МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
варіант № 30
КАЛІНІНГРАД
2008
Завдання
Завдання 1.2.
Суміш можна скласти з n продуктів З j (J = 1, n). У кожному з продуктів міститься m компонентів. Мінімально допустимий обсяг змісту i-го компонента в суміші виражається величиною b i (I = 1,3). Зміст i-го компонента в одиниці j-го продукту виражається величиною а ij. Ціна одиниці j-го продукту дорівнює з j. Скласти суміш, мінімальну за вартістю, вибравши для вирішення даної задачі найбільш раціональний спосіб.
Завдання 2.2.
Знайти графоаналітичним методом оптимальне рішення задачі нелінійного програмування.
maxZ = 3.6x 1 - 0.2x 1 2 + 0.8x 2 - 0.2x 2 лютого
2x 1 + x 2 ≥ 10
x 1 2-10x 1 + x 2 ≤ 75
x 2 ≥ 0
Завдання 3.1.
Після декількох років експлуатації обладнання може опинитися в одному з трьох станів:
1) потрібна профілактичний ремонт;
2) потрібна заміна окремих деталей і вузлів;
3) потрібен капітальний ремонт.
Залежно від ситуації керівництво підприємства може прийняти наступні рішення:
1) відремонтувати обладнання своїми силами, що зажадає витрат а;
2) викликати спеціальну бригаду ремонтників, витрати в цьому випадку складуть b;
3) замінити обладнання новим, реалізувавши застаріле за залишковою вартістю .. Сукупні витрати на цей захід складуть с.
Потрібно знайти оптимально рішення даної проблеми за критерієм мінімізації витрат з урахуванням наступних припущень:
а) на основі узагальнення досвіду експлуатації аналогічного устаткування визначені ймовірності настання відповідних станів - q;
б) наявний досвід свідчить про рівної ймовірності настання відповідних станів;
в) про можливості настання відповідних станів нічого певного сказати не можна.
λ = 0.7
Завдання 1.2.
Суміш можна скласти з n продуктів З j (J = 1, n). У кожному з продуктів міститься m компонентів. Мінімально допустимий обсяг змісту i-го компонента в суміші виражається величиною b i (I = 1,3). Зміст i-го компонента в одиниці j-го продукту виражається величиною а ij. Ціна одиниці j-го продукту дорівнює з j. Скласти суміш, мінімальну за вартістю, вибравши для вирішення даної задачі найбільш раціональний спосіб.
Суміш, мінімальна за вартістю:
7x 1 + 5x 2 + 8x 3 ≥ 70
8x 1 + 2x 2 + 3x 3 ≥ 40
9x 1 + 6x 2 + 7x 3 ≥ 50
x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0
F = 9x 1 + 6x 2 + 7x 3 → min
Після транспонування матриці елементів a ij, cсімметрічная двоїста задача матиме вигляд:
S (y 1, y 2, y 3) = 70y 1 + 40y 2 + 50y 3 → max, при обмеженнях:
7y 1 + 8y 2 + 9y 3 ≥ 9
5y 1 + 2y 2 + 6y 3 ≥ 6
8y 1 + 3y 2 + 7y 3 ≥ 7
y 1 ≥ 0; y 2 ≥ 0; y 3 ≥ 0
Для рішення двоїстої задачі лінійного програмування симплекс - методом, приведемо систему нерівностей до виду системи рівнянь:
7y 1 + 8y 2 + 9y 3 + y 4 ≥ 9
5y 1 + 2y 2 + 6y 3 + y 5 ≥ 6
8y 1 + 3y 2 + 7y 3 + y 6 ≥ 7
y 1 ≥ 0; y 2 ≥ 0; y 3 ≥ 0; y 1 ≥ 0; y 2 ≥ 0; y 3 ≥ 0
S (y 1, y 2, y 3) = 70y 1 + 40y 2 + 50y 3 → max
За правилом відповідності змінних, базисним змінним прямої задачі відповідають вільні змінні двоїстої задачі:
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6
Перша симплексна таблиця:
Друга симплексна таблиця:
Третя симплексна таблиця:
В останній таблиці в рядку Δ немає негативних елементів. Відповідно до критерію оптимальності точка максимуму S max = 2950/43 досягнута при значеннях: y 1 = 29/43; y 2 = 23/43; y 3 = 0.
