Хмільник С.І., к.т.н.
Інститут "Енергомережпроект", Москва
Розглядаються електричні кола з нелінійними перетворювачами. Показується, що в такімх ланцюгах досягається оптимум деякої опуклої функції струмів електричного кола. Далі розглядається задача оперативної корекції режиму енергосистеми і формулюється критерій якості оптимізації режиму по активній потужності. Показується, що цей критерій збігається з вищезазначеною функцією з точністю до позначень. Тим самим завдання оперативної корекції зводиться до розрахунку певної електричного кола або до вирішення завдання опуклого програмування. Вказується метод вирішення цієї задачі
1. Проста електричний ланцюг
Розглянемо електричний ланцюг з джерелами струму, підключеними до вузлів ланцюга, і джерелами напруги, включеним в гілці ланцюга. Така електричний ланцюг описується наступною системою рівнянь:
, (1)
, (2)
де
H - вектор струмів, створюваних джерелами струму;
I - вектор струмів в гілках ланцюга;
E - вектор напруг в гілках ланцюга;
- Вектор вузлових потенціалів;
N - матриця інціденцій з елементами 1,0, -1;
R - діагональна матриця опорів в гілках ланцюга.
У цій системі рівняння (2) описує перший закон Кірхгофа, уравненіe (1) - другий закон Кірхгофа.
Розглянемо функцію
. (3)
Необхідні умови оптимальності цієї функції при обмеженнях виду (2) мають вигляд рівняння (1), де є вектором невизначених множників Лагранжа для умови (2), які з'являються, коли оптимізується функція доповнюється доданком. Далі маємо:
(4)
Звідси випливає, що функція (3), має глобальний мінімум. Отже, мінімізація функції (3) при обмеженні у вигляді ураненій першого закону Кірхгофа (2) призводить до рівнянь другого закону Кірхгофа (1). Отже, розрахунок електричного кола постійного струму еквівалентний пошуку мінімуму функції (3) при обмеженні (2). Іншими словами електричний ланцюг моделює завдання квадратичного програмування.
Денніс в [1] показав, що всі ці висновки справедливі й у тому випадку, коли електричний ланцюг містить діоди і так звані трансформатори постійного струму, які ми далі будемо називати трансформаторами Денніса - ТД.
Діоди описуються нерівностями і рівністю виду
(5)
(6)
. (7)
Необхідні умови оптимуму функції (3) при обмеженнях виду (5) мають вигляд (6, 7).
Трансформатор Денніса ТД містить дві гілки - первинну з струмом і напругою і вторинну зі струмом і напругою. Він описуються рівняннями
(8)
(9)
де h - коефіцієнт трансформації. З цих рівнянь випливає, що
(10)
тобто потужності, віддають первинної та вторинної гілками ТД в електричний ланцюг, у сумі дорівнюють нулю. Необхідні умови оптимуму функції (3) при обмеженнях виду (8) мають вигляд (9).
2. Зворотні перетворювачі
Оборотний перетворювач (ВП) запропонований в [2] і являє собою пристрій, що містить дві гілки - первинну з струмом і напругою і вторинну зі струмом і напругою. У ньому (на відміну від ТД) струми гілок залежать від напружень суміжних гілок наступним чином:
(1)
(2)
де - диференційована функція. Будемо позначати ВП так, як показано на фіг. 2.1.
Зокрема, при, де h - константа (коефіцієнт перетворення), цей перетворювач є лінійним - (ЛОП). У ньому струми гілок залежать від напружень суміжних гілок наступним чином:
(3)
(4)
Звідси випливає, що
(5)
тобто потужності, віддають первинної та вторинної гілками ЛОП в електричний ланцюг, у сумі дорівнюють нулю (також як і в ТД).
Приклад 2.1 .. Конструкція ЛОП представлена на фіг. 2.2. Він складається з двох джерел струму VC-1 і VC-2, керованих напругою: напруга на одному з них є керуючим для іншого
У загальному випадку ОП є нелінійним (НОП).
Приклад 2.2. У [3] розглянуто синусно-косінусний перетворювач СКП, в якому
(6)
(7)
Відомо, що для енергетичних розрахунків можна прийняти
(8)
(9)
У цьому випадку СКП може бути реалізований на суматора і помножувача.
3. Електрична ланцюг, що містить ОП.
