Зміст
Введення
I. Імовірність
Основні поняття
1. Завдання, які використовують формулу додавання і множення ймовірностей
1.1 Операції над подіями.
1.2 Імовірність подій
1.3 Основні формули комбінаторики
Теорема: вибір без урахування порядку
1.4 Основні правила обчислення ймовірностей
Рішення задач
Завдання для самостійного рішення:
2. Завдання, які використовують формулу повної ймовірності та формулу Бейеса
2.1 Умовна ймовірність
2.2 Формула повної ймовірності
2.3 Формула Бейеса
Рішення задач.
Завдання для самостійного вирішення
3. Випадкові величини
3.1 Дискретні та неперервні випадкові величини
3.2 Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини
3.3 Біноміальна розподіл
3.4Распределеніе Пуассона
3.5 Математичне сподівання і дисперсія
3.6 Ймовірність влучення в заданий інтервал
Рішення задач
Завдання для самостійного вирішення
II Статистика.
1.Проверка гіпотези про різниці двох середніх значень
2 ПОБУДОВУ лінії регресії для кореляції
III Математичні методи
1 Дерево рішень
2 Ігри
3 Лінійне програмування
Література
В даний час неможливо уявити спорт і фізичну культуру без науки. Правильно організоване фізичне виховання школяра, що сприяє зміцненню його здоров'я, ефективна тренування спортсмена, результатом якої є зростання спортивних рекордів, - це все будується на наукових засадах.
Мета даної роботи - виклад основних методів математичної статистики, теорії ймовірності в доступній для студентів фізичних факультетів. Тобто студентів знають математику в обсязі середньої школи.
Наука - це точне знання, що збирає факти, і в усіх них присутні цифри. При оцінці успішності учнів вчителем, при підрахунку результатів на змаганнях і т.д. при всьому цьому оперують цифрами і в цьому вже є зачатки науки. Ще більш науковою є збір матеріалу, для того щоб виявити якусь закономірність, систему, наприклад, при систематизації спортивних рекордів у бігу, плаванні, ковзанярському спорті, призвело до встановлення загального математичного закону. Підрахунок кількості кілограмів, що піднімаються важкоатлети на тренуваннях, і зіставлення його зі спортивними досягненнями дозволили визначити тренувальне навантаження, яка дає найкращий результат. При аналізі індивідуальної тренувального навантаження елементами досліджуваної сукупності можуть бути окремі значення інтенсивності або обсягу навантаження, зареєстровані у конкретного спортсмена в різні періоди часу. Кожен елемент сукупності може мати поруч ознак, при цьому одні ознаки можуть бути однорідними, а інші можуть змінюватися. Наприклад, елементами сукупності можуть бути спортсмени - представники одного виду спорту, однакової кваліфікації, однакового віку, але різними можуть бути показники росту, ваги, швидкості руху і т.д.
Предметом вивчення як раз і є змінюються ознаки. Значення, яке приймається даною величиною, в кожному випадку залежить від ряду факторів, які зазвичай заздалегідь не відомі. Закономірності властиві подібним величинам, отримали назву випадкових, вивчаються теорією ймовірності та математичної статистики.
Математична статистика встановлює перспективність спортсменів, умови більш сприятливі для тренувань та їх ефективність. Також статистика допомагає зробити об'єктивні і науково обгрунтовані висновки при аналізі спортивної діяльності.
Під випробуванням в теорії ймовірностей прийнято приймати спостереження якогось явища при дотриманні певного набору умов, який кожен раз повинен виконуватися при повторенні даного випробування. Якщо те ж саме випробування проводитися при іншому наборі умови, то вважається, що це вже інше випробування.
Результати випробувань можна охарактеризувати якісно і кількісно.
Якісна характеристика полягає в реєстрації будь-якого явища, яке може спостерігатися чи ні при даному випробуванні. Будь-яке з явищ називається подією.
Подія буває:
· Достовірне (завжди відбувається в результаті випробування);
· Неможливе (ніколи не відбувається);
· Випадкове (може відбутися або не відбутися в результаті випробування).
Наприклад: При підкиданні кубика неможлива подія - кубик стане на ребро, випадкова подія - випадання будь-якої межі.
Коли ми говоримо про дотримання набору умов даного випробування, ми маємо на увазі сталість значень усіх факторів, контрольованих в даному випробуванні. Але при цьому може бути велика кількість неконтрольованих факторів (наприклад, погода, вітер і т.д.), які важко або неможливо врахувати. Отже, значення неконтрольованих факторів можуть бути різними при кожному повторенні випробування, тому результати випробування виявляються випадковими. Подія може відбутися або не відбутися.
Теорія ймовірностей розглядає саме такі події, при цьому передбачається, що випробування може бути повторений будь-яку кількість разів.
Наприклад, виконання штрафного кидка в баскетболі є іспит, а попадання в кільце - подія. Інший приклад події - це випадання певного числа очок при киданні гральної кістки.
У теорії ймовірності події позначаються прописними (заголовними) латинськими літерами: A, B, C, D ...
Кількісна характеристика випробування висловлює значення деяких величин, якими цікавляться при цьому випробуванні (наприклад, число підтягувань, час на біговій дистанції). До випробування не можна сказати чого буде дорівнює дана величина, тому вона називається випадковою.
Подія С називається сумою А + В, яке є подія, що складається з появі хоч би однієї з подій А і В. Суму також іноді називають об'єднанням подій А і В і позначають А
SHAPE \ * MERGEFORMAT 
2. Твір
Подія C називається твором A і B, якщо воно складається з усіх подій, що входять і в A, і в B. Твір також називають перетином і позначається як А
SHAPE \ * MERGEFORMAT
3. Різниця
Різницею подій AB називається подія C, що складається з усіх е. подій, що входять в A, але не входять до B.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
4. Протилежне
Подія називається протилежним події A, називається подія, яке у непоявленія події А. Позначається протилежне подія символом
SHAPE \ * MERGEFORMAT
Приклад: Протилежними подіями є промах і потрапляння при пострілі, або випаданні герба або цифри при одному підкиданні монети.
5.Собитія A і B називаються несумісними, якщо вони ніколи не можуть відбутися в результаті одного випробування.
Приклад: При одному підкиданні монети ніколи не випаде одночасно і орел і цифра.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
6.Собитія називається неможливим, якщо воно не може відбутися в результаті даного випробування. Прийнято позначення:
7.Достоверное подія
Подія називається достовірною, якщо воно обов'язково відбудеться в результаті цього випробування. Воно позначається як Є.
SHAPE \ * MERGEFORMAT 
Також при великій кількості повторень випробування частость подій мало змінюється і стабілізується біля певного значення, а при не великій кількості повторень вона може приймати різні значення. Тому інтуїтивно зрозуміло, що при великій кількості повторень випробування частость події буде прагнути до певного числовому значенню. Таке значення прийнято називати ймовірністю події А і позначають Р (А).
У математиці необмежене число повореній прийнято записувати у вигляді межі при N прагне до нескінченності:
Так як n завжди більше або дорівнює N, то ймовірність укладена в інтервалі:
У деяких випадку ймовірності подій можуть бути легко визначені виходячи з умов випробувань. Нехай випробування має n можливих результатів, тобто подій, які можуть з'явитися в результаті даного випробування. При кожному повторенні можливо поява тільки одного з даних результатів (тобто всі n результатів несумісні). Крім того за умовами випробування не можна сказати які результати з'являються частіше за інших, тобто всі результати є рівноможливими. Припустимо тепер що при n равновозможних исходах інтерес представляє подія А, яке з'являється тільки при m випадки і не з'являється при інших nm результатах. І прийнято говорити, що в даному випробуванні є n випадку, з яких m сприяють появі події А.
У такому випадку ймовірність можна обчислити, як відношення числа випадків сприяють появі події А (тобто m), до загального числа всіх результатів n:
Ця формула є визначення ймовірності по Лапласа, яке прийшло з області азартних ігор, де теорія ймовірності застосовувалася для визначення перспективи виграшу.
У такому випадку приходять на допомогу такі формули.
Теорема про перемножуванні шансів:
Нехай є, k груп елементів, причому кожна група елементів містить певну кількість елементів, наприклад перший містить n 1 елемент, 2-а група n 2 елементів, тоді i-я група містить n i елементів. Тоді загальне число N способів, якими можна зробити такий вибір, дорівнює
Цю формулу можна застосувати до вирішення наступного завдання: Скільки існує п'ятизначних натуральних чисел.
Рішення: Як відомо всього 10 цифр. Уявімо п'ятизначне число, як *****, де замість першої зірочки можна підставити всі цифри крім 0, тому що якщо підставимо 0, то отримаємо чотиризначне число (нам треба п'ятизначне). Замість другої зірочки можна підставити 10 цифр, аналогічно замість залишилися можна підставляти будь-яку з 10 цифр. Таким чином, у нас є 5 груп елементів, перша група містить 9 елементів, а 4 групи містити по 10 елементів. Тоді використовуючи формулу знайдемо кількість п'ятизначних чисел:
Теорема: про вибір, з урахуванням порядку
Загальна кількість вибору k елементів з n елементів з урахуванням порядку визначається формулою:
і називається числом розміщень з n елементів по k елементів.