По теоремі подвійності: F min = S max = 2950/43.
На підставі правила відповідності між змінними, оптимальне рішення прямої задачі:
y 4 x 1 = 110/43 y 5 x 2 = 0 y 6 x 3 = 280/43
Відповідь: У суміш мінімальної вартості 2950/43 доцільно включити 110/43 одиниць продукту C 1, 280/43 одиниць продукту C 3, а продукт C 2 не включати.
Завдання 2.2.
Знайти графоаналітичним методом оптимальне рішення задачі нелінійного програмування.
maxZ = 3.6x 1 - 0.2x 1 2 + 0.8x 2 - 0.2x 2 лютого
2x 1 + x 2 ≥ 10
x 1 2-10x 1 + x 2 ≤ 75
x 2 ≥ 0
У цьому завданню є нелінійна цільова функція з нелінійної системою обмежень. Графічна схема дозволить визначити положення точки оптимуму.
Спочатку необхідно перетворити формулу цільової функції так, щоб отримати її графічне відображення. Скористаємося методом виділення повного квадрата двочлена щодо x 1 і x 2, розділивши ліву і праву частини формули на -0.2:
-5Z = x 1 2-18x 1 + x 2 2 - 4x 2
Додамо до лівої і правої частин рівняння числа, необхідні для виділення повних квадратів двочлена у правій частині виразу:
9 лютого і 2 2 в сумі складають 85:
85 - 5Z = (x 1 - 9) 2 + (x 2 - 2) 2
У результаті вийшла формула, що дозволяє графічно зобразити цільову функцію у вигляді лінії рівня на площині X 1 OX 2. Дані лінії рівня представляють собою окружності із загальним центром у точці O (9, 2). Дана точка є точкою абсолютного екстремуму цільової функції.
Для визначення характеру екстремуму потрібно провести аналіз цільової функції на опуклість / увігнутість. Для цього необхідно визначити другий приватні похідні і скласти з них матрицю:
Z "x1x1 Z" x1x2 = -0.4 0
Z "x2x1 Z" x2x2 0 -0.4
Визначимо знаки головних мінорів даної матриці.
Головний мінор першого порядку -0.4 <0.
Головний мінор другого порядку 0.16> 0.
Оскільки знаки миноров чергуються, функція Z - суворо ввігнута. Екстремум увігнутих функцій - max, отже в точці О у цільової функції знаходиться абсолютний максимум.
Для побудови області допустимих значень перетворимо друга нерівність системи обмежень:
x 1 2 - 10x 1 + x 2 ≤ 75
x 1 2 - 10x 1 + 25 + x 2 ≤ 100
(X 1 - 5) 2 + x 2 ≤ 100
(X 1 - 5) 2 ≤ 100 - x 2
Рівняння (x 1 - 5) 2 = 100 - x 2 виразимо через змінні x 1 * і x 2 *:
x 1 * = x 1 - 5
x 2 * = 100 - x 2
Рівняння прийме вигляд: x 1 * 2 = x 2 *.
У системі координат X 1 * O * X 2 * дане рівняння є канонічним рівнянням параболи.
На малюнку область допустимих значень - обмежена частина площині ABCD. З отриманого графіка видно, що точка абсолютного максимуму Z лежить всередині ОДР. Отже, цільова функція приймає максимальне значення в цій точці:
max Z = Z (O) = Z (9, 2) = 17
Завдання 3.1
Після декількох років експлуатації обладнання може опинитися в одному з трьох станів:
1) потрібна профілактичний ремонт;
2) потрібна заміна окремих деталей і вузлів;
3) потрібен капітальний ремонт.
Залежно від ситуації керівництво підприємства може прийняти наступні рішення:
1) відремонтувати обладнання своїми силами, що зажадає витрат а;
2) викликати спеціальну бригаду ремонтників, витрати в цьому випадку складуть b;
3) замінити обладнання новим, реалізувавши застаріле за залишковою вартістю .. Сукупні витрати на цей захід складуть с.
