звернутися до результатів проведених раніше експериментів. Французький натураліст Ж.Л.Л. Бюффон в 18 столітті 4040 раз підкидав монету - герб випав 2048 разів. Математик К. Пірсон на початку 20 сторіччя підкидав її 24 000 разів - герб випав 12 012 разів. Американські експериментатори повторили досвід. При 10 000 підкидань герб випав 4979 разів. Таким чином, спираючись на власні результати та отримані раніше можна помітити, що при підкиданні монети частота появи «орла» приблизно дорівнює 0,5. Отже, хоча кожен результат підкидання монети - випадкова подія, при багаторазовому повторенні експерименту видно виразна закономірність: при збільшенні кількості експериментів значення частоти зосереджується близько деякого числа р. Це число р і буде ймовірністю даної події.
Для нашого прикладу число 0,5 - це ймовірність випадкового події «випадання« орла ». Так як в цих експериментах «решка» з'являється також приблизно в половині випадків, то і ймовірність випадання «решки» дорівнює 0,5.
Ймовірність події позначається великою латинською літерою Р. Якщо позначити подію «випаде« орел »буквою А, а подія« випаде «решка» буквою В, наш результат можна записати так:
Р (А) = 0,5, Р (В) = 0,5.
Іноді ймовірність виражають у відсотках, тоді: Р (А) = 50%, Р (В) = 50%.
Той факт, що ймовірність появи «орла» дорівнює 0,5, звичайно, не означає, що в будь-серії експериментів «орел» з'явиться рівно в половині випадків. Але якщо число експериментів досить велике, ми можемо дати прогноз, що «орел» випаде приблизно в половині випадків.
Таким чином, в кожному з експериментів підрахуємо частоту розглянутих подій за допомогою формули:
Частота = (число появ події) / (число експериментів).
Потім, використовуючи знайдену частоту, оцінимо ймовірність розглядуваних подій.
Крім експериментів, розглядаються завдання з уже відомими даними про появу деякої події, і потрібно обчислити ймовірність цієї події.
Відомо, що на 100 батарейок попадаються 3 браковані. Яка ймовірність купити браковану батарейку.
У цьому завданні необхідно обчислити ймовірність події А: «купити браковану батарейку», знаючи, що зі ста випадків, ця подія відбулася 3 рази. Таким чином, отримуємо, що Р (А) = 0,03.
Складаючи таблиці з результатами, проведених експериментів, учні набувають навички роботи з статистичними даними (подання статистичних даних і деякі висновки з них).
Крім цього в 6 класі розглядаються завдання безпосередньо спрямовані на роботу з таблицями (читання та складання).
Деякі таблиці бувають дуже прості (з ними ми працювали в 5 класі), але бувають таблиці і по складніше. Наприклад, турнірні таблиці, в яких записується хід змагання і його результати.
Розглянемо турнірну таблицю, в якій представлені підсумки шахового турніру з чотирма учасниками:
За перемогу учасник отримує 1 очко, за програш - 0, а за нічию -1 / 2.
По даній таблиці можуть бути задані наступні питання:
1) скільки партій зіграв кожен учасник
2) як зіграв Полікарпов з кожним з учасників
3) заповнити останній рядок, порахувавши, скільки очок набрав кожний учасник.
4) визначити, використовуючи дані в стовпці «Окуляри», як розподілилися місця між учасниками.
Крім експериментів, розглядаються завдання з уже відомими даними про появу деякої події, і потрібно обчислити ймовірність цієї події.
Відомо, що на 100 батарейок попадаються 3 браковані. Яка ймовірність купити браковану батарейку.
У цьому завданні необхідно обчислити ймовірність події А: «купити браковану батарейку», знаючи, що зі ста випадків, ця подія відбулася 3 рази. Таким чином, отримуємо, що Р (А) = 0,03.
Складаючи таблиці з результатами, проведених експериментів, учні набувають навички роботи з статистичними даними (подання статистичних даних і деякі висновки з них).
Крім цього в 6 класі розглядаються завдання безпосередньо спрямовані на роботу з таблицями (читання та складання).
Деякі таблиці бувають дуже прості (з ними ми працювали в 5 класі), але бувають таблиці і по складніше. Наприклад, турнірні таблиці, в яких записується хід змагання і його результати.
Розглянемо турнірну таблицю, в якій представлені підсумки шахового турніру з чотирма учасниками:
| № | Прізвище | 1 | 2 | 3 | 4 | Окуляри | Місце |
| 1 | Виноградов О. | 0 | 0 | 1 | |||
| 2 | Галкін М. | 1 | Ѕ | 1 | |||
| 3 | Полікарпов С. | 1 | Ѕ | 0 | |||
| 4 | Антипов Є. | 0 | 0 | 1 |
По даній таблиці можуть бути задані наступні питання:
1) скільки партій зіграв кожен учасник
2) як зіграв Полікарпов з кожним з учасників
3) заповнити останній рядок, порахувавши, скільки очок набрав кожний учасник.
4) визначити, використовуючи дані в стовпці «Окуляри», як розподілилися місця між учасниками.
§ 3. Методика реалізації стохастичної лінії в 7 класі.
Основні завдання:
· Введення поняття перестановки і виведення формули числа перестановок.
· Ознайомити учнів з основними статистичними характеристиками: середнє арифметичне, мода, розмах.
· Вміння знаходити основні статистичні характеристики для конкретного ряду даних, а також з таблиць і діаграм.
· Вироблення вмінь знаходити основні статистичні характеристики в нескладних випадках, учні повинні розуміти їх практичний сенс у конкретних ситуаціях.
Ввести перші статистичні характеристики можна, використовуючи ряд чисел, складений з оцінок отриманих за чверть. Для школярів дуже актуальне питання про те, яка оцінка вийде у них за чверть. Кожному учню заздалегідь можна виписати його оцінки за чверть. Учитель виписує на дошці деякий ряд оцінок, і на його прикладі вводить поняття середнього арифметичного і моди ряду чисел. Діти для закріплення цих понять, знаходять ці статистичні характеристики кожен для свого ряду.
Також потрібно звернути увагу, що моду може мати не тільки числовий ряд. Наведемо приклад: припустимо, у вашому класі провели опитування - кожному учню задали питання: «який ваш улюблений предмет?» Або «хто ваш улюблений вчитель?». Отримані відповіді будуть складати ряд, модою якого буде найбільш часто зустрічається відповідь на дане питання. Мода - це показник, який широко використовується в статистиці. Одним з найбільш частих використань моди є вивчення попиту. Наприклад, при вирішенні питання, в пачки якої ваги фасувати масло, які відкривати нові автобусні маршрути і т.п. попередньо вивчається попит і виявляється мода - найбільш часто зустрічається замовлення.
Однак перебування середнього арифметичного чи моди ряду далеко не завжди дозволяє робити надійні висновки на основі статистичних даних.
Наприклад, на планеті Меркурій середня температура +15 ˚. Виходячи з цього статистичного показника, можна подумати, що на Меркурії помірний клімат, зручне для життя людей. Однак насправді це не так. Температура на Меркурії коливається від -150 ˚ до +350 ˚.
Значить, якщо у нас є ряд даних, то для обгрунтованих висновків і надійних прогнозів на їх основі крім середніх значень треба ще вказати, наскільки використовуються дані різняться між собою. Одним зі статистичних показників відмінності або розкиду даних є розмах. Розмах - це різницю найбільшого і найменшого значень ряду даних. Для температури на Меркурії, наприклад, розмах дорівнює 350 ˚ - (-150 ˚) = 500 ˚. Звичайно, такого перепаду температур людина витримати не може.
Крім розмаху, у багатьох випадках важливі самі найбільші або найменші значення даних. Наприклад, якщо надсилається супутник для дослідження того ж Меркурія, необхідно, щоб прилади працювали і при максимальних, і при мінімальних можливих там температурах.
Спочатку потрібно розглянути задачі, де дано конкретний ряд даних і потрібно визначити його середнє арифметичне, моду і розмах. А потім перейти до завдань, де необхідно розуміти зміст цих характеристик.
Розглянемо задачу, яка дозволяє побачити практичну значимість даних статистичних характеристик.
Якийсь міський житель вирішив переїхати в село. Відомості про врожайність картоплі (ц / га) у двох селах за останні роки такі:
Село А: 180,50,60,100, 170,60, 150, 90, 120,70, 60,160, 90, 170,90,180, 160.
Село Б: 100, 110, 120, 100, 100, 110, 100, 120, 130, 130, 100, 130, 110.
Якому з цих місць він віддасть перевагу?
Що ж може послужити критерієм прийняття рішення. Якщо порахувати середнє значення. То отримаємо, що в селі А середня врожайність трохи вище, ніж у селі Б. Але тут потрібно звернути увагу і на інший статистичний показник - розмах ряду, тому що ми можемо помітити, що в селі А врожайність, порівняно з середнім значенням, коливається. У селі А розкид значень урожайності більше ніж у селі Б. У селі А розмах дорівнює 130, а в селі Б розмах дорівнює 30. Виходячи з отриманих даних, можна зробити висновок, що, мабуть, краще вибрати дещо менше значення середньої врожайності, але при більшій її стабільності. Стійкість врожаю особливо важлива для людини, ще не має досвіду присадибного господарства.