Рівняння електричного кола, що містить ВП, враховують той факт, що в деякі гілки ввімкнути первинні або вторинні гілки ВП, а деякі з струмів гілок є одночасно первинними або вторинними струмами ОП [2]. Ці рівняння мають такий вигляд:
(1)
(2)
(3)
(4)
де
- Діагональна матриця, в якій "1" знаходяться в елементах, відповідних гілкам, що складається з первинних ланцюгів ВП,
- Діагональна матриця, в якій "1" знаходяться в елементах, відповідних гілкам, що складається з вторинних ланцюгів ОП.
Розглянемо функцію
(5)
Необхідні умови оптимальності цієї функції при обмеженнях виду (2) та (3) мають вигляд рівнянь (1) і (4), де
є вектором невизначених множників Лагранжа для умови (2), коли оптимізується функція доповнюється доданком,
є вектором невизначених множників Лагранжа для умови (3), коли оптимізується функція доповнюється доданком.
Таким чином, розрахунок даного електричного кола еквівалентний пошуку безумовного оптимуму функції
(6)
Далі маємо:
, 
,,
Звідси випливає, що функція (11) має глобальний мінімум при
. (7)
Це має місце, наприклад, при і, зокрема, для ЛОП. Синусно-косінусний перетворювач СКП, розглянутий у прикладі 2.2, задовольняє співвідношенню (7) при.
Таким чином, при дотриманні умови (7) в електричному ланцюзі досягається глобальний мінімум деякої опуклої функції (6) струмів I, потенціалів і напруг E електричного кола. Всі ці висновки справедливі й у тому випадку, коли вона містить трансформаторами Денніса і діоди. Останнє означає, що математична модель (1-4) електричного кола з ОП може бути доповнена нерівностями виду (1.5-1.7):
(8)
(9)
(10)
де
- Діагональна матриця, в якій "1" знаходяться в елементах, відповідних гілкам, що містить діоди,
- Напруги на діодах
При цьому в електричному ланцюзі, що містить ВП і діоди, досягається мінімум функції (6) при обмеженні (8). Цей мінімум є глобальним при виконанні умови (7)
4. Здвоєна електричний ланцюг
Розглянемо окремий випадок електричного кола з оборотними перетворювачами - т.зв. здвоєну електричний ланцюг. Цей ланцюг складається з двох простих електричних ланцюгів, з'єднаних через ВП таким чином, що первинна гілка кожного ВП включена в першу ланцюг, а вторинна гілка - у другий ланцюг. З (3.1-3.4) слідують рівняння здвоєною електричного кола:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Здвоєна електричний ланцюг моделює наступну задачу опуклого програмування: мінімізується функція
(7)
при обмеженнях (3, 4, 5). Необхідні умови оптимальності цієї функції при даних обмеженнях мають вигляд рівнянь (1, 2, 6), де
є вектором невизначених множників Лагранжа для умов (1) або (2), коли оптимізується функція доповнюється доданком,
є вектором невизначених множників Лагранжа для умови (5), коли оптимізується функція доповнюється доданком.
Приклад 4.1. На фіг. 4.1. наведено приклад здвоєною електричного кола.
5. Оперативна корекція режиму електроенергетичної системи за активної потужності
Завдання необхідна для того, щоб розподілити завдання на генеруються потужності між електростанціями в деякий розрахунковий момент часу [4]. Відомими є виміряні в даний момент часу значення вузлових потужностей і прогнозовані на розрахунковий момент часу потужності споживачів. Розподіл генеруються потужностей має мінімізувати деякий показник якості, який мінімізує
ü вартість генерації,
ü вартість втрат енергії в лініях електропередач,
ü зміни генеруються потужностей,
ü відхилення генеруються потужностей від планових значень (визначених на етапі довгострокової оптимізації),
ü відхилення навантажень від прогнозних значень.
Крім того, розподіл генеруються потужностей має бути таким, щоб потужності перетоків утримуючого в заданих межах, визначених за умовами термічної, статичної та динамічної стійкості.
Розглянемо енергосистему з вузлами і лініями електропередач. Позначимо:
- Актівнаямощность вузла, виміряна в даний момент,
- Активна потужність вузла, що обчислюється для розрахункового моменту,
- Планова (генерується) або прогнозована (навантажувальна) активна потужність вузла,
- Перетікання активної потужності по лінії електропередач, виміряний у даний момент,
- Фаза напруги у вузлі, що обчислюється для розрахункового моменту,
- Різниця фаз напруг на кінцях лінії електропередач, яка обчислюється для розрахункового моменту.