Вирішимо задачу: В обласних змаганнях з футболу бере участь 8 команд. Потрібно визначити скількома способами можна скласти групу, що складається їх 4 команд.
Іншими словами нам потрібно вибрати 4 футбольних команди з 8 команд, тобто:
і називається числом сполучень з n елементів по k елементів.
1.Вероятность достовірного події дорівнює одиниці:
P (E) = 1.
2. Ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей.
Р (А 1 + А 2 + ... + А n) = Р (А 1) + Р (А 2) + ... + Р (А n).
Ці два рівності є аксіомами, тобто не потребують доказів. На основі цих рівностей будується вся теорія ймовірностей. Наведені нижче формули можна вивести за допомогою цих аксіом.
3. Імовірність неможливого події дорівнює 0:
P (Ш) = 0.
4.Вероятность протилежної події дорівнює:
Р (Ā) = 1-Р (А)
5.Вероятность об'єднання довільних подій дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності твори подій
Р (А + В) = Р (А) + Р (В)-Р (АВ).
У загальному випадку дана формули виглядає так:
Визначення. Подія А У називаються незалежними, якщо Р (АВ) = Р (А) Р (В).
На практиці часто плутають незалежні і несумісні події, це різні поняття. Іншими словами можна сказати, якщо події пов'язані незалежними експериментами, то й самі події будуть незалежними.
Монету кидають два рази. Знайти ймовірність того, що хоча б один раз з'явиться герб.
Рішення. Для початку переберемо всі можливі результати: ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ. Тут, наприклад ЦГ означає, що при першому киданні з'явилася цифра, а при другому - герб. Інших випадків не існує. Отже отримуємо, що n = 4 (кількість випадків). Знайдемо тепер сприятливі наслідки: герб з'являється в наступних випадках ГГ, ГЦ, ЦГ, тобто m = 4. Таким чином:
Приклад 2.
Яка ймовірність того, що з шести зазначених чисел в картці «Спортлото» (гра з 49) k чисел будуть виграшними.
Рішення. Нехай подія А - серед зазначених чисел до чисел виграшні. Експеримент полягає в тому, що випадковим чином відзначаються 6 чисел із 49. Тому рівноможливими подіями будуть набори з шести зазначених чисел. Так як для визначення відбудеться або не відбудеться подія А порядок чисел не істотний, то як равновозможних подій можна розглядати набори 6 чисел із 49. Отже загальне число фіналів буде визначатися як
Приклад 3. Три стрілка зробили по одному пострілу по мішені. Ймовірність влучення в мішень для одного зі стрільців дорівнює 0,6, для іншого 0,7, для третього 0,93. Знайти ймовірність того, що: а) хоча б один з стрільців потрапить у мішень, б) тільки один із стрільців потрапить у мішень, в) ні один із стрільців не потрапить у мішень.
Рішення. Нехай подія А - перший стрілок поцілив у мішень, тоді P (A) = 0,6;
Подія В - другий стрілок поцілив у мішень, тоді Р (В) = 0,7;
Подія З - третій стрілок поцілив у мішень, тоді Р (С) = 0,93. Введення
I. Імовірність
Основні поняття
1. Завдання, які використовують формулу додавання і множення ймовірностей
1.1 Операції над подіями.
1.2 Імовірність подій
1.3 Основні формули комбінаторики
Теорема: вибір без урахування порядку
1.4 Основні правила обчислення ймовірностей
Рішення задач
Завдання для самостійного рішення:
2. Завдання, які використовують формулу повної ймовірності та формулу Бейеса
2.1 Умовна ймовірність
2.2 Формула повної ймовірності
2.3 Формула Бейеса
Рішення задач.
Завдання для самостійного вирішення
3. Випадкові величини
3.1 Дискретні та неперервні випадкові величини
3.2 Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини
3.3 Біноміальна розподіл
3.4Распределеніе Пуассона
3.5 Математичне сподівання і дисперсія
3.6 Ймовірність влучення в заданий інтервал
Рішення задач
Завдання для самостійного вирішення
II Статистика.
1.Проверка гіпотези про різниці двох середніх значень
2 ПОБУДОВУ лінії регресії для кореляції
III Математичні методи
1 Дерево рішень
2 Ігри
3 Лінійне програмування
Література
Введення
В даний час неможливо уявити спорт і фізичну культуру без науки. Правильно організоване фізичне виховання школяра, що сприяє зміцненню його здоров'я, ефективна тренування спортсмена, результатом якої є зростання спортивних рекордів, - це все будується на наукових засадах. Мета даної роботи - виклад основних методів математичної статистики, теорії ймовірності в доступній для студентів фізичних факультетів. Тобто студентів знають математику в обсязі середньої школи.
Наука - це точне знання, що збирає факти, і в усіх них присутні цифри. При оцінці успішності учнів вчителем, при підрахунку результатів на змаганнях і т.д. при всьому цьому оперують цифрами і в цьому вже є зачатки науки. Ще більш науковою є збір матеріалу, для того щоб виявити якусь закономірність, систему, наприклад, при систематизації спортивних рекордів у бігу, плаванні, ковзанярському спорті, призвело до встановлення загального математичного закону. Підрахунок кількості кілограмів, що піднімаються важкоатлети на тренуваннях, і зіставлення його зі спортивними досягненнями дозволили визначити тренувальне навантаження, яка дає найкращий результат. При аналізі індивідуальної тренувального навантаження елементами досліджуваної сукупності можуть бути окремі значення інтенсивності або обсягу навантаження, зареєстровані у конкретного спортсмена в різні періоди часу. Кожен елемент сукупності може мати поруч ознак, при цьому одні ознаки можуть бути однорідними, а інші можуть змінюватися. Наприклад, елементами сукупності можуть бути спортсмени - представники одного виду спорту, однакової кваліфікації, однакового віку, але різними можуть бути показники росту, ваги, швидкості руху і т.д.
Предметом вивчення як раз і є змінюються ознаки. Значення, яке приймається даною величиною, в кожному випадку залежить від ряду факторів, які зазвичай заздалегідь не відомі. Закономірності властиві подібним величинам, отримали назву випадкових, вивчаються теорією ймовірності та математичної статистики.
Математична статистика встановлює перспективність спортсменів, умови більш сприятливі для тренувань та їх ефективність. Також статистика допомагає зробити об'єктивні і науково обгрунтовані висновки при аналізі спортивної діяльності.
I. Імовірність
Основні поняття
У нашому житті часто доводиться мати справу з випадковими явищами, тобто ситуаціями, результат яких не можна точно передбачити, наприклад ми не можемо точно сказати при підкиданні монети впаде вона вгору гербом або цифрою. Аналогічно не можемо точно сказати, скільки очок виб'є стрілок на змаганнях. Говорячи про випадкових події в нашій свідомості виникає уявлення про ймовірність явища.Під випробуванням в теорії ймовірностей прийнято приймати спостереження якогось явища при дотриманні певного набору умов, який кожен раз повинен виконуватися при повторенні даного випробування. Якщо те ж саме випробування проводитися при іншому наборі умови, то вважається, що це вже інше випробування.
Результати випробувань можна охарактеризувати якісно і кількісно.
Якісна характеристика полягає в реєстрації будь-якого явища, яке може спостерігатися чи ні при даному випробуванні. Будь-яке з явищ називається подією.
Подія буває:
· Достовірне (завжди відбувається в результаті випробування);
· Неможливе (ніколи не відбувається);
· Випадкове (може відбутися або не відбутися в результаті випробування).
Наприклад: При підкиданні кубика неможлива подія - кубик стане на ребро, випадкова подія - випадання будь-якої межі.
Коли ми говоримо про дотримання набору умов даного випробування, ми маємо на увазі сталість значень усіх факторів, контрольованих в даному випробуванні. Але при цьому може бути велика кількість неконтрольованих факторів (наприклад, погода, вітер і т.д.), які важко або неможливо врахувати. Отже, значення неконтрольованих факторів можуть бути різними при кожному повторенні випробування, тому результати випробування виявляються випадковими. Подія може відбутися або не відбутися.
Теорія ймовірностей розглядає саме такі події, при цьому передбачається, що випробування може бути повторений будь-яку кількість разів.
Наприклад, виконання штрафного кидка в баскетболі є іспит, а попадання в кільце - подія. Інший приклад події - це випадання певного числа очок при киданні гральної кістки.
У теорії ймовірності події позначаються прописними (заголовними) латинськими літерами: A, B, C, D ...
Кількісна характеристика випробування висловлює значення деяких величин, якими цікавляться при цьому випробуванні (наприклад, число підтягувань, час на біговій дистанції). До випробування не можна сказати чого буде дорівнює дана величина, тому вона називається випадковою.
1. Завдання, які використовують формулу додавання і множення
ймовірностей
У цьому розділі ми розглянемо основні правила операцій над різними подіями. Дамо визначення ймовірності і дізнаємося, як можна застосовувати отримані знання в спортивній царині.1.1 Операції над подіями.