У відділі чоловічого взуття універмагу протягом дня проводився облік розмірів купленої взуття. Були отримані наступні результати: 44, 40, 43, 39, 42, 42, 45, 41, 43, 43, 41, 42, 46, 40, 41, 42, 39, 42, 45, 42, 43, 44, 44 , 41, 42. Уявіть ці результати у вигляді таблиці:
Який розмір взуття найбільш поширений?
Виходячи із запитання, робимо висновок, що в даній задачі нам потрібно знайти моду ряду розмірів, тобто дізнатися, який розмір користується великим попитом. Таблиця дозволяє швидко це зробити.
Бензоколонка працює цілодобово без вихідних. За січень виручка склала 71796000 р. Яка була в січні середня виручка за добу?
У цьому завданню необхідно розуміти, що потрібно знайти. Раз потрібно знайти середню виручку, то робимо висновок, що необхідно знайти середнє арифметичне. Але до цього учні мали справу безпосередньо з рядом даних. У даній ситуації ми маємо, що сума виручки за 31 день склала 71796000 рублів. Тоді ми можемо порахувати середнє арифметичне (71796000: 31) = 2316000, це і буде середня виручка за добу.
Середнє арифметичне ряду, що складається з десяти чисел, дорівнює 15. До цього ряду приписали число 37. Чому дорівнює середнє арифметичне нового ряду чисел?
Так як середнє арифметичне низки чисел дорівнює 15, а число його членів дорівнює 10, то сума членів дорівнює 15 ∙ 10, тобто 150. Після приписування числа 37 сума стала рівно 150 +37, тобто 187, а число членів ряду виявилося рівним 11. значить, середнє арифметичне нового ряду одно 187: 11, тобто одно 17.
Учні повинні вміти обчислювати статистичні характеристики за даними, наведеними в таблиці.
При вивченні якості продукції випущеної цехом, визначали кількість бракованих деталей у кожному з 50 довільним чином вибраних ящиків з однаковим числом деталей. Результати перевірки записали у вигляді таблиці:
Знайдіть середнє арифметичне, розмах і моду ряду даних.
Спочатку випишемо упорядкований ряд даних про кількість бракованих деталей у ящиках. З таблиці ми обчислюємо, що наш ряд містить 8 нулів, 22 одиниці і т.д.
0 ... 0 1 ... 1 2 ... 2 3 ... 3 4 4.
8 22 13 5
Таким чином, щоб обчислити середнє арифметичне, необхідно, обчислити суму всіх його членів, а кількість усіх членів ряду відомо з умови задачі (50 ящиків). Сума всіх членів буде дорівнює 0 * 8 +1 * 22 +2 * 13 +3 * 5 +4 * 2 = 71, а кількість усіх членів буде 50, тоді середнє арифметичне буде 71:50 = 1,42, тобто частіше зустрічаються ящики, в яких може бути одна бракована деталь. Про це ж говорить нам і мода, яка дорівнює 1.
Щоб обчислити розмах, необхідно знати найбільше і найменше значення, тобто яке найбільше і найменше число бракованих деталей може попастися в ящику, з таблиці ми бачимо, що це 0 і 4. тоді розмах дорівнює 4.
Мода теж дуже легко вираховується за таблицею, оскільки відразу видно, що найбільше число ящиків з одного бракованої деталлю.
Не менш важливим є і вміння обчислювати статистичні характеристики за даними представленими в діаграмі.
На діаграмі представлені дані про кількість вболівальників, які відвідали футбольні матчі на стадіоні «Динамо» за останній місяць. Знайдіть розмах відвідуваності і середню відвідуваність матчу, округливши її до сотень.
По діаграмі ми можемо відразу обчислити найбільше і найменше значення і знайти розмах. Середня відвідуваність для даного випадку це середнє арифметичне низки цих даних.
До 7 класу учні вже повинні мати навички систематичного перебору і бути знайомі з основними методами підрахунку можливих варіантів. У 7 класі продовжуємо вирішувати задачі на підрахунок можливих варіантів різними способами, а також вводимо поняття перестановки.
Раніше учні вже стикалися з перестановками, коли підраховували скількома способами можна впорядкувати кілька (2,3 або 4) елементів, але саме поняття перестановки ще не вводилося.
На даний момент ми вже знаємо, кількість перестановок для 2, 3 та 4-ох елементних множин.
У турнірі беруть участь чотири людини. Скількома способами можуть бути розподілені місця між ними?
Вирішимо цю задачу, використовуючи правило множення. Перше місце може зайняти будь-який із чотирьох учасників. При цьому друге місце може зайняти будь-який з трьох, що залишилися, третє - будь-який з двох, що залишилися, а на четвертому місці залишається останній учасник. Значить, місця між учасниками можуть бути розподілені 4 * 3 * 2 * 1 = 24 способами.
Ми шукали, скільки різних упорядкованих наборів ми можемо скласти, маючи деяке число елементів, кожен з таких впорядкованих наборів, є перестановка. У розглянутому прикладі ми фактично знайшли число перестановок для чотирьох елементів.
А що якщо множина складається не з чотирьох, а наприклад, з десяти елементів? Тоді всього буде 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3628880 перестановок. Тобто твір перших 10 натуральних чисел. Але для ще більшої кількості елементів вже буде складно підрахувати число перестановок. У математиці є спеціальне позначення для короткої запису твору кількох перших натуральних чисел. Твір, наприклад, перших десяти натуральних чисел позначають 10! - І читається як «десять факторіал». 0! = 1 за визначенням.
Міркування, використані у прикладі, показують, що число перестановок для безлічі з 4 елементів дорівнює 4!, Точно також для безлічі, наприклад, з 10 елементів число перестановок дорівнює 10!, І взагалі: число перестановок для множин з n елементів одно п!.
Скількома способами можна скласти маршрут подорожі, що проходить через 7 міст.
У нас є 7 міст і потрібно скласти маршрут по цих містах, тобто фактично, нам потрібно розглянути всі перестановки цих семи міст. Ми вже знаємо формулу, тому отримуємо 7!.
Потрібно дати декілька вправ на обчислення виразів з факторіалом, щоб учні краще оволоділи навичками роботи з ними. Чи вірно, що:
а) 10! = 10 * 9! б) 10! = 2! * 5! в) 12! / 11! = 12?
2) знайдіть значення виразу 16! : 14! * 3!
У деяких завданнях на підрахунок числа перестановок накладаються додаткові умови, і для вирішення задачі крім підрахунку числа перестановок необхідно провести інші дії.
Скільки різних чотиризначних чисел, в яких цифри не повторюються, можна скласти з цифр 0, 2, 4, 6?
Число всіх можливих перестановок цифр 0, 2, 4, 6 буде 4!, Але потрібно звернути увагу учнів на 0 і з цього числа перестановок потрібно виключити ті числа, які починаються з 0. Це всілякі перестановки цифр 2, 4, 6, їхня кількість дорівнює 3!. Таким чином, число шуканих чисел буде дорівнює 4! -3!.
Є 9 різних книг, чотири з яких - підручники. Скількома способами можна розставити ці книги на полиці так, щоб всі підручники стояли поруч?
Спочатку розглянемо всі підручники як одну книгу. Тоді на полиці треба розставити не 9, а 6 книг. Це можна зробити 6! способами. У кожній з отриманих комбінацій можна виконати 4! перестановок підручників. Значить, дані число способів розташування книг на полиці дорівнює добутку 6! * 4!
У теорії ймовірностей знову звертаємося до експериментів. Можна використовувати результати експериментів проведених раніше, і провести нові досліди. Результати проведених експериментів будуть наочніше, якщо за даними таблиці залежність частоти появи результату «вістря вниз» від кількості експериментів представити графічно. Вісь абсцис - число експериментів, вісь ординат - частота появи результату «вістря вниз».
Знаючи відносну ймовірність події (частотну) можна прогнозувати частоту його появи в майбутньому.
Демографи стверджують, що ймовірність народження близнюків приблизно дорівнює 0,012. У скількох випадках з 10 000 народжень можна очікувати появи близнюків?
Ми знаємо частоту події «народиться близнюк» і знаємо кількість всіх результатів, тоді користуючись формулою, можемо обчислити кількість таких випадків з 10 000. 10 000 * 0,012 = 120. Тобто ми можемо припустити, що з 10 000 народжень, в 120 випадках народяться близнята. Хоча це зовсім не обов'язково так.
За літо на Чорноморському узбережжі було 67 сонячних днів. Яка частота сонячних днів на узбережжі за літо? Частота похмурих днів?
Ми знаємо, скільки разів відбувалися події «сонячний день» і «похмурий день», щоб обчислити їх частоту необхідно знати кількість всіх літніх днів. Але ми без проблем можемо це зробити, тому що точно знаємо, скільки днів у червні, липні і серпні разом узятих, 92 дні.
У шкільній лотереї розповсюдили 400 квитків, з яких виграшними є 50.
а) Яка ймовірність виграшу при купівлі одного квитка?