Потрібно знайти оптимально рішення даної проблеми за критерієм мінімізації витрат з урахуванням наступних припущень:
а) на основі узагальнення досвіду експлуатації аналогічного устаткування визначені ймовірності настання відповідних станів - q;
б) наявний досвід свідчить про рівної ймовірності настання відповідних станів;
в) про можливості настання відповідних станів нічого певного сказати не можна.
λ = 0.7
Складемо платіжну матрицю, в якій П j - стану обладнання, А i - альтернативи прийняття рішень:
Для прийняття оптимального рішення у випадку а). скористаємося критерієм Байєса; у разі б). критерієм Лапласа; у випадку в). критеріями Вальда, Севіджа, Гурвіца.
а). на основі узагальнення досвіду експлуатації аналогічного устаткування визначені ймовірності настання відповідних станів: q 1 = 0.3; q 2 = 0.45; q 3 = 0.25
Критерій Байєса.
Для кожної альтернативи знайдемо середній виграш: `a i = Σ a ij Ч q j
`A 1 = -11.7` a 2 = -14.15 `a 3 = -13.4
Із середніх виграшів вибираємо максимальний: max a i = `a 1 = -11.7 - перша альтернатива оптимальна в разі відомих ймовірностей настання подій при виборі рішення за критерієм Байєса.
б). наявний досвід свідчить про рівної ймовірності настання відповідних станів;
Критерій Лапласа.
Для кожної альтернативи знайдемо середній виграш: `a i = 1/3Σ a ij
`A 1 = -12.3` a 2 = -14.3 `a 3 = -14
Із середніх виграшів вибираємо максимальний: max a i = `a 1 = -12.3 - перша альтернатива оптимальна в разі рівної ймовірності настання подій при виборі рішення за критерієм Лапласа.
в). про можливості настання відповідних станів нічого певного сказати не можна.
Критерій Вальда.
Для кожної альтернативи визначимо найгірший результат. d i - мінімальний елемент рядка. З найгірших результатів вибираємо найкращий, тобто максимальний d i.
max d i = d 1 = -15 - перша альтернатива оптимальна за критерієм Вальда.
Критерій Севіджа.
Для кожного стовпця знаходимо максимальний елемент β j.
Побудуємо матрицю ризиків, елементи якої: r ij = β j - a ij
У матриці ризиків у кожному рядку знайдемо максимальний ризик, і з них виберемо мінімальний: min r = r 1 = 4 - перша альтернатива оптимальна за критерієм Севіджа.
Критерій Гурвіца.
Для кожного рядка знаходимо мінімальний d i і максимальний β j.
χ i = λ Ч d i + (1 - λ) Ч β j λ = 0.7
Максимальний з елементів останнього стовпця: max χ i = χ 1 = -13.2 - перша альтернатива оптимальна за критерієм Гурвіца.
РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМЕНІ Іммануїла Канта
кафедра економіки |
Контрольна робота
з дисципліни «Економіко - математичні методи в управлінні»варіант № 30
КАЛІНІНГРАД
2008
Завдання
Завдання 1.2.
Суміш можна скласти з n продуктів З j (J = 1, n). У кожному з продуктів міститься m компонентів. Мінімально допустимий обсяг змісту i-го компонента в суміші виражається величиною b i (I = 1,3). Зміст i-го компонента в одиниці j-го продукту виражається величиною а ij. Ціна одиниці j-го продукту дорівнює з j. Скласти суміш, мінімальну за вартістю, вибравши для вирішення даної задачі найбільш раціональний спосіб.
| C 1 | C 2 | C 3 | b i | |
| c j | 9 | 6 | 7 | |
| a 1j | 7 | 5 | 8 | 70 |
| a 2j | 8 | 2 | 3 | 40 |
| a 3j | 9 | 6 | 7 | 50 |
Знайти графоаналітичним методом оптимальне рішення задачі нелінійного програмування.
2x 1 + x 2 ≥ 10
x 1 2-10x 1 + x 2 ≤ 75
x 2 ≥ 0
Завдання 3.1.
Після декількох років експлуатації обладнання може опинитися в одному з трьох станів:
1) потрібна профілактичний ремонт;
2) потрібна заміна окремих деталей і вузлів;
3) потрібен капітальний ремонт.
