Якщо приріст чисельності популяції пропорційний кількості особин, чисельність популяції буде рости експоненціально.
Вираз «експонентний зростання» увійшло в наш лексикон для позначення швидкого, як правило нестримного збільшення. Воно часто використовується, наприклад, при описі стрімкого зростання числа міст або збільшення чисельності населення. Однак в математиці цей термін має точний сенс і позначає певний вид зростання.
Експонентний ріст має місце в тих популяціях, в яких приріст чисельності (число народжень мінус число смертей) пропорційний числу особин популяції. Для популяції людини, наприклад, коефіцієнт народжуваності приблизно пропорційний кількості репродуктивних пар, а коефіцієнт смертності приблизно пропорційний кількості людей в популяції (позначимо його N). Тоді, в розумному наближенні,
приріст населення = число народжень - число смертей
= RN
(Тут r - так званий коефіцієнт пропорційності, який дозволяє нам записати вираз пропорційності у вигляді рівняння.)
Нехай dN - число особин, що додали до популяції за час dt, тоді якщо в популяції в цілому N особин, то умови для експоненціального зростання будуть задоволені, якщо
dN = rN dt
Після того як у XVII столітті Ісаак Ньютон винайшов диференціальне числення, ми знаємо, як вирішувати це рівняння для N - чисельності популяції в будь-який заданий час. (Для довідки: таке рівняння називається диференціальним.) Ось його рішення:
N = N0 ert
де N0 - кількість особин в популяції на початок відліку, а t - час, що минув з цього моменту. Символ е позначає таке спеціальне число, воно називається основа натурального логарифма (і приблизно дорівнює 2,7), і вся права частина рівняння називається експонентна функція.
Щоб краще зрозуміти, що таке експонентний ріст, уявіть собі популяцію, що складається спочатку з однієї бактерії. Через певний час (через кілька годин або хвилин) бактерія ділиться надвоє, тим самим подвоюючи розмір популяції. Через наступний проміжок часу кожна з цих двох бактерій знову розділиться надвоє, і розмір популяції знову подвоїться - тепер буде вже чотири бактерії. Після десяти таких подвоєнь буде вже більше тисячі бактерій, після двадцяти - понад мільйон, і так далі. Якщо з кожним поділом популяція буде подвоюватися, її зростання буде продовжуватися до безкінечності.
Існує легенда (швидше за все, не відповідає дійсності), нібито людина, який винайшов шахи, доставив цим таке задоволення своєму султанові, що той пообіцяв виконати будь-яку його прохання. Людина попросив, щоб султан поклав на першу клітку шахівниці одне зерно пшениці, на другу - два, на третю - чотири і так далі. Султан, вважаючи це вимога нікчемною порівняно з наданою їм послугою, попросив свого поданого придумати іншу прохання, але той відмовився. Природно, до 64-му подвоєння число зерен стало таким, що в усьому світі не знайшлося б потрібної кількості пшениці, щоб задовольнити це прохання. У тій версії легенди, яка відома мені, султан у цей момент наказав відрубати голову винахіднику. Мораль, як я кажу моїм студентам, така: іноді не слід бути надто розумним!
Приклад з шахівницею (як і з уявними бактеріями) показує нам, що ніяка популяція не може рости вічно. Рано чи пізно вона просто вичерпає ресурси - простір, енергію, воду, що завгодно. Тому популяції можуть рости за експоненціальним законом лише деякий час, і рано чи пізно їх зростання повинно сповільнитися. Для цього потрібно змінити рівняння так, щоб при наближенні чисельності популяції до максимально можливої (яка може підтримуватися зовнішнім середовищем) швидкість росту сповільнювалася. Назвемо цю максимальну чисельність популяції K. Тоді видозмінене рівняння буде виглядати так:
dN = rN (1 - (N / K)) dt
Коли N набагато менше K, членом N / K можна знехтувати, і ми повертаємося до початкового рівняння звичайного експоненціального зростання. Однак коли N наближається до свого максимального значення K, значення 1 - (N / K) прагне до нуля, відповідно прагне до нуля і приріст чисельності популяції. Загальна чисельність популяції в цьому випадку стабілізується і залишається на рівні K. Крива, що описується цим рівнянням, а також саме рівняння, мають кілька назв - S-крива, логістичне рівняння, рівняння Вольтерра, рівняння Лотка-Вольтерра. (Віто Вольтерра (1860-1940) - видатний італійський математик і викладач; Альфред Лотка (1880-1949) - американський математик і страхової аналітик.) Як би вона не називалася, це - досить простий вислів чисельності популяції, різко зростаючою експоненціально, а потім сповільнюється при наближенні до якогось межі. І вона набагато краще відображає зростання чисельності реальних популяцій, ніж звичайна експонентна функція.