б) Скільки слід придбати квитків, щоб ймовірність того, що хоча б один білет виграшний, була б дорівнює 100%?
Основні завдання:
· Введення поняття перестановки і виведення формули числа перестановок.
· Ознайомити учнів з основними статистичними характеристиками: середнє арифметичне, мода, розмах.
· Вміння знаходити основні статистичні характеристики для конкретного ряду даних, а також з таблиць і діаграм.
· Вироблення вмінь знаходити основні статистичні характеристики в нескладних випадках, учні повинні розуміти їх практичний сенс у конкретних ситуаціях.
Ввести перші статистичні характеристики можна, використовуючи ряд чисел, складений з оцінок отриманих за чверть. Для школярів дуже актуальне питання про те, яка оцінка вийде у них за чверть. Кожному учню заздалегідь можна виписати його оцінки за чверть. Учитель виписує на дошці деякий ряд оцінок, і на його прикладі вводить поняття середнього арифметичного і моди ряду чисел. Діти для закріплення цих понять, знаходять ці статистичні характеристики кожен для свого ряду.
Також потрібно звернути увагу, що моду може мати не тільки числовий ряд. Наведемо приклад: припустимо, у вашому класі провели опитування - кожному учню задали питання: «який ваш улюблений предмет?» Або «хто ваш улюблений вчитель?». Отримані відповіді будуть складати ряд, модою якого буде найбільш часто зустрічається відповідь на дане питання. Мода - це показник, який широко використовується в статистиці. Одним з найбільш частих використань моди є вивчення попиту. Наприклад, при вирішенні питання, в пачки якої ваги фасувати масло, які відкривати нові автобусні маршрути і т.п. попередньо вивчається попит і виявляється мода - найбільш часто зустрічається замовлення.
Однак перебування середнього арифметичного чи моди ряду далеко не завжди дозволяє робити надійні висновки на основі статистичних даних.
Наприклад, на планеті Меркурій середня температура +15 ˚. Виходячи з цього статистичного показника, можна подумати, що на Меркурії помірний клімат, зручне для життя людей. Однак насправді це не так. Температура на Меркурії коливається від -150 ˚ до +350 ˚.
Значить, якщо у нас є ряд даних, то для обгрунтованих висновків і надійних прогнозів на їх основі крім середніх значень треба ще вказати, наскільки використовуються дані різняться між собою. Одним зі статистичних показників відмінності або розкиду даних є розмах. Розмах - це різницю найбільшого і найменшого значень ряду даних. Для температури на Меркурії, наприклад, розмах дорівнює 350 ˚ - (-150 ˚) = 500 ˚. Звичайно, такого перепаду температур людина витримати не може.
Крім розмаху, у багатьох випадках важливі самі найбільші або найменші значення даних. Наприклад, якщо надсилається супутник для дослідження того ж Меркурія, необхідно, щоб прилади працювали і при максимальних, і при мінімальних можливих там температурах.
Спочатку потрібно розглянути задачі, де дано конкретний ряд даних і потрібно визначити його середнє арифметичне, моду і розмах. А потім перейти до завдань, де необхідно розуміти зміст цих характеристик.
Розглянемо задачу, яка дозволяє побачити практичну значимість даних статистичних характеристик.
Якийсь міський житель вирішив переїхати в село. Відомості про врожайність картоплі (ц / га) у двох селах за останні роки такі:
Село А: 180,50,60,100, 170,60, 150, 90, 120,70, 60,160, 90, 170,90,180, 160.
Село Б: 100, 110, 120, 100, 100, 110, 100, 120, 130, 130, 100, 130, 110.
Якому з цих місць він віддасть перевагу?
Що ж може послужити критерієм прийняття рішення. Якщо порахувати середнє значення. То отримаємо, що в селі А середня врожайність трохи вище, ніж у селі Б. Але тут потрібно звернути увагу і на інший статистичний показник - розмах ряду, тому що ми можемо помітити, що в селі А врожайність, порівняно з середнім значенням, коливається. У селі А розкид значень урожайності більше ніж у селі Б. У селі А розмах дорівнює 130, а в селі Б розмах дорівнює 30. Виходячи з отриманих даних, можна зробити висновок, що, мабуть, краще вибрати дещо менше значення середньої врожайності, але при більшій її стабільності. Стійкість врожаю особливо важлива для людини, ще не має досвіду присадибного господарства.
У відділі чоловічого взуття універмагу протягом дня проводився облік розмірів купленої взуття. Були отримані наступні результати: 44, 40, 43, 39, 42, 42, 45, 41, 43, 43, 41, 42, 46, 40, 41, 42, 39, 42, 45, 42, 43, 44, 44 , 41, 42. Уявіть ці результати у вигляді таблиці:
| Розмір | Кількість купленої взуття | Разом |
| 39 | ||
| 40 | ||
| 41 | ||
| ... |
Виходячи із запитання, робимо висновок, що в даній задачі нам потрібно знайти моду ряду розмірів, тобто дізнатися, який розмір користується великим попитом. Таблиця дозволяє швидко це зробити.
Бензоколонка працює цілодобово без вихідних. За січень виручка склала 71796000 р. Яка була в січні середня виручка за добу?
У цьому завданню необхідно розуміти, що потрібно знайти. Раз потрібно знайти середню виручку, то робимо висновок, що необхідно знайти середнє арифметичне. Але до цього учні мали справу безпосередньо з рядом даних. У даній ситуації ми маємо, що сума виручки за 31 день склала 71796000 рублів. Тоді ми можемо порахувати середнє арифметичне (71796000: 31) = 2316000, це і буде середня виручка за добу.
Середнє арифметичне ряду, що складається з десяти чисел, дорівнює 15. До цього ряду приписали число 37. Чому дорівнює середнє арифметичне нового ряду чисел?
Так як середнє арифметичне низки чисел дорівнює 15, а число його членів дорівнює 10, то сума членів дорівнює 15 ∙ 10, тобто 150. Після приписування числа 37 сума стала рівно 150 +37, тобто 187, а число членів ряду виявилося рівним 11. значить, середнє арифметичне нового ряду одно 187: 11, тобто одно 17.
Учні повинні вміти обчислювати статистичні характеристики за даними, наведеними в таблиці.
При вивченні якості продукції випущеної цехом, визначали кількість бракованих деталей у кожному з 50 довільним чином вибраних ящиків з однаковим числом деталей. Результати перевірки записали у вигляді таблиці:
| Число бракованих деталей | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| Число ящиків | 8 | 22 | 13 | 5 | 2 |
Спочатку випишемо упорядкований ряд даних про кількість бракованих деталей у ящиках. З таблиці ми обчислюємо, що наш ряд містить 8 нулів, 22 одиниці і т.д.
8 22 13 5
Таким чином, щоб обчислити середнє арифметичне, необхідно, обчислити суму всіх його членів, а кількість усіх членів ряду відомо з умови задачі (50 ящиків). Сума всіх членів буде дорівнює 0 * 8 +1 * 22 +2 * 13 +3 * 5 +4 * 2 = 71, а кількість усіх членів буде 50, тоді середнє арифметичне буде 71:50 = 1,42, тобто частіше зустрічаються ящики, в яких може бути одна бракована деталь. Про це ж говорить нам і мода, яка дорівнює 1.
Щоб обчислити розмах, необхідно знати найбільше і найменше значення, тобто яке найбільше і найменше число бракованих деталей може попастися в ящику, з таблиці ми бачимо, що це 0 і 4. тоді розмах дорівнює 4.
Мода теж дуже легко вираховується за таблицею, оскільки відразу видно, що найбільше число ящиків з одного бракованої деталлю.
Не менш важливим є і вміння обчислювати статистичні характеристики за даними представленими в діаграмі.
На діаграмі представлені дані про кількість вболівальників, які відвідали футбольні матчі на стадіоні «Динамо» за останній місяць. Знайдіть розмах відвідуваності і середню відвідуваність матчу, округливши її до сотень.
По діаграмі ми можемо відразу обчислити найбільше і найменше значення і знайти розмах. Середня відвідуваність для даного випадку це середнє арифметичне низки цих даних.
До 7 класу учні вже повинні мати навички систематичного перебору і бути знайомі з основними методами підрахунку можливих варіантів. У 7 класі продовжуємо вирішувати задачі на підрахунок можливих варіантів різними способами, а також вводимо поняття перестановки.
Раніше учні вже стикалися з перестановками, коли підраховували скількома способами можна впорядкувати кілька (2,3 або 4) елементів, але саме поняття перестановки ще не вводилося.
На даний момент ми вже знаємо, кількість перестановок для 2, 3 та 4-ох елементних множин.
У турнірі беруть участь чотири людини. Скількома способами можуть бути розподілені місця між ними?
Вирішимо цю задачу, використовуючи правило множення. Перше місце може зайняти будь-який із чотирьох учасників. При цьому друге місце може зайняти будь-який з трьох, що залишилися, третє - будь-який з двох, що залишилися, а на четвертому місці залишається останній учасник. Значить, місця між учасниками можуть бути розподілені 4 * 3 * 2 * 1 = 24 способами.