1.СуммаПодія С називається сумою А + В, яке є подія, що складається з появі хоч би однієї з подій А і В. Суму також іноді називають об'єднанням подій А і В і позначають А
B |
A |
2. Твір
Подія C називається твором A і B, якщо воно складається з усіх подій, що входять і в A, і в B. Твір також називають перетином і позначається як А
SHAPE \ * MERGEFORMAT
B |
A |
3. Різниця
Різницею подій AB називається подія C, що складається з усіх е. подій, що входять в A, але не входять до B.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
B |
A |
4. Протилежне
Подія називається протилежним події A, називається подія, яке у непоявленія події А. Позначається протилежне подія символом
SHAPE \ * MERGEFORMAT
A |
Приклад: Протилежними подіями є промах і потрапляння при пострілі, або випаданні герба або цифри при одному підкиданні монети.
5.Собитія A і B називаються несумісними, якщо вони ніколи не можуть відбутися в результаті одного випробування.
Приклад: При одному підкиданні монети ніколи не випаде одночасно і орел і цифра.
SHAPE \ * MERGEFORMAT
А |
У |
6.Собитія називається неможливим, якщо воно не може відбутися в результаті даного випробування. Прийнято позначення:
7.Достоверное подія
Подія називається достовірною, якщо воно обов'язково відбудеться в результаті цього випробування. Воно позначається як Є.
Е |
1.2 Імовірність подій
Розглянемо деяку кількість випробувань, в результаті яких з'явилося подія А. Нехай було вироблено N випробувань, в результаті яких подія А з'явилося рівно n раз. Тоді відношенняТакож при великій кількості повторень випробування частость подій мало змінюється і стабілізується біля певного значення, а при не великій кількості повторень вона може приймати різні значення. Тому інтуїтивно зрозуміло, що при великій кількості повторень випробування частость події буде прагнути до певного числовому значенню. Таке значення прийнято називати ймовірністю події А і позначають Р (А).
У математиці необмежене число повореній прийнято записувати у вигляді межі при N прагне до нескінченності:
Так як n завжди більше або дорівнює N, то ймовірність укладена в інтервалі:
У деяких випадку ймовірності подій можуть бути легко визначені виходячи з умов випробувань. Нехай випробування має n можливих результатів, тобто подій, які можуть з'явитися в результаті даного випробування. При кожному повторенні можливо поява тільки одного з даних результатів (тобто всі n результатів несумісні). Крім того за умовами випробування не можна сказати які результати з'являються частіше за інших, тобто всі результати є рівноможливими. Припустимо тепер що при n равновозможних исходах інтерес представляє подія А, яке з'являється тільки при m випадки і не з'являється при інших nm результатах. І прийнято говорити, що в даному випробуванні є n випадку, з яких m сприяють появі події А.
У такому випадку ймовірність можна обчислити, як відношення числа випадків сприяють появі події А (тобто m), до загального числа всіх результатів n:
Ця формула є визначення ймовірності по Лапласа, яке прийшло з області азартних ігор, де теорія ймовірності застосовувалася для визначення перспективи виграшу.
1.3 Основні формули комбінаторики
Для того щоб визначити ймовірність потрібно знати кількість випадків, а також кількість сприятливих результатів. Якщо кількість випробувань мало, то можна вручну перебрати всі результати і виявити серед них сприятливі. Що робити в тому випадку, якщо кількість випробувань велике?У такому випадку приходять на допомогу такі формули.
Теорема про перемножуванні шансів:
Нехай є, k груп елементів, причому кожна група елементів містить певну кількість елементів, наприклад перший містить n 1 елемент, 2-а група n 2 елементів, тоді i-я група містить n i елементів. Тоді загальне число N способів, якими можна зробити такий вибір, дорівнює
Цю формулу можна застосувати до вирішення наступного завдання: Скільки існує п'ятизначних натуральних чисел.
Рішення: Як відомо всього 10 цифр. Уявімо п'ятизначне число, як *****, де замість першої зірочки можна підставити всі цифри крім 0, тому що якщо підставимо 0, то отримаємо чотиризначне число (нам треба п'ятизначне). Замість другої зірочки можна підставити 10 цифр, аналогічно замість залишилися можна підставляти будь-яку з 10 цифр. Таким чином, у нас є 5 груп елементів, перша група містить 9 елементів, а 4 групи містити по 10 елементів. Тоді використовуючи формулу знайдемо кількість п'ятизначних чисел:
Теорема: про вибір, з урахуванням порядку
Загальна кількість вибору k елементів з n елементів з урахуванням порядку визначається формулою:
і називається числом розміщень з n елементів по k елементів.
Вирішимо задачу: В обласних змаганнях з футболу бере участь 8 команд. Потрібно визначити скількома способами можна скласти групу, що складається їх 4 команд.
Іншими словами нам потрібно вибрати 4 футбольних команди з 8 команд, тобто:
Теорема: вибір без урахування порядку
Загальна кількість вибірок в схемі вибору k елементів з n без повернення та без урахування порядку визначається формулоюі називається числом сполучень з n елементів по k елементів.
1.4 Основні правила обчислення ймовірностей
Наведемо основні правила, що дозволяють визначити ймовірність появи складної події, що складається з більш простих подій, імовірність яких нам відома.1.Вероятность достовірного події дорівнює одиниці:
P (E) = 1.
2. Ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі їх імовірностей.
Р (А 1 + А 2 + ... + А n) = Р (А 1) + Р (А 2) + ... + Р (А n).
Ці два рівності є аксіомами, тобто не потребують доказів. На основі цих рівностей будується вся теорія ймовірностей. Наведені нижче формули можна вивести за допомогою цих аксіом.
3. Імовірність неможливого події дорівнює 0:
P (Ш) = 0.
4.Вероятность протилежної події дорівнює:
Р (Ā) = 1-Р (А)
5.Вероятность об'єднання довільних подій дорівнює сумі їх імовірностей без імовірності твори подій
Р (А + В) = Р (А) + Р (В)-Р (АВ).
У загальному випадку дана формули виглядає так:
Визначення. Подія А У називаються незалежними, якщо Р (АВ) = Р (А) Р (В).
На практиці часто плутають незалежні і несумісні події, це різні поняття. Іншими словами можна сказати, якщо події пов'язані незалежними експериментами, то й самі події будуть незалежними.
Рішення задач
Приклад 1. Застосуємо тепер отримані знання для вирішення завданьМонету кидають два рази. Знайти ймовірність того, що хоча б один раз з'явиться герб.
Рішення. Для початку переберемо всі можливі результати: ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ. Тут, наприклад ЦГ означає, що при першому киданні з'явилася цифра, а при другому - герб. Інших випадків не існує. Отже отримуємо, що n = 4 (кількість випадків). Знайдемо тепер сприятливі наслідки: герб з'являється в наступних випадках ГГ, ГЦ, ЦГ, тобто m = 4. Таким чином:
Приклад 2.
Яка ймовірність того, що з шести зазначених чисел в картці «Спортлото» (гра з 49) k чисел будуть виграшними.
Рішення. Нехай подія А - серед зазначених чисел до чисел виграшні. Експеримент полягає в тому, що випадковим чином відзначаються 6 чисел із 49. Тому рівноможливими подіями будуть набори з шести зазначених чисел. Так як для визначення відбудеться або не відбудеться подія А порядок чисел не істотний, то як равновозможних подій можна розглядати набори 6 чисел із 49. Отже загальне число фіналів буде визначатися як
Приклад 3. Три стрілка зробили по одному пострілу по мішені. Ймовірність влучення в мішень для одного зі стрільців дорівнює 0,6, для іншого 0,7, для третього 0,93. Знайти ймовірність того, що: а) хоча б один з стрільців потрапить у мішень, б) тільки один із стрільців потрапить у мішень, в) ні один із стрільців не потрапить у мішень.
Рішення. Нехай подія А - перший стрілок поцілив у мішень, тоді P (A) = 0,6;
Подія В - другий стрілок поцілив у мішень, тоді Р (В) = 0,7;
У цьому завданню всі події є незалежні, так як стріляють, не залежно один від одного.
а) Нехай подія S - хоча б один з стрільців потрапить у мішень. Згадаймо визначення суми подій: Подія С називається сумою А + В, яке є подія, що складається з появі хоч би однієї з подій А і В.
Дане визначення можна застосувати і до більшого числа подій. Отже подія S = А + В + С. ТО є нам потрібно знайти Р (А + В + С). А так як усі події незалежні, то застосовуючи формулу суми і твори незалежних подій отримуємо:
Р (А + В + С) = Р (А) + Р (В) + Р (С)-Р (АВ)-Р (АС)-Р (ВС) + Р (АВС) = 0,99.
б) Нехай подія S - тільки один із стрільців потрапить у мішень. Дана подія можна представити як суму наступних подій:
P (
= P (А) Р (
Згадаймо як обчислюється ймовірність протилежного події: Р (Ā) = 1-Р (А)
Застосувавши цю формулу, обчислимо імовірність і в результаті отримаємо, що
P (
в) Складемо заперечення до події розглядається в пункті а). Якщо подія S - хоча б один з стрільців потрапить у мішень, то тоді
Р (
Завдання для самостійного рішення:
1.1З усіх учасників всеросійського турніру з легкої атлетики навмання обирають одного. Нехай подія А полягає в тому, що обраний учасник змагається в бігу на 100м, B - переможець чемпіонату Росії, С - є майстром спорту. Описати події: Ā
А
1.2
Гральний кубик кидається двічі, знайти ймовірність того, що сума випали очок не перевершує 4.
