МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ
Державна освітня установа вищої професійної освіти
РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ГУМАНІТАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІНСТИТУТ ЕКОНОМІКИ, УПРАВЛІННЯ ТА ПРАВА
ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛІННЯ
Контрольна робота
За «Економіко-математичних методів»
ФІСА А.А.
студента2-го курсу
заочної форми навчання
Москва 2009р
Варіант 2.
№ 1.
Дослідити методом Жордана - Гаусса систему лінійних рівнянь, в разі спільної системи знайти спільне рішення, деякий часте небазисной рішення, всі базисні рішення, вказавши при цьому опорні рішення:
х 1 + х 2 - х 3 +2 х 4 = 2
- Х 1 + х 2 -3 х 3 - х 4 = 1
3 х 1 - х 2 +5 х 3 +4 х 4 = 3.
Рішення:
+ II; ∙ (-3) + III
∙ 2 + III;: 2
Отримаємо еквівалентну систему рівнянь
Останнє рівняння системи не має рішень, вихідна система несумісна, тобто не має рішень.
№ 2
Вирішити графічним методом наступні задачі лінійного програмування: min f (x) = -6 x 1 +9 x 2
х 1, х 2 ≥ 0.
Рішення.
(*)
х 1, х 2 ≥ 0.
Побудуємо граничні прямі
(1) х 1 0 3
х 2 3 2
(2) х 1 0 1
х 2 5 7
(3) х 1 0 0
х 2 0 2
Вибираємо потрібні півплощини (дивися (*))
Отримаємо область рішень Д.
Побудуємо = (-6; 9); - Лінія рівня, . Паралельним переносом лінії рівня визначаємо точки, в яких функція досягає мінімуму. Це всі крапки променя АВ прямий (3).
Завдання має нескінченну безліч рішень. При цьому значення функції обмежена і для будь-якого X * складаємо величину, що дорівнює 0.
Відповідь: (3; 2) + (6, 4), ; Min
№ 3.
Вирішити симплексним методом наступні завдання лінійного програмування min f ( ) = - 2 x 1 - 3 x 2
Рішення.
f ( ) = - 2 x 1 - 3 x 2 + 0 х 3 + 0 х 4 +0 х 5 min
x j 0, j =
Всі отримані оцінки не позитивні. План оптимальний.
X * = (х 1 = 3; х 2 = 2)
f min = f (X *) = -2 ∙ 3 - 3 ∙ 2 = -12,
f min = -12.
Відповідь: X * = (х 1 = 3; х 2 = 2);
f min = f (X *) = -12.
№ 4.
Вирішити такі транспортні завдання (тут А - вектор потужностей постачальників, В - вектор потужностей споживачів, С - матриця транспортних витрат на одиницю вантажу):
А = (300; 350; 160; 200), С = ;
В = (400, 400, 200),
Рішення
н 1 = 0 н 2 = 1 н 3 =- 1
u 1 = 0
u 2 = 3
u 3 = 1
u 4 = 1
Опорне рішення отримали за правилом «мінімальних витрат». Зайнятих клітин має бути m + n - 1 = 4 + 3 - 1 = 6.
Визначимо потенціали:
u 1 + н 2 = 1; u 2 + н 1 = 3; u 2 + н 2 = 4; u 2 + н 3 = 2;
u 3 + н 1 = 1; u 4 + н 1 = 1.
Нехай u 1 = 0, тоді u 2 = 3; u 1 = 0; u 3 = -1; u 3 = 1; u 4 = 1.
Оцінки вільних клітин
Ѕ 11 = 4 - (0 +0)> 0; Ѕ 13 = 2 - (0-1)> 0; Ѕ 32 = 3 - (1 +1)> 0;
Ѕ 33 = 1 - (1-1)> 0; Ѕ 42 = 4 - (1 +1)> 0; Ѕ 43 = 3 - (1-1)> 0.
План оптимальний, тому що всі оцінки є позитивними. Отримаємо план перевезень
X * = ;
мінімальна вартість Z min = Z (X *) = 300 ∙ 1 + 50 ∙ 3 + 100 ∙ 4 + ∙ 200 ∙ 2 + + 150 ∙ 1 + 200 ∙ 1 = ∙ 1600.
№ 5.
Для випуску чотирьох видів продукції потрібні витрати сировини, робочого часу та обладнання. Вихідні дані наведені в таблиці:
Сформулювати економіко-математичну модель задачі на максимум прибутку і знайти оптимальний план випуску продукції.