Ми шукали, скільки різних упорядкованих наборів ми можемо скласти, маючи деяке число елементів, кожен з таких впорядкованих наборів, є перестановка. У розглянутому прикладі ми фактично знайшли число перестановок для чотирьох елементів.
А що якщо множина складається не з чотирьох, а наприклад, з десяти елементів? Тоді всього буде 10 * 9 * 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 3628880 перестановок. Тобто твір перших 10 натуральних чисел. Але для ще більшої кількості елементів вже буде складно підрахувати число перестановок. У математиці є спеціальне позначення для короткої запису твору кількох перших натуральних чисел. Твір, наприклад, перших десяти натуральних чисел позначають 10! - І читається як «десять факторіал». 0! = 1 за визначенням.
Міркування, використані у прикладі, показують, що число перестановок для безлічі з 4 елементів дорівнює 4!, Точно також для безлічі, наприклад, з 10 елементів число перестановок дорівнює 10!, І взагалі: число перестановок для множин з n елементів одно п!.
Скількома способами можна скласти маршрут подорожі, що проходить через 7 міст.
У нас є 7 міст і потрібно скласти маршрут по цих містах, тобто фактично, нам потрібно розглянути всі перестановки цих семи міст. Ми вже знаємо формулу, тому отримуємо 7!.
Потрібно дати декілька вправ на обчислення виразів з факторіалом, щоб учні краще оволоділи навичками роботи з ними. Чи вірно, що:
а) 10! = 10 * 9! б) 10! = 2! * 5! в) 12! / 11! = 12?
2) знайдіть значення виразу 16! : 14! * 3!
У деяких завданнях на підрахунок числа перестановок накладаються додаткові умови, і для вирішення задачі крім підрахунку числа перестановок необхідно провести інші дії.
Скільки різних чотиризначних чисел, в яких цифри не повторюються, можна скласти з цифр 0, 2, 4, 6?
Число всіх можливих перестановок цифр 0, 2, 4, 6 буде 4!, Але потрібно звернути увагу учнів на 0 і з цього числа перестановок потрібно виключити ті числа, які починаються з 0. Це всілякі перестановки цифр 2, 4, 6, їхня кількість дорівнює 3!. Таким чином, число шуканих чисел буде дорівнює 4! -3!.
Є 9 різних книг, чотири з яких - підручники. Скількома способами можна розставити ці книги на полиці так, щоб всі підручники стояли поруч?
Спочатку розглянемо всі підручники як одну книгу. Тоді на полиці треба розставити не 9, а 6 книг. Це можна зробити 6! способами. У кожній з отриманих комбінацій можна виконати 4! перестановок підручників. Значить, дані число способів розташування книг на полиці дорівнює добутку 6! * 4!
У теорії ймовірностей знову звертаємося до експериментів. Можна використовувати результати експериментів проведених раніше, і провести нові досліди. Результати проведених експериментів будуть наочніше, якщо за даними таблиці залежність частоти появи результату «вістря вниз» від кількості експериментів представити графічно. Вісь абсцис - число експериментів, вісь ординат - частота появи результату «вістря вниз».
Знаючи відносну ймовірність події (частотну) можна прогнозувати частоту його появи в майбутньому.
Демографи стверджують, що ймовірність народження близнюків приблизно дорівнює 0,012. У скількох випадках з 10 000 народжень можна очікувати появи близнюків?
Ми знаємо частоту події «народиться близнюк» і знаємо кількість всіх результатів, тоді користуючись формулою, можемо обчислити кількість таких випадків з 10 000. 10 000 * 0,012 = 120. Тобто ми можемо припустити, що з 10 000 народжень, в 120 випадках народяться близнята. Хоча це зовсім не обов'язково так.
За літо на Чорноморському узбережжі було 67 сонячних днів. Яка частота сонячних днів на узбережжі за літо? Частота похмурих днів?
Ми знаємо, скільки разів відбувалися події «сонячний день» і «похмурий день», щоб обчислити їх частоту необхідно знати кількість всіх літніх днів. Але ми без проблем можемо це зробити, тому що точно знаємо, скільки днів у червні, липні і серпні разом узятих, 92 дні.
У шкільній лотереї розповсюдили 400 квитків, з яких виграшними є 50.
а) Яка ймовірність виграшу при купівлі одного квитка?
б) Скільки слід придбати квитків, щоб ймовірність того, що хоча б один білет виграшний, була б дорівнює 100%?
§ 4. Методика реалізації стохастичної лінії в 8 класі.
Основні завдання:
· За статистичними даними, наведеними в таблиці необхідно вміти знаходити основні статистичні характеристики.
· Ознайомити з ще однією статистичною характеристикою - медіаною ряду, формування умінь з її знаходженню
· Розгляд рівноймовірно подій, і введення класичного визначення ймовірності.
· Подання про геометричній ймовірності
У 7 класі ми вже розглядали приклади, в яких основні статистичні характеристики знаходили за таблицями.
Розглянемо таблицю № 1, в якій містяться оцінки, отримані за останню контрольну роботу учнями 8 класу.
Основні завдання:
· За статистичними даними, наведеними в таблиці необхідно вміти знаходити основні статистичні характеристики.
· Ознайомити з ще однією статистичною характеристикою - медіаною ряду, формування умінь з її знаходженню
· Розгляд рівноймовірно подій, і введення класичного визначення ймовірності.
· Подання про геометричній ймовірності
У 7 класі ми вже розглядали приклади, в яких основні статистичні характеристики знаходили за таблицями.
Розглянемо таблицю № 1, в якій містяться оцінки, отримані за останню контрольну роботу учнями 8 класу.
| № | Прізвище | Оцінка | № | Прізвище | оцінка | |
| 1 | Алексєєв | 4 | 8 | Коковіна | 2 | |
| 2 | Антонова | 5 | 9 | Леонтьєв | 3 | |
| 3 | Борисов | 3 | 10 | Петрова | 3 | |
| 4 | Владимиров | 4 | 11 | Миколаїв | 3 | |
| 5 | Григор'єва | 2 | 12 | Сергєєв | 5 | |
| 6 | Іванова | 4 | 13 | Тарасова | 4 | |
| 7 | Ільїн | 4 | 14 | Яковлєв | 5 |
По даній таблиці обчислення статистичних характеристик. Дана таблиця дозволяє нам знайти деякі статистичні характеристики, але для їх знаходження є більш зручний спосіб - складання таблиці частот.
Тобто потрібно підрахувати, скільки разів зустрічається кожна оцінка в нашій таблиці.
Таким чином, тепер буде легше обчислити статистичні характеристики. Наприклад, для того щоб обчислити середнє арифметичне не потрібно складати всі числа з шпальти «оцінка», а за отриманою таблиці частот потрібно кожну оцінку помножити на її частоту і скласти всі отримані твори. Також відразу видно, що модою буде оцінка «4», так як вона зустрічається частіше за інших.
У 8 класі вводиться нова статистична характеристика - медіана. Введемо це поняття на прикладі: у таблиці № 1 показано витрати електроенергії в січні мешканцями дев'яти квартир.
Таблиця № 1.
Складемо з отриманих даних упорядкований ряд:
64, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.
У ньому дев'ять чисел. У середині ряду розташоване число 78: ліворуч від нього записані чотири числа і справа теж чотири. Кажуть, що число 78 є медіаною.
Нехай до даних про витрату електроенергії додалися дані для десятої квартири: 10 квартира - 83 кВт / ч.
Отримаємо новий упорядкований ряд даних:
64, 72, 75, 78, 82, 83, 85, 91, 93. Цей ряд складається з парного числа цифр і має два числа розташованих в середині - 78 і 82, тоді медіаною цього ряду буде середнє арифметичне цих двох чисел - (78 +82): 2 = 80
Таким чином, медіаною ряду, що складається з непарної кількості чисел, називається число даного ряду, яке виявиться посередині, якщо його впорядкувати. Медіаною ряду, що складається з парного кількості чисел, називається середнє арифметичне двох що стоять посередині чисел цього ряду.
У таблиці наведені витрати студента за 4 дні:
Визначити яка статистична характеристика знаходиться в кожному завданні:
Тобто потрібно підрахувати, скільки разів зустрічається кожна оцінка в нашій таблиці.
| Оцінка | Частота | Оцінка | Частота | |
| «2» | 2 | «4» | 5 | |
| «3» | 4 | «5» | 3 |
У 8 класі вводиться нова статистична характеристика - медіана. Введемо це поняття на прикладі: у таблиці № 1 показано витрати електроенергії в січні мешканцями дев'яти квартир.
Таблиця № 1.
| Номер квартири | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Витрата електроенергії в кВт / ч. | 85 | 64 | 78 | 93 | 72 | 91 | 72 | 75 | 82 |
64, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.
У ньому дев'ять чисел. У середині ряду розташоване число 78: ліворуч від нього записані чотири числа і справа теж чотири. Кажуть, що число 78 є медіаною.
Нехай до даних про витрату електроенергії додалися дані для десятої квартири: 10 квартира - 83 кВт / ч.