Залежно від ситуації керівництво підприємства може прийняти наступні рішення:
1) відремонтувати обладнання своїми силами, що зажадає витрат а;
2) викликати спеціальну бригаду ремонтників, витрати в цьому випадку складуть b;
3) замінити обладнання новим, реалізувавши застаріле за залишковою вартістю .. Сукупні витрати на цей захід складуть с.
Потрібно знайти оптимально рішення даної проблеми за критерієм мінімізації витрат з урахуванням наступних припущень:
а) на основі узагальнення досвіду експлуатації аналогічного устаткування визначені ймовірності настання відповідних станів - q;
б) наявний досвід свідчить про рівної ймовірності настання відповідних станів;
в) про можливості настання відповідних станів нічого певного сказати не можна.
| П 1 | П 2 | П 3 | |
| a | 13 | 9 | 15 |
| b | 20 | 12 | 11 |
| c | 18 | 10 | 14 |
| q | 0.3 | 0.45 | 0.25 |
Завдання 1.2.
Суміш можна скласти з n продуктів З j (J = 1, n). У кожному з продуктів міститься m компонентів. Мінімально допустимий обсяг змісту i-го компонента в суміші виражається величиною b i (I = 1,3). Зміст i-го компонента в одиниці j-го продукту виражається величиною а ij. Ціна одиниці j-го продукту дорівнює з j. Скласти суміш, мінімальну за вартістю, вибравши для вирішення даної задачі найбільш раціональний спосіб.
| C1 | C2 | C3 | bi | |
| cj | 9 | 6 | 7 | |
| a1j | 7 | 5 | 8 | 70 |
| a2j | 8 | 2 | 3 | 40 |
| a3j | 9 | 6 | 7 | 50 |
7x 1 + 5x 2 + 8x 3 ≥ 70
8x 1 + 2x 2 + 3x 3 ≥ 40
9x 1 + 6x 2 + 7x 3 ≥ 50
x 1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x 3 ≥ 0
F = 9x 1 + 6x 2 + 7x 3 → min
Після транспонування матриці елементів a ij, cсімметрічная двоїста задача матиме вигляд:
S (y 1, y 2, y 3) = 70y 1 + 40y 2 + 50y 3 → max, при обмеженнях:
5y 1 + 2y 2 + 6y 3 ≥ 6
8y 1 + 3y 2 + 7y 3 ≥ 7
y 1 ≥ 0; y 2 ≥ 0; y 3 ≥ 0
Для рішення двоїстої задачі лінійного програмування симплекс - методом, приведемо систему нерівностей до виду системи рівнянь:
5y 1 + 2y 2 + 6y 3 + y 5 ≥ 6
8y 1 + 3y 2 + 7y 3 + y 6 ≥ 7
y 1 ≥ 0; y 2 ≥ 0; y 3 ≥ 0; y 1 ≥ 0; y 2 ≥ 0; y 3 ≥ 0
S (y 1, y 2, y 3) = 70y 1 + 40y 2 + 50y 3 → max
За правилом відповідності змінних, базисним змінним прямої задачі відповідають вільні змінні двоїстої задачі:
y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6
Перша симплексна таблиця:
| Базис | Сб | А0 | y1 70 | y2 40 | y3 50 | y4 0 | y5 0 | y6 0 |
| y4 | 0 | 9 | 7 | 8 | 9 | 1 | 0 | 0 |
| y5 | 0 | 6 | 5 | 2 | 6 | 0 | 1 | 0 |
| y6 | 0 | 7 | 8 | 3 | 7 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | -70 | -40 | -50 | 0 | 0 | 0 |
| Базис | Сб | А0 | y1 70 | y2 40 | y3 50 | y4 0 | y5 0 | y6 0 |
| y4 | 0 | 23 / 8 | 0 | 43 / 8 | 23 / 8 | 1 | 0 | -7 / 8 |
| y5 | 0 | 13 / 8 | 0 | 1 / 8 | 13 / 8 | 0 | 1 | -5 / 8 |
| y1 | 70 | 7 / 8 | 1 | 3 / 8 | 7 / 8 | 0 | 0 | 1 / 8 |
| 245 / 4 | 0 | -55 / 4 | 45 / 4 | 0 | 0 | 35 / 4 |
| Базис | Сб | А0 | y1 70 | y2 40 | y3 50 | y4 0 | y5 0 | y6 0 |
| Y2 | 40 | 23/43 | 0 | 1 | 23/43 | 8 / 43 | 0 | -7/43 |
| y5 | 0 | 67/43 | 0 | 0 | 67/43 | -1/43 | 1 | -26/43 |
| y1 | 70 | 29/43 | 1 | 0 | 29/43 | -3/43 | 0 | 8 / 43 |
| 2950/43 | 0 | 0 | 800/43 | 110/43 | 0 | 280/43 |
По теоремі подвійності: F min = S max = 2950/43.