Рішення.
Позначимо через х 1, х 2, х 3, х 4 обсяг випуску кожної з чотирьох видів продукції. Модель задачі прийме вигляд: max Z = 30 х 1 + 25 х 2 + 8 х 3 + 16 х 4
х j 0 (j = ).
Перейдемо до задачі в канонічному вигляді:
х j 0 (j = ).
min
Z (X) = 30 х 1 + 25 х 2 + 8 х 3 + 16 х 4 + 0 х 5 +0 х 6 +0 х 7 max
Тепер всі оцінки не негативні. План оптимальний.
Отримали оптимальний план випуску продукції X * = (12,8; 0; 0; 0). При цьому максимальна прибуток складе
max Z = Z (X *) = 30 ∙ 12,8 + 25 ∙ 0 + 8 ∙ 0 + 16 ∙ 0 = 384.
Відповідь: Слід випускати тільки продукцію першого виду в кількості 12,8 од. Максимальний прибуток складе 384 ден. од.
Державна освітня установа вищої професійної освіти
РОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ГУМАНІТАРНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІНСТИТУТ ЕКОНОМІКИ, УПРАВЛІННЯ ТА ПРАВА
ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛІННЯ
Контрольна робота
За «Економіко-математичних методів»
ФІСА А.А.
студента2-го курсу
заочної форми навчання
Москва 2009р
Варіант 2.
№ 1.
Дослідити методом Жордана - Гаусса систему лінійних рівнянь, в разі спільної системи знайти спільне рішення, деякий часте небазисной рішення, всі базисні рішення, вказавши при цьому опорні рішення:
х 1 + х 2 - х 3 +2 х 4 = 2
- Х 1 + х 2 -3 х 3 - х 4 = 1
3 х 1 - х 2 +5 х 3 +4 х 4 = 3.
Рішення:
х 1 | х 2 | х 3 | х 4 | в i | ||||
| 1 | -1 | 2 | 2 | ||||
-1 | 1 | -3 | -1 | 1 | ||||
3 | -1 | 5 | 4 | 3 | ||||
1 | 1 | -1 | 2 | 2 | ||||
0 |
| -4 | 1 | 3 | ||||
0 | -4 | 8 | -2 | -3 | ||||
1 | 0 | 1 | ||||||
0 | 1 | -2 | ||||||
0 | 0 | 0 | 0 | 3 | ||||
Отримаємо еквівалентну систему рівнянь
Останнє рівняння системи не має рішень, вихідна система несумісна, тобто не має рішень.
№ 2
Вирішити графічним методом наступні задачі лінійного програмування: min f (x) = -6 x 1 +9 x 2
х 1, х 2 ≥ 0.
Рішення.
х 1, х 2 ≥ 0.
Побудуємо граничні прямі
(1)
х 2 3 2
(2)
х 2 5 7
(3)
х 2 0 2
Вибираємо потрібні півплощини (дивися (*))
Отримаємо область рішень Д.
Побудуємо
Завдання має нескінченну безліч рішень. При цьому значення функції обмежена і для будь-якого X *
Відповідь:
№ 3.
Вирішити симплексним методом наступні завдання лінійного програмування min f (
Рішення.
f (
x j
i | А Б | З Б | У | -2 | -3 | 0 | 0 | 0 | ||||
А 1 | А 2 | А 3 | А 4 | А 5 | ||||||||
1 2 3 | А 3 А 4 А 5 | 0 0 0 | 15 9 4 | 3 1 1 |
0 | 1 0 0 | 0 1 0 | 0 0 1 | 5 3 min - | |||
m +1 | 0 | 2 | 3 | 0 | 0 | 0 | ||||||
1 2 3 | А 3 А 2 А 5 | 0 -3 0 | 6 3 4 |
1 | 0 1 0 | 1 0 0 | -1 ⅓ 0 | 0 0 1 | 3 min 9 4 | |||
m +1 | -9 | 1 | 0 | 0 | -1 | 0 | ||||||
1 2 3 | А 1 А 2 А 5 | -2 -3 0 | 3 2 1 | 1 0 0 | 0 | - | 0 | |||||
m +1 | -12 | 0 | 0 | 0 | - | - | 0 |
Всі отримані оцінки не позитивні. План оптимальний.
X * = (х 1 = 3; х 2 = 2)
f min = f (X *) = -2 ∙ 3 - 3 ∙ 2 = -12,
f min = -12.
Відповідь: X * = (х 1 = 3; х 2 = 2);
f min = f (X *) = -12.