1.3
Відомо, що серед 40 учасників є 10 майстрів спорту. Серед усіх учасників випадковим чином вибрали першу п'ятірку, знайдіть ймовірність, що в цій п'ятірці присутні рівно 2 майстри спорту.
1.4
На картках написані літери: А, З, И, К, Л, Т, У, У, Ф, Ь. Виймають навмання одну картку за одною і розкладають у тому порядку в якому вони були вийняті. Знайти ймовірність того, що на картках буде написано слово ФІЗКУЛЬТУРА.
1.5
У всеросійському дні бігу кожному учаснику надавався певний чотиризначний номер. І була проведена акція всім тим у кого на номері зустрічаються два рази цифра 7 одержують у подарунок кружку. Визначте скільки кухлів повинен приготувати спорткомітет.
1.6
Хокейна команда складається з 30 чоловік, серед яких є 14 хворих гравців. Всі лікарняні картки хтось вкрав і кабінету доктора і жоден хворий хокеїст не зізнається в тому, що він хворий, тому що всі хочуть грати. Знайти ймовірність, що у стартовій п'ятірці гравців два виявляться хворими.
1.7
З 30 екзаменаційних питань студент знає 20. Яка ймовірність того, що він правильно відповість на два питання з двох?
1.8
З колоди карт (52 карти) навмання виймають 3 карти. Знайти ймовірність того, що це буде трійка, четвірка і туз.
1.9
У лотереї 100 квитків, серед них один виграш у 100 р., 3 виграшу по 50 р, 6 виграшів по 20 р і 15 по 3 р. Знайти ймовірність якого-небудь виграшу при купівлі трьох квитків. Що імовірніше: виграти не менше 50 р. або не більше 50 р. при купівлі одного лотерейного квитка?
1.10
Дано ймовірності p = P (f), q = P (B), r = P (A
1.11
Кинуто 6 гральних кісток. Знайдіть ймовірності таких подій: а) на всіх випали гранях з'явиться однакове число очок, б) рівно на трьох гранях з'явиться 6 очок; в) хоча б на трьох гранях з'явиться не менше трьох очок.
1.12
Яке найменше число кісток треба кинути, щоб Найімовірніше число випадань шістки було дорівнює 5?
1.13
Імовірність безвідмовної роботи приладу дорівнює 0.7. Для підвищення надійності цей прилад дублюється кількома такими ж приладами (якщо один відмовить, то починає працювати інший). Скільки додатково приладів треба взяти, щоб підвищити надійність роботи до 0.99?
1.14
Два рівносильних гравця грають у шахи. Нічиї до уваги не приймаються. Що імовірніше: а) виграти три партії з чотирьох або чотири партії з шести, б) виграти не менше трьох партій з чотирьох або не менше чотирьох партій з шести?
1.15
У зв'язку з розпадом футбольної команди з 30 чоловік, керівництвом було прийнято рішення 15 чоловік відправити грати в московську команду, 8 чоловік у Пермську команду та 7 чоловік у Кіров. Місця розподілялися випадковим чином. Яка ймовірність того, що два один потраплять в одне місто.
1.16
Для перемоги гравцеві необхідно закинути один м'яч у кільце. Знайти ймовірність того, що команда виграє, якщо можна кинути м'яч всього чотири рази, ймовірності попадання яких рівні 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
2. Завдання, які використовують формулу повної ймовірності та формулу
Бейеса
2.1 Умовна ймовірність
Визначення. Умовною ймовірністю події А, за умови, що відбулася подія В, називається відношення ймовірностей P (АВ) до Р (В) і позначається Р (А / В):Умовна ймовірність має такі властивості:
1. якщо
2. якщо
3.
2.2 Формула повної ймовірності
Визначення. Нехай задано деякий ймовірнісний простір (Ω, F, P). Тоді сукупність подій А 1, А 2, ..., А n називається повною групою подій, якщо виконуються наступні умови:а) А 1
б) А i
г) Р (А к)> 0.
Нехай дано подія А, воно може наступити при появі одного з несумісних Подій В 1, В 2, ..., У n, які утворюють повну групу. Нам також відомі ймовірності
Теорема. Ймовірність події А, яка може наступити лише за умови появу одного з несумісних подій В 1, В 2, ..., У n, що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірності кожного з цих подій на власну умовну ймовірність:
P (А) =
Цю формулу також називають формулою повної ймовірності.
2.3 Формула Бейеса
Складемо завдання: Нехай дано подія А, воно може наступити при появі одного з несумісних Подій В 1, В 2, ..., У n, які утворюють повну групу. Так як нам заздалегідь не відомо, яка подія настане, їх називають гіпотезами. Припустимо, що проведено випробування в результаті, якого з'явилося подія А. Поставимо своїм завданням визначити як змінилися ймовірності гіпотез, у зв'язку з тим що подія А вже настав. Іншими словами визначимо такі умовні ймовірності:Визначити дані ймовірності можна за допомогою формули Бейеса:
Замінивши P (А) =
Рішення задач.
Завдання 1. Впадає гральний кубик. Яка ймовірність того, що випало число очок, більше трьох (подія А), якщо відомо, що випала парна грань (подія В)?Рішення. Події У відповідає випадання чисел 2,4,6. Події А випадання чисел 4, 5, 6. Події А
Завдання 2. Для контролю продукції лижної фабрики з трьох партій лиж взята на перевірку одна деталь. Яка ймовірність виявлення бракованої продукції, якщо в одній партії 2 / 3 лиж браковані, а в двох інших все доброякісні?
Рішення. Нехай подія В = «Узята деталь бракована», А к = «деталь береться з к-ой партії», тоді ймовірність Р (А к) = 1 / 3, де к = 1, 2, 3.
Нехай у першій партії знаходяться браковані лижі, значить
P (B) =
Завдання 3. Прилад складається з двох вузлів; робота кожного вузла необхідна для роботи приладу в цілому. Надійність (ймовірність безвідмовної роботи) протягом часу t першого вузла дорівнює p 1, друге р 2. Прилад випробовувався в плині часу t, в результаті чого виявлено, що він відмовив. Знайти ймовірність того, що відмовив перший вузол, а другий справний.
Рішення. Нехай подія В = «прилад відмовив», подія А 1 = «Обидва вузла справні", А 2 = «перший вузол відмовив, а другий іспарвен», А 3 = «перший вузол справний, а другий вузол відмовив», А 4 = «Обидва вузла відмовили». Ці події утворюють повну групу подій. Знайдемо їх ймовірності:
Р (А 1) = р 1 р 2
Р (А 2) = (1-р 1) р 2
Р (А 3) = р 1 (1-р 2)
Р (А 4) = (1-р 1) (1-р 2).
Так як спостерігалося подія В, то:
Р (В / А 1) = 0,
Р (В / А 2) = Р (В / А 3) = 1.
Застосовуючи формулу Бейеса отримаємо:
Завдання для самостійного вирішення
2 .1.Серед N екзаменаційних квитків n «щасливих». Студенти підходять за білетами один за іншим. У кого більше ймовірність взяти щасливий квиток: у того, хто підійшов першим, чи у того, хто підійшов другим? Яка ймовірність взяти "щасливий» квиток в останнього студента?
2 .2.
15 екзаменаційних квитків містять по 2 питання, які не повторюються. Іспитуються може відповісти толь-ко на 25 питань. Визначити ймовірність того, що іспит буде зданий, якщо для цього достатньо відповісти на два питання з одного квитка або на одне питання з першого квитка і на вказаний додаткове питання з іншого білету.
2 .3.
У технікумі n студентів, з яких nk, k = 1, 2, 3, чоловік навчаються k-й рік. Серед двох навмання обраних студентів виявилося, що один з них навчається більше другого. Яка ймовірність того, що цей студент навчається третій рік?
2.3
З чисел 1, 2, ..., n одне за іншим вибирають навмання два числа. Яка ймовірність тго, що різниця між першими обраним числом і другим буде не менше m?
2.4
Під час випробувань було встановлено, що ймовірність безвідмовної роботи приладу при відсутності ушкоджень дорівнює 0,99, при перегріві - 0,95, при вібрації - 0,9, при вібрації і перегріві - 0,8. Знайти ймовірність P1 відмови цього приладу під час роботи в жарких країнах (імовірність перегріву - 0,2, вібрації - 0,1) і ймовірність P2 відмови під час роботи в пересувається лабораторії (імовірність перегріву - 0,1, вібрації - 0,3) , якщо вважати перегрів і вібрацію незалежними подіями.
2.5
За каналу зв'язку передають символи A, B, C з імовірностями 0,4, 0,3, 0,3 відповідно. Імовірність спотворення сім-вола дорівнює 0,4, і всі спотворення рівноймовірні. Для збільшення надійності кожен символ повторюють чотири рази. На виході сприйняли послідовність Васві. Яка ймовірність того, що передали АААА, ЧВВВ, сссс?
2.6
На спостережної станції встановлено 4 радіолокатора різних конструкцій. Ймовірність виявлення цілей з допомогою першого локатора дорівнює 0,86, другого 0,9, третій 0,92, четвертого 0,95. Спостерігач навмання включає один з локаторів. Яка ймовірність виявлення цілі?