Обчислювані потужності і перетікання пов'язані співвідношенням
, (1)
де - матриця інціденцій, причому в залежності від з'єднання k-вузла з j-лінією електропередач і від напряму перетікання, прийнятого за позитивне.
Відомо, що
(2)
де - постійна (при даних параметрах лінії електропередач і модулях напруг на її кінцях) коефіцієнт. При цьому
, (3)
При великих значеннях величин порушується стійкість режиму. Тому повинні задовольнятися обмеження виду
(4)
Перетоки повинні задовольняти обмеженням виду
(5)
Приклад 5.1. Схема простий енергосистеми наведена на фіг. 5.1 і буде використана нижче для опису математичної моделі.
Оперативна корекція режиму енергетичної системи може бути сформульована як задача мінімізації функції
(6)
за умов (1-5), де - відомі вагові коефіцієнти. У цій функції
ü перший член відображає вимога мінімізації відхилення вузлових потужностей від планових або прогнозних значень,
ü другий член відображає вимога мінімізації відхилення вузлових потужностей від зафіксованих значень, тобто мінімізації зміни генеруються потужностей,
ü третій член відображає вимога мінімізації вартості генерації потужності,
ü четвертий член відображає вимога мінімізації втрат в лініях електропередач.
6. Математична модель оперативної корекції
Математична нелінійна модель оперативної корекції враховує, що
вузлова потужність дорівнює алгебраїчній сумі перетоків по лініях, сполученим з цим вузлом (1),
перетікання залежать від різниці фаз вузлових напруг на кінцях лінії електропередач (2, 3).
Зауважимо, що можна розглянути лінійну модель оперативної корекції [5], де енергосистема представлена рівнянням, що зв'язує вузлові потужності і перетікання коефіцієнтами впливу (вузлових потужностей на перетоки). Ці коффициент зберігають певне значення у вузькому діапазоні режимів. У зв'язку з цим і пропонується модель.
Різні варіанти математичної нелінійної моделі розглядалися в [3, 6, 7]. У даному випадку математична нелінійна модель у цілому складається з рівнянь (5.1-5.6) Для вирішення сформульованої вище задачі скористаємося методом невизначених множників Лагранжа, позначивши їх через для умов (5.1, 5.2, 5.3) відповідно. При цьому завдання перетвориться на завдання мінімізації функції
(1)
при нелінійних обмеженнях (5.4, 5.5), що еквівалентно рішенню системи рівнянь (5.1-5.5) і
(2)
(3)
(4)
(5)
Останні рівняння отримані диференціюванням (1) за відповідно. Об'єднуючи (2) та (3), отримуємо:
(6)
Таким чином, вихідна задача зводиться до розв'язання системи рівнянь (5.1-5.5, 4, 5, 6) відносно невідомих, де відомі.
Важливо відзначити, що для вирішення завдання не потрібно вимірювати фази напруг. Однак, після рішення завдання ці фази стають відомими.
7. Електричне коло, як модель оперативної корекції
Розглянемо здвоєну електричний ланцюг з синусно-косинусних перетворювачами СКП, як модель оперативної корекції в енергосистемі (пор. також з фіг. 4.1 і див. також [3, 6, 7]). Будемо використовувати в ній для позначення струмів, потенціалів, напруг і опорів ті ж символи, які використані для позначення параметрів енергосистеми. Отже,
- Первинний струм СКП,
- Вторинний струм СКП,
- Первинна напруга СКП,
- Вторинна напруга СКП,
- Струми другий (із здвоєних) ланцюга,
- Потенціали першої (зі здвоєних) ланцюга,
- Матриця інціденцій першої та другої ланцюгів,
- Струми джерел струму другий (із здвоєних) ланцюга,
- Опору другий (із здвоєних) ланцюга,
- Опору першої (зі здвоєних) ланцюга,
- Коефіцієнт перетворення СКП,
- Напруги в першій (зі здвоєних) ланцюга.
Приклад 7.1. Моделює електричний ланцюг зручно розглянути для енергосистеми, яка представлена у прикладі 5.1 - див фіг. 7.1, де
MF - модель обмежувача різниці фаз,
ML - модель лінії електропередач,
MG - модель вузла (генеруючого або навантажувального),
Розглянемо окремі блоки моделюючої електричного кола.