Отримаємо новий упорядкований ряд даних:
64, 72, 75, 78, 82, 83, 85, 91, 93. Цей ряд складається з парного числа цифр і має два числа розташованих в середині - 78 і 82, тоді медіаною цього ряду буде середнє арифметичне цих двох чисел - (78 +82): 2 = 80
Таким чином, медіаною ряду, що складається з непарної кількості чисел, називається число даного ряду, яке виявиться посередині, якщо його впорядкувати. Медіаною ряду, що складається з парного кількості чисел, називається середнє арифметичне двох що стоять посередині чисел цього ряду.
У таблиці наведені витрати студента за 4 дні:
| День | Понеділок | Вівторок | Середа | Четвер |
| Витрати | 18 | 25 | 24 | 25 |
а) 18 +25 +24 +25 = 92;
92:4 = 23;
___ = 23 р.
б) 18, 24, 25, 25;
(24 +25): 2 = 24,5;
___ = 24,50.
в) 18, 25, 24, 25;
___ = 25 руб.
г) 25-18 = 7;
___ = 7 р.
92:4 = 23;
___ = 23 р.
б) 18, 24, 25, 25;
(24 +25): 2 = 24,5;
___ = 24,50.
в) 18, 25, 24, 25;
___ = 25 руб.
г) 25-18 = 7;
___ = 7 р.
Розглядаємо завдання, в яких потрібно знайти різні статистичні дані (мода, розмах, середнє арифметичне). У тому числі і з використанням діаграм.
Стовпчаста діаграма № 1, показує кількість книг, прочитаних кожним із хлопців за літні канікули. Дайте відповідь на питання:
а) Хто з хлопців прочитав найбільше книжок?
б) знайдіть розмах цих даних.
в) Хто за літні канікули не прочитав жодної книги?
г) Знайдіть середнє арифметичне цього ряду даних.
д) Знайдіть медіану цього ряду даних.
У попередніх класах ми розглянули, як можна оцінювати вірогідність, виходячи їх статистичних даних. Така ймовірність наближено дорівнює частоті настання цікавить нас при проведенні великої кількості однакових випадкових експериментів. Але частота дає лише наближене значення ймовірності. І крім того, не завжди реально здійснити таку серію експериментів.
Існують і інші способи обчислення ймовірностей. Якщо всі результати випадкового експерименту різновірогідні, тоді вірогідності кожного такого результату можна підрахувати, не проводячи експериментів. Прикладом є підкидання монети. Цей експеримент має два результати - «орел» і «решка», і вони рівноймовірні. Тоді можна сказати, що ймовірність кожного з них дорівнює Ѕ, майже такий же результат отримано і при проведенні експериментів. Аналогічно для «правильного» кубика, всі шість випадків рівноможливими, тоді ймовірність кожного з них дорівнює 1 / 6.
Яка ймовірність того, що при киданні правильного кубика випаде парне число очок?
Ми знаємо, що при киданні кубика можливі 6 рівноймовірно результатів. При цьому тільки три з них призводять до настання події «випаде парне число очок». Тому ймовірність такої події дорівнює 3 / 6 = 1 / 2.
Виходячи настання події, для якого обчислюємо ймовірність, будемо називати сприятливими. І дамо таке визначення ймовірності:
Ймовірністю Р настання випадкової події А називається відношення m / n, де п - число всіх можливих результатів експерименту, а m - число всіх сприятливих результатів: Р (А) = т / п.
Це класичне визначення ймовірності.
З 25 екзаменаційних білетів по геометрії учень встиг підготувати 11 перших і 8 останніх квитків. Яка ймовірність того, що на екзамені йому дістанеться квиток, який він не підготував?
Загальне число равновозможних наслідків при виборі квитків на іспиті дорівнює 25. Нехай А - подія «учню дістався квиток, до якого він не готовий». Число таких випадків дорівнює 25 - (11 +8) = 6. значить Р (А) = 6 / 25 = 0,24.
Також розглянемо завдання, в яких для підрахунку числа сприятливих чи всіх результатів необхідно скористатися комбінаторними формулами.
На тримісну лавку довільним чином сідають двоє чоловіків і жінка. Яка ймовірність того, що чоловіки опиняться поруч?
Кількість всіх можливих результатів - це число перестановок трьох елементів, а воно дорівнює 3! = 6. Нехай А - подія «чоловіки виявилися поруч», кількість сприятливих результатів для цієї події дорівнює чотирьом (коли обидва сидять з одного краю - 2 варіанти і аналогічно для іншого теж два варіанти). Таким чином Р (А) = 4 / 6 = 2 / 3.
Крім статистичного і класичного визначень ймовірності існує ще геометрична ймовірність. Розглянемо наступний приклад. На квадратному столі виділено чорний квадратик. Як визначити ймовірність того, що фішка потрапить у чорний квадратик, якщо її кинути на стіл навмання.
Ця ймовірність дорівнює відношенню площі чорного квадрата до площі поверхні столу. Якщо, наприклад, площа столу дорівнює 0,6 м І, а площа чорного квадрата - 0,04 м І, то Р = 0,04 / 0,6 = 1 / 15.
Стрілок, не цілячись, стріляє в трикутну мішень (рис.1) і потрапляє.
Яка ймовірність того, що він потрапить в «трійку»? «Двійку»? «Одиницю»?
Візьмемо площа одного трикутника за 1. вони всі рівні між собою, тому площу всього великого трикутника = 16. Імовірність того, що він потрапить в «3» дорівнює 1 / 16. вірогідність попадання в «2», буде дорівнює 6 / 16 (загальна площа трикутників з «2» буде дорівнює 6), і ймовірність попадання в «1» дорівнює 9 / 16.
Стовпчаста діаграма № 1, показує кількість книг, прочитаних кожним із хлопців за літні канікули. Дайте відповідь на питання:
а) Хто з хлопців прочитав найбільше книжок?
б) знайдіть розмах цих даних.
в) Хто за літні канікули не прочитав жодної книги?
г) Знайдіть середнє арифметичне цього ряду даних.
д) Знайдіть медіану цього ряду даних.
У попередніх класах ми розглянули, як можна оцінювати вірогідність, виходячи їх статистичних даних. Така ймовірність наближено дорівнює частоті настання цікавить нас при проведенні великої кількості однакових випадкових експериментів. Але частота дає лише наближене значення ймовірності. І крім того, не завжди реально здійснити таку серію експериментів.
Існують і інші способи обчислення ймовірностей. Якщо всі результати випадкового експерименту різновірогідні, тоді вірогідності кожного такого результату можна підрахувати, не проводячи експериментів. Прикладом є підкидання монети. Цей експеримент має два результати - «орел» і «решка», і вони рівноймовірні. Тоді можна сказати, що ймовірність кожного з них дорівнює Ѕ, майже такий же результат отримано і при проведенні експериментів. Аналогічно для «правильного» кубика, всі шість випадків рівноможливими, тоді ймовірність кожного з них дорівнює 1 / 6.
Яка ймовірність того, що при киданні правильного кубика випаде парне число очок?
Ми знаємо, що при киданні кубика можливі 6 рівноймовірно результатів. При цьому тільки три з них призводять до настання події «випаде парне число очок». Тому ймовірність такої події дорівнює 3 / 6 = 1 / 2.
Виходячи настання події, для якого обчислюємо ймовірність, будемо називати сприятливими. І дамо таке визначення ймовірності:
Ймовірністю Р настання випадкової події А називається відношення m / n, де п - число всіх можливих результатів експерименту, а m - число всіх сприятливих результатів: Р (А) = т / п.
Це класичне визначення ймовірності.
З 25 екзаменаційних білетів по геометрії учень встиг підготувати 11 перших і 8 останніх квитків. Яка ймовірність того, що на екзамені йому дістанеться квиток, який він не підготував?
Загальне число равновозможних наслідків при виборі квитків на іспиті дорівнює 25. Нехай А - подія «учню дістався квиток, до якого він не готовий». Число таких випадків дорівнює 25 - (11 +8) = 6. значить Р (А) = 6 / 25 = 0,24.
Також розглянемо завдання, в яких для підрахунку числа сприятливих чи всіх результатів необхідно скористатися комбінаторними формулами.
На тримісну лавку довільним чином сідають двоє чоловіків і жінка. Яка ймовірність того, що чоловіки опиняться поруч?
Кількість всіх можливих результатів - це число перестановок трьох елементів, а воно дорівнює 3! = 6. Нехай А - подія «чоловіки виявилися поруч», кількість сприятливих результатів для цієї події дорівнює чотирьом (коли обидва сидять з одного краю - 2 варіанти і аналогічно для іншого теж два варіанти). Таким чином Р (А) = 4 / 6 = 2 / 3.
Крім статистичного і класичного визначень ймовірності існує ще геометрична ймовірність. Розглянемо наступний приклад. На квадратному столі виділено чорний квадратик. Як визначити ймовірність того, що фішка потрапить у чорний квадратик, якщо її кинути на стіл навмання.
Ця ймовірність дорівнює відношенню площі чорного квадрата до площі поверхні столу. Якщо, наприклад, площа столу дорівнює 0,6 м І, а площа чорного квадрата - 0,04 м І, то Р = 0,04 / 0,6 = 1 / 15.
Стрілок, не цілячись, стріляє в трикутну мішень (рис.1) і потрапляє.