2.7
Імовірність того, що двоє близнюків будуть однієї статі 0,64, а ймовірність народження в двійні першого хлопчика 0,51. Знайти ймовірність того, що другий з близнят буде хлопчиком, за умови, що перший з них хлопчик.
2.8
Деяка деталь проводитися на двох заводах. Відомо, що обсяг продукції першого заводу в к разів перевищує обсяг другого. Частка шлюбу на першому заводі 0,3, на другому 0,2. Навмання взята деталь виявилася бракованою. Яка ймовірність того, що ця деталь випущена першим заводом?
2.9
Серед жінок - виборців 70% підтримують кандидата А, а серед чоловіків 60%. Використовуючи дані перепису, згідно з якими частка жінок виборців становить 55%, оцінити ймовірність перемоги на виборах кандидата О.
2.10
Троє співробітників фірми видають відповідно 30%, 50%, 20% всіх виробів, виробленої фірмою. У першого шлюб 2%, другого 5%, третього 1%. Яка ймовірність, що випадково обраний виріб дефектно?
3. Випадкові величини
Вивчення випадкових величин вимагає зв'язку цих величин з певними подіями, які полягають в попаданні випадкової величини в деякий інтервал і для яких визначені ймовірності. Іншими словами необхідно пов'язати випадкову величину з полем даного випробування.
Для кращого розуміння розглянемо приклад. При киданні кістки могли з'явитися цифри 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед визначити число випали очок неможливо, так як це залежить від багатьох випадкових величин, які повністю не можуть бути враховані. У цьому сенсі число очок є величина випадкова, і числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 - є можливі значення цієї величини.
Випадкової називають величину, яка в результаті випробування прийме одне і тільки одне можливе значення, наперед невідоме і залежне від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані.
Будемо позначати випадкові величини прописними (заголовними) літерами: X, Y, Z, а їх можливі значення відповідними малими літерами x, y, z. Якщо величина Х має три значення то вони будуть позначені так: х 1, х 2, х 3.
3.1 Дискретні та неперервні випадкові величини
Зазвичай розглядаються два типи випадкових величин: дискретні і безперервні.Розглянемо наступний приклад: Число хлопчиків пішли в секцію бальних танців серед 100 прийшли туди людей є випадкова величина, яка може приймати такі значення 0, 1, 2, ..., 100. Ці значення відокремлені один від одного проміжками, в яких немає можливих значень Х. таким чином в цьому прикладі випадкова величина приймає окремі ізольовані значення.
Наведемо другий приклад: відстань, яку пролетить диск при метанні, є величина випадкова. Дійсно величина залежить від багатьох чинників, наприклад від вітру, температури та інших факторів, які не можуть бути повністю враховані. Можливі значення цієї величини належать деякому проміжку (а; b).
У даному прикладі випадкова величина може прийняти будь-яке із значень проміжку (а; b). Тут не можна відокремити одне можливе значення від іншого проміжком, що не містить можливих значень випадкової величини.
Вже із сказаного можна зробити висновок про те, що доцільно буде розрізняти випадкові величини, які приймають лише окремі ізольовані значення, і випадкові величини, можливі значення яких суцільно заповнюють певний проміжок.
Дискретної (перервний) називають випадкову величину, яка приймає окремі, ізольовані можливі значення з певними ймовірностями. Число можливих значень дискретної випадкової величини може бути кінцевим або нескінченним.
Безперервної називають випадкову величину, яка може приймати всі значення з деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Очевидно, число можливих значень неперервної випадкової величини нескінченно.
Ще прикладами безперервних випадкових величин можуть бути спортивний результат в бігу або стрибках, ріст і маса тіла людини, сила м'язів та інші.
3.2 Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової
величини
Для завдання дискретної випадкової величини не достатньо перерахувати всі можливі її значення, потрібно ще вказати їх вірогідність.
Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями і їх ймовірностями; його можна задати таблично, у вигляді формули і графічно.
При табличному завданні перший рядок містить можливі значення, а друга - їх ймовірності:
| Х | x 1 | x 2 | ... | x n |
| p | p 1 | p 2 | ... | p n |
Якщо безліч можливих значень Х нескінченно, то ряд
Для наочності закон розподілу дискретної випадкової величини можна зобразити і графічно, для чого в прямокутній системі координат будують точки (х i; p i), а потім з'єднують їх відрізками прямих. Отриману фігуру називають багатокутником розподілу.
3.3 Біноміальна розподіл
Нехай виробляється n незалежних випробувань, в кожному з яких подія А може з'явитися або не з'явитися. Імовірність настання події у всіх випробуваннях постійна і дорівнює р, тоді ймовірність не появи q = 1 - p. Розглянемо як дискретної випадкової величини Х число появи події А в цих випробуваннях.Знайдемо закон розподілу величини Х. Подія А в n випробуваннях може з'явитися або не з'явитися, Отже Х може приймати такі значення х 1 = 0, х 2 = 1, х 3 = 2, і так далі. Вірогідність даних значень можна знайти використовуючи формулу Бернуллі:
Біномінальні називають розподіл ймовірностей, що визначається формулою Бернуллі. Цей закон названий біномінальні тому, що праву частину рівності
Напишемо біномінальної закон у вигляді таблиці:
| Х | n | n-1 | ... | k | ... | 0 |
| p | ... | ... |
Нехай виробляється n незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює р. Для визначення імовірності до появ події А використовують формулу Бернуллі. Якщо n велике то користуються формулою ЛапласаЮ однак ця формула непридатна, якщо ймовірність події мала (p <0.1). У цих випадках (n велике, а р - мало). Використовують формулу Пуассона:
Де
Ця формула виражає закон розподілу Пуассона ймовірностей масових і рідкісних подій. Є спеціальні таблиці, користуючись якими можна знайти значення
3.5 Математичне сподівання і дисперсія
Як відомо закон розподілу повністю характеризує випадкову величину. Однак часто закон розподілу невідомий і доводиться обмежуватися меншими відомостями. Також для вирішення багатьох завдань не потрібно знати розподілу випадкової величини, а достатньо знати лише деякі узагальнюючі числові хараткерістікі цього розподілу.
Однією з таких характеристик є математичне сподівання. Для більш наочного визначення розглянемо підхід до цього поняття на конкретному прикладі.
Нехай є дискретна випадкова величина Х, яка може приймати значення х 1, х 2, ..., х n. Вірогідність яких відповідно рівні р 1, р 2, ..., р n. Тоді математичне сподівання М (Х) випадкової величини Х визначається рівністю:
Якщо дискретна випадкова величина Х приймає рахункове безліч всіляких значень, то
Причому математичне сподівання існує, якщо ряд у правій частині рівності сходиться абсолютно.
Математичне сподівання приблизно дорівнює (тим точніше, чим більше число випробувань) середньому арифметичному спостережуваних значень випадкової величини.
Властивості математичного сподівання:
1. Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійної
М (С) = С.
2. Постійний співмножник можна виносити за знак математичного сподівання
М (СХ) = СМ (Х).
3. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань
М (ХУ) = М (Х) М (У).
4. Математичне сподівання кількості появ події А в n незалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в кожному випробуванні
М (Х) = np.
Для неперервних випадкових величин дисперсію можна знайти за такою формулою:
На практиці часто потрібно оцінити розсіювання можливих значень випадково величини навколо її середнього значення. Наприклад в артилерії важливо знати, наскільки купчасто ляжуть снаряди поблизу мети, яка повинна бути вражена. Саме такі завдання вирішує дисперсія.
Дисперсією випадкової величини Х називається математичне сподівання квадрата відхилень випадкової величини від її математичного сподівання. Дисперсія позначається, як D (x)
D (Х) = M [X-М (Х)] 2.
Для обчислення дисперсії часто буває зручно користуватися наступною формулою:
Дисперсія дорівнює різниці між математичним очікуванням квадрата випадкової величини Х і квадратом її математичного сподівання
D (Х) = M (X) 2 - [М (Х)] 2.
Властивості дисперсії:
1. Дисперсія постійної величини З дорівнює 0
D (С) = 0.
2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат
D (СХ) = С 2 D (Х).
3. Дисперсія суми двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин
D (Х + У) = D (X) + D (У).
4. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій
D (Х-У) = D (X) + D (У).
5. дисперсія числа появ події А в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність р появи події постійна, дорівнює n твору числа випробувань на ймовірності появи і не появи події в одному випробуванні:
D (Х) = npq.
Для оцінки розсіяння всіляких значень випадкової величини навколо її середнього значення крім дисперсії служать і інші величини.
Середнім квадратичним відхиленням величини Х називають квадратний корінь з дисперсії
3.6 Ймовірність влучення в заданий інтервал
Дуже часто цікавить питання: яка вірогідність, того що досліджуваний ознака знаходиться в заданих межах. Наприклад, імовірність того, що результат у бігу наДля цього користуються функцією Лапласа:
P [x 1 <(X-μ) <x 2] = Ф (
Рішення задач
Завдання 1. У грошовій лотереї випущено 100 квитків. Розігрується один виграш в 50 р. і десять виграшів по 1 р. Знайти закон розподілу випадкової величини Х - вартості можливого виграшу для власника лотерейного квитка.