Модель СКП з коефіцієнтом перетворення розглянута в прикладі 1.
Модель ML лінії електропередач представлена на фіг. 7.2, де - опір, LT - обмежувач струму. Конструкція обмежувача представлена на фіг. 7.3, де SC1, SC2-джерела струму, d1, d2 - діоди. Цей обмежувач реалізує нерівність (5.5).
Модель MG вузла енергосистеми представлена на фіг. 7.4, де
струм джерела струму SC-1 імітуючи генерується у вузлі потужність, виміряну в даний момент;
струм джерела струму SC-2 імітуючи планове значення генерується у вузлі потужності або прогноз навантаження;
струм в опорі b імітуючи відхилення генерується потужності від поточного значення (як показано вище, воно мінімізується);
струм в опорі a імітуючи завдання на зміну генерується потужності (як показано вище, воно мінімізується); для навантажувального вузла a = 0;
струм, що протікає через MG, імітуючи змінене значення вузловий потужності.
Модель MF обмежувача різниці фаз зображена на фіг. 7.5. Вона являє собою мостову схему, перетворюючу напруга в напругу заданого напрямку. Зі схеми ясно, що напруга не може перевищувати напругу джерела. Тим самим моделюється нерівність (5.4).
Таким чином, розглянута електричний ланцюг моделює завдання оперативної корекції. У цьому ланцюзі мінімізується функція (6.1) при нелінійних обмеженнях (5.4, 5.5), а виконання умови (5.4) забезпечує існування глобального мінімуму цієї функції.
8. Про метод розрахунку
У програмі розраховується описана вище електричний ланцюг постійного струму з нелінійними елементами. Назвемо цей ланцюг базової. Базова електричний ланцюг модифікується таким чином, що вона стає моделлю задачі опуклого програмування без обмежень - безумовного опуклого програмування. Назвемо такий ланцюг безумовною. Вибір величини деякого параметра безумовної електричного кола (названого методичним опором) дозволяє зробити розрахункові параметри (струми в гілках і потенціали) базової і безумовної електричних ланцюгів як завгодно близькими. З іншого боку, розрахунок безумовної електричного кола зводиться до пошуку єдиного мінімуму без обмежень. Для вирішення такого завдання існує швидкодіючий метод градієнтного спуску.
У програмі використаний метод сполученого градієнта [8]. При цьому існує зворотна залежність між точністю і часом рішення. На практиці це означає, що диспетчер може швидко перебирати наближені варіанти оптимізації (варіюючи уставки), а потім більш точно розрахувати обраний варіант.
Список літератури
1. Денніс Дж. Б. Математичне програмування та електричні кола. М.: ІЛ, 1961, 430 с. Dennis Jack B. Mathematical Programming and Electrical Networks, New York, 1959, Pages V1, 186 p.
2. Хмільник С. І. Електричні ланцюги для моделювання задач квадратичного програмування, ж. "Електронне моделювання", 1990, том 12, N4.
3. Хмільник С. І. Пристрій автоматичного регулювання перетоків активної потужності в енергосистемі, А.С. 1275639 (СРСР), опубл. в Б.І. 45/1986.
4. Гончуков В.В., Горнштейн В.М., Крумм Л.А., Кравець М.Г., Руденко Ю.М., Семенов В.А., Совалов С.А., Хмільник С. І., Цвєтков Е . В., Чорна Г.А., Шер І.А. Автоматизація управління енергосистемами. Під редакцією С.А. Совалова. Вид. "Енергія", М. 1979, 430 з ..
5. Хмільник С. І. Моделювання оптимального регулювання активної потужності енергосистем з допомогою електричних ланцюгів, ж. "Електрика", N7, 1990, стор 8-13.
6. Хмільник С. І. Пристрій автоматичного регулювання перетоків активної потужності в енергосистемі, А.С. 1403217 (СРСР), опубл. в Б.І. 22/1988.
7. Хмільник С. І., Рабинович М.А., Жілейкіна В.М. Пристрій автоматичного регулювання перетоків активної потужності в енергосистемі, А.С. 1628131 (СРСР), опубл. в Б.І. 6 / 1989.
8. Зангвілл У.И. Нелінійне програмування. Єдиний підхід. М.: Радянське Радіо, 1973, 312 c. WI Zangwill. Nonlinear Programming a unified approach. Prentice - Hall, Inc., Englewood, Cliffs, WJ, 1969.