На підставі правила відповідності між змінними, оптимальне рішення прямої задачі:
Відповідь: У суміш мінімальної вартості 2950/43 доцільно включити 110/43 одиниць продукту C 1, 280/43 одиниць продукту C 3, а продукт C 2 не включати.
Завдання 2.2.
Знайти графоаналітичним методом оптимальне рішення задачі нелінійного програмування.
maxZ = 3.6x 1 - 0.2x 1 2 + 0.8x 2 - 0.2x 2 лютого
x 1 2-10x 1 + x 2 ≤ 75
x 2 ≥ 0
У цьому завданню є нелінійна цільова функція з нелінійної системою обмежень. Графічна схема дозволить визначити положення точки оптимуму.
Спочатку необхідно перетворити формулу цільової функції так, щоб отримати її графічне відображення. Скористаємося методом виділення повного квадрата двочлена щодо x 1 і x 2, розділивши ліву і праву частини формули на -0.2:
-5Z = x 1 2-18x 1 + x 2 2 - 4x 2
Додамо до лівої і правої частин рівняння числа, необхідні для виділення повних квадратів двочлена у правій частині виразу:
9 лютого і 2 2 в сумі складають 85:
85 - 5Z = (x 1 - 9) 2 + (x 2 - 2) 2
У результаті вийшла формула, що дозволяє графічно зобразити цільову функцію у вигляді лінії рівня на площині X 1 OX 2. Дані лінії рівня представляють собою окружності із загальним центром у точці O (9, 2). Дана точка є точкою абсолютного екстремуму цільової функції.
Для визначення характеру екстремуму потрібно провести аналіз цільової функції на опуклість / увігнутість. Для цього необхідно визначити другий приватні похідні і скласти з них матрицю:
Z "x1x1 Z" x1x2 = -0.4 0
Z "x2x1 Z" x2x2 0 -0.4
Визначимо знаки головних мінорів даної матриці.
Головний мінор першого порядку -0.4 <0.
Головний мінор другого порядку 0.16> 0.
Оскільки знаки миноров чергуються, функція Z - суворо ввігнута. Екстремум увігнутих функцій - max, отже в точці О у цільової функції знаходиться абсолютний максимум.
Для побудови області допустимих значень перетворимо друга нерівність системи обмежень:
x 1 2 - 10x 1 + x 2 ≤ 75
x 1 2 - 10x 1 + 25 + x 2 ≤ 100
(X 1 - 5) 2 + x 2 ≤ 100
(X 1 - 5) 2 ≤ 100 - x 2
Рівняння (x 1 - 5) 2 = 100 - x 2 виразимо через змінні x 1 * і x 2 *:
x 2 * = 100 - x 2
Рівняння прийме вигляд: x 1 * 2 = x 2 *.
У системі координат X 1 * O * X 2 * дане рівняння є канонічним рівнянням параболи.
D |
O 1 |
C |
A |
X 1 |
2x 1 + x 2 = 10 |
-10 -5 0 5 10 15 20 |
B |
X 1 * |
X 2 X 2 * |
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 |
На малюнку область допустимих значень - обмежена частина площині ABCD. З отриманого графіка видно, що точка абсолютного максимуму Z лежить всередині ОДР. Отже, цільова функція приймає максимальне значення в цій точці:
max Z = Z (O) = Z (9, 2) = 17
Завдання 3.1
Після декількох років експлуатації обладнання може опинитися в одному з трьох станів:
1) потрібна профілактичний ремонт;
2) потрібна заміна окремих деталей і вузлів;
3) потрібен капітальний ремонт.