Рішення. Напишемо можливі значення Х: х 1 = 50; х 2 = 1; х 3 = 0. Ймовірності цих можливих значень рівні: р 1 = 0,01; р 2 = 0,1; р 3 = 1 - (0,01 +0,1) = 0,89.
Напишемо вихідний закон розподілу:
| Х | 50 | 10 | 0 |
| p | 0,01 | 0,1 | 0,89 |
Завдання 2. Завод відправив на базу 5000 доброякісних виробів. Імовірність того, що виріб в дорозі ушкодитися дорівнює 0,0002. Знайти ймовірність того, що на базу прийдуть 3 негідних вироби.
Рішення. За умовою n = 5000, р = 0,0002, до = 3. Знайдемо
За формулою Пуассона шукана ймовірність наближено дорівнює:
Завдання 3. Знайти дисперсію випадкової величини Х, яка задана наступним законом розподілу:
| Х | 1 | 2 | 5 |
| p | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Знайдемо всілякі значення квадрата відхилення:
Напишемо закон квадрата відхилення:
| [Х-М (Х)] 2 | 1,69 | 0,09 | 7,29 |
| p | 0,3 | 0,5 | 0,2 |
Використовуючи формулу D (Х) = M (X) 2 - [М (Х)] 2 можна знайти дисперсію набагато швидше:
Завдання для самостійного вирішення
3.1
Можливість поразки мішені при одному пострілі 0,8. Знайти ймовірність того, що при 100 пострілах мішень буде вражена 75 разів.
3.2
Лінія зв'язку, що має до каналів пов'язує два міста, де n абонентів, кожен з яких користується телефоном в середньому 5 хвилин на годину. Знайти ймовірність безвідмовного обслуговування абонентів.
3.3
У лотереї 40000 квитків, цінні виграші потрапляють на 3 квитка. Визначити: а) ймовірність одержання хоча б одного виграшу на 1000 квитків, б) скільки необхідно придбати квитків, щоб ймовірність виграшу була не менше 0,5.
3.4
Знайти математичне сподівання дискретної випадково величини Х заданої законом розподілу:
А)
| Х | -4 | 6 | 10 |
| P | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
| Х | 0,21 | 0,54 | 0,61 |
| p | 0,1 | 0,5 | 0,4 |
Дискретна випадкова величина Х приймає три можливих значення
| Х | 4 | 6 | х |
| p | 0,5 | 0,3 | р |
3.6
Дискретна випадкова величина має тільки 2 можливих значення х і у, причому x <y. Імовірність того, що Х прийме значення х 0,6. Знайти закон розподілу величини Х, якщо математичне сподівання і дисперсія відомі: М (Х) = 1,4, D (X) = 0.24.
II Статистика.
Визначення: Простий гіпотезою будемо називати будь-яке припущення, що однозначно визначає розподіл вибірки Х.
Нехай дано r розподільників P 1, ..., P r і хай нам відомо що Х є вибірка одного з цих розподілів. Завдання полягає в тому, щоб визначити, до якого саме Р відноситься Х.
Визначення: Нульовий називають висунуту гіпотезу.
1.Проверка гіпотези про різниці двох середніх значень
Перевірка гіпотези про різницю між двома середніми арифметичними - одна з найбільш часто зустрічаються завдань дослідницької роботи.
Розглянемо наступний приклад: Дві групи велосипедистів використовували в змагальному періоді два різних методи силової підготовки. Перша група весь обсяг силових вправ розподілила на весь сезон. Друга група той же обсяг використовувала в другій половині сезону, а в першій зовсім не застосовувала силових вправ. Ефективність методів тренування оцінювалася за приростом результатів на дистанції
Перша група (Х 1): 1,0; 2,1; 1,2; 1,9; 0,9; 0,8; 2,0; 0,8; 1,5; 2,0.
Друга група (Х 2): 0,8; 1,0; 1,3; 0,7; 0,7; 0,4; 0,9; 1,4; 1,5; 1,5.
Розрахуємо середні арифметичні для кожної групи:
Таким чином, середній приріст спортивного результату в першій групі на 0,4 сек. Вище, ніж у другій. Слід зазначити, що за вихідними даними групи були однорідні. Очевидно, різниця між середніми арифметичними не говорить про те, що один метод тренування ефективніше, ніж інший. Навіть якщо б обидві групи використовували однакові методи тренування, середні арифметичні майже напевно були б різними, так як приріст результатів залежить не тільки від методів тренування, а й визначається деякими іншими чинниками, наприклад, харчуванням спортсменів, зайнятістю в навчанні або роботі, хворобами і т . п. При не великому числі випробовуваних ці фактори могли б складеться більш сприятливо, для якої то однієї групи. Отже, завдання полягає в тому, щоб встановити, чи можна пояснити різницю в середньому приросту результату випадковістю чи воно відображає той факт, що один метод тренування ефективніше, ніж інший.
Мовою математичної статистики ця задача формулюється таким чином. Приріст результатів для досліджуваних першої групи розглядається як випадкова вибірка з генеральної сукупності з параметрами
де
Якщо величина t виявиться занадто великий, то нульова гіпотеза повинна бути відкинута, як малоправдоподобная. У цьому випадку треба взяти альтернативну гіпотезу Н 1:
Складемо порядок застосування t-критерію для перевірки гіпотези про різницю між двома генеральними середніми:
1. Перевірити гіпотезу про нормальність розподілу спостережень в кожній групі.
2. Розрахувати для кожної групи
3. Перевірити гіпотезу
4. Розрахувати стандартну помилку різниці між середніми арифметичними.
5. Розрахувати величину критерію t. Порівняти отримане значення з граничним при обраному рівні значущості та ступенів свободи.
6. якщо нульова гіпотеза відкинута, то побудувати довірчий інтервал для різниці між генеральними середніми.
Приклад. Застосуємо t - критерій для перевірки гіпотези H 0:
1. перевірити гіпотезу про нормальність розподілу можна пізніше, коли будуть описані відповідні критерії.
2.
3.
4. Так як число спостережень в групах рівне, то стандартна помилка різниці дорівнює:
5.
Число ступенів свободи в даному прикладі f = 10 +10-2 = 18. Граничне значення при 5-відсотковому рівні значущості та 18 ступенях свободи одно 2,01. Так як отримане значення критерію t менше граничного, гіпотеза про рівність генеральних середніх не відкидається. Таким чином не дивлячись на те, що середній результат середніх приростів у двох групах різний, немає підстав говорити, що один з методів краще, ніж інший. Отримане різниця може бути пояснено випадковістю.
2 ПОБУДОВУ лінії регресії для кореляції
У багатьох задачах потрібно встановити і оцінити залежність досліджуваної випадкової величини У від однієї або декількох інших величин. Так наприклад може цікавити залежність між спортивним результатом ковзанярі і його аеробними можливостями, залежність між силою м'язів і швидкістю їх скорочення.У деяких випадках можна встановити функціональну залежність. При дослідженнях у галузі спорту найчастіше доводиться стикатися з кореляційною залежністю, при якій кожному значенню незалежної змінної відповідає ряд розподілу залежною змінною, і зі зміною перших положення цих рядів закономірно змінюється.
Кореляційні залежності можуть бути представлені, як і в табличній формі так і у вигляді графічної залежності. Для цього кожній клітині кореляційної таблиці потрібно рівномірно розподілити відповідні зазначеної цифрі число точок. Для побудови первинного поля кореляції в звичайній системі координат наносяться точки з координатами (Х, У) у відповідності з вихідними даними.
У дослідницькій роботі кореляційні величини зустрічаються дуже часто. Зазвичай величина У залежить від великої кількості аргументів: Х 1; Х 2; ...; Х m. У випадку лінійної функції цю завісімотсть можна записати у вигляді:
У = а + b 1 X 1 + b 2 X 2 + ... + b m X m.
Наприклад, результат ковзанярі визначається не тільки аеробними можливостями організму, але також силою і швидкістю скорочення м'язів, технікою бігу, вольовими якостями і т.д. Якщо аналізувати всі аргументи, то вийде функціональна залежність.
При вивченні кореляційних залежностей між двома ознаками зазвичай вирішуються такі завдання:
1. Встановлення форми зв'язку між функцією У і аргументом Х, тобто опис закону зміни величини умовних середніх
2. Оцінка тісноти зв'язку між У та Х. Вирішення цього завдання вимагає відповідей на два питання:
a. Чи є взагалі між Х і У кореляційна залежність, тобто чи спостерігається закономірна зміна умовних середніх
b. Якщо кореляційна залежність існує, то в якій мірі вона відрізняється від функціональної?
Для вирішення даної задачі можуть використовуватися різні моделі. Найбільш часто використовується регресійна і кореляційна модель.
Регресійна модель передбачає, що залежна змінна У є випадковою величиною, а значення незалежної змінної задаються експериментатором довільно. Наприклад, досліджуючи залежність швидкості м'язового скорочення від величини вантажу, що піднімається, можна намітити, які вантажі повинен піднімати випробуваний.
Кореляційна модель передбачає, що обидві змінні - випадкові величини.