№ 4.
Вирішити такі транспортні завдання (тут А - вектор потужностей постачальників, В - вектор потужностей споживачів, С - матриця транспортних витрат на одиницю вантажу):
А = (300; 350; 160; 200), С =
В = (400, 400, 200),
Рішення
н 1 = 0 н 2 = 1 н 3 =- 1
в j a j | 400 | 400 | 200 |
300 | 4 | 300 1 | 2 |
350 | 50 3 | 100 4 | 200 2 |
150 | 150 1 | 3 | 1 |
200 | 200 1 | 4 | 3 |
u 1 = 0
u 2 = 3
u 3 = 1
u 4 = 1
Опорне рішення отримали за правилом «мінімальних витрат». Зайнятих клітин має бути m + n - 1 = 4 + 3 - 1 = 6.
Визначимо потенціали:
u 1 + н 2 = 1; u 2 + н 1 = 3; u 2 + н 2 = 4; u 2 + н 3 = 2;
u 3 + н 1 = 1; u 4 + н 1 = 1.
Нехай u 1 = 0, тоді u 2 = 3; u 1 = 0; u 3 = -1; u 3 = 1; u 4 = 1.
Оцінки вільних клітин
Ѕ 11 = 4 - (0 +0)> 0; Ѕ 13 = 2 - (0-1)> 0; Ѕ 32 = 3 - (1 +1)> 0;
Ѕ 33 = 1 - (1-1)> 0; Ѕ 42 = 4 - (1 +1)> 0; Ѕ 43 = 3 - (1-1)> 0.
План оптимальний, тому що всі оцінки є позитивними. Отримаємо план перевезень
X * =
мінімальна вартість Z min = Z (X *) = 300 ∙ 1 + 50 ∙ 3 + 100 ∙ 4 + ∙ 200 ∙ 2 + + 150 ∙ 1 + 200 ∙ 1 = ∙ 1600.
№ 5.
Для випуску чотирьох видів продукції потрібні витрати сировини, робочого часу та обладнання. Вихідні дані наведені в таблиці:
Тип ресурсу | Норми витрат ресурсів на одиницю продукції | Наявність ресурсів | |||
1 | 2 | 3 | 4 | ||
Сировина Робочий час Обладнання Прибуток на одиницю продукції | 3 22 10 30 | 5 14 14 25 | 2 18 8 8 | 4 30 16 16 | 60 400 128 |
Рішення.
Позначимо через х 1, х 2, х 3, х 4 обсяг випуску кожної з чотирьох видів продукції. Модель задачі прийме вигляд: max Z = 30 х 1 + 25 х 2 + 8 х 3 + 16 х 4
х j
Перейдемо до задачі в канонічному вигляді:
х j
i | А Б | З Б | У | 30 | 25 | 8 | 16 | 0 | 0 | 0 | |||
А 1 | А 2 | А 3 | А 4 | А 5 | А 6 | А 7 | |||||||
1 2 3 | А 5 А 6 А 7 | 0 0 0 | 60 400 128 | 3 22
| 5 14 14 | 2 18 8 | 4 30 16 | 1 0 0 | 0 1 0 | 0 0 1 | 20 12,8 | ||
m +1 | 0 | -30 | -25 | -8 | -16 | 0 | 0 | 0 | |||||
Z (X) = 30 х 1 + 25 х 2 + 8 х 3 + 16 х 4 + 0 х 5 +0 х 6 +0 х 7
i | А Б | З Б | У | 30 | 25 | 8 | 16 | 0 | 0 | 0 | |||
А 1 | А 2 | А 3 | А 4 | А 5 | А 6 | А 7 | |||||||
1 2 3 | А 5 А 6 А 7 | 0 0 30 | 21,6 118,4 12,8 | 0 0 1 | 0,8 -16,8 1,4 | -0,4 0,4 0,8 | -0,8 -5,2 1,6 | 1 0 0 | 0 1 0 | -0,3 -2,2 0,1 | |||
m +1 | 384 | 0 | 17 | 16 | 32 | 0 | 0 | 3 | |||||
Отримали оптимальний план випуску продукції X * = (12,8; 0; 0; 0). При цьому максимальна прибуток складе
max Z = Z (X *) = 30 ∙ 12,8 + 25 ∙ 0 + 8 ∙ 0 + 16 ∙ 0 = 384.
Відповідь: Слід випускати тільки продукцію першого виду в кількості 12,8 од. Максимальний прибуток складе 384 ден. од.