Залежно від ситуації керівництво підприємства може прийняти наступні рішення:
1) відремонтувати обладнання своїми силами, що зажадає витрат а;
2) викликати спеціальну бригаду ремонтників, витрати в цьому випадку складуть b;
3) замінити обладнання новим, реалізувавши застаріле за залишковою вартістю .. Сукупні витрати на цей захід складуть с.
Потрібно знайти оптимально рішення даної проблеми за критерієм мінімізації витрат з урахуванням наступних припущень:
а) на основі узагальнення досвіду експлуатації аналогічного устаткування визначені ймовірності настання відповідних станів - q;
б) наявний досвід свідчить про рівної ймовірності настання відповідних станів;
в) про можливості настання відповідних станів нічого певного сказати не можна.
| П1 | П2 | П3 | |
| a | 13 | 9 | 15 |
| b | 20 | 12 | 11 |
| c | 18 | 10 | 14 |
| q | 0.3 | 0.45 | 0.25 |
Складемо платіжну матрицю, в якій П j - стану обладнання, А i - альтернативи прийняття рішень:
| П1 | П2 | П3 | |
| А1 | -13 | -9 | -15 |
| А2 | -20 | -12 | -11 |
| А3 | -18 | -10 | -14 |
а). на основі узагальнення досвіду експлуатації аналогічного устаткування визначені ймовірності настання відповідних станів: q 1 = 0.3; q 2 = 0.45; q 3 = 0.25
Критерій Байєса.
Для кожної альтернативи знайдемо середній виграш: `a i = Σ a ij Ч q j
`A 1 = -11.7` a 2 = -14.15 `a 3 = -13.4
| П1 | П2 | П3 | `Ai | |
| А1 | -13 | -9 | -15 | -11.7 |
| А2 | -20 | -12 | -11 | -14.15 |
| А3 | -18 | -10 | -14 | -13.4 |
| qj | 0.3 | 0.45 | 0.25 |
б). наявний досвід свідчить про рівної ймовірності настання відповідних станів;
Критерій Лапласа.
Для кожної альтернативи знайдемо середній виграш: `a i = 1/3Σ a ij
`A 1 = -12.3` a 2 = -14.3 `a 3 = -14
| П1 | П2 | П3 | `Ai | |
| А1 | -13 | -9 | -15 | -12.3 |
| А2 | -20 | -12 | -11 | -14.3 |
| А3 | -18 | -10 | -14 | -14 |
в). про можливості настання відповідних станів нічого певного сказати не можна.
Критерій Вальда.
Для кожної альтернативи визначимо найгірший результат. d i - мінімальний елемент рядка. З найгірших результатів вибираємо найкращий, тобто максимальний d i.
| П1 | П2 | П3 | di | |
| А1 | -13 | -9 | -15 | -15 |
| А2 | -20 | -12 | -11 | -20 |
| А3 | -18 | -10 | -14 | -18 |
Критерій Севіджа.
Для кожного стовпця знаходимо максимальний елемент β j.
| П 1 | П 2 | П 3 | |
| А 1 | -13 | -9 | -15 |
| А 2 | -20 | -12 | -11 |
| А 3 | -18 | -10 | -14 |
| β j | -13 | -9 | -11 |
| max ri | |||
| 0 | 0 | 4 | 4 |
| 7 | 3 | 0 | 7 |
| 5 | 1 | 3 | 5 |
Критерій Гурвіца.
Для кожного рядка знаходимо мінімальний d i і максимальний β j.
| П1 | П2 | П3 | di | βj | χi | |
| А1 | -13 | -9 | -15 | -15 | -9 | -13.2 |
| А2 | -20 | -12 | -11 | -20 | -11 | -17.3 |
| А3 | -18 | -10 | -14 | -18 | -10 | -15.6 |
Максимальний з елементів останнього стовпця: max χ i = χ 1 = -13.2 - перша альтернатива оптимальна за критерієм Гурвіца.