Найпростішою формою зв'язку між двома змінними є лінійна залежність виду У = а + bX. Параметр а носить назву початкової ординати. Параметр b носить назву коефіцієнта регресії, він характеризує нахил прямої лінії.
Розрахунок параметрів рівняння регресії проводиться за методом найменших квадратів:
Для виконання цього учловія параметри знаходять з рішення системи рівнянь:
Його можна представити у вигляді готових формул:
Рівняння регресії служить для аналізу форми зв'язку між двома ознаками.
III Математичні методи
1 Дерево рішень
Дерево рішень використовують, коли потрібно прийняти кілька рішень в умовах невизначеності, коли кожне рішення залежить від результату попереднього або результату випробувань. Складаючи "дерево" рішень потрібно намалювати "ствол" і "гілки", що відображають структуру проблеми. Розташовуються "дерева" зліва направо. "Гілки" позначають можливі альтернативні рішення, які можуть бути прийняті, і можливі результати, що у результаті цих рішень.
Квадратні "вузли" позначають місця, де приймаються рішення, круглі "вузли" - поява випадків. Так як приймаюче рішення не може впливати на появу результатів, йому залишається лише обчислювати ймовірність їх появи.
Коли всі рішення та його результати вказані на "дереві", прораховується кожен із варіантів, і в кінці проставляється його грошовий дохід. Усі витрати, викликані рішенням, проставляються на відповідній "гілки".
Розглянемо приклад: "Грати чи в гольф?" Щоб вирішити завдання, тобто прийняти рішення, чи грати в гольф, слід віднести поточну ситуацію до одного з відомих класів (в даному випадку - "грати" або "не грати"). Для цього потрібно відповісти на ряд питань, які знаходяться у вузлах цього дерева, починаючи з його кореня.
Перший вузол нашого дерева "Сонячно?" є вузлом перевірки, тобто умовою. При позитивній відповіді на запитання здійснюється перехід до лівої частини дерева, званої лівої гілкою, при негативному - до правої частини дерева. Таким чином, внутрішній вузол дерева є вузлом перевірки певної умови. Далі йде наступне питання і т.д., поки не буде досягнутий кінцевий вузол дерева, що є вузлом рішення. Для нашого дерева існує два типи кінцевого вузла: "грати" і "не грати" в гольф.
У результаті проходження від кореня дерева (іноді званого кореневої вершиною) до його вершини вирішується завдання класифікації, тобто вибирається один з класів - "грати" і "не грати" в гольф.
Будь-яка модель, представлена у вигляді дерева рішень, є інтуїтивною і спрощує розуміння розв'язуваної задачі. Результат роботи алгоритмів конструювання дерев рішень легко інтерпретується користувачем. Це властивість дерев рішень не тільки важливо при віднесенні до певного класу нового об'єкта, але і корисно при інтерпретації моделі класифікації в цілому. Дерево рішень дозволяє зрозуміти і пояснити, чому конкретний об'єкт належить до того чи іншого класу.
Алгоритм конструювання дерева рішень не вимагає від користувача вибору вхідних атрибутів (незалежних змінних). На вхід алгоритму можна подавати всі існуючі атрибути, алгоритм сам вибере найбільш значимі серед них, і тільки вони будуть використані для побудови дерева.
Точність моделей, створених за допомогою дерев рішень, порівнянна з іншими методами побудови класифікаційних моделей (статистичні методи, нейронні мережі).
2 Ігри
У практиці часто зустрічаються конфліктні ситуації. Гра - це спрощена модель конфлікту. На відміну від конфлікту гра ведеться за чіткими правилами. Для вирішення конфліктів розроблений спеціальний апарат - теорія ігор. Для завдання гри необхідно визначити:
1. варіанти дій гравців
2. обсяг інформації кожного гравця про поведінку супротивника
3. виграш, до якого приводить сукупність дій гравців.
Гра в якій беруть участь два гравці називається парною. У грі де беруть участь більше двох гравців називається множинною.
Гра в якій виграш одного з гравців дорівнює програшу іншого, називають грою з нульовою сумою (антагоністичної грою)
Природним узагальненням матричних ігор є нескінченні антагоністичні ігри (БАІ), в яких хоча б один з гравців має нескінченну кількість можливих стратегій. Ми будемо розглядати гри двох гравців, що роблять по одному ходу, і після цього відбувається розподіл виграшів. При формалізації реальної ситуації з нескінченним числом виборів можна кожну стратегію зіставити певному числу з одиничного інтервалу, тому що завжди можна простим перетворенням будь-який інтервал перевести в одиничний і навпаки.
Введемо визначення і позначення: [0; 1] - одиничний проміжок, з якого гравець може зробити вибір;
х - число (стратегія), вибираєте гравця 1;
y - число (стратегія), вибираєте гравця 2;
М i (x, y) - виграш i-го гравця; G (X, Y, M 1, M 2) - гра двох гравців, з ненульовою сумою, в якій гравець 1 вибирає число х з множини Х, гравець 2 вибирає число y з множини Y, і після цього гравці 1 і 2 отримують відповідно виграші M 1 (x, y) і M 2 (x, y). Нехай, далі, G (X, Y, M) - гра двох гравців з нульовою сумою, в якій гравець 1 вибирає число х, гравець 2 - число y, після чого гравець 1 отримує виграш М (x, y) за рахунок другого гравця.
Велике значення в теорії БАІ має вигляд функції виграшів M (x, y). Так, на відміну від матричних ігор, не для всякої функції M (x, y) існує рішення. Будемо вважати, що вибір певного числа гравцем означає застосування його чистої стратегії, відповідної цьому числу. За аналогією з матричними іграми назвемо чистої нижньої ціною гри величину
V 1 =
а чистої верхній ціною гри величину
V 2 = 
Для матричних ігор величини V 1 і V 2 завжди існують, а в нескінченних іграх вони можуть не існувати.
Природно вважати, що, якщо для будь-якої нескінченної гри величини V 1 і V 2 існують і рівні між собою (V 1 = V 2 = V), то така гра має рішення в чистих стратегіях, тобто оптимальною стратегією гравця 1 є вибір числа x o Î X і гравця 2 - числа y o Î Y, при яких M (x o, y o) = V, в цьому випадку V називається ціною гри, а (x o, y o) - сідловою в чистих стратегіях.
Приклад 1. Гравець 1 вибирає число х з множини Х = [0; 1], гравець 2 вибирає число y з множини Y = [0; 1]. Після цього гравець 2 платить гравцеві 1 суму
M (x, y) = 2х 2 - y 2.
Оскільки гравець 2 хоче мінімізувати виграш гравця 1, то він визначає
тобто при цьому y = 1. Гравець 1 бажає максимізувати свій виграш, і тому визначає
який досягається при х = 1.
Отже, нижня ціна гри дорівнює V 1 = 1. Верхня ціна гри
V 2 =
тобто в цій грі V 1 = V 2 = 1. Тому ціна гри V = 1, а сідлова точка (1; 1).
Математичне програмування - це використання математичних методів і моделей для вирішення проблем програмування. Якщо мета дослідження та обмеження на ресурси можна висловити кількістю у вигляді лінійних залежностей між змінними, то відповідний розділ математичного програмування називається лінійним програмуванням.
Література
1. Теорія ймовірностей і математична статистика: / В.Є. Гмурман; М.: Вища школа - 1999 р . - 479с.
2. Керівництво вирішення задач з теорії ймовірностей та математичної статистики: / В.Є. Гмурман; М.: Вища школа - 2002 р . - 404 с.
3. Завдання і вправи з теорії ймовірностей: / Є.С. Вентцель, Л.А. Овчаров; М.: Вища школа - 2002 р . - 445 с.
4. Теорія ймовірностей: / Є.С. Венцель; М.: Наука - 1964 р . - 572 с.
5. Математична статистика. Оцінка параметрів. Перевірка гіпотез: / А.А. Боровня; М.: Наука - 1984 р . - 469 с.
6. Елементи вищої математики для школярів: / Д.К. Фадєєв; М.: Наука - 1987 р . 335 с.
7. Математичні методи в економіці. Навчально-методичний посібник. 3-є видання: / Г.І. Просвітів; М.: РДЛ - 2007 р . - 160 с.
8. Теорія ймовірностей у прикладах і завданнях: Навчальний посібник / М.А. Матальскій, Т.В. Романюк - Гордно: ГрГУ; 2002 р .- 248 с.
9. Основи математичної статистики: Навчальний посібник для ін-ів фіз.культ. / За ред. В.С. Іванова - М.: Фізкультура і спорт; 1990 р .- 176 с.
10. Математично - статистичні методи в спорті. М., Фізкультура і спорт; 1974 р . - 151 с.
Наприклад, результат ковзанярі визначається не тільки аеробними можливостями організму, але також силою і швидкістю скорочення м'язів, технікою бігу, вольовими якостями і т.д. Якщо аналізувати всі аргументи, то вийде функціональна залежність.
При вивченні кореляційних залежностей між двома ознаками зазвичай вирішуються такі завдання:
1. Встановлення форми зв'язку між функцією У і аргументом Х, тобто опис закону зміни величини умовних середніх
2. Оцінка тісноти зв'язку між У та Х. Вирішення цього завдання вимагає відповідей на два питання:
a. Чи є взагалі між Х і У кореляційна залежність, тобто чи спостерігається закономірна зміна умовних середніх
b. Якщо кореляційна залежність існує, то в якій мірі вона відрізняється від функціональної?