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
3 |
Рис.1 |
Візьмемо площа одного трикутника за 1. вони всі рівні між собою, тому площу всього великого трикутника = 16. Імовірність того, що він потрапить в «3» дорівнює 1 / 16. вірогідність попадання в «2», буде дорівнює 6 / 16 (загальна площа трикутників з «2» буде дорівнює 6), і ймовірність попадання в «1» дорівнює 9 / 16.
§ 5 Методика реалізації стохастичної лінії в 9 класі.
Основні завдання:
· На основі усіх раніше одержаних знань показати їх застосування для статистичного дослідження
· Ознайомити з такими поняттями як генеральна сукупність, репрезентативна вибірка, вибіркове обстеження. Інтервальний ряд.
· Ознайомити з новим видом графічного представлення результатів статистичного дослідження - полігонами і гістограмами.
У 9 класі розглядаються статистичні дослідження, на прикладах, близьких життєвому досвіду учнів. Це - «Дослідження якості знань школярів», «Чи зручно розташована школа?» І «Куди піти працювати?».
Розглянемо дослідження якості знань школярів, на прикладі вивчення математичної підготовки школярів. Припустимо, що в одному з регіонів вирішили з'ясувати рівень знань дев'ятикласників з математики і склали контрольну роботу з 6 завдань. Досить складно організувати у всіх школах регіону одночасне проведення, перевірку та обробку отриманих результатів. Але, як стверджує статистика, для отримання цілком достовірної інформації достатньо провести вибіркове обстеження, тобто перевірити лише частина школярів.
Всі дев'ятикласники регіону будуть представляти собою генеральну сукупність, про яку будемо судити за репрезентативною (представницької) вибірці. Зазвичай обмежуються обстеженням 5-10% всієї досліджуваної сукупності, при цьому здійснюється випадковий відбір, забезпечуючи однакову ймовірність попадання у вибірку будь-якого об'єкта генеральної сукупності.
Розглянемо можливі результати такого вибіркового обстеження по деякому місту регіону. Нехай у місті проживають 710 дев'ятикласників, з яких випадковим чином було вибрано 50. проти кожного прізвища виставили кількість вірно вирішених завдань і отримали такий ряд:
4; 2; 0; 6; 2, 3, 4, 3, 3, 0, 1, 5, 2, 6, 4, 3, 3, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 6, 2; 2, 4, 3, 3, 6, 4, 2, 0, 3, 3, 5, 2, 1, 4, 4, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 1, 6, 2, 2.
На підставі цього ряду важко зробити якісь певні висновки, і щоб зручніше було аналізувати інформацію, в подібних випадках числові дані ранжирують, розташовуючи їх у порядку зростання. У результаті ранжування ряд прийме такий вигляд:
0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3;
4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6.
Ми бачимо, що ряд розбився на 7 груп. Кожна група представляє певний результат експерименту: не вирішено ні одного завдання, вирішена одне завдання і т.д. З цього ряду ми можемо підрахувати частоту для кожного результату експерименту. Наприклад, частота появи події «дев'ятикласник не вирішив жодної завдання» дорівнює 3. Відносна частота дорівнює відношенню його частоти до обсягу вибірки, тобто 3 / 50, або 6%.
Для наочності, розглянемо табличне і графічне представлення результатів.
Побудуємо діаграму:
Крім діаграм для графічного представлення результатів використовують так звані полігони. Для їх побудови в системі координат відзначають точки, абсциси яких - результати випадкового експерименту, а ординати - відповідні їм частоти. Для нашого випадку полігон буде виглядати наступним чином:
Так як ми вважаємо, що вибірка була репрезентативною, то на підставі отриманих результатів можна з достатньою впевненістю судити про рівень знань всіх дев'ятикласників міста.
Наприклад, у вибірці 10% школярів вирішили всі завдання. Значить можна очікувати, що і з 710 учнів приблизно 10% впораються з усіма шістьма завданнями. Це означає, що близько 70 дев'ятикласників міста володіють високим рівнем математичної підготовки.
Розглянемо, які ще висновки ми можемо зробити на основі отриманих даних. Вважаємо, що школяр, який вирішив не менше двох завдань, досяг обов'язкового рівня знань з математики. Судячи по вибірці таких 12 +15 +8 +3 +5 = 43 людини, що становить 86% від загального обсягу. Тобто ми можемо припускати, що 86% дев'ятикласників міста мають мінімально необхідний рівень знань.
Також ми можемо знайти основні статистичні характеристики: моду - найбільш часто зустрічається результат (у нашому прикладі це результат «вирішені 3 задачі»), середнє арифметичне також дорівнює 3, тобто в середньому дев'ятикласник вирішує 3 завдання.
Чим же важливі подібні дослідження? Наприклад, міське управління освітою можуть цікавити середні результати по школах, відсоток учнів, які не справляються з програмою. Вищі навчальні заклади напевно зацікавить кількість учнів з високим рівнем математичної підготовки.
Перевага обстеження за репрезентативною вибіркою, в тому, що не завжди вигідно проводити обстеження всієї генеральної сукупності, так як часто це буває просто безглуздо. Наприклад, при перевірці якості продукції, перевіряючи пропечений чи хліб, придатні чи консерви, абсолютно безглуздо перевіряти всю продукцію, так як тоді доведеться розкрити, а фактично зіпсувати саму продукцію.
Розглядаючи статистичне дослідження питання «Зручна чи розташована школа?», Стикаємося з тим, що маємо багато різних значень, тому ранжирування не дозволить нам виявити характерні риси ряду даних. У цьому випадку будують інтервальні ряди, при побудові яких можна по-різному розбивати їх на проміжки. На основі отриманих інтервальних рядів будуються гістограми.
Якщо дозволяє час можна розглянути питання «Куди піти працювати?», В процесі розгляду якого вводяться такі поняття, як вибіркова дисперсія і середнє квадратичне відхилення.
Основні завдання:
· На основі усіх раніше одержаних знань показати їх застосування для статистичного дослідження
· Ознайомити з такими поняттями як генеральна сукупність, репрезентативна вибірка, вибіркове обстеження. Інтервальний ряд.
· Ознайомити з новим видом графічного представлення результатів статистичного дослідження - полігонами і гістограмами.
У 9 класі розглядаються статистичні дослідження, на прикладах, близьких життєвому досвіду учнів. Це - «Дослідження якості знань школярів», «Чи зручно розташована школа?» І «Куди піти працювати?».
Розглянемо дослідження якості знань школярів, на прикладі вивчення математичної підготовки школярів. Припустимо, що в одному з регіонів вирішили з'ясувати рівень знань дев'ятикласників з математики і склали контрольну роботу з 6 завдань. Досить складно організувати у всіх школах регіону одночасне проведення, перевірку та обробку отриманих результатів. Але, як стверджує статистика, для отримання цілком достовірної інформації достатньо провести вибіркове обстеження, тобто перевірити лише частина школярів.
Всі дев'ятикласники регіону будуть представляти собою генеральну сукупність, про яку будемо судити за репрезентативною (представницької) вибірці. Зазвичай обмежуються обстеженням 5-10% всієї досліджуваної сукупності, при цьому здійснюється випадковий відбір, забезпечуючи однакову ймовірність попадання у вибірку будь-якого об'єкта генеральної сукупності.
Розглянемо можливі результати такого вибіркового обстеження по деякому місту регіону. Нехай у місті проживають 710 дев'ятикласників, з яких випадковим чином було вибрано 50. проти кожного прізвища виставили кількість вірно вирішених завдань і отримали такий ряд:
4; 2; 0; 6; 2, 3, 4, 3, 3, 0, 1, 5, 2, 6, 4, 3, 3, 2, 3, 1, 3, 3, 2, 6, 2; 2, 4, 3, 3, 6, 4, 2, 0, 3, 3, 5, 2, 1, 4, 4, 3, 4, 5, 3, 2, 3, 1, 6, 2, 2.
На підставі цього ряду важко зробити якісь певні висновки, і щоб зручніше було аналізувати інформацію, в подібних випадках числові дані ранжирують, розташовуючи їх у порядку зростання. У результаті ранжування ряд прийме такий вигляд:
0; 0; 0; 1; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3;
4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6.
Ми бачимо, що ряд розбився на 7 груп. Кожна група представляє певний результат експерименту: не вирішено ні одного завдання, вирішена одне завдання і т.д. З цього ряду ми можемо підрахувати частоту для кожного результату експерименту. Наприклад, частота появи події «дев'ятикласник не вирішив жодної завдання» дорівнює 3. Відносна частота дорівнює відношенню його частоти до обсягу вибірки, тобто 3 / 50, або 6%.
Для наочності, розглянемо табличне і графічне представлення результатів.
| Число вірно вирішених завдань | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Частота | 3 | 4 | 12 | 15 | 8 | 3 | 5 |
| Відносна частота (у%) | 6 | 8 | 24 | 30 | 16 | 6 | 10 |
Крім діаграм для графічного представлення результатів використовують так звані полігони. Для їх побудови в системі координат відзначають точки, абсциси яких - результати випадкового експерименту, а ординати - відповідні їм частоти. Для нашого випадку полігон буде виглядати наступним чином:
Так як ми вважаємо, що вибірка була репрезентативною, то на підставі отриманих результатів можна з достатньою впевненістю судити про рівень знань всіх дев'ятикласників міста.