Для вирішення даної задачі можуть використовуватися різні моделі. Найбільш часто використовується регресійна і кореляційна модель.
Регресійна модель передбачає, що залежна змінна У є випадковою величиною, а значення незалежної змінної задаються експериментатором довільно. Наприклад, досліджуючи залежність швидкості м'язового скорочення від величини вантажу, що піднімається, можна намітити, які вантажі повинен піднімати випробуваний.
Кореляційна модель передбачає, що обидві змінні - випадкові величини.
Найпростішою формою зв'язку між двома змінними є лінійна залежність виду У = а + bX. Параметр а носить назву початкової ординати. Параметр b носить назву коефіцієнта регресії, він характеризує нахил прямої лінії.
Розрахунок параметрів рівняння регресії проводиться за методом найменших квадратів:
Для виконання цього учловія параметри знаходять з рішення системи рівнянь:
Його можна представити у вигляді готових формул:
Рівняння регресії служить для аналізу форми зв'язку між двома ознаками.
III Математичні методи
1 Дерево рішень
Дерево рішень використовують, коли потрібно прийняти кілька рішень в умовах невизначеності, коли кожне рішення залежить від результату попереднього або результату випробувань. Складаючи "дерево" рішень потрібно намалювати "ствол" і "гілки", що відображають структуру проблеми. Розташовуються "дерева" зліва направо. "Гілки" позначають можливі альтернативні рішення, які можуть бути прийняті, і можливі результати, що у результаті цих рішень.
Квадратні "вузли" позначають місця, де приймаються рішення, круглі "вузли" - поява випадків. Так як приймаюче рішення не може впливати на появу результатів, йому залишається лише обчислювати ймовірність їх появи.
Коли всі рішення та його результати вказані на "дереві", прораховується кожен із варіантів, і в кінці проставляється його грошовий дохід. Усі витрати, викликані рішенням, проставляються на відповідній "гілки".
Розглянемо приклад: "Грати чи в гольф?" Щоб вирішити завдання, тобто прийняти рішення, чи грати в гольф, слід віднести поточну ситуацію до одного з відомих класів (в даному випадку - "грати" або "не грати"). Для цього потрібно відповісти на ряд питань, які знаходяться у вузлах цього дерева, починаючи з його кореня.
Перший вузол нашого дерева "Сонячно?" є вузлом перевірки, тобто умовою. При позитивній відповіді на запитання здійснюється перехід до лівої частини дерева, званої лівої гілкою, при негативному - до правої частини дерева. Таким чином, внутрішній вузол дерева є вузлом перевірки певної умови. Далі йде наступне питання і т.д., поки не буде досягнутий кінцевий вузол дерева, що є вузлом рішення. Для нашого дерева існує два типи кінцевого вузла: "грати" і "не грати" в гольф.
У результаті проходження від кореня дерева (іноді званого кореневої вершиною) до його вершини вирішується завдання класифікації, тобто вибирається один з класів - "грати" і "не грати" в гольф.
Будь-яка модель, представлена у вигляді дерева рішень, є інтуїтивною і спрощує розуміння розв'язуваної задачі. Результат роботи алгоритмів конструювання дерев рішень легко інтерпретується користувачем. Це властивість дерев рішень не тільки важливо при віднесенні до певного класу нового об'єкта, але і корисно при інтерпретації моделі класифікації в цілому. Дерево рішень дозволяє зрозуміти і пояснити, чому конкретний об'єкт належить до того чи іншого класу.
Алгоритм конструювання дерева рішень не вимагає від користувача вибору вхідних атрибутів (незалежних змінних). На вхід алгоритму можна подавати всі існуючі атрибути, алгоритм сам вибере найбільш значимі серед них, і тільки вони будуть використані для побудови дерева.
Точність моделей, створених за допомогою дерев рішень, порівнянна з іншими методами побудови класифікаційних моделей (статистичні методи, нейронні мережі).
2 Ігри
У практиці часто зустрічаються конфліктні ситуації. Гра - це спрощена модель конфлікту. На відміну від конфлікту гра ведеться за чіткими правилами. Для вирішення конфліктів розроблений спеціальний апарат - теорія ігор. Для завдання гри необхідно визначити:
1. варіанти дій гравців
2. обсяг інформації кожного гравця про поведінку супротивника
3. виграш, до якого приводить сукупність дій гравців.
Гра в якій беруть участь два гравці називається парною. У грі де беруть участь більше двох гравців називається множинною.
Гра в якій виграш одного з гравців дорівнює програшу іншого, називають грою з нульовою сумою (антагоністичної грою)
Природним узагальненням матричних ігор є нескінченні антагоністичні ігри (БАІ), в яких хоча б один з гравців має нескінченну кількість можливих стратегій. Ми будемо розглядати гри двох гравців, що роблять по одному ходу, і після цього відбувається розподіл виграшів. При формалізації реальної ситуації з нескінченним числом виборів можна кожну стратегію зіставити певному числу з одиничного інтервалу, тому що завжди можна простим перетворенням будь-який інтервал перевести в одиничний і навпаки.
Введемо визначення і позначення: [0; 1] - одиничний проміжок, з якого гравець може зробити вибір;
х - число (стратегія), вибираєте гравця 1;
y - число (стратегія), вибираєте гравця 2;
М i (x, y) - виграш i-го гравця; G (X, Y, M 1, M 2) - гра двох гравців, з ненульовою сумою, в якій гравець 1 вибирає число х з множини Х, гравець 2 вибирає число y з множини Y, і після цього гравці 1 і 2 отримують відповідно виграші M 1 (x, y) і M 2 (x, y). Нехай, далі, G (X, Y, M) - гра двох гравців з нульовою сумою, в якій гравець 1 вибирає число х, гравець 2 - число y, після чого гравець 1 отримує виграш М (x, y) за рахунок другого гравця.
Велике значення в теорії БАІ має вигляд функції виграшів M (x, y). Так, на відміну від матричних ігор, не для всякої функції M (x, y) існує рішення. Будемо вважати, що вибір певного числа гравцем означає застосування його чистої стратегії, відповідної цьому числу. За аналогією з матричними іграми назвемо чистої нижньої ціною гри величину
V 1 =
а чистої верхній ціною гри величину
V 2 =
Для матричних ігор величини V 1 і V 2 завжди існують, а в нескінченних іграх вони можуть не існувати.
Природно вважати, що, якщо для будь-якої нескінченної гри величини V 1 і V 2 існують і рівні між собою (V 1 = V 2 = V), то така гра має рішення в чистих стратегіях, тобто оптимальною стратегією гравця 1 є вибір числа x o Î X і гравця 2 - числа y o Î Y, при яких M (x o, y o) = V, в цьому випадку V називається ціною гри, а (x o, y o) - сідловою в чистих стратегіях.
Приклад 1. Гравець 1 вибирає число х з множини Х = [0; 1], гравець 2 вибирає число y з множини Y = [0; 1]. Після цього гравець 2 платить гравцеві 1 суму
M (x, y) = 2х 2 - y 2.
Оскільки гравець 2 хоче мінімізувати виграш гравця 1, то він визначає
тобто при цьому y = 1. Гравець 1 бажає максимізувати свій виграш, і тому визначає
який досягається при х = 1.
Отже, нижня ціна гри дорівнює V 1 = 1. Верхня ціна гри
V 2 =
тобто в цій грі V 1 = V 2 = 1. Тому ціна гри V = 1, а сідлова точка (1; 1).
3 Лінійне програмування
Програмування - це процес розподілу ресурсів.Математичне програмування - це використання математичних методів і моделей для вирішення проблем програмування. Якщо мета дослідження та обмеження на ресурси можна висловити кількістю у вигляді лінійних залежностей між змінними, то відповідний розділ математичного програмування називається лінійним програмуванням.
Література
1. Теорія ймовірностей і математична статистика: / В.Є. Гмурман; М.: Вища школа -
2. Керівництво вирішення задач з теорії ймовірностей та математичної статистики: / В.Є. Гмурман; М.: Вища школа -
3. Завдання і вправи з теорії ймовірностей: / Є.С. Вентцель, Л.А. Овчаров; М.: Вища школа -
4. Теорія ймовірностей: / Є.С. Венцель; М.: Наука -
5. Математична статистика. Оцінка параметрів. Перевірка гіпотез: / А.А. Боровня; М.: Наука -
6. Елементи вищої математики для школярів: / Д.К. Фадєєв; М.: Наука -
7. Математичні методи в економіці. Навчально-методичний посібник. 3-є видання: / Г.І. Просвітів; М.: РДЛ -
8. Теорія ймовірностей у прикладах і завданнях: Навчальний посібник / М.А. Матальскій, Т.В. Романюк - Гордно: ГрГУ;
9. Основи математичної статистики: Навчальний посібник для ін-ів фіз.культ. / За ред. В.С. Іванова - М.: Фізкультура і спорт;
10. Математично - статистичні методи в спорті. М., Фізкультура і спорт;