Наприклад, у вибірці 10% школярів вирішили всі завдання. Значить можна очікувати, що і з 710 учнів приблизно 10% впораються з усіма шістьма завданнями. Це означає, що близько 70 дев'ятикласників міста володіють високим рівнем математичної підготовки.
Розглянемо, які ще висновки ми можемо зробити на основі отриманих даних. Вважаємо, що школяр, який вирішив не менше двох завдань, досяг обов'язкового рівня знань з математики. Судячи по вибірці таких 12 +15 +8 +3 +5 = 43 людини, що становить 86% від загального обсягу. Тобто ми можемо припускати, що 86% дев'ятикласників міста мають мінімально необхідний рівень знань.
Також ми можемо знайти основні статистичні характеристики: моду - найбільш часто зустрічається результат (у нашому прикладі це результат «вирішені 3 задачі»), середнє арифметичне також дорівнює 3, тобто в середньому дев'ятикласник вирішує 3 завдання.
Чим же важливі подібні дослідження? Наприклад, міське управління освітою можуть цікавити середні результати по школах, відсоток учнів, які не справляються з програмою. Вищі навчальні заклади напевно зацікавить кількість учнів з високим рівнем математичної підготовки.
Перевага обстеження за репрезентативною вибіркою, в тому, що не завжди вигідно проводити обстеження всієї генеральної сукупності, так як часто це буває просто безглуздо. Наприклад, при перевірці якості продукції, перевіряючи пропечений чи хліб, придатні чи консерви, абсолютно безглуздо перевіряти всю продукцію, так як тоді доведеться розкрити, а фактично зіпсувати саму продукцію.
Розглядаючи статистичне дослідження питання «Зручна чи розташована школа?», Стикаємося з тим, що маємо багато різних значень, тому ранжирування не дозволить нам виявити характерні риси ряду даних. У цьому випадку будують інтервальні ряди, при побудові яких можна по-різному розбивати їх на проміжки. На основі отриманих інтервальних рядів будуються гістограми.
Якщо дозволяє час можна розглянути питання «Куди піти працювати?», В процесі розгляду якого вводяться такі поняття, як вибіркова дисперсія і середнє квадратичне відхилення.
Висновок.
У даній дипломній роботі була зроблена спроба проаналізувати можливість реалізації стохастичної лінії в основній школі. Була проаналізована різна навчально-методична література з цієї теми і на основі цього аналізу зроблені конкретні висновки, з короткими методичними рекомендаціями.
На основі цих висновків розроблено методику реалізації стохастичної лінії в основній школі по кожному класу, в кожному з яких розглядається ведення всіх напрямків.
Дана методична розробка лише один з варіантів реалізації стохастичної лінії в курсі основної школи. По даній темі зараз активно ведеться робота по всіх напрямках, тому що на даний момент залишилося ще не мало невирішених проблем пов'язаних з реалізацією цієї лінії в основній школі.
Дана робота може бути рекомендована для практичного використання студентами-практикантами математичного факультету і вчителям математики. Цей матеріал може використовуватися як на уроках, так і на факультативних і гурткових заняттях.
У даній дипломній роботі була зроблена спроба проаналізувати можливість реалізації стохастичної лінії в основній школі. Була проаналізована різна навчально-методична література з цієї теми і на основі цього аналізу зроблені конкретні висновки, з короткими методичними рекомендаціями.
На основі цих висновків розроблено методику реалізації стохастичної лінії в основній школі по кожному класу, в кожному з яких розглядається ведення всіх напрямків.
Дана методична розробка лише один з варіантів реалізації стохастичної лінії в курсі основної школи. По даній темі зараз активно ведеться робота по всіх напрямках, тому що на даний момент залишилося ще не мало невирішених проблем пов'язаних з реалізацією цієї лінії в основній школі.
Дана робота може бути рекомендована для практичного використання студентами-практикантами математичного факультету і вчителям математики. Цей матеріал може використовуватися як на уроках, так і на факультативних і гурткових заняттях.
Бібліографія.
1. Бродський Я. Про вивчення елементів комбінаторики, ймовірності, статистики у школі / / Математика. - 2004. - № 31.
2. Бунімович Є.А. Ймовірносно-статистична лінія в базовому шкільному курсі математики / / Математика в школі. - 2002. - № 3.
3. Бунімович Е.А., Буличов В.А. Ймовірність та статистика 5-9 кл.: Посібник для загальноосвітніх навчальних закладів. - М.: Дрофа, 2002.
4. Бунімович Е.А., Суворова С.Б. Методичні вказівки до теми «Статистичні дослідження». / Математика в школі .- 2003 .- № 3
5. Глеман М., Варга Т. Імовірність в іграх і розвагах. - М.: Просвещение, 1979.
6. Глотов Н.В., Глотова О.В. Імовірність і статистика в школі: погляд біолога / / Математика в школі. - 2002. - № 4.
7. Гольдфаин І.І. Елементи теорії ймовірностей в сучасному шкільному курсі біології. / / Математика в школі. - 2003. - № 3.
8. Вентцель Є.С. Теорія ймовірностей. -М., 1964
9. Зубарєва І.І., Мордкович А.Г. Математика. 5 кл.: Підручник для загаль. Установ. - М.: Мнемозина, 2003.
10. Зубарєва І.І., Мордкович А.Г. Математика. 6 кл.: Підручник для загаль. Установ. - М.: Мнемозина, 2003.
11. Вивчення теорії ймовірностей і статистики в шкільному курсі математики. Програма для курсів підвищення кваліфікації вчителів [текст] / Буличов В.А., Бунімович О.О. / / Математика в школі. - 2003 .- № 4.
12. Кордемский Б.А. Математика вивчає випадковості. Посібник для учнів. М., «Просвещение», 1975.
13. Лютікас В.С. Факультативний курс з математики: теорія ймовірностей. Навчальний посібник для 9-11 кл. середовищ. шк .- М.: Просвещение, 1990.
14. Макаричєв Ю.М. Алгебра: елементи статистики і теорії ймовірностей: навчальний посібник для учнів 7-9 класів загальноосвітніх установ / Ю. М. Макаричєв, Н. Г. Міндюк. Під ред. С. А. Теляковського - М.: Просвещение. - 2003.
15. Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г. Вивчаємо елементи статистики. / / Математика в школі. - 2004. - № 5.
16. Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г. Елементи комбінаторики. / / Математика в школі. - 2004. - № 6.
17. Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г. Початкові відомості з теорії ймовірностей у шкільному курсі алгебри. / / Математика в школі. - 2004. - № 7.
18. Математика: Учеб. Для 5 кл. загаль. установ / Г. В. Дорофєєв, І. Г. Шаригін, С. Б. Суворова та ін; Під ред. Г. В. Дорофеєва, І. Г. Шаригіна. - М.: Просвещение, 2000.
19. Математика. 6 клас: Учеб. для загаль. навч. закладів / Г. В. Дорофєєв, І. Г. Шаригін, С. Б. Суворова та ін; Під ред. Г. В. Дорофеєва, І. Г. Шаригіна. - М.: Дрофа, 1997.
20. Математика. Арифметика. Алгебра. Аналіз даних. 7 клас: Учеб. для загаль. навч. закладів / Г. В. Дорофєєв, С. Б. Суворова, Є. А. Бунимович, Л.В. Кузнєцова, С. С. Мінаєва; Під ред. Г. В. Дорофеєва. - М.: Дрофа, 1997.
21. Математика. Алгебра. Опції. Аналіз даних. 8 клас: Учеб. для загаль. навч. закладів / Г. В. Дорофєєв, С. Б. Суворова, Є. А. Бунимович, Л.В. Кузнєцова, С. С. Мінаєва; Під ред. Г. В. Дорофеєва. - М.: Дрофа, 1999.
22. Математика. Алгебра. Опції. Аналіз даних. 9 клас: Учеб. для загаль. навч. закладів / Г. В. Дорофєєв, С. Б. Суворова, Є. А. Бунимович, Л.В. Кузнєцова, С. С. Мінаєва; Під ред. Г. В. Дорофеєва. - М.: Дрофа, 2000.
23. Мордкович А.Г, Семенов П.В. Події. Ймовірності. Статистична обробка даних: додаткові параграфи до курсу алгебри 7-9кл. загаль. Установ. - М.: Мнемозина, 2003.
24. Мостеллер Ф. П'ятдесят цікавих імовірнісних завдань з рішеннями. - М., 1975.
25. Про введення елементів комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей у зміст математичної освіти основної школи / В. А. Болотов / / Математика в школі - 2003. - № 9.
26. Плоцьк А. Імовірність в задачах для школярів: Книга для учнів. - М.: Просвещение, 1996.
27. Рен `ї А. Трилогія про математику. - М.: Світ, 1980
28. Збірник нормативних документів. Математика / укладачі Е. Д. Дніпров, А.Г. Аркадьєв. - М.: Дрофа, 2004.
29. Секей Г. Парадокси в теорії ймовірностей і математичній статистиці. М.: Світ, 1990
30. Селютіна В.Д. Про підготовку вчителів до навчання школярів Стохастике. [Текст] / / Математика в школі. - 2003 .- № 4.
31. Селютіна В.Д. Про формування первинних стохастичних уявлень. [Текст] / / Математика в школі. - 2003. - № 3
32. Студенецька В.М., Фадєєва О.М. Новий посібник з теорії ймовірностей для основної школи. / / Математика в школі. - 2004. - № 7
33. Студенецька В.М., Фадєєва О.М. Статистика і теорія ймовірностей на порозі основної школи. / / Математика в школі. - 2004. - № 6.
34. Тарасов Л.В. Світ, побудований на ймовірності: Кн. Для учнів. - М.: Просвещение, 1984.
35. Ткачова М.В. Аналіз даних в підручнику Н.Я. Виленкина і інших. / / Математика в школі. - 2003. - № 5
36. Ткачова М.В. Елементи статистики і ймовірність: навчальний посібник для учнів 7-9 класів загальноосвітніх установ / М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова. - М.: Просвещение, 2004.
37. Ткачова М.В., Василькова Є.М., Чуваева Т.В Про готовність учнів до вивчення стохастики / / Математика в школі. - 2003. - № 9.
38. Ткачова М.В., Федорова Н.Е. Елементи стохастики в курсі математики VII-IX класів основної школи. [Текст] / / Математика в школі. - 2003 .- № 3
39. Тюрін Ю.М. Теорія ймовірностей та статистика [текст] / Ю. М. Тюрін, О. А. Макаров, І. Р. Висоцький, І. В. Ященко - М. МЦНМО: АТ «Московські підручники», 2004.
40. Федосєєв В.М. Елементи теорії ймовірностей для VII - VIII класів середньої школи / Математика в школі. - 2002. - № 3.
41. Шихова А.П. Навчання комбінаториці та її додатків в середній школі. - Кіров, 1994.
42. Елементи комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей в курсі математики основної школи / укладач В. І. Маркова. - Кіров, 2004.
1. Бродський Я. Про вивчення елементів комбінаторики, ймовірності, статистики у школі / / Математика. - 2004. - № 31.
2. Бунімович Є.А. Ймовірносно-статистична лінія в базовому шкільному курсі математики / / Математика в школі. - 2002. - № 3.
3. Бунімович Е.А., Буличов В.А. Ймовірність та статистика 5-9 кл.: Посібник для загальноосвітніх навчальних закладів. - М.: Дрофа, 2002.
4. Бунімович Е.А., Суворова С.Б. Методичні вказівки до теми «Статистичні дослідження». / Математика в школі .- 2003 .- № 3
5. Глеман М., Варга Т. Імовірність в іграх і розвагах. - М.: Просвещение, 1979.
6. Глотов Н.В., Глотова О.В. Імовірність і статистика в школі: погляд біолога / / Математика в школі. - 2002. - № 4.
7. Гольдфаин І.І. Елементи теорії ймовірностей в сучасному шкільному курсі біології. / / Математика в школі. - 2003. - № 3.
8. Вентцель Є.С. Теорія ймовірностей. -М., 1964
9. Зубарєва І.І., Мордкович А.Г. Математика. 5 кл.: Підручник для загаль. Установ. - М.: Мнемозина, 2003.
10. Зубарєва І.І., Мордкович А.Г. Математика. 6 кл.: Підручник для загаль. Установ. - М.: Мнемозина, 2003.
11. Вивчення теорії ймовірностей і статистики в шкільному курсі математики. Програма для курсів підвищення кваліфікації вчителів [текст] / Буличов В.А., Бунімович О.О. / / Математика в школі. - 2003 .- № 4.
12. Кордемский Б.А. Математика вивчає випадковості. Посібник для учнів. М., «Просвещение», 1975.
13. Лютікас В.С. Факультативний курс з математики: теорія ймовірностей. Навчальний посібник для 9-11 кл. середовищ. шк .- М.: Просвещение, 1990.
14. Макаричєв Ю.М. Алгебра: елементи статистики і теорії ймовірностей: навчальний посібник для учнів 7-9 класів загальноосвітніх установ / Ю. М. Макаричєв, Н. Г. Міндюк. Під ред. С. А. Теляковського - М.: Просвещение. - 2003.
15. Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г. Вивчаємо елементи статистики. / / Математика в школі. - 2004. - № 5.
16. Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г. Елементи комбінаторики. / / Математика в школі. - 2004. - № 6.
17. Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г. Початкові відомості з теорії ймовірностей у шкільному курсі алгебри. / / Математика в школі. - 2004. - № 7.
18. Математика: Учеб. Для 5 кл. загаль. установ / Г. В. Дорофєєв, І. Г. Шаригін, С. Б. Суворова та ін; Під ред. Г. В. Дорофеєва, І. Г. Шаригіна. - М.: Просвещение, 2000.
19. Математика. 6 клас: Учеб. для загаль. навч. закладів / Г. В. Дорофєєв, І. Г. Шаригін, С. Б. Суворова та ін; Під ред. Г. В. Дорофеєва, І. Г. Шаригіна. - М.: Дрофа, 1997.
20. Математика. Арифметика. Алгебра. Аналіз даних. 7 клас: Учеб. для загаль. навч. закладів / Г. В. Дорофєєв, С. Б. Суворова, Є. А. Бунимович, Л.В. Кузнєцова, С. С. Мінаєва; Під ред. Г. В. Дорофеєва. - М.: Дрофа, 1997.
21. Математика. Алгебра. Опції. Аналіз даних. 8 клас: Учеб. для загаль. навч. закладів / Г. В. Дорофєєв, С. Б. Суворова, Є. А. Бунимович, Л.В. Кузнєцова, С. С. Мінаєва; Під ред. Г. В. Дорофеєва. - М.: Дрофа, 1999.
22. Математика. Алгебра. Опції. Аналіз даних. 9 клас: Учеб. для загаль. навч. закладів / Г. В. Дорофєєв, С. Б. Суворова, Є. А. Бунимович, Л.В. Кузнєцова, С. С. Мінаєва; Під ред. Г. В. Дорофеєва. - М.: Дрофа, 2000.
23. Мордкович А.Г, Семенов П.В. Події. Ймовірності. Статистична обробка даних: додаткові параграфи до курсу алгебри 7-9кл. загаль. Установ. - М.: Мнемозина, 2003.
24. Мостеллер Ф. П'ятдесят цікавих імовірнісних завдань з рішеннями. - М., 1975.
25. Про введення елементів комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей у зміст математичної освіти основної школи / В. А. Болотов / / Математика в школі - 2003. - № 9.
26. Плоцьк А. Імовірність в задачах для школярів: Книга для учнів. - М.: Просвещение, 1996.
27. Рен `ї А. Трилогія про математику. - М.: Світ, 1980
28. Збірник нормативних документів. Математика / укладачі Е. Д. Дніпров, А.Г. Аркадьєв. - М.: Дрофа, 2004.
29. Секей Г. Парадокси в теорії ймовірностей і математичній статистиці. М.: Світ, 1990
30. Селютіна В.Д. Про підготовку вчителів до навчання школярів Стохастике. [Текст] / / Математика в школі. - 2003 .- № 4.
31. Селютіна В.Д. Про формування первинних стохастичних уявлень. [Текст] / / Математика в школі. - 2003. - № 3
32. Студенецька В.М., Фадєєва О.М. Новий посібник з теорії ймовірностей для основної школи. / / Математика в школі. - 2004. - № 7
33. Студенецька В.М., Фадєєва О.М. Статистика і теорія ймовірностей на порозі основної школи. / / Математика в школі. - 2004. - № 6.
34. Тарасов Л.В. Світ, побудований на ймовірності: Кн. Для учнів. - М.: Просвещение, 1984.
35. Ткачова М.В. Аналіз даних в підручнику Н.Я. Виленкина і інших. / / Математика в школі. - 2003. - № 5
36. Ткачова М.В. Елементи статистики і ймовірність: навчальний посібник для учнів 7-9 класів загальноосвітніх установ / М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова. - М.: Просвещение, 2004.
37. Ткачова М.В., Василькова Є.М., Чуваева Т.В Про готовність учнів до вивчення стохастики / / Математика в школі. - 2003. - № 9.
38. Ткачова М.В., Федорова Н.Е. Елементи стохастики в курсі математики VII-IX класів основної школи. [Текст] / / Математика в школі. - 2003 .- № 3
39. Тюрін Ю.М. Теорія ймовірностей та статистика [текст] / Ю. М. Тюрін, О. А. Макаров, І. Р. Висоцький, І. В. Ященко - М. МЦНМО: АТ «Московські підручники», 2004.
40. Федосєєв В.М. Елементи теорії ймовірностей для VII - VIII класів середньої школи / Математика в школі. - 2002. - № 3.
41. Шихова А.П. Навчання комбінаториці та її додатків в середній школі. - Кіров, 1994.
42. Елементи комбінаторики, статистики та теорії ймовірностей в курсі математики основної школи / укладач В. І. Маркова. - Кіров